«Яков Борисович Зельдович (воспоминания, письма, документы)»
 М., Физматлит, 2008. — 416 с. — ISBN 978-5-9221-1009-9.

В. И. Арнольд
ЯБ  И  МАТЕМАТИКА



Обычно Яков Борисович звонил мне в семь утра. «Не кажется ли Вам...», — говорил он, и далее следовало что-нибудь парадоксальное. Последний такой звонок был за две недели до его смерти. Он рассказал о странном, «хаотическом» поведении решений уравнений Риккати с периодическими коэффициентами1. Эта (совместная с соавтором, фамилию которого я забыл) работа осталась ненаписанной, и я скажу о ней немного подробнее.

Уравнение Риккати — это дифференциальное уравнение, правая часть которого — многочлен второй степени относительно зависимой переменной. Решениям этого уравнения свойственно убегать на бесконечность за конечное время. При традиционном подходе в рамках обычной теории дифференциальных уравнений никакого хаоса тут быть не может. Хаос, о котором говорил Яков Борисович, возникает, если свернуть ось зависимой переменной в окружность, добавив одну бесконечно удалённую точку.

Периодичность коэффициентов позволяет свернуть в окружность и ось времени (ось независимой переменной). Получается динамическая система на замкнутом многообразии — на поверхности тора. Свойства таких систем изучал ещё А. Пуанкаре, который обнаружил, что они сильно зависят от того, иррационально или рационально «число вращения» — средний по времени наклон траекторий. Если число вращения рационально («резонанс»), то некоторые (а для уравнений Риккати обычно все) траектории замкнуты. В иррациональном же («общем») случае траектория плотно покрывает тор и возвращается бесконечно много раз в любую окрестность начальной точки, никогда не повторяясь точно. Причём временно́е среднее любой функции вдоль траектории совпадает с её средним на поверхности тора («эргодичность», т.е. первая ступень «хаоса»).

Речь шла, таким образом, о переоткрытии важного раздела современной математической теории динамических систем. Применения теории Пуанкаре к уравнению Риккати должны бы были входить в учебники, но, насколько я понимаю, никто из математиков их не заметил. Психологическая трудность здесь — изменение топологии фазового пространства (переход от аффинной прямой к проективной) — сродни описанию решения Шварцшильда при помощи топологии чёрной дыры. Преодоление подобных трудностей — деятельность, по сути дела, математическая, но большинство математиков медленнее преодолевает стереотипы мышления в рамках точно поставленной задачи и неохотно идёт на кардинальные изменения точки зрения.

Яков Борисович, напротив, всегда был готов к изменению точки зрения. Помнится, когда он первый раз позвал меня к себе на Воробьёвское шоссе в начале 70-х и я рассказывал ему о недавних тогда достижениях теории динамических систем (непредсказуемость, хаотичность, турбулентность, странные аттракторы, инвариантные торы и т.д.), Яков Борисович некоторое время пытался упорствовать — держался за старые догмы. К счастью, я не поддался ни на запугивание авторитарным тоном, ни на ссылки на Ландау, и (робко) сказал: «Но, Яков Борисович, на это можно взглянуть с другой точки зрения».

«Да?» — ответил Яков Борисович и немедленно сделал стойку на голове. Несколько минут он смотрел на доску, исписанную мелом, снизу вверх, потом перевернулся и стал обсуждать, на каких физических задачах следует немедленно пробовать новые математические теории.

Будучи прежде всего физиком2, Яков Борисович имел о математике своё собственное представление, резко отличное и от представления большинства математиков его поколения, воспитанных на аксиоматико-дедуктивной теоретико-множественной концепции, восходящей к Гильберту и Бурбаки, и от представления большинства физиков о том, что полезна в математике только аналитическая техника, своего рода продолжение арифметического счётного мастерства. Точка зрения Якова Борисовича ближе к позиции более молодого поколения математиков и физиков-теоретиков (Л. Д. Фаддеев, A. M. Поляков, С. П. Новиков), для которых качественная, геометрическая, концептуальная математика сливается с теоретической физикой. Математика понятий и идей, а вовсе не одних только вычислений, была его стихией.

Но и в техническом отношении некоторые достижения Якова Борисовича предвосхитили математические исследования, иногда на десятки лет. Особенно это относится к теории особенностей, бифуркаций и катастроф — той области математики, которая описывает возникновение дискретных структур и всевозможных скачков и разрывов из плавных, гладких изменений.

Так, в работах ЯБ 1941 г. о реакциях в струе фактически построена теория бифуркаций кривой равновесий в произведении фазового пространства на ось параметра — теория рождения и умирания новых «островков» этой кривой. В современной математической теории уравнений с малым параметром эти явления изучены лишь в конце 70-х годов (в работах французских математиков по так называемому «нестандартному анализу» и «теории уток»). Когда эти работы появились, ЯБ сразу узнал в них небольшое обобщение своей старой теории. Замечательным свойством этой теории было то, что, хотя исследовалась конкретная система, заданная явными формулами, качественный характер результатов не зависел от деталей этих формул и оставался тем же для широкого класса систем «общего положения». Строгое математическое доказательство того, что системы, ведущие себя иначе, — исключение, получено математиками лишь недавно. Но сам характер явления был открыт ЯБ пятьдесят лет назад, и универсальность его была ему, конечно, ясна.

Такая же универсальность и независимость от конкретных деталей характерна для исследований ЯБ по объяснению крупномасштабной структуры Вселенной малыми и плавными неоднородностями первоначального поля скоростей пылевидной среды.

Возникновение особенностей на каустиках впервые обнаружили в этой задаче Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников и В. В. Судаков. Построенная Яковом Борисовичем «теория блинов», в сущности, эквивалентна теории простейших, так называемых лагранжевых, особенностей в симплектической геометрии — особенностей проекций лагранжевых многообразий (на которых обращается в нуль инвариант Пуанкаре) из фазового пространства на конфигурационное.

Эта же теория даёт описание типичных особенностей каустик и их перестроек при изменении параметра в оптике. Её математические трудности так велики, что многие вопросы остаются до сих пор нерешёнными, а достигнутые (уже в последние годы) результаты были получены лишь вследствие осмысления ряда экспериментов лазерной оптики и компьютерного моделирования. Тем больше заслуга ЯБ, сразу почувствовавшего важность своей «гидродинамики Вселенной» как общематематической теории.

Переход от локально-аналитического исследования к анализу глобально топологических и статистически-перколяционных свойств возникающих структур в работах ЯБ также не может не вызвать восхищения математиков. В этих работах, скорее, физика становится служанкой математики, чем наоборот.

Подобно всем математикам, ЯБ любил выделить в физической проблеме точно сформулированный математический вопрос. Он верил, что стоит точно сформулировать задачу математически — и математики, «которые умеют, как мухи, ходить по потолку», найдут решение! Особенное возмущение вызывала у него неспособность современной математики решить вопросы о вмороженном магнитном поле минимальной энергии и о быстром магнитном динамо.

Я помню обсуждение первого вопроса во время своего доклада об асимптотическом инварианте Хопфа3 на семинаре ЯБ в ИПМ (вероятно, в 1973 г.): ЯБ и А. Д. Сахаров наперебой, размахивая руками, объясняли, как зацепленность силовых линий не позволяет уменьшить до нуля энергию вмороженного поля.

Математически вопрос ЯБ ставится так: среди всех полей дивергенции нуль на трёхмерном многообразии, получаемых из данного сохраняющими элементы объёма диффеоморфизмами многообразия, найти поле с минимальным интегралом квадрата (это минимизирующее поле может иметь особенности).

Эта задача, не решённая и сегодня, моделирует вопрос об эволюции магнитного поля звезды в пренебрежении магнитной вязкостью (омической диссипацией или перезамыканием силовых линий). Предполагается, что пока энергия не минимальна, поле будет порождать силу Лоренца, которая будет двигать среду, вследствие чего избыток энергии будет диссипироваться гидродинамической вязкостью, пока среда не остановится, а поле не минимизируется.

ЯБ и АД утверждали, что, например, энергию аксиально симметричного поля в шаре (зацепление отсутствует) можно сделать сколь угодно малой посредством подходящего диффеоморфизма (это, кажется, и сегодня аккуратно не доказано). Вопрос о топологии минимизирующего поля в общем случае — также нерешённая, насколько я знаю, задача (даже в простейшей двумерной модели, где требуется минимизировать интеграл квадрата градиента гладкой функции в круге, имеющей более одного максимума и равной нулю на границе, посредством сохраняющего элементы площади преобразования круга в себя).

Другая точно поставленная ЯБ задача о быстром стационарном кинематическом динамо формулируется так: существует ли бездивергентное, стационарное по времени и периодическое по пространству векторное поле скоростей v, для которого уравнение индукции

B

t

 + {vB} = ε ΔB,       div B = 0,

где {vB} = rot (v × B) — скобка Пуассона, имеет растущее по времени, периодическое по пространству решение В = eλt B0(xyz) с инкрементом (Re λ > 0), не стремящимся к нулю при уменьшении до нуля магнитной вязкости ε?

Растяжение магнитных линий потоком с экспоненциальным растяжением частиц приводит к экспоненциальному росту поля (ЯБ наглядно объяснял этот эффект так: окрестность замкнутой магнитной линии растягивается вдвое и вкладывается на своё место, подобно аптечной резинке).

Но при этом растущее поле получается изрезанным, и вязкий член может загасить начавшийся рост. Вопрос о том, какой из этих двух эффектов — растяжение частиц (вызывающее хаотичность поля скоростей) или малая диффузия — победит, в конечном итоге остаётся открытым.

Численные эксперименты с «ABC-полем» Бельтрами,

v = (A cos y + B sin z)

x

+ (циклические перестановки),

указывают, например, при A=B=C=1, на динамо-эффект (Re λ > 0) при магнитном числе Рейнольдса 1/ε в интервалах от 10 до 20 и от 30 до 100 (Фриш, Галловей). Для чисел Рейнольдса от 50 до 100 инкремент мало меняется и близок к (эмпирическому) показателю растяжения частиц потоком. Почему-то ЯБ склонялся к гипотезе, что при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса (до 400?) динамо-эффект прекратится (мода начнёт затухать), чтобы, быть может, в дальнейшем снова возникать и исчезать.

Теория этих явлений не разработана, а численный эксперимент требует вычисления собственных чисел матриц, порядок которых много больше миллиона, и пока кажется практически неосуществимым.

ЯБ считал здесь надёжно установленным существование периодического по времени быстрого кинематического магнитного динамо (v периодическое по времени и по пространству бездивергентное поле скоростей, B также периодическое по пространству). Насколько я знаю, эта теорема ЯБ современной математикой ещё не переварена.

В последнее десятилетие жизни ЯБ я имел счастье довольно много с ним работать. Чаще всего мне предоставлялась роль слушателя или читателя (обычный размер писем ЯБ — восемь страниц, по письму в неделю).

«Вы можете выбросить это письмо, не читая. Дело в том, что писание Вам для меня стало психотерапевтическим актом, способом проверить себя, уяснить что-то до конца. Я пишу — и вижу Ваш скептический взгляд («глаза майора Пронина»), и рука не поворачивается написать сомнительное... Много ли Вам пишут психи? Мне — очень часто.

Итак, то, что мы знаем относительно особенностей, это верно, но это — локально. Между тем есть некоторые глобальные свойства системы, которые...»

«Кажется, Дубровский писал Маше Троекуровой: «Сладкая привычка обращаться к Вам ежедневно, не ожидая ответа на письмо, стала для меня законом» (в период, когда они общались через дупло).

Итак, насколько я знаю, заметка...»

Одним из последних совместных наших мероприятий было комментирование «трудов» ЯБ. «Пишу, — позвонил мне ЯБ — некрологическое сочинение. Грустно, конечно, но нужно, по-моему. Как сказал О. Уайльд, «у каждого есть ученики, но биографию непременно пишет Иуда». Пожалуйста, напишите о математике».

Перечитав тогда «Высшую математику для начинающих», я увидел, как много из того, что математики моего поколения (с трудом и преодолевая огромное сопротивление) пытаются внести в выхолощенное и омертвевшее преподавание нашей науки, уже содержалось в первом же издании учебника ЯБ.

Книга начиналась с эпатирующего определения производной как отношения приращений «в предположении, что они достаточно малы». Это кощунственное с точки зрения ортодоксальной математики определение «физически», конечно, совершенно оправдано, ибо приращения физической величины меньше, чем, скажем, 10–100, являются чистейшей фикцией — структура пространства и времени в таких масштабах может оказаться весьма далёкой от математического континуума.

Но это простое соображение уничтожает столь значительную часть современных математических исследований, что упоминать о нём даже здесь опасно. Тогдашние цензоры математических книг, тополог Л. С. Понтрягин и механик Л. И. Седов, обрушили на ЯБ поток обвинений, которые ЯБ (с его несколько мальчишеским честолюбием) переживал более болезненно, чем они того заслуживали. Я думаю, что борьба с этими, непонятно почему столь могущественными цензорами и со сплочённой группой их малокомпетентных союзников за переиздание очевидно необходимой книги, борьба, которую ЯБ вёл, как всегда, с полным напряжением сил и перипетии которой он переживал очень эмоционально, сократила ему жизнь.

Закончилась эта борьба полной победой ЯБ. Л. С. Понтрягин в своём изложении анализа для школьников (1980) пишет: «Многие физики считают, что так называемое строгое определение производных и интегралов не нужно для хорошего понимания дифференциального и интегрального исчисления. Я разделяю их точку зрения».

Возвращение преподавания математики от схоластики формально-языковых вычислительных упражнений (будь то k/∂nk — язык Лейбница, ε-δ — язык теории множеств, Ext-Tor — язык гомологической алгебры или IF-GOTO — язык программирования) к содержательной математике идей и понятий Ньютона, Римана и Пуанкаре — шаг абсолютно необходимый. ЯБ был первым, кто нашёл мужество открыто об этом сказать и вовремя это осуществить.

Время ЯБ было расписано по минутам. Плутарх пишет, что Фемистокл назначал всем своим клиентам одно и то же время, чтобы каждый из них, увидев остальных и ожидая своей очереди, проникался ощущением значительности патрона. Яков Борисович, напротив, назначал каждому своё время, но зато не мог затянуть разговор ни на одну лишнюю минуту. Привыкши к унижающим человеческое достоинство манерам, обычным среди математиков, особенно по отношению к младшим4, я был приятно удивлён корректностью и своеобразной деликатностью ЯБ, явно противоречившей его естественному буйному темпераменту. «Ты, Зин, на грубость нарываешься», — было у него выражением крайнего гнева. ЯБ, хоть и называл себя учеником Ландау, следовал ему не во всём.

Готовя комментарии к трудам ЯБ, я заглянул в «Science Citation Index» и нашёл, помнится, около семи тысяч ссылок на его работы в год (второе, кажется, место после Ландау). Если учесть, что «Index» приписывает все совместные работы первому по алфавиту автору и что латинская транскрипция фамилии ЯБ начинается с Z, то истинное число ссылок значительно вырастет. Не знаю, сколько ссылок на него сейчас, но ясно, что влияние ЯБ и на физику, и на математику остаётся совершенно исключительным.


Примечания
1.

В современных терминах такое уравнение — это SL(2)-связность над окружностью. назад к тексту

2.

«Придётся вызвать Вас на дуэль», — сказал мне ЯБ, когда я процитировал ему Ньютона: «Математики, которые всё открывают, исследуют и доказывают, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих; другой [физик. В.А.], который не может ничего доказать, но всё схватывает на лету и на всё претендует, уносит всю славу как своих предшественников, так и своих последователей». назад к тексту

3.

Связь этого предмета с аномалиями квантовой теории поля и многозначным действием Полякова в то время не была, конечно, известна; эта связь была указана С. П. Новиковым лишь через десять лет. назад к тексту

4.

Я приписывал эти манеры влиянию на математиков Л. Д. Ландау, пока не узнал, что не имеющий с Ландау ничего общего академик — председатель учёного совета математиков, переврав фамилию оппонента во время защиты диссертации, оправдывался со словами: «Ну ничего, не велика птица». назад к тексту


Hosted by uCoz