Имя Рихарда Куранта выдающегося математика нашего времени, крупнейшего организатора математического образования и научных исследований, автора замечательных монографий и учебников широко известно среди учёных всего мира.
Р. Курант родился 8 января 1888 г. в Германии. Он учился в университете в Гёттингене и принадлежал к числу непосредственных учеников Д. Гильберта. В 1910 г. он получил степень доктора за работу
Об этом периоде жизни Куранта сказано подробнее в п. 2. В частности, в эти годы была создана классическая двухтомная монография, во всём мире известная под названием «КурантГильберт, Методы математической физики». Эти книги написаны Курантом при поддержке его учеников. Однако Курант считал влияние идей своего учителя Д. Гильберта на весь этот труд настолько значительным, что с согласия Гильберта эти монографии были выпущены как произведение двух авторов. На этих книгах воспитывались многие поколения физиков и математиков, работающих в различных областях анализа и теории уравнений с частными производными. Эти книги снабдили физиков математическим аппаратом, необходимым для применения созданной в двадцатые годы квантовой механики к практическим проблемам физики.
В 19271929 гг. вышли два тома лекций Р. Куранта по дифференциальному и интегральному исчислению. Эти учебники Р. Куранта, как и другие написанные им книги, излагают живую сущность науки и, сохраняя полную математическую строгость и точность, отводят подобающее место интуиции, как основному источнику математического познания, прививают читателю навыки сознательно и свободно ориентироваться в приложениях. Эти учебники много раз переиздавались, переведены на многие языки и широко используются вплоть до настоящего времени. Они хорошо известны в СССР.
Р. Курант считал, что научный прогресс должен быть представлен не только в специальных статьях, опубликованных в периодических журналах, но и в замкнутых в себе монографиях и учебниках повышенного типа, в которых исследования автора комбинируются с широким обзором. Придавая важное значение выпуску таких книг для дальнейшего развития математической науки, Р. Курант основал в издательстве Шпрингера и долгое время редактировал серию монографий по различным разделам математики под общим названием «Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen», до сих пор занимающую выдающееся место во всей мировой математической литературе. Вместе с О. Нейгебауэром Курант издал замечательные лекции Ф. Клейна по истории математики XIX века.
Р. Курант впервые приехал в США в 1932 г. как приглашённый профессор (visiting professor) в Принстонский и Калифорнийский университеты. В 1933 г. после разгрома Математического института в Гёттингене нацистским правительством Р. Курант навсегда покидает Германию, уехав сначала в Англию, где в течение года он был профессором в Кембриджском университете, а затем в 1934 г. в США. Он становится приглашённым профессором
В то же время он привлёк для работы в
В 1958 г. в связи с возрастом и в соответствии с законами США Р. Курант покинул пост официального директора Математического института. Этот пост был передан Дж. Стокеру. Однако и после этого активная деятельность Р. Куранта в
В марте 1965 г. Курантовский институт переехал в новое огромное четырнадцатиэтажное здание на Мерсер-стрит, недалеко от площади Вашингтона. В 1965 г. Курантовский институт имел в своем составе 346 учёных-исследователей, администраторов и служащих, из них около 100 учёных со степенью доктора, а также более 600 студентов старших курсов математиков (graduate students) и аспирантов, проходящих обучение при Институте. (В первые годы своего существования Математический институт был расположен в чердачном помещении, где ранее находилась шляпная фабрика.)
Среди многочисленных диссертаций, написанных под руководством Р. Куранта в различные периоды его деятельности, отметим диссертации таких ныне известных математиков, как Ганс Леви, Отто Нейгебауэр, Курт Фридрихс, Франц Реллих, К. Сциллард, Вольфганг Вазов, Чарльз Деприма, Гарольд Град, Дж. Келлер, Аврон Дуглис, Петер Лакс и других. Однако круг учеников Р. Куранта, математиков, испытавших на себе большое влияние его научных идей, значительно шире. В Курантовском институте математических наук в течение многих лет работают также крупные математики, как К. Фридрихс, Ф. Джон, Дж. Стокер, Л. Ниренберг, П. Лакс, Ю. Мозер, П. Карабедиан, Дж. Шварц, Дж. Глимм, К. Мораветц, Дж. Келлер и другие. Директором Курантовского института математических наук в настоящее время является П. Лакс, сменивший на этом посту Л. Ниренберга. В
За последние 25 лет группа Р. Куранта внесла, в частности, большой вклад в теорию уравнений с частными производными и другие ветви анализа. Сюда относятся, например, замечательные исследования К. Фридрихса по симметрическим и симметризуемым системам, работы Ф. Джона о применении решений вида плоских волн, работы П. Лакса по квазилинейным гиперболическим уравнениям и теории рассеяния, исследования Л. Ниренберга по гладкости обобщённых решений эллиптических систем, работы Ю. Мозера по динамическим системам, работы К. Мораветц по уравнениям смешанного типа, исследования П. Карабедиана по теории функций, работы Дж. Шварца по функциональному анализу и вычислительной математике и многие другие. В Курантовском институте ведутся активные исследования по алгебраической теории чисел, теории групп, теории представлений групп, топологии многообразий, дифференциальной геометрии, дифференциальным и интегральным уравнениям, теории аналитических функций, теории вероятностей, функциональному анализу, классической механике, теории упругости, гидродинамике, магнито-гидродинамике, кинетической теории, статистической механике, квантовой механике и теории поля, динамической метеорологии. Курантовский институт издает, начиная с 1948 г., научный журнал «Communications on Pure and Applied Mathematics», который является одним из лучших в мире журналов по математической физике и анализу в самом широком смысле.
Курантовский институт ежегодно приглашает на различные сроки для чтения лекций и ведения семинаров крупных математиков из многих стран мира. Институт имеет мощный вычислительный центр, обладающий самыми современными электронно-вычислительными машинами.
Две последние книги Р. Куранта посвящены основам математического анализа. Этот двухтомный учебник написан им совместно с Ф. Джоном и вышел из печати в 1970 г. (том I) и в 1974 г. (том II). Над третьим томом «Методов математической физики» Р. Курант работал в течение многих лет. Смерть Р. Куранта 27 января 1972 г. прервала эту работу.
Р. Курант в течение ряда лет входил в состав руководства Международного математического союза (International Mathematical Union). Он был членом Национальной академии наук США. Р. Курант был избран иностранным членом многих академий мира: Национальной академии Линчей (Рим), Академии наук в Гёттингене, Королевской академии наук в Нидерландах, Академии наук Дании. В 1966 г. Р. Курант был избран иностранным членом Академии наук СССР.
Он был почётным членом многих математических обществ и в том числе Московского математического общества. Он имел почётную степень доктора от многих университетов мира. В 1955 г. Р. Курант был приглашён Гёттингенской академией наук прочитать основной доклад на торжественной церемонии в Гёттингене, посвящённой столетию со дня смерти Карла Фридриха Гаусса.
Ученики, коллеги, друзья и все знавшие Р. Куранта ценили его как доброго, участливого, простого и доступного человека. Он запомнился всем как живой, энергичный человек небольшого роста, с копной седых волос, с мягким голосом, человек с тёплым и своеобразным юмором. На первый взгляд трудно было поверить, что этот скромный человек был большим учёным, вдохновляющим учителем и выдающимся деятелем науки.
Р. Курант был страстным лыжником и любителем пешеходных прогулок. Уже в возрасте свыше 70 лет Р. Курант регулярно отправлялся в далекие лыжные и пешеходные прогулки со своими коллегами или учениками, иногда такое путешествие превращалось в «походный научный семинар».
Р. Курант неоднократно бывал в Советском Союзе. Впервые он приехал в СССР в мае 1960 г. как официальный делегат Национальной академии наук США в Академию наук СССР. Куранта сопровождал его любимый ученик и близкий друг П. Лакс. Р. Курант и П. Лакс выступали с научными докладами на заседаниях Московского математического общества, встречались со многими советскими математиками.
В 1963 г. М. А. Лаврентьев и Р. Курант организовали в Новосибирске совместный Советско-американский симпозиум по уравнениям с частными производными. Р. Курант являлся главою американской делегации, состоявшей из 24 математиков. В руководстве этим симпозиумом деятельное участие принимали также И. Н. Векуа и С. Л. Соболев. Это была одна из самых интересных и продуктивных научных конференций, имевших место в последние десятилетия. Особенно много внимания на симпозиуме Р. Курант уделял молодым математикам, уже известным своими исследованиями. Для них в один из вечеров он устроил специальный дружеский приём. Было крайне интересно слушать в беседах с ним его воспоминания о Гильберте, о традициях математической жизни в Гёттингене, иногда передаваемых с тёплым юмором, его взгляды на вычислительную математику, его тревогу по поводу того, что в области вычислительной и машинной математики всё ещё работает недостаточно большое число крупных учёных, о приложениях математики к физическим наукам.
Как иностранный член Академии наук СССР Р. Курант в 1967 г. принимал участие в заседаниях АН СССР, посвящённых
Р. Курант первоначально вошёл в науку как яркий представитель того замечательного и неповторенного в истории математики по своему влиянию на мировую науку сообщества учёных, которое называется гёттингенской математической школой, но в действительности было объединением нескольких математических школ, среди которых школа самого Куранта занимала одно из первых мест.
У истоков всех этих различных школ и направлений математической науки стоял Гильберт, один из величайших математиков нового времени, достойный преемник основоположников гёттингенской математической школы Гаусса и Римана. Гильберт не только сам был великим математиком, он вырастил блестящую плеяду своих учеников, среди которых такие ученые, как Эрхард Шмидт, Герман Вейль, Каратеодори, Гекке, Курант и другие математики, много сделавшие в различных направлениях математической науки. Чрезвычайно большое место в гёттингенской математике занимает великая алгебраистка Эмми Нётер, как по своим собственным математическим результатам, так и по тому глубокому влиянию, которое её идеи и работы, а также работы её учеников оказали на последующее развитие значительной части современной математики. Она не была формально ученицей Гильберта, но по всему духу своего математического творчества была прямой наследницей многих из общематематических идей Гильберта, исключительно высоко ценилась им как математик и, в частности, по его мнению, была самой выдающейся среди всех
Курант стал официально главой этого института и с большим рвением взял на себя работу по планированию и руководству строительством нового здания института. Эту огромную работу разделил с Курантом его старший ассистент Отто Нейгебауэр, который был и до конца жизни Куранта оставался одним из самых близких его друзей.
Возглавив Математический институт Гёттингенского университета, Курант оставался деятельным и вдохновенным руководителем своей собственной математической школы, посвящённой в основном тому, что сейчас называется математической физикой и включает уравнения с частными производными, интегральные уравнения, вариационное исчисление и примыкающие области чистой и прикладной математики, понимаемой в самом широком смысле слова. К первому поколению учеников Куранта принадлежат Ганс Леви, Курт Фридрихс, Фритц
Одной из привлекательнейших особенностей курантовской математической школы являлось то, что участники этой школы были связаны тесными дружескими отношениями как между собой, так и с руководителем школы и были сплочены действительно в единый коллектив. Но этот коллектив не был сектой, доступ в него был широко открыт математикам самых различных специальностей и научных направлений. Так, например, школа Куранта, как известно, была в основном направлена в сторону математической физики и самых широких приложений, а школа Эмми Нётер была школой абстрактной аксиоматической алгебры, далёкой от приложений. Тем не менее обе школы были тесно объединены между собой не только дружескими отношениями их участников, но и сознанием, что именно эти две школы в своей совокупности в значительной степени определяют лицо современной им гёттингенской, а может быть, и не только гёттингенской математики. Обе школы были объединены и общим отношением к математической науке, общей им обеим увлечённостью этой наукой, горячей и бескорыстной любовью к ней, сознанием её совершенства как поразительного создания человеческой мысли и вытекающего из этого совершенства неизбежного её единства, чему нисколько не противоречило различие специальных интересов и устремлений математиков, входивших в эти школы. Идеи единства, внутреннего совершенства математики, её неограниченной познавательной силы, необходимо направленной на благо человечества, были идеями Гильберта, составлявшими его кредо как учёного. Эти идеи составили и кредо как курантовской, так и нётеровской школы.
Двадцатые годы текущего столетия, точнее, время, простиравшееся начиная примерно с 1920 г. и до захвата Гитлером власти над Германией в январе 1933 г., было периодом яркого расцвета гёттингенской математической школы, периодом, когда эта школа была (по всеобщему международному признанию) одним из главных и основных сосредоточий мировой математической мысли, местом, куда стекались со всего мира математики всевозможных направлений и возрастов, местом, где происходил обмен только что возникшими в различных местах математическими идеями и открытиями, местом, откуда эти идеи и открытия потом вновь распространялись по всему свету, чтобы определять направление дальнейшего развития тех или иных математических дисциплин. Короче говоря, Гёттинген был в это время одной из первых математических столиц мира.
Первый раз я был в Гёттингене с П. С. Урысоном в течение летних семестров 1923 и 1924 гг. Тогда же мы познакомились с большинством гёттингенских математиков, самым старшим из которых был Ф. Клейн, а самым молодым Р. Курант. Далее я вспоминаю, например, летние семестры
Гёттингенские математики часто встречались и в своеобразном «водном клубе». Это было расположенное на берегу речки Лайне 1 университетское купальное заведение. Его центром был естественный бассейн, образовавшийся под имевшейся на реке плотиной. В этот бассейн вся речка низвергалась после плотины, образуя довольно эффектный водопад. На берегах росли старые деревья, между ними были зёленые лужайки и кустарники; вся местность кругом была очень живописна и привлекательна. Там были установлены простейшие гимнастические снаряды: турник, параллельные брусья
Оживлённо и весело бывало у Кли, но оживлённо и в серьёзном смысле слова. Каких только бесед ни велось на берегах водоёма у реки Лайне под росшими там деревьями. Пишущий эти строки был свидетелем того, как Гильберт рассказывал на этих берегах основные идеи своей ещё не вышедшей тогда из печати работы «О бесконечности». (Эта знаменитая работа, вскоре напечатанная в «Acta Mathematica», находилась тогда в центре внимания и интересов математиков.) Не одна работа молодых тогда математиков была задумана «у Кли» и впервые там изложена и обсуждена.
Эта так бурно кипевшая жизнь математического Гёттингена, жизнь разнообразная, творческая, радостная, жизнь, распространявшая вокруг себя столько света и тепла, в 1933 г., с приходом к власти Гитлера вдруг, как бы ударом костыля злого волшебника-человеконенавистника, перестала существовать. Математический институт, только что поселившийся в своём прекрасном новом здании, опустел. Из его основных сотрудников одни были изгнаны из него (Р. Курант, Э. Нётер, Г. Леви), другие (Зигель, Герман Вейль, Фридрихс, Нейгебауэр) сами покинули его. Место, только что бывшее (по образному выражению Гильберта) цветущим волшебным садом математики, стало пустырём, заросшим бурьяном. Гильберт перестал бывать в институте и более не выходил за пределы своего дома. Он тяжело переживал своё одиночество и постепенно приходил в состояние глубокого физического и духовного упадка. В этом состоянии он и умер в 1943 г. Эмми Нётер уехала в Америку и стала профессором женского университета в Пенсильвании (там она и умерла весною 1935 г. после хирургической операции). Г. Леви оказался в Калифорнии, где стал одним из ведущих профессоров Калифорнийского университета в Беркли. Как уже упоминалось, уехал в эмиграцию и Курант сначала в Англию, а потом в США. Он с семьей поселился в маленьком городке
В
В последний раз перед войною я был в Гёттингене осенью 1932 г. Как будто всё ещё было
Виделся я с Курантом после войны и на многих международных съездах, виделся и в Гёттингене последний раз в 1958 г.; мы были и на бывшей территории Кли и вместе ездили на реку Везер. Как часто устраивались туда экскурсии с участием Куранта и его учеников в прежние годы! Последнее письмо, полученное мною от Куранта в конце 1971 г., было написано им непосредственно перед его последним заболеванием. Летом 1971 г. Курант провёл некоторое время вместе с Зигелем в Швейцарии, и Зигель рассказывал мне об этой их последней встрече. Последнее же письмо Куранта ко мне было всё посвящено заботам об одном моём больном ученике, а именно заботе о том, как достать необходимое ему лекарство, которого тогда ещё не было в продаже ни в СССР, ни за границей. Заботы и хлопоты Куранта увенчались успехом нужное лекарство было мне выслано бесплатно непосредственно изготовлявшей его английской фирмой. Всё это было меньше, чем за два месяца до смерти Куранта.
Я заканчиваю написанное мною этим эпизодом. Уж очень отразился в нём Курант человек, не только выдающегося интеллекта, но и большого, горячего сердца, человек, обладавший, как немногие, даром подлинной дружбы, человек, умевший и желавший любить и заботиться о тех, кто были его друзьями.
Расположенный в восточной части ФРГ, вдали от основных магистралей и крупных промышленных центров, Гёттинген, указанный во всех туристских проспектах как прославленный университетский город, после второй мировой войны перестал быть самым крупным математическим центром страны. Тем не менее университет вырос, увеличилось число студентов. Небольшое серое здание простой архитектуры, построенное под руководством Р. Куранта в двадцатые годы, уже не вмещает всех сотрудников Математического института и поэтому институт арендует несколько квартир в близлежащих домах для кабинетов своих сотрудников. Живописно расположенный среди покрытых густыми лесами гор, небольшой и относительно спокойный город хранит в себе память о прославивших его учёных. Внутри города проходит полуразрушившаяся старинная крепостная стена, превращающаяся местами в дорогу, излюбленное место прогулок горожан. Недалеко от Математического института находится памятник Гауссу и Веберу, а в городском парке,
Математический институт несёт на себе отпечаток славы былых времён. В коридорах находится множество шкафов с математическими моделями, сделанными по инициативе и указанию Ф. Клейна, которые он очень любил. На втором этаже находится зал, в котором происходили во времена Гильберта и Куранта и происходят сейчас заседания Гёттингенского математического общества и математического семинара института. Параллельно длинной, установленной вдоль стены доске поставлены ряды очень широких, тяжёлых, старинных столов и высоких кресел. На боковых стенах висят большие, написанные маслом портреты Ф. Клейна и Д. Гильберта, а на стене, противоположной доске, висят в ряд большие фотографии многих знаменитых математиков и в их числе фотография Павла Сергеевича Александрова. Как приятно делать научный доклад в этом зале, где раньше бывали и символично присутствуют и сейчас великие математики, имена которых известны нам с ранней юности! За час до заседания семинара (обычно около 5 часов вечера) математики собираются в одной из комнат института, где подаётся чай и кофе, ведутся научные беседы и обсуждения последних математических новостей, происходит знакомство с приехавшими гостями-математиками, которые, как правило, являются докладчиками на предстоящем заседании семинара. На одном из столов для ознакомления разложены самые последние, только что вышедшие научные математические журналы. Было приятно видеть среди них и переводы «Трудов Московского математического общества», «Вестника Московского университета» и других советских журналов.
В Гёттингенском университете работают в настоящее время такие известные математики, как Зигель, Грауэрт, Гейнц, Кнезер и другие. В Гёттингене находится основанный в 1907 г. Л. Прандтлем аэродинамический институт. В настоящее время его возглавляет Г. Шлихтинг. Институт проводит обширные теоретические и экспериментальные исследования.
Таким представлялся Гёттинген в 1973 г.
Далее коротко рассказано о некоторых из научных работ Р. Куранта. Большое число его работ посвящено принципу Дирихле, конформным отображениям и минимальным поверхностям. Эти вопросы, как мы уже упоминали, рассматриваются в его докторской диссертации 1910 г. и к этим вопросам он обращается неоднократно в последующие годы. Все эти проблемы связаны с задачами вариационного исчисления. Вопрос о нахождении минимума функционала в классических задачах вариационного исчисления сводится, как известно, к нахождению решения дифференциального уравнения. Однако решение таких уравнений может представлять большие трудности. Математики XIX века пытались обойти эти трудности замечанием, что если функционал положителен, то существование функции, на которой достигается минимум функционала и которая является решением дифференциального уравнения, очевидно. Эти соображения Риман назвал принципом Дирихле и положил его в основу созданной им геометрической теории функций, одного из центральных математических достижений XIX века. В 1869 г. К. Вейерштрасс опубликовал критику принципа Дирихле. Эта работа произвела огромное впечатление на математиков того времени. Риману не удалось найти ответ на возражения Вейерштрасса. Не удалось спасти принцип Дирихле и другим математикам того времени. Сохранить теорию Римана стало важным стимулом развития математического анализа. Успех был достигнут лишь 50 лет спустя в работах Д. Гильберта. Гильберт доказал, что соответствующие вариационные задачи действительно имеют решение. Диссертация Р. Куранта, написанная под руководством Д. Гильберта, упростила и модифицировала подход Гильберта и применила принцип Дирихле к фундаментальным проблемам геометрической теории функций и теории минимальных поверхностей. Сейчас принцип Дирихле превратился в инструмент такой же гибкий и простой, каким его представлял себе Риман. Принцип Дирихле явился отправным пунктом для развития так называемых прямых методов вариационного исчисления, важных как для самой математики, так и для ее приложений. Большой вклад в развитие этих методов внесли Р. Курант и его школа. Принцип Дирихле в форме, близкой к той, в которой он впервые был высказан, можно сформулировать следующим образом: задана область G, граница γ которой состоит из жордановых кривых. Пусть
D [g] = | ∫ ∫ | {( | ∂g ∂x |
) | 2 | + | ( | ∂g ∂y |
) | 2 | } | dx dy. |
G |
Рассмотрим класс всех функций φ, непрерывных в
С принципом Дирихле связана также одна важная классическая экстремальная задача анализа и геометрии задача Плато. Начиная с самого раннего периода развития вариационного исчисления многие крупные математики брались за решение задачи отыскания поверхностей наименьшей площади, натянутых на заданную кривую. Физические эксперименты, например, опыты бельгийского физика Плато, приводили к интуитивному убеждению, что такого рода задачи разрешимы. Действительно, если погрузить замкнутый проволочный контур в мыльный раствор, то образуется пленка, которая по закону поверхностного натяжения принимает в качестве своего положения равновесия форму минимальной поверхности, натянутой на контур. Участникам Советско-американского симпозиума в Новосибирске хорошо запомнились демонстрации такого рода опытов Р. Курантом во время его доклада. Вопреки мнению некоторых физиков, считавших строгие доказательства существования излишними, Курант считал, что только строгое доказательство существования может убедить в том, что данное математическое описание физического явления не лишено смысла. Задача Плато, т.е. доказательство существования минимальной поверхности, натянутой на заданный замкнутый контур, в течение долгого времени не поддавалась решению. Риман, Вейерштрасс, Шварц, Дарбу и другие математики, связав эту задачу с теорией гармонических функций, дали её решение в ряде частных случаев. Первые общие теоремы существования получили в 1939 г. Радо и Дуглас. Курант и его ученики применяли принцип Дирихле к решению классических и новых задач, связанных с минимальными поверхностями, развивая при этом общие методы вариационного исчисления. Их методы оказались применимыми также к задачам об устойчивом равновесии минимальных поверхностей с фиксированными и свободными границами и к задачам о неустойчивых минимальных поверхностях. Эти результаты изложены в книге Р. Куранта «Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности».
Многие важные результаты, полученные Курантом и его учениками, изложены в двухтомной монографии «Методы математической физики». Как указывает Р. Курант, в этих книгах излагаются преимущественно те вопросы, в существо или форму изложения которых ему удалось внести нечто новое. При этом преследовалась цель сделать важные ветви анализа более доступными и прозрачными и тем облегчить путь для дальнейших исследований. Русский перевод этих книг появился впервые в 1933 г. (I том) и в 1945 г. (II том), а затем оба тома были переизданы в 1951 г. В 1964 г. в издательстве «Мир» вышел русский перевод нового издания II тома, который выпущен в 1962 г. в США и, по существу, является новой книгой. В ней нашло своё отражение всё развитие теории уравнений с частными производными за период с 1937 по 1962 г., последовавший после выхода в свет её первого издания.
Первый том монографии содержит, в частности, созданную Р. Курантом вариационную теорию собственных функций. Теория Куранта, удивительная по своей красоте и завершённости, нашла впоследствии многочисленные приложения. Эта теория является одним из лучших достижений современного анализа. В этом же томе дано новое изложение теории интегральных уравнений Фредгольма, также принадлежащее Куранту.
В 1928 г. была опубликована знаменитая работа Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви «О разностных уравнениях математической физики», посвящённая применению метода конечных разностей к изучению уравнений с частными производными. Эта работа сыграла выдающуюся роль в развитии теории уравнений с частными производными, в разработке приближённых методов решения задач теории дифференциальных уравнений и математической физики, в развитии той области математики, которую мы сейчас называем численный анализ или вычислительная математика и которая даёт математические методы, насущно необходимые для эффективного использования современных вычислительных машин в проблемах математической физики и техники. Ранее метод конечных разностей применялся в ряде других работ для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. В 1924 г. существование решения задачи Дирихле методом конечных разностей при широких предположениях о границе области было доказано в известной работе Л. А. Люстерника. В работе Р. Куранта, К. Фридрихса, Г. Леви метод конечных разностей был применён для доказательства существования и приближённого построения решений задачи Коши и краевых задач для уравнений различных типов. В этой работе впервые было показано, что соотношение шагов по временной и пространственным переменным в разностных уравнениях, соответствующих задачам для дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа, должно быть подвергнуто некоторому ограничению, чтобы обеспечить сходимость и устойчивость разностной схемы» Это соотношение вычислители и прикладные математики в обиходе часто называют курантом.
В 1948 г. вышла из печати книга Р. Куранта и К. Фридрихса «Сверхзвуковые течения и ударные волны», посвящённая математическим вопросам газовой динамики и предназначенная для математиков, физиков и инженеров. Эта книга переведена на русский язык в 1950 г. В 1941 г. была опубликована популярная книга Р. Куранта и профессора Колумбийского университета Г. Роббинса «Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам».
В 50-е годы ряд работ Р. Куранта был посвящён изучению задачи Коши для линейных и квазилинейных систем уравнений гиперболического типа. Им доказано существование решения задачи Коши в малом для квазилинейной гиперболической системы с двумя независимыми переменными методом характеристик при слабых предположениях о гладкости начальных функций, а также методом конечных разностей. При этом указан порядок погрешности для приближённого решения и исследовано влияние ошибок округления для указанных им конечно-разностных схем. В работе «О распространении разрывов в волновом движении» (1956), написанной совместно с П. Лаксом, был сформулирован обобщённый принцип Гюйгенса для гиперболических уравнений и исследован вопрос о характере разрывов обобщённого решения задачи Коши, соответствующего начальным функциям, обладающим разрывами на некоторых многообразиях, лежащих в гиперплоскости, где заданы начальные условия. Структура такого решения задачи Коши была выявлена на достаточно малом промежутке времени. Эта работа Р. Куранта и П. Лакса имела в дальнейшем многочисленные продолжения. В частности, в последующих работах ряда математиков была выявлена структура решения задачи Коши с разрывными начальными функциями для любого промежутка времени.
Рихарду Куранту принадлежит ряд статей общего характера о математическом образовании, о приложениях математики, о вычислительной математике, а также статьи о Феликсе Клейне, Бернгарде Римане,
1. | На ней стоит Гёттинген. Она упоминается великим поэтом Г. Гейне. назад к тексту |
2. | С последним связана следующая занимательная история. Будучи постоянным посетителем университетской купальни, Л. Прандтль неоднократно предупреждал (главным образом, студентов) об опасности прыжков в воду непосредственно с плотины, т.е. прыжков в самый водопад (эти прыжки были запрещены и в особом объявлении). Прандтль компетентно разъяснял, что непосредственно под водопадом образуется так называемое мёртвое пространство, попав в которое пловец рискует погибнуть. Все посетители купальни отнеслись к предупреждению Прандтля с большим вниманием и в течение долгого времени правила предосторожности строго соблюдались. Но вот однажды |
3. | Теперь видный математик ГДР, член Берлинской академии наук. назад к тексту |
4. | Ныне профессор Гёттингенского университета. назад к тексту |
1910 | |
1. | Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, InauguralDissertation zur Erlangung der Doktorwürde der hohen philosophischen Fakultät der Georg-August Universität zu Göttingen, Göttingen, W. Fr. Kaestner. |
2. | Zur Bergündung des Dirichletschen Prinzipes, K. Gesellschaft der Wissenchaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
1912 | |
3. | Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, Math. Ann. 71:2, |
4. | Über die Methode des Dirichletschen Prinzipes, Math. Ann. 72:4, |
1913 | |
5. | Geometrische und philosophische Untersuchungen über den Raum, Handwörterbuch der Naturwissenschaften 8, |
1914 | |
6. | Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
7. | Über die Existenztheoreme der Potential- und Funktionentheorie, J. für Reine u. Angew. Math. 144:3, |
8. | Neue Anwendung der Theorie der diophantischen Approximationen auf die Riemannsche Zetafunktion, J. für Reine u. Angew. Math. 144:4, |
1918 | |
9. | Beweis des Satzes, dass von alien homogenen Membranen gegebenen Umfanges und gegebener Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton besizt, Math. Z. 1:2/3, |
1919 | |
10. | Über die Abhängigkeit der Schwingungszahlen einer Membran von ihrer Begrenzung und über asymptotische Eigenwertverteilung, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
11. | Über konforme Abbildung von Bereichen, welche nicht durch alle Rückkehrschnitte zerstückelt werden, auf schlichte Normalbereiche, Math. Z. 3:1/2, |
1920 | |
12. | Über die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen Physik, Math. Z. 7:1/4, |
1922 | |
13. | Zur Theorie der kleinen Schwingungen, Z. für Angew. Math. und Mech. 2, |
14. | Bemerkung zu meiner Note «Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung», K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
15. | Über ein konvergenzerzeugendes Prinzip in der Variationsrechmmg, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
16. | Über die Lösungen der Differentialgleichungen der Physik, I. Mitteilung, Math. Ann. 85, |
17. | Über die Schwingungen eingespannter Flatten, Math. Z. 15:3/4, |
1923 | |
18. | Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differentialausdrücke, K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
19. | Zur Theorie der linearen Integralgleichungen. Math. Ann. 89:3/4, |
1925 | |
20. | Über direkte Methoden der Variationsrechnung zur Lösung von Randwertaufgaben, International Congress for Applied Mechanics. Proceedings, Delft, |
21. | Über die Theorie der linearen partiellen Differenzengleichungen, Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
22. | Über eine neue Klasse von ko variant en Funktionalausdrücken, welche aus Variationsproblemen entspringen, Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Nachrichten. Math.-Phys. Klasse, |
23. | Felix Klein, Die Naturwissenschaften 13:37, |
24. | Über direkte Methoden bei Variations- und Randwertproblemen, Deutschen Math. Verein. J. 34:5/8, |
1926 | |
25. | Felix Klein als wissenschaftlicher Führer, Gedächtnisrede, gehalten in der öffentlichen Sitzung am 8 Mai 1926, Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Geschäftliche Mitteilungen, |
26. | Über die Anwendung der Variationsrechnung in der Theorie der Eigenschwingungen und über neue Klassen von Funktionalgleichungen, Acta Math. 49, |
27. | Über Randwertaufgaben bei partiellen Differenzengleichungen, Z. Angew. Math. u. Mech. 6, |
28. | Über langsam veränderliche Wechselströme in der Erde und einige Fragen der Geophysik, Die Naturwissenschaften 14:4, |
29. | Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre, Die Naturwissenschaften 14:36, |
1927 | |
30. | Über direkte Methoden in der Variationsrechnung und über verwandte Fragen, Math. Ann. 97, |
31. | G. Mittag-Leffler, Aus den Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Geschäftliche Mitteilungen, |
1928 | |
32. | Über partielle Differenzengleichungen, Congresso Internazionale dei Matematici. Atti 6, |
33. | Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik (with K. Friedrichs and H. Lewy) Math. Ann. 100:1/2, |
1929 | |
34. | Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen |
1930 | |
35. | Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Vol. 1, Funktionen einer Veränderlichen, Berlin, Julius Springer. (Русск. перев.: Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. I. Функции одного переменного, М., ГТТИ, 1931; М., «Наука», 1967.) |
1931 | |
36. | Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung, Vol. 2, Funktionen mehrerer Veränderlicher, Berlin, Julius Springer. (Русск. перев.: Курс дифферециального и интегрального исчисления, ч. 2. Функции многих переменных, М., ГТТИ, 1931; М., «Наука», 1970.) |
37. | Neue Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip, J. Reine u. Angew. Math. 165, |
38. | Methoden der mathematischen Physik, B. 1, Berlin, Julius Springer (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, v. 12) (with D. Hilbert). (Русск. перев.: Методы математической физики, т. 1, |
1936 | |
39. | On the problem of Plateau, Nat. Acad. Sci. Proc. 22:6, |
40. | On the theory of conformal mapping, Nat. Acad. Sci. Proc. 22:6, |
41. | Remarks on the initial value problem of the general partial differential equation of the first order, Amer. Math. Soc. Bull. 43:12, |
1937 | |
42. | Plateau's problem and Dirichlet's principle, Ann. Math. 38:3, |
43. | Methoden der mathematischen Physik. Band 2, Berlin, Julius Springer (with D. Hilbert). (Русск. перев.: Методы математической физики, т. 2, М., Гостехиздат, 1945, 1951.) |
1938 | |
44. | The existence of a minimal surface of least area bounded by prescribed Jordan arcs and prescribed surfaces, Nat. Acad. Sci. Proc. 24:2, |
45. | Mathematical education in Germany before 1933, Amer. Math. Monthly 45:9, |
46. | Remarks on Plateau's and Douglas' problem, Nat. Acad. Sci. Proc. 24:11, |
1939 | |
47. | Conformal mapping of multiply connected domains, Duke Math. J. 5:4, |
1940 | |
48. | The existence of minimal surfaces of given topological structure under prescribed boundary conditions, Acta Math. 72:1/2, |
49. | Minimal surfaces spanning closed manifolds, Nat. Acad. Sci. Proc. 26:3, |
50. | Soap film experiments with minimal surfaces, Amer. Math. Monthly 47:3, |
51. | The existence of minimal surfaces under given boundary conditions, Acta Math. 72, |
52. | A general theorem on conformal mapping of multiply connected domains, Nat. Acad. Sci. Proc. 26:8, |
1941 | |
53. | Critical points and unstable minimal surfaces, Nat. Acad. Sci. Proc. 27:1, |
54. | On the first variation of the DirichletDouglas integral and on the method of gradients, Nat. Acad. Sci. Proc. 27:5, |
55. | On a generalized form of Plateau's problem, Amer. Math. Soc. Trans. 50:1, |
56. | The conformal mapping of Riemann surfaces not of genus zero, Universidad Nacional de Tucuman. Series A. Revista 2:1/2, |
57. | What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods, New York, Oxford University Press (with H. Robbins). (Русск. перев.: Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов, |
58. | On a method for the solution of boundary value problems, In: Theodore von Karman (anniversary volume), Contributions to applied mechanics and related subjects..., Pasadena, California Institute of Technology, |
1943 | |
59. | Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Amer. Math. Soc. Bull. 49, |
1945 | |
60. | On Plateau's problem with free boundaries, Nat. Acad. Sci. Proc. 31:8, |
1948 | |
61. | Supersonic flow and shock waves, New York, Interscience Publishers (with K. O. Friedrichs). (Русск. перев.: Сверхзвуковое течение и ударные волны, М., ИЛ, 1950.) |
1949 | |
62. | On non-linear partial differential equations with two independent variables, Comm. Pure and Appl. Math. 2:2/3, |
1950 | |
63. | Dirichlet's principle, conformal mapping, and minimal surfaces, New York, Interscience Publishers. (Русск. перев.: Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, М., ИЛ, 1953.) |
64. | Method of characteristics for the solution of non-linear partial differential equations, Symposium on theoretical compressible flow, 28 June 1949. Naval Ordnance Laboratory, White Oak, Md. Rep. |
65. | Die Bedeutung der modernen mathernatischen Rechenmaschinen für mathematische Probleme der Hydrodynamik und Reaktortechnik, Sonderdruck aus Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes NordrheinWestfalen, Heft 59. |
1952 | |
66. | On the solution of non-linear hyperbolic differential equations by finite differences. Comm. Pure and Appl. Math. 5:3, |
1953 | |
67. | Methods of mathematical physics, First English edition. Vol. 1, New York, Interscience Publichers, 561 p. (with D. Hilbert). |
68. | On the classification of partial differential equations, In: Scientific papers presented to |
1954 | |
69. | Remarks and problems concerning hyperbolic systems, Convegno Internazionale sulle equazioni lineari alle derivate parziali, Trieste, |
1955 | |
70. | Remarks on Cauchy's problem for hyperbolic partial differential equations with constant coefficients in several independent variables, Comm. Pure and Appl. Math. 8, |
71. | Cauchy's problem for hyperbolic differential equations, Ann. Matem. Pure and Appl. 40, |
72. | Cauchy's problem for non-linear hyperbolic differential equations in two independent variables, Ann. Matem. Pure and Appl. 3940, |
73. | Gauss and die gegenwärtige Situation der exakten Wissenschaften, In: Carl Friedrich Gauss, Berlin, Musterschmidt, |
1956 | |
74. | Hyperbolic partial differential equations and applications, In: Modern Mathematics for the Engineer, E. F. Beckenbach, ed., |
75. | Methods of applied mathematics, In: Recent advances in science: physics and applied mathematics, M. H. Shamos and G. M. Murphy, ed. |
76. | On the partial difference equations of mathematical physics, N.Y.U. |
77. | The propagation of discontinuities in wave motion, Nat. Acad. Sci. Proc. 42:11, |
1957 | |
78. | Franz Rellich zum Gedächtnis, Math. Ann. 133, |
1959 | |
79. | Distributions as tools for the generalization of Riemann's formula for hyperbolic differential equations, Calcutta Math. Soc. Golden Jubilee Commemoration Volume, Part II (with D. Ludwig). |
1960 | |
80. | Mathematics: Its uses and rewards (Interview) Challenge, the magazine of economic affairs, April. |
81. | Remarks about the RayleighRitz method, In: Boundary Problems in Differential Equations, R. E. Langer, ed., The University of Wisconsin Press, Madison. |
82. | General problems confronting computing centres, UNESCO, Impact Sci. Soc. 11:3, 159. |
1961 | |
83. | Cauchy's problem for hyperbolic quasi-linear systems of first order partial differential equations in two independent variables, Comm. Pure and Appl. Math. 14:3, |
1962 | |
84. | Methods of mathematical physics, First English edition, Vol. II, Partial Differential Equations, New York, Wiley-Interscience, 830 p. (with D. Hilbert). (Русск. перев.: Уравнения с частными производными, М., «Мир», 1964.) |
1963 | |
85. | Unsolved problems conserning least area (with experimental demonstrations), Outlines of the Joint Soviet-American symposium on partial differential equations, Novosibirsk, |
1964 | |
86. | Mathematics in the Modern World, Sci. Amer. 211:3, |
1965 | |
87. | The least dense lattice packing of two-dimensional convex bodies, Comm. Pure and Appl. Math. 18:1/2, |
1970 | |
88. | Introduction to calculus and analysis. Interscience, New York, vol. I (with F. John). |
1974 | |
89. | Introduction to calculus and analysis. Interscience, New York, vol. II (with F. John). |