Чуть ниже Г. Вейль пишет, что с лёгкой руки Гильберта готический шрифт стал общеупотребительным для идеалов, что привело в ужас американских издателей математической литературы. Я тоже не в восторге, поскольку в стандартный набор шрифтов для Windows готический не входит, а сам Вейль в данной статье им пользуется вовсю. Можно было бы к этому файлу динамически прикрутить шрифт Euclid Fraktur через WEFT, но мне такой вариант не нравится: те, кто юзает MathType, этот шрифт уже имеют в системе. Поэтому выкладываю его вот тут. Скачайте, если надо, зарегистрируйте в Виндах и символы статьи, которые в отсутствие готического шрифта отображаются через Arial, преобразятся и примут желаемый "средневековый" вид. — E.G.A.

14 февраля 1943 года в Гёттингене в возрасте 81 года ушёл из жизни Давид Гильберт. С его смертью математика потеряла одного из своих великих мастеров. Оглядываясь в прошлое, мы видим, что та эпоха математики, на которую он наложил отпечаток своего духа и которая сейчас скрылась далеко за горизонтом, более чем какая-нибудь другая находилась в совершенном равновесии между исследованиями отдельных конкретных проблем и разработкой общих абстрактных понятий. Работы самого Гильберта немало послужили этой счастливой гармонии, а направление, в котором с тех пор развивалась математика, также во многом обязано его импульсам. Ни одного математика нашего поколения нельзя поставить рядом с ним.

Америка ему обязана многим. Большое количество молодых математиков из этой страны, которым было суждено сыграть значительную роль в развитии американской математики, переселились в Гёттинген в период с 1900 по 1914 год, чтобы учиться у Гильберта. Однако его взгляды, методы и постановки задач оказали влияние далеко за пределами круга лиц, черпавших своё вдохновение, обучаясь непосредственно под его руководством.

Гильберт сам помог автору настоящего обзора увидеть, что его работы довольно строго делятся на различные периоды, в каждый из которых он был всецело поглощен проблемами из одной конкретной области. Если он занимался интегральными уравнениями, то они означали для него всё; бросив какой-либо предмет, он отделывался от него полностью и переходил к другому. Именно таким своеобразным образом он достиг универсальности. Я различаю пять основных периодов:

1. Теория инвариантов (1885–1893).
2. Теория алгебраических числовых полей (1893–1898).
3. Основания: а) геометрии (1898–1902); б) математики в целом (1922–1930).
4. Интегральные уравнения (1902–1912).
5. Физика (1910–1922).

Названия этих периодов несколько более конкретны, чем им следовало бы быть. Не все алгебраические достижения Гильберта связаны с инвариантами. Его работы по вариационному исчислению отнесены к интегральным уравнениям. Есть, конечно, и некоторые частичные смешения периодов, и несколько заблудших детей, нарушающих законы времени, самый поразительный из них — его доказательство теоремы Варинга в 1909 году.

Его парижское выступление «Математические проблемы» охватывает все области нашей науки. Пытаясь приподнять завесу над ожидающим нас будущим, он поставил и обсудил двадцать три нерешённые проблемы, которые, как мы видим теперь, на самом деле играли важную роль все последующие сорок с лишним лет. Математик, решивший одну из них, занимал тем самым почётное место в математической общине.

Gesammelte Abhandlungen Гильберта были изданы в трёх томах Ю. Шпрингером в Берлине, 1932–1935 годы. Это издание содержит его Zahlbericht, но не включает две его книги:

Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig, 1930;

Grudzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralglelchungen, Leipzig und Berlin, 1912.

Гильберт является соавтором следующих работ:

R.Courant und D.Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Berlin, Bd. 1, 2. Aufl., 1931; Bd. 2, 1937;

D.Hilbert, W.Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin, 1928;

D.Hilbert und S.Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, Berlin, 1932;

D.Hilbert und Р.Bernays, Grundlagen der Mathematik, Berlin, Bd. 1, 1934; Bd. 2, 1939.

Собрание его трудов содержит статьи Б. Л. ван дер Вардена, X. Хассе. А. Шмидта, П. Бернайса и Э. Хеллингера о работе Гильберта в области алгебры, теории чисел, оснований геометрии и арифметики, интегральных уравнений. В них прослеживается дальнейшее развитие этих областей и даются подробные библиографические ссылки. Читатель может также обратиться к номеру Die Naturwissenchaften 10 (1922), 65–104, посвящённому Гильберту. В нём содержится обзор его работ до 1922 года. Кроме того, укажем на статью Бибербаха (L.Bieberbach), Ueber den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag über «Mathematische Probleme» auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreissig Jahren, Die Naturwissenschaften 18 (1930), 1101–1111. О. Блюменталь описал жизнь Гильберта (Собрание трудов, т. 3, стр. 388–429).

Я опускаю все ссылки на литературу, указанную в этих статьях.

Классическая теория инвариантов имеет дело с многочленами J = J(x₁, ..., x_n), зависящими от коэффициентов x₁, ..., x_n одной или нескольких форм от данного числа переменных η₁, ..., η_g. Каждая линейная подстановка s с определителем, равным 1, применённая к g аргументам, индуцирует некоторое линейное преобразование U(s): x → x' = U(s)x переменных коэффициентов x₁, ..., x_n. При этом многочлен J = J(x₁, ..., x_n) переходит в новый многочлен J(x'₁, ..., x'_n) = J^s(x₁, ..., x_n). J называется инвариантом, если J^s = J для всех s. (Ограничение унимодулярными преобразованиями s позволяет нам избежать более сложного понятия — относительного инварианта и рассматривать не обязательно однородные многочлены, благодаря чему можно вводить в рассмотрение кольцо инвариантов.) Классическая проблема инвариантов является частным случаем общей проблемы инвариантов, в которой s принадлежит произвольной абстрактной группе Γ, а правило s → U(s) определяет представление этой группы (т.е. закон, сопоставляющий каждому элементу s Î Γ некоторое линейное преобразование U(s) n переменных x₁, ..., x_n, причем так, что произведению элементов группы соответствует композиция преобразований). Развитие этой теории до Гильберта привело к двум основным теоремам, доказанным, однако, лишь в весьма специальных случаях.

Первая из них утверждает, что инварианты имеют конечный целый базис. Это означает, что можно найти среди них конечное число таких инвариантов i₁, ..., i_m, чтобы каждый другой инвариант J был представим в виде многочлена от них. Тождественное соотношение между базисными инвариантами i₁, ..., i_m есть многочлен F(z₁, ..., z_m) от m независимых переменных z₁, ..., z_m, обращающийся в нуль после подстановки

Вторая основная теорема утверждает, что идеал соотношений имеет конечный базис. Это означает, что можно выбрать среди них конечное число соотношений F₁, ..., F_h, для которых каждое соотношение F будет представимо в виде

где Q_i — многочлены от переменных z₁, ..., z_m.

Я возьму на себя смелость предположить, что Гильберту удалось сначала доказать вторую теорему. Соотношения образуют подмножество в кольце k[z₁, ..., z_m] всех многочленов от переменных z₁, ..., z_m с коэффициентами из данного поля k. Когда Гильберт нашёл своё простое доказательство, он не мог не заметить, что оно проходит для любого множества многочленов Σ. Тем самым он открыл одну из самых фундаментальных теорем алгебры, которая играет основополагающую роль в наших современных абстрактных методах и которая, утверждает, что

(А) Каждое подмножество Σ кольца многочленов k[z₁, ..., z_m] порождает идеал с конечным базисом.

Будет ли это плохой метафизикой, если добавить, что его доказательство оказалось таким простым потому, что предложение справедливо в столь общей форме? Это доказательство проводится при помощи последовательного присоединения переменных z_i и использования на каждом шаге следующего утверждения. Пусть кольцо r удовлетворяет условию (Р): каждый идеал в r обладает конечным базисом; тогда кольцо многочленов r[z] от одной переменной с коэффициентами в r также удовлетворяет условию (Р). После того как установлено это утверждение, мы получаем не только теорему (А), но и её арифметическое обобщение, предложенное Гильбертом, в котором поле k рациональных чисел заменяется на кольцо целых рациональных чисел.

Подмножество Σ соотношений, к которому Гильберт применяет свою теорему (А), само является идеалом, и тем самым идеал {F₁, ..., F_h}, т.е. множество всех элементов вида (1), где Q_iÎk[z₁, ..., z_m], не только содержит Σ, но и совпадает с Σ, Однако доказательство применимо и в случае, когда Σ не является идеалом, и даёт одновременно порождающий идеал {Σ} для Σ и устанавливает конечность его базиса, {Σ} = {F₁, ..., F_h}.

Построение полного набора соотношений F₁, ..., F_h окончательно определило бы алгебраическую структуру кольца инвариантов, если бы оказалось, что любое соотношение представляется в виде (1) только одним способом. Но, так как это, вообще говоря, неверно, нам приходится рассматривать «полиномиальные векторы» M= (M₁ ..., M_h), для которых M₁F₁ + ... + M_hF_h тождественно равно нулю (первые сизигии). Эти линейные соотношения M между многочленами F₁ ..., F_h снова образуют идеал, к которому применима теорема (А). Получаемый таким образом базис M определяет вторые сизигии. К двум первым основным теоремам Гильберт добавляет третью, утверждающую, что можно так выбирать сизигии, что их последовательность обрывается не более чем через m шагов.

Все эти утверждения повисают в воздухе, пока мы не установим первую основную теорему. Последняя имеет совершенно особый характер, поскольку она относится к конечности базиса области целостности, а не идеала. Рассматривая инварианты, мы имеем дело с кольцом k_x = k[x₁, ..., x_m] многочленов от x₁, ..., x_m над данным полем k. Гильберт применяет свою теорему (А) к множеству J всех инвариантов J, для которых J(0, ..., 0) = 0 (оно образует подкольцо в k_x, а не идеал!), и находит таким образом базис i₁, ..., i_m идеала, порождённого множеством J. Каждый из инвариантов i = i_r может быть представлен в виде суммы i = i⁽¹⁾ + i⁽²⁾ + ... однородных форм степеней 1, 2, ..., и, так как эти слагаемые сами представляют собой инварианты, мы можем считать, что i_r — однородные формы степеней ν_r ≥ 1. После этого Гильберт утверждает, что многочлены i₁ ..., i_m составляют систему образующих кольца всех инвариантов. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства этого утверждения, я рассмотрю случай инвариантов для некоторой конечной группы Γ, состоящей из N элементов s (хотя этот случай общей проблемы инвариантов никогда не рассматривался самим Гильбертом). Каждый инвариант J представим в виде

где c = J(0). Если степень J равна ν, то, не нарушая равенства (2), можно избавиться в L_r от всех членов степени, большей ν – ν_r. Если бы нам удалось каким-нибудь способом заменить коэффициенты L_r в (2) на инварианты, то мы получили бы нужное нам утверждение с помощью индукции по степени J. В случае конечной группы это легко можно сделать — надо воспользоваться процессом усреднения. Линейное преобразование U(s) переменных x₁, ..., x_n, определяемое элементом s, переводит (2) в

Суммируя по s и деля полученную сумму на N, мы получаем соотношение

где

Оно похоже на (2), но важно то, что по его построению новые коэффициенты L_r^* являются уже инвариантами ¹.

Фактически Гильберту приходилось иметь дело не с конечной группой, а с классическим случаем, в котором группа Γ состоит из всех линейных преобразований s переменных η₁, ..., η_g. При этом вместо процесса усреднения ему пришлось воспользоваться дифференциальным методом Кэли, так называемым Ω-процессом Кэли, искусное применение которого позволило ему завершить доказательство, (В этом процессе существенно, чтобы g² элементов матрицы s были независимыми переменными, причём вместо абсолютных инвариантов надо рассматривать относительные инвариантные однородные формы данной степени и веса.)

Теорема (A) Гильберта служит краеугольным камнем оснований общей теории алгебраических многообразий. Предположим, далее, что k — поле комплексных чисел. Алгебраическое многообразие, по-видимому, естественно определять как подмножество n-мерного координатного пространства, состоящее из общих решений системы алгебраических уравнений  f ₁ = 0, ...,  f _h = 0 ( f _iÎk_x). Согласно теореме (А) в равной степени можно рассматривать и бесконечные системы уравнений. Пусть Z( f ₁, ..., f _h) обозначает множество точек x = (x₁, ..., x_n), в которых все f _i, а значит и каждый многочлен из идеала F = { f ₁, ..., f _h}, одновременно обращаются в нуль. Любой элемент gÎ{ f ₁, ..., f _h} обращается в нуль на Z( f ₁, ..., f _h), однако обратное в общем случае неверно. Например, x₁ обращается в нуль там же, где и x₁³ тем не менее его нельзя представить в виде x₁³·q(x₁, ..., x_n). На языке алгебраической геометрии мы имеем здесь дело с простой плоскостью x₁ = 0 и тройной плоскостью, хотя множество точек в обоих случаях одно и то же. Таким образом, на самом деле под алгебраическим многообразием мы понимаем полиномиальный идеал, а не множество его нулей. Но, хотя мы и не можем надеяться, что каждый многочлен g, равный тождественно нулю на множестве Z( f ₁, ..., f _h) = Z(F), будет принадлежать идеалу F = { f ₁, ..., f _h}, мы можем рассчитывать, что по крайней мере некоторая его степень войдет в F. «Nullstellensatz» ² Гильберта утверждает, что так и будет если только k есть поле комплексных чисел. В случае произвольного поля коэффициентов k надо ещё потребовать, чтобы координаты рассматриваемых точек x принадлежали полю k или его некоторому алгебраическому расширению. Очевидно, что Nullstellensatz относится к основам самого понятия алгебраического многообразия ³.

В действительности же Гильберт использовал эту теорему как вспомогательное средство для своих исследований по инвариантам. Так как нам приходится иметь дело только с полной линейной группой, мы будем рассматривать только однородные инварианты, не оговаривая этого особо. Отбросим константы (инварианты степени 0). Предположим, что мы нашли μ непостоянных инвариантов J₁, ..., J_μ таких, что каждый другой такой же инвариант обращается в нуль на множестве их общих нулей. Разумеется, в качестве таких инвариантов можно взять базис идеала, порождённого всеми непостоянными инвариантами, но мы сможем найти их и значительно более дешёвым способом. Действительно, одно красивое рассуждение Гильберта показывает, что если существует непостоянный инвариант, не обращающийся в нуль в данной точке x = x⁰, то существует и другой инвариант с тем же свойством, вес которого не превосходит некоторой априорной величины W (например, W = 9n(3n + 1)⁸ для инвариантов тернарной формы степени n). Таким образом, J₁, ..., J_μ могут быть выбраны из инвариантов, вес которых не превышает W, и, таким образом, поддаются явному алгебраическому построению.

Когда Гильберт опубликовал своё доказательство конечности базиса идеала, формалист Гордан, считавшийся в то время королём инвариантов, воскликнул: «Это — не математика, это — теология!» Гильберт всю жизнь протестовал против недооценки доказательств существования, составляющих «теологию». Однако мы видели, как более детальное исследование позволило ему удовлетворить конструктивистским требованиям Гордана. Применяя процесс Кэли и свою Nullstellensatz, ему удалось показать, кроме того, что каждый инвариант J является целой алгебраической (но не всегда рациональной) функцией от инвариантов J₁, ..., J_μ, которая удовлетворяет уравнению

где G — полиномы от J₁, ..., J_μ. Тем самым, алгебраические расширения такого сорта позволяют перейти от J₁, ..., J_μ к базису всей области целостности. После этого известные алгебраические приёмы, аналогичные тем, которые были созданы Кронекером, позволяют дать искомое явное построение.

После формальных исследований, идущих от Кэли и Сильвестра к Гордану, Гильберт открыл новую эпоху в теории инвариантов. Действительно, его новые идеи и мощные методы не только позволили этой области идти в ногу с новейшими алгебраическими достижениями, обязанными Кронекеру и Дедекинду, но и внесли в неё такой вклад, который позволил почти полностью решить все проблемы, во всяком случае относящиеся к случаю полной линейной группы. С вполне оправданной гордостью он завершает свою работу Ueber die vollen Invariantensysteme словами: «Таким образом, я верю, что важнейшие цели теории функциональных полей, образованных инвариантами, достигнуты», после чего покидает сцену ⁴.

Среди исследований, ведущихся с тем пор, как Гильберт ушёл из этой области, следующие два направления представляются самыми важными: (1) Процесс усреднения, применявшийся выше для конечных групп, был перенесён на непрерывные компактные группы. Основываясь на этих трансцендентных методах, Адольф Гурвиц разобрал случай вещественной ортогональной группы. Этот метод оказался чрезвычайно полезным. Простое замечание, что инварианты вещественной ортогональной группы eo ipso ⁵ являются также инвариантами комплексной ортогональной группы, показывает, каким образом эти результаты могут быть перенесены даже на некомпактные группы и, в частности, на все полупростые группы Ли. (2) В настоящее время теория инвариантов для произвольных групп нашла своё естественное место в рамках теории представлений групп линейными подстановками, причём этим развитием мы больше всего обязаны Г. Фробениусу.

Хотя первая основная теорема была доказана для широкого класса групп Γ, мы до сих пор не знаем, верна ли она для любой группы. Вскоре обнаружилось, что все попытки доказать её в такой общности не приводят к успеху. Многообещающий алгебраический подход к этой проблеме указан под номером 14 в списке математических проблем, поставленных Гильбертом в Париже.

Остановившись столь подробно на теории инвариантов Гильберта, мы можем только вкратце упомянуть про его другие, более разрозненные алгебраические достижения. Первая работа, в которой проявился настоящий характер молодого алгебраиста, относилась к выяснению условий, при которых вещественная форма представляется в виде суммы квадратов таких форм. В частности, в ней исследовался вопрос о том, является ли очевидное необходимое условие положительной определённости также и достаточным. С помощью изобретательных рассуждений, основанных на использовании непрерывности, а также алгебраических конструкций, Гильберт нашёл три специальных случая, в которых ответ на этот вопрос положителен, среди них, разумеется, случай положительно определённой квадратичной формы. Во всех остальных случаях Гильберт построил контрпримеры. Похожие методы встречаются в двух работах, посвящённых привлекательной проблеме нахождения максимального числа и расположения вещественных овалов алгебраической кривой и поверхности. Гильберт высказал гипотезу, что для любого числа переменных каждая рациональная функция с вещественными (или рациональными) коэффициентами является суммой квадратов таких функций при условии,что все её значения при положительных значениях аргументов являются положительными. В своих Grundlagen der Geometrie он отметил значение этого факта для геометрических построений с помощью линейки и «Eichmass» ⁶. Позднее О. Веблен предложил в качестве основы для различения положительных и отрицательных элементов в любом поле аксиому, гласящую, что никакая сумма квадратов не равна нулю. Независимо от него Э. Артин и О. Шрайер развили подробную теорию таких «вещественных полей», с помощью которой первому из них удалось доказать гипотезу Гильберта ⁷.

В заключение я упомяну про теорему Гильберта о неприводимости, утверждающую, что после подстановки некоторых целочисленных значений во все переменные, кроме одной, неприводимый многочлен определяет неприводимый многочлен от одной переменной.

Кроме того, стоит упомянуть его работу о решении уравнения девятой степени с помощью функций от минимального числа переменных. Эти работы послужили началом многих современных алгебраических работ (Э. Нётер, Н. Чеботарёв и др.). Наконец, следует отметить, что на фундаменте, заложенном Гильбертом, Э. Ласкер и Ф. С. Маколей создали детальную теорию полиномиальных идеалов, позволившую Э. Нётер развить общую аксиоматическую теорию идеалов. Таким образом, в области алгебры, как и в других областях, понятия, введённые Гильбертом, сыграли большую роль в дальнейшем развитии.

Когда Гильберт, покончив с инвариантами, обратился к теории алгебраических числовых полей, эта теория покоилась в основном на доказанной более сорока лет назад теореме Дирихле о единицах и идеальных дивизорах, введенных Куммером, Дедекиндом и Кронекером. Основным объектом её изучения являются алгебраические поля k над полем рациональных чисел Q. Один из самых важных общих фактов, относящихся к основаниям, был открыт Дедекиндом. Он показал, что простые делители дискриминанта — это в точности те простые числа, разложение которых в произведение простых идеалов в поле k содержит кратные сомножители (разветвлённые простые числа). Если l — простое рациональное число, то добавление к k корня l-й степени из числа α, принадлежащего k, определяет относительное циклическое поле K = k(α^1/l) степени l над k при условии, что k содержит корень l-й степени из единицы ζ = e^2πi/l (согласно Лагранжу, любое относительное циклическое поле степени l над k получается таким образом). Надо отметить, что именно последнее обстоятельство заставило Куммера при его попытках доказать теорему Ферма о невозможности решения уравнения α^l + β^l = γ^l перейти от поля рациональных чисел Q к круговому полю k_l = Q(ζ) и затем ввести свои идеальные числа с тем, чтобы определить, взаимно ли просто с l количество классов эквивалентности таких чисел в k_l. Гильберт вошел в эту область, резюмировав результаты Куммера о циклических полях степени l над полем k_l, которые он назвал «куммеровыми полями».

Его первым важным собственным достижением явилась теория относительных полей Галуа K данного алгебраического числового поля k. В основном он интересовался связью группы Галуа Γ поля K/k с разложением простых идеалов поля k в поле K. Для любого простого идеала B относительной степени  f  в поле K подстановки s из Γ со свойством sB = B образуют группу разложения. Как обычно в теории Галуа, этой группе соответствует некоторое подполе поля K/k (поле разложения). Элемент из K принадлежит этому полю, если он инвариантен относительно всех подстановок из группы разложения. Множество подстановок t, переводящих каждое целое число A поля K в число tA, сравнимое с A по mod B, образует инвариантную подгруппу группы разложения индекса  f, которая называется группой инерции. Соответствующее поле (поле инерции) зажато между полем разложения и полем K. Пусть p — простой идеал в k и B^l — точная степень B, делящая p. Я дам представление о характере результатов Гильберта, сформулировав следующий его центральный результат. В поле разложения идеала B разложение простого идеала p на простые множители содержит простой идеал p^* = B^e степени 1 (отсюда название такого поля!); при переходе от поля разложения к полю инерции идеал p^* остается простым, но его степень увеличивается до  f; при переходе от поля инерции к полю K идеал p^* распадается на e простых сомножителей B одинаковой степени  f. Для дальнейшего я добавлю следующее замечание. Если B входит в разложение p только в первой степени, т.е. e=1 (что всегда выполняется, если p не делит относительный дискриминант поля K/k), то группа инерции состоит только из единичного элемента. В этом случае теория конечных полей Галуа показывает, что группа разложения является циклической порядка  f, а её элементы 1, s, s², ..., s ^f–1 однозначно определяются сравнениями

справедливыми для любого целого числа A. Здесь P обозначает число вычетов в k по модулю p и, тем самым, P^f совпадает с числом вычетов в K по модулю B. Сегодня мы называем элемент s = σ(B) подстановкой Фробениуса идеала B. При этом особо важным является то, что некоторый специальный элемент группы разложения может быть выделен среди всех остальных. Сразу же видно, что для любого элемента u группы Галуа σ(uB) = u^–1σ(B)u. Таким образом, если поле Галуа K/k является абелевым, то подстановка σ(B) = σ(uB) зависит только от p и может быть обозначена через

(

K  p

)

.

В 1893 году Deutsche Mathematiker-Vereinigung ⁸ обратилось к Гильберту и Минковскому с просьбой подготовить в течение двух лет обзор по теории чисел. Спустя некоторое время Минковский выбыл из участия в этом проекте. Монументальный обзор Гильберта Die Theorie der algebraischen Zahlkörper появился в Jahresbericht ⁹ в 1896 году (предисловие датировано апрелем 1897 года). Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил всё то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину математической литературы. Даже сегодня, спустя почти пятьдесят лет, изучение этой книги необходимо для любого, кто пожелает стать специалистом в теории алгебраических чисел. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму. Доказательства всех известных теорем были тщательно проанализированы, прежде чем он остановился на тех из них, «принципы которых поддаются обобщению и более всего пригодны для дальнейших исследований». Но прежде чем сделать такой выбор, нужно было провести сами эти «дальнейшие исследования»! Особое внимание было уделено обозначениям, благодаря чему впоследствии они стали общеупотребительными (включая, к ужасу американских издателей, готические буквы для идеалов). Ему удалось существенно упростить теорию Куммера, основанную на очень сложных вычислениях, а также ввести те понятия и доказать большинство из тех теорем, которые составляют сегодня основания общей теории относительных абелевых полей. Наиболее важными в ней являются понятие символа норменного вычета, центральная теорема об относительных циклических полях, знаменитая Satz ¹⁰ 90 (Собрание трудов, т. 1, стр. 149). Позвольте мне привести один абзац из предисловия, в котором он описывает общий характер теории чисел и, в частности, те темы, которые затрагиваются в его обзоре.

«Теория числовых полей представляет собой здание редкой красоты и гармонии. Самая же богатая идеями часть этого здания, как мне кажется, есть теория абелевых полей, возникшая из работы Куммера о высших законах взаимности и исследований Кронекера по комплексному умножению эллиптических функций. Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают работы этих двух математиков, показывает в то же время, что несметные сокровища всё ещё лежат сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего своё искусство, чтобы овладеть ими».

Сам Гильберт был рудокопом, который в течение следующих двух лет добыл бóльшую часть скрытой под землей руды. Руководящим принципом в это время для него служила аналогия с соответствующими проблемами для алгебраических функций от одной переменной, где доступны мощные методы топологии и абелевых интегралов, введённые Риманом (ср. его замечания в разделе 12 Парижских проблем). Доставляет большое удовольствие наблюдать, как шаг за шагом, поднимаясь от частного к общему, Гильберт вводит адекватные понятия и методы и делает важные заключения. Я упомяну о его выдающейся работе по относительным квадратичным полям, а также о его последней и самой важной работе Ueber die Theorie der relativ Abelschen Zahlkörper. Подробно разбирая примеры, ему удалось предсказать и сформулировать основные факты о так называемых полях классов. В то время как работы Гильберта по теории инвариантов служили завершением теории, его работы по алгебраическим числам были только началом. Бóльшая часть усилий таких теоретико-числовиков последних десятилетий, как Фуртвенглер, Такаги, Хассе, Артин, Шевалле, была направлена на доказательство результатов, предсказанных Гильбертом. Используя ζ-функцию для доказательства существования некоторых вспомогательных простых идеалов, Гильберт существенно опирался на трансцендентные рассуждения. Последующее развитие постепенно избавилось от этих трансцендентных методов, показав, что, хотя те и являются подходящим и мощным инструментом для исследования распределения простых идеалов, они чужды для проблем теории полей классов. Пытаясь описать основные моменты последней, я не буду отказываться от прогресса и упрощения, достигнутого этим недавним развитием.

Разработанная Гильбертом теория норменных символов основана на следующих его собственных открытиях: (1) он осознал основную идею и определил символ норменного вычета для всех неисключительных простых идеалов; (2) он понял необходимость введения бесконечных простых точек; (3) он сформулировал общий закон взаимности в терминах норменного символа; (4) он увидел, что этот закон позволяет распространить определение норменного символа на исключительные простые идеалы, в которых и сосредоточен главный интерес. Существенный прогресс произошел после того, как Э. Артин позже (5) взял за значение символа вычета не корни из единицы, а элементы группы Галуа. В своём наброске проблем, поставленных Гильбертом, я воспользуюсь этой идеей Артина, а также упрощающим языком (6) p-адических чисел Гензеля и (7) иделей Шевалле ¹¹.

Как хорошо известно, целое число a, не делящееся на простое число p≠2, называется квадратичным вычетом, если сравнение x² ≡ a(mod p) разрешимо. Гаусс ввел символ

равный +1 или –1 в зависимости от того, является ли a квадратичным вычетом или невычетом по mod p. Он же заметил, что тот является характером,

Действительно, p вычетов по mod p, в качестве представителей которых можно взять числа 0, 1, ..., p–1, образуют поле, а ненулевые элементы этого поля образуют группу, в которой квадратичные вычеты составляют подгруппу индекса 2. Пусть K = Q(√b) — квадратичное поле, которое получается из поля рациональных чисел Q присоединением квадратного корня из рационального числа b. Целое число α≠0 Гильберт называет p-адической нормой в K, если по модулю любой степени p оно сравнимо с нормой некоторого целого числа в K. Он полагает

и показывает, что этот p-адический норменный символ также является характером. Систематическое изучение чисел по модулю произвольных степеней простых чисел p было проведено К. Гензелем в рамках его p-адических чисел, и я повторю на этом языке определение Гильберта: «Рациональное число a ≠ 0 или, более общо, p-адическое число a_p ≠ 0 является p-адической нормой в поле K, если уравнение

имеет p-адическое решение x = x_p, y = y_p; норменный символ (a_p, K) равен +1 или –1 в соответствии с тем, является ли a_p  p-адической нормой в K или нет».

p-адические числа образуют поле Q(p), а p-адические нормы составляют в его мультипликативной группе G_p ненулевых чисел подгруппу индекса 1 или 2. Цикличность факторгруппы является существенным обстоятельством. Легко видеть, что p-адические квадраты образуют подгруппу G_p² индекса 4, если p ≠ 2, и 8, если p = 2, а факторгруппа G_p/G_p² не является циклической и, следовательно, не может быть описана одним-единственным характером. Разумеется, каждый p-адический квадрат является p-адической нормой в K. Оба шага, замена квадратов K-нормами и переход от модуля p к произвольно большим степеням p, из которых первый позволяет ослабить, а второй усилить условие Гаусса для квадратичного вычета, одинаково существенны для успеха введённого Гильбертом определения.

Каждое p-адическое число a_p ≠ 0 представимо в виде p^he_p, где e_p — p-адическая единица, тем самым a_p имеет определённый порядок h (относительно p). Каждое обыкновенное рациональное число a совпадает с некоторым p-адическим числом I_p(a) = a_p. Здесь I_p обозначает гомоморфизм вложения поля Q в поле Q(p):

Характер

(

a, K   p

)

обозначается также через (I_p(a), K).

Мы подходим ко второму открытию Гильберта; он пришёл к заключению, что нельзя получить простые законы, пока мы не добавим к «конечным простым точкам» p одну бесконечную простую точку q. По определению q-адические числа являются вещественными числами, a I_q(a) — рациональное число, совпадающее с самим a.

Таким образом, вещественное число является q-адической нормой в K, если уравнение a_q = x² – by² имеет решение в вещественных числах x, y. Ясно, что при b > 0, т.е. в случае вещественного поля K, это выполняется для всех a_q. Если же b < 0, т.е. K — мнимое поле, то только положительные числа a_q являются q-адическими нормами.

Тем самым,

Тот факт, что норменный символ является характером, для бесконечной простой точки проверяется, тем самым, намного легче, чем для конечных точек.

Третье замечание Гильберта состоит в том, что закон взаимности Гаусса вместе с двумя его дополнениями может быть записан следующей изящной формулой:

где произведение берётся по всем конечным и бесконечным простым точкам p. Это произведение вполне определено, так как почти все множители (т.е. все, за исключением конечного числа) равны 1. Действительно, если p не входит в дискриминант поля K, то (a_p, K) = 1 для любой p-адической единицы a_p. Формула (3) является первым настоящим успехом идеи норменного символа. Она дала Гильберту уверенность в том, что высшие законы взаимности должны формулироваться в терминах норменных вычетов.

Каждое рациональное число a определяет для каждой простой точки p p-адическое число a_p = I_p(a). Какие свойства этого сопоставления используются при образовании произведения (3)? Очевидный ответ на этот вопрос даёт понятие иделя, введённое Шевалле: идель a есть функция, ставящая в соответствие каждой точке p некоторое p-адическое число a_p ≠ 0, которое является p-адической единицей почти для всех p. Относительно операции умножения функций идели образуют группу J_k. Соответствие p → a_p = I_p(a) определяет для каждого рационального числа a ≠ 0 некоторый идель, называемый главным иделем a. Для иделей a мы можем снова вернуться к нашим прежним обозначениям

вместо (a_p, K). Формула

определяет характер φ_K, норменный характер на группе J_k всех иделей. Закон взаимности в форме Гильберта (3) утверждает, что для главных иделей a

По самому определению норменного символа (a_p, K) это же равенство имеет место, если a является нормой в K, т.е. для любой точки p   a_p есть p-адическая норма в K. Два иделя a и a′ называются эквивалентными, если их отношение a′a^–1 является главным иделем. Обозначим, через Nm J_K группу всех иделей, эквивалентных нормам в K. Тогда равенство (5) имеет место для всех иделей a из Nm J_K, и было бы интересно узнать, только ли для них это верно, или, другими словами, узнать, является ли Nm J_K подгруппой индекса 2 в группе J_k.

Теперь мы достигли такого уровня, когда наш опыт обращения с квадратичным полем K над основным рациональным полем Q позволяет нам перейти к произвольному относительному абелеву полю K над заданным алгебраическим числовым полем k = Q(θ). Прежде всего надо сказать о бесконечных простых точках поля k. Его определяющее уравнение  f (θ) = 0 есть неприводимое уравнение в поле Q некоторой степени m и, тем самым, имеет в множестве комплексных чисел m различных корней θ′, θ″, ..., θ^(m). Предположим, что r из них вещественны, пусть это будут θ′, ..., θ^(r). Каждый элемент α из k имеет r вещественных сопряжённых элементов α′, ..., α^(r). При этом α^(t) определяется как образ α при гомоморфизме I^(t) из k в поле вещественных чисел:

Тем самым, мы говорим об r вещественных бесконечных простых точках q′, .., q^(r) с соответствующими гомоморфизмами I′ = Iq′, ..., I^(r); поля k(q′), ..., k(q^(r)) отождествляются с полем вещественных чисел. Тем самым, α является n-й q′-адической степенью, если уравнение α′ = ξ′ⁿ имеет вещественное решение. Ясно, что это условие нетривиально только для чётных n и эквивалентно в этом случае условию положительности α′. (В комплексной области это уравнение всегда разрешимо вне зависимости от четности n, и именно поэтому мы полностью исключаем из рассмотрения комплексные бесконечные точки.)

Конечные простые точки — это простые идеалы B поля k. При изучении полей Галуа K/k степени n мы вначале исключаем из рассмотрения разветвлённые идеалы p, входящие в относительный дискриминант поля K/k. Каждый неразветвлённый идеал p поля k распадается в K на некоторое число q различных простых идеалов B₁, ..., B_q относительной степени  f , при этом  fq = n. Легко видеть, что p-адическое число α_p ≠ 0 является p-адической нормой в K тогда и только тогда, когда его порядок (в p) кратен  f . В частности, p-адические единицы являются нормами. Таким образом, мы оказываемся в значительно более простой ситуации, чем при определении гауссова символа квадратичного вычета: норменный характер числа α_p зависит только от порядка i этого числа в точке p. Теперь ясно, как надо поступать: мы выбираем первообразный корень  f -й степени из единицы ζ и полагаем (α_p, K) = ζⁱ, если порядок α_p равен i. Построенная функция от α_p является характером и принимает значение 1 на нормах и только на них. Но здесь возникает загвоздка: не существует никакого алгебраического свойства, позволяющего отличать друг от друга несколько первообразных корней  f -й степени из единицы. Тем самым, мы имеем произвол в выборе ζ. С этим ещё можно было бы смириться, если бы мы имели дело только с одним простым идеалом. Но когда нужно принимать во внимание все простые идеалы, образовывая произведения типа (4), эта неопределённость, казалось бы, уничтожает все надежды на получение простого закона взаимности типа (5). Я не буду описывать тех ухищрений, с помощью которых Эйзенштейну, Куммеру и Гильберту удалось выйти из этого трудного положения. Намного лучшее решение было найдено Артином. Если поле K/k абелево, то для K и p однозначно определена подстановка Фробениуса K/p, которая является элементом порядка  f  группы Галуа Γ расширения K/k. Пусть этот элемент и явится заменой ζ в нашем окончательном определении p-адического норменного символа:

если порядок α_p в p равен i. Теперь для любого иделя α мы можем образовать произведение

распространённое по всем конечным и бесконечным (вещественным) простым точкам p, и сформулировать закон взаимности, утверждающий, что (α, K) = 1 для любого главного иделя α. Всё это было бы хорошо, если бы мы только не исключили в нашем определении (α_p, K) некоторых специальных p, а именно бесконечных точек и разветвлённых простых идеалов. В одном специальном случае с помощью чрезвычайно сложных вычислений Куммеру удалось дать правильное определение (α_p, K) для исключительных p. Четвёртое открытие Гильберта состоит в изобретении простого и остроумного приёма, позволившего преодолеть это трудное препятствие, ставшее на пути дальнейшего прогресса. Ограничимся вначале иделями, являющимися n-ми степенями в наших исключительных точках. Другими словами, предположим, что уравнение α_p = ξ_pⁿ разрешимо для p-адических значений α_p иделя α для этого конечного числа точек. В этом случае определить (α, K) не представляет никакого труда:

штрих здесь означает, что произведение берется только по неисключительным простым точкам, где мы знаем определение (α_p, K). При тех же ограничениях мы доказываем (вместе с Артином) закон взаимности

и замечаем, что, по определению, (α, K) = 1, если α — норма. Вернёмся к произвольному иделю α. Легко видеть, что существует эквивалентный идель α* ~ α, который является n-й степенью для всех исключительных простых точек, хотя таких α* будет, разумеется, бесконечное число. Тем не менее ограниченный закон взаимности гарантирует нам, что

принимает одинаковое значение для всех таких α*. Именно это значение мы и возьмём за определение (α, K). Приняв это определение, мы получаем, что закон взаимности (7) и утверждение, что (α, K) = 1 для любой нормы, имеют место без всяких дополнительных предположений. Таким образом, сам закон взаимности становится средством для того, чтобы можно было следить за исключительными точками!

Если значение (α, K) становится известным для любого иделя α, мы можем вычислить (α_p, K) для заданной точки p и заданного p-адического числа α_p ≠ 0, взяв значение (α, K) на «примарном» иделе, также обозначаемом через α_p, равным α_p в точке p и 1 во всех остальных простых точках. (Идель α является произведением своих примарных компонент α_p.) Можно ожидать, что будут выполняться следующие два свойства:

I. (α_p, K) = 1 тогда и только тогда, когда α_p является p-адической нормой.

II. Для данного простого идеала p (α_p, K) = 1 для каждой p-адической единицы α_p тогда и только тогда, когда p неразветвлён.

Выше уже были установлены условия достаточности из I и II:

(I₀) если α_p — норма, то (α_p, K) = 1;

(II₀) если p неразветвлён, то (α_p, K) = 1 для каждой p-адической единицы α_p.

Обратное утверждение к (I₀) тривиально для неисключительных точек, но для исключительных точек из-за неявного определения норменного символа доказательство обратных утверждений к (I₀) и (II₀) довольно сложно. Утверждение II показывает, что для любого простого разветвлённого идеала p норменный характер α_p зависит не только от порядка α_p; тем самым то простое свойство, которое делает возможным определение (6), распространяется только на неразветвлённые идеалы p. Можно было бы надеяться также на справедливость утверждения:

III. Если главный идель α является идельной нормой в поле K, то число α есть норма в K.

Это верно для циклических полей K/k, но, вообще говоря, неверно для произвольных абелевых полей.

Обозначим снова через Nm J_K подгруппу группы J_k, состоящую из иделей, эквивалентных нормам. Тогда норменный символ φ_K(α) = (α, K) определяет гомоморфное отображение факторгруппы J_k/Nm J_K в группу Галуа поля K/k. Можно было бы надеяться, что это отображение взаимно однозначно:

IV. Отображение норменного символа устанавливает изоморфизм факторгруппы J_k/Nm J_K на группу Галуа поля K/k.

Утверждения I, II, III_c (индекс c означает ограничение циклическими полями) и IV составляют основные предложения того, что можно назвать норменной теорией относительных абелевых полей. Они справедливы для каждого такого поля K/k.

Имеется другая часть этой теории, собственно теория полей классов, которая относится к вопросу о связи множества всевозможных относительных абелевых полей K над k со структурой группы J_k иделей поля k. Каждое такое поле K определяет, как мы видели выше, подгруппу конечного индекса Nm J_K группы J_k. Возникает вопрос: какие именно подгруппы J_k^* группы J_k получаются таким способом из абелевых полей K/k? Ясно, что необходимыми условиями являются следующие:

Основная теорема теории полей классов утверждает, что эти условия являются также и достаточными.

V. Для любой подгруппы J_k^* группы J_k, удовлетворяющей трём предыдущим условиям (и, в частности, конечного индекса), существует однозначно определённое абелево поле K/k такое, что J_k^* = Nm J_K.

Разобьём множество иделей на классы, относя два иделя к одному классу, если их частное принадлежит группе J_k^*. Тогда факторгруппа J_k/J_k^* называется группой классов, а соответствующее поле K — полем классов. Самый важный пример получается, если взять за J_k^* группу всех единичных иделей α, значения α_p которых являются p-адическими единицами во всех простых точках p ¹². В этом случае соответствующие классы совпадают с обычными классами идеалов: два идеала принадлежат одному классу, если их частное является главным идеалом (α), где число α положительно для всех вещественных бесконечных простых точек. Соответствующее поле классов K, так называемое абсолютное поле классов, имеет относительный дискриминант, равный единице, и представляет собой максимальное неразветвлённое абелево поле над k (теорема II). Его степень n над k равна числу классов идеалов, а группа Галуа изоморфна группе классов идеалов поля k (теорема IV). Если  f  — наименьшая степень, после возведения в которую идеал p попадает в подгруппу главных идеалов, то p разлагается в произведение n/f  различных простых идеалов в K, каждый из которых имеет относительную степень  f . Последнее утверждение есть не что иное, как повторение норменного определения поля классов. Таким образом, разложение идеала p в поле K зависит только от того класса, к которому принадлежит p. Замена идеалов на идели даёт самый простой подход к обобщению этой теоремы с неразветвлённого случая, которым в основном занимался Гильберт, на разветвлённый случай, изученный Такаги. Гильберт высказал, кроме того, утверждение, что каждый идеал поля k становится главным в абсолютном поле классов. Мы умеем сегодня доказывать это утверждение, однако с помощью ещё не понятых до конца рассуждений, выходящих за рамки абелевых полей.

Как уже говорилось выше, сам Гильберт не смог доказать эти теоремы в полной общности. Однако, отправляясь от гауссовской теории родов в квадратичных полях и исследований Куммера, он начал постепенно двигаться, разбирая простейшие примеры, создавая на своём пути необходимый запас новых понятий и предложений, до тех пор, пока ему не открылся весь ландшафт полей классов. Мы не можем даже пытаться дать здесь идею высокотехнических доказательств всех результатов. Завершение своей работы он оставил своим последователям. Вероятно, ещё далёк тот день, когда мы будем располагать сравнительно полной теорией относительных числовых полей Галуа.

Кронекер показал, а Гильберт упростил его доказательство, что абелевы поля над основным рациональным полем являются подполями круговых полей и тем самым получаются из трансцендентной функции e^2πix подстановкой рациональных значений в её аргумент x. Для абелевых полей над мнимым квадратичным полем аналогичную роль играет так называемое комплексное умножение эллиптических и модулярных функций («Jugendtraum ¹³ Кронекера»). В то время как Генрих Вебер вслед за Кронекером и Р. Фютер под руководством Гильберта воплотили эту мечту в реальность, сам Гильберт обратился к модулярным функциям нескольких переменных, определяемых числовыми полями, и исследовал их связь с арифметикой. Этих своих исследований он никогда не публиковал, однако его идеи на основе его заметок были развиты О. Блюменталем, а позже Э. Гекке. Полученные результаты многообещающи, но всё ещё далеки от полноты. Характерным признаком богатства мысли Гильберта является то, что в этот самый продуктивный период своей жизни он передал своим ученикам целый комплекс проблем, столь привлекательных, как связи между теорией чисел и модулярными функциями ¹⁴.

Остаётся отметить особенно простое доказательство трансцендентности чисел e и π, которым Гильберт открыл серию своих работ по арифметике, и работу 1909 года с доказательством гипотезы Варинга столетней давности. Последнюю работу я бы отнёс к числу его самых оригинальных, но мы не будем на ней более подробно останавливаться, так как десять лет спустя Харди и Литлвуд нашли другой подход, дающий асимптотические формулы для числа искомых представлений. «Круговой метод» Харди—Литлвуда породил в последнее время значительную литературу на эту и смежную с ней тему ¹⁵.

Трудно придумать бóльшую пропасть, чем та, которая отделяла последнюю работу Гильберта по теории числовых полей от его классической книги Основания геометрии, опубликованной в 1899 году. Единственным предвестником последней служила одна заметка 1895 года о прямой как кратчайшей линии. Однако О. Блюменталь сообщает, что уже в 1891 году Гильберт, обсуждая работу Г. Винера о роли теорем Дезарга и Паппа, о которой тот докладывал на одном из математических собраний, сделал замечание, в двух словах передающее суть аксиоматического метода: «Следует добиться того, чтобы во всех геометрических утверждениях слова точка, прямая, плоскость можно было заменить словами стол, стул, кружка».

Греки представляли себе геометрию как дедуктивную науку, которая занимается чисто логическими выводами из небольшого количества заранее установленных аксиом. Этой программы придерживались как Евклид, так и Гильберт. Однако список аксиом Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон и его рассуждения не содержат логических пробелов. Евклид пытался дать описательное определение основных пространственных объектов и соотношений, участвующих в его аксиомах; Гильберт же отказался от такого подхода. Всё, что нам надо знать об этих основных понятиях, содержится в аксиомах. Аксиомы, каковы они есть, являются, по сути дела, их неявными (и по необходимости неполными) определениями. Евклид считал аксиомы очевидными, его интересовало реальное пространство физического мира. Однако в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истинность аксиом несущественны; они служат лишь предположениями, из которых выводятся логические следствия. В самом деле, существует много различных материальных интерпретаций основных понятий, для которых аксиомы становятся верными. Например, аксиомы n-мерной евклидовой векторной геометрии соблюдаются, если брать в качестве вектора распределение постоянного тока в электрической цепи, состоящей из n проводников, соединенных в некоторых точках разветвления, и принять в качестве квадрата длины вектора джоулево тепло, выделяемое током за единицу времени. При построении геометрии на аксиоматической основе стремятся к максимальной экономии, для чего проясняют роль различных групп аксиом. Взятые в своём естественном порядке, это аксиомы инциденции, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности. Например, если это возможно, теорию геометрического подобия или площадей многоугольников строят без аксиом непрерывности.

Во всем этом Гильберт не был одинок, однако в его исполнении чувствуется рука мастера. Выдающейся фигурой среди его предшественников является М. Паш, который прошел длинный путь от Евклида, выявив скрытые аксиомы порядка и с методической ясностью построив дедуктивную систему проективной геометрии (1882 год). Другими из них были Ф. Шур из Германии и представители блистательной школы итальянских геометров (Пеано, Веронезе), которые также принялись за разработку этих вопросов. В выборе основных понятий Гильберт более консервативен, чем итальянцы: вполне сознательно он придерживается традиций Евклида с его тремя классами неопределяемых элементов — точек, прямых, плоскостей — и его отношениями инцидентности, порядка и конгруэнтности сегментов и углов. Это придает особую прелесть книге Гильберта, как будто вы глядите в лицо, хорошо знакомое и в то же время величественно преображенное.

Одно дело — построить геометрию на прочном основании, и совсем другое — исследовать логическую структуру построенного сооружения. Если я не ошибаюсь, Гильберт был первым, кто мог свободно переходить на этот более высокий, «метагеометрический» уровень; он систематически изучает взаимную независимость своих аксиом и устанавливает независимость некоторых из самых фундаментальных геометрических теорем от той или иной ограниченной группы аксиом. Его метод основан на построении моделей: показывается, что модель противоречит одной из аксиом и удовлетворяет требованиям всех остальных аксиом, из чего следует, что первая не может быть следствием остальных. Одним из выдающихся примеров этого метода, известным с давних пор, служит модель неевклидовой геометрии Кэли—Клейна. Для неархимедовой геометрии Веронезе Леви-Чивита построил незадолго до Гильберта удовлетворительную арифметическую модель. Вопрос о непротиворечивости тесно связан с вопросом о независимости. Относящиеся сюда общие идеи кажутся нам теперь почти банальными, настолько радикальным оказалось их влияние на наше математическое мышление. Гильберт высказал их на ясном и точном языке, воплотив их в своей книге, подобной кристаллу: монолитное целое с многими гранями. Её художественные качества, безусловно, способствовали её успеху как шедевру научной литературы.

При построении своих моделей Гильберт демонстрирует поразительную по разнообразию изобретательность.

Самыми интересными примерами мне кажутся, во-первых, тот, где он показывает, что теорема Дезарга не следует из аксиом инцидентности на плоскости, но аксиомы инцидентности на плоскости вместе с теоремой Дезарга позволяют вложить плоскость в пространство более высокой размерности, в котором будут выполняться все аксиомы инцидентности, и, во-вторых, тот пример, где он решает вопрос о необходимости аксиомы непрерывности Архимеда для того, чтобы восстановить все аксиомы конгруэнтности, исключив из них возможность отражений.

Из чего строятся модели? Клейнова модель неевклидовой геометрии может пониматься как демонстрация того, что любой, кто признает евклидову геометрию с её точками, прямыми и т.п., может равным образом получить и неевклидову геометрию простой сменой терминологии. Сам Клейн предпочитал другую интерпретацию в терминах проективного пространства. Однако аналитическая геометрия Декарта давно предлагала более общий и удовлетворительный путь, безусловно известный Риману, Клейну и многим другим: всё, что нам нужно для наших конструкций, — это поле вещественных чисел. Поэтому любое противоречие в евклидовой геометрии должно обязательно проявиться как противоречие в аксиомах арифметики, на которых основаны наши действия с вещественными числами. Никто до Гильберта так ясно этого не высказал. Он формулирует полный и простой список аксиом для вещественных чисел. Система арифметических аксиом обладает такими же заменяемыми частями, как и система геометрических аксиом. С чисто алгебраической точки зрения самыми важными аксиомами являются аксиомы (коммутативного или некоммутативного) поля. Любое такое абстрактное числовое поле может служить основой для построения соответствующих геометрий. Vice versa ¹⁶ можно определять числа и операции над ними, исходя из некоторого пространства, удовлетворяющего определенным аксиомам. Дезаргово Streckenrechnung ¹⁷, которым пользовался Гильберт, служило тому прекрасным примером. В общем случае этот обратный процесс намного сложнее. Чикагская школа Э. Г. Мура продолжила исследования Гильберта, а О. Веблен, в частности, много сделал для того, чтобы вскрыть полное соответствие между проективными пространствами, удовлетворяющими некоторым простым аксиомам инцидентности (без аксиом порядка), и абстрактно определяемыми числовыми полями ¹⁸.

Буквально, вопрос о независимости есть вопрос о доказательстве невозможности вывода одного утверждения из других. При этом объектом исследования становятся сами утверждения, а не те объекты, к которым они относятся; предварительно же мы тщательно анализируем логический механизм дедукции. Метод моделей представляет собой удивительный трюк, позволяющий избавиться от такого рода логических исследований. Однако за этот отход от основной проблемы приходится дорого платить: мы сводим всё к вопросу непротиворечивости арифметических аксиом, который остается открытым. Аналогичным образом утверждение о полноте, буквально означающее, что каждое общее утверждение об объектах, участвующих в аксиомах, может быть выведено из них, заменяется на категоричность (по Веблену). Последнее означает, что любая возможная модель изоморфна одной-единственной модели, с помощью которой доказывалась непротиворечивость. В этом плане Гильберт доказывает, что существует только «одна», декартова геометрия, удовлетворяющая всем его аксиомам. Только в случае конечных проективных пространств Дж. Фано и О. Веблена, например проективной плоскости из семи точек, модель является чисто комбинаторной схемой и вопросы непротиворечивости, независимости и полноты могут быть решены в абсолютном смысле. Сам Гильберт, по-видимому, никогда не думал об иллюстрации своей концепции аксиоматического метода с помощью чисто комбинаторных схем, хотя они и представляют собой самые простые примеры.

Подход к основаниям геометрии, совершенно отличный от того, который был изложен в его книге, был предложен Гильбертом в одной работе, являющейся одним из самых ранних документов теоретико-множественной топологии. С точки зрения механики главной задачей для геометрии является возможность описания движения твердого тела. Такова была точка зрения Гельмгольца, охарактеризовавшего группы движения евклидова пространства с помощью нескольких простых аксиом. Эту проблему продолжал разрабатывать и Софус Ли в связи со своей общей теорией непрерывных групп. Теория Ли зависит от некоторых предположений дифференцируемости; в одной из своих Парижских проблем Гильберт предложил избавиться от них. В упомянутой работе ему это удалось в случае проблемы Гельмгольца для плоскости. Доказательство трудное и утомительное; вполне естественно, что теперь условие непрерывности кладется в основу определения и не играет той решающей роли, как это было в его «Основаниях». Другие авторы, Р. Л. Мур, Н. Дж. Леннес, В. Зюс, Б. фон Керекьярто, значительно разработали проблему, следуя этим топологическим соображениям. Быть может, будет интересно добавить немного личных воспоминаний. Гильберт определяет двумерное многообразие с помощью окрестностей, требуя выделения некоторого класса «допустимых» взаимно однозначных отображений каждой окрестности на некоторую жорданову область в декартовой плоскости, связанных друг с другом непрерывными преобразованиями. Когда в 1912 году я читал в Гёттингене курс по римановым поверхностям, я обратился к работе Гильберта и заметил, что сами эти окрестности могут служить определением этого класса отображений. Окончательное определение было дано затем Ф. Хаусдорфом; аксиомы Хаусдорфа определили лицо топологии ¹⁹. (Однако, когда нам приходится определять дифференцируемое многообразие, мы до сего дня придерживаемся косвенного определения Гильберта; ср. О.Веблен  и  А.Н.Уайтхед, Основания дифференциальной геометрии, М., ИЛ, 1949.)

Фундаментальный вопрос об абсолютном доказательстве непротиворечивости аксиом, который должен был лечь в основу всего математического анализа и даже канторовской теории множеств во всей её безумной общности, постоянно находился в воображении Гильберта, о чем свидетельствует его доклад на международном конгрессе в Гейдельберге 1904 году. Из него видно, что он уже был на этом пути, хотя и далеко от цели. Затем наступило время, когда его всецело захватили интегральные уравнения, а позже физика. Спустя некоторое время, в 1917 году, послышался его громкий голос о старой проблеме в цюрихской речи Axiomatisches Denken ²⁰. К тому времени трудности, связанные с основаниями математики, достигли критического состояния и положение дел взывало о помощи. Под влиянием неотразимых парадоксов в теории множеств Дедекинд и Фреге отказались от своей работы по природе чисел и арифметических утверждений: Бертран Рассел указал на иерархию типов, которые, не будучи «ограничены» грубой силой, подрывали арифметическую теорию континуума. Наконец, Л. Э. Я. Брауэр своим интуиционизмом открыл нам глаза и заставил увидеть, насколько общепринятая математика идет дальше таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на очевидности. Мне жаль, что в своей оппозиции Брауэру Гильберт никогда открыто не признал того большого долга, который он, равно как и другие математики, имел перед Брауэром за это открытие.

Гильберт не хотел приносить тяжелые жертвы, которых требовала точка зрения Брауэра. Он увидел, по крайней мере в общих чертах, тот путь, который позволит избежать этого жестокого увечья. В то же время он был обеспокоен признаками колебания в среде математиков, ряд которых открыто встал на сторону Брауэра. Моя собственная статья о Grundlagenkrise ²¹ в Math. Z. 10 (1921), написанная в первые беспокойные послевоенные годы в Европе, характерна для тех настроений. В результате всего этого Гильберт всерьёз возвращается к проблемам оснований. Он уверен, что абсолютная строгость может быть восстановлена без «совершения предательства нашей науки». В его голосе, произносящем «die Grundlagenfragen einfürallemal aus der Welt zn schaffen» ²², слышится гнев и решимость. «Запретить математику использовать принцип исключенного третьего, — говорит он, — всё равно что запретить астроному пользоваться телескопом или боксеру кулаками». Гильберт сознавал, что сами математические утверждения не могут стать объектами математического исследования, предназначенного доказать их непротиворечивость в первоначальном смысле, пока они не будут сведены к простым формулам. Алгебраические формулы типа a+b=b+a представляют собой самые привычные примеры. Процесс логического вывода, с помощью которого первоначально полученные формулы дают новые формулы, должен быть описан без всякого упоминания значения этих формул. Этот процесс должен начинаться с некоторых основных формул, аксиом, которые должны быть явно выписаны. Так, в его Основаниях геометрии значение геометрических терминов стало несущественным, хотя смысловое значение таких логических терминов, как «и», «не», «если..., то...», всё ещё сохранялось. Теперь же предлагалось уничтожить всякие следы наличия смысла. В частности, логические символы, такие, как → в a→b (читается: «из a следует b»), являются составной частью формул. Гильберт полностью согласен с Брауэром в том, что огромное большинство математических утверждений не имеет «реального» характера утверждений, передающих определенное содержание, основанное на очевидности. Однако он настаивает на том, что нереальные, «идеальные утверждения» необходимы для «полноты» нашей математической системы. Он противостоит Брауэру, который просил нас отбросить то, что не имеет смысла, тем, что полностью избавляется от притязаний на содержательность, пытаясь доказывать не истинность отдельного математического предложения, а непротиворечивость системы. Он уверен, что игра в дедукцию, проводимая по правилам, никогда не приведет к формуле 0≠0. В этом смысле и только в этом он обещает спасти взращенную нами классическую математику. Тем, кто обвиняет его в стремлении свести математику к сплошной игре, он прежде всего указывает на то, что введение идеальных элементов в целях полноты является общим методом во всех областях математики — например, идеальные точки вне достижимой области пространства, без которых последнее было бы неполным; далее он отмечает, что в смежной с математикой науке, физике, также сверяют с экспериментом не отдельные утверждения, а всю систему в целом.

Но как можно убедиться в том, что «дедуктивная игра» никогда не приведет к противоречию? Не придется ли нам это доказывать с помощью дедукции из аксиом, т.е. тем же математическим методом, справедливость которого мы подвергаем сомнению? Ясно, что это привело бы к регрессу ad infinitum ²³. Должно быть, Гильберту, как поборнику аксиоматического метода, было трудно признать, что вопрос о непротиворечивости приходилось решать с помощью интуитивного рассуждения, основанного не на аксиомах, а на очевидности. Однако, в конце концов, неудивительно, что окончательное слово должно оставаться за всевидящим интеллектом. Уже при сообщении правил игры нам приходится рассчитывать на него. Игра происходит без слов, но правила должны быть сказаны, а любое суждение об этой игре, в частности о её непротиворечивости, должно быть высказано словами. Кстати, описывая интуитивную основу для своей Beweistheorie ²⁴, Гильберт демонстрирует выдающееся мастерство в этом, увы, столь неопределенном средстве сообщения, как язык. Относительно того, что он считает очевидным в своих «метаматематических» рассуждениях, Гильберт более авторитетен, чем сам папа римский, более требователен, чем Кронекер или Брауэр. Однако ничего нельзя поделать с тем, что наше рассуждение о гипотетической последовательности формул, оканчивающейся формулой 0≠0, ведётся в гипотетической общности и использует очевидность такого сорта, которую формалист с презрением окрестил бы как приложение принципа полной индукции. Элементарная арифметика может быть основана на таких интуитивных рассуждениях, как это описано самим Гильбертом. Однако для введения бесконечности в полной мере, в которой она встречается в высшей математике, нам требуется формальный аппарат переменных и «кванторов». Тем самым, Гильберт предпочитает провести четкую границу: он становится строгим формалистом в математике и строгим интуиционистом в метаматематике.

По-видимому, стоит кратко объяснить, каким образом формализм Гильберта позволяет восстановить принцип исключенного третьего, служивший главным объектом критики Брауэра. Рассмотрим бесконечную последовательность чисел 0, 1, 2, ... Любое свойство A чисел (например, «быть простым») может быть представлено пропозициональной функцией A(x) («x простое»), из которой подстановкой конкретного числа b вместо переменной x можно получить конкретное утверждение A(b) («b простое»). Согласно принципу, отрицаемому Брауэром и которого хочет придерживаться Гильберт, имеем либо

1. существует число x, для которого справедливо утверждение A(x),

либо

2. A(x) не справедливо ни для какого x.

Принимая его, мы сможем найти некоторого «представителя» r для свойства A, т.е. такое число, что для любого числа b A(b) влечет A(r), A(b) → A(r). Действительно, в случае (a) мы возьмем за r одно из чисел x, для которых справедливо A(x), а в случае (b) берем любое r. Так, Аристид является представителем честности, ибо, как говорили афиняне, если есть честный человек, то это — Аристид. Предполагая, что нам известен представитель, мы сможем решить вопрос, существует ли честный человек или все — нечестные; для этого нам всего лишь надо посмотреть на него: если он нечестен, то и все нечестны. В случае чисел мы даже можем сделать выбор представителя однозначным — в случае (a) мы берем за r наименьшее число, для которого справедливо A(x), а в противоположном случае (b) берем r=0. Таким образом, r получается из A с помощью некоторого оператора ρ_x, r = ρ_x A(x), который можно применить к любому мыслимому свойству A. Пропозициональная функция может содержать, кроме x, другие переменные y, z, ... Тем самым, к оператору ρ необходимо приписывать индекс x, точно так же как при интегрировании надо указывать, по какой переменной оно производится. Оператор ρ_x исключает переменную x; например, ρ_x A(x, y) есть пропозициональная функция от одного y. Оператор такого рода называется квантором. Итак, мы записываем нашу аксиому в виде

При этом не обязательно выбирать представителя однозначным способом; наше конкретное правило действует лишь в случае, когда x пробегает множество чисел 0, 1, 2, ... Вместо этого мы будем считать, что квантор ρ_x обладает универсальной приложимостью и в каждом случае выбирает для нас некоторого представителя. Аксиома выбора Цермело оказывается, таким образом, вплетенной в принцип исключенного третьего. Это смелый шаг, но чем смелее, тем лучше; лишь бы быть уверенным, что мы остаемся в рамках непротиворечивости!

В формализме пропозициональные функции заменяются формулами, обращение с которыми должно быть описано без ссылок на их значение. В общем случае переменные x, y, ... будут встречаться среди символов некоторой формулы A. Мы говорим, что символ ρ_x связывает переменную x в формуле A, если он предшествует этой формуле ²⁵, и говорим, что x свободна в формуле A, если она не связана квантором с индексом x. При этом x, y, →, ρ_x представляют собой символы, входящие в формулу; готические буквы не применяются для обозначения таких символов, а используются для коммуникации. Нашу основную аксиому (8) более естественно рассматривать как правило для образования аксиом. Она выражает следующее: возьмите любую формулу A, в которой x является единственной свободной переменной, и любую формулу b без свободных переменных и с их помощью образуйте новую формулу

Здесь A(b) обозначает формулу, полученную из A подстановкой всей формулы b на место переменной x всюду, где она входит свободно.

Таким образом, в соответствии с определенными правилами формулы могут быть получены как аксиомы. Дедукция основывается на правиле силлогизма: из двух формул a и a→b, полученных ранее, первая из которых стоит слева от символа →, мы получаем формулу b.

Каким образом предлагает Гильберт убедиться в том, что дедуктивная игра никогда не приведет к формуле 0≠0? Вот его основная идея. Пока мы имеем дело только с «конечными» формулами, т.е. с формулами, не содержащими кванторов ρ_x , ρ_y , ..., вопрос об их истинности или ложности можно решить, просто посмотрев на них. С присутствием ρ такое описательное суждение о формулах становится невозможным — самоочевидность больше не работает. Однако любая конкретная дедукция представляет собой последовательность формул, в которых участвует только конечное число аксиоматических правил типа (9). Предположим, что ρ_x является единственным квантором и всюду, где он встречается, за ним следует одна и та же конечная формула A. Другими словами, мы имеем дело с формулами типа (9):

Предположим, кроме того, что формулы b₁, ..., b_h конечны. В этом случае можно произвести приведение, заменяя формулу ρ_xA каждый раз, когда она встречается в нашей последовательности, некоторой конечной формулой r. В частности, формулы (10) примут вид

Теперь мы видим, как нужно выбирать r: если мы последовательно просматриваем конечные формулы A(b₁), ..., A(b_h) и обнаруживаем, что одна из них, скажем A(b₃), истинна, то мы принимаем b₃. Если же все они ложны, то мы берём r наугад. Таким образом, все приведённые формулы (11) «истинны» и наше предположение о том, что дедукция ведет к ложной формуле 0≠0, приводит к противоречию. Основным здесь является то, что в конкретной дедукции встречается только конечное число явно указанных составляющих b₁, ..., b_h. Если мы ошибочно выберем, например, Алкивиада вместо Аристида как представителя неподкупности, то наша ошибка не будет иметь последствий, если только те немногие из людей (из бесконечной толпы афинян), с которыми мы имеем дело, все являются подкупными.

Немного более сложным, будет случай, когда мы разрешим, чтобы формулы b₁, ..., b_h содержали ρ_x , считая, однако, что за ним всегда следует одна и та же формула A. В этом случае мы сначала сделаем пробную редукцию, заменив ρ_xA, скажем, числом&nsbp;0. После этого формулы b₁, ..., b_h заменятся редуцированными конечными формулами b₁⁰, ..., b_h⁰, а формулы (10) — формулами

Такая редукция вполне пригодна, если только A(0) не будет ложна и в то же время одна из формул A(b₁⁰), ..., A(b_h⁰), скажем A(b₃⁰), истинна. Но тогда мы сможем взять b₃⁰ как вполне законного представителя формулы A, и со второй редукцией, заменяющей ρ_xA на b₃⁰, снова всё будет в порядке.

Однако это только самые первые трудности, которые нас ожидают. Кванторы ρ_x , ρ_y , ... с различными переменными, применённые к различным формулам, встанут перед нами, нагромождаясь друг на друга. Мы сделаем пробную редукцию, которая в некоторых местах может и не пройти; эта неудача научит нас, как её исправить. Однако исправленная редукция может не пройти в других местах. Создается впечатление, что мы находимся в замкнутом круге, и возникает вопрос, каким образом надо делать последовательные редукции, чтобы быть уверенным, что окончательная редукция будет хорошей во всех местах нашей последовательности формул. Ничто так не способствовало прояснению замкнутого характера обычных трансфинитных рассуждений в математике, как эти попытки убедиться в непротиворечивости, несмотря на все порочные круги.

Символизм для формализации математики, а также общий подход и первые попытки доказательства непротиворечивости принадлежат Гильберту. Своей дальнейшей разработкой эта программа обязана его молодым сотрудникам П. Бернайсу, В. Аккерману и Дж. фон Нейману. Последние два доказали непротиворечивость «арифметики», вернее, той её части, которая ещё обходится без опасной аксиомы о превращении предикатов в множества. Одно время казалось, что этот пробел незначителен, и уже разрабатывались подробные планы для проникновения в анализ. Затем произошла катастрофа: допуская, что непротиворечивость уже установлена, К. Гёдель указал способ построения арифметических утверждений, истинность которых очевидна, но которые тем не менее не выводятся в рамках формализма. Его метод применим как к гильбертову, так и к любому другому, не слишком ограничительному формализму. Из двух совокупностей, первая из которых состоит из всех формул, получаемых в формализме Гильберта, а вторая — из всех реальных утверждений, истинность которых очевидна, ни одна не содержит другую (при условии, что непротиворечивость формализма может быть установлена). Очевидно, что вопрос о полноте формализма в том абсолютном смысле, в котором его видел Гильберт, был тем самым снят. Когда позже Г. Генцен восполнил пробел в доказательстве непротиворечивости арифметики, существенность которого была обнаружена открытием Гёделя, ему пришлось это сделать с помощью значительного снижения требований Гильберта к очевидности ²⁶. Границы того, что заслуживало доверия с интуитивной точки зрения, вновь стали неопределенными. Так как защита отчизны–арифметики поглотила все силы, наступление на анализ так и не началось, не говоря уже об общей теории множеств.

В таком положении эта проблема находится в настоящее время; никакого окончательного решения не видно. Но независимо от того, что принесет будущее, нет никакого сомнения в том, что Брауэр и Гильберт подняли проблему оснований математики на новый уровень. О возвращении на позиции Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда не может быть и речи.

Гильберт — поборник аксиоматического метода. Он.считал, что этот метод имеет универсальное значение не только в математике, но и во всех науках. Его исследования в области физики пронизаны аксиоматическим духом. В своих лекциях он любил иллюстрировать этот метод примерами из биологии, экономики и т.д.

Современная эпистемологическая интерпретация науки испытала большое влияние его идей. Временами, когда он восхвалял аксиоматический метод, казалось, будто он хочет сказать, что этот метод полностью вытеснит конструктивный или генетический метод. Я уверен, что, по крайней мере в поздние его годы, это не было его настоящим мнением. Хотя исходные математические объекты он вводит с помощью аксиом своей символической системы, формулы строятся им в самом явном и конечном виде. В последнее время аксиоматический метод распространился на все ветви математического дерева. Одна из них, алгебра, насквозь пронизана аксиоматическим духом. Аксиомы играют здесь, можно сказать, служебную роль, являясь средством для определения области изменения переменных, участвующих в явных конструкциях. Однако нетрудно представлять себе картину и по-другому, что именно они являются основными действующими лицами. Нейтральная точка зрения отдает должное как той, так и другой стороне; немалая доля привлекательности современных математических исследований обязана счастливому сочетанию аксиоматического и генетического методов.

Между двумя периодами, в течение которых усилия Гильберта были направлены на основания, сперва геометрии, а затем всей математики в целом, лежат двадцать долгих лет, посвящённых анализу и физике.

Зимой 1900–1901 года шведский математик Э. Хольмгрен докладывал на семинаре Гильберта о первых работах Фредгольма по интегральным уравнениям, и, по-видимому, Гильберт зажёгся ими сразу же. Этот предмет имеет долгую и извилистую историю и своим возникновением он обязан Даниилу Бернулли. В течение двух столетий усилия математиков были направлены к решению (механической, акустической, оптической, электромагнитной) проблемы колебаний среды и связанной с ней краевой задачи теории потенциала. Работа Фурье Théorie analylique de la chaleur (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов; вместе с К. Нейманом они вступили в схватку с гармонической краевой задачей; Вольтерра изучал тот тип уравнений, который теперь носит его имя, а Хельге фон Кох изобрёл бесконечные определители для линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. Большинство научных открытий делается «в своё время»; иногда, но реже какой-нибудь гений приоткрывает завесу над будущим на десятки лет раньше, чем этого можно было ожидать. Открытие же Фредгольма, как мне всегда казалось, пришло с некоторым опозданием для того времени. Что может быть естественнее идеи превращения системы линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в интегральные уравнения при переходе к предельному случаю сплошной среды? Однако тот факт, что в более простых ситуациях в непрерывном предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные уравнения, на целых два столетия приковал внимание математиков к дифференциальным уравнениям!

Тем не менее надо отметить, что простота результатов Фредгольма обязана специальному виду его уравнения, на который трудно было бы напасть, если бы он не руководствовался проблемами математической физики, к которым он его применил:

Здесь линейный оператор, стоящий в левой части, действует на неизвестную функцию x и принимает данное значение  f , (E – K) x = f . Он состоит из двух частей: тождественного оператора E и линейного оператора K, который в некотором смысле слабее E. Фредгольм доказал, что для таких интегральных уравнений справедливы следующие два основных факта, известных для систем из n линейных уравнений от того же числа неизвестных:

1)	Однородное уравнение [ f (s) = 0] имеет конечное число линейно независимых решений x(s) = φ1(s), ..., φh(s), а однородное уравнение с сопряжённым ядром K'(s, t) = K(t, s) имеет такое же число линейно независимых решений ψ1(s), ..., ψh(s).
2)	Неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда заданная функция  f  удовлетворяет h линейным уравнениям  1  ∫   f (s) ψi(s) ds = 0       (i = 1, ..., h). 0

Используя один искусственный приём Пуанкаре, Фредгольм вводит параметр λ, заменяя K на λK, и получает решение в знакомом из линейной алгебры виде, т.е. как отношение двух определителей типа X. фон Коха, каждый из которых является целой функцией λ.

Гильберт увидел две вещи:

1)

построив функцию Грина K для заданной области G и уравнения потенциала Δu = 0 с помощью уравнения Фредгольма на границе области, мы преобразуем дифференциальное уравнение колебания мембраны Δφ + λφ = 0 в однородное интегральное уравнение  1  φ(s) – λ  ∫  K(s, t) φ(t) dt = 0. 0 с симметрическим ядром K, K(t, s) = K(s, t) (при этом параметр λ перестаёт быть искусственным, а отвечает существу дела);

2)

проблема нахождения «собственных значений» λ и «собственных функций» φ(s) этого интегрального уравнения представляет собой интегральный аналог задачи приведения квадратичной формы от n переменных к главным осям. Тем самым, соответствующая теорема для интегральной квадратичной формы  1  1  ∫   ∫  K(s, t) x(s) x(t) ds dt 0 0 (12) с произвольным симметричным ядром K должна лечь в основу общей теории колебаний непрерывной среды.

Если другие и понимали это, то Гильберт, по крайней мере, осознал это настолько чётко, что направил всю свою энергию на доказательство этого предложения. И это ему удалось сделать с помощью такого же прямого метода, который около 1730 года применил Бернулли к задаче о колебании струны: переход к пределу, исходя из алгебраической задачи. При этом ему пришлось использовать определитель Коха—Фредгольма. Он находит последовательность собственных значений λ₁, λ₂, ..., стремящихся к бесконечности, λ_n → ∞ при n → ∞, и ортонормированное множество соответствующих собственных функций φ_n(s),

таких, что

1	1
∫	∫	K(s, t) x(s) x(t) ds dt =	∑	ξn2  λn	,
0	0

где

	1
ξn =	∫	x(s) φn(s) ds   —   коэффициент Фурье.
	0

Из этой теории следует, что каждая функция вида

может быть разложена в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям φ_n:

Предельный переход, который применил Гильберт, довольно сложный. Вскоре после этого Э. Шмидт в своей гёттингенской диссертации нашёл более простое и конструктивное доказательство этих результатов. При этом он применил один метод Г. А. Шварца, изобретённый тем двадцать лет назад для нужд интегральных уравнений.

От конечных форм дорога ведёт либо к интегралам, либо к бесконечным рядам. Поэтому Гильберт рассмотрел аналогичную проблему ортогональных преобразований заданной квадратичной формы

в форму специального вида

от бесконечного числа (действительных) переменных (x₁, x₂, ...) или векторов x счётномерного пространства. При этом рассматриваются только векторы с конечной длиной |x|,

они образуют то, что мы сейчас называем гильбертовым пространством. Преимущество этого гильбертова пространства перед «пространством» всех непрерывных функций x(s) основано на некотором свойстве полноты. Благодаря этому свойству можно сформулировать необходимое и достаточное условие для приведения формы (13) к виду (14) в терминах некоторой «вполне непрерывности», позволяющей провести хорошо известное в алгебраическом случае рассуждение: числа c₁, c₂, ... определяются как последовательные максимумы функции K на «сфере» |x|² = 1.

Как подсказывает теорема об интегральной квадратичной форме, связь между пространством функций x(s) и гильбертовым пространством векторов (x₁, x₂, ...) осуществляется произвольной полной ортонормированной системой u₁(s), u₂(s), ... и выражается уравнением

Неравенство Бесселя утверждает, что сумма квадратов коэффициентов Фурье x_n не превосходит интеграла от квадрата функции x(s). Полнота, впервые введённая А. Гурвицем и подробно исследованная В. Стекловым, требует, чтобы в этом неравенстве было на самом деле равенство. Таким образом, теорема о квадратичных формах от бесконечного числа переменных даёт одновременно результат как о собственных значениях, так и о собственных функциях для симметрических ядер K(s, t) — точнее, давала бы, если бы мы могли рассчитывать на равномерную сходимость ряда Σ x_nu_n(s) для любого заданного вектора (x₁, x₂, ...) из гильбертова пространства. В специальном случае собственных векторов квадратичной формы (13), соответствующей интегральной форме (12),

Гильберт решает этот вопрос, составляя равномерно сходящийся ряд

который представляет на самом деле непрерывную функцию φ(s) с n-м коэффициентом Фурье

И таким образом он получает собственную функцию для K(s, t) с собственным значением λ. Вскоре после этого под влиянием идей Гильберта Э. Фишер и Ф. Рисс доказали свою хорошо известную теорему о том, что пространство всех функций x(s) с интегрируемым по Лебегу квадратом удовлетворяет всем свойствам полноты гильбертова пространства и, тем самым, с помощью полной ортонормированной системы u_n(s) эти пространства изоморфно отображаются друг на друга. Я упоминаю эти подробности ввиду того, что историческая последовательность событий может быть забыта многими из более молодых математиков, для которых гильбертово пространство представляет то абстрактное понятие, которое не различает эти свои две реализации — пространство интегрируемых с квадратом функций x(s) и пространство последовательностей с суммируемым квадратом (x₁, x₂, ...). Я думаю, что Гильберт вполне разумно придерживался рамок непрерывных функций там, где не было настоящей потребности вводить общие понятия Лебега.

Быть может, самым великим достижением Гильберта в области интегральных уравнений является его обобщение теории спектрального разложения с вполне непрерывных на так называемые ограниченные квадратичные формы. Он находит, что в этом случае спектр будет содержать точки накопления и, кроме того, будет присутствовать и непрерывная часть. И снова Гильберт использует непосредственный переход к пределу, увеличивая число переменных ad infinitum ²⁷. И как прежде, вскоре после этого были найдены простые доказательства его результатов.

Расширяя таким образом границы этой общей теории, он не упускает из виду обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, которые дали ей начало. Одновременно с молодым итальянским математиком Эудженио Элиа Леви он развил метод параметрикса, перебрасывающий мост между дифференциальными и интегральными уравнениями. Для заданного эллиптического дифференциального оператора второго порядка Δ^* параметрикс K(s, t) представляет собой нечто вроде качественного приближения к функции Грина, как и последняя, завися от значений аргумента s и параметра t. Предполагается, что он обладает регулярной особенностью при s = t, так что неоднородное уравнение Δ^* =  f  для

сводится к интегральному уравнению ρ + Lρ =  f  относительно функции плотности ρ с ядром L(s, t) = Δ_s^*K(s, t), достаточно регулярным при s = t, чтобы к нему была применима теория Фредгольма. Здесь важно отбросить предположение, что функция K удовлетворяет уравнению Δ^*K = 0, так как в общем случае неизвестно фундаментальное решение для данного дифференциального оператора Δ^*. Чтобы не заботиться о граничных условиях, Гильберт предполагает, что область интегрирования представляет собой компактное многообразие типа сферической поверхности. В зтом случае он показывает, что его метод применим, если параметрикс не только имеет регулярную особенность, но и является симметричным относительно аргумента и параметра.

Сказанного вполне достаточно, чтобы стало ясным, что на территории анализа была открыта золотая жила, которая сравнительно легко поддавалась разработке и которая не скоро должна была истощиться. Линейные уравнения с бесконечным числом неизвестных явились предметом дальнейших исследований (Э. Шмидт, Ф. Рисс, О. Тёплиц, Э. Хеллингер и другие); непрерывный спектр и его появление в интегральных уравнениях с «особыми» ядрами требовали более тщательного анализа (Э. Хеллингер, Т. Карлеман); на обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка с регулярными и особыми граничными условиями также обратили должное внимание (А. Кнезер, Э. Хильб, Дж. Д. Биркгоф, М. Бохер, Я. Д. Тамаркин и многие другие) ²⁸. Стало возможным установить асимптотические законы распределения собственных значений, что было важно для вопросов термодииамики излучения (Г. Вейль, Р. Курант). Разложения по ортогональным функциям изучались независимо от их применений к дифференциальным и интегральным уравнениям. По-новому были освещены непрерывные дроби Стилтьеса и проблема моментов. Самые настойчивые приступили к атаке на нелинейные интегральные уравнения. Вокруг Гильберта организовалась большая международная школа математиков, а интегральные уравнения вошли в моду не только в Германии, но и во Франции, где им уделяли внимание такие великие мастера, как Э. Пикар и Гурса, в Италии и по другую сторону Атлантического океана. Было написано много как хороших, так и посредственных работ. Общим результатом всей этой деятельности стало значительное изменение во взглядах на анализ.

Замечательны приложения интегральных уравнений вне тех областей, для которых они были изобретены. Среди них я упомяну следующие три:

(1)	Проблема Римана определения n аналитических функций  f 1(z), ...,  f n(z), регулярных всюду, за исключением некоторого конечного множества точек, и изменяющихся при аналитическом продолжении вокруг этих точек согласно заданным линейным преобразованиям. Эта проблема была решена самим Гильбертом, а затем более простое и полное решение было дано Племелем. (Очень специальный случай этой проблемы даёт существование алгебраических функций на римановой поверхности, заданной в виде накрытия комплексной z-плоскости.) В этом же направлении лежали и исследования Дж. Д. Биркгофа о матрицах из аналитических функций.
(2)	Доказательство полноты неприводимых представлений компактной непрерывной группы. Оно является необходимым средством для подхода к общей теории инвариантов на основе метода усреднения Гурвица, а уточнение и обобщение этого метода играет важную роль в современных теоретико-групповых исследованиях, включая разработанную Г. Бором теорию почти периодических функций 29. Таким образом, здесь мы снова встречаемся со старым другом Гильберта — теорией инвариантов.
(3)	Совсем недавно гильбертов метод параметрикса помог установить центральную теорему существования в разработанной У. В. Д. Ходжем теории гармонических интегралов на компактных римановых пространствах 30.

Рассказ получился бы достаточно драматичным, даже если бы мы остановились на этом месте. Однако спустя некоторое время произошло удивительное событие: спектральная теория в гильбертовом пространстве оказалась подходящим математическим аппаратом для новой квантовой физики, начало которой было положено Гейзенбергом и Шрёдингером в 1925 году. Это последнее развитие привело к пересмотру всего предмета в целом при помощи более тонких средств (Дж. фон Нейман, А. Винтнер, М. Г. Стоун, К. Фридрихс). Так как Дж. фон Нейман был сотрудником Гильберта в период окончания той эпохи, когда его интересы делились между квантовой физикой и основаниями, историческая связь с собственными достижениями Гильберта не прекращается даже в этой последней фазе развития. Обзор того, что стало с теорией абстрактных пространств и линейных операторов в наше время, лежит вне рамок настоящей статьи.

Картина «аналитического периода» Гильберта будет неполной, если мы не упомянем второй мотив, вариационное исчисление, который пересёкся с его доминирующим интересом — интегральными уравнениями. «Теорема о независимости», которой он окончил свой парижский обзор математических проблем (1900), внесла важный вклад в формальный аппарат этого исчисления. Но гораздо более важную роль сыграл его смелый и решительный подход к проблемам функциональных максимумов и минимумов. Весь хорошо отработанный аппарат вариационного исчисления здесь был сознательно отброшен в сторону. Вместо него он предложил строить минимизирующую функцию как предел последовательности функций, для которых значение рассматриваемого интеграла стремится к своему минимуму. Классический пример даёт интеграл Дирихле в двумерной области

Допустимыми здесь являются все функции u с непрерывными производными, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Пусть d — нижняя грань значений D[u] для допустимых u; тогда можно найти последовательность допустимых функций u_n такую, что D[u_n] → d при n → ∞. Нельзя ожидать, что сама последовательность u_n будет сходиться, однако можно попытаться её изменить с помощью подходящего процесса интегрального сглаживания, чтобы она начала сходиться. Так как предельная функция должна быть гармонической, а значение таких функций для любой точки P совпадает со средним значением её на любой окружности K с центром в P, то естественнее всего заменить u_n(P) на её среднее значение в K. При этом мы надеемся, что это среднее значение будет стремиться к числу u(P), которое не зависит от выбранной окружности, а его зависимость от точки P даст решение проблемы минимума. Кроме интегрирования Гильберт использует до перехода к пределу некоторый процесс выделения подходящей подпоследовательности из u_n. Благодаря простому неравенству

открытому С. Зарембой, последнего можно и не делать. Метод Гильберта ещё лучше приспособлен для задач, в которых граница области не имеет столь большого значения, как в краевой задаче. После небольшого видоизменения его можно применять к случаю точечных особенностей, и таким образом Гильберт решает фундаментальную проблему для потоков на римановых поверхностях. Это позволяет получить необходимую основу для подхода самого Римана к теории абелевых интегралов, а также показывает, что таким же образом можно получить фундаментальные теоремы Пуанкаре и Кёбе об униформизации. Насколько бы далеко мы продвинулись в теории чисел, если бы располагали столь же мощными методами для конструкции абелевых и произвольных расширений Галуа полей алгебраических чисел, какими оказались трансцендентные методы Римана—Гильберта в применении к аналогичным проблемам в полях алгебраических функций! Широкие их приложения к теории конформных отображений и минимальных поверхностей были открыты работами Рихарда Куранта — человека, много лет являвшегося главным сотрудником Гильберта во всех математических делах в Гёттингене ³¹. Также значительным, но не таким непосредственным является влияние идей Гильберта на целое направление в современном развитии вариационного исчисления; в Европе среди многих других можно упомянуть имена Каратеодори, Лебега, Тонелли, в Америке цепочка тянется от О. Больца до совсем недавней работы М. Морса.

Ещё до смерти Минковского, в 1909 году, Гильберт начал систематическое изучение теоретической физики в тесном сотрудничестве со своим старым другом, который всегда находился в курсе достижений соседней науки. Работа Минковского по теории относительности стала первым плодом этих совместных занятий. Гильберт продолжал их в течение многих лет и в период между 1910 и 1930 годами часто читал лекции и вёл семинары на физические темы. Он с большой радостью расширял свой кругозор и свой контакт с физиками, с которыми он мог встречаться на их собственной территории. Тем не менее урожай, собранный им на этой почве, вряд ли может сравниться с его достижениями в чистой математике. Многообразие экспериментальных фактов, которые приходится принимать во внимание физику, является огромным, их увеличение происходит слишком быстро, а их значение и относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический метод смог найти здесь себе достаточно твёрдую опору, разве что это возможно в каких-нибудь прочно установившихся областях нашей физической науки. Люди, подобные Эйнштейну или Нильсу Бору, в темноте прокладывают свой путь к своим концепциям об общей теории относительности или структуре атома, руководствуясь опытом и воображением, отличными от тех, которыми пользуются математики, хотя, без сомнения, и для них математика играет важную роль. В результате, обширным планам Гильберта в области физики так и не суждено было свершиться.

Однако применение им интегральных уравнений к кинетической теории газов и элементарной теории излучения представляет собой значительное достижение. В частности, его асимптотическое решение фундаментального уравнения Максвелла—Больцмана в кинетической теории газов, интегрального уравнения второго порядка, чётко разделило два слоя экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория. Более подробно это решение было рассмотрено физиками, которые применили его к ряду конкретных проблем. В своих исследованиях по общей теории относительности Гильберт соединил теорию гравитации Эйнштейна с программой единой теории поля Г. Ми. Более трезвый подход Эйнштейна, не связанный с весьма спекулятивной программой Ми, оказался более полезным. Работа Гильберта может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и электромагнетизма. Однако в гамильтониане Гильберта остаётся ещё слишком много произвольности; последующие попытки избавиться от неё (Вейль, Эддингтон, сам Эйнштейн и другие) не достигли окончательной цели.

В то время в кружке Гильберта царило очень радужное настроение; мечта о некотором универсальном законе, управляющем как космосом в целом, так и всеми атомными ядрами, казалась почти воплощённой. Однако проблема создания единой теории поля остается нерешённой и поныне; почти наверняка, помимо гравитации и электромагнетизма, удовлетворительное решение должно будет включать и материальные волны (функцию Ψ Шрёдингера—Дирака для электрона и аналогичные характеристики поля для других ядерных частиц), а математическое оформление теории не ограничится простым обобщением ставшей уже классической теории гравитации Эйнштейна.

Гильберт был не только великим учёным, но и великим учителем. Свидетелями этого являются его многочисленные ученики и ассистенты, которых он учил математическому ремеслу, вовлекая их в свою собственную работу, в изобилии делясь своими идеями, а также с помощью своих лекций, многие записи которых нашли свою дорогу из Гёттингена в публичные и личные математические библиотеки. Эти лекции охватывают чрезвычайно разнообразные разделы математики. Опубликованная в соавторстве с С. Кон-Фоссеном Наглядная геометрия выросла из его педагогической деятельности. Просматривая впечатляющий список его работ, помещённый в Собрании трудов (т. 3, стр. 430), поражаешься значительному числу курсов на такие общие темы, как «Знание и мышление», «О бесконечном», «Природа и математика». В целом его лекции были точным отражением его личности: непосредственные, яркие; как могли они не быть вдохновляющими?