1975 г. июль – август т. 30, вып.4 (184)
У С П Е Х И   М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Х   Н А У К





ПАМЯТИ РИХАРДА КУРАНТА

П.  С.  А л е к с а н д р о в,   О.  А.  О л е й н и к

Пункт 1 написан авторами совместно,
пункт 2 написан П. С. Александровым,
пункты 3, 4 написаны О. А. Олейник.




1

Имя Рихарда Куранта — выдающегося математика нашего времени, крупнейшего организатора математического образования и научных исследований, автора замечательных монографий и учебников — широко известно среди учёных всего мира.

Р. Курант родился 8 января 1888 г. в Германии. Он учился в университете в Гёттингене и принадлежал к числу непосредственных учеников Д. Гильберта. В 1910 г. он получил степень доктора за работу «О применении принципа Дирихле к проблеме конформных отображений». Это исследование в обновлённой редакции было опубликовано в 1950 г. в США в виде книги под названием «Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности». (Русский перевод этой книги появился в 1953 г.) Эта работа сразу получила мировую известность. Отметим, в частности, что в 1911–1913 гг. она реферировалась на семинаре Д. Ф. Егорова в Московском университете. С 1910 по 1914 г. Р. Курант работал в Гёттингенском университете сначала в качестве ассистента, а затем приват-доцента. В 1914 г. он был призван в немецкую армию и принимал участие в первой мировой войне на французском фронте. Находясь в армии, он работал над задачей использования беспроволочной связи на линиях фронта. Эта работа привела его к знакомству с современной электроникой в её ранних стадиях. Служба в армии прервала научную деятельность Р. Куранта более чем на 4 года. После демобилизации в 1919 г. он был назначен профессором в университет города Мюнстера (Германия), а в 1920 г. Р. Курант возвращается в Гёттинген как преемник по кафедре Феликса Клейна. По инициативе Куранта в Гёттингенском университете организуется Математический институт. В период 1920–1933 гг. Р. Курант был директором этого института. Его деятельность в Гёттингенском университете приводит к большому оживлению работы в области математических исследований и их приложений.

Об этом периоде жизни Куранта сказано подробнее в п. 2. В частности, в эти годы была создана классическая двухтомная монография, во всём мире известная под названием «Курант—Гильберт, Методы математической физики». Эти книги написаны Курантом при поддержке его учеников. Однако Курант считал влияние идей своего учителя Д. Гильберта на весь этот труд настолько значительным, что с согласия Гильберта эти монографии были выпущены как произведение двух авторов. На этих книгах воспитывались многие поколения физиков и математиков, работающих в различных областях анализа и теории уравнений с частными производными. Эти книги снабдили физиков математическим аппаратом, необходимым для применения созданной в двадцатые годы квантовой механики к практическим проблемам физики.

В 1927–1929 гг. вышли два тома лекций Р. Куранта по дифференциальному и интегральному исчислению. Эти учебники Р. Куранта, как и другие написанные им книги, излагают живую сущность науки и, сохраняя полную математическую строгость и точность, отводят подобающее место интуиции, как основному источнику математического познания, прививают читателю навыки сознательно и свободно ориентироваться в приложениях. Эти учебники много раз переиздавались, переведены на многие языки и широко используются вплоть до настоящего времени. Они хорошо известны в СССР.

Р. Курант считал, что научный прогресс должен быть представлен не только в специальных статьях, опубликованных в периодических журналах, но и в замкнутых в себе монографиях и учебниках повышенного типа, в которых исследования автора комбинируются с широким обзором. Придавая важное значение выпуску таких книг для дальнейшего развития математической науки, Р. Курант основал в издательстве Шпрингера и долгое время редактировал серию монографий по различным разделам математики под общим названием «Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen», до сих пор занимающую выдающееся место во всей мировой математической литературе. Вместе с О. Нейгебауэром Курант издал замечательные лекции Ф. Клейна по истории математики XIX века.

Р. Курант впервые приехал в США в 1932 г. как приглашённый профессор (visiting professor) в Принстонский и Калифорнийский университеты. В 1933 г. после разгрома Математического института в Гёттингене нацистским правительством Р. Курант навсегда покидает Германию, уехав сначала в Англию, где в течение года он был профессором в Кембриджском университете, а затем в 1934 г. в США. Он становится приглашённым профессором Нью-Йоркского университета. Вскоре его высокий научный авторитет и репутация блестящего и разностороннего учёного привели к тому, что он был назначен профессором и главою математического отделения Нью-Йоркского университета. Он принимает руководство тем, что он назвал «почти не существующий факультет математики», «лишённый научной жизни», и сравнительно скоро он превращает его в тот первоклассный научный центр, которым он стал и остаётся и сейчас, после смерти своего основателя. На лекциях Р. Курант распознавал таланты молодых инженеров, физиков, математиков и заботливо выращивал их математические способности как в аудиториях, так и вне аудиторий, проявляя заботу и глубокий интерес к их занятиям, а также ко всем сторонам развития их личности. Некоторые из его учеников становились как бы членами его семьи.

В то же время он привлёк для работы в Нью-Йоркском университете некоторых из своих учеников и молодых коллег из Германии. Таким образом, уже в 30-х годах в Нью-Йоркском университете начали работать такие крупные математики, как К. Фридрихс, Дж. Стокер, Ф. Джон. В течение второй мировой войны математики из группы Р. Куранта, обладая большим опытом в применении математики к решению практических задач, с успехом работали над проблемами военной тематики и в то же время вели преподавание и чисто математические исследования. Позднее эта группа и образовала ядро организованного Р. Курантом в 1946 г. Института математики и механики при Нью-Йоркском университете. Этот институт вскоре стал одним из крупнейших в мире центров математических исследований и математического образования. В 1952 г. он получил название Института математических наук. В этом же году при Институте был организован крупный центр вычислительной и прикладной математики, обладавший одной из лучших для того времени электронных вычислительных машин. Успех Р. Куранта как организатора науки был, в частности, результатом его способности распознавать, привлекать и вдохновлять талантливых молодых математиков. Он работал с ними интенсивно и самоотверженно, вникал во все их нужды. Р. Курант был противником узости и сверхспециализации в математике, он прилагал неустанные усилия, чтобы перекинуть мост между так называемой «чистой» и прикладной математикой. Р. Курант рассматривал математику как «живую часть широкого потока науки»; он верил, что в математике ещё должны быть сделаны великие открытия. Он постоянно проявлял глубокий интерес к приложениям математики и был убеждён, что «чистая» математика имеет важные приложения и обязанностью математиков является неустанно искать такие приложения. Курант считал, что для учёного преподавание столь же важно, как и ведение научных исследований. В своей речи в связи с переездом Курантовского института в новое здание в 1965 г. он сказал: «Наши самые ранние идеалы остаются неизменными — посвящать себя молодёжи». Знаменитый датский физик Нильс Бор говорил, что «каждый физик в долгу у Куранта за то глубокое проникновение в математические методы, которые он нам дал, для постижения природы и физического мира». Это высказывание было в значительной мере навеяно классическими книгами Куранта «Методы математической физики», которые учили физиков основам математической науки как инструмента для физических исследований. Эти книги дали физикам курантовскую теорию собственных значений и собственных функций, в которой они нуждались для квантовой механики, атомной физики и других физических наук.

В 1958 г. в связи с возрастом и в соответствии с законами США Р. Курант покинул пост официального директора Математического института. Этот пост был передан Дж. Стокеру. Однако и после этого активная деятельность Р. Куранта в Нью-Йоркском университете продолжалась в качестве почётного профессора, научного консультанта и советника. Он также состоял членом управляющей коллегии Математического института. С 1958 г. Математический институт Нью-Йоркского университета стал именоваться в его честь Курантовский институт математических наук (Courant Institute of Mathematical Sciences). Р. Курант являлся также научным консультантом некоторых научно-исследовательских учреждений и фирмы IBM, производящей электронные вычислительные машины.

В марте 1965 г. Курантовский институт переехал в новое огромное четырнадцатиэтажное здание на Мерсер-стрит, недалеко от площади Вашингтона. В 1965 г. Курантовский институт имел в своем составе 346 учёных-исследователей, администраторов и служащих, из них около 100 учёных со степенью доктора, а также более 600 студентов старших курсов — математиков (graduate students) и аспирантов, проходящих обучение при Институте. (В первые годы своего существования Математический институт был расположен в чердачном помещении, где ранее находилась шляпная фабрика.)

Среди многочисленных диссертаций, написанных под руководством Р. Куранта в различные периоды его деятельности, отметим диссертации таких ныне известных математиков, как Ганс Леви, Отто Нейгебауэр, Курт Фридрихс, Франц Реллих, К. Сциллард, Вольфганг Вазов, Чарльз Деприма, Гарольд Град, Дж. Келлер, Аврон Дуглис, Петер Лакс и других. Однако круг учеников Р. Куранта, математиков, испытавших на себе большое влияние его научных идей, значительно шире. В Курантовском институте математических наук в течение многих лет работают также крупные математики, как К. Фридрихс, Ф. Джон, Дж. Стокер, Л. Ниренберг, П. Лакс, Ю. Мозер, П. Карабедиан, Дж. Шварц, Дж. Глимм, К. Мораветц, Дж. Келлер и другие. Директором Курантовского института математических наук в настоящее время является П. Лакс, сменивший на этом посту Л. Ниренберга. В 1966–1967 гг. директором был К. О. Фридрихс, а в 1967–1970 гг. — Ю. Мозер. Институт имеет совет, состоящий приблизительно из 35 профессоров, который несёт ответственность за программу обучения студентов и за выбор направлений научных исследований института.

За последние 25 лет группа Р. Куранта внесла, в частности, большой вклад в теорию уравнений с частными производными и другие ветви анализа. Сюда относятся, например, замечательные исследования К. Фридрихса по симметрическим и симметризуемым системам, работы Ф. Джона о применении решений вида плоских волн, работы П. Лакса по квазилинейным гиперболическим уравнениям и теории рассеяния, исследования Л. Ниренберга по гладкости обобщённых решений эллиптических систем, работы Ю. Мозера по динамическим системам, работы К. Мораветц по уравнениям смешанного типа, исследования П. Карабедиана по теории функций, работы Дж. Шварца по функциональному анализу и вычислительной математике и многие другие. В Курантовском институте ведутся активные исследования по алгебраической теории чисел, теории групп, теории представлений групп, топологии многообразий, дифференциальной геометрии, дифференциальным и интегральным уравнениям, теории аналитических функций, теории вероятностей, функциональному анализу, классической механике, теории упругости, гидродинамике, магнито-гидродинамике, кинетической теории, статистической механике, квантовой механике и теории поля, динамической метеорологии. Курантовский институт издает, начиная с 1948 г., научный журнал «Communications on Pure and Applied Mathematics», который является одним из лучших в мире журналов по математической физике и анализу в самом широком смысле.

Курантовский институт ежегодно приглашает на различные сроки для чтения лекций и ведения семинаров крупных математиков из многих стран мира. Институт имеет мощный вычислительный центр, обладающий самыми современными электронно-вычислительными машинами.

Две последние книги Р. Куранта посвящены основам математического анализа. Этот двухтомный учебник написан им совместно с Ф. Джоном и вышел из печати в 1970 г. (том I) и в 1974 г. (том II). Над третьим томом «Методов математической физики» Р. Курант работал в течение многих лет. Смерть Р. Куранта 27 января 1972 г. прервала эту работу.

Р. Курант в течение ряда лет входил в состав руководства Международного математического союза (International Mathematical Union). Он был членом Национальной академии наук США. Р. Курант был избран иностранным членом многих академий мира: Национальной академии Линчей (Рим), Академии наук в Гёттингене, Королевской академии наук в Нидерландах, Академии наук Дании. В 1966 г. Р. Курант был избран иностранным членом Академии наук СССР.

Он был почётным членом многих математических обществ и в том числе Московского математического общества. Он имел почётную степень доктора от многих университетов мира. В 1955 г. Р. Курант был приглашён Гёттингенской академией наук прочитать основной доклад на торжественной церемонии в Гёттингене, посвящённой столетию со дня смерти Карла Фридриха Гаусса.

Ученики, коллеги, друзья и все знавшие Р. Куранта ценили его как доброго, участливого, простого и доступного человека. Он запомнился всем как живой, энергичный человек небольшого роста, с копной седых волос, с мягким голосом, человек с тёплым и своеобразным юмором. На первый взгляд трудно было поверить, что этот скромный человек был большим учёным, вдохновляющим учителем и выдающимся деятелем науки.

Р. Курант был страстным лыжником и любителем пешеходных прогулок. Уже в возрасте свыше 70 лет Р. Курант регулярно отправлялся в далекие лыжные и пешеходные прогулки со своими коллегами или учениками, иногда такое путешествие превращалось в «походный научный семинар».

Р. Курант неоднократно бывал в Советском Союзе. Впервые он приехал в СССР в мае 1960 г. как официальный делегат Национальной академии наук США в Академию наук СССР. Куранта сопровождал его любимый ученик и близкий друг П. Лакс. Р. Курант и П. Лакс выступали с научными докладами на заседаниях Московского математического общества, встречались со многими советскими математиками.

В 1963 г. М. А. Лаврентьев и Р. Курант организовали в Новосибирске совместный Советско-американский симпозиум по уравнениям с частными производными. Р. Курант являлся главою американской делегации, состоявшей из 24 математиков. В руководстве этим симпозиумом деятельное участие принимали также И. Н. Векуа и С. Л. Соболев. Это была одна из самых интересных и продуктивных научных конференций, имевших место в последние десятилетия. Особенно много внимания на симпозиуме Р. Курант уделял молодым математикам, уже известным своими исследованиями. Для них в один из вечеров он устроил специальный дружеский приём. Было крайне интересно слушать в беседах с ним его воспоминания о Гильберте, о традициях математической жизни в Гёттингене, иногда передаваемых с тёплым юмором, его взгляды на вычислительную математику, его тревогу по поводу того, что в области вычислительной и машинной математики всё ещё работает недостаточно большое число крупных учёных, о приложениях математики к физическим наукам.

Как иностранный член Академии наук СССР Р. Курант в 1967 г. принимал участие в заседаниях АН СССР, посвящённых 50-летию Великой Октябрьской социалистической революции и в торжественных заседаниях АН СССР в апреле 1970 г., посвящённых 100-летию со дня рождения В. И. Ленина. Р. Курант постоянно стремился расширить и углубить научные контакты с советскими математиками в интересах прогресса математической науки и в интересах народов обеих стран. Все книги Р. Куранта переведены на русский язык и они играют чрезвычайно большую роль в математическом образовании молодёжи нашей страны, а также являются необходимыми настольными книгами наших математиков-исследователей.


2

Р. Курант первоначально вошёл в науку как яркий представитель того замечательного и неповторенного в истории математики по своему влиянию на мировую науку сообщества учёных, которое называется гёттингенской математической школой, но в действительности было объединением нескольких математических школ, среди которых школа самого Куранта занимала одно из первых мест.

У истоков всех этих различных школ и направлений математической науки стоял Гильберт, один из величайших математиков нового времени, достойный преемник основоположников гёттингенской математической школы Гаусса и Римана. Гильберт не только сам был великим математиком, он вырастил блестящую плеяду своих учеников, среди которых такие ученые, как Эрхард Шмидт, Герман Вейль, Каратеодори, Гекке, Курант и другие математики, много сделавшие в различных направлениях математической науки. Чрезвычайно большое место в гёттингенской математике занимает великая алгебраистка Эмми Нётер, как по своим собственным математическим результатам, так и по тому глубокому влиянию, которое её идеи и работы, а также работы её учеников оказали на последующее развитие значительной части современной математики. Она не была формально ученицей Гильберта, но по всему духу своего математического творчества была прямой наследницей многих из общематематических идей Гильберта, исключительно высоко ценилась им как математик и, в частности, по его мнению, была самой выдающейся среди всех когда-либо живших до неё женщин-математиков. Эмми Нётер входила в ближайшее окружение Гильберта и в самое ядро гёттингенской математической школы. Что же касается самого Гильберта, то он был привлечён в Гёттингенский университет в начале 1890-х годов Феликсом Клейном, который осуществлял организационное руководство гёттингенской математической школой в течение примерно 30 лет (1890–1920). К концу этого тридцатилетия Клейн, однако, стал болеть и заметно стареть (в 1919 г. ему исполнилось 70 лет) и лишь формально оставался руководителем школы. Вопрос о преемнике не мог не возникнуть. То, что во главе гёттингенской математики идейно стоял Гильберт, было бесспорным для всех. Но Гильберт всегда избегал всякой организационной и тем более административной деятельности, чем, может быть, и сохранил себя всецело для науки, славы и ничем не омрачённого почитания со стороны своих учеников и многочисленных друзей. Среди них Курант выдвинулся наличием наряду с первоклассным творческим математическим талантом также и выдающегося организационного таланта. Неудивительно, что при самом активном содействии Гильберта организационное руководство гёттингенской математической школой всё более переходило в руки молодого и преисполненного энергией Куранта, который, в частности, обладал редким пониманием психологии окружающих его людей и особым даром, который можно было бы назвать способностью создания и поддержания отношений с людьми. Руководящее положение Куранта окончательно утвердилось, когда во второй половине 20-х годов приобрело реальную почву строительство нового прекрасно задуманного здания Математического института Гёттингенского университета.

Курант стал официально главой этого института и с большим рвением взял на себя работу по планированию и руководству строительством нового здания института. Эту огромную работу разделил с Курантом его старший ассистент Отто Нейгебауэр, который был и до конца жизни Куранта оставался одним из самых близких его друзей.

Возглавив Математический институт Гёттингенского университета, Курант оставался деятельным и вдохновенным руководителем своей собственной математической школы, посвящённой в основном тому, что сейчас называется математической физикой и включает уравнения с частными производными, интегральные уравнения, вариационное исчисление и примыкающие области чистой и прикладной математики, понимаемой в самом широком смысле слова. К первому поколению учеников Куранта принадлежат Ганс Леви, Курт Фридрихс, Фритц Йон (Джон), рано умерший Франц Реллих и другие впоследствии известные математики. Но собственно о научных работах Куранта и его школы будет сказано ниже.

Одной из привлекательнейших особенностей курантовской математической школы являлось то, что участники этой школы были связаны тесными дружескими отношениями как между собой, так и с руководителем школы и были сплочены действительно в единый коллектив. Но этот коллектив не был сектой, доступ в него был широко открыт математикам самых различных специальностей и научных направлений. Так, например, школа Куранта, как известно, была в основном направлена в сторону математической физики и самых широких приложений, а школа Эмми Нётер была школой абстрактной аксиоматической алгебры, далёкой от приложений. Тем не менее обе школы были тесно объединены между собой не только дружескими отношениями их участников, но и сознанием, что именно эти две школы в своей совокупности в значительной степени определяют лицо современной им гёттингенской, а может быть, и не только гёттингенской математики. Обе школы были объединены и общим отношением к математической науке, общей им обеим увлечённостью этой наукой, горячей и бескорыстной любовью к ней, сознанием её совершенства как поразительного создания человеческой мысли и вытекающего из этого совершенства неизбежного её единства, чему нисколько не противоречило различие специальных интересов и устремлений математиков, входивших в эти школы. Идеи единства, внутреннего совершенства математики, её неограниченной познавательной силы, необходимо направленной на благо человечества, были идеями Гильберта, составлявшими его кредо как учёного. Эти идеи составили и кредо как курантовской, так и нётеровской школы.

Двадцатые годы текущего столетия, точнее, время, простиравшееся начиная примерно с 1920 г. и до захвата Гитлером власти над Германией в январе 1933 г., было периодом яркого расцвета гёттингенской математической школы, периодом, когда эта школа была (по всеобщему международному признанию) одним из главных и основных сосредоточий мировой математической мысли, местом, куда стекались со всего мира математики всевозможных направлений и возрастов, местом, где происходил обмен только что возникшими в различных местах математическими идеями и открытиями, местом, откуда эти идеи и открытия потом вновь распространялись по всему свету, чтобы определять направление дальнейшего развития тех или иных математических дисциплин. Короче говоря, Гёттинген был в это время одной из первых математических столиц мира.

Первый раз я был в Гёттингене с П. С. Урысоном в течение летних семестров 1923 и 1924 гг. Тогда же мы познакомились с большинством гёттингенских математиков, самым старшим из которых был Ф. Клейн, а самым молодым Р. Курант. Далее я вспоминаю, например, летние семестры 1926–1928 гг. В течение этих семестров постоянный состав гёттингенских математиков пополнялся математиками различных специальностей из разных стран и городов, приезжавшими в Гёттинген или на весь семестр или на часть его, обычно значительную. Среди этих математиков были, например, Зигель, Хейнц Хопф, Артин, Дж. фон Нейман, Э. Хопф (Германия), А. Я. Хинчин, О. Ю. Шмидт, П. С. Александров, В. В. Степанов, Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман (СССР), Дж. Д. Биркгофф, Норберт Винер (США), Р. Неванлинна (Финляндия), Брауэр, Ван дер Варден, Ван дер Корпут (Голландия), Гаральд Бор, Я. Нильсен (Дания), Харди (Англия), Андре Вейль (Франция), Герман Вейль (Швейцария), Куратовский и Кнастер (Польша), Ярник (Чехословакия) и многие другие. Из приезжих математиков особенно тесно связаны с Гёттингеном в эти годы были Ван дер Варден, Андре Вейль (из которых первый вполне, а второй в значительной степени были учениками Эмми Нётер), Герман Вейль, Зигель, Неванлинна, Г. Бор, Хейнц Хопф, П. С. Александров. Эти лица из семестра в семестр читали в Гёттингенском университете специальные курсы, вели научные семинары, пользовавшиеся широкой известностью, состояли членами Гёттингенской академии наук. Все они были частыми гостями и в доме Гильберта и в доме Эмми Нётер (то обстоятельство, что этот последний представлял собой мансардную квартиру, не препятствовало тому, что в нём умещались и радушно принимались его гостеприимной хозяйкой математики со всего света, собиравшиеся часто в числе, значительно превышавшем метрические пространственные возможности этого дома). Но самым универсальным центром международной математической жизни, кипевшей в те годы в Гёттингене, был дом Куранта. Кроме всего прочего, дом Куранта был и сосредоточием музыкальных интересов большого, выходящего за пределы Гёттингена, круга людей, тесно связанных с семьей Курантов. И Курант и его жена Нина, дочь известного гёттингенского математика Рунге — одного из первых представителей старого классического периода вычислительной математики — были глубокими и серьёзными знатоками и ценителями музыки. Сам Курант играл на рояле, хорошо аккомпанировал и без затруднений участвовал в камерных ансамблях. Нина Курант свободно владела струнными инструментами (скрипка, альт, виолончель) и была хорошей исполнительницей камерной вокальной музыки (главным образом, Шуберта, но также и Баха, Бетховена, Моцарта). Среди постоянных посетителей курантовского дома Ганс Леви был превосходным скрипачом, а молодой геометр Кон-Фоссен — пианистом. Камерное музицирование процветало в доме и было источником большой радости как для его хозяев, так и для многочисленных постоянных его гостей.

Гёттингенские математики часто встречались и в своеобразном «водном клубе». Это было расположенное на берегу речки Лайне 1 университетское купальное заведение. Его центром был естественный бассейн, образовавшийся под имевшейся на реке плотиной. В этот бассейн вся речка низвергалась после плотины, образуя довольно эффектный водопад. На берегах росли старые деревья, между ними были зёленые лужайки и кустарники; вся местность кругом была очень живописна и привлекательна. Там были установлены простейшие гимнастические снаряды: турник, параллельные брусья и т.п. Кроме того, на самом берегу был примитивный трамплин для прыжков в воду. Всем этим заведовал старый (около 70 лет), но ещё очень бодрый «купальный мастер» (Bade-meister) по фамилии Кли (Klie), лицо в университете известное и очень популярное. Это был своеобразный осколок старой Германии прошлого века, будто сошедший со страниц рассказов Гофмана, умный и всегда благожелательный крестьянин, обладавший своеобразным юмором и любивший пофилософствовать на различные темы. Эмми Нётер и Курант, и тем более их ученики, были постоянными посетителями этой купальни. Часто бывали «у Кли» и Гильберт, и физики — Макс Борн, Дж. Франк, и знаменитый гидро- и аэромеханик Л. Прандтль 2. На водоёме был плот, который приводился в движение посредством шеста и служил местом разнообразных забав молодёжи. Во все эти развлечения часто вовлекался и Курант. Для двух дам — Эмми Нётер и Нины Курант, часто бывавших у Кли, был отведён специальный дощатый чулан, служивший им для переодевания. Остальные посетители купальни образовывали мужское общество и раздевались, где кто хочет — на нескольких имевшихся лавочках, на дощатом помосте, предназначенном для «загорания», главным же образом, просто на лужайках и под деревьями. Бывали у Кли и иностранные гости, в том числе такие знатные, как Брауэр, Нильс Бор, Отто Юльевич Шмидт. Отто Юльевич иногда вступал со старым Кли в философско-политические дискуссии (О. Ю. Шмидт, как известно, блестяще владел немецким языком и имел дар поддерживат разговор с самыми различными собеседниками). Среди математиков, бывавших у Кли, хорошо плавали почти все. Из учеников Эмми Нётер особенно отличались Ван дер Варден, Грелль 3, Дойринг 4, который был и хорошим гимнастом, великолепно владевшим турником и брусьями. Что же касается Куранта, то он в 1958 г., уже на 71-м году жизни, переплывал раздувшуюся после дождей реку Везер, что было не так просто и для более молодых участников заплыва — течение в Везере всегда было сильным.

Оживлённо и весело бывало у Кли, но оживлённо и в серьёзном смысле слова. Каких только бесед ни велось на берегах водоёма у реки Лайне под росшими там деревьями. Пишущий эти строки был свидетелем того, как Гильберт рассказывал на этих берегах основные идеи своей ещё не вышедшей тогда из печати работы «О бесконечности». (Эта знаменитая работа, вскоре напечатанная в «Acta Mathematica», находилась тогда в центре внимания и интересов математиков.) Не одна работа молодых тогда математиков была задумана «у Кли» и впервые там изложена и обсуждена.

Эта так бурно кипевшая жизнь математического Гёттингена, жизнь разнообразная, творческая, радостная, жизнь, распространявшая вокруг себя столько света и тепла, в 1933 г., с приходом к власти Гитлера вдруг, как бы ударом костыля злого волшебника-человеконенавистника, перестала существовать. Математический институт, только что поселившийся в своём прекрасном новом здании, опустел. Из его основных сотрудников одни были изгнаны из него (Р. Курант, Э. Нётер, Г. Леви), другие (Зигель, Герман Вейль, Фридрихс, Нейгебауэр) сами покинули его. Место, только что бывшее (по образному выражению Гильберта) цветущим волшебным садом математики, стало пустырём, заросшим бурьяном. Гильберт перестал бывать в институте и более не выходил за пределы своего дома. Он тяжело переживал своё одиночество и постепенно приходил в состояние глубокого физического и духовного упадка. В этом состоянии он и умер в 1943 г. Эмми Нётер уехала в Америку и стала профессором женского университета в Пенсильвании (там она и умерла весною 1935 г. после хирургической операции). Г.  Леви оказался в Калифорнии, где стал одним из ведущих профессоров Калифорнийского университета в Беркли. Как уже упоминалось, уехал в эмиграцию и Курант — сначала в Англию, а потом в США. Он с семьей поселился в маленьком городке Нью-Рошель (фактически пригород Нью-Йорка).

В Нью-Йоркском университете Курант нашёл математическую жизнь в состоянии крайнего запустения и ему пришлось на пустом месте создавать свою новую, уже американскую, школу. Что касается Нейгебауэра, то ещё в гёттингенский период своей жизни он с большим увлечением и успехом стал работать в области истории математики (главным образом, древней) и уже давно стал одним из крупнейших мировых авторитетов в этой области науки. В Америке его научная работа сосредоточена в Брауновском университете (Провиденс) и в знаменитом Принстонском институте высших исследований (Принстон). Но и Принстон, и Провиденс расположены в ближайшей окрестности Нью-Йорка, где лежит и городок Нью-Рошель. Таким образом, Нейгебауэр, бывший до конца жизни Куранта его ближайшим и преданным другом, и территориально всегда находился рядом с ним. Материальным памятником этой дружбы остаётся ныне существующее здание Гёттингенского математического института, выстроенное в результате большой совместной работы Куранта и Нейгебауэра. Зигель до сих пор работает в этом институте с момента возвращения из своей добровольной эмиграции или, как он говорит, изгнания, длившегося до конца гитлеровского владычества в Германии. Остальные математики, работающие сейчас в Гёттингенском математическом институте — учёные значительно более молодых поколений. К старшим среди них принадлежит алгебраист Макс Дойринг, ученик Эмми Нётер, уже упоминавшийся выше. При входе в здание Гёттингенского математического института стоит скульптурный портрет великого учёного, прославившего и этот институт, и город, и страну, где он жил — скульптурный портрет Давида Гильберта.

В последний раз перед войною я был в Гёттингене осенью 1932 г. Как будто всё ещё было по-старому: в Математическом институте шли семинары ж читались лекции. Не прекращались и музыкальные вечера в доме Курантов. Но атмосфера в Гёттингене, как и во всей Германии, была тревожная, чувствовалось, что надвигается что-то недоброе, страшное. Толпы гитлеровской молодежи уже ходили по городу со своими песнями. Было ясно, что переворот приближается. Я стал собираться домой. Один из последних дней ноября был назначен днём моего отъезда из Гёттингена в Москву. Я сделал прощальные визиты и к Гильберту и к Герману Вейлю, который за год до этого сделался преемником Гильберта по его кафедре и переехал из Цюриха в Гёттинген, но, как оказалось, ненадолго. День закончился прощальным вечером у Куранта. Это было моё прощанье с Гёттингеном, и все участники этого вечера понимали, что прощанье это — надолго. Было много народа; кроме хозяев и обычных посетителей курантовских вечеров, была Эмми Нётер и ещё несколько молодых математиков. На прощанье было сыграно трио Шуберта (Es-dur). Исполнителями были Кон-Фоссен (фортепиано), Леви (скрипка) и Нина Курант (виолончель). С тех пор прошло больше 40 лет, но я не забыл никакой детали этого вечера, затянувшегося на всю ночь. Мой поезд отходил около 5 часов утра и все участники этого вечера во главе с Курантами и Эмми Нётер проводили меня на вокзал. Все собравшиеся тогда больше в таком составе не собирались. С Эмми Нётер я больше не виделся. С Курантом я виделся потом ещё неоднократно. Он был большим другом нашей страны и многих советских математиков. В последний раз Курант со своей женой были в СССР весною 1970 г.; они были гостями Академии наук СССР. Курант, как иностранный член Академии наук СССР, был участником торжественной сессии АН СССР, посвященной столетию со дня рождения В. И. Ленина.

Виделся я с Курантом после войны и на многих международных съездах, виделся и в Гёттингене — последний раз в 1958 г.; мы были и на бывшей территории Кли и вместе ездили на реку Везер. Как часто устраивались туда экскурсии с участием Куранта и его учеников в прежние годы! Последнее письмо, полученное мною от Куранта в конце 1971 г., было написано им непосредственно перед его последним заболеванием. Летом 1971 г. Курант провёл некоторое время вместе с Зигелем в Швейцарии, и Зигель рассказывал мне об этой их последней встрече. Последнее же письмо Куранта ко мне было всё посвящено заботам об одном моём больном ученике, а именно заботе о том, как достать необходимое ему лекарство, которого тогда ещё не было в продаже ни в СССР, ни за границей. Заботы и хлопоты Куранта увенчались успехом — нужное лекарство было мне выслано бесплатно непосредственно изготовлявшей его английской фирмой. Всё это было меньше, чем за два месяца до смерти Куранта.

Я заканчиваю написанное мною этим эпизодом. Уж очень отразился в нём Курант — человек, не только выдающегося интеллекта, но и большого, горячего сердца, человек, обладавший, как немногие, даром подлинной дружбы, человек, умевший и желавший любить и заботиться о тех, кто были его друзьями.


3

Расположенный в восточной части ФРГ, вдали от основных магистралей и крупных промышленных центров, Гёттинген, указанный во всех туристских проспектах как прославленный университетский город, после второй мировой войны перестал быть самым крупным математическим центром страны. Тем не менее университет вырос, увеличилось число студентов. Небольшое серое здание простой архитектуры, построенное под руководством Р. Куранта в двадцатые годы, уже не вмещает всех сотрудников Математического института и поэтому институт арендует несколько квартир в близлежащих домах для кабинетов своих сотрудников. Живописно расположенный среди покрытых густыми лесами гор, небольшой и относительно спокойный город хранит в себе память о прославивших его учёных. Внутри города проходит полуразрушившаяся старинная крепостная стена, превращающаяся местами в дорогу, излюбленное место прогулок горожан. Недалеко от Математического института находится памятник Гауссу и Веберу, а в городском парке, когда-то составлявшем территорию кладбища, посреди лужайки одиноко стоит простой гранитный обелиск с барельефом и надписью «Карл Фридрих Гаусс, 1778–1855». Это — сохранившаяся могила величайшего математика прошлого века. Улицы Гёттингена, названные именами Гаусса, Римана, Клейна, Гильберта, ничем не отличаются от других улиц. На них, как и на других улицах города, по обе стороны, кое-где залезая на тротуар, сплошными рядами стоят автомашины, а за заборами, утопая в зелени в цветниках, стоят одноэтажные и двухэтажные дома преподавателей университета и других жителей города. В центре города проезд автомашин запрещён. Около здания ратуши находится чудесный старинный фонтан со скульптурой девушки, держащей в руках гуся. Как говорили мне математики, по старой традиции диссертант после защиты докторской диссертации в университете направляется сюда в сопровождении друзей, чтобы поцеловать эту девушку.

Математический институт несёт на себе отпечаток славы былых времён. В коридорах находится множество шкафов с математическими моделями, сделанными по инициативе и указанию Ф. Клейна, которые он очень любил. На втором этаже находится зал, в котором происходили во времена Гильберта и Куранта и происходят сейчас заседания Гёттингенского математического общества и математического семинара института. Параллельно длинной, установленной вдоль стены доске поставлены ряды очень широких, тяжёлых, старинных столов и высоких кресел. На боковых стенах висят большие, написанные маслом портреты Ф. Клейна и Д. Гильберта, а на стене, противоположной доске, висят в ряд большие фотографии многих знаменитых математиков и в их числе фотография Павла Сергеевича Александрова. Как приятно делать научный доклад в этом зале, где раньше бывали и символично присутствуют и сейчас великие математики, имена которых известны нам с ранней юности! За час до заседания семинара (обычно около 5 часов вечера) математики собираются в одной из комнат института, где подаётся чай и кофе, ведутся научные беседы и обсуждения последних математических новостей, происходит знакомство с приехавшими гостями-математиками, которые, как правило, являются докладчиками на предстоящем заседании семинара. На одном из столов для ознакомления разложены самые последние, только что вышедшие научные математические журналы. Было приятно видеть среди них и переводы «Трудов Московского математического общества», «Вестника Московского университета» и других советских журналов.

В Гёттингенском университете работают в настоящее время такие известные математики, как Зигель, Грауэрт, Гейнц, Кнезер и другие. В Гёттингене находится основанный в 1907 г. Л. Прандтлем аэродинамический институт. В настоящее время его возглавляет Г. Шлихтинг. Институт проводит обширные теоретические и экспериментальные исследования.

Таким представлялся Гёттинген в 1973 г.


4

Далее коротко рассказано о некоторых из научных работ Р. Куранта. Большое число его работ посвящено принципу Дирихле, конформным отображениям и минимальным поверхностям. Эти вопросы, как мы уже упоминали, рассматриваются в его докторской диссертации 1910 г. и к этим вопросам он обращается неоднократно в последующие годы. Все эти проблемы связаны с задачами вариационного исчисления. Вопрос о нахождении минимума функционала в классических задачах вариационного исчисления сводится, как известно, к нахождению решения дифференциального уравнения. Однако решение таких уравнений может представлять большие трудности. Математики XIX века пытались обойти эти трудности замечанием, что если функционал положителен, то существование функции, на которой достигается минимум функционала и которая является решением дифференциального уравнения, очевидно. Эти соображения Риман назвал принципом Дирихле и положил его в основу созданной им геометрической теории функций, одного из центральных математических достижений XIX века. В 1869 г. К. Вейерштрасс опубликовал критику принципа Дирихле. Эта работа произвела огромное впечатление на математиков того времени. Риману не удалось найти ответ на возражения Вейерштрасса. Не удалось спасти принцип Дирихле и другим математикам того времени. Сохранить теорию Римана стало важным стимулом развития математического анализа. Успех был достигнут лишь 50 лет спустя в работах Д. Гильберта. Гильберт доказал, что соответствующие вариационные задачи действительно имеют решение. Диссертация Р. Куранта, написанная под руководством Д. Гильберта, упростила и модифицировала подход Гильберта и применила принцип Дирихле к фундаментальным проблемам геометрической теории функций и теории минимальных поверхностей. Сейчас принцип Дирихле превратился в инструмент такой же гибкий и простой, каким его представлял себе Риман. Принцип Дирихле явился отправным пунктом для развития так называемых прямых методов вариационного исчисления, важных как для самой математики, так и для ее приложений. Большой вклад в развитие этих методов внесли Р. Курант и его школа. Принцип Дирихле в форме, близкой к той, в которой он впервые был высказан, можно сформулировать следующим образом: задана область G, граница γ которой состоит из жордановых кривых. Пусть g(xy) — функция, непрерывная в GÈγ, кусочно-гладкая в G и обладающая конечным интегралом Дирихле

 D [g] =     {( g

x

) 2  +   ( g

y

) 2 }  dx dy.
G

Рассмотрим класс всех функций φ, непрерывных в GÈγ, кусочно-гладких в G и таких, что φ=g на γ. Тогда задача отыскания функции φ, для которой интеграл D[φ] достигает своего минимума d, имеет единственное решение φ=u. Функция u решает краевую задачу для уравнения Δu=0 в области G с граничным условием u=g на γ.

С принципом Дирихле связана также одна важная классическая экстремальная задача анализа и геометрии — задача Плато. Начиная с самого раннего периода развития вариационного исчисления многие крупные математики брались за решение задачи отыскания поверхностей наименьшей площади, натянутых на заданную кривую. Физические эксперименты, например, опыты бельгийского физика Плато, приводили к интуитивному убеждению, что такого рода задачи разрешимы. Действительно, если погрузить замкнутый проволочный контур в мыльный раствор, то образуется пленка, которая по закону поверхностного натяжения принимает в качестве своего положения равновесия форму минимальной поверхности, натянутой на контур. Участникам Советско-американского симпозиума в Новосибирске хорошо запомнились демонстрации такого рода опытов Р. Курантом во время его доклада. Вопреки мнению некоторых физиков, считавших строгие доказательства существования излишними, Курант считал, что только строгое доказательство существования может убедить в том, что данное математическое описание физического явления не лишено смысла. Задача Плато, т.е. доказательство существования минимальной поверхности, натянутой на заданный замкнутый контур, в течение долгого времени не поддавалась решению. Риман, Вейерштрасс, Шварц, Дарбу и другие математики, связав эту задачу с теорией гармонических функций, дали её решение в ряде частных случаев. Первые общие теоремы существования получили в 1939 г. Радо и Дуглас. Курант и его ученики применяли принцип Дирихле к решению классических и новых задач, связанных с минимальными поверхностями, развивая при этом общие методы вариационного исчисления. Их методы оказались применимыми также к задачам об устойчивом равновесии минимальных поверхностей с фиксированными и свободными границами и к задачам о неустойчивых минимальных поверхностях. Эти результаты изложены в книге Р. Куранта «Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности».

Многие важные результаты, полученные Курантом и его учениками, изложены в двухтомной монографии «Методы математической физики». Как указывает Р. Курант, в этих книгах излагаются преимущественно те вопросы, в существо или форму изложения которых ему удалось внести нечто новое. При этом преследовалась цель сделать важные ветви анализа более доступными и прозрачными и тем облегчить путь для дальнейших исследований. Русский перевод этих книг появился впервые в 1933 г. (I том) и в 1945 г. (II том), а затем оба тома были переизданы в 1951 г. В 1964 г. в издательстве «Мир» вышел русский перевод нового издания II тома, который выпущен в 1962 г. в США и, по существу, является новой книгой. В ней нашло своё отражение всё развитие теории уравнений с частными производными за период с 1937 по 1962 г., последовавший после выхода в свет её первого издания.

Первый том монографии содержит, в частности, созданную Р. Курантом вариационную теорию собственных функций. Теория Куранта, удивительная по своей красоте и завершённости, нашла впоследствии многочисленные приложения. Эта теория является одним из лучших достижений современного анализа. В этом же томе дано новое изложение теории интегральных уравнений Фредгольма, также принадлежащее Куранту.

В 1928 г. была опубликована знаменитая работа Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви «О разностных уравнениях математической физики», посвящённая применению метода конечных разностей к изучению уравнений с частными производными. Эта работа сыграла выдающуюся роль в развитии теории уравнений с частными производными, в разработке приближённых методов решения задач теории дифференциальных уравнений и математической физики, в развитии той области математики, которую мы сейчас называем численный анализ или вычислительная математика и которая даёт математические методы, насущно необходимые для эффективного использования современных вычислительных машин в проблемах математической физики и техники. Ранее метод конечных разностей применялся в ряде других работ для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. В 1924 г. существование решения задачи Дирихле методом конечных разностей при широких предположениях о границе области было доказано в известной работе Л. А. Люстерника. В работе Р. Куранта, К. Фридрихса, Г. Леви метод конечных разностей был применён для доказательства существования и приближённого построения решений задачи Коши и краевых задач для уравнений различных типов. В этой работе впервые было показано, что соотношение шагов по временной и пространственным переменным в разностных уравнениях, соответствующих задачам для дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа, должно быть подвергнуто некоторому ограничению, чтобы обеспечить сходимость и устойчивость разностной схемы» Это соотношение вычислители и прикладные математики в обиходе часто называют курантом.

В 1948 г. вышла из печати книга Р. Куранта и К. Фридрихса «Сверхзвуковые течения и ударные волны», посвящённая математическим вопросам газовой динамики и предназначенная для математиков, физиков и инженеров. Эта книга переведена на русский язык в 1950 г. В 1941 г. была опубликована популярная книга Р. Куранта и профессора Колумбийского университета Г. Роббинса «Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам».

В 50-е годы ряд работ Р. Куранта был посвящён изучению задачи Коши для линейных и квазилинейных систем уравнений гиперболического типа. Им доказано существование решения задачи Коши в малом для квазилинейной гиперболической системы с двумя независимыми переменными методом характеристик при слабых предположениях о гладкости начальных функций, а также методом конечных разностей. При этом указан порядок погрешности для приближённого решения и исследовано влияние ошибок округления для указанных им конечно-разностных схем. В работе «О распространении разрывов в волновом движении» (1956), написанной совместно с П. Лаксом, был сформулирован обобщённый принцип Гюйгенса для гиперболических уравнений и исследован вопрос о характере разрывов обобщённого решения задачи Коши, соответствующего начальным функциям, обладающим разрывами на некоторых многообразиях, лежащих в гиперплоскости, где заданы начальные условия. Структура такого решения задачи Коши была выявлена на достаточно малом промежутке времени. Эта работа Р. Куранта и П. Лакса имела в дальнейшем многочисленные продолжения. В частности, в последующих работах ряда математиков была выявлена структура решения задачи Коши с разрывными начальными функциями для любого промежутка времени.

Рихарду Куранту принадлежит ряд статей общего характера о математическом образовании, о приложениях математики, о вычислительной математике, а также статьи о Феликсе Клейне, Бернгарде Римане, Г. Миттаг-Лёффлере, Карле Фридрихе Гауссе, Франце Реллихе.


Примечания
1.

На ней стоит Гёттинген. Она упоминается великим поэтом Г. Гейне. назад к тексту

2.

С последним связана следующая занимательная история. Будучи постоянным посетителем университетской купальни, Л. Прандтль неоднократно предупреждал (главным образом, студентов) об опасности прыжков в воду непосредственно с плотины, т.е. прыжков в самый водопад (эти прыжки были запрещены и в особом объявлении). Прандтль компетентно разъяснял, что непосредственно под водопадом образуется так называемое мёртвое пространство, попав в которое пловец рискует погибнуть. Все посетители купальни отнеслись к предупреждению Прандтля с большим вниманием и в течение долгого времени правила предосторожности строго соблюдались. Но вот однажды какой-то молодой студент всё-таки прыгнул в водопад, был сразу схвачен потоком и благополучно вынесен им к противоположному берегу водоема. Потом молодой человек несколько раз повторил свой эксперимент — с тем же благополучным исходом. Затем несколько товарищей смелого студента последовали его примеру, и скоро прыжки в водопад стали излюбленным развлечением купающейся молодежи, развлечением, не омрачённым никакой аварией. Прандтль посмеялся и признал своё поражение. назад к тексту

3.

Теперь видный математик ГДР, член Берлинской академии наук. назад к тексту

4.

Ныне профессор Гёттингенского университета. назад к тексту



Список   печатных   работ   Р. Куранта
 
1910
1.

Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, Inaugural—Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde der hohen philosophischen Fakultät der Georg-August Universität zu Göttingen, Göttingen, W. Fr. Kaestner.

2.

Zur Bergündung des Dirichletschen Prinzipes, K. Gesellschaft der Wissenchaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1–7.

 
1912
3.

Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, Math. Ann. 71:2, 145–183.

4.

Über die Methode des Dirichletschen Prinzipes, Math. Ann. 72:4, 517–550.

 
1913
5.

Geometrische und philosophische Untersuchungen über den Raum, Handwörterbuch der Naturwissenschaften 8, 120–123.

 
1914
6.

Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1–9.

7.

Über die Existenztheoreme der Potential- und Funktionentheorie, J. für Reine u. Angew. Math. 144:3, 190–211.

8.

Neue Anwendung der Theorie der diophantischen Approximationen auf die Riemannsche Zetafunktion, J. für Reine u. Angew. Math. 144:4, 249–274 (with H. Bohr).

 
1918
9.

Beweis des Satzes, dass von alien homogenen Membranen gegebenen Umfanges und gegebener Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton besizt, Math. Z. 1:2/3, 321–328.

 
1919
10.

Über die Abhängigkeit der Schwingungszahlen einer Membran von ihrer Begrenzung und über asymptotische Eigenwertverteilung, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1–10.

11.

Über konforme Abbildung von Bereichen, welche nicht durch alle Rückkehrschnitte zerstückelt werden, auf schlichte Normalbereiche, Math. Z. 3:1/2, 1–9.

 
1920
12.

Über die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen Physik, Math. Z. 7:1/4, 1–57.

 
1922
13.

Zur Theorie der kleinen Schwingungen, Z. für Angew. Math. und Mech. 2, 278–285.

14.

Bemerkung zu meiner Note «Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung», K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1–2.

15.

Über ein konvergenzerzeugendes Prinzip in der Variationsrechmmg, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 144–150.

16.

Über die Lösungen der Differentialgleichungen der Physik, I. Mitteilung, Math. Ann. 85, 280–325.

17.

Über die Schwingungen eingespannter Flatten, Math. Z. 15:3/4, 195–200.

 
1923
18.

Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differentialausdrücke, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1–4.

19.

Zur Theorie der linearen Integralgleichungen. Math. Ann. 89:3/4, 161–178.

 
1925
20.

Über direkte Methoden der Variationsrechnung zur Lösung von Randwertaufgaben, International Congress for Applied Mechanics. Proceedings, Delft, 1–8.

21.

Über die Theorie der linearen partiellen Differenzengleichungen, Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 1–12.

22.

Über eine neue Klasse von ko variant en Funktionalausdrücken, welche aus Variationsproblemen entspringen, Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, 111–117.

23.

Felix Klein, Die Naturwissenschaften 13:37, 765–772.

24.

Über direkte Methoden bei Variations- und Randwertproblemen, Deutschen Math. Verein. J. 34:5/8, 90–117.

 
1926
25.

Felix Klein als wissenschaftlicher Führer, Gedächtnisrede, gehalten in der öffentlichen Sitzung am 8 Mai 1926, Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Geschäftliche Mitteilungen, 1–8.

26.

Über die Anwendung der Variationsrechnung in der Theorie der Eigenschwingungen und über neue Klassen von Funktionalgleichungen, Acta Math. 49, 1–68.

27.

Über Randwertaufgaben bei partiellen Differenzengleichungen, Z. Angew. Math. u. Mech. 6, 322–325.

28.

Über langsam veränderliche Wechselströme in der Erde und einige Fragen der Geophysik, Die Naturwissenschaften 14:4, 61–64.

29.

Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre, Die Naturwissenschaften 14:36, 813–818.

 
1927
30.

Über direkte Methoden in der Variationsrechnung und über verwandte Fragen, Math. Ann. 97, 711–736.

31.

G. Mittag-Leffler, Aus den Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Geschäftliche Mitteilungen, 67–68.

 
1928
32.

Über partielle Differenzengleichungen, Congresso Internazionale dei Matematici. Atti 6, 83–89, Bologna, September 3–10.

33.

Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik (with K. Friedrichs and H. Lewy) Math. Ann. 100:1/2, 32–74. (Русск. дерев.: О разностных уравнениях математической физики, УМН, вып. VIII (1940), 125–160.)

 
1929
34.

Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen von Adolf Hurwitz, herausgegeben und ergänzt durch einen Abschnitt über geometrische Funktionentheorie von R. Courant, Berlin, Julius Springer. (Русск. перев.: Геометрическая теория функций комплексной переменной, Л.—М., ОНТИ, 1934.)

 
1930
35.

Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Vol. 1, Funktionen einer Veränderlichen, Berlin, Julius Springer. (Русск. перев.: Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. I. Функции одного переменного, М., ГТТИ, 1931; М., «Наука», 1967.)

 
1931
36.

Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung, Vol. 2, Funktionen mehrerer Veränderlicher, Berlin, Julius Springer. (Русск. перев.: Курс дифферециального и интегрального исчисления, ч. 2. Функции многих переменных, М., ГТТИ, 1931; М., «Наука», 1970.)

37.

Neue Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip, J. Reine u. Angew. Math. 165, 247–256.

38.

Methoden der mathematischen Physik, B. 1, Berlin, Julius Springer (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, v. 12) (with D. Hilbert). (Русск. перев.: Методы математической физики, т. 1, М.—Л., ОНТИ, 1933, 1951.)

 
1936
39.

On the problem of Plateau, Nat. Acad. Sci. Proc. 22:6, 367–372.

40.

On the theory of conformal mapping, Nat. Acad. Sci. Proc. 22:6, 373–375.

41.

Remarks on the initial value problem of the general partial differential equation of the first order, Amer. Math. Soc. Bull. 43:12, 862–868.

 
1937
42.

Plateau's problem and Dirichlet's principle, Ann. Math. 38:3, 679–724.

43.

Methoden der mathematischen Physik. Band 2, Berlin, Julius Springer (with D. Hilbert). (Русск. перев.: Методы математической физики, т. 2, М., Гостехиздат, 1945, 1951.)

 
1938
44.

The existence of a minimal surface of least area bounded by prescribed Jordan arcs and prescribed surfaces, Nat. Acad. Sci. Proc. 24:2, 97–101.

45.

Mathematical education in Germany before 1933, Amer. Math. Monthly 45:9, 601–607.

46.

Remarks on Plateau's and Douglas' problem, Nat. Acad. Sci. Proc. 24:11, 519–523.

 
1939
47.

Conformal mapping of multiply connected domains, Duke Math. J. 5:4, 814–823.

 
1940
48.

The existence of minimal surfaces of given topological structure under prescribed boundary conditions, Acta Math. 72:1/2, 51–98.

49.

Minimal surfaces spanning closed manifolds, Nat. Acad. Sci. Proc. 26:3, 194–199 (with N. Davids).

50.

Soap film experiments with minimal surfaces, Amer. Math. Monthly 47:3, 168–174.

51.

The existence of minimal surfaces under given boundary conditions, Acta Math. 72, 51–98.

52.

A general theorem on conformal mapping of multiply connected domains, Nat. Acad. Sci. Proc. 26:8, 503–507 (with Manel and M. Shiffman).

 
1941
53.

Critical points and unstable minimal surfaces, Nat. Acad. Sci. Proc. 27:1, 51–57.

54.

On the first variation of the Dirichlet—Douglas integral and on the method of gradients, Nat. Acad. Sci. Proc. 27:5, 242–248.

55.

On a generalized form of Plateau's problem, Amer. Math. Soc. Trans. 50:1, 40–47.

56.

The conformal mapping of Riemann surfaces not of genus zero, Universidad Nacional de Tucuman. Series A. Revista 2:1/2, 141–149, Argentina.

57.

What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods, New York, Oxford University Press (with H. Robbins). (Русск. перев.: Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов, М.—Л., Гостехиздат, 1947.)

58.

On a method for the solution of boundary value problems, In: Theodore von Karman (anniversary volume), Contributions to applied mechanics and related subjects..., Pasadena, California Institute of Technology, 189–194.

 
1943
59.

Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Amer. Math. Soc. Bull. 49, 1–23.

 
1945
60.

On Plateau's problem with free boundaries, Nat. Acad. Sci. Proc. 31:8, 242–247.

 
1948
61.

Supersonic flow and shock waves, New York, Interscience Publishers (with K. O. Friedrichs). (Русск. перев.: Сверхзвуковое течение и ударные волны, М., ИЛ, 1950.)

 
1949
62.

On non-linear partial differential equations with two independent variables, Comm. Pure and Appl. Math. 2:2/3, 255–273 (with P. Lax).

 
1950
63.

Dirichlet's principle, conformal mapping, and minimal surfaces, New York, Interscience Publishers. (Русск. перев.: Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, М., ИЛ, 1953.)

64.

Method of characteristics for the solution of non-linear partial differential equations, Symposium on theoretical compressible flow, 28 June 1949. Naval Ordnance Laboratory, White Oak, Md. Rep. NOLR–1132, 61–71 (with P. Lax).

65.

Die Bedeutung der modernen mathernatischen Rechenmaschinen für mathematische Probleme der Hydrodynamik und Reaktortechnik, Sonderdruck aus Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein—Westfalen, Heft 59.

 
1952
66.

On the solution of non-linear hyperbolic differential equations by finite differences. Comm. Pure and Appl. Math. 5:3, 243–255 (with. E. Isaacson and M. Rees).

 
1953
67.

Methods of mathematical physics, First English edition. Vol. 1, New York, Interscience Publichers, 561 p. (with D. Hilbert).

68.

On the classification of partial differential equations, In: Scientific papers presented to Max Born, 29–32.

 
1954
69.

Remarks and problems concerning hyperbolic systems, Convegno Internazionale sulle equazioni lineari alle derivate parziali, Trieste, 168–173.

 
1955
70.

Remarks on Cauchy's problem for hyperbolic partial differential equations with constant coefficients in several independent variables, Comm. Pure and Appl. Math. 8, 497–502 (with P. Lax).

71.

Cauchy's problem for hyperbolic differential equations, Ann. Matem. Pure and Appl. 40, 161–166 (with P. Lax).

72.

Cauchy's problem for non-linear hyperbolic differential equations in two independent variables, Ann. Matem. Pure and Appl. 39–40, 571–577 (with. P. Lax).

73.

Gauss and die gegenwärtige Situation der exakten Wissenschaften, In: Carl Friedrich Gauss, Berlin, Musterschmidt, 13–27.

 
1956
74.

Hyperbolic partial differential equations and applications, In: Modern Mathematics for the Engineer, E. F. Beckenbach, ed., 92–109.

75.

Methods of applied mathematics, In: Recent advances in science: physics and applied mathematics, M. H. Shamos and G. M. Murphy, ed. 1–15.

76.

On the partial difference equations of mathematical physics, N.Y.U. NYO—7689 (with K. Friedrichs and H. Lewy).

77.

The propagation of discontinuities in wave motion, Nat. Acad. Sci. Proc. 42:11, 872–876 (with P. Lax).

 
1957
78.

Franz Rellich zum Gedächtnis, Math. Ann. 133, 185–190.

 
1959
79.

Distributions as tools for the generalization of Riemann's formula for hyperbolic differential equations, Calcutta Math. Soc. Golden Jubilee Commemoration Volume, Part II (with D. Ludwig).

 
1960
80.

Mathematics: Its uses and rewards (Interview) Challenge, the magazine of economic affairs, April.

81.

Remarks about the Rayleigh—Ritz method, In: Boundary Problems in Differential Equations, R. E. Langer, ed., The University of Wisconsin Press, Madison.

82.

General problems confronting computing centres, UNESCO, Impact Sci. Soc. 11:3, 159.

 
1961
83.

Cauchy's problem for hyperbolic quasi-linear systems of first order partial differential equations in two independent variables, Comm. Pure and Appl. Math. 14:3, 257–265.

 
1962
84.

Methods of mathematical physics, First English edition, Vol. II, Partial Differential Equations, New York, Wiley-Interscience, 830 p. (with D. Hilbert). (Русск. перев.: Уравнения с частными производными, М., «Мир», 1964.)

 
1963
85.

Unsolved problems conserning least area (with experimental demonstrations), Outlines of the Joint Soviet-American symposium on partial differential equations, Novosibirsk, 305–307.

 
1964
86.

Mathematics in the Modern World, Sci. Amer. 211:3, 41–49.

 
1965
87.

The least dense lattice packing of two-dimensional convex bodies, Comm. Pure and Appl. Math. 18:1/2, 339–343.

 
1970
88.

Introduction to calculus and analysis. Interscience, New York, vol. I (with F. John).

 
1974
89.

Introduction to calculus and analysis. Interscience, New York, vol. II (with F. John).


Hosted by uCoz