Джон (Янош) фон Нейман (1903–1957)



Ю. А. Данилов
Москва

Математик Дж. фон Нейман
и его «Математик»


Статья Джона фон Неймана1 «Математик» (изначально это, вероятно, лекция или доклад) даёт читателю редкую возможность познакомиться с концепцией математики, сложившейся у человека, чьи труды во многом определили её современный облик. Отвечая в 1954 г. на анкету Национальной академии США, фон Нейман (кстати говоря, он был членом этой академии с 1937 г.) назвал три своих наивысших научных достижения: математическое обоснование квантовой механики, теорию неограниченных операторов и эргодическую теорию. В этой оценке — не только проявление личных вкусов фон Неймана, но и щедрость гения: многое из того, что фон Нейман не включил в список своих лучших достижений, вошло в золотой фонд математической науки и по праву обессмертило имя своего создателя. Достаточно сказать, что среди «отвергнутых» работ оказались и частичное решение (для локально-компактных групп) знаменитой пятой проблемы Гильберта, и основополагающие работы по теории игр и по теории автоматов.

Статья фон Неймана интересна ещё и тем, что её автор принадлежит к редкому в наши дни типу математика-универсала, презирающего искусственные перегородки между отдельными областями своей древней, но вечно юной науки, воспринимающего её как единый живой организм и свободно переходящего от одного её раздела к другому, на первый взгляд весьма далёкому от предыдущего, но в действительности связанному с ним нерасторжимыми узами внутреннего единства.

Не только историки науки, но и многие активно работающие математики пытались найти объяснение этому уникальному явлению. Вот что, например, говорит по этому поводу известный математик С. Улам, лично знавший фон Неймана и проработавший с ним многие годы: «Странствия фон Неймана по многочисленным разделам математической науки не были следствием снедавшего его внутреннего беспокойства. Они не были вызваны ни стремлением к новизне, ни желанием применить небольшой набор общих методов к множеству различных частных случаев. Математика в отличие от теоретической физики не сводится к решению нескольких центральных проблем. Стремление к единству, если оно зиждется на чисто формальной основе, фон Нейман считал обречённым на заведомую неудачу. Причина его неуёмной любознательности крылась в некоторых математических мотивах и в значительной мере была обусловлена миром физических явлений, который, насколько можно судить, ещё долго не будет поддаваться формализации...

Своими неустанными поисками новых областей применения и общим математическим инстинктом, одинаково безошибочно действующим во всех точных науках, фон Нейман напоминает Эйлера, Пуанкаре или, если обратиться к более поздней эпохе, Германа Вейля. Не следует, однако, упускать из виду, что разнообразие и сложность современных проблем во много раз превосходят то, с чем сталкивались Эйлер и Пуанкаре»2.

Мир физических явлений был для фон Неймана тем компасом, по которому он выверял свой курс в безбрежном океане современной математики, тонкая интуиция позволяла ему предугадывать, в каком направлении надлежит искать неизвестные земли, а высокий научный потенциал и виртуозное владение техникой — преодолевать трудности, которые в изобилии встречаются на пути каждого открывателя нового.

Но великолепно разбираясь в проблемах современной ему физики, фон Нейман всегда оставался прежде всего математиком. Математики в своей работе имеют дело с абстракцией более высокого порядка, чем физики-теоретики, предмет их рассмотрении отдалён от реальности на ещё большее «расстояние», и могло бы показаться, что математики в большей степени, чем физики-теоретики, склонны считать реальностью порождения своего разума. Но, обратившись к трудам фон Неймана, мы увидим иную картину:

Испытав в молодые годы сильное влияние гильбертовской аксиоматической школы, фон Нейман, как правило, начинал свою работу, к какой бы области она ни относилась, с составления перечня аксиом. Наглядные представления о предмете заменялись при этом схематическим описанием наиболее существенных его свойств, и только эти свойства использовались в последующих рассуждениях и доказательствах.

Фон Нейман свободно парил в разреженной атмосфере абстракций, не прибегая в отличие от многих других математиков к наглядным образам. Абстракция была его стихией. Отмечая эту особенность творческого почерка фон Неймана, С. Улам писал: «Небезынтересно заметить, что во многих математических разговорах на темы, связанные с теорией множеств и родственными ей областями математики, явственно ощущалось формальное мышление фон Неймана. Большинство математиков, обсуждая подобные проблемы, исходят из интуитивных представлений, основанных на геометрических или почти осязаемых картинах абстрактных множеств, преобразований и т.д. Слушая фон Неймана, вы живо ощущали, как последовательно он оперирует с чисто формальными умозаключениями. Этим я хочу сказать, что основа его интуиции, позволявшей ему формулировать новые теоремы и отыскивать доказательства (как, впрочем, и основа его «наивной» интуиции), принадлежала к типу, который встречается гораздо реже. Если бы мы, следуя Пуанкаре, разделили математиков на два типа — на обладающих зрительной и слуховой интуицией, то Джонни, по всей видимости, принадлежал бы ко второму типу. Однако его «внутренний слух» был весьма абстрактным. Речь шла скорее о некоей дополнительности между формальными наборами символов и игрой с ними, с одной стороны, и интерпретацией их смысла — с другой. Различие между тем и другим в какой-то мере напоминает мысленное представление реальной шахматной доски и мысленное представление последовательности ходов на ней, записанных в шахматной нотации»3.

Тонкое взаимодействие между абстракцией и эмпирическими по своему происхождению основами современной математики, неразрывные узы, связывающие «царицу и служанку всех наук» с неисчерпаемым поставщиком чисто математических проблем — естественными науками, традиционно дедуктивное изложение математических теорий, дополняемое индуктивными, как и во всём естествознании, поисками истины, — таков далеко не полный перечень тем, затронутых в небольшом по объёму, но значительном произведении — «Математике» фон Неймана.

Специфика математического мышления — тема интересная сама по себе. Фон Неймана она интересовала ещё и потому, что он размышлял над широким кругом проблем, связанных с созданием искусственного интеллекта и самовоспроизводящихся автоматов. В конце 40-х годов, накопив колоссальный практический опыт в создании математического обеспечения, разработке логических схем и конструировании быстродействующих вычислительных машин, фон Нейман приступил к разработке общей (или, как предпочитал называть он сам, логической) теории автоматов. Именно тогда (в 1947 г.) и была впервые опубликована в сборнике, выпущенном Чикагским университетом под выразительным названием «Работа разума», статья «Математик».

Чуждая всякой риторике, простая и ясная речь фон Неймана по-прежнему покоряет красотой мысли, силой убеждения, доказательностью суждений. И в этом — неподдельное свидетельство подлинности «Математика», его адекватности существу и духу математики. Мы надеемся, что математики, открывая первый из шести томов «Собрания научных трудов» фон Неймана, ещё долго будут начинать своё знакомство с наследием выдающегося математика современности со сжатого изложения философии математики — статьи «Математик», публикуемой теперь в русском переводе.


Примечания
1.

Имя фон Неймана транскрибировалось по-разному в различные периоды его жизни. В детские и юношеские годы, проведённые в Будапеште, его звали Янош. В Цюрихе, где фон Нейман учился на химическом факультете Высшей политехнической школы, в Гамбурге и Гёттингене фон Неймана называли Иоганном. После переезда в США в 1932 г. (с 1933 г. он — профессор Принстонского института перспективных исследований, с 1940 г. — консультант различных армейских и морских учреждений, с 1954 г. — член Комиссии по атомной энергии) фон Нейман избрал английский вариант имени — Джон. назад к тексту

2.

John von Neumann [1903–1957]. Bull. Amer. Math. Soc., 1958, v. 64, № 3 (part 2), p. 8. назад к тексту

3.

Ibid., p. 12. назад к тексту



Дж. фон Нейман
Математик
Перевод выполнен по тексту, помещённому в издании: J. von Neumann. Collected Works. New York, London, Oxford, Paris: Pergamon Press, 1961, v. 1, p. 1–9.


Анализ природы интеллектуальной деятельности в любой области — задача не из лёгких, даже если эта область не так далека от основного круга интеллектуальных усилий большинства людей, как математика. Анализ природы интеллектуальной деятельности труден по существу: какую бы сферу интеллектуальной деятельности мы ни взяли, анализировать её несравненно труднее, чем непосредственно заниматься ею. Разобраться в устройстве самолёта и понять природу сил, поднимающих самолёт в воздух и приводящих его в движение, труднее, чем лететь в салоне самолёта, подниматься в нём в заоблачную высь, покрывать огромные расстояния, и даже труднее, чем управлять самолётом.

Только в исключительных случаях процесс удаётся понять, не научившись применять его практически, руководствуясь инстинктом и опытом.

Поэтому обсуждать природу интеллектуальной деятельности в любой области чрезвычайно затруднительно, если не предполагать заранее практического владения всем набором её шаблонных приёмов. В математике это ограничение становится особенно жёстким, если обсуждение приходится проводить в нематематической плоскости. При «внешнем» подходе невозможно избавиться от весьма серьёзных недостатков: утверждения лишаются убедительной аргументации, а всё обсуждение неизбежно оказывается несколько поверхностным.

Отчётливо сознавая все эти минусы своего предстоящего выступления, я заранее приношу свои извинения. Многие математики, возможно, не полностью разделяют мои взгляды (вам предстоит познакомиться с мнениями и интерпретациями, носящими личный характер), и я мало чем смогу вам помочь, если вы захотите выяснить, насколько мои оценки соответствуют действительности.

И всё же, несмотря на все препятствия и трудности, я должен признаться, что сама по себе попытка решить такую задачу — обсудить с вами на нематематическом уровне специфику интеллектуальной деятельности в области математики — представляется мне чрезвычайно интересной и увлекательной.

На мой взгляд, наиболее характерная отличительная черта математики состоит в её особом отношении к естественным наукам и вообще любой науке, интерпретирующей факты на уровне более высоком, чем чисто описательный.

Большинство людей, как математиков, так и нематематиков, согласится с тем, что математика — наука не эмпирическая или что по крайней мере используемые в математике методы значительно отличаются от методов эмпирических наук. Тем не менее развитие математики самым тесным образом связано с естественными науками. Один из главных разделов математики — геометрия — первоначально возник как естественная, эмпирическая наука. Некоторые из наиболее ярких движущих идей современной математики (по моему глубокому убеждению — все лучшие идеи) берут начало в естественных науках. «Теоретические» разделы естественных наук пронизаны математическими методами, которым придаётся первостепенное значение. В современных эмпирических науках критерием успеха всё чаще служит степень проникновения в них методов математики или почти математических методов физики. В естественных науках всё более отчётливо прослеживается почти отождествляемая с идеей научного прогресса неразрывная цепь метаморфоз, эволюционирующих в сторону математики. В биологии всё возрастающую роль играют химия и физика, в химии — экспериментальная и теоретическая физика, в физике — самые рафинированные математические методы теоретической физики.

Самой природе математики присуща двойственность особого рода. Эту двойственность необходимо отчётливо сознавать, иметь в виду и учитывать при размышлениях о природе интеллектуальной деятельности в области математики. Двоякий лик — подлинное лицо математики, и я не верю, чтобы природу математического мышления можно было бы рассматривать с какой-нибудь упрощённой единой точки зрения, не принося при этом в жертву самую сущность.

Учитывая сказанное, я не стану навязывать вам некую единую формулу, а вместо этого попытаюсь по мере своих сил. и возможностей описать то многообразное явление, которое представляет собой математика.

Не подлежит сомнению, что определённая часть движущих идей в математике (причем именно в тех её разделах, к которым как нельзя лучше применимо название «чистая математика») берёт своё начало в естественных науках. Упомянем два наиболее фундаментальных факта.

Мой первый пример, как и следовало ожидать, — геометрия. В древности математика сводилась главным образом к геометрии, и поныне геометрия и её многочисленные ответвления образуют один из обширных разделов современной математики. Возникновение геометрии в древности несомненно связано с запросами практики. В самом начале своего развития она была научной дисциплиной, во многом напоминающей современную теоретическую физику. На это, помимо всего прочего, указывает само название «геометрия» — «измерение земли». Аксиоматическое изложение Евклида знаменует гигантский шаг от эмпиризма, но отнюдь не легко отстаивать утверждение о том, что «Начала» Евклида были решающим и окончательным шагом, повлёкшим за собой полный отход геометрии от эмпиризма. Не столь существенно, что аксиоматика Евклида не во всём отвечает современным требованиям математической строгости. Гораздо важнее, что другие разделы науки, заведомо эмпирические по своему происхождению, например механику и термодинамику, принято излагать в более или менее аксиоматической форме, и некоторые авторы по манере изложения почти неотличимы от Евклида. Классика теоретической физики нашего времени — «Математические начала натуральной философии» Ньютона — и по своей литературной форме, и по существу в некоторых из самых важных её разделов весьма напоминает «Начала» Евклида. Разумеется, во всех этих случаях за аксиоматическим изложением кроется глубокое понимание физической сущности явлений, подкрепляющее постулаты, и экспериментальная проверка, подтверждающая теоремы. На это можно было бы возразить, что «Начала» Евклида тоже допускают аналогичную интерпретацию, в особенности если подходить к ним с позиций античности, когда геометрия ещё не обрела своей устойчивой формы, выдержавшей два тысячелетия, и непререкаемого авторитета, явно недостающего современному зданию теоретической физики.

Хотя со времён Евклида деэмпиризация геометрии постепенно прогрессировала, она никогда, и прежде, и теперь, не была окончательной и полной. Хорошим тому примером может служить неевклидова геометрия. Она не может служить примером и амбивалентности математического мышления. Поскольку в большинстве случаев всё рассмотрение велось в весьма абстрактном плане, речь шла о чисто логической проблеме: можно ли пятый постулат Евклида вывести из остальных постулатов или нельзя? Формальный конфликт завершился чисто математической моделью Ф. Клейна, показавшего, каким образом, формально переопределив некоторые основные понятия, кусок евклидовой плоскости можно превратить в неевклидову плоскость. И всё же эмпирический стимул от начала и до конца не утрачивал своего значения. Из всех постулатов Евклида под сомнение был поставлен пятый постулат именно потому, что затрагиваемое им и только им понятие бесконечной плоскости носит неэмпирический характер. Мысль о том, что решение проблемы в пользу или против Евклида (вопреки всему логико-математическому анализу) по крайней мере в одном существенном смысле может быть найдено эмпирическим путём, явно владела умом величайшего из математиков — Гаусса. Впоследствии Бойяи, Лобачевский, Риман и Клейн более формальным путём пришли к тому, что сегодня принято считать формальным решением древнего спора. Тем не менее последнее слово осталось за эмпирикой или, точнее, за физикой. Создание общей теории относительности привело к пересмотру наших взглядов на роль геометрии на совершенно новой основе и к тому же при совершенно иной расстановке чисто математических акцентов. Чтобы картина контраста была полной, было необходимо добавить к ней ещё один штрих: последние события произошли как раз на протяжении жизни поколения, ставшего свидетелем полной деэмпиризации и абстракции аксиоматического метода Евклида в руках современных математиков с их логико-аксиоматическим мышлением. Оказалось, что оба этих внешне взаимоисключающих подхода способны мирно сосуществовать в разуме одного математика. Так, Гильберт внёс важный вклад и в аксиоматическую геометрию, и в общую теорию относительности.

Мой второй пример — дифференциальное и интегральное исчисление или, точнее, математический анализ в целом. Именно создание дифференциального и интегрального исчисления стало первым достижением современной математики. Значение его трудно переоценить. Думаю, что оно в большей мере, чем что-либо другое, знаменует рождение современной математики. Система математического анализа, которая является логическим продолжением дифференциального и интегрального исчисления, и поныне остаётся величайшим техническим достижением в области точного мышления.

По своему происхождению дифференциальное и интегральное исчисление заведомо эмпирично. Отчёт о своих первых попытках интегрирования Кеплер назвал «долихометрией» — измерением винных бочек, то есть измерением объёмов тел, ограниченных кривыми поверхностями. Долихометрия — геометрия, но пост-евклидова, и во времена Кеплера неаксиоматическая, эмпирическая геометрия. Это отчётливо сознавал Кеплер. Главные усилия по созданию нового исчисления и главные открытия, принадлежащие Ньютону и Лейбницу, по своей природе физичны. Ньютон по существу разработал исчисление «флюксий» для нужд механики. Две дисциплины — дифференциальное и интегральное исчисление, с одной стороны, и механика, с другой стороны, — были развиты Ньютоном более или менее одновременно. Первым формулировкам математического анализа недоставало даже математической строгости. Лишь неточными полуфизическими формулировками математика располагала и через сто пятьдесят лет после Ньютона. И всё же, несмотря на отсутствие надлежащей, строгой математической основы, наиболее важные достижения анализа приходятся именно на этот период! Некоторые из ведущих математических умов того времени, например Эйлер, довольствовались нестрогими доказательствами, но другие, например Гаусс и Якоби, в основном стремились к максимально достижимой строгости. Развитие математического анализа происходило сложным и противоречивым путём, и его отношение к эмпиризму заведомо не отвечало современным (и евклидовым) представлениям об абстракции и строгости. И всё же ни один математик не пожелал бы предать забвению тот сумбурный период: ведь именно тогда была создана первокласснейшая математика! Но даже когда после Коши строгость вновь заняла подобающее ей место, весьма знаменательный возврат к полуфизическим методам произошёл в работах Римана. Как учёный, Риман воплотил наиболее яркий пример двойственной природы математики, проявившейся также в знаменитой дискуссии между Риманом и Вейерштрассом. Мне не хотелось бы вдаваться в технические детали, ибо это увело бы меня слишком далеко от основной темы. Со времён Вейерштрасса математический анализ становится совершенно абстрактным, строгим и неэмпирическим. Но даже это утверждение нельзя считать абсолютно истинным: жаркие споры по поводу «оснований» математики и логики, разыгравшиеся на памяти двух последних поколений, рассеяли многочисленные иллюзии на этот счёт.

В этой связи я не могу не привести третьего примера, существенного для диагностики сложившейся ситуации. Мой пример затрагивает не столько отношение математики к естественным наукам, сколько её отношение к философии и теории познания. Он с необычайной ясностью показывает, что понятие «абсолютной» математической строгости само по себе подвержено изменениям. Изменчивость понятия строгости свидетельствует о том, что в структуру математики помимо математической абстракции должно входить что-то ещё. Анализируя дискуссию об «основаниях» математики, я так и не смог прийти к убеждению, что решение должно быть вынесено в пользу эмпирической природы этой дополнительной компоненты. В пользу такого заключения говорят весьма сильные доводы, по крайней мере их высказывали на отдельных этапах дискуссии, хотя я не могу считать их абсолютно убедительными. Не вызывают сомнения два обстоятельства. Во-первых, что в математику существенно должен входить некий нематематический элемент, каким-то образом связанный либо с эмпирическими науками, либо с философией, либо с эмпирическими науками и философией, причём предположение о неэмпирическом характере этого элемента может быть справедливым только в том случае, если допустить, что философия (или, точнее, теория познания) может существовать независимо от опыта. (Такое предположение необходимо, но не достаточно.) Во-вторых, в пользу эмпирического происхождения математики говорят многочисленные примеры, аналогичные двум приведённым нами (геометрия и математический анализ), безотносительно к тому, какой интерпретации дискуссии об «основаниях» может быть отдано предпочтение.

Анализируя изменчивость понятия математической строгости, я, как уже говорилось, хочу обратить особое внимание на дискуссию об «основаниях», но сначала считаю необходимым кратко рассмотреть один второстепенный аспект проблемы. Этот аспект также подкрепляет мою аргументацию, вторичным же я считаю его потому, что он приводит не к столь убедительным выводам, как анализ дискуссии об «основаниях». Я имею в виду изменения «стиля» математических работ. Хорошо известно, что стиль математических доказательств подвержен значительным флуктуациям. Я предпочитаю говорить о флуктуациях, а не об основной тенденции потому, что по стилю доказательств различие между современными авторами и математиками XVIII и XIX вв. гораздо сильнее, чем между современными математиками и Евклидом. В то же время в других отношениях наблюдается удивительное постоянство. Там, где имеются различия, речь идёт главным образом о различиях в изложении, для исключения которых не требуется вводить новые идеи. Однако во многих случаях эти различия столь глубоки, что невольно закрадываются сомнения относительно того, можно ли считать, что авторы, изъясняющиеся столь разными способами, отличаются только по стилю, вкусу и характеру образования, и одинаковы ли их представления о том, что такое математическая строгость. Наконец, в крайних случаях (например, в большинстве работ по математическому анализу конца XVIII в., о которых уже говорилось) различия настолько существенны, что снять их (насколько это вообще возможно) оказалось под силу только новым глубоким теориям, на разработку которых ушло почти столетие. Некоторые математики, использовавшие в своей деятельности нестрогие, с нашей точки зрения, методы (или их современники, подвергавшие критике предложенные этими математиками доказательства), отчётливо сознавали, что им недостаёт строгости. Точнее, их представления об идеале математической строгости находились в большем соответствии с нашими представлениями, чем их образ действий. Но были и другие математики (к их числу относится и величайший виртуоз того периода Эйлер). Они действовали с абсолютно чистой совестью и, по-видимому, были вполне удовлетворены своими собственными стандартами.

Мне не хотелось бы останавливаться на затронутом мной вопросе дольше. Вместо этого я обращусь к абсолютно ясному случаю — к спору об «основаниях математики». Возникшая в конце XIX и начале XX в. новая глава абстрактной математики — теория множеств г. Кантора — породила значительные трудности. Некоторые рассуждения приводили к противоречиям, и, хотя они не входили в центральную и «полезную» часть теории множеств и их всегда можно было распознать по определённым формальным критериям, оставалось неясным, почему их следовало бы считать менее теоретико-множественными, чем «полезные» части теории. Помимо апостериорного понимания того, что именно эти рассуждения привели к катастрофе, было неясно, какая априорная мотивация, какая внутренняя философия ситуации позволила бы отделить опасные рассуждения от тех частей теории множеств, которые хотелось бы спасти. Подробное расследование достоинств и сильных сторон сложившейся ситуации, предпринятое в основном Расселом и Вейлем и завершённое Брауэром, показало, что использование понятий «общезначимость» и «существование» не только в теории множеств, но и в большей части современной математики вызывает серьёзные философские возражения. Систему математики, свободную от этих нежелательных черт, — «интуиционизм» — разработал Брауэр. В этой системе не возникает трудностей и противоречий теории множеств. Добрая половина современной математики, в том числе её жизненно важные и ранее не подвергавшиеся сомнению разделы, в особенности анализ, прошли через «чистилище» и оказались либо несостоятельными, либо потребовали для своего обоснования весьма тонких дополнительных соображений. За такого рода обоснование обычно приходилось расплачиваться потерей общности и изящества доказательства. Тем не менее Брауэр и Вейль считали необходимым подвергнуть понятие математической строгости пересмотру в духе этих идей.

Значение деятельности Брауэра и Вейля трудно переоценить. В 30-х годах XX в. два математика, оба первой величины и лучше чем кто-либо сознававшие, что такое математика, чем она занимается и для чего нужна, предложили пересмотреть само понятие математической строгости, изменить взгляд на то, что такое строгое доказательство! Последующее развитие событий также заслуживает, чтобы хотя бы бегло упомянуть о нём.

  1. Мало кто из математиков охотно воспринял новые непривычные стандарты и стал руководствоваться ими в своей повседневной деятельности. Подавляющее большинство, признавая принципиальную правоту Вейля и Брауэра, продолжали игнорировать их достижения, т.е. заниматься своей математикой на старый, «лёгкий» манер в надежде, что кому-нибудь удастся найти ответ на интуиционистскую критику и тем самым задним числом обосновать полученные ими результаты.
  2. Со следующей остроумной идеей обоснования «классической» (т.е. доинтуиционистской) математики выступил Гильберт. Даже в рамках интуиционистской системы можно строго описать, как действует классическая математика, т.е. описать операционную сторону классической математики, хотя и без обоснования допустимости её операций. Следовательно, можно было бы дать интуиционистское доказательство того, что классические процедуры никогда не приведут к противоречиям — одна процедура не вступит в конфликт с другой. Хотя не вызывало сомнений, что такое доказательство было бы очень трудным, всё же имелись определённые указания относительно того, каким образом можно было бы приступить к его поиску. Если бы эта схема сработала, то тем самым было бы получено замечательное обоснование классической математики на основе противоположной интуиционистской системы! По крайней мере такая интерпретация была бы вполне законной в системе философии математики, которую было готово принять подавляющее большинство математиков.
  3. После почти десятилетних попыток осуществить программу Гильберта наиболее замечательный результат был получен Гёделем. Точная формулировка теоремы Гёделя потребовала бы введения некоторых понятий, носящих слишком специальный характер, чтобы приводить их здесь. Самое существенное в содержании теоремы Гёделя сводится к следующему: непротиворечивость математической системы невозможно доказать или опровергнуть средствами самой системы. Доказательство Гёделя удовлетворяло самому строгому критерию математической строгости — интуиционистскому. Его влияние на программу Гильберта по причинам, носящим слишком специальный характер, чтобы на них следовало здесь останавливаться, несколько спорно. Я считаю, и моё мнение разделяют многие другие математики, что Гёдель доказал полную безнадёжность программы Гильберта.
  4. Даже после того как пришлось оставить главную надежду на обоснование классической математики в духе Гильберта или Брауэра–Вейля, математики продолжают пользоваться ею. В конце концов именно классическая математика позволяет получать результаты, которые как полезны, так и красивы, и хотя прежней уверенности в её надёжности не стало, классическая математика всё же покоится на столь же прочном основании, как, например, существование электрона. Следовательно, тот, кто принимает естественные науки, не может не принять классическую систему математики. Среди тех, кто разделяет подобные взгляды, оказались даже некоторые из рьяных сторонников интуиционистской системы. Дискуссия об «основаниях» математики далека от завершения и поныне, но мало кто из математиков склонен отказываться от классической системы.

Я столь подробно изложил все перипетии дискуссии об основаниях математики потому, что считаю её историю лучшим предостережением против чрезмерно доверчивого отношения к незыблемости математической строгости. Дискуссия эта произошла при жизни нашего поколения, и я по себе знаю, сколь унизительна лёгкость, с которой в ходе её претерпели изменения мои собственные представления об абсолютной математической истине, причём изменялись они не единожды, а трижды!


*   *   *

Надеюсь, что три приведённых мной примера достаточно убедительно подтверждают половину моего тезиса о том, что математика черпает постановки своих лучших задач из опыта и что вряд ли можно верить в существование абсолютного, незыблемого понятия математической строгости, оторванного от всего человеческого опыта. Моё собственное отношение к этой проблеме исходит из весьма простых соображений. Какие бы предпочтения философского или теоретико-познавательного характера ни были у кого-нибудь, реальный опыт, вся практика математического сообщества свидетельствует, что предположение о существовании априорного понятия математической строгости лишено сколько-нибудь серьёзного основания. Но у моего тезиса имеется и вторая половина, и я перехожу теперь к ней.

Любому математику очень трудно поверить в то, что математика — наука чисто эмпирическая и что все математические идеи имеют эмпирическое происхождение. Рассмотрим сначала вторую половину этого утверждения. Установить эмпирическое происхождение некоторых важных разделов современной математики либо не представляется возможным, либо оно хотя и прослеживается, но в столь далёком прошлом, что с тех пор, как соответствующая область математики была отрезана от своих эмпирических корней, она успела претерпеть полную метаморфозу. Алгебраическая символика была изобретена для внутреннего, математического потребления, но с полным основанием можно утверждать, что она имеет сильные связи с эмпирикой. Что же касается современной «абстрактной» алгебры, то она развивается в направлениях, имеющих всё более и более отдалённое отношение к эмпирическим данным. Аналогичное утверждение справедливо и относительно топологии. Во всех этих областях субъективный критерий успеха и целесообразности затраты усилий, которым руководствуется математик, во многом определяется внутренними, эстетическими соображениями и свободен (или почти свободен) от эмпирических связей. (К этому я ещё вернусь в дальнейшем.) В теории множеств ситуация ещё яснее. «Мощность» и «упорядочение» бесконечного множества могут быть обобщениями соответствующих понятий, связанных с конечными числами, но в своей бесконечной форме эти понятия (в особенности понятие мощности) вряд ли имеют какое-нибудь отношение к нашему миру. Если бы я не стремился избегать технических подробностей, то мог бы сослаться в подтверждение на многочисленные теоретико-множественные примеры: проблему «аксиомы выбора», «сравнимость» мощностей бесконечных множеств, «гипотезу континуума» и т.д. Те же замечания применимы и почти ко всей теории функций действительного переменного и теории точечных множеств. Двумя удивительными примерами служат дифференциальная геометрия и теория групп: их считали абстрактными, неприкладными дисциплинами и почти всегда культивировали в этом духе. Спустя десятилетие в одном случае и столетие в другом они нашли широкое применение в физике. Однако и поныне они развиваются в основном в абстрактном духе, далёком от приложений.

Примеры всех описанных мной ситуаций и их многочисленных комбинаций можно было бы легко умножить, но вместо этого я предпочитаю вернуться к первому пункту и спросить: можно ли считать математику эмпирической наукой или, точнее, отличается ли математика по характеру своей деятельности от эмпирических наук? В более общем плане вопрос следовало бы поставить так: как математик относится к своей науке? Каковы его критерии успеха, в чём привлекательность той или иной цели? Что влияет на его усилия? Какие соображения? Что управляет и движет им?

Выясним, в чём обычная работа математика отличается от образа действий, принятого в естественных науках. Различие между естественными науками, с одной стороны, и математикой, с другой стороны, как можно проследить, непрерывно усиливается по мере перехода от теоретических дисциплин к экспериментальным и от экспериментальных наук к описательным. Итак, сравним математику с наиболее близкой к ней категорией — с теоретическими дисциплинами и выберем из них ту, которая наиболее близка математике. Думаю, что вы не осудите меня слишком сурово, если я поступлюсь математической скромностью и добавлю: наиболее близка математике потому, что представляет собой наиболее развитую из всех теоретических наук. Я имею в виду теоретическую физику. Действительно, математика и теоретическая физика имеют немало общего. Как я уже упоминал, евклидова система геометрии была прототипом аксиоматического изложения классической механики, и аналогичный подход занимал главенствующее положение в феноменологической термодинамике, на некоторых этапах развития электродинамики Максвелла, а также в специальной теории относительности. Кроме того, мнение о том, что теоретическая физика не объясняет, а лишь классифицирует и коррелирует явления, в настоящее время принято большинством физико-теоретиков. Это означает, что критерий успеха в теоретической физике сводится к тому, насколько широкий круг явлений, казавшихся ранее сложными и разнородными, охватывает простая и изящная классифицирующая и коррелирующая схема и не охватывает ли она явлений, которые не рассматривались или даже не были известны при создании схемы. (Два последних утверждения характеризуют унифицирующую и предсказательную силу теории.) В том виде, как он изложен здесь, этот критерий по своей природе в значительной мере эстетический. Именно поэтому он так близок математическому критерию успеха, носящему, как вы увидите, почти исключительно эстетический характер. Итак, мы сравниваем математику с ближайшей эмпирической наукой, имеющей с ней, как мне, я надеюсь, удалось показать, много общего, — с теоретической физикой. Тем не менее, если сравнивать их modus procedendi (по мере их развития. Ю.Д.), мы обнаружим значительные и весьма глубокие различия. Цели теоретической физики устанавливаются в основном «извне», в большинстве случаев потребностями экспериментальной физики. Почти всегда они вызваны прежде всего необходимостью преодолеть какую-нибудь трудность. Пора различного рода предсказаний и унификаций наступает позже. В шутку можно сказать, что достижения (предсказания и унификация) приходят, когда противник обращён в бегство, чему обычно предшествует битва с какой-нибудь имевшейся ранее трудностью (обычно с кажущимся противоречием внутри существующей системы). Работа физика-теоретика отчасти состоит в поиске таких препятствий, преодоление которых сулит значительный «прорыв». Как я уже упоминал, эти трудности обычно берут начало в эксперименте, но иногда возникают как противоречия между различными частями общепринятого тела теории. Нетрудно привести множество примеров того и другого рода.

Эксперимент Майкельсона привёл к специальной теории относительности, трудности с некоторыми потенциалами ионизации и спектроскопическими данными способствовали возникновению квантовой механики. Это примеры трудностей первого типа. Конфликт между специальной теорией относительности и ньютоновской теорией гравитации служит примером трудностей второго, более редкого типа. Итак, проблемы теоретической физики заданы объективно, и, хотя критерии эксплуатации успеха носят, как уже отмечалось, эстетический характер, всё же часть проблемы составляют твёрдо установленные объективные факты (именно эту часть проблемы я имел в виду, говоря о первоначальном «прорыве»). Этим объясняется, почему предмет изучения в теоретической физике почти всегда необычайно сосредоточен: усилия физиков-теоретиков почти всегда сосредоточены в одной или двух весьма чётко очерченных областях. В 20-е годы и в начале 30-х годов такой областью сосредоточения была квантовая механика, с середины 30-х годов всеобщее внимание стали привлекать элементарные частицы и строение атомного ядра.

В математике мы сталкиваемся с иной ситуацией. Математика подразделяется на великое множество разделов и подразделов, сильно отличающихся по характеру, стилю, целям и значимости. Математика воплощает в себе прямую противоположность предельной сосредоточенности теоретической физики. Хороший физик-теоретик и в наши дни может активно владеть доброй половиной своей науки. Сомневаюсь, чтобы кто-нибудь из ныне здравствующих математиков имел отношение более чем к одной четвёртой современной математики. «Объективно» обусловленные «важные» проблемы могут возникнуть после того, как деление математики на разделы и подразделы зашло сравнительно далеко и столкнулось с серьёзной трудностью. Но даже в этом случае математик, по существу, волен выбирать, заняться ли ему решением возникшей проблемы или оставить её и обратиться к какой-нибудь другой задаче, в то время как «важная» проблема в теоретической физике — это обычно конфликт, противоречие, которое «должно» быть разрешено тем или иным способом. У математика всегда имеется широкий выбор областей, к которым он может обратиться, и он наслаждается весьма значительной свободой своих действий. Здесь мы подходим к пункту, имеющему решающее значение. Думаю, что вряд ли ошибусь, если скажу, что критерии отбора, которыми руководствуется математик, так же как и его критерии успеха, носят в основном эстетический характер. Я сознаю спорность своего утверждения и невозможность «доказать» или, точнее, обосновать его, не вдаваясь в анализ многочисленных специальных, сугубо технических примеров. Для этого необходим иной, весьма специальный тип обсуждения, вряд ли уместный в нашем случае. Достаточно сказать, что эстетический характер критериев, которыми руководствуется в своей деятельности математик, выступает на первый план более отчётливо, чем в упомянутом мной примере с теоретической физикой. От математической теоремы или теории ожидают не только простого и изящного описания и классификации многочисленных ранее разрозненных частных случаев. От математической теории ожидают структурного «изящества», «изящества» её «архитектоники». Математическая проблема легко формулируется, но решить её очень трудно, и все попытки приблизиться к решению наталкиваются на непреодолимые трудности. Но стоит рассуждениям принять несколько необычный поворот, как решение или какая-то часть его становятся неожиданно простыми. Даже если доказательства математических теорий оказываются громоздкими и сложными, непременно должен найтись некий простой общий принцип, позволяющий объяснить сложность и необходимость обходных путей в доказательствах, сводящий кажущийся произвол к нескольким простым побудительным мотивам и т.д. Все эти критерии присущи любому виду творческой деятельности. Присутствие на заднем плане, иногда весьма далёком, некоторого основополагающего эмпирического, «мирского» мотива, скрытого эстетизирующими наслоениями последующего развития и лабиринтом бесчисленных вариантов, — всё это в гораздо большей мере напоминает атмосферу самого настоящего искусства, чем эмпирическую науку.

Как вы, должно быть, заметили, я ни единым словом не обмолвился о сравнении математики с экспериментальными или описательными науками. Такое сравнение было бы излишним: слишком очевидны различия в методе и общей атмосфере.

Утверждение о том, что математические идеи берут начало в эмпирике, хотя иногда их генеалогия длинна и неясна, я считаю достаточно хорошим приближением к истине, слишком сложной, чтобы допускать что-нибудь, кроме приближений. Но после того как они возникли, математические идеи начинают жить своей собственной жизнью, и тогда математику правильнее сравнивать с какой-нибудь разновидностью творческой деятельности, чем с эмпирической наукой. Но существует ещё одно обстоятельство, заслуживающее, на мой взгляд, особого внимания. На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от «реальности», над ней нависает смертельная опасность. Её развитие всё более и более определяется чисто эстетическими соображениями, оно всё более и более становится искусством для искусства. Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьёзная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплина превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей. Иначе говоря, при большом отдалении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» (близкородственного скрещивания. Ю.Д.) математической дисциплине грозит опасность вырождения. При зарождении новой математической дисциплины ей обычно свойственен классический стиль. Когда же она начинает обретать черты барокко, то это сигнал опасности. Нетрудно было бы привести примеры, проследить эволюцию различных разделов математики от классицизма до барокко и очень высокого барокко, но такой экскурс носил бы слишком специальный характер.

Во всяком случае, когда достигается стадия барокко, единственное спасительное средство я вижу в том, чтобы снова вернуться к источнику, произвести омолаживающую инъекцию идей, более или менее прямого эмпирического происхождения. Я убеждён, что такая эмпирическая «подпитка» была необходимым условием сохранения неувядаемой молодости и жизнеспособности математики в прошлом и что аналогичное утверждение останется верным и в будущем.

Перевод с английского
Ю. А. Данилова

Hosted by uCoz