XVI
ФИЗИКА

Осенью 1910 года Венгерская Академия наук объявила о присуждении второй премии Бояи «Давиду Гильберту, который глубиной мыслей, оригинальностью методов и строгой логикой доказательств уже оказал значительное влияние на прогресс математических наук».

Именно Пуанкаре, как секретарю комитета по премии, пришлось подготовить общий обзор работ Гильберта для представления Академии и дальнейшего опубликования.

Качествами, о которых он счёл нужным специально упомянуть, были разнообразие интересов, важность решаемых проблем, элегантность и простота методов, ясность изложения и забота об абсолютной строгости. Он высоко оценил удобочитаемость работ Гильберта. Кроме того, он отметил, что влияние работ Гильберта на прогресс математики не ограничивается лишь его личными исследованиями, но также обязано его педагогической деятельности, «помощь, которую он оказывает своим студентам, позволяет им в свою очередь использовать созданные их учителем методы и вносить вклад в нашу науку».

Подробно описав достижения Гильберта (в основном остановившись на его работе по основаниям геометрии), он попытался найти для них место среди достижений других математиков.

О доказательстве теоремы Гордана: «Невозможно лучше оценить прогресс, достигнутый господином Гильбертом, чем сравнить количество страниц, потраченных Горданом на своё доказательство, с теми строчками, в которые уложилось доказательство господина Гильберта».

О новом доказательстве трансцендентности чисел е и π: «Способность упростить то, что на первый взгляд кажется очень сложным, является одной из характерных черт таланта господина Гильберта».

О работе по полям алгебраических чисел: «Введение идеалов Куммером и Дедекиндом принесло значительный прогресс: оно позволило обобщить и в то же время прояснить классические результаты Гаусса по квадратичным формам и их композициям. Работы господина Гильберта... представляют собой новый шаг вперёд, не менее важный, чем первый».

Об исследованиях по основаниям геометрии: «В истории геометрических идей можно выделить три эпохи: в первую учёным, среди которых мы можем прежде всего отметить Я. Бояи, удалось развить неевклидову геометрию; во вторую Гельмгольц и Ли открыли роль идеи движения и группы в геометрии; третья была начата работами господина Гильберта». Об обосновании принципа Дирихле: «Нет нужды подчёркивать важность открытий, вытекающих из этой специальной проблемы Дирихле, [и] мы не должны удивляться числу исследователей, находящихся сейчас на пути, указанном господином Гильбертом».

О доказательстве теоремы Варинга: «Мы не сомневаемся, что эти рассуждения... будучи полностью осознаны, найдут приложения к значительно более общим задачам, чем проблема Варинга».

О недавней работе по теории интегральных уравнений: «Это открытие господина Фредгольма, безусловно, одно из самых замечательных открытий нашего времени... Господину Гильберту принадлежат важные усовершенствования..., особенно привлекательными чертами которых являются простота, надёжность и общность».

Доклад Пуанкаре о премии Бояи появился в 1911 году в Acta Mathematica. В то время ещё никто не подозревал, что в нём подводился итог всему тому, что внёс Гильберт в конструктивную математику. На следующий год Гильберт, которому уже исполнилось пятьдесят лет, стал в глазах своих коллег физиком.

Недавняя работа по интегральным уравнениям (монография по которой была опубликована в 1912 году) привела его в пограничную область между математикой и физикой. В своей книге он рассмотрел с одной общей точки зрения различные теории. В результате ему удалось добиться значительно большей абстрактности, унификации, ясности и строгости, чем это было до него. Однако, с точки зрения физика, на практике это давало немногое. В большинстве случаев продолжали пользоваться старыми методами дифференциальных уравнений. Тем не менее во введении к своей книге по интегральным уравнениям Гильберт выразил радость но поводу существования раздела физики, где физические понятия естественным образом вели к интегральным уравнениям, которые представляли единственный аппарат для теоретической обработки экспериментальных данных. Этой областью была кинетическая теория газов, и опубликование весной 1912 года работы по основаниям этой теории отразило тот факт, что математик Гильберт обратил теперь своё внимание на физику.

Оглядываясь в прошлое, он представлял себе, что начало современной эры в физике пришлось на его доцентские дни, когда Герц установил существование электромагнитных волн, предсказанных Максвеллом. Затем, быстро сменяя друг друга, последовали открытия икс-лучей Рентгеном, радиоактивности супругами Кюри, электронов Дж. Дж. Томсоном. Макс Планк выдвинул квантовую теорию. Эйнштейн провозгласил специальную теорию относительности. За несколько лет произошло так много открытий, что их хватило бы на несколько веков. «И ни одно из них не уступало великолепию достижений прошлого», — ликовал Гильберт.

Однако, как математика, его беспокоило отсутствие порядка в триумфальных успехах физиков. И в этом он был не одинок. Вальтер Литцман, один из его бывших студентов, вспоминал: «Какое беспокойство охватывало нас, математиков, на лекциях по теоретической физике, когда то один, то другой принцип выдвигался перед нами без доказательства, после чего из него выводились различного сорта утверждения и следствия. Мы ощущали настойчивую потребность исследовать, совместны ли эти различные принципы друг с другом и в каких отношениях они находятся между собой».

Аналогичные вопросы изучались Гильбертом в связи с его работой по аксиоматике геометрии — вопросы полноты, независимости и непротиворечивости аксиом. Теперь ему казалось, что настало время для проекта, предложенного им в Париже в качестве шестой проблемы двадцатого столетия, — аксиоматизации физики и других наук, тесно связанных с математикой. Некоторые из фундаментальных физических явлений должны были быть приняты в качестве аксиом, из которых все остальные наблюдаемые явления можно было бы выводить на основе строгой математической дедукции, подобно тому как чётко и удовлетворительно выводились теоремы Евклида из его аксиом. Однако такой проект требовал математика для своего выполнения.

«Физика, — объявил Гильберт, — слишком сложна для физиков».

Хотя это замечание казалось довольно высокомерным, физики понимали, что он этим хотел сказать.

«Хотя это была только шутка, — сказал позже один Нобелевский лауреат, — таким образом он выразил нечто совершенно правильное: уважение к трудностям задач, поставленных в этой области чистого разума, которые могли быть оценены только тем, кто сам затрачивал на их преодоление все свои интеллектуальные способности».

В Париже Гильберт специально упомянул, что, по его мнению, исследования аксиом теории вероятностей должны сочетаться со строгим и обстоятельным развитием метода средних значений в математической физике и, в частности, в кинетической теории газов. Именно здесь он начал претворять в жизнь новые планы.

В основе кинетической теории газов лежит тот принцип, что в силу полной беспорядочности движения молекул в газе оно должно описываться статистически, а все эффекты, связанные с давлением, плотностью, температурой, должны предсказываться на основе средних движений. Однако эта теория не развивалась единым образом, её различные аспекты разрабатывались отдельно и без всякой связи между собой. Применяя аксиоматический метод и свою теорию интегральных уравнений, Гильберт сумел создать прекрасную по простоте общую систему и таким образом сделать из своей теории удобный и доступный математический аппарат. («Интересно заметить, — писал много лет спустя фон Карман, — что эта работа, созданная шестьдесят лет назад, в то время, когда космический полёт казался фантастической мечтой, является в настоящее время основой большинства наших инженерных расчётов о поведении искусственных спутников».) Значение его исследований в этой области состоит не столько в получении уже известных физических теорем, сколько в выявлении общей точки зрения на их структуру, условия и возможные области применения.

Но, несмотря на веру Гильберта в способность аксиоматического метода вносить порядок в беспорядочное, он понимал, что не сможет решить физических проблем с помощью одной лишь математики. Он должен быть в курсе современных исследований. Конечно, этого можно было достичь при помощи чтения и изучения опубликованных сообщений о новых открытиях. Однако такой способ не устраивал Гильберта. Вместо этого он обратился за помощью к своему старому другу Арнольду Зоммерфельду.

В то время в Мюнхене Зоммерфельд был центром самой активной группы молодых физиков Германии, Как было принято в немецких университетах, каждый профессор физики имел свой собственный «институт», со своим факультетом, своими доцентами, ассистентами и студентами. В Мюнхене самым большим и лучше всего оборудованным был институт Рентгена, профессора экспериментальной физики; самым маленьким был институт Зоммерфельда. Однако, когда Зоммерфельд прибыл в Мюнхен, он настоял на том, чтобы вдобавок к библиотеке и рабочим столам, обычным принадлежностям института теоретической физики, ему были предоставлены возможности для экспериментирования. Своим приездом он создал в институте редкую атмосферу товарищества. В то время как студенты Рентгена работали независимо друг от друга и «даже слишком частые контакты между комнатами не поощрялись», студенты Зоммерфельда нередко составляли ему компанию в катании на лыжах на близлежащих Альпах зимой и в прогулках по горам летом — «лазая вверх и вниз, не переставая говорить о физике». В будние дни в Мюнхене они собирались после ленча в ближайшем к университету кафе на «кекс и физику». Здесь формулы и диаграммы важных открытий часто записывались прямо на мраморных столиках, которые затем вытирались недовольной официанткой.

Гильберт обратился с просьбой к своему старому другу подобрать для него какого-нибудь молодого человека с тем, чтобы тот стал его специальным ассистентом по физике. Зоммерфельд предложил эту работу своему ученику Паулю Эвальду, который недавно закончил свою диссертацию о прохождении света через кристалл.

Когда весною 1912 года Эвальд вернулся в Гёттинген, его приветствовали как «учителя физики Гильберта». Именно так, по-видимому, и представлял себе эту должность Гильберт. Он сразу же указал Эвальду на те различные вопросы физики, с которыми он хотел бы познакомиться.

«Я помню, что одним из них был следующий вопрос. Существовала старая дискуссия о числе упругих констант в кристалле, идущая от основателей теории. Гильберт велел мне с этим познакомиться и сказать ему, кто прав. Для этого я пошёл в Lesezimmer и раздобыл все необходимые старые книги. Найдя их очень интересными, я понял, что у обеих точек зрения были веские аргументы. На самом деле, я не смог найти ни одного пробела ни у одной из сторон, этого же не смогли сделать как сами эти великие люди, так и все другие, занимавшиеся этой проблемой. Таким образом, мне пришлось вернуться и доложить обо всем Гильберту. Спустя несколько лет вся эта проблема, задерживавшая развитие физики кристаллов в течение более чем пятидесяти лет, была решена Максом Борном».

Согласно Эвальду, научную программу Гильберта того времени можно было кратко выразить словами: «Мы преобразовали математику, теперь очередь за физикой, а затем мы перейдём к химии». Химия того времени была «чем-то вроде кулинарии, преподаваемой в женской школе». Именно так её описывал Гильберт.

Теперь он намеревался перевести на удобоваримый математический язык физические теории одну за другой. От кинетической теории газов он перешёл к другой области, понятия которой также непосредственно подводили к интегральным уравнениям. Это была элементарная теория излучения. За следующие два года он опубликовал серию работ, в которых с помощью линейных интегральных уравнений получил основные результаты в этой теории, заложил для них аксиоматическую основу и доказал непротиворечивость своих аксиом. Подход к этой конкретной теории явился, по существу, моделью общего подхода к физике, который им был предложен в Париже.

Эвальд вспоминает, что лично он не испытывал особо «тёплого чувства» к проблеме излучения. Ему казалось, что Эрих Гекке, ассистент Гильберта по математике, в действительности гораздо лучше понимал суть затруднений Гильберта относительно различных обсуждаемых работ по физике, чем он сам; быть может, это объяснялось тем, что его мышление по своей сути было таким же математическим, как и у Гильберта.

Гекке стал впоследствии одним из выдающихся математиков своего времени, но он всегда вспоминал о днях своего ассистентства у Гильберта как о высшей точке своей карьеры. За свои труды он получал 50 марок в месяц, приблизительно 12,5 доллара на американские деньги того времени. Однажды Гильберт решил, что эта сумма недостаточна, и сказал Гекке, что в следующую поездку в Берлин он обсудит это дело с министром культуры. Однако после окончания приёма у министра, который имел решающее слово почти во всех университетских делах, Гильберт вспомнил, что он забыл о чём-то спросить. Без всяких церемоний он высунулся из окна кабинета и крикнул госпоже Гильберт, дожидавшейся его внизу в парке: «Кёте, Кёте! О чём я ещё хотел сказать?» — «Гекке, Давид, Гекке!» Гильберт втянул голову обратно, повернулся к ошеломлённому чиновнику и начал требовать удвоения жалованья Гекке, что и было достигнуто.

В мае 1912 года Зоммерфельд приехал в Гёттинген на средства комиссии по премии Вольфскеля, чтобы рассказать о недавних открытиях в физике. В этот раз он докладывал о недавних успехах Макса фон Лауэ и других в вопросах о прохождении рентгеновских лучей через кристалл. Это достижение вскрывало истинную природу рентгеновских лучей и открывало новый путь для их исследования. Когда Эвальд услышал об этом, он вспомнил про свой разговор с фон Лауэ незадолго перед приездом в Гёттинген. Фон Лауэ пошел проконсультироваться со старшим коллегой по поводу одного вопроса из своей диссертации, но спустя несколько минут нашёл его подозрительно рассеянным.

«Что случится, если допустить, что через кристалл проходят значительно более короткие волны?» — хотел узнать фон Лауэ.

«Всё содержится в этой формуле, — сказал Эвальд. — Пожалуйста, вы можете сами обдумать её, я выпишу её для вас. У меня, к сожалению, нет времени на это, так как надо в ближайшие два дня представить диссертацию и подготовиться к устному экзамену»,

Эвальд не вспоминал больше об этом событии, пока не услышал доклад Зоммерфельда об открытии фон Лауэ. Нельзя было придумать более драматического подтверждения точки зрения Гильберта о пользе непосредственных научных контактов! В тот же день Эвальд поспешил в свою комнату. В своей диссертации он нашёл все необходимые формулы, позволявшие проанализировать открытие фон Лауэ. Над этим он проработал всю ночь.

Однако в большей части семестра работа ассистентом Гильберта была лёгкой и не занимала много времени. Это давало Эвальду возможность понаблюдать за личностью Гильберта более близко, чем это ему удавалось в бытность свою студентом курса анализа 1906 года.

Однажды Отто Тёплиц, к тому времени уже приват-доцент, пришёл к Гильберту со статьей одного из участников его семинара.

«Большинство докторских диссертаций содержат половину идеи, — сказал он профессору. — Хорошие диссертации содержат одну идею. Эта же работа содержит две хорошие идеи!»

Однако существовала трудность. Автор этой работы Якоб Громмер не имел права претендовать на докторскую степень. Он так и не получил выпускного аттестата гимназии; в действительности он никогда и не посещал её, так как учился в талмудистской школе, готовясь стать раввином. По обычаю тех мест Восточной Европы, из которых он приехал, новый раввин должен был жениться на дочери старого раввина. Однако, когда невеста увидала уродливые руки и ноги Громмера, страдавшего акромегалией, она отказалась выйти за него замуж и тем самым положила конец его надеждам на жизнь раввина. Отвергнутый жених обратился тогда к математике.

Гильберт взялся за дело Громмера «со вспышкой решимости в глазах», как вспоминал Эвальд.

Если мне удастся раздобыть докторский диплом для этого молодого человека — литовца, еврея и не имеющего аттестата гимназии, то после этого можно будет сказать, что я действительно что-то сделал!»

(Нет нужды говорить, что в конце концов Громмер действительно получил свою степень доктора философии.)

Несмотря на свою любовь и восхищение Гильбертом, Эвальд находил его «немного похожим на остановившегося в своём развитии подростка». В тёплые дни Гильберт являлся на лекции в рубашке с короткими рукавами и открытым воротом — наряде, совершенно неподобающем для профессора тех времен. Он носился по улицам, как уличный разносчик, с букетами из своего сада для своих «пассий». Корзину с удобрениями он мог везти на руле своего велосипеда так, как будто это был подарок. На концерте или в ресторане, как бы элегантно он ни был одет, почувствовав сквозняк, он мог одолжить меховую горжетку или боа из перьев у одной из присутствующих дам. Некоторым, например Эвальду, казалось, что подобные поступки объяснялись его желанием шокировать граждан, более привыкших к условностям. Другие считали, что он делал, это потому, что считал это разумным, не беспокоясь, что это противоречило общепринятому поведению. В любом случае он всегда держался с таким естественным достоинством, что не вызывал ни у кого смеха.

Ему всё ещё нравилось танцевать, и он всегда предпочитал ежегодный бал у ректора банкету, устраиваемому каждый год этим официальным лицом для профессоров и их жён. Ему нравились симпатичные молоденькие дамочки, и он с радостью объяснял им математические идеи. «Но, моя девочка, — мог он сказать, — вы должны это понять».

Однажды он сочинил небольшое стихотворение для своего «обожаемого ангела», в котором выразил надежду, что некоторые из его фавориток получат приглашение на бал:

Lieber
Engel,
Mach mit Eile,
Dass Mareille
Kar — —, Ils — —, und Wei — —,
Diese drei
Auf jeden Fall
Kommen zum Rektorenball.

Написав эти куплеты на листочке бумаги, вырезанном в виде ангела, он незаметно оставил его в кабинете у ректора.

Давид Гильберт, 1912 г.— один из серии портретов профессоров, продававшихся в Гёттингене как почтовые открыткиОн любил забавляться, выдавая себя за этакого светского льва. В панаме, прикрывающей лысину, он мог заявить, что лучшим, по его мнению, летним отдыхом было бы путешествие с женой какого-нибудь из своих коллег. Тем не менее, по словам Дьёрдя Пойа, бывшего в то время студентом в Гёттингене, каждый раз он «выглядел таким невинным».

Реакцию Кёте Гильберт на многочисленных «пассий» её мужа отражает следующий анекдот о праздновании пятидесятилетия Гильберта. Приветствуя профессора, несколько его студентов сочинили так называемый «любовный алфавит». На каждую букву в нём были куплеты об одном из увлечений Гильберта. На «I» —

Wenn sich unsere Haare lichten
Lieben wir die kleinen Nichten.
Das ist menschliche Natur
Denkt an Ilschen Hilbert nur.

Когда наши волосы становятся реже,
мы начинаем любить маленьких племянниц.
Такова человеческая природа,
вспомните только об Ильзе Гильберт
.

Когда дошли до «K», то никто не мог придумать ни одного из увлечений Гильберта на эту букву. Тогда Кёте Гильберт сказала: «Ну хотя бы сейчас вы могли бы один раз вспомнить обо мне». В восторге молодые люди сразу же сочинили следующие куплеты:

Gott sei Dank, nicht so genau
Nimmt es Käthe, seine Frau.

Слава богу, что не так серьёзно
Воспринимает всё это Кёте, его супруга
.

«Без Кёте, — говорил Эвальд, — Гильберт бы совсем пропал». Курант добавляет: «Без неё он не мог бы прожить ту жизнь, которую он вёл».

Именно в это лето — в лето пятидесятого года жизни Гильберта — умер Анри Пуанкаре. Ему было 56 лет, и 33 года из них он продуктивно работал почти во всех областях математики. За год до смерти он попросил редактора одного математического журнала принять неоконченную статью, посвящённую проблеме, имеющей, по его мнению, важнейшее значение:

«В моём возрасте я могу оказаться неспособным к её решению, тогда как полученные результаты, по-видимому, могут вывести исследователей на новую и неожиданную дорогу и кажутся мне многообещающими, несмотря на то что они много раз вели меня по ложному пути и мне пришлось отказаться от того, чтобы жертвовать на них своё время».

Это служило горьким напоминанием его современникам, что времени оставалось мало. Многие из них почувствовали страх смерти, хорошо выраженный в одной из речей, посвященных работам Пуанкаре, ведущим итальянским математиком Вито Вольтерра:

«Среди многих причин стремления человека к жизни существует одна, из-за которой это стремление приобретает величественную сторону. Она совсем непохожа на те, которые объясняются страхом смерти. Приходит момент, когда в голове учёного рождаются новые идеи. Он видит их плодотворность и полезность, но знает, что они ещё настолько неопределённы, что предстоит ещё много работы, прежде чем публика сможет понять их и дать им справедливую оценку. Если же он осознает, что смерть может внезапно уничтожить весь этот мир великих идей и, быть может, должны пройти многие годы для того, чтобы они вновь были открыты, то мы сможем понять желание жить, которое внезапно должно захватить его, и счастье работы должно быть смешано со страхом перед возможностью прекратить её навсегда».

Со смертью Пуанкаре вопрос о величайшем современном математике больше не стоял — но тот уже по уши погрузился в физику.

После того как Эвальд покинул Гёттинген, Зоммерфельд прислал Гильберту нового ассистента по физике, Альфреда Ланде. В своих лекциях Гильберт перешёл от теории излучения к молекулярной теории вещества. Следующий семестр он собирался посвятить теории электрона. Его подход в этих областях напоминал его прежнюю трактовку кинетической теории газов и теории излучения, однако он никогда не был опубликован.

К этому времени он выработал более эффективный метод использования своего ассистента по физике. На первой же их встрече он вручил Ланде пачку различных оттисков недавно опубликованных работ по физике и поручил ему прочитать их.

«Всевозможные вопросы физики твёрдых тел, спектрального анализа, физики жидкости, тепла и электричества, всё, что ни попадало к нему, я должен был изучать и, найдя что-либо интересное, докладывать ему об этом».

Каждое утро Ланде приходил в дом на Вильгельм Веберштрассе и объяснял Гильберту суть статей, которые, по его мнению, были интересными.

«Это было поистине началом всей моей научной карьеры. Без Гильберта я бы, наверное, никогда не прочитал всех этих статей и уж наверняка не проработал бы их. Когда вам надо кому-нибудь что-либо объяснить, для этого надо сначала самому это понять по-настоящему и суметь это выразить вслух».

На что это было похоже — учить Гильберта физике?

«Да, иногда он был совсем нелёгким учеником и мне приходилось повторять ему по нескольку раз, прежде чем это до него доходило. Он всегда старался повторить то, что я ему сказал, однако в более упорядоченном виде, проще и понятнее. Иногда сразу же после нашей встречи у него должна была состояться лекция на ту тему, которую мы до этого обсуждали. Я помню, как часто мне приходилось сопровождать его по дороге от его дома на Вильгельм Веберштрассе до Auditоrienhaus, объясняя ему кое-что в последние минуты. После этого на лекции он мог попытаться высказать то, что я ему говорил, но своим способом, присущим математику, который часто совсем непохож на способ физика».

В свободное время Ланде изучал книгу Гильберта по интегральным уравнениям — «замечательную книгу». По вечерам он ходил на вечеринки и танцевал с профессорскими дочками. Он обнаружил, что его положение в обществе намного улучшилось из-за того, что он был ассистентом Гильберта по физике. Только одна сторона этой работы была неприятной. На вечерах у Гильберта в его обязанности как ассистента входило выбирать и менять граммофонные пластинки. Это было чёрной работой, о которой он спустя пятьдесят лет всё ещё вспоминал с отвращением. Гильберт, продолжавший получать в качестве подарков от одного промышленника последние модели граммофонов, имел в то время всего несколько пластинок с записями классической музыки, в остальном предпочитая последние эстрадные «Schlagers» 1. Ланде было трудно найти пластинку, которую ему бы самому захотелось послушать. Вдобавок ко всему Гильберт любил громкую музыку. В то время громкость определялась размером иглы, и Гильберт настаивал, чтобы игла была большой. Однажды он отправился на концерт Карузо с большими надеждами. Однако его ждало разочарование. «Карузо поёт на маленькой игле», — сказал он.

В 1913 году Пауль Шеррер приехал в Гёттинген в качестве студента. В спокойной с внешней стороны обстановке он нашёл «интеллектуальную жизнь, ни с чем не сравнимую по своей интенсивности». Это было то время, когда квантовая теория света наконец-то была принята всерьёз, «хотя её никак не удавалось согласовать с волновой теорией». В этом же году Нильс Бор, старший брат Гаральда, выдвинул планетарную теорию атома и «многие прилагали большие усилия, чтобы убедиться в реальности электронных орбит Бора в атоме, несмотря на все колебания, которые испытывал физик в принятии гипотезы о невозможности излучения электрона на своей стационарной орбите вокруг атомного ядра».

Нильс Бор, как и его младший брат Гаральд, был частым гостем в Гёттингене. Его обитателям Гаральд казался L'Allegro 2; Нильс же Il Penseroso 3. Однако их отец, профессор медицины, чрезвычайно гордившийся своими сыновьями, оценивал их по-другому: «Гаральд — серебро, — говорил он с любовью, — но Нильс, Нильс — чистое золото».

Гильберт с радостью пользовался возможностью непринуждённой беседы с Нильсом Бором. Рассказывать другим о своих собственных открытиях и осмысливать чужие идеи было жизненной необходимостью для Гильберта. Именно сейчас, когда математическая наука охватила такую обширную область человеческого знания и находилась в таком состоянии быстрого и интенсивного прогресса, ему казалось, что не следует ожидать от учёного, чтобы тот довольствовался лишь чтением научных работ. Современные работы из-за абстрактности их стиля нуждались, по его мнению, в дополнительном «ярком выражении духа и жизненной силы». Как было бы полезно, думал он, собрать на неделю ведущих физиков с тем, чтобы они прочитали лекции и обменялись мнениями!

Это было задолго до времён фондов и субсидий, но — поскольку последняя теорема Ферма была всё ещё не доказана — проценты от завещания Дармштадтского профессора математики были под рукою. В 1910 году деньги были использованы на приглашение в Гёттинген Х. А. Лоренца, который рассказывал про относительность и теорию излучения. В 1911 году пришлось обойтись без приглашения лекторов с тем, чтобы присудить премию в 5000 марок Цермело «за его достижения в теории множеств и для оказания помощи в его полном выздоровлении». В 1912 году Зоммерфельд прочитал несколько лекций о недавних достижениях в физике. Теперь, весною 1913 года, Гильберт организовал недельную Вольфскельскую конференцию по кинетической теории вещества.

«Ни у кого из участников не могло исчезнуть из памяти впечатление от этого собрания выдающихся учёных, свободно обсуждавших проблемы своей науки, — писал позже Ф. В. Леви. — Председательствовал Гильберт... Со временем почти все молодые люди, заполнившие зал, были отмечены собственными заслугами... Прозаический лекционный зал с чёрной железной печкой у одной из стен был местом сбора кронпринцев и королей науки».

Во время Газовой недели, как её все сразу окрестили, Гильберт встретился с Петером Дебаем, молодым профессором физики из Голландии, который был первым ассистентом Зоммерфельда в Мюнхене. Дебай произвёл большое впечатление на Гильберта, и тот задумал подыскать для него подходящее место в Гёттингене. Он предложил Вольфскельской комиссии, чтобы на следующий год проценты с премии были потрачены на приглашение в Гёттинген во время летнего семестра профессоров математических наук. Летом 1914 года в Гёттингене впервые появились профессора из Дармштадта: одним из них был бывший студент Гильберта Альфред Хаар, ныне профессор в Клаузенбурге; другим был Петер Дебай.

(Когда спрашивали Гильберта, почему он не доказывал последнюю теорему Ферма с тем, чтобы получить премию Вольфскеля, он отвечал: «Для чего мне убивать гусыню, приносящую золотые яйца?»)

В это же лето появилась надежда, что наконец-то мечта Клейна об отдельном здании — институте — для математиков станет совсем реальной. Участок был выделен, фонды установлены, план строительства составлен.

Именно в это лето в Сараеве австрийский эрцгерцог Фердинанд был убит неизвестным сербским студентом.



XVII
ВОЙНА

Первого августа в Гёттингене начались длительные каникулы. Австро-Венгрия уже объявила войну Сербии. Французская армия была мобилизована. Немцы начали оккупацию Бельгии. К концу августа целая дюжина стран оказалась вовлечённой в войну.

Гильберт считал войну бессмысленной и прямо об этом заявил.

Из Соединённых Штатов приходили письма от его бывших студентов, содержавшие уверения в их постоянной любви и уважении.

Враг, ужасаясь «жестокости гуннов» и затрудняясь совместить германское «варварство» со всеми признанными немецкими достижениями в искусстве и науке, счёл удобным разделить Германию на две части — милитаристскую Германию кайзера и культурную Германию Гёте, Бетховена и Канта. Германия ответила декларацией группы её самых знаменитых учёных и деятелей искусств, в которой заверялось, что они, как и весь немецкий народ, твёрдо поддерживают кайзера. Обращённая «к культурному миру», декларация перечисляла «все клеветнические измышления врага» и, начинаясь с утверждения: «Это неправда, что Германия начала войну», категорически отрицала все обвинения.

Авторы декларации считали, что математики, какими бы великими они ни были, как правило, пользуются известностью только в среде математиков. Однако международная репутация Клейна и Гильберта была такова, что их обоих попросили поставить свои подписи.

Клейн всегда был настроен очень патриотично — в 1870 году он поспешил из Парижа домой, чтобы добровольно вступить в армию. Теперь он разрешил использовать своё имя, не вдаваясь в смысл утверждений декларации. Гильберт, напротив, просмотрел список утверждений, из которых каждое начиналось словами «Это неправда, что...». Так как у него не было уверенности, что все они соответствовали истине, он отказался поставить свою подпись.

15 октября 1914 года германское правительство опубликовало декларацию к культурному миру. Среди подписавших были такие знаменитые учёные, как Эрлих, Фишер, Нернст, Планк, Рентген, Вассерман, Вин. Подозрительно отсутствовало одно имя — имя Эйнштейна, находившегося в это время в Институте кайзера Вильгельма в Берлине. Согласно его другу и биографу Филиппу Франку, только то, что Эйнштейн стал швейцарским гражданином, спасло его от обвинения в предательстве. Гильберт не имел такого объяснения. Его отказ дать свою подпись был тем более непростительным, что он был не просто немец, а пруссак. Когда в ноябре возобновился учебный год, многие отвернулись от него, как будто он был на самом деле изменником.

Однако большинство коллег-математиков Гильберта сочувствовали его поступку; даже Клейн вскоре пожалел о своём излишнем патриотизме, заставившем его подписать документ, не убедившись прежде в справедливости содержащихся в нём утверждений. В действительности декларация не принесла ожидаемого результата. Культурный мир был шокирован тем, что уважаемые люди поставили свои подписи под такими утверждениями, как «Это неправда, что Германия нарушила нейтралитет Бельгии». Клейн был исключён из Парижской Академии; Гильберту было разрешено остаться её членом.

Несмотря на войну, в Гёттингене продолжались дневные математические прогулки по четвергам. Участников теперь стало больше, чем в дни Минковского. Присоединились к прогулкам Ландау и Людвиг Прандтль, профессор прикладной механики. Ещё одним участником был Каратеодори, который вернулся, чтобы вдохнуть новые силы в Клейна, после того как старик перенёс в 1911 году новый упадок сил. Состоятельный, хорошо воспитанный грек, чьим семейным девизом было «Никакое усилие не бывает слишком большим», стал математиком в традиционном гёттингенском стиле. Физик Петер Дебай, столь поразивший Гильберта во время Вольфскельской конференции, также стал к тому времени постоянным членом факультета.

Почти все молодые люди, студенты или доценты, покинули или должны были покинуть Гёттинген. Lesezimmer, всё время переполненная перед войной, теперь стала почти пустой. Таких понятий, как отсрочка по учёбе, не существовало. Умственные способности, хорошие оценки, рекомендательные письма от профессоров, многообещающие таланты — ничто не имело значения. Только несколько молодых людей не были призваны. Одним из них был ассистент Гильберта Ланде, которому вначале была дана отсрочка из-за зрения.

Францу Гильберту был 21 год, когда началась война, но в армию его не взяли. Долгое время Гильберт ещё возлагал надежды на своего сына. Был период, когда тот учился у садовника в Гёттингене. «Но ничего ещё нельзя сказать, — говорил Гильберт Эвальду, бывшему в то время его ассистентом. — Я сам был таким в юности, немного dammelig 4». Немного погодя для Франца нашли работу в книжном магазине во Франкфурте. Получалось у него далеко не блестяще. Всё яснее становилось, что он был не совсем здоровым мальчиком. Госпожа Гильберт очень беспокоилась за него и получала о нём регулярные известия от своих друзей во Франкфурте.

Однажды, перед войной, когда Курант был у Гильбертов, она получила сообщение, что её сын не появился на работе в этот день и никто не знает, где он. Курант, который вскоре должен был ехать в Берлин, вызвался вместо этого ехать с госпожой Гильберт во Франкфурт помочь отыскать Франца. Пока они сидели в ожидании поезда и разговаривали с Гильбертом, снаружи возникла большая суматоха и внезапно все увидели Франца, покрытого грязью и очень возбуждённого. В какой-то деревушке он вышел из поезда и пришёл домой пешком. Франц объявил, что пришёл спасти их от преследующих их злых духов.

«Вся эта сцена ещё жива в моей памяти, — вспоминает сегодня Курант. — Гильберт сказал Францу: «Ах ты, глупый мальчик, ничего такого нет — духов и дьяволов не существует». Это ещё более возбудило Франца. Было много взаимных окриков. Франц продолжал разглагольствовать о невидимых созданиях, хотевших причинить нам зло. Гильберт не переставал стучать кулаком по столу и повторять: «Нет духов». Это была очень странная сцена. Немедленно надо было что-то предпринимать. Поэтому я позвонил профессору психиатрии, который приехал и сделал Францу маленькую успокоительную инъекцию. Затем мы отвезли его на такси в клинику для душевнобольных неподалеку от университета, куда он сразу же был принят».

Когда они выходили из клиники, было уже утро. Курант и Гильберт решили немного пройтись.

«С этого времени, — спокойно сказал Гильберт, — я должен считать, что у меня нет сына».

«Это было сказано очень грустно, но решительно».

Трагедия Франца Гильберта взволновала математиков и студентов Гёттингена. Чтобы объяснить, каким образом два таких замечательных и одарённых человека смогли породить такого несчастного отпрыска, начали говорить, что Гильберты были кузенами. Это было неправдой, на самом деле они были сводными двоюродными братом и сестрой.

Отношение мужа к Францу причиняло Кёте Гильберт большое горе. В отличие от него, она не могла считать, что у неё нет больше сына; молодые математики сразу же поняли, что они расположат к себе госпожу Гильберт, если скажут хорошее слово о Франце. В течение военного времени она, однако, старалась, чтобы ни личная, ни общая трагедия не мешали её мужу заниматься наукой. Под её искусным руководством в доме на Вильгельм Веберштрассе поддерживалась атмосфера дружбы, комфорта и порядка, необходимая для работы Гильберта.

Несмотря на плохое здоровье, Клейну также удавалось продолжать то, что Гильберт называл «математическими предприятиями». Война положила конец многим занятиям старика — таким, как Международная школьная комиссия, другие же были урезаны. Несколько лет назад он отказался от предложения написать историю математики XIX века: «Я слишком стар. Здесь нужен молодой человек, который мог бы посвятить несколько лет этой работе. Нет, всё, на что я способен, — это прочитать несколько лекций о великих событиях; но сейчас я так занят, что даже к ним не смогу подготовиться».

Война дала ему необходимое время.

Лекции о математике XIX века, которые читались в столовой его дома, представлялись позже Куранту, помогавшему подготовить их к изданию, «совершенным сладостным плодом мудрости преклонного возраста Клейна». Сам Курант никогда их не слышал. Он был на фронте.

У Гильберта, всё ещё погружённого в физику, оставалось всего несколько студентов, большинство из которых были иностранцами. С приездом Дебая, летом 1914 года, он решительно настроился на изучение структуры вещества и не видел никакой причины, почему война должна была помешать его планам. Он попросил Дебая организовать семинар по этой теме. Каждое занятие Гильберт открывал сам с одним и тем же полуюмористическим вопросом: «Теперь, meine Herren 5, скажите мне, что же такое атом».

Шеррер, в то время очень близко работавший с Дебаем и бывший участником этого семинара, позже вспоминал Гильберта как, «бесспорно, самого интеллектуального человека среди всех, с кем мне доводилось иметь дело».

Теперь Гильберт интересовался главным образом фундаментальными проблемами физики и их математической интерпретацией. Иногда на семинаре он отклонял вопрос, замечая: «Это чисто математическая проблема». В другой раз он говорил: «Для этой проблемы физики располагают величайшей вычислительной машиной — природой». Согласно Дебаю, по мнению Гильберта, уравнения Максвелла не давали ключа к проблеме структуры вещества — в то время единственной элементарной частицей был электрон — и надо было искать уравнения, из которых бы следовало существование такой частицы.

На ежедневных встречах Ланде излагал Гильберту «в очищенном для математиков виде» квантовую механику случайных событий, которая находилась в то время всё ещё в довольно примитивном состоянии. Затем в декабре 1914 года Ланде, всё ещё не призванный, решил записаться добровольцем в Красный Крест. Когда Гильберт услышал, что его ассистент собирается его покинуть, он был чрезвычайно рассержен. Для Ланде его реакция была новым примером его крайнего эгоцентризма:

«Он думал только о математике, и, так как после смерти Пуанкаре его считали самым великим современным математиком, он полагал, что свобода каждого должна принадлежать ему, будь то его собственная жена или кто-либо другой. Из-за моей физики он выжал из меня всё. Только благодаря ей я что-то для него значил».

(Однако для Зоммерфельда, учителя Ланде, «наивный и властный эгоизм» Гильберта был всегда «эгоизмом в интересах его миссии, но никогда не ради его собственной личности».)

В канун рождества Ланде покинул Гёттинген. В Красном Кресте он был около двух лет. Затем он был призван, «так как к тому времени они готовы были взять любого».

В Гёттингене тем немногим студентам, которые посещали еженедельный семинар Гильберта—Дебая, казалось, что под их пальцами бился «живой пульс» физической науки. С большим интересом следили за работой Эйнштейна, который продвигался к своей общей теории относительности. Не упускались из внимания и работы других, пытавшихся достичь той же цели. Гильберт был особенно восхищён идеями Густава Ми из Грейфсвальда, который пытался создать теорию материи на основах принципа относительности. В своих собственных исследованиях ему удалось соединить программу Ми в чистой теории поля с эйнштейновской теорией тяготения. Одновременно с тем, как Эйнштейн пытался довольно окольным путём найти зависимость между 10 коэффициентами своей дифференциальной формы, определяющей тяготение, Гильберт независимо решил эту проблему с помощью другого, более прямого метода.

Оба учёных пришли к цели почти одновременно. В то время, когда западный фронт окопался на зиму, Эйнштейн представил в Берлинскую Академию свои две работы «Об общей теории относительности» от 11 и 25 ноября. Гильберт же представил Королевскому научному обществу в Гёттингене свою первую заметку «Основания физикш> от 20 ноября 1915 года.

Это было замечательное совпадение, напоминавшее работу Минковского по специальной теории относительности и электродинамике в их совместном семинаре 1905 года. По мнению Борна, ещё более замечательным было то, что оно привело не к полемике о приоритете, а к серии дружеских встреч и писем.

Гильберт охотно признавал и часто об этом говорил на лекциях, что великая идея принадлежит Эйнштейну.

«Любой мальчик на улицах Гёттингена понимает в четырёхмерной геометрии больше, чем Эйнштейн, — однажды заметил он. — И тем не менее именно Эйнштейн, а не математики, сделал эту работу»,

Как-то в другой раз на своей публичной лекции он задал вопрос: «Знаете ли вы, почему Эйнштейн высказал самые оригинальные и глубокие в наше время вещи о пространстве и времени? Потому что он ничего не знал о философии и математике времени и пространства!».

Каждый человек, однако, принадлежит своей собственной науке. Сначала Эйнштейн верил, что для формулировок фундаментальных законов физики сойдут самые примитивные математические средства. Должно было пройти много времени, прежде чем он понял, что в действительности всё было наоборот. Затем оказалось, что именно Минковский, лекции которого он счёл неинтересными, создал математическое понятие пространства—времени, давшее возможность ему самому сформулировать общую теорию относительности.

«Гёттингенская публика, — однажды с недовольством заметил Эйнштейн, — иногда поражает меня тем, что она не столько хочет кому-нибудь помочь что-то ясно сформулировать, сколько стремится показать нам, физикам, насколько они умнее нас».

Для Гильберта красота теории Эйнштейна состояла в её большой геометрической абстракции; когда в 1915 году пришло время для присуждения третьей премии Бояи, он рекомендовал присудить её Эйнштейну «за высокий математический дух, стоящий за всеми его достижениями».

Клейн также внёс вклад в развитие теории относительности. На него большое впечатление произвели работы Гильберта по основаниям физики. Почти в семидесятилетнем возрасте он решил, что можно прояснить фундаментальные законы теории относительности с помощью старых идей своей Эрлангенской программы. Используя свои знания инфинитезимальных преобразований, ему удалось добиться значительного сокращения вычислений Гильберта.

Война продолжалась.

В то время как решалась судьба Вердена, в Гёттинген приехала одна молодая женщина. Это была дочь математика Макса Нётера, учившаяся у его друга Гордана, бывшего одно время «королём инвариантов», а теперь уже покойного. Ей уже принадлежало шесть опубликованных работ, и, кроме того, время от времени она читала курс своего отца, заменяя его во время болезни. Теперь её отец ушёл на пенсию, мать недавно умерла, а брат Фриц — бывший ранее студентом математики в Гёттингене — ушёл на фронт. Настало время перемен, и она решила воспользоваться этим.

Эмми Нётер (1882-1935)Эмми Нётер имела мало общего с легендарной «математичкой» Софьей Ковалевской, очаровавшей даже Вейерштрасса своим умом и молодым обаянием. Она была совсем лишена женственности как во внешности, так и в своих манерах. Даже сегодня первое, что вспоминают знавшие её мужчины, — это: «У неё был громкий и неприятный голос», «Она выглядела, как энергичная и очень близорукая прачка», «Её одежда всегда была мешковатой». Все они с восторгом цитируют деликатное замечание Германа Вейля, что «грации не стояли у её колыбели». Однако Эмми Нётер суждено было оказать гораздо более важное влияние на математику, чем очаровательной Софье. Даже в то время она уже обладала солидными знаниями некоторых предметов, необходимых Гильберту и Клейну для их работы в теории относительности. Оба они решили, что она должна остаться в Гёттингене. Однако несмотря на то, что Гёттинген был первым университетом в Германии, присудившим докторскую степень женщине, получить хабилитацию для неё было нелёгким делом. В голосовании о приёме хабилитации должен был принимать участие весь философский факультет, включавший, помимо представителей естественных наук и математики, также философов, филологов и историков. Особое противодействие исходило от нематематической части факультета.

Их формальное возражение сводилось к следующему: «Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Став таковым, она сможет затем стать профессором и членом университетского сената. Разве можно допустить, чтобы женщина входила в сенат?» Неформальное возражение было таким: «Что подумают наши солдаты, когда, вернувшись в университет, они увидят, что им придётся учиться, сидя у ног женщины?»

Гильберту эти рассуждения напоминали те, которые он слышал, когда пытался пробить перед этими же членами факультета диссертацию Громмера. «Если студенты без диплома гимназии будут всегда писать такие же диссертации, как Громмер, — сказал он тогда, — то нужно будет издать закон, запрещающий устраивать выпускные экзамены». Теперь с той же прямотой он ответил на их формальные возражения против доцентуры Эмми Нётер: «Meine Herren, я не вижу, почему пол кандидата должен быть причиной против присуждения ему звания приват-доцента. В конце концов, ведь сенат — не бани».

Когда, несмотря на такое возражение, ему всё же не удалось добиться присуждения хабилитации Эмми Нётер, он по-своему решил проблему сохранения её в Гёттингене. Лекции будут объявлены под именем профессора Гильберта, а читать их будет госпожа Нётер.

Война продолжалась.

Хотя немецкие подводные лодки топили каждый четвёртый корабль, выходивший из портов Англии, тем не менее блокада, предпринятая Англией, начала чувствоваться в Германии. Пища была чрезвычайно скудной. 1916 год был отмечен самым большим голодом за время войны — «репной зимой», как его прозвали жители. Гильберт старался как можно чаще ездить в Швейцарию. Раньше ему казалось, что университеты Германии пренебрегали его старым другом Гурвицем в пользу лиц, часто «даже недостойных держать перед ним свечу». Теперь, в спокойствии Цюриха, он начинал думать, что, быть может, это было к лучшему; слабый здоровьем Гурвиц не выдержал бы лишений военного времени в Германии.

Со своей наивной напористостью в отношении своих нужд, а также с помощью своей абсолютно незаменимой жены Гильберту удалось — иногда к удивлению своих друзей и коллег — на всё военное время удержать домашний комфорт, необходимый для его работы.

Продукты были проблемой. Он считал, что мясо и яйца были абсолютно необходимы для того, чтобы его мозги наилучшим образом функционировали для математики. Он всегда с большим презрением относился к идеям вегетарианцев. «Если бы они добились своего, то нам пришлось бы уволить на пенсию весь рогатый скот». Его сад снабжал его фруктами и овощами. Достать мясо было труднее. Однажды ректор университета собрал всех профессоров в Большом зале.

«Ах, я хотел бы знать, что будет в этот раз!» — с предвкушением сказал Гильберт своему соседу. Прошлый раз, когда созывали подобное собрание, среди профессоров распределяли несколько гусей, полученных университетом от одного крестьянина. — «Может быть, теперь мы получим свинью».

Ректор начал свою речь. У него были большие новости. «Наш главнокомандующий, его величество кайзер, только что объявил нашему врагу неограниченную подводную войну!».

В то время как большинство профессоров хлопали и приветствовали это заявление, Гильберт с отвращением повернулся к своему соседу: «А я думал, что мы получим свинью! — сказал он. — Но вы видите, каков германский народ. Он не хочет свинины. Он хочет неограниченную подводную войну».

Отсутствие контакта с иностранными математиками сильно расстраивало Гильберта. Незадолго до войны Бертран Рассел и А. Н. Уайтхед опубликовали свои Principia Mathematica. Гильберт был уверен, что сочетание математики, философии и логики, представленное Расселом, должно сыграть большую роль в науке. Так как он не мог пригласить самого Рассела в Гёттинген, он занялся улучшением дел своего друга философа Леонарда Нельсона.

Нельсон был также поклонником аксиоматического метода. Его философские труды относились к двум главным проблемам: заложению научных основ философии и систематическому развитию философской этики и «философии права». Он всё ещё находился в сильной оппозиции к профессору философии Гуссерлю. Архив Гильберта содержит чрезвычайно объёмистый раздел под названием «Дело Нельсона» — записи его усилий в получении для Нельсона должности ассистент-профессора.

Нельсон (получивший в конце концов, но уже после войны должность ассистент-профессора) позже посвятил Гильберту три тома своих Лекций по основам этики — «попытка добыть для державной области точной науки новую провинцию».

Весной 1917 года Соединённые Штаты, наконец, вступили в войну против Германии.

В этот же год до Гёттингена дошли известия о смерти Гастона Дарбу. Гильберт восхищался Дарбу не только за его математические труды, но также и за то влияние, которое тот оказал на математику во Франции как человек и как учитель. Он немедленно подготовил мемориальную статью для Nachrichten. Когда она вышла из печати, разгневанная толпа студентов собралась перед домом Гильберта и потребовала, чтобы автор немедленно отрёкся от своей статьи, посвящённой памяти «вражеского математика», а все копии были уничтожены. Гильберт отказался. Больше того, он пошёл к ректору университета и, пригрозив отставкой, потребовал официального извинения за поведение студентов. Извинение немедленно последовало. Статья, посвящённая памяти Дарбу, — одна из четырёх подобных статей, написанных Гильбертом за всю свою научную жизнь, — осталась в печати. (Другие статьи были посвящены Вейерштрассу, Минковскому и Гурвицу.)

В начале 1918 года, после того как в Кремле появилась новая власть, Германия заключила сепаратный мир с Украиной. Благодаря этому молодой украинец Александр Островский, бывший в течение войны в гражданском плену в Марбурге, смог приехать в Гёттинген. Во время своего вынужденного пребывания в Марбурге Островский тщательно изучил труды Гильберта и Клейна. По приезде в Гёттинген он нанёс традиционные визиты знаменитым математикам, что было «не только правом, но и долгом».

Клейна он нашёл очень дружелюбным. «Он говорил со мною о разных вещах и был очень удивлён, что я так много знаю о его работе». Гильберт был вежлив, но холоден. «Я полагаю, что он всегда был немного недоверчив к людям, которых он видел в первый раз».

В начале весеннего семестра Германия и её основные союзники начали большое наступление. Одно время казалось, что победа для Германии совсем близка.

Друзья Клейна недавно уговорили его издать собрание своих трудов. Вначале он отказался, сославшись на то, что он не может этого сделать без помощи кого-нибудь из молодых математиков, знакомых с современной точкой зрения. После встречи с Островским он почувствовал, что нашёл такого человека, и занялся этим проектом.

Клейн всегда обладал великим даром интуиции. «В молодости, — писал однажды Каратеодори, — он мог, глядя на самые трудные проблемы, угадать их решение». Однако у него никогда не хватало терпения провести логически совершенное доказательство теорем, в справедливости которых он был убеждён. «Он не хотел признавать, что осуществление такого доказательства можно было возвысить до ранга искусства, а правильное владение таким искусством составляет истинную сущность математики».

Эта черта Клейна делала работу Островского чрезвычайно трудной.

«Теперь довольно часто случалось, что нам приходилось обсуждать некоторые результаты его работ, которые он приводил, по моему мнению, без должных доказательств. В этих случаях я пытался получить от него эти доказательства. Спрашивал: «Да, но как с тем-то и тем-то? В этом месте мне непонятно». Он объяснял. Я всё равно не понимал. Наконец, я спрашивал: «Господин тайный советник, можно мне задавать вопросы?» Теперь задача состояла в том, чтобы придумать как можно более чёткие вопросы. В такие моменты он чувствовал себя лично оскорблённым, как будто кто-то пытался пригвоздить его к стенке. Иногда случалось, что он вставал и, чтобы успокоиться, отходил на некоторое время к окну. Он никогда не вёл себя неприятно, но для того, чтобы сдерживать себя, ему приходилось затрачивать много усилий».

За эти месяцы Островскому приходилось часто встречаться с Гильбертом. Ему доставляло невыразимое удовольствие непосредственно наблюдать человека, математические работы которого он столь тщательно изучал. Особенно на него производило впечатление то, как Гильберту удалось решить проблему, «как человеку исключительных качеств устроить свою жизнь среди людей, обладающих ими в меньшей степени».

«Эта проблема, безусловно, встала перед ним очень давно... и, по-видимому, он оценил все её трудности. Он был большим другом Минковского, а тот был сияющей звездой — студентом университета, завоевавшим Большой приз Парижской Академии! Люди должны были восхищаться Минковским, но в то же время в таком маленьком университете, как Кёнигсбергский, многие из них должны были его и не любить. Минковский был, конечно, евреем, и даже евреем не немецкого происхождения. В это время, я думаю, Гильберт сделал свои первые наблюдения над проблемой о совместной жизни высшего существа с низшими. Эта проблема возникает довольно часто, но я бы сказал, что большинство людей не решают её вовремя. Им не удается осознать существования такой проблемы, и, кроме того, им надо преодолевать некоторые имеющиеся у них комплексы. По моему мнению, Гильберт очень хорошо избежал этих трудностей».

К лету ситуация на фронте резко изменилась. В июле германская армия начала отступать. Новости об истинном состоянии военных дел стали теперь распространяться даже за Рейн. Поэт Рихард Демель опубликовал обращение к старикам и детям принять участие в последней битве с врагом. Кёте Кольвиц, подруга детства Гильберта, а теперь великая и очень известная художница (потерявшая одного из своих сыновей в Бельгии), ответила волнующим открытым письмом:

«Уже достаточно смертей! Пусть никто больше не погибнет! Отвечая Рихарду Демелю, я хочу, чтобы вспомнили слова более великого поэта:

Нельзя дать погибнуть семенам».

Спустя почти четыре года после декларации «к культурному миру» новый канцлер попросил перемирия. Рано утром 9 ноября 1918 года кайзер пересёк границу с Голландией.



XVIII
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Заметно более серьёзные, не с такими бравыми, как от дуэлей, шрамами на лице, с пустым рукавом или брючиной, молодые люди стали возвращаться из окопов в аудитории.

Математика представлялась им «свежей, как май».

Пока их не было, Эйнштейн изменил понятие пространства, времени и материи и создал необходимость в совершенно новой геометрии. В трёх статьях, вместе не занимавших и 17 страниц, молодой голландец Брауэр высказал сомнение в том, что законы классической логики имеют абсолютную истинность, не зависящую от того, к чему они применяются, и предложил решительную программу, призванную покончить с «кризисом оснований», вызванным открытием в начале столетия парадоксов в теории множеств.

Герман Вейль, талантливый ученик Гильберта, вернувшись из Цюриха, где он служил в швейцарской армии, увлёкся новыми идеями. Перед войной он познакомился с Эйнштейном. Теперь он прочитал серию блестящих лекций об идеях Эйнштейна и издал их в виде книги Пространство, время и материя, ставшей научным бестселлером. Его друзьям казалось, что Вейль «мог испытывать упоение, разрешая себе увлекаться или просто метаться между противоположными течениями, обуревавшими тот период». «Кризис оснований» был для него неотразим. В 1918 году он внёс собственный вклад в этот вопрос, опубликовав работу о логических основаниях континуума. Он тщательно изучал также интуиционизм — так была названа новая программа Брауэра.

Гильберта раздражало увлечение его бывшего ученика идеями Брауэра, который будил в нём воспоминание о Кронекере. К концу войны Брауэр был несколькими годами старше Вейля и на 20 лет моложе Гильберта. Он уже внёс значительный вклад в математику. В 1911 году, доказав топологическую инвариантность размерности евклидова пространства, он открыл новую эру в топологии. Его работы по теории множеств были, по мнению многих, самыми глубокими после работ Кантора. Но так же, как до него Кронекер, он был готов отказаться от большей части своих математических достижений ради своих философских идей.

Для Брауэра ни язык, ни логика не были неотъемлемо связаны с математикой, в основе которой, по его мнению, лежала интуиция, делавшая её выводы и понятия непосредственно ясными. Вейлю казалось, что Брауэр «открыл нам глаза и заставил нас увидеть, насколько общепринятая математика зашла дальше таких утверждений, справедливость и реальный смысл которых основан на очевидности».

Брауэр, например, отказался принимать логический принцип исключённого третьего, хотя со времен Аристотеля математики без колебаний принимали, что для любого утверждения A существуют только две возможности — либо A, либо не A. Брауэр теперь настаивал на том, что существует третья возможность — другими словами, среднее, которое нельзя исключить.

Его рассуждение было следующим.

Пусть A есть утверждение: «В множестве S существует элемент со свойством P». Если S конечно, то в принципе можно перебрать все элементы этого множества и определить, что или в S существует элемент со свойством P, или любой элемент из S этим свойством не обладает. Тем самым для конечных множеств Брауэр допускал принцип исключённого третьего. Он отказывался его принимать для бесконечных множеств, так как для таких множеств S мы не можем, даже в принципе, перебрать все элементы множества. Если в процессе перебора мы находим элемент со свойством P, то первая альтернатива выполняется, но если мы не можем найти такого элемента, то про вторую альтернативу ещё ничего нельзя сказать, так как мы не провели перебор до конца.

Из-за того, что в математике теоремы часто доказываются приведением отрицания теоремы к противоречию, третья возможность, указанная Брауэром, должна была бросить тень на многие из общепринятых математических утверждений.

«Изъять из математики принцип исключённого третьего, — говорил Гильберт, — всё равно что... запретить боксёру пользоваться кулаками».

Возможные потери, по-видимому, не волновали Вейля. «За программой Брауэра будущее», — убеждал он своих друзей в Цюрихе.

«Герман, это математика без пиджака», — говорил ему Дьёрдь Пойа, считая, что он пытается её несколько оголить.

Вейль тотчас же предложил Пойа заключить пари о будущем двух конкретных утверждений, которые были бы исключены из математики, если бы идеи Брауэра восторжествовали. В последнем Вейль не сомневался, причём считал, что это произойдёт в течение ближайших 20 лет. Выигравший должен был определиться в 1938 году в зависимости от того, согласится ли Пойа признать, что два следующих предложения:

  1. каждое (непустое) ограниченное множество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань,
  2. каждое неограниченное подмножество вещественных чисел содержит счётное подмножество,

— являются, на самом деле, полностью неопределёнными и «спрашивать, справедливы они или ложны, — это всё равно что спрашивать то же самое об основных идеях философии Гегеля». Если к 1938 году Пойа и Вейль не придут к единому мнению о положении дел в математике, то решающее мнение будет определено большинством среди профессоров математики Швейцарского федерального института и университетов Цюриха, Берлина и Гёттингена. Проигравший должен будет опубликовать условия пари и официально признать своё поражение в Jahresbericht 6 Германского математического общества.

Сам Гильберт никогда не прочитал и строчки из работ Брауэра. Он всё больше избегал чтения статей, предпочитая получать информацию из лекций и бесед. Вейль был приглашен в Гёттинген, чтобы выступить перед Математическим клубом об интуиционизме.

Надо помнить, что на конгрессе в Гейдельберге, вскоре после открытия Расселом и Цермело фундаментальных парадоксов теории множеств, Гильберт набросал математико-логическую программу, предназначенную, по его мнению, «раз и навсегда» уничтожить все сомнения в надёжности оснований математики и методов математических рассуждений. Погрузившись в последующие за этим годы сначала в интегральные уравнения, а затем в физику, он, казалось, забросил этот проект. И действительно, незадолго до войны Блюменталь, прогуливаясь с Гильбертом и вспоминая конгресс в Гейдельберге, заметил, что, по-видимому, так ничего и не вышло из его идеи «теории доказательств». Гильберт оставил это замечание без комментариев, в то время как (вспоминал позже Блюменталь) госпожа Гильберт улыбнулась.

После этого конгресса в изучении оснований математики произошло несколько важных сдвигов. Цермело доказал теорему о полной упорядочиваемости и создал свою систему аксиом теории множеств. Рассел и Уайтхед опубликовали свои Principia Мathematica. Однако сам Гильберт не возвращался к основаниям математики, по крайней мере публично, до 1917 года.

Весной того года во время визита в Цюрих он пригласил двух молодых людей из окружения Гурвица составить ему компанию в прогулке. Одним из них был друг Вейля Пойа. Другим был замкнутый, застенчивый и несколько нервный молодой человек по имени Пауль Бернайс. К удивлению Пойа и Бернайса, темой разговора во время прогулки к вершине горы Цюрихберг была не математика, а философия. Никто из них не был специалистом в этой области. Правда, Бернайс немного изучал философию, будучи студентом в Гёттингене, и был близок к Леонарду Нельсону. Его первая публикация появилась в философском журнале Нельсона. Так что теперь, несмотря на свою сдержанность, он мог сказать намного больше, чем обычно говорливый Пойа. В конце этой прогулки Гильберт пригласил Бернайса приехать в Гёттинген в качестве его ассистента. Бернайс принял это предложение.

В сентябре того года Гильберт вернулся в Цюрих, чтобы прочесть лекцию перед Швейцарским математическим обществом. Прошло около недели после третьей годовщины начала войны, и его первые слова были очень актуальны:

«Как в жизни наций условия процветания отдельной страны требуют хороших отношений со своими соседями и в их интересах, чтобы порядок господствовал не только в каждой отдельной стране, но и в отношениях между ними, так и в жизни науки имеет место то же самое».

Доклад был посвящён излюбленной теме — важности роли математики в науке — и мог бы быть озаглавлен «Во хвалу аксиоматическому методу».

«Я верю, — твёрдо сказал Гильберт, — что любая научная мысль, достигшая уровня включения её в некоторую теорию, попадает под влияние мощи аксиоматического метода и тем самым и математики».

Однако в том же выступлении он затронул некоторые вопросы, которые впервые после 1904 года открыли широкой аудитории его непрекращавшийся интерес к проблемам оснований своей науки:

Проблема принципиальной разрешимости любого математического вопроса.

Проблема отыскания критерия простоты математического доказательства.

Проблема соотношения между содержательным и формальным в математике.

Проблема разрешимости математического вопроса с помощью конечной процедуры.

Гильберт отметил, что для исследования этих вопросов необходимо вначале проанализировать понятие математического доказательства.

Однако лично он всё ещё не был готов заняться проблемой кризиса оснований математики. Дома у него оставались собственные как личные, так и профессиональные проблемы.

Франц выписался из больницы. Университетские связи позволяли подыскивать ему кое-какие несложные работы, однако и на них он не мог долго продержаться; это вынуждало госпожу Гильберт забирать своего сына домой, что нарушало спокойствие в доме на Вильгельм Веберштрассе.

«Гильберту это доставляло много страданий, так как он не мог работать в подобной атмосфере, — говорит Курант. — Это отражалось на нём довольно губительно. Он нуждался в лёгкой обеспеченной жизни. Его жена, разумеется, не хотела да и просто не могла отказываться от своего единственного сына. Это являлось причиной некоторых трений между мужем и женой. Но Гильберт был достаточно разумным, чтобы не допускать перерастания этого в настоящую опасность».

Гёттингенское научное общество было распущено. Lesezimmer имела большие пробелы в своём собрании. Почти все немецкие издатели научной литературы прекратили свою деятельность. Строительство Математического института было прекращено. В 1919 году Клейну исполнилось 70 лет, Гильберт приближался к 60 годам. Каратеодори переехал из Гёттингена в Берлин, где он снова оказался в компании своего старого друга Эрхарда Шмидта. Петер Дебай принял предложение из Швейцарии. Марка неуклонно падала. Еда была скудной, жилищные условия плохие. Гильберт жаловался Бернайсу, что его жалованье теперь стоит меньше, чем в то время, когда он был приват-доцентом в Кёнигсберге. Будущее выглядело мрачным.

Летом 1919 года Гильберт, проводя каникулы в Швейцарии, дал понять, что он, «быть может, отнесётся с вниманием», «не будет решительно против» и, «может быть, будет даже склонен принять» место в Берне. В нормальных условиях Берн не имел никаких шансов переманить Гильберта из Гёттингена, но тогдашние условия не были нормальными. Берн увидел возможность добавить к своему факультету самого знаменитого математика в мире; нарушая закон кантона, согласно которому все вакантные места должны объявляться в печати, университет делал настойчивое предложение великому немецкому математику.

Теперь ясно, что Гильберт не имел истинного намерения принять предложение. К концу своей карьеры он даже не включил его в список полученных им предложений. Он явно хотел использовать его только как средство при переговорах для улучшения положения «математики» у себя в Гёттингене.

В основном его личные желания были очень скромными. Курант вспоминает, как на праздновании своего пятидесятилетия, в зените славы и авторитета, Гильберт сказал: «С этого момента, я думаю, могу позволить себе роскошь путешествовать в вагоне первого класса».

Предложение из Берна, по-видимому, дало желаемый эффект. В августе 1919 года Гильберт вел переговоры с новым министром науки, искусства и народного образования о приглашении иностранных профессоров в Гёттинген. Его первоначальная просьба в выделении для этой цели 5000 марок была повышена до суммы в 10 000 марок, а учитывая всё возрастающую инфляцию, «быть может, нам потребуется, по крайней мере, 15 000 марок».

Именно в ту осень, 18 ноября 1919 года, умер Гурвиц. Со студенческих времен Гильберт не скрывал своего восхищения перед Гурвицем и его математическими способностями. Однажды в разговоре с Островским он упомянул, что, по его мнению, существует два сорта математиков — те, кто энергично бился и решал стоящие задачи, и те, кто этого не делал.

«Я был удивлён, какое твёрдое на этот счёт у него было мнение, сколь немногих он считал действительно хорошими математиками, а до остальных ему просто не было дела. Я был также поражён тем, что он решился сказать такую вещь мне. Это было почти единственным случаем, когда он не вёл себя, как «мудрец». Высказывая такие утверждения вслух, он заставлял других задавать себе вопрос, к какой группе он их относил. Однако не вызывало никаких сомнений, к какой группе он относил Гурвица. В тот раз он упомянул одну работу Гурвица, которая, сказал он, полностью поглотила его собственную работу. Никто не сказал бы этого о работе Гильберта. Но он это сказал».

Во второй раз Гильберту пришлось выступить перед Гёттингенским научным обществом с речью, посвящённой памяти своего покойного друга молодости. За восемь с половиной лет он и Гурвиц на своих ежедневных прогулках в Кёнигсберге исследовали «каждый уголок» математики. Гурвиц, рассказывал он теперь своим коллегам, был «гармонически развитой и философски настроенной личностью, он был всегда готов признать и оценить достижения других, и для него каждый научный результат являлся источником искренней радости». Гильберт успокаивал себя тем, что, потеряв перед смертью сознание, Гурвиц был избавлен от необходимости прощаться со своей семьей. Это было его последним желанием.

После смерти Гурвица разнёсся слух, что Гильберту была предложена его кафедра в Цюрихе. Группа студентов направилась к нему с поэтической петицией, призывавшей его остаться в Гёттингене: «Hilbert, gehen Sie nicht nach Zürich/Leben da ist auch recht «schwürich». (Гильберт, не уезжайте в Цюрих, жизнь там также тяжела.) Однако из Швейцарии не последовало никаких предложений.

Относительная значимость различных научных интересов Гильберта в этот период видна по его ассистентам, Бернайсу — по математике и Адольфу Крацеру — по физике. Раз в неделю перед лекциями оба они приходили в дом Гильберта. В то время как его интересы начали перемещаться из физики обратно в математику, начали меняться и роли ассистентов.

«Летом 1920 года он занимался в основном проблемами атомной механики, — говорит Крацер. — Его целью всё ещё была аксиоматизация. Вопросы задавались мне. Казалось, что говорил в основном я, а Бернайс слушал. Однако к зиме 1920–1921 года его интересы начали меняться. Теперь его главной целью была формализация оснований математики на логической основе, и Бернайс говорил, в то время как я слушал».

Хотя в своих исследованиях Гильберт двигался к наиболее абстрактному и формальному пониманию математики, в это время он прочитал серию лекций по геометрии, основанных на абсолютно наглядной интуитивной точке зрения. Они были явно предназначены для популяризации математики среди молодых людей, вернувшихся в университет после войны.

«Ведь это правда, — признавал он, — что математика, вообще говоря, не является популярным предметом»,

Причину отсутствия её популярности он видел «в разделяемом всеми предрассудке, что математика представляет... дальнейшее развитие прекрасного искусства арифметики, жонглирования числами...». Он думал, что ему удастся сделать более увлекательным этот предмет, который он так страстно любил, заставив своих слушателей «проникнуть в суть математики, не взваливая на себя тяжесть утомительного процесса обучения». Взамен он предлагал «неторопливую прогулку в большом саду геометрии, где каждый сможет собрать себе букет по вкусу».

В следующее лето Гильберт прочёл курс лекций по теории относительности, входивший в специальный цикл, рассчитанный на все факультеты университета. В них он продемонстрировал, по словам Борна, «что только тот, для кого логическая структура трудной и сложной теории была абсолютно ясной, сможет успешно изложить её широкой аудитории».

Ему нравились эти экскурсы в популяризацию, и в течение двадцатых годов он часто выступал с такими лекциями на различные темы.

Однако теперь Гильберта всё более тревожил тот рост влияния, которое оказывал на молодых математиков подход Брауэра к математике. Для Гильберта программа интуиционизма представляла абсолютно определённую и реальную угрозу математике. Многие из теорем классической математики можно было установить и интуиционистскими методами, более сложным и длинным путём, чем обычно. От многого же, включая теоремы существования, основную часть анализа, канторовскую теорию бесконечных множеств, пришлось бы отказаться.

«Экзистенциальные» идеи проникали в мышление Гильберта не только в математике, но и в повседневной жизни. Это иллюстрируется одним случаем, свидетелем которого был в своё время Хельмут Хассе. Общество германских учёных и врачей собралось на свою первую послевоенную встречу в Лейпциге. По вечерам в Burgkeller было много вопросов типа «Как там профессор К. из А., он ещё жив?». 24-летний Хассе сидел вместе с другими молодыми математиками за столиком, стоявшим неподалеку от стола Гильберта и его компании.

«Я слышал, как он задал в точности такой же вопрос одному венгерскому математику о другом венгерском математике. Тот начал отвечать. «Да, он преподаёт в — и занимается теорией —, несколько лет назад он женился, у него трое детей, старшему...» Однако после первых же слов Гильберт начал перебивать: «Да, но...» Когда, наконец, ему удалось остановить поток информации, он продолжил: «Да, но всё это меня не интересует. Я только спрашивал: Существует, ли он ещё?».

Согласно Брауэру, утверждение, что некоторый объект, обладающий данным свойством, существует, означает, что известен метод, позволяющий, по крайней мере в принципе, найти или построить такой объект; только в этом случае можно считать доказанным существование объекта.

Тем самым Брауэр не принял бы найденного молодым Гильбертом доказательства существования конечного базиса системы инвариантов, не принял бы также и многое другое.

Естественно, что Гильберт был с этим не согласен.

«... Доказательства чистого существования были самыми важными вехами в историческом развитии нашей науки», — утверждал он.

То, что Вейль склонялся к точке зрения Брауэра, очень огорчало Гильберта.

В 1919 году Вейль опубликовал некоторые из своих собственных «давно наболевших» мыслей об основаниях математики. Затем в 1920 году он прочитал несколько лекций о программе Брауэра. На одной из них он заявил: «Я отказываюсь от своих собственных попыток и присоединяюсь к Брауэру». Его никогда не называли «брауэровским бульдогом», но он мог бы им быть. В 1921 году Вейль продолжал использовать свои литературные способности для ещё большей популяризации идей Брауэра.

Для Гильберта это было уже слишком.

На одном собрании в Гамбурге в 1922 году он во весь голос заявил о защите математики.

Положение дел, вызванное открытием парадоксов теории множеств, было недопустимым, согласился он. Однако «заслуженные математики высокого класса, Вейль и Брауэр, ищут решение проблемы на ложных путях».

Вейль услышал в голосе своего старого учителя «гнев и решимость».

«То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кронекера! Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт всё. что причиняет беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы мы приняли такую реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять бóльшую часть наших самых ценных сокровищ».

Далее приведён список сокровищ, которые были бы потеряны, если бы была принята программа интуиционизма:

Гильберт отказывался причинять такое «увечье» математике. Ему казалось, что он видел путь, на котором он смог бы восстановить элементарную математическую объективность, к которой стремились Брауэр и Вейль, не теряя при этом ничего из сокровищ, приносимых в жертву их программе. Это была, по существу, та «теория доказательства», набросок которой он дал в 1904 году в Гейдельберге. В характерном для него стиле, этот подход был прямой атакой проблемы. Как вынужден был позже признать сам Вейль, Гильберт показал тогда «совершенно новый подход к вопросам оснований и понятию истины в математике».

Интуиционизм выступал против того, что «бóльшая часть математики идёт дальше тех утверждений, которые претендуют на истинный смысл». Гильберт ответил на это возражение тем, что, по словам Вейля, избавился совсем от смысла.

Он предложил превратить математику в формализованную систему, объекты которой — математические теоремы и их доказательства — выражаются на языке символической логики в виде предложений, имеющих только логическую, а не смысловую структуру. Эти объекты должны были быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т.е. охватывать совокупность всех её теорем. Непротиворечивость этой формальной системы — т.е. математики — будет устанавливаться с помощью методов, которые Гильберт называл финитными. Под «финитностью» понималось то, что «рассматриваемые рассуждения, утверждения или определения должны находиться в рамках непосредственного обращения с объектом, отличаться явной практичностью используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было бы эффективно контролировать».

Таким способом, используя методы, ограниченность которых вполне устраивала бы Брауэра и Вейля, Гильберт надеялся, что сможет преодолеть новый кризис оснований математики и избавиться от вопросов оснований математики раз и навсегда.

В год своего шестидесятилетия он выступил в защиту целостности классической математики, основываясь на том, что его бывший студент должен будет назвать «радикальной переинтерпретацией её содержания с полным сохранением её инвентаря».

Дух Кронекера, казалось, витал перед ним в программе интуиционистов, а та энергия, с которой он набросился на неё (как Вейль сразу же отметил), резко противоречила той уверенности, с которой он предрекал её окончательное поражение:

«Я уверен, что насколько у Кронекера было мало шансов упразднить иррациональные числа... настолько же маловероятен успех Вейля и Брауэра. Брауэр не представляет собой революцию, как это считает Вейль, — только повторение попытки организовать Putsch 7, в своё время ещё более сильно бушевавший, а сейчас, при вооружённом и окрепшем государстве, с самого начала обречённый на неудачу!»



XIX
НОВЫЙ ПОРЯДОК

23 января 1922 года Гильберту исполнилось 60 лет.

Последний январский номер Naturwissenschaften, немецкого эквивалента британского научного еженедельника Nature, был посвящён этому юбилею. На первой странице была помещена фотография Гильберта, сидящего в плетёном кресле с широкими подлокотниками. Годы не очень его изменили, правда, время ещё больше подчеркнуло интеллект и сосредоточенность в его лице. К старости его внешность производила большее впечатление, чем в молодости.

Празднование шестидесятилетия Гильберта. Слева направо в первом ряду: Рихард Курант, Франц Гильберт, г-жа Курант (Нина Рунге), Герта Шпонер (позднее г-жа Франк), г-жа Гротриан; во втором ряду: г-жа Эссле (позднее г-жа Шпрингер), г-жа Ландау, г-жа Гильберт, Давид Гильберт, г-жа Гофман, г-жа Минковская; в третьем ряду: Фердинанд Шпрингер, Феликс Бернштейн (позади г-жи Ландау), г-жа Прандтль, Эдмунд Ландау, г-жа Франк, Фанни Минковская (в конце ряда); в четвертом ряду: Эрнст Хеллингер, Вальтер Гротриан (позади г-жи Гофман); в пятом ряду: Петер Дебай, Теодор фон Карман (позади Ландау), г-жа Вейль, Пауль Бернайс, Леонард Нельсон, «Клерхен» (вторая от конца ряда)


Выпуск открывался очерком научной жизни и личности Гильберта, написанным Отто Блюменталем. Будучи «старейшим учеником» Гильберта, Блюменталь почти четверть века тщательно наблюдал за своим «Father-Doctor». Жизненный путь Гильберта, казалось, теперь окончательно выкристаллизовался. Начало его научной карьеры было связано с конкретными задачами. Затем, начиная с работ по основаниям геометрии, аксиоматический метод столь прочно завладел им, что, наряду с проблемами, стал определяющим для всей его жизни. Блюменталю теперь казалось, что самым поразительным аспектом жизни Гильберта был замечательный неуклонно возрастающий прогресс. Решив одну проблему, он тотчас же брался за другую. Быть может, у кого-нибудь, не так близко знавшего его, создавалось впечатление, что он был прирождённым математиком, логической машиной, предназначенной решать задачи, существом чистой мысли.

«Однако я думаю, что Гильберт хотел бы, чтобы к нему относились по-другому, — писал Блюменталь. — Чем больше я знаю его и узнаю о нём, тем больше он представляется мне мудрым человеком, который, с тех пор как впервые осознал свою силу, твёрдым курсом неуклонно двигается к некой высшей цели, единому взгляду на жизнь, по крайней мере в специфической области точных наук».

Были и другие статьи его бывших учеников, посвящённые пяти главным областям, в которых работал Гильберт, — алгебре, геометрии, анализу, математической физике и философии математики. (Статья под названием «Гильберт и женщины» готовилась Курантом и его другом Фердинандом Шпрингером, но, как вспоминает Курант, «мы не закончили её к сроку».)

Состоялся также и юбилейный банкет, на котором 73-летний Клейн, прикованный теперь уже к креслу на колесах, подарил досточтимому профессору копию Vortrag, с которым молодой доктор Гильберт выступил в 1885 году на семинаре Клейна в Лейпциге.

Это празднование отмечало, в некотором смысле, расставание со старым порядком в Гёттингене. После войны в качестве ассистент-профессора в университет вернулся Рихард Курант. После ухода Каратеодори Курант стал полным профессором и преемником кафедры Феликса Клейна.

Курант представлял собой полную противоположность старому Юпитеру. Маленького, с лицом гнома, с тихим голосом, его никак нельзя было сравнить с «олимпийцем». Студенты скорее помнили, «как он мог представлять картину абсолютной беспомощности и нерешительности, как мог неслышно ворчать, вмешиваться или руководить без всякого вмешательства, чтобы в конце концов заслужить неизменное признание и расположение всех своих сотрудников».

Для германских профессоров Курант был необычайно демократичным. Даже его книги часто представляли собой труд целого коллектива. Известные «корректурные фестивали» регулярно происходили за длинным столом с участием всех его ассистентов. В разное время среди них были Вилли Феллер, Курт Фридрихс, Ганс Леви, Отто Нейгебауэр, Франц Реллих.

«Красные чернила, клей и личный темперамент присутствовали в изобилии», — вспоминает Отто Нейгебауэр, занимавший важный и влиятельный пост «главного ассистента». Куранту, безусловно, было нелегко защищать свою позицию и добиваться согласованного решения при столкновении одновременно высказываемых и часто сильно расходящихся индивидуальных мнений о доказательствах, стиле, формулировках, чертежах и многих других деталях. По окончании такого собрания ему приходилось запихивать в свой портфель верстку или даже последние гранки, которые можно было только описать как римановы поверхности высокого рода; требовалась абсолютно твёрдая уверенность в справедливости теоремы об униформизации, чтобы поверить, что эти гранки смогут когда-нибудь быть отображены на schlicht 8 страницы.

Однако, как и Клейн, Курант был воспитан в широких физико-математических традициях Гёттингена. Истинной сутью его работ стало (как представлялось это Нейгебауэру) «постоянное продолжение и дальнейшее распространение идей Римана, Клейна и Гильберта, а также настойчивость в демонстрировании фундаментального единства всех математических дисциплин».

Когда Курант сменил Клейна, студенты, изучавшие математику и теоретическую физику, всё ещё приходили на занятия в единственное аудиторное здание университета, трехэтажный Auditorienhaus, расположенный на пересечении Веендерштрассе со стеной старого города. Третий этаж этого здания оставался центром математической жизни: общая комната, где раз в неделю собирался Математический клуб, — Lesezimmer, с открытым доступом к математическим книгам и журналам, который ввел Клейн, — комната математических моделей, в которой собирались студенты перед лекцией в главной аудитории. Большой кабинет, отделанный деревом, содержал весь административный аппарат математики Гёттингена — марки и канцелярские принадлежности. Именно здесь Курант предпринял свой первый революционный шаг. Он обратился к министру культуры с просьбой о разрешении изменить на бумагах штемпель «Университет Гёттингена» на «Математический институт университета Гёттингена». По окончании положенного срока он получил разрешение на эту реформу.

«Они не знают, во что это им обойдётся», — спокойно сказал глава нового института.

Так в Гёттингене начался новый порядок.

Проблема публикаций, столь важная для прогресса науки, уже была решена Курантом. Во время войны была установлена личная связь между гёттингенскими математиками и издателем Фердинандом Шпрингером. После войны (как позже описывал это Гильберт) «под натиском самого Клейна и моим активным влиянием доктор Шпрингер предоставил свою энергию и решимость в распоряжение математики». Курант и Шпрингер стали близкими друзьями. В результате их объединенных усилий издание научных трудов в Германии стало приобретать нормальный вид.

Кроме Куранта, был ещё один прежний ученик, которого Клейн и Гильберт хотели вернуть в Гёттинген. То был Герман Вейль. В 1922 году — в том самом году, когда Гильберт выступил в Гамбурге с полемикой против интуиционистов, — Вейлю было направлено приглашение.

Как и Куранту, Вейлю шел четвёртый десяток. Благодаря популярности его книги по теории относительности, за пять лет выдержавшей пять изданий, и его активному участию в дискуссии по основаниям он был, наверное, самым известным из математиков своего поколения. Однако и помимо этого за ним уже числились впечатляющие важные достижения в математике и математической физике. В тот момент он находился в расцвете своих творческих сил. Он извергал колоссальный поток статей, и не только по своей основной тематике, но и по любому другому математическому вопросу, заинтересовавшему его. А его интересовала не только математика. В круг его интересов входили философия, искусство, литература. Вейль верил, что проблемы науки не могут быть отделены от философских проблем; он также был уверен, что математика, как и изящное искусство, музыка и литература, была творческой деятельностью человечества. Он любил писать и писал хорошо. Говорили, что ни одна из математических работ этого века не выражает так живо личность своего автора. «Выразительность и форма имеют для меня, быть может, большее значение, чем само знание», — сказал он однажды. И в другой раз: «В своей работе я всегда пытался объединить истину с прекрасным; и когда мне приходилось выбирать одно из двух, я, как правило, выбирал прекрасное».

Вейль уважал и любил Клейна и Гильберта. Он был привязан к традициям Гёттингена. Тем не менее он не сразу согласился возвратиться в свой старый университет. Даже в последний момент он заставил свою жену бродить и бродить вокруг их дома в Цюрихе, продолжая обсуждать своё решение. Почти уже в полночь он решил, что примет предложение из Гёттингена. Поспешив, чтобы отправить телеграмму с согласием, он вернулся несколькими часами позже, отослав отказ.

«Я не мог заставить себя, — объяснял он, — променять спокойную жизнь в Цюрихе на неопределённость послевоенной Германии».

И действительно, жизнь в Германии была неопределённой. За поражением последовал период неистовых беспорядков. Наконец, народ избрал национальное собрание, которое собралось в Веймаре и выработало конституцию республики. Однако новое правительство подвергалось постоянным нападкам. Монархисты хотели восстановить империю. Коммунисты стремились поставить эксперимент в русском стиле. Национал-социалисты требовали диктатуры, перевооружения Германии и разрыва Версальского договора. «Немцы будут привыкать к политике так же, как пещерный человек привыкал к мылу и воде», — заметил Гильберт.

Именно в это смутное время Курант стал воплощать в реальность старую мечту Клейна о великом Математическом институте в Гёттингене.

Марка продолжала неуклонно падать. В 1922 году новое правительство начало издавать бумажные деньги, чтобы покрыть свои нужды; инфляция была в самом разгаре. Цена одного тома Annalen составляла в 1920 году 64 марки, а к началу 1922 года она удвоилась. К концу этого года она равнялась 400 маркам. К 1923 году она достигла 800 марок, к концу года 28 000 марок. Деньги, вносимые студентами в начале семестра за обучение, к концу семестра, когда университет выплачивал их приват-доцентам, фактически обесценивались. Премия Вольфскеля в 100 000 марок вскоре стала не более чем несколькими клочками бумаги (однако в 1921 году прибыли с этой премии ещё позволили пригласить Нильса Бора, который выступил с несколькими лекциями — «Фестивальная неделя Бора»).

Курант, чтобы подчеркнуть свой клейнианский интерес как к прикладной, так и к чистой математике, снабдил свой новый институт одним из первых настольных электрических арифмометров. Рассчитанный на обращение с 19 разрядами, он как раз годился для расчётов с быстро падавшей в стоимости валютой. Жалованье и цены выражались некоторыми основными числами, которые затем умножались на быстро возрастающий коэффициент c(t). В результате получалась стоимость в марках на данный момент времени t. Жалованье стало теперь выписываться каждую неделю на основе текущего значения коэффициента c(t), который конфиденциально сообщался правительством. Курант предложил университету воспользоваться своим арифмометром в обмен на право получения этой информации о c(t) за несколько часов до её официального опубликования в газетах. Благодаря этому простому методу он существенно увеличил покупательную способность денежных средств, отпущенных на математику. Эти сэкономленные деньги использовались в основном для ликвидации пробелов, создавшихся в Lesezimmer во время войны. Как и для Клейна, Lesezimmer была для Куранта центром, вокруг которого вращалась математика в Гёттингене.

Что значила Lesezimmer для студентов, описал Б. Л. ван дер Варден, который по рекомендации Брауэра приехал в Гёттинген после окончания университета в Амстердаме. Ван дер Варден был одарённым молодым человеком. Его отец, учитель средней школы, однажды забрал его математические учебники, считая, что ребёнок вместе с другими ребятами должен играть на улице. Однако ему пришлось возвратить книги сыну, когда он обнаружил, что тот изобрёл свою собственную тригонометрию, заменив традиционные названия и понятия своими собственными.

В Гёттингене ван дер Варден проводил своё основное время в Lesezimmer. В Голландии ничего подобного не было. Сегодня он вспоминает, как его постоянный компаньон по завтракам и прогулкам Хельмут Кнезер «начинал обычно заводить разговор на некоторую тему и отпускать какие-нибудь замечания, которых я совсем не мог понять. Тогда я ему говорил, что хотел бы узнать об этом. Где это можно найти? Он тотчас же мне сообщал названия некоторых книг, которые я мог найти в Lesezimmer. Через день или два я уже мог отвечать на его вопросы, а также делать собственные важные замечания; таким образом я узнавал всё больше и больше». Бывало, когда ван дер Варден искал книгу «автора на А», он находил по соседству ещё более интересную и полезную книгу «автора на Б». «Таким способом я узнавал за недели и месяцы больше, чем многие студенты за годы и годы».

В 1923 году благодаря введению новой денежной единицы — Rentenmark — инфляция внезапно прекратилась.

Хотя Гильберт и заметил скептически, что «нельзя решить проблему, поменяв название независимой переменной», однако же стабильность условий была во многом восстановлена.

Снова со всех концов света в Гёттинген стали прибывать студенты.

Благодаря Ландау в 1920 году университет стал центром большой активности в области теории чисел, как говорили, «началом эры в арифметике, сравнимой с эрой, открытой Гауссом в 1801 году». По-видимому, самый большой интерес вызывали две проблемы. Первой была гипотеза Римана о нулях дзета-функции, восьмая из парижских проблем Гильберта. Другой была задача определения точных значений для количества n степеней в теореме Варинга; работа над проблемой началась с доказательства Гильбертом этой теоремы в 1909 году. Гипотеза Варинга оказалась, по мнению историков математики, «одной из тех проблем, которые открыли эпоху в математике».

Гаральд Бор и Г. Г. Харди были частыми гостями в Гёттингене. Как правило, они заезжали сюда по дороге из Дании или Англии, куда они направлялись для встречи друг с другом. Когда Харди покидал Бора, возвращаясь домой через неспокойный пролив Северного моря, он всегда отправлял ему открытку с извещением: «У меня есть доказательство гипотезы Римана!». Харди говорил, что Бог, с которым у него были личные счёты, не позволит ему умереть с такой славой.

В связи с гипотезой Римана, быть может, стоит привести один анекдот про Гильберта, хотя в его достоверности нет полной уверенности. Согласно этому анекдоту, у Гильберта был студент, принесший ему однажды работу с попыткой доказательства гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу и был сильно поражён глубиною рассуждений; однако, к сожалению, он нашёл ошибку в доказательстве, которую и сам не смог исправить. На следующий год этот студент умер. Гильберт попросил скорбящих родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Когда под дождём родственники и друзья покойного стояли со слезами на глазах над могилой, вперёд вышел Гильберт. Он начал свою речь, сказав, что смерть такого одарённого молодого человека является настоящей трагедией, ведь у него были все возможности показать, на что он способен. Однако, продолжал он, несмотря на то, что его доказательство гипотезы Римана содержало ошибку, ещё остается возможность, что когда-нибудь доказательство знаменитой проблемы будет получено на путях, намеченных покойным. «Действительно, — с энтузиазмом продолжил он, стоя под дождём над могилой умершего студента, — рассмотрим функцию комплексной переменной...»

В этот период в Гёттинген приехал робкий мальчик большого роста, которому предстояло стать выдающимся специалистом в теории чисел — Минковским нового поколения в этой области математики. Он отказался от службы в армии и был помещён в психиатрическую лечебницу, расположенную рядом с клиникой, владельцем которой был отец Ландау. Таким образом Карл Людвиг Зигель, бедный, но чрезвычайно одарённый, познакомился с гёттингенским профессором. Для Зигеля Ландау был совершенно непохожим на избалованного херувима, каким приблизительно в это же время он казался Норберту Винеру.

«Если бы не Ландау, — просто сказал Зигель, — я мог бы умереть».

Однако, когда в 1919 году Зигель приехал студентом в Гёттинген, он работал почти в полной изоляции. «Я очень стремился показать, на что я способен». У него не было личных контактов с Гильбертом, но он на всю жизнь запомнил одну его лекцию по теории чисел, которую он слышал в то время. Гильберт хотел привести своим слушателям характерные примеры теоретико-числовых проблем, представляющихся на первый взгляд совсем простыми, но решение которых оказывается невероятно трудным. Он упомянул в качестве такого типа проблем гипотезу Римана, теорему Ферма и проблему трансцендентности числа 22 (составляющую седьмую из его парижских проблем). Затем он продолжил, сказав, что недавно обнаружился большой прогресс, связанный с гипотезой Римана, и он очень надеется, что сам доживёт до её доказательства. Проблема Ферма стоит уже давно и явно требует совершенно новых методов для своего решения, — быть может, самому молодому слушателю в аудитории удастся дожить до её решения. Что же касается числа 22, то ни один из присутствующих на лекции не доживёт до доказательства его трансцендентности!

Две первые из упомянутых Гильбертом проблем не решены до сих пор. [Популярный рассказ о том, как была доказана теорема Ферма, можно найти в книге Саймона Сингха «Великая теорема Ферма» E.G.A.] Однако десять лет спустя один молодой русский математик по фамилии Гельфонд установил трансцендентность числа 2(–2). Основываясь на его работе, К. Л. Зигель вскоре доказал требуемую трансцендентность числа 22.

Зигель написал Гильберту об этом доказательстве. Он напомнил ему слова, сказанные на лекции в 1920 году, и подчеркнул, что важнейшим моментом здесь была работа Гельфонда. Гильберта часто критиковали за то, что «он ведёт себя так, как будто всё сделано в Гёттингене». Теперь он с крайним восторгом ответил на письмо Зигеля, даже не упомянув о достижении молодого русского математика. Он хотел опубликовать только решение Зигеля. Но тот отказался, уверенный, что Гельфонд сам, в конце концов, решит и эту проблему тоже. Гильберт сразу потерял всякий интерес к этому делу.

После семестра, проведённого в Гамбурге с Гекке, который был там профессором, Зигель вернулся в Гёттинген в качестве ассистента Куранта и позже стал приват-доцентом. Получаемый им заработок был столь малым, что Курант, чтобы иметь себе компаньона в велосипедных прогулках, должен был устроить ему дополнительную стипендию, на которую тот смог купить себе велосипед.

Куранту доставляло удовольствие знакомить Клейна и Гильберта с одарёнными молодыми людьми. Именно благодаря ему Зигель впервые вошёл в личный контакт со знаменитыми математиками Гёттингена. Из-за послевоенной нехватки жилья он некоторое время жил в доме Клейна. Но даже живя с ним под одной крышей, он чувствовал дистанцию, обычную для каждого, кто общался с Клейном. Он постоянно боялся, что «скажет что-нибудь не то». Позже он был приглашён Курантом поплавать в той части реки Лейне, которая была отгорожена для факультета. Он встретил Гильберта в маленьком сарайчике, в котором профессора переодевались в купальные костюмы. Курант представил его Гильберту, объяснив, что молодой Зигель недавно нашёл новое доказательство одной теоремы Гекке, связанной с гипотезой Римана. Гильберт встретил это с большим энтузиазмом. «Ему всегда нравилось внушать молодым людям, что они далеко пойдут». В купальне Зигель не чувствовал с Гильбертом того стеснения, которое он испытывал в доме Клейна.

Вскоре после этой встречи с Гильбертом Курант попросил Зигеля прорецензировать одну работу для Annalen, одним из главных редакторов которого всё ещё был Гильберт. Молодой человек нашёл работу неточной во многих местах, и даже там, где было всё верно, её методы были слишком сложными. Он доложил Гильберту, что, по его мнению, работа не годилась к публикации.

«Нет, нет, я должен её опубликовать! — настаивал Гильберт. — В 1910 году этот человек был членом комитета, присудившего мне премию Бояи, и теперь я просто не могу отказаться опубликовать его работу! Возьмите её и исправьте всё, что должно быть исправлено. Но я должен её опубликовать!»

Работа появилась в исправленном варианте в Annalen. Спустя несколько месяцев, когда Зигель считал, что Гильберт забыл об этом деле, в его комнаты была доставлена посылка. В ней он нашёл два тома собрания трудов Минковского с надписью: «С дружескими мыслями от издателя».

Один из самых продуктивных математических кругов и послевоенном Гёттингене концентрировался вокруг Эмми Нётер. Должность приват-доцента, которой она добивалась, была наконец получена в 1919 году. Это была всё ещё самая низкая ступенька в университетской карьере, не должность, а просто привилегия. Однако Эмми Нётер была в восторге от этого назначения. За тринадцать лет, прошедшие с тех пор, как она держала свой докторский экзамен перед Горданом, она прошла большой путь. Уже были получены важные результаты о дифференциальных инвариантах, которые, по мнению советского математика Павла Александрова, были достаточны, чтобы составить ей репутацию первоклассного математика, и представляли собой «едва ли меньший вклад в математическую науку, чем знаменитые исследования Ковалевской». Сама же она всегда считала эти работы стоящими в стороне от её главного научного пути — построения аксиоматической основы самой общей теория идеалов. Истоками этой последней работы послужили ранние алгебраические труды Гильберта, однако в руках Нётер аксиоматический метод перестал быть «лишь методом логического прояснения и углубления оснований [чем он был для Гильберта], а стал мощным орудием конкретных математических исследований». Портрет Гордана всё ещё висел над её столом в Гёттингене, но, хотя в годы своей молодости она и находилась под столь сильным его влиянием, что в конце своей диссертации привела список полной системы инвариантов для заданной тернарной квартики, содержащий более трехсот форм в символической записи (работа юности, о которой она позже отзывалась как о Formelgestrüpp! — джунглях формул), в следующее десятилетие ей было предназначено сделать «теологию» Гильберта похожей на математику.

В 1922 году она стала «nicht beamteter ausserordentlicher Professor» (неофициальный экстраординарный, или ассистент-профессор). Никаких обязанностей с этой должностью не связывалось, как не связывалось с ней и никакого жалованья. Считалось, что экстраординарный профессор стоит намного ниже по рангу, чем ординарный профессор. Единственным объяснением названия этой должности служит одно гёттингенское изречение: «Экстраординарный профессор не знает ничего ординарного, а ординарный профессор не знает ничего экстраординарного». Однако к этому времени инфляция настолько снизила способности студентов платить за обучение, что для того, чтобы не дать приват-доцентам умереть с голоду, университету пришлось выплачивать им небольшие суммы за чтение лекций по их специальности. Такой «Lehrauftrag» по алгебре был присуждён и Эмми Нётер. Это было её первым и единственным жалованьем, когда-либо полученным в Гёттингене.

В целом ни она сама, ни её работа не получили признания на родине. Она даже так и не была выбрана в члены Гёттингенского научного общества. «Настало время выбирать в это общество действительно стоящих людей, — заметил однажды Гильберт на одном заседании. — Да, и сколько же мы выбрали таких людей за последние годы?». Он внимательно оглядел аудиторию. «Только нуль, — наконец сказал он, — только нуль!»

Один голландец, придя первый раз на одну из лекций Эмми Нётер, вспоминает её приветствие: «А, ещё один иностранец! У меня одни иностранцы!». Однако среди пришедших к ней иностранцев были такие люди, как ван дер Варден из Голландии, Артин из Австрии, Александров из России.

Именно Александров окрестил её «der Noether» (der — определённый артикль, который в немецком языке ставится перед существительными мужского рода). Однако позже он сказал: «Женственность её психики проявлялась в том мягком и тонком лиризме, который лежал в основе широко разветвлённых, но никогда не поверхностных отношений, связывавших её с людьми, с её делом, с интересами всего человечества 9».

Она не была хорошим лектором, и количество её слушателей колебалось, как правило, от пяти до десяти человек. Хотя однажды, придя в назначенный час, она нашла более сотни студентов, ожидавших её. «Вы, должно быть, ошиблись аудиторией», — сказала она им. Однако студенты устроили традиционное шумное шарканье ног, которое вместо аплодисментов начинало и оканчивало каждое занятие в университете. Тогда она прошла вперёд и прочитала свою лекцию такой необыкновенно большой аудитории. Когда она кончила, один из её постоянных студентов, находившийся в зале, передал ей записку. «Гости, — сообщал он, — поняли лекцию так же хорошо, как и любой из ваших постоянных слушателей».

Действительно, педагогическими талантами она не обладала. Её мысли были открыты только тем, кто стремился к ним всей душой. Её педагогический подход, как и её мышление, был целиком концептуальным. Немецкие буквы, которые она писала на доске, заменяли целые понятия. Ван дер Вардену казалось, что «её трогательные усилия прояснить эти понятия, даже если перед этим она всё выразила словами... имели противоположный эффект». Однако из всех представителей нового поколения в Гёттингене Эмми Нётер суждено было оказать наибольшее влияние на развитие математики.

В то время как различные круги математической активности расходились от Куранта, Ландау и Эмми Нётер, группа исключительно одарённых молодых физиков собиралась вокруг Макса Борна, который (как и Куранту, ему шёл четвёртый десяток) после войны стал профессором теоретической физики. С самого начала Борн задался целью организовать в Гёттингене физический институт, аналогичный институту Зоммерфельда в Мюнхене. Когда такая возможность появилась, он устроил переход своего лучшего друга Джеймса Франка в Гёттинген в качестве профессора экспериментальной физики. Это живо напоминало то, как в 1902 году Гильберт устраивал приглашение в университет для своего друга Минковского. Но и до приезда Франка в 1922 году в Гёттингене начали собираться первые из замечательной плеяды студентов, осевших там в двадцатых годах. Первыми ассистентами Борна стали Вольфганг Паули и Вернер Гейзенберг.

После войны немецкие математики были оторваны от больших международных съездов; но теперь вновь казалось, что в Гёттингене постоянно работает международный конгресс.



XX
БЕСКОНЕЧНОСТЬ!

Главным событием математической недели в Гёттингене в двадцатых годах было регулярное заседание Математического клуба.

Этот клуб был абсолютно неофициальной организацией, не имевшей ни служащих, ни постоянных членов, ни денежных средств. Любой интересующийся мог прийти на собрание, хотя уровень математики в Гёттингене был таков, что оно было всегда «предприятием самого высокого класса». Иногда докладчиком был какой-нибудь выдающийся гость, рассказывающий о недавней работе, своей собственной или своего ученика. Чаще же он принадлежал к гёттингенскому кругу — был профессором, доцентом или студентом.

Способные молодые люди, впервые увидевшие на этих заседаниях Гильберта в действии, поражались его медлительности в понимании идей, которые они «схватывали на лету». Он часто не понимал того, что хотел сказать докладчик. Тот мог попытаться объяснить. Другие также могли помочь ему в этом. Наконец, казалось, что все присутствующие пытаются помочь Гильберту понять.

«То, что мне удалось что-то сделать в математике, — однажды сказал Гильберт Гаральду Бору, — объясняется, на самом деле, тем, что я всегда находил всё очень сложным. Когда я читаю или когда мне что-то рассказывают, мне почти всегда это кажется очень трудным и практически невозможным понять. Тогда я не могу не задать себе вопрос, а не может ли это быть проще. И в некоторых случаях, — добавил он со своей всё ещё простодушной улыбкой, — оказывалось, что это действительно намного проще».

Некоторых молодых людей раздражало, что драгоценное время тратилось на вопросы Гильберта; других же очаровывало зрелище процесса мышления Гильберта.

«Он не мог моментально схватывать и не воспринимал сложных вещей в науке. Этим даром он не обладал, — объяснял Курант. — Ему нужно было докапываться до сути вещей».

Доклады самого Гильберта в Математическом клубе всё ещё служили высоким образцом простоты и ясности. Его главным правилом для докладчика было «только изюминки из кекса». Если вычисления были сложными, он мог прервать докладчика словами: «Мы здесь не для того, чтобы проверять правильность выбранного знака». Если объяснение казалось ему слишком очевидным, то он мог сделать замечание докладчику: «Мы не в tertia» (tertia — уровень гимназии, рассчитанный на учащихся от 12 до 14 лет). Грубость, с которой он мог обрушиться на того, кто не соответствовал его стандартам, была хорошо известна. Ряд важных математиков Европы и Америки опасались прочесть доклад в Математическом клубе Гёттингена. Теперь Островскому иногда казалось, что Гильберт был излишне груб с докладчиками — как будто он перестал относиться с вниманием к проблеме жизни высшего существа в окружении существ более низкого уровня.

Один молодой скандинавский математик, в наши дни высокоуважаемый профессор, приехал в Гёттинген, чтобы рассказать о своей работе, по мнению Островского, «очень важной, красивой и очень трудной». Гильберт слушал и, когда докладчик кончил, задал только один вопрос: «И на что она годится?»

В другом случае он прервал докладчика словами: «Мой дорогой коллега, я очень боюсь, что вы не знаете, что такое дифференциальное уравнение». Ошеломлённый и взволнованный докладчик сразу же повернулся и покинул собрание, направясь в соседнюю комнату, которой была Lesezimmer. Все набросились на Гильберта: «Право же вы не должны были так поступать». «Но он действительно не знает, что такое дифференциальное уравнение, — настаивал Гильберт. — И теперь вы сами видите, что он пошёл в Lesezimmer, чтобы ознакомиться с этим».

Однажды докладчиком был молодой Норберт Винер. Значение, которое он придавал этому докладу в Гёттингене, отражается тем фактом, что много лет спустя он посвятил этому более двенадцати страниц своей автобиографии. После доклада Винера в Математическом клубе, как обычно, все направились к Der Rohns, где состоялся ужин. Там во время ужина Гильберт в свободной манере начал распространяться о выступлениях, которые ему довелось выслушать за годы жизни в Гёттингене.

«Доклады, с которыми выступают в наши дни, намного хуже, чем это было раньше. В моё время сделать доклад было искусством. Люди долго готовились к тому, что они хотели сказать, и их выступления были хорошими. Теперь же молодые люди больше не в состоянии сделать хорошего доклада. Особенно с этим плохо у нас, в Гёттингене. Мне кажется, что самые плохие доклады в мире делаются в Гёттингене. В этом году они были особенно плохи. Были, — впрочем, нет, я совсем не слышал хороших докладов. Недавно это было совсем плохо. Но сегодня было исключение — ».

Молодой «экс-вундеркинд» («Ex-Prodigy» — так называлась первая книга мемуаров Винера; она вышла на русском языке в 2001 году в издательстве «РХД» E.G.A.) из Америки приготовился выслушать комплимент.

«Сегодняшний доклад, — заключил Гильберт, — был самым плохим из всех, когда-либо слышанных здесь».

Несмотря на это замечание (которое не было упомянуто в автобиографии), Винер продолжал смотреть на Гильберта как на «математика, каким я хотел бы стать, сочетавшего необычайную силу абстракции с житейским чувством физической реальности».

В начале двадцатых годов в Гёттингене ещё чувствовалось присутствие Клейна, напоминая скорее солнце на закате, а не полуденное. Издание собрания его трудов было завершено, каждая статья в нём сопровождалась подробными примечаниями, показывающими её исторические истоки, — история математики XIX века и его собственная научная биография. Куранту казалось, что Клейн чувствовал, что его жизнь была также завершена. Он продолжал заниматься своими проектами, например изданием своих лекций по истории математики XIX столетия, подготовленных за время войны, «сознавая однако, что закончить это дело предстоит уже другим».

Когда какой-нибудь молодой математик не сразу же брался развивать его идеи, Клейн гнал его со словами: «Я старик. У меня нет времени ждать».

Весной 1925 года молодой Норберт Винер отправился с визитом к Клейну.

«Великий человек сидел в кресле за столом, с пледом на коленях. Он... нёс на себе венец мудреца, а произносимые им имена великих математиков прошлого века превращались из отвлечённых авторов таких-то и таких-то работ в живые человеческие существа. Над самим Клейном время, казалось, больше не было властно — вокруг него всё дышало вечностью».

Двадцатые годы были «прекрасными годами» для современной физики, которая почти магическими темпами развивалась внутри треугольника, вершинами которого были Кембридж, Копенгаген и Гёттинген. Двадцатилетний Вернер Гейзенберг, всё ещё в шортах цвета хаки — форме Молодежного движения, — приехал в Гёттинген в 1921 году из Мюнхена. Он вспоминает, что был «очень потрясён» числом молодых физиков, занимавшихся одной конкретной проблемой, которая интересовала тогда Гильберта, — «проблемой, которая далеко превышала мои собственные познания в математике и физике». Гильберт вернулся в последние годы к своим идеям военного времени, относящимся к теории относительности. Некоторое время, вспоминал Вейль, в его кругу возлагались большие надежды на единую теорию поля. Однако в целом в физике того периода скорее чувствовался дух, а не сама личность Гильберта.

Начиная с 1922 года Гильберт перестал быть физиком. Семинаром по строению вещества, который они основали с Дебаем во время войны, теперь руководили Борн и Франк. В различные периоды двадцатых годов его участниками были Гейзенберг, Вольфганг Паули, Роберт Оппенгеймер, К. Т. Комптон, Паскуаль Йордан, Поль Дирак, Лайнус Полинг, Фриц Хутерманс, П. М. С. Блакетт и другие. Гильберт появлялся редко.

Его собственные достижения в физике были разочаровывающими, «ни в коей мере не сравнимыми, — как позже резюмировал Вейль, — с математическими достижениями в любой из периодов его научной карьеры». Аксиоматизация физики, бывшая его целью с тех пор, как он впервые начал совместные исследования с Минковским, всё время ускользала от него.

Вейлю, который сам внёс весомый вклад в математическую физику, казалось, что «пестрота экспериментальных фактов, которые приходится принимать во внимание физику, многообразна, их увеличение происходит слишком быстро, а их значение и относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический метод смог найти здесь себе достаточно твёрдую опору; разве что это возможно в каких-либо прочно установившихся областях нашего физического знания. Люди, подобные Эйнштейну или Нильсу Бору, прокладывают свой путь в темноте к таким понятиям, как общая относительность или структура атома. При этом они основываются на опыте и интуиции, которые отличны от тех, которыми пользуются математики, хотя, без сомнения, и здесь математика является важным ингредиентом».

Действительный вклад Гильберта в физику состоял в тех математических методах, которые были созданы в его работах по интегральным уравнениям, и в той объединяющей роли, которую они сыграли. Когда в конце 1924 года Курант опубликовал первый том своих Методов математической физики, он поставил перед заглавием наряду со своим также и имя Гильберта. Это решение, писал Курант в предисловии, объяснялось тем, что в этой книге была использована масса материала из работ и лекций Гильберта, а также надеждой, что она выражала дух Гильберта, «оказавшего такое решающее влияние на математические исследования и образование».

«Тот факт, что на титульном листе имя Гильберта стоит рядом с именем Куранта, есть не просто акт посвящения, — отмечал Эвальд в своей рецензии на эту книгу в Naturwissenschaften. — Духом Гильберта веет со всех страниц — тем стихийным духом, который страстно желает полностью овладеть простыми и ясными истинами, оставляя в стороне тривиальности, и с мастерской ясностью устанавливает связи между высшими сферами знания, — духом, наполнившим научным энтузиазмом поколения исследователей».

«Курант–Гильберт», как немедленно стала называться эта книга, представляла огромный шаг вперёд по сравнению с предыдущей классической литературой по прикладной математике. Фактически ничего подобного до её появления не существовало. В прошлом физики-теоретики в основном получали свои математические знания из работы Рэлея и других физиков. Теперь они приветствовали «Куранта–Гильберта».

Гильберт продолжал держать ассистента, информировавшего его о последних достижениях в физике. Начиная с 1922 года эту обязанность исполнял Лотар Нордгейм, который, как и другие ассистенты по физике, был подобран для Гильберта Зоммерфельдом.

По мнению Нордгейма, в то время Гильберт ещё питал надежду достигнуть своей цели — аксиоматизации физики. Однако своему ассистенту он уже не казался легендарным «великим мыслителем». Он был уже не тот. Казалось, что он живёт в основном в прошлом, с трудом воспринимая перемены, со многими предубеждениями, с более выраженными чертами эгоизма. «Он не мог представить себе бóльшую честь для молодого человека, чем быть его ассистентом». Нордгейм же предпочёл бы место в институте Борна. Работая теперь с Гильбертом в его доме, он остро чувствовал себя вне основного течения физики.

Однако, несмотря на эти признаки явно раннего увядания, Гильберт продолжал поддерживать свои близкие контакты с молодежью.

В то время как Нордгейм регулярно приходил в дом Гильберта, другой молодой человек также был частым его посетителем. Это был Джон фон Нейман, работавший в Берлине вместе с Эрхардом Шмидтом, бывшим учеником Гильберта, который в начале века столь значительно продвинул работу Гильберта по интегральным уравнениям. Этот молодой человек был, по крайней мере в одном отношении, прямой противоположностью Гильберту. В то время как Гильберт был «тугодум», фон Нейман, по словам Нордгейма, обладал «самым быстрым мозгом, который я когда-либо встречал». Он часто выражал мнение, что математические способности начинают падать после 26 лет, но что некоторая повседневная интуиция, накопленная с опытом, позволяет компенсировать эту постепенную потерю. (В течение своей собственной жизни он медленно повышал этот предельный возраст.)

В 1924 году фон Нейману было 21 год, в это время он глубоко интересовался подходом Гильберта к физике и его идеями в теории доказательств. Оба математика, отличаясь по возрасту более чем на сорок лет, проводили вместе долгие часы в саду или в кабинете Гильберта.

Однако настоящим сотрудником Гильберта был в те дни Бернайс. Некоторым казалось, что Гильберт даже эксплуатировал своего ассистента по логике. Бернайс не был молодым студентом, а был сложившимся математиком, в возрасте далеко за тридцать. Будучи ассистентом Гильберта, он получал жалованье, и, кроме того, сразу же после приезда в Гёттинген он защитил хабилитацию и получал плату от студентов, посещавших его лекции. На эти деньги он мог существовать, но, разумеется, не мог позволить себе жениться.

Гильберт очень противился женитьбе молодых учёных. Он считал, что женитьба будет им помехой для выполнения своего долга перед наукой. Позже, когда женился Вильгельм Аккерман, с которым они вместе писали книгу, Гильберт был очень рассержен. Он и далее отказался помогать чем-либо Аккерману для достижения карьеры, и из-за этого молодой талантливый логик так и не получил места в университете и должен был пойти работать учителем в среднюю школу. Когда несколько позже Гильберт услышал, что у Аккерманов должен был вскоре появиться ребёнок, он очень обрадовался.

«О, это чудесно! — сказал он. — Это замечательная новость для меня. Потому что если этот человек столь безумен, что женился и даже заводит ребёнка, то это полностью освобождает меня от обязанностей чем-либо помочь такому сумасшедшему».

Помимо подготовки к собственным лекциям, Бернайс помогал Гильберту готовиться к его лекциям, сопровождал его на них и часто доканчивал занятия со студентами. Кроме того, ему приходилось руководить учениками Гильберта, работавшими над докторскими диссертациями, изучать и перерабатывать литературу, необходимую для их работы, и посвящать много времени написанию будущей совместной с Гильбертом книги, которая должна была получить название Основы математики. В Бернайсе Гильберт нашёл человека с такими же интересами к основаниям математики, как и у него. Он не испытывал угрызений совести, когда его ассистент трудился так же много, как и он, «Гений есть трудолюбие», — любил говорить он своим студентам, цитируя Лихтенберга. Сам он был, как позже вспоминал Вейль, «необычайно трудолюбив». Временами они начинали довольно горячо спорить по поводу оснований. Бернайс объяснял эмоциональную окраску этих споров твёрдой «оппозицией», которую занимал Гильберт в своих отношениях к математике.

«Для программы Гильберта, — рассказывал он, — важное значение имел опыт раннего этапа его научной деятельности, а на самом деле даже его студенческих лет. Он проявлялся в его противоборстве стремлениям Кронекера ограничить математические методы и, в частности, теорию множеств. Под влиянием обнаруженных парадоксов теории множеств Гильберт одно время думал, что, быть может, Кронекер был прав. Но вскоре он изменил своё мнение. Теперь его целью стало, можно сказать, воевать против Кронекера его же собственным оружием — средствами конечности, основываясь на изменённом содержании понятия математики...»

«Вдобавок, были ещё две противоречащие друг другу причины, обе игравшие важную роль в манере мышления Гильберта. С одной стороны, он был уверен в жизнеспособности существующей математики; с другой стороны, его философское отношение было очень скептическим».

Примером могло служить отношение Гильберта к вопросу о разрешимости любой конкретной математической проблемы. В Париже в решительных тонах аксиомы он говорил о разрешимости любой проблемы — «уверенность, которую разделяет каждый математик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством». Он верил, что, по крайней мере, в математике «не существует ignorabimus». Кроме того, в Цюрихе он включил в список эпистемологических вопросов, нуждавшихся, по его мнению, в исследовании, вопрос о принципиальной разрешимости каждой математической задачи. «Целью Гильберта, — объясняет Бернайс, — было объединить все эти противоположные тенденции, что он надеялся сделать с помощью формализации математики».

Случалось, что в их общей работе возникали разногласия, однако, как признавал Бернайс, как бы ни был Гильберт горяч в спорах, они никогда не принимали личный характер.

После окончания работы Гильберт и Бернайс часто спорили о политике. Гильберту нравилось выражать свои взгляды в крайне парадоксальной форме.

Считаясь в основном консервативным, он удивил всех своим предложением наградить Кёте Кольвиц, известную своими крайне левыми взглядами, Звездой ордена «Заслуги за мир». Кольвиц стала к тому времени одной из величайших художниц за всю историю искусства. («Я никогда не видел таких рисунков, принадлежащих руке женщины», — говорил скульптор Константин Менье.) В искусстве она выражала своё сочувствие страданиям человечества.

«Конечно, на то, что она рисует, страшно смотреть, — сказал Гильберт своим друзьям, награждённым Звездой. — Но когда в Кёнигсберге мы часто танцевали в дни молодости, она была одной из первых девушек, танцевавших без корсета».

Несмотря на свою консервативную основу, Гильберт был всегда либерален в том отношении, что никогда не считал себя привязанным к какой-нибудь определённой политической доктрине. В спорах со своим ассистентом он часто критиковал «либералов» за то, что они видят вещи такими, какими они хотят их видеть, а не такими, какие они есть на самом деле.

«Иногда случается, — говорил он, — что кругозор человека становится всё уже и уже, и, когда его радиус стремится к нулю, он сводится к одной точке. Тогда она становится его точкой зрения».

Он любил напоминать своему молодому ассистенту: «Человечество никогда не меняется».

Музыка часто вносила мир в их споры на политические или логические темы. Бернайс любил музыку и в Цюрихе играл в «четыре руки» с Гурвицем. Он был поражён, насколько за эти годы повысились музыкальная культура и восприятие Гильберта. Этим он был обязан своей любви к граммофону, последние модели которого до сих пор регулярно доставлялись ему всё тем же промышленником. Теперь он присоединился к компании профессоров, которые вместе со своими жёнами регулярно посещали концерты в Гёттингене, а в случае особых музыкальных событий вместе ездили в Лейпциг или Ганновер.

Иногда казалось, что из всех видов искусства Гильберта интересует только музыка. Всё же он увлекался литературой и, как говорил Курант, «хотел быть в курсе дела». Он высоко ценил Гёте и Гомера, а в романах требовал больше действия. Одна из его «пассий» однажды взялась за его литературное образование. Она начала с того, что дала ему один исторический роман о гражданских войнах в Швейцарии, описывающий довольно кровавые события. Гильберт его быстро прочитал. «Если мне дают читать книгу, — сказал он, — то в ней действительно должно что-то случаться. Описывать состояние души и смену настроений — это я могу и сам!»

Существует один анекдот, в большой степени проливающий свет как на его отношение к литературе, так и его чувства к математике. Некий математик стал романистом. «Почему он занялся этим? — изумлялись в Гёттингене. — Как может человек, бывший математиком, писать романы?» — «Но это же совсем просто, — сказал Гильберт. — Для математики у него недоставало воображения, в то время как его вполне хватило на романы».

Собственное математическое воображение Гильберта было в то время направлено на теорию доказательства. В 1917 году в Цюрихе он объявил одну общую идею и цели этой теории, не упомянув про её методы. «И действительно, — позже заметил Бернайс, — современные математические методы не подходили для этой теории». В первом сообщении на эту тему (атака на Брауэра и Вейля в Гамбурге в 1922 году) Гильберт высказал мысль, что математика могла бы восстановить первоначальную объективность на основе формализации своих утверждений и доказательств, которые, будучи записанными на языке символической логики, должны были браться за непосредственные объекты изучения. В том же году в Лейпциге он добавил дальнейшие разъяснения, сводившие эту проблему к доказательству непротиворечивости формализованной арифметики — задаче, которую он поставил перед новым столетием в 1900 году в Париже.

«Таким образом, казалось, — позже писал Бернайс, — что создание теории доказательств было лишь делом математической техники».

На собрании в Мюнстере, посвящённом памяти Вейерштрасса, Гильберт решил выступить с речью «О бесконечном». Он чувствовал, что это было подходящим поводом для ознакомления публики с теперешним состоянием его программы формализма. Анализ Вейерштрасса и понятие бесконечности, появившееся в работе Кантора, были главными объектами нападок Кронекера. В современной программе Брауэра многими из достижений Вейерштрасса и Кантора необходимо было пожертвовать.

Во время своего выступления в Мюнстере Гильберт чувствовал себя не совсем здоровым. Незадолго до этого выяснилось, что ухудшение его состояния, отмеченное Нордгеймом, не объяснялось только возрастом, а служило признаком ещё не опознанной болезни. Тем не менее, несмотря на плохое здоровье, Гильберт говорил с обычным для него энтузиазмом и оптимизмом.

Свой доклад он начал с указания на то, что теперешнее «счастливое положение дел» в анализе обязано исключительно Вейерштрассу, который столь проникновенно критиковал его методы. И тем не менее — споры об основаниях анализа продолжаются и поныне. По его мнению, это объяснялось тем, что смысл используемого в математике понятия «бесконечность» до сих пор не был окончательно выяснен.

Для бесконечности не находилось места в действительном мире, хотя, по его мнению, она вполне реально существует в виде «всеобщего отрицания». С незапамятных времен идея бесконечности, как ничто другое, возбуждала человеческое воображение. Поэтому он чувствовал, что полное прояснение её природы представляло отнюдь не чисто специальный научный интерес — оно было необходимо для утверждения величия самого человеческого интеллекта!

Самое глубокое для того времени проникновение в природу бесконечного было связано с теорией, имевшей больше философский, чем математический, характер. Это была созданная Георгом Кантором теория множеств.

«Я считаю, что она представляет собой высочайшее проявление математического гения, — сказал Гильберт, — а также одно из самых высоких достижений чисто духовной деятельности человека».

Тем не менее именно в теории множеств Кантора начали появляться катастрофические противоречия, вызванные употреблением определений и дедуктивных методов, общепринятых в математике.

«... Теперешнее состояние дел... невыносимо. Только подумайте, понятия и дедуктивные методы, которые все изучают, преподают и используют в математике, являющиеся образцом истины и безупречности, ведут к противоречиям! Если математическое мышление не совершенно, то где же ещё искать истину и уверенность?»

Однако существует «вполне удовлетворительный способ избежать парадоксов теории множеств, оставаясь верным нашей науке». Математики должны установить внутри математики такой же порядок в своих выводах, какой существует в обычной арифметике целых чисел, «в которой никто не сомневается и где парадоксы и противоречия возникают только из-за собственной небрежности».

Однако если пытаться оставаться в пределах таких чисто интуитивных и финитных утверждений — к чему и надо стремиться, — то нам придётся воспользоваться более сложными правилами логики. Те правила, которым нас учил Аристотель и которыми пользуется человек с самого рождения, перестанут выполняться.

«Конечно, мы могли бы изменить логические законы, справедливые для финитных утверждений. Однако... мы не хотим отбрасывать простые правила аристотелевой логики... Что же тогда делать?»

«Вспомним же, что мы — математики и, как таковым, нам часто случалось оказываться в опасных ситуациях, из которых мы выбирались с помощью изобретательного метода введения идеальных элементов... Аналогично этому, чтобы сохранить простые формальные правила аристотелевой логики, мы должны добавить к финитным утверждениям идеальные утверждения».

С этой точки зрения математика станет набором формул двух сортов: первые будут нести осмысленную информацию, остальные ничего не будут обозначать, кроме того, что они представляют собой идеальную структуру теории.

«Однако в нашей общей радости от этого достижения и особенно от вновь обретённого незаменимого орудия, логического исчисления, мы не должны забывать существенного требования метода идеальных элементов — доказательства непротиворечивости».

В самом деле, добавлять идеальные элементы можно только тогда, когда это не вызывает появления противоречий.

С этой проблемой непротиворечивости можно было бы «легко справиться». По его мнению, это можно было бы сделать с помощью чисто интуитивных и финитных методов, тех же самых, с помощью которых добиваются результатов в элементарной теории чисел. Эта точка зрения гарантировала бы законность применяемого математического аппарата. Затем проверкой теории послужила бы её способность решать старые проблемы, для чего она непосредственно не предназначалась. В качестве примера он упомянул проблему континуум-гипотезы Кантора, включённую первой в список парижских проблем. Остаток своей речи он посвятил наброску подхода к этой знаменитой проблеме.

«Никто, — обещал он своим коллегам-математикам, — не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором!»



Примечания
1.

Модная песня (нем.). назад к тексту

2.

Веселый (итал..). назад к тексту

3.

Задумчивый (итал.). назад к тексту

4.

Глупый, придурковатый (нем.). назад к тексту

5.

Господа (нем.). назад к тексту

6.

Ежегодник (нем.). назад к тексту

7.

Путч (нем.) назад к тексту

8.

Гладкий (нем.). Здесь имеется в виду однолистная поверхность. назад к тексту

9.

П. С. Александров, Памяти Эмми Нётер, УМН, вып. 2 (1936), стр. 205. назад к тексту

Hosted by uCoz