XXI
ПОДАРЕННАЯ ЖИЗНЬ

В один из тихих тёплых вечеров июня 1925 года умер Феликс Клейн.

Уже задолго до этого в Гёттингене все были готовы к его смерти.

«Однако, свершившись, это событие глубоко всех взволновало и сильно подействовало на нас, — сказал Гильберт в маленькой речи, которую он произнёс перед своими коллегами на следующее утро. — До вчерашнего дня Феликс Клейн был ещё с нами, мы могли зайти к нему в гости, выслушать его совет, убедиться в том, как живо он интересовался нашими делами. Теперь это всё кончилось».

Всё, что их окружало в Гёттингене, было делом рук Клейна — коллекция математических моделей в соседнем коридоре, Lesezimmer с книгами на открытых полках, многочисленные технические институты, выросшие вокруг университета, хорошие взаимоотношения с министерством образования, большое количество важных людей в деловом и промышленном мире, заинтересованных в них... Они потеряли «великий дух, сильную волю и благородный характер».

Окончилась целая эпоха.

Спустя несколько месяцев, на мемориальном заседании Гёттингенского научного общества, Курант напомнил драматическую жизнь великого Феликса — скромное начало, эффектные достижения («Если сегодня мы можем основываться на работах Римана, то в этом всецело заслуга Клейна»), трагический срыв и затем — «удивительный поворотный пункт» — человек, который казался сломленным, прожив ещё 43 года, проявил себя с самых разнообразных сторон: как исследователь, педагог, организатор и администратор.

И всё же жизнь Клейна была не лишена личной трагедии. Он обладал способностью необычайной силы к синтезирующему мышлению. Другая же важная для математики способность к анализу была в некоторой степени этим даже ущемлена. Его умение собирать воедино наиболее далёкие друг от друга абстрактные части математики было замечательным, однако способность к формулировке отдельной проблемы и к углублению в неё отсутствовала. «Он был похож на лётчика, который, высоко паря над миром, открывает и оглядывает новые поля... однако не может посадить свой самолёт, чтобы освоить их, засеять и снять урожай». Может быть, сам Клейн и не отдавал себе отчёта в наличии этого глубокого раскола, но, по мнению Куранта, это служило одной из причин решающего срыва, случившегося с ним во время соперничества с Пуанкаре. Безусловно, он сознавал, «что его самые блестящие научные достижения являлись основополагающими гигантскими набросками, завершение которых он предоставлял другим».

Иногда ему не удавалось сохранять чисто человеческие взаимоотношения. «Многие, знавшие его только как организатора... находили его слишком резким и вспыльчивым, чем он создавал большие трудности для претворения в жизнь своих идей... чего легко можно было бы избежать более обходительным отношением».

Однако его ближайшие родственники и коллеги, а также большинство его учеников знали, что за его несгибаемым природным упорством всегда стояла добрая человеческая душа.

На его могиле они оставили простую надпись: «Феликс Клейн, Друг, Искренний и Неизменный».

В тот же год, когда умер Клейн, вышел в отставку Рунге; его место занял Густав Герглоц.

Состояние здоровья Гильберта постоянно ухудшалось. Осенью 1925 года, наконец, было определено, что он страдает злокачественной анемией. Болезнь, которая, как правило, считалась неизлечимой, была обнаружена так поздно из-за того, что её первые симптомы часто принимались в этом возрасте за признаки раннего упадка сил. Теперь врачи давали ему, в лучшем случае, несколько месяцев, а может быть недель, жизни.

Несмотря на этот диагноз, Гильберт оставался оптимистически настроенным относительно своего состояния. Он убеждал всех, что на самом деле у него не было злокачественной анемии, а была какая-то другая, менее серьёзная болезнь, имеющая просто те же симптомы.

Гильберту исключительно повезло в том, что в начале 1925 года Уипл и Робшайт-Роббинс обнаружили плодотворное влияние сырой печени на восстановление крови, а в 1926 году Майнот в Америке применил их работу для лечения злокачественной анемии. Один фармаколог, друг Гильберта, случайно прочитал в Журнале Американской медицинской ассоциации о работе Майнота и показал эту статью Гильберту. Кроме описания нового лечения, подчёркивая, что оно находится всё ещё в экспериментальной стадии, она живо описывала смертельную опасность «З.А.». Однако Гильберт, читая эту статью, полностью игнорировал её угрожающие детали. Он сосредоточился только на надеждах, вызванных работой Майнота.

Госпожа Ландау была дочерью Пауля Эрлиха, открывшего сальварсан — «волшебную пулю» в борьбе с сифилисом. Она имела много связей в медицинском мире. С помощью Куранта она направила длинную телеграмму Майноту, находившемуся в Гарварде. «Это была самая длинная телеграмма, которую я когда-либо посылал», — говорил Курант. Одновременно другая телеграмма была послана Оливеру Келлогу, который в 1902 году первым из учеников Гильберта защитил докторскую диссертацию по интегральным уравнениям. Теперь, будучи профессором в Гарварде, Келлог организовал среди математиков поддержку просьбы из Гёттингена.

Поначалу Майнот и его сотрудники были не очень восприимчивы к этой просьбе. У них было слишком мало готового препарата для того, чтобы снабдить им больного до конца его жизни. Люди умирали от злокачественной анемии за несколько миль от Гарварда...

Джордж Биркгофф, ведущий американский математик и также профессор Гарвардского университета, недавно посмотрел пьесу, в которой одному врачу была дана возможность спасти ровно 10 человек. Кого он должен был включить в это число? «По признаку их пользы для человечества» — таково было мнение драматурга. В разговоре с Майнотом Биркгофф упомянул про Дилемму врача Джорджа Бернарда Шоу.

Математика делает математиков упорными. Майнот сдался. Гёттингенскому фармакологу была послана инструкция для приготовления большого количества сырой печени, которая будет служить для лечения до тех пор, пока из Соединённых Штатов не придёт более концентрированное экспериментальное лекарство. Кондон, посетивший Гёттинген летом 1926 года, слышал, как Гильберт жаловался, что лучше умереть, чем есть так много сырой печени.

Однако наконец-то прибыло лекарство Майнота.

По-видимому, на такой поздней стадии было невозможно полностью остановить развитие болезни, однако в Гёттингене все заметили, что состояние Гильберта почти сразу же стало улучшаться. В течение всей своей болезни он продолжал работать, насколько хватало сил; при этом, если чувствовал себя не в состоянии идти в университет, то устраивал лекционный зал из своей столовой. Теперь, когда один бывший студент осведомился о его здоровье, он твёрдо сказал: «А, эта болезнь — да она больше не существует».

Годы 1925 и 1926 явились «Wunderjahre» 1 того, что в Гёттингене называли «физикой мальчиков», ибо так много великих открытий было сделано физиками в возрасте до тридцати лет. В начале 1925 года к Борну приехал Гейзенберг с какой-то казавшейся таинственной математикой, которая впоследствии развилась в созданную им новую теорию квантовой механики. Гейзенберг полагал, что это единственное в его теории, что нуждается в исправлении. В действительности же именно она явилась его великим открытием. Борн сразу же узнал в этой странной математике матричную алгебру, зачатки которой существовали ещё более чем за три четверти века до того в теории кватернионов Уильяма Роуэна Гамильтона.

В матричной алгебре умножение не коммутативно: a×b не равно b×a, являясь чем-то совершенно отличным от b×a. До работы Гейзенберга матрицы редко использовались физиками; правда, исключением была одна ранняя работа Борна по теории кристаллических решёток. Однако даже Борну пришлось теперь проконсультироваться о некоторых свойствах матриц со своим старым другом Отто Тёплицем и порадоваться тому, что в его распоряжении находился новый ассистент Паскуаль Йордан. С последним он случайно познакомился в вагоне поезда, когда Йордан, услышав его разговор с попутчиком о матрицах, поспешил представиться ему. Йордан был одним из помощников Куранта при подготовке «Куранта—Гильберта» и поэтому был хорошо знаком с матричной алгеброй.

Ровно через 60 дней после работы Гейзенберга появилась великая работа Борна—Йордана, в которой давались необходимые и строгие математические основы новой матричной механики. В следующем году появилась знаменитая статистическая интерпретация Борна, за которую он позже был удостоен Нобелевской премии.

Гильберт никогда не проникал так глубоко в квантовую механику, как в теорию относительности, тем не менее он потребовал, чтобы его ассистент по физике обучил его новой теории.

«Как правило, он пытался прочитать курс лекций по тому, что он изучал, — говорит Нордгейм. — Это был человек, которому было трудно понимать других. Он всегда должен был проработать всё сам. По-видимому, это было для него единственной возможностью добиться настоящего понимания. И когда появлялась новая теория, он пытался организовать курс лекций по ней. Обычно в них частично включался старый материал, так как ничто не рождается только из самого себя. Для нового материала мы должны были наметить план. После этого он пытался облечь новые идеи в свои собственные слова».

Весной 1926 года Гильберт объявил о своих первых лекциях по квантовой механике. Нордгейм вспоминает, как ему приходилось «с довольно большими усилиями» извлекать для Гильберта, всё ещё плохо себя чувствовавшего, самое существенное из работ Борна и его сотрудников.

«Разумеется, он много знал о матричной алгебре, дифференциальных уравнениях и прочем, а все эти вещи составляют математический аппарат квантовой механики. Это облегчало мою работу. Я приходил к нему домой два или три раза в неделю, как и требовалось, и мы обсуждали общие вопросы. Затем он мог спросить о каких-нибудь непонятных местах в работе или о выводе формул в каком-нибудь конкретном приложении. В следующий раз мы говорили об этом снова — всё ли было правильно и понятно».

За матричной алгеброй Гейзенберга вскоре последовала волновая механика Эрвина Шрёдингера. Обе работы, хотя и посвящённые одной и той же теме и приводившие к одинаковым результатам, удивили физиков тем, что, как один из них с изумлением отмечал, «они исходили из абсолютно разных физических предположений, использовали совершенно разные математические методы и казались не имеющими отношения друг к другу».

Однако вскоре эквивалентность теорий Гейзенберга и Шрёдингера была установлена.

Всё это развитие, по словам Кондона, «очень рассмешило» Гильберта:

«... Когда [Борн, Гейзенберг и другие физики-теоретики из Гёттингена] впервые открыли матричную механику, у них были, конечно, затруднения, возникающие у каждого, кто вычисляет с матрицами и вообще решает с их помощью серьёзные проблемы. Поэтому они обратились за помощью к Гильберту, который сказал, что каждый раз, когда ему приходилось иметь дело с матрицами, они возникали в качестве побочного продукта собственных значений краевой задачи для дифференциального уравнения. Поэтому, если вы попробуете поискать дифференциальное уравнение, связанное с этими матрицами, то, может быть, получите что-то новое. Они сочли это бестолковой идеей, решив, что Гильберт не понимал, о чем говорил. После этого он очень веселился, когда указал им, что они могли бы открыть волновую механику Шрёдингера на шесть месяцев раньше, если бы они хоть немного к нему прислушались».

Благодаря своему почти фантастическому выздоровлению Гильберт дожил до того, что было названо «одним из самых драматических предвидений в истории математической физики».

Книга Куранта—Гильберта по математической физике, появившаяся в конце 1924 года до работ как Гейзенберга, так и Шрёдингера, вместо того, чтобы устареть из-за новых открытий, казалось, была написана специально для нужд физиков, которым пришлось иметь дело с этими открытиями. Работы самого Гильберта по интегральным уравнениям, теория собственных функций и собственных значений 1903–1904 годов и теория бесконечно многих переменных 1905–1906 годов оказались адекватной математикой для квантовой механики (как это было впервые установлено Борном в совместной работе с Гейзенбергом и Йорданом).

«Косвенным образом Гильберт оказал сильнейшее влияние на развитие квантовой физики в Гёттингене, — писал позже Гейзенберг. — Полностью это мог прочувствовать только тот, кто в двадцатые годы учился в Гёттингене. Гильберт и его коллеги создали здесь атмосферу математики, в которой все молодые математики столь хорошо владели идеями гильбертовой теории интегральных уравнений и линейной алгебры, что лучшие работы в этой области могли быть созданы только в Гёттингене. Особенно счастливым совпадением явилось то, что математические методы квантовой механики явились непосредственным приложением гильбертовой теории интегральных уравнений...»

Для самого Гильберта это послужило ещё одним примером той предустановленной гармонии, которую олицетворяла и воплощала, по его мнению, математическая мысль.

«Я развил свою теорию бесконечно многих переменных из чисто математических интересов, — восхищался он, — и даже назвал её «спектральным анализом», абсолютно не подозревая, что позже она найдёт применение в настоящих спектрах физики».

Дальнейшее развитие событий также не оставило равнодушным Гильберта, так как оно подчёркивало преемственность математических достижений. Созданная Гильбертом теория бесконечно многих переменных, ставшая известной как теория «гильбертовых пространств», в некоторых отношениях оказалась теперь не совсем адекватной для применений в квантовой механике. Тогда молодой Джон фон Нейман, вдохновлённый Эрхардом Шмидтом, сумел сделать более абстрактным гильбертово понятие квадратичной формы и тем самым расширил теорию Гильберта, сделав её полностью применимой для нужд физиков.

Последней публикацией Гильберта по физике была совместная работа с Нордгеймом и фон Нейманом по аксиоматическим основам квантовой механики. Хотя она почти и не содержала его собственных результатов, в ней чувствовался вполне определённый отпечаток духа Гильберта. Содержащаяся в этой работе попытка аксиоматизации оказалась не совсем строгой с математической точки зрения, тем не менее она помогла фон Нейману познакомиться с квантовой механикой и вдохновила его в дальнейшем на создание своего знаменитого анализа основ этого предмета.

В 1927 году Нордгейм покинул Гёттинген и специальным ассистентом Гильберта по физике стал Юджин Вигнер. Он вспоминал, что видел Гильберта «всего около пяти раз». Когда в 1928 году Вигнер уехал, его место занял Арнольд Шмидт, в то время ещё студент. Должность Вигнера была заменена на должность второго ассистента по логике. Слушая лекцию Шрёдингера о новой физике в 1928–1929 годах, Гильберт жаловался своему бывшему студенту Паулю Функу: «Я не представляю, как может кто-нибудь понимать, что сейчас происходит в физике. Даже я не понимаю многого из того, что хотел бы почерпнуть из физических книг. Правда, если я чего-нибудь не понимаю, то могу взять телефон, позвонить Борну или Дебаю, они приходят и объясняют мне. После этого мне становится понятно. Но как же обходятся остальные?»

Сам он после своей болезни был по-прежнему глубоко погружён в работу по основаниям математики.

Энтузиазм к интуиционизму Брауэра начал заметно ослабевать. Брауэр приехал в Гёттинген для того, чтобы выступить в Математическом клубе с докладом о своих идеях.

«Вы говорите, что мы не можем знать, может ли десятичное разложение числа π содержать десять девяток подряд, — возразил кто-то после того, как Брауэр кончил. — «Может быть, мы и не знаем, зато бог знает!»

На это Брауэр сухо ответил: «Я не держу прямой связи с богом».

По окончании оживлённой дискуссии встал, наконец, Гильберт.

«С вашими методами, — сказал он Брауэру, — бóльшую часть математики пришлось бы выкинуть, а для меня важно получать не меньше, а больше результатов».

Он уселся под гром аплодисментов.

Чувства большинства математиков хорошо высказал Ганс Леви, который, будучи приват-доцентом, присутствовал на докладе Брауэра в Гёттингене:

«По-видимому, есть математики, которые лишены чувства юмора или же имеют обостренное чувство совести. Мне кажется, что я вполне разделяю точку зрения Гильберта. Если нам суждено пережить такие потрясения, о которых говорил Брауэр, то никто больше не захочет стать математиком. В конце концов, математика представляет собой вид человеческой деятельности. До тех пор пока Брауэр не найдёт противоречия в классической математике, никто не захочет его и слушать».

«Именно по этому пути, по моему мнению, развивалась логика. Имеются некоторые принципы, потом замечают, что они могут привести к противоречию, тогда их изменяют. Я думаю, что так будет всегда. Где-то может скрываться масса противоречий, и, как только они проявятся, все математики захотят от них избавиться. Однако до этих пор мы будем придерживаться тех принципов, которые позволят нам двигаться с наибольшей скоростью».

Однако программа Гильберта также подверглась критике. Некоторым математикам не нравилось то, что в своём формализме он свёл их науку к «бессмысленной игре с бессмысленными символами на бумаге». Однако тем, кто был знаком с работой Гильберта, эта критика казалась необоснованной.

«... Действительно ли заслуживает доверия такая оценка взглядов Гильберта, — спрашивал Харди, — человека, который, вероятно, больше кого-либо из математиков своего времени добавил к содержательной математике столь богатый и красивый комплекс результатов? Я могу согласиться с тем, что философия Гильберта сколь угодно несовершенна, однако не с тем, что созданная им математическая теория с далеко идущими намерениями смешна или тривиальна. Невозможно предположить, что Гильберт отрицает значимость и реальность математических понятий, и мы имеем тому самые надёжные подтверждения. Он сам говорит, что "аксиомы и доказуемые теоремы, возникающие в нашей формалистической игре, являются образами идей, составляющих основной предмет обычной математики"».

К 1927 году Гильберт чувствовал себя достаточно хорошо, чтобы снова отправиться в Гамбург, «прокатиться и высказать мои идеи по поводу оснований математики, которые я уже однажды, пять лет назад, здесь высказывал и которые чрезвычайно занимали меня с тех пор». По-прежнему его основной целью было «раз и навсегда» избавиться от любого вопроса, подвергающего сомнению основания математики. «Я верю, — сказал он, — что моя теория доказательства позволит мне достичь окончательной цели, хотя для её полного развития предстоит ещё немало сделать».

В этой речи он ответил на различные критические высказывания о его программе: «каждое из которых я считаю столь несправедливым, насколько это вообще возможно». Он даже вспомнил замечания Пуанкаре, высказанные им в своей гейдельбергской речи. «К сожалению, Пуанкаре, самый плодовитый и богатый идеями среди математиков своего поколения, имел определённое предубеждение к теории Кантора, не позволившее составить справедливое мнение о великолепных понятиях, введенных Кантором». Что касается самых последних исследований, бóльшую часть которых занимает программа Брауэра, то «тот факт, что исследования оснований снова вызывают такой живой интерес и приобретают столь важное значение, безусловно, доставляет мне большое удовольствие. Однако когда я раздумываю над содержанием и результатами этих исследований, то по большей части я не могу согласиться с их тенденцией; мне даже кажется, что в своём большинстве они отстают во времени, как будто они возникли в те времена, когда ещё не был открыт величественный мир идей Кантора». Всё его выступление носило сильно полемический характер. «Даже набросок моего доказательства континуум-гипотезы Кантора не остался без критики!» — пожаловался Гильберт, на сей раз подробно обсуждая это доказательство.

Игра с формулами, «которую столь недооценивает Брауэр», указал он, позволяла математикам выражать единым образом всё идейное содержание математической науки, а также развивать её таким образом, чтобы одновременно прояснялись внутренние связи между различными предложениями и фактами. Помимо своего математического интереса, она имеет важное общефилософское значение.

«В самом деле, эта игра с формулами ведётся по некоторым определённым правилам, отражающим образ нашего мышления. Эти правила образуют чётко выраженную систему, которую можно обнаружить и явно определить. Основная цель моей теории доказательства есть не что иное, как описание процесса нашего мышления, позволяющее запротоколировать те правила, которым подчиняется в действительности наше мышление... Из всего многообразия явлений и наблюдений это, пожалуй, единственное, что заслуживает стать предметом серьёзного и тщательного исследования. Действительно, в конце концов, оно представляет собой часть общей задачи науки — освободить нас от случайности, предвзятости личных настроений и привычек и защитить от субъективизма, который уже чувствовался во взглядах Кронекера и, по моему мнению, нашёл своё кульминационное выражение в интуиционизме!..»

Правда, признался Гильберт, доказательство непротиворечивости формализованной арифметики, предназначенное «определить эффективные рамки теории доказательства и вообще составить её сердцевину», ещё не было получено. Но заканчивал он своё выступление вполне оптимистически: такое доказательство будет найдено.

«Уже сейчас я хотел бы сформулировать окончательный результат: математическая наука не нуждается в специальных предположениях. Чтобы построить её основы, мне не нужны ни бог, в котором нуждался Кронекер, ни предположения о специальном качестве нашего мышления, связанные с принципом математической индукции, как этого требовал Пуанкаре, ни первичная интуиция Брауэра, ни, наконец, аксиомы бесконечности, приводимости или полноты Рассела и Уайтхеда...»

Давид Гильберт и Герман Вейль в середине двадцатых годовКогда Гильберт кончил, поднялся Герман Вейль, чтобы сделать несколько замечаний. Любовь Вейля к своему старому учителю не поколебалась после пятилетнего спора. Хотя его энтузиазм к идеям Брауэра несколько поубавился, он решил, что сейчас он должен его защитить.

«Брауэр был первым, кто ясно и в полной мере осознал, что математика фактически повсюду далеко превысила границы содержательного мышления. Я думаю, что мы все обязаны ему за выявление этой ограниченности содержательного мышления. В содержательных моделях, предназначенных для установления непротиворечивости формализованной математики, Гильберт полностью осознает эту ограниченность как само собой разумеющуюся; здесь уже не может идти речи о каких-либо искусственных запрещениях. Тем самым, мне кажется вполне естественным, что идеи Брауэра нашли своих последователей; его позиция была вызвана необходимостью, которую разделяли все математики до того, как Гильберт предложил свой формальный подход, и составляет новый, безусловно, фундаментальный логический подход, который признаёт даже Гильберт.

То, что эта точка зрения сохраняет лишь часть, быть может, изувеченную часть классической математики, является горьким и неизбежным фактом. Гильберт не мог вынести такого увечья. И уже другое дело, что ему удалось спасти классическую математику с помощью радикального переосмысления её значения, не уменьшая её инвентаря. Он формализует её и принципиально преобразовывает её таким образом, что из системы интуитивных результатов она превращается в игру с формулами, которая происходит в соответствии с фиксированными правилами.

Разрешите мне теперь со всей определённостью подчеркнуть огромное значение и возможности этого шага Гильберта, предпринятого, очевидно, под давлением обстоятельств. Все мы, кто был свидетелем этой деятельности, были восхищены той гениальностью и твёрдостью, с которой Гильберт своей теорией доказательства формализованной математики увенчал работу по аксиоматике, продолжавшуюся в течение всей его жизни. И я рад подтвердить, что полностью разделяю с Гильбертом его эпистемологическую оценку созданной таким образом ситуации»,

В отличие от Вейля, Брауэр, подобно Кронекеру, стал фанатиком в деле служения своей цели. Гильберта он рассматривал как «своего врага» и однажды даже покинул один дом в Амстердаме, когда услышал, как ван дер Варден, также приглашённый в этот дом, отзывался о Гильберте и Куранте как о своих друзьях.

Болезненное чувство, без сомнения, обострялось тем, что обстоятельства всё время сталкивали Гильберта с Брауэром.

Оба они входили в редакцию Annalen. С 1902 года Гильберт был одним из трёх главных редакторов; Брауэр входил в состав редакционной коллегии, состоявшей из семи человек. Примерно в это время Брауэр начал настаивать, чтобы все работы голландских математиков, а также все работы по топологии направлялись непосредственно ему. Все, а особенно голландские топологи, возражали, так как хорошо было известно, что, попав в руки Брауэра, статья могла не появиться в течение нескольких лет. Хотя лично его это и не затрагивало, Гильберт резко воспротивился диктаторским требованиям Брауэра. Когда он чувствовал себя здоровым, он был уверен в своих способностях сохранить целостность Annalen. Однако со времени своей болезни он начал чувствовать, что, случись с ним что-нибудь, Брауэр завладеет журналом и тем нанесёт ущерб математике. Поэтому теперь он должен был собрать своих друзей, чтобы изобрести способ исключить Брауэра из редакционной коллегии.

Каратеодори, будучи сам одним из членов редколлегии, предложил своё решение. Так как одного Брауэра нельзя просить уйти в отставку, надо сменить всю редколлегию из семи членов. Гильберт сразу же начал действовать. Изменение отражено на обложках томов 100 и 101 Annalen, на которых остались только имена Гильберта, Гекке и Блюменталя.

(Надо упомянуть, что Эйнштейн, разгневанный этими склоками, оставил свой пост одного из трёх главных редакторов. «Что за мышиная возня среди математиков?» — спрашивал он у одного из своих друзей.)

Были и другие обстоятельства, ставившие Брауэра и Гильберта в оппозицию друг к другу.

После войны немецкие математики не приглашались ни на одну из международных конференций. Однако в 1928 году итальянцы, планировавшие первый после 1912 года международный конгресс, решили его сделать действительно международным. Снова все немецкие математические школы и математические организации получили приглашение. Многие в Германии отказались его принять. Главным вдохновителем этой группы был профессор Берлинского университета Людвиг Бибербах. В своей оппозиции к принятию приглашения итальянцев он был поддержан Брауэром, который, хотя и голландец, был ярый немецкий националист. Весной 1928 года Бибербах направил во все немецкие высшие школы и университеты письмо, в котором уговаривал бойкотировать конгресс в Болонье. Гильберт ответил собственным посланием:

«Мы уверены, что если последуем предложению господина Бибербаха, то это причинит вред немецкой науке и мы подвергнемся справедливой критике со стороны всех, кто хорошо к нам относится... Итальянские коллеги бескорыстно взяли на себя все хлопоты и не жалели ни сил, ни времени... При теперешних обстоятельствах является долгом чести и самой элементарной вежливости дружески отнестись к этому конгрессу».

В августе, хотя и страдая от нового приступа болезни, Гильберт лично возглавил делегацию из 67 математиков, присутствовавших на конгрессе. На церемонии открытия, когда немецкие математики впервые после войны прибыли на международный съезд, делегаты увидели во главе знакомую фигуру, быть может несколько более хилую, чем они помнили. Несколько минут в зале не было слышно ни звука. Затем внезапно все присутствовавшие встали и начали аплодировать.

«Мне доставляет большую радость, — сказал им со знакомым акцентом Гильберт, — что после долгих и трудных времён математики вновь собрались вместе. Так должно было быть и так должно быть во имя процветания нашей любимой науки.

Давайте считать, что мы, математики, стоим на высочайшей вершине развития точных наук. Мы не должны забывать про это место, потому что любые рамки, в особенности национального характера, противоречат духу математики. Только абсолютно не понимая нашей науки, можно создавать различие между людьми и расами, а причины, по которым это делалось, являются крайне ничтожными.

Математика не знает рас... Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну».

Научная работа Гильберта, представленная на конгрессе, снова относилась к проблемам оснований математики. В последнее время появились признаки того, что его надежды на то, что завершение его теории доказательства было только делом математической техники, были слишком оптимистичны. Первая попытка доказательства непротиворечивости в нетривиальном случае (в диссертации Аккермана) потребовала, в отличие от первоначального плана, существенного ограничения формальной системы. Аналогично в работе фон Неймана доказательство непротиворечивости на пути, намеченном Гильбертом, также не было приложимо к полной системе. Однако теперь доказательство Аккермана было пересмотрено и упрощено, и, по крайней мере, в тот момент казалось, что непротиворечивость формализованной теории чисел наконец-то доказана.

Теперь Гильберт добавил к проблеме непротиворечивости новую проблему — проблему полноты формальной системы.

Когда Гильберт собрался оплатить свой счёт в гостинице, ему сообщили, что тот уже оплачен организационным комитетом конгресса.

«О, если бы только я это знал заранее, — сказал он, — я бы ел значительно больше».

Карьера Гильберта была почти окончена.

На следующий год после конгресса в Болонье он смог увидеть то, до чего Феликс Клейн не дожил, — передачу красивого здания в распоряжение Математического института Гёттингена.


Вход в Математический институт Гёттингена

Новый институт был обязан своим созданием дружбе Куранта с братьями Бор, открывшими ему дорогу к фонду Рокфеллера. Средства этого фонда были затем дополнены германским правительством. Таким образом, институт стал совместным результатом немецких и американских денег и усилий.

«Такого института больше никогда не будет, — торжествовал Гильберт. — Ведь для того, чтобы его создать, потребовался бы новый Курант — а нового Куранта никогда не будет!»



XXII
ЛОГИКА И ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ

Официальный возраст для ухода в отставку профессора был 68 лет; его Гильберт должен был достигнуть 23 января 1930 года. Горькое чувство ожидания и сожаления носилось в атмосфере Гёттингена.

В зимнем семестре 1929–1930 года Гильберт прочитал своё «Прощание с педагогической деятельностью». В этой лекции он вернулся к началу своей славы и впервые за сорок лет говорил об инвариантах. Вместе со студентами аудиторию заполнили профессора. Одна из улиц была названа Гильбертштрассе. «Назвать улицу в твою честь! — воскликнула госпожа Гильберт. — Разве это не прекрасная мысль, Давид?» Гильберт пожал плечами. «Только мысль — нет, а вот её претворение в жизнь — это прекрасно. Клейн должен был дождаться своей смерти, чтобы получить улицу в свою честь».

Ещё один студент защитил под его руководством докторскую диссертацию, причем им оказался американец Хаскел Карри. Однако Карри имел мало контактов с Гильбертом. Он вспоминает, как в тёплый весенний вечер тот входил в аудиторию в пальто, отделанном мехом. Вместе с ним всегда был Бернайс, который иногда выходил вперёд и начинал лекцию. В основном Карри имел дело только с Бернайсом, но, так как тот не был полным профессором, окончательный экзамен у него должен был принять Гильберт.

«Своим заключительным экзаменом у него я был, в основном, доволен... Он не задал мне ни одного вопроса, имеющего отношение к логике, а задавал только общематематические вопросы. Один из вопросов относился к униформизации алгебраических функций. По случайному совпадению я незадолго до этого прослушал курс лекций по этому предмету у профессора Осгуда в Гарварде. Хотя это и было в стороне от моей специальности, я ответил на этот вопрос столь подробно, насколько это вообще возможно ожидать от человека, чьи интересы были столь отдалены от этого предмета. Он был слегка потрясён моим ответом и, повернувшись сказал: «Откуда вы это узнали?» Хотя он казался довольно слабым, он был энергичен и его ум был остр, как бритва».

Одновременно с приближением отставки Гильберта обсуждалась кандидатура его преемника. По общему мнению, был только один возможный кандидат. Если Курант зарекомендовал себя как Клейн нового поколения, то Вейль был Гильбертом.

Десять лет назад Вейль отказался от приглашения в Гёттинген из-за нестабильности жизни в послевоенной Германии. Гильберт говорил, что «Вейля легко пригласить, но трудно заполучить», И теперь у Вейля были некоторые сомнения в принятии окончательного решения. Он был охвачен мрачным предчувствием по поводу возвращения в Германию, ибо, вернувшись недавно из Англии, проникся пессимизмом, которым веяло от газет и писем, скопившихся в его отсутствие на письменном столе. Кроме того, он не был уверен в том, что его кандидатура была подходящей на этот раз для Гёттингена. К тому времени ему было уже 45 лет. Он сознавал, что приближался к концу своего творческого периода. Быть может, институту следовало пригласить кого-нибудь вроде молодого Эмиля Артина, «от которого ещё можно ожидать великих результатов». И тем не менее он был соблазнён этим приглашением. Он любил и уважал Гильберта — Дудочника, «завлёкшего молодых крысят в глубокие воды математики». Вейль думал, что он больше, чем Артин, соответствовал физико-математическим традициям Гёттингена. Его привлекала возможность работы с Курантом, Борном и Франком. Жизнь в Германии, по-видимому, улучшалась. План Дауэса помог облегчить экономические трудности. Безумная политическая секта, бормотавшая о «еврейской физике» его друга Эйнштейна, была ещё немногочисленной. В конце концов, Вейль на этот раз телеграфировал о своём согласии.

«Нет нужды говорить Вам, какой радостью и гордостью я был охвачен, когда был приглашен стать Вашим преемником, — писал он Гильберту. — ... Я с большим оптимизмом ожидаю возможности работать с коллегами, которых Вы собрали вокруг себя, и с Вами, которому научно-математический факультет обязан своей силой и гармонией». Темные тучи, висевшие над Германией, могли рассеяться не скоро. «Но я надеюсь, что мне будет дана возможность прожить рядом с Вами ещё много счастливых лет. Пожалуйста, не сердитесь на мою задержку с ответом».

Герман Вейль (1885-1955)Гёттинген, который приветствовал Вейля весной 1930 года, был в зените своей новой славы. С бóльшим основанием, чем когда-либо прежде, теперь можно было сказать, что в этом тихом, маленьком городке с липовыми аллеями и солидными респектабельными домами в теперь уже устаревшем «Jugendstil» 2 беспрерывно заседает международный конгресс математиков. Многочисленные научные комплексы и лаборатории, наподобие новой стены, окружили город. Математический институт разместился в своём новом здании, Lesezimmer стала большой, хорошо освещённой библиотекой. Extra Göttingen non est vita 3. Это латинское изречение всё ещё украшало стену Ratskeller. В солнечную погоду студентов и профессоров можно было увидеть сидящими за маленькими уличными столиками и рассуждающими о политике, любви и науке. Маленькая пастушка, спокойно смотрела в свой фонтан. Вейль, вернувшись в любимый город своих студенческих лет, должен был быть доволен. Вне Гёттингена жизни не было.

Из всех почестей, которыми был осыпан Гильберт в год своей отставки, по-видимому, наибольшую радость доставила ему та, что пришла из его родного города. Городской совет Кёнигсберга решил присвоить своему знаменитому сыну «почётное гражданство». Церемония его присвоения была приурочена к осени, когда должен был состояться съезд Общества германских учёных и врачей, местом проведения которого был на сей раз выбран Кёнигсберг.

Гильберт тщательно обдумывал тему своей торжественной речи. Она должна быть достаточно широкой, чтобы представлять общий интерес. В Кёнигсберге, родине Канта, она должна иметь философский характер. Кроме того, эта речь будет знаменовать окончание той карьеры, которая так давно началась в университете Кёнигсберга. Думая об университете, он вспоминал памятник Канту в парке и лаконичную надпись: «Кант», столь выразительную в своей краткости. Гильберт также вспомнил Якоби, давшего начало математическим традициям Кёнигсберга, подобно тому как Гёттинген унаследовал свои традиции от Гаусса. Он хотел найти тему, в которой будут сплетены эти великие имена и все отдельные нити его карьеры — Кёнигсберг и Гёттинген, Якоби, Гаусс, Кант, математика и другие науки, наука и практика, великий прогресс знания и выдающиеся идеи — всё, чем он жил эти годы.

Naturerkennen — познание природы — und Logik. Это будет темой его выступления.

В прошедшее десятилетие он всё больше интересовался расширением математической аудитории. Он часто пользовался возможностью прочитать популярные лекции, которые включались в воскресные циклы, рассчитанные на все факультеты университета. В качестве темы он мог выбрать «Теорию относительности», «Бесконечность» или «Принципы математики». С помощью примеров из известных областей вне математики он старался сделать основные понятия доступными для широкой публики.

«Ради этой задачи затрачивался громадный труд, — вспоминал Нордгейм. — Нам надо было приготовить предварительные наброски, основанные либо на новом материале, либо на материале старых лекций. Затем они прорабатывались и перерабатывались практически каждое утро, приправляясь собственным неповторимым юмором и широтой логики Гильберта».

В это время Гильберт и некоторые другие профессора математики регулярно посещали лекции одного зоолога. Гильберта сильно заинтересовали вопросы генетики. Он был в восторге от законов, определяющих наследственность мухи дрозофилы, которые выводились из нескольких геометрических аксиом. Его приводило в восхищение Pferdespulwurm — «существо с самым скромным количеством хромосом, аналогичное тем самым атому водорода, имеющему только один электрон». Кроме того, на него произвела впечатление способность биологов делать свой предмет интересным и понятным для неспециалистов.

«Биологи особенно хорошо представляют себе, что такое популярное изложение, — сказал он однажды Паулю Функу. — Для того чтобы избежать утомления, которое вызывается у неспециалистов напряжённой мыслью, надо время от времени вставлять маленький dessin (французское слово, означающее образец, пример), а в этом биологи не имеют себе равных». Произнося это французское словечко на своём ярко выраженном кёнигсбергском диалекте, он продолжил свою мысль: «Для нас, математиков, популярное изложение представляет значительно бóльшие трудности, но тем не менее к нему надо стремиться, а правильный путь к этому — искать прекрасный dessin».

Теперь, летом 1930 года, он искал такой красивый dessin в своём выросшем фруктовом саду, где он готовился к своей речи на кёнигсбергском съезде, очищая свой предмет от лишних обобщений и стараясь сформулировать свои идеи на простом языке, понятном широкой публике («тому человеку с улицы», которому, как он выразился когда-то в Париже, каждый мог бы объяснить любую до конца понятую математическую теорию).

В своей жизни ему приходилось несколько раз возвращаться в свой родной город, но на этот раз это возвращение было особым. Курт Рейдемейстер и Габор Сегё, теперешние профессора математики в университете, отметили то удовольствие, которое доставила ему вечеринка, устроенная в связи с его речью. Он был так разгорячён, «что жене приходилось постоянно сдерживать его». Однако погода в Кёнигсберге казалась более прохладной, чем в старые дни, и Гильберту, чтобы не замерзнуть, пришлось одолжить у Сегё шубу.

Почётное гражданство было преподнесено ему на церемонии открытия. Затем Гильберт занял своё место на трибуне. Его голова была теперь уже почти совсем без волос, большой лоб учёного ещё резче выделялся по сравнению с тонким подбородком; белые усы и маленькая бородка были аккуратно подстрижены. (Островскому его голова напоминала голову Ленина.) Голубые глаза Гильберта, всё ещё живые и проницательные и, как прежде, такие же невинные, глядели на слушателей из-под всем хорошо знакомых очков без оправы. Он крепко опёрся руками на лежавшую перед ним рукопись и медленно и осторожно начал свою речь:

«Познание природы и жизни есть наша благороднейшая задача».

За последние несколько десятков лет было получено больше глубоких и богатых содержанием результатов, чем раньше за то же количество столетий. Наука логики также продвинулась вперед и теперь, благодаря аксиоматическому методу, стала общим техническим средством для теоретического подхода ко всем научным вопросам. Из-за этого прогресса, говорил он своим слушателям, нашему современнику легче, чем философу прошлого, дать ответ на древний вопрос, поставленный философией: «Какую долю в нашем познании занимает Мышление, с одной стороны, а какую долю, с другой стороны, составляет Опыт?»

Этот вопрос был достоин того, чтобы им завершить научную деятельность, ибо ответ на него, по существу, дал бы нам указание о средствах, с помощью которых достигается общее познание, и о том, в какой мере «всё знание, получаемое в результате нашей научной деятельности, представляет собой истину».

Определённые параллели между природой и мышлением всегда признавались. Наиболее поразительной из них является некоторая предустановленная гармония, казавшаяся неотъемлемым воплощением и выражением математической мысли. Самым удивительным и прекрасным её примером служила теория относительности Эйнштейна.

Однако ему казалось, что давно осознанное согласие между природой и мышлением, экспериментом и теорией можно было понять, только приняв во внимание формальный элемент и связанный с ним механизм, присутствующий с обеих сторон — и в природе и в мышлении. Расширение методов современной науки должно привести к системе естественных законов, во всех отношениях согласующихся с действительностью. В этом случае, чтобы получить полное знание о природе, нам достаточно будет только чистого мышления — абстрактной дедукции. Однако, по его мнению, это не давало окончательного ответа: «Действительно, каково происхождение этих законов? Как мы получаем их? Откуда мы знаем, что они соответствуют действительности? Ответ заключается в том, что мы можем получить эти законы только с помощью нашего собственного опыта... Тот, кто тем не менее захочет отрицать, что универсальные законы основаны на опыте, должен будет признать, что существует ещё третий источник познания...»

Великий сын Кёнигсберга Иммануил Кант был классическим представителем этой точки зрения — точки зрения, которую Гильберт защищал 45 лет назад на своём публичном экзамене на звание доктора философии. Теперь перед выступлением он с улыбкой заметил одному своему молодому родственнику, что многое из сказанного Кантом было «сплошной чепухой», — но этого, он, разумеется, не мог сказать гражданам Кёнигсберга.

Кант утверждал, что, кроме логики и опыта, человек обладает некоторым априорным знанием действительности.

«Я допускаю, — сказал Гильберт своим слушателям, — что даже при создании специальных теоретических областей необходима некоторая априорная интуиция... Я даже верю, что математическое знание, в конечном счёте, зависит от подобных априорных воззрений... Поэтому наиболее общая основная мысль кантовской теории познания сохраняет своё значение... Понятие a priori есть не более и не менее, чем... выражение некоторых обязательных предварительных условий мышления и познания. Однако граница между тем, чем мы обладаем a priori, и тем, для чего мы нуждаемся в опыте, должна быть проведена нами не так, как это делает Кант, — Кант значительно переоценил роль и степень априорности».

Теперь известно, что многие факты, которые ранее считались вполне очевидными a priori, оказались просто неверными. Самым разительным примером является понятие абсолютного настоящего. Но в то же время в работах Гельмгольца и Гаусса было показано, что геометрия была «не чем иным, как ответвлением в общей умозрительной системе физики». Мы забыли, что геометрические теоремы когда-то возникли из опыта!

«Мы видим теперь, что теория априорности Канта содержит антропоморфные остатки, от которых она должна быть избавлена. Когда мы это сделаем, останется только та априорность, которая в то же время является и основой чисто математического познания».

По существу, он высказывал этим своё отношение, сформулированное в его недавней работе по основаниям математики.

«Средство, которое помогает сглаживать различие между теорией и практикой, между мышлением и экспериментом, есть математика. Она создаёт связующий мост и постоянно его укрепляет. Таким образом, оказывается, что вся наша теперешняя культура, поскольку она относится к интеллектуальному познанию и овладению природой, основывается на математике!»

О впечатлении, которое произвела на слушателей речь Гильберта, вспоминает Ойстен Оре, проводивший в то время в Кёнигсберге свой медовый месяц:

«Я помню то чувство волнения и интереса, которое было вызвано лекцией Гильберта и лекцией фон Неймана об основаниях теории множеств, — чувство, что наконец-то можно будет уяснить как аксиоматику основ математики, так и причины приложимости математики в естественных науках».

В заключительной части своей речи Гильберт особо подчеркнул, что, несмотря на важность приложений математики, они никогда не должны приниматься за меру её значения. Он закончил речь той защитой чистой математики, которой он так давно намеревался ответить на речь Пуанкаре на первом международном конгрессе математиков.

«Чистая теория чисел является той частью математики, для которой до настоящего времени не было найдено никаких приложений. Но именно теория чисел рассматривалась Гауссом (который сам внёс несравненный вклад в прикладную математику) как королева математики...»

Кронекер сравнивал математиков, занимавшихся теорией чисел, с гомеровскими лотофагами (поедателями лотоса), «которые, однажды вкусив эту пищу, никогда не могли её бросить».

Даже наш великий кёнигсбергский математик Якоби разделял эту точку зрения. Когда знаменитый Фурье объявил, что цель математики состоит в объяснении явлений природы, Якоби возразил: «Философы, подобные Фурье, должны знать, что торжество человеческого духа есть единственная цель всей науки!»... Кто сознает истину в этом благородном образе мыслей и этой философии, сверкающей в словах Якоби, тот не будет предаваться вредному и бессодержательному пессимизму».

Рейдемейстер и Сегё договорились, что Гильберт повторит заключительную часть своей речи по местному радио. После окончания его выступления они проводили его в радиостудию.

Здесь, когда Гильберт говорил в незнакомый аппарат, казалось, что его голос звучал с прежним энтузиазмом и оптимизмом того энергичного человека, который на заре своей жизни заставил своих слушателей искать решения 23 проблем, которые, по его убеждению, способствовали бы развитию математики.

«Пытаясь привести пример неразрешимой проблемы, философ Конт однажды сказал, что науке никогда не удастся распознать секрет химического состава небесных тел. Спустя несколько лет эта проблема была решена...

Истинная причина, из-за которой, по моему мнению, Конт не смог найти неразрешимую проблему, заключается в том, что в действительности такой вещи, как неразрешимая проблема, вообще не существует».

Он вновь выступил в конце своей научной карьеры с отрицанием «глупого ignorabimus» Дюбуа-Реймонда и его последователей. Его последние слова в микрофон были тверды и полны решимости:

«Wir müssen wissen. Wir werden wissen».
Мы должны знать. Мы будем знать.

Когда Гильберт оторвал глаза от своей рукописи и техник выключил записывающий аппарат, он засмеялся.

Эта запись последней части его речи в Кёнигсберге всё ещё существует. В ней много отвлекающих шумов. Но если хорошо прислушаться, то в конце её можно услышать смех Гильберта.

«Wir müssen wissen. Wir werden wissen».
Мы должны знать. Мы будем знать.

Во всех отношениях это было последней великой чертой.

Однако жизнь не всегда оканчивается, когда подводится великая черта.

Почти одновременно с выступлением Гильберта в Кёнигсберге в одной работе был сделан вывод, нанёший смертельный удар той конкретной эпистемологической цели, которая ставилась в заключительной программе научной карьеры Гильберта. 17 ноября 1930 года в Monatshefte für Mathematik und Physik поступила для публикации работа 25-летнего специалиста по математической логике, которого звали Курт Гёдель.



XXIII
БЕГСТВО

Когда Гильберт впервые услышал от Бернайса о работе Гёделя, он был «слегка рассержен».

Молодой человек рассмотрел обе проблемы полноты, которые поставил Гильберт в Болонье. Он установил полноту для случая исчисления предикатов. Однако затем ему удалось доказать — со всей строгостью, на которую способна только математика, — неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал теорему, из которой следует, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения.

В высшей степени остроумной работе Гёделя Гильберт рассудком распознал, что цель, достижению которой он посвятил столько усилий с начала этого столетия, — дать окончательный неопровержимый ответ Кронекеру, Брауэру и всем, кто пытался ограничить методы математики, — не может быть достигнута. Классическая математика должна была быть непротиворечивой и, по-видимому, так на самом деле и было; однако эта непротиворечивость никогда не могла быть математически доказана, на что он надеялся и в чём он был уверен.

Безграничная уверенность в могуществе человеческого разума, которая неуклонно вела его к этой последней великой работе своей научной карьеры, не давала ему теперь возможности принять результат Гёделя эмоционально. Кроме того, здесь, быть может, присутствовало чисто человеческое неприятие того факта, что открытие Гёделя служило подтверждением некоторых признаков, которым до этого времени он отказывался придавать значение, что рамки формализма были тесны для намеченной им цели.

Сначала он был только рассержен и разочарован, но затем стал пытаться искать конструктивный подход к проблеме. Бернайс был потрясён тем, что даже теперь, в самом конце своей научной жизни, Гильберт был способен на большие перемены в своих планах. Ещё не было ясно, какое именно влияние окажет на него работа Гёделя. Сам Гёдель чувствовал — и выразил это в своей работе, — что его работа не противоречит формалистской точке зрения Гильберта; и вскоре стало ясно, что теория доказательства могла продолжать плодотворно развиваться, не связываясь больше с первоначальной программой. Расширенные методы должны были допустить ослабление требований формализации. Сам Гильберт сделал теперь первый шаг в этом направлении. Он предложил заменить свою схему полной индукции на более сильное правило, называемое «трансфинитной индукцией». В 1931 году появились две работы в этом новом направлении.

Хотя Гильберт и вышел в отставку, читать лекции в университете он продолжал регулярно. По-прежнему, готовясь к ним в самых общих чертах, он, как и раньше, часто застревал на месте. Когда он чувствовал, что не может закончить доказательство у доски, он, махнув рукой, бросал его, как «совершенно элементарное». Иногда он путался в деталях, непонятно бормотал и повторялся. «Но тем не менее одна из трёх лекций была превосходна!»

Отставка Гильберта положила официальный конец его научной деятельности, в связи с этим начали предприниматься шаги к собранию и изданию его математических работ. Написать биографию для последнего тома попросили Блюменталя, который наблюдал и изучал личность и достижения своего учителя с 1895 года. Хотя Блюменталь уже много лет был профессором в Аахене, он никогда не терял своих тёплых чувств к Гёттингену, возвращаясь сюда время от времени, чтобы (по его словам) «освежиться». Где бы он ни был, даже на фронтах первой мировой войны, он всегда старался организовать клуб бывших жителей Гёттингена. Блюменталь взялся за составление жизнеописания с удовольствием и усердием.

Том I собрания сочинений отводился Zahlbericht и другим теоретико-числовым работам. Для Гильберта, как и для Гаусса, первые годы в Гёттингене были «счастливыми годами». Его работы по полям алгебраических чисел теперь считались самыми глубокими и красивыми из всех его математических работ. Оценить вклад Гильберта в эту область было поручено Хельмуту Хассе, который вместе с Эмми Нётер, ван дер Варденом, Артином и Такаги принял участие в разработке программы теории полей классов, намеченной Гильбертом в своей последней работе по теории чисел.

Оглядываясь в прошлое, Хассе видел, что работа Гильберта по теории алгебраических чисел, как и бóльшая часть других его работ, находилась и по времени, и по содержанию между двумя столетиями. С одной стороны, рассматривая проблемы в большой общности и с применением новых методов, намного превосходивших по элегантности и простоте то, что было до него, Гильберт давал новую жизнь теоретико-числовым работам прошлого столетия. С другой стороны, «с удивительной прозорливостью» он дал набросок путей окончательного решения всего комплекса проблем и указал направление новому столетию.

Три молодых математика, обученных своими учителями методам Гильберта в теории чисел, были приглашены в Гёттинген для помощи в редактировании его трудов. Одним из них была молодая женщина Ольга Таусски. Гильберту всё ещё нравилось разговаривать с молодыми женщинами. В основном он говорил с госпожой Таусски о своём здоровье и о своём желании вернуться когда-нибудь в Раушен и дожить свою жизнь в этой маленькой рыбацкой деревушке на Балтике, где он проводил в молодости свои каникулы. Однако как-то раз, оглядываясь на свою научную жизнь и на те многие области математики, в которых ему довелось работать, он заметил ей, что, как бы он ни обожал все области математики, самой красивой он считал теорию чисел.

(В том же году на международном конгрессе математиков в Цюрихе в связи с выступлением своего бывшего ученика Рудольфа Фютера Гильберт утверждал, что теория комплексного умножения эллиптических модулярных функций, связывающая воедино теорию чисел и анализ, была не только самой красивой частью математики, но также и всей науки.)

Работая над статьями Гильберта, Таусски была удивлена столь большим количеством обнаруженных ошибок. Это были не типографские опечатки. Иногда это была неверно вычисленная оценка функции, неправильно сформулированная теорема, пропущенный этап доказательства и даже отсутствие вообще какого-либо доказательства, заменённого фразами типа «легко видеть», хотя это было и не так. Чувствуя, однако, что благодаря могучей математической интуиции Гильберта эти ошибки не повлияли на окончательные результаты, она тем не менее считала, что в собрании сочинений они должны быть исправлены. В этом её поддерживал пример Эмми Нётер, которая, издавая работы Дедекинда, часто громко заявляла, что никто не сможет найти ни одной ошибки «даже под увеличительным стеклом!»

Том с работами по теории чисел должен был быть преподнесён Гильберту к его семидесятилетию. Празднование было заранее распланировано, целый день торжества. Всё это очень утомительно, жаловался Гильберт Бернайсу, но это «будет полезно для математики».

Герман Вейль написал приветствие ко дню рождения, которое появилось в Naturwissehschaften. На протяжении всей своей научной деятельности, писал он своему старому другу Роберту Кёнигу, я придерживался простого правила: «Будь верным духу Гильберта». День рождения Гильберта, заметил Вейль в своём приветствии, явился днем великого праздника для немецких математиков, отмечавших его год за годом в духе благоговения перед мастером, а также выражая свои собственные убеждения и своё единство.

«Без сомнения, во всём мире сегодня имя Гильберта самым конкретным образом олицетворяет собой всё значение математики в системе объективного знания и жизнеспособность математического творчества, представляющего собой одно из фундаментальных проявлений творческой активности человечества»,

Однако Вейль должен был признать, что неиссякаемый личный оптимизм Гильберта, его твёрдая уверенность в силу разума, позволяющего находить простые и ясные ответы на простые и ясные вопросы, «в наше время непопулярны для более молодого поколения».

«Можно согласиться с тем, что некоторые фразы из лекции Гильберта [по логике и познанию природы в 1930 году в Кёнигсберге] находятся в опасной близости к вступительным словам сборника новелл Готтфрида Келлера Das Sinngedicht 4, в котором он высмеивает своего героя, учёного Рейнхардта: «Около двадцати пяти лет назад, когда естественные науки снова были на своей высочайшей вершине...»

Однако мы будем несправедливы к Гильберту, если не сможем отличить его рационализм от рационализма Геккеля... Его можно было бы назвать самонадеянным, если бы, подобно Фаусту, он гнался за неким магическим знанием, открывающим перед интеллектом самую сущность бытия... Такое знание отличается от знания реальности, которое основывается на точном предсказании [и] может быть достигнуто только с помощью математических методов...

Гильберт представляется мне выдающимся примером человека, в котором проявляется необычайная творческая способность абсолютного научного гения... Я помню, как я был очарован первым услышанным мною математическим курсом [в университете] ... Это был знаменитый курс Гильберта о трансцендентности e и π...

Горе той молодёжи, которая не может быть растрогана до глубины души примером такого человека, как Гильберт».

В день празднования семидесятилетия Гильберта издатель его собрания сочинений Фердинанд Шпрингер приехал в Гёттинген, чтобы лично вручить Гильберту специальный экземпляр первого тома, в белом с золотом кожаном переплёте. Однако под красивой обложкой были не отпечатанные страницы, а только корректура, ибо Таусски всё ещё не была удовлетворена. Гильберт не высказал замечаний о неоконченном виде тома. Однако позже в его присутствии Таусски отрицательно отозвалась об одном сорте сигарет, как слишком крепких для неё. Кто-то сказал, что на самом деле нельзя отличить один сорт от другого. «Aber nein! 5 — воскликнул Гильберт. — Госпожа Таусски сможет отличить. Она способна увидеть тончайшие, самые тончайшие различия». Она не была уверена, но ей показалось, что он подсмеивался над ней за её слишком серьёзное отношение к его ошибкам, которые он сам считал незначительными.

Вечером в день рождения в новом великолепном здании Математического института состоялся приём. Со всех концов Германии и даже из-за границы съехались бывшие студенты и коллеги Гильберта. Хотя это было время экономической депрессии, каждый постарался выглядеть очень элегантным в своём потёртом вечернем костюме. Ольга Таусски вспоминает, как ей удалось купить с рук вечернее платье приблизительно за два доллара, тем не менее оно всем понравилось. Состоялся банкет, на котором произносились приветственные речи и тосты. Арнольд Зоммерфельд прочитал Гильберту сочинённый им маленький куплет: «Seiner Freunde treuster Freund/Hohler Phrase ärgster Feind». (Вернейший друг своим друзьям, злейший враг пустопорожним фразам.)

Затем Гильберт произнёс короткую речь. Он вспомнил то великое счастье, которое выпало на его долю: дружба с Минковским и Гурвицем, время учёбы в Лейпциге у Клейна, пасхальное путешествие 1888 года, когда он посетил Гордана и Кронекера и многих других математиков, и то, как необычно рано Альтхоф назначил его преемником Линдемана. А в своём родном городе, напомнил он гостям, ему выпало счастье найти жену, «которая с тех пор с преданной дружбой приняла решительное участие во всей моей деятельности и особенно в моих заботах о новом поколении». Имя Минковского упоминалось особенно часто. Его внезапная смерть, вспоминал Гильберт, оставила «глубокую опустошённость как в человеческом, так и в научном плане», однако жизнь должна была идти дальше. Появился Эдмунд Ландау, чтобы занять место Минковского. Теперь наконец-то была достигнута великая цель Клейна; и он сам празднует своё семидесятилетие в этом «прекрасном институте».

После банкета были танцы, и виновник торжества не пропустил почти ни одного танца. Процессия студентов устроила факельное шествие по заснеженному городу к подъезду ярко освещённого дома на Бунзенштрассе и вызвала Гильберта. Тот вышел и остановился на ступеньках, закутанный в своё большое пальто с меховым воротником, кто-то его сфотографировал. Из каждого окна института выглядывали знакомые лица.

Это были самые большие почести, которые студенты могли оказать профессору.

«Математике, — призвал Гильберт возбуждённых студентов, — hoch, hoch, hoch!» По-русски это звучало бы: «Гип, гип, ура!»

Спустя несколько дней после юбилейных торжеств Хассе выразил госпоже Гильберт «своё горячее желание раз в жизни лично поговорить с великим человеком». Госпожа Гильберт пригласила его на чай и после этого оставила его и Гильберта вдвоём в саду.

«Я начал говорить с ним о том, что меня больше всего интересовало в те дни — теории алгебраических чисел и, в частности, о теории полей классов. По этой теории я написал обзор, продолжающий знаменитый Zahlbericht Гильберта. Я начал говорить ему о том, что я сделал в этой области, основываясь на его собственных результатах конца девяностых годов. Однако он часто прерывал меня, заставляя объяснить основные понятия и результаты этой теории до того, как он стал слушать то, что я хотел ему рассказать. Поэтому я объяснил ему самые основы теории полей классов. Это его привело в большое восхищение, и он сказал: «Но это же необычайно красиво, кто это создал?» И мне пришлось рассказывать ему, что это он заложил основы и определил будущее этой прекрасной теории. После этого он выслушал то, что я должен был рассказать ему о моих собственных результатах. Слушал он внимательно, но скорее вежливо, чем с пониманием».

Давид Гильберт, 1932 г.В год семидесятилетия Гильберта больших успехов на выборах в рейхстаг добилась национал-социалистская партия. В январе следующего года президент фон Гинденбург назначил Адольфа Гитлера канцлером Германии. Почти сразу же за этим последовала первая мера, предназначенная остановить эту «сатанинскую силу», которая «забрала в свои руки все ключевые позиции в научной, интеллектуальной, а также политической и экономической жизни». Университетам было приказано уволить из своих штатов всех полнокровных евреев, занимавшихся какой-либо педагогической деятельностью.

Больше всего пострадала от этого, по-видимому, школа Гильберта. Преданность Гильберта своей науке всегда была абсолютной. Никаким предрассудкам — национальным, расовым, половым — не разрешалось играть в ней какой-либо роли. В 1917 году была написана статья в память о Дарбу, в то время как его родина считалась врагом Германии. Была устроена должность для Эмми Нётер, хотя до того ни одна женщина не была приват-доцентом в Гёттингене. С самых первых дней дружбы с Минковским и Гурвицем Гильберт никогда не делил учёных на арийцев и неарийцев. Было только два вида учёных — те, кто решал проблемы, имеющие общепризнанное значение, и те, кто этого не делал.

К кому теперь относился ультиматум в самом Математическом институте? К Куранту, кто заменил Клейна и воплотил в жизнь его великую мечту. К Ландау, кто приехал в Гёттинген после смерти Минковского и сделал университет центром исследований по теории чисел. К Эмми Нётер, которая, несмотря на то что она всё ещё получала грошовую стипендию, была центром самого активного в то время научного кружка в Гёттингене. К Бернайсу, кто был ассистентом и сотрудником Гильберта уже почти шестнадцать лет. В Физическом институте как Борн, так и Франк оба были евреями. Однако новое правительство установило между ними различие. Франк, который уже получил Нобелевскую премию, не попал под приказ; Борн, который должен был ждать её ещё ряд лет, должен был уйти. Ультиматум относился к многим другим, иногда казалось, что ко всем.

Гильберт был чрезвычайно огорчён, когда узнал, что многие из его друзей были отправлены в «вынужденный отпуск», как эвфемистически выражались тогда.

«Почему вы не возбуждаете дела против правительства? — допытывался он у Куранта. — Почему не обратитесь в государственный суд? То, что сейчас творится, незаконно

Куранту казалось, что Гильберт был абсолютно не способен понять, что кругом творилось беззаконие. После юбилея его трудно было заставить выслушать и принять нововведения в институте. Однако главным его заблуждением, по-видимому, было то, что он всё ещё верил в жизнеспособность старой юридической системы. Он продолжал хранить глубокую прусскую веру в закон, которую внушил ему судья Гильберт. Представление о ней даёт рассказ о том, как Фридрих Великий, обеспокоенный шумом крестьянской мельницы, пригрозил конфисковать её. Крестьянин с твёрдой уверенностью ответил королю: «Нет — в Пруссии ещё есть судьи!». Пристыженный Фридрих велел написать слова крестьянина на портике своего летнего дворца, где они всё ещё оставались в 1933 году.

Вначале среди пострадавших ещё не создалось общего мнения по поводу того, что же надо было сделать. Насколько далеко всё это может зайти? «Если бы вы знали немецкий народ, то для вас было бы ясно, что так может продолжаться без конца». Молодой Ганс Леви решил покинуть Германию, как только Гитлер был назначен канцлером. К первому апреля он уже был в Париже. Некоторые, кого не заставляли уезжать, делали это в знак протеста. Франк поставил себя наравне со своими соплеменниками евреями. Были и те, кто считал, что хотя бы часть величия Гёттингена ещё может быть сохранена. Ландау было разрешено остаться, так как он был профессором ещё при империи. Могли быть и другие исключения. Курант был отравлен газом и ранен в живот, сражаясь за Германию, — конечно, это делало его немцем. Министру были посланы письма относительно госпожи Нётер. Она выполняла такую второстепенную работу и получала так мало за свою службу. «Я не думаю, что когда-нибудь существовал столь выдающийся список рекомендаций», — сказал позже Вейль. Имя Гильберта было первым. Однако все эти выдающиеся имена не сыграли никакой роли.

«Так называемые евреи столь привязаны к Германии, — жалобно сказал Гильберт, — зато остальные из нас с удовольствием покинули бы её».

Отто Нейгебауэр, теперь ассистент-профессор, был назначен главою Математического института. Он занимал этот выдающийся пост ровно один день, отказавшись на бурном заседании в кабинете у ректора подписать требуемое подтверждение в лояльности. Пост директора Математического института перешёл к Вейлю. Хотя его жена была частично еврейкой, он был одним из тех, кто думал, что что-то ещё может быть спасено. Всё время в течение мучительной, неопределённой весны 1933 года он работал, писал письма, встречался с чиновниками правительства. Но ничего нельзя было изменить.

К концу лета почти все уехали. Вейль, проводя со своей семьей каникулы в Швейцарии, всё ещё рассчитывал вернуться в Гёттинген, надеясь, что как-нибудь ему удастся поддержать великую научную традицию. В Америке его многочисленные друзья-математики, беспокоясь о нём, писали длинные письма, советуя, уговаривая, прося, чтобы он покинул Германию, пока не стало слишком поздно. Абрахам Флекснер предложил ему место в Институте перспективных исследований.

Наконец, Эйнштейну, который уже несколько лет работал в недавно созданном институте, удалось убедить младшего коллегу приехать сюда и присоединиться к нему.

В Гёттингене Гильберт оставался теперь почти в одиночестве. Бернайса он сохранил в качестве своего ассистента на свои собственные средства. Основания математики, написанные им в сотрудничестве с Бернайсом, были почти готовы к изданию. Он забросил все свои книги по математике и с течением времени всё более отдалялся от неё. С помощью Бернайса он подготовил две докторские диссертации — Арнольда Шмидта и Курта Шютте. Шютте был последним из 69 математиков (40 из них в течение 1900–1914 годов), которые защитили диссертацию у Гильберта. В действительности, однако, все контакты Шютте были только с Бернайсом. Гильберта он видел только один раз.

«Когда я был молодым, — сказал Гильберт молодому Францу Реллиху, одному из немногих оставшихся членов старого кружка, — я решил никогда не повторять того, что слышал от стариков — как прекрасны были прежние дни и как безобразны нынешние: Я хотел никогда этого не говорить в старости. Но теперь я не могу не сказать этого».

Когда на одном банкете Гильберт сидел рядом с новым министром образования, назначенным нацистами, его спросили: «Ну и как же теперь математика в Гёттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?»

«Математика в Гёттингене? — ответил Гильберт. — Да она просто не существует больше»,



XXIV
СТАРОСТЬ

В центре города на ратуше развевалась свастика, бросая тень на маленькую пастушку. Университетский бюллетень и другие издания снова начали печататься старым, давно забытым готическим шрифтом. Первая страница каждого издания содержала напоминание, что оно появилось при содействии Геббельса.

Главой Математического института стал один из нацистских функционеров. В зимнем семестре 1933–1934 года Гильберт читал по часу в неделю курс оснований геометрии. После окончания семестра он больше никогда не появлялся в институте.

Ландау продолжал читать лекции; однако, когда он объявил курс по математическому анализу, негодующая толпа студентов помешала ему войти в аудиторию. «Мы не возражаем, чтобы вы читали специальные курсы, — сказано было ему, — но это новички, и мы не хотим, чтобы они учились у еврея». Зигель, в то время профессор в Гамбурге, попытался найти поддержку своему старому учителю от группы профессоров, занимавших прочное положение. Он не достиг успеха.

Спустя некоторое время Ландау также покинул Гёттинген. В отличие от других, он остался на родине, так как был привязан к ней своим богатством и владениями. Харди организовал для него серию лекций в Англии. «Было так трогательно наблюдать тот восторг, который его охватил, когда он снова оказался у доски, и то сожаление, когда всё это окончилось».

К весне 1934 года положение евреев стало настолько плохим, что Бернайс почувствовал — ему необходимо покинуть Германию и вернуться в Цюрих. Математический институт продолжал выплачивать жалованье оставшемуся ассистенту Гильберта Арнольду Шмидту, работавшему с ним в его доме по проблемам логики и основаниям математики.

«Случались короткие моменты потери памяти, из-за которых незнакомцам могло показаться, что он уже не такой сообразительный, — говорит Шмидт. — Но те, кто работал с ним в этой области математики, знали, что это не так».

Теперь во главе института стал Хельмут Хассе. Это было большим прогрессом, так как, хотя он и был убеждённым националистом, всё же это был первоклассный математик.

Летом Эмми Нётер, для которой было найдено место в Брин Мор, в Америке, вернулась в Гёттинген. «Её сердце не знало злобы, — позже объяснял Вейль. — Она никогда не верила в зло, в действительности ей даже не приходило в голову, что оно могло играть какую-нибудь роль среди людей». В то время не всё было так ясно, как это потом казалось. Она пожелала Хассе одних только успехов в его попытках восстановить великие традиции Гёттингена после прошлогодних массовых отъездов. В конце лета она вернулась в Брин Мор. Она находилась в расцвете своего таланта, её интуиция и техника достигли высочайшего уровня и совершенной гармонии. В её руках «аксиоматический метод перестал быть методом, предназначенным лишь для логического прояснения и углубления оснований, а стал мощным средством конкретных математических исследований». С помощью этого метода ей, ван дер Вардену и другим удалось заложить основы современной алгебры.

Вначале супруги Гильберты столь открыто выражали своё неприятие нового режима, что их друзья, оставшиеся в Гёттингене, опасались за их безопасность. Однако они не доверяли многим из тех, кто остался, а также и вновь приехавшим. Спустя некоторое время они тоже перестали выражать свои мысли вслух.

«Ну, Herr Geheimrat, как вы поживаете?» — спросил у Гильберта один из редких посетителей.

«Я? Ну, я не очень-то хорошо поживаю. Хорошо только евреям, — ответил он в своей прежней парадоксальной манере. — Евреи знают, где им надо быть».

Летом 1934 года умер фон Гинденбург. В специальном завещании он передавал пост президента рейха Гитлеру, который стал с этого времени одновременно и президентом и канцлером. Выборы были назначены на август — выбирать следовало между да и нет. За день до выборов газеты поместили заявление о поддержке Гитлера германской наукой. Среди тех, кто подписал это заявление, значился и Гильберт. Неизвестно, подписывал ли он в действительности это заявление. Арнольд Шмидт, видевший его в это время почти каждый день, не знал о существовании этого заявления, пока не увидел более тридцати лет спустя экземпляр газетного сообщения о нём. Подписать его противоречило бы всему, что по личному опыту знал Шмидт о настроениях Гильберта в то время. Однако он должен был признать, что «в то время Гильберт мог подписать что угодно, лишь бы его оставили в покое».

В 1935 году из печати вышел последний том собраний трудов Гильберта, содержавший его биографию, написанную Блюменталем. Гильберт написал своему старейшему ученику короткое письмо, в котором он отметил свою последнюю удачу — получить столь прекрасное толкование его жизни и творчества. Блюменталь вложил это письмо в свой личный экземпляр трудов Гильберта.

В биографической статье Блюменталь вызвал в своей памяти образ учителя, начиная с того дня, когда «энергичный и совсем непохожий на профессора человек, среднего роста, в непретенциозной одежде», появился в Гёттингене весною 1895 года в качестве преемника Генриха Вебера. Но, несмотря на теплоту и привязанность, биография оставалась объективной.

«Для анализа большого математического таланта, — заканчивал Блюменталь, — надо различать способность создавать новые понятия и дар к распознаванию глубины связей и упрощению оснований. Величие Гильберта состоит в его непревзойдённых способностях к глубокому проникновению в суть вещей. Все его работы демонстрируют примеры далеко отстоящих друг от друга областей, внутреннюю связь между которыми и их отношение к конкретной занимавшей его проблеме он один только мог распознать; всё это в конечном счёте приводило к синтезу и к созданию работ, являвшихся произведениями искусства. Что касается создания новых понятий, я поставил бы выше Минковского, а из великих классиков, например, Гаусса, Галуа, Римана. Однако в отношении синтезирующих построений только совсем немногие из великих классиков могут сравниться с Гильбертом».

Весной 1935 года в Соединённых Штатах после операции скончалась Эмми Нётер.

В своём кабинете в Институте перспективных исследований Эйнштейн писал письмо к издателю «Нью-Йорк таймс». В нём он совсем кратко сообщал о её смерти. «По мнению самых компетентных из ныне здравствующих математиков, госпожа Нётер была самым значительным творческим математическим гением (женского пола) из родившихся до сих пор».

«Стремление к накоплению земного богатства слишком часто основано на иллюзии, что оно представляет собой самую важную и желаемую цель, которую только можно достичь. Однако, к счастью, существует меньшинство, состоящее из тех, кто в своей жизни рано осознает, что самые прекрасные и приносящие наибольшее удовлетворение переживания, данные человеку, не заимствуются извне, а связаны с личными чувствами индивидуума, его мышлением и поведением... Как ни незаметно протекает жизнь этих индивидуумов, всё же плоды их усилий являются самым значительным наследством, которое мы передаём последующим поколениям».

Издатели Annalen решили взять на себя риск и опубликовать памятную статью ван дер Вардена. После того как журнал вышел из печати, они стали ожидать ударов; однако ничего не произошло. Набравшись храбрости, они опубликовали работу Блюменталя, имя которого, как одного из издателей, всё ещё находилось на обложке Annalen, хотя в результате нюрнбергских законов он был недавно смещён с должности профессора в Аахене. Снова ничего не произошло.

Однако в целом условия для научной жизни в Германии всё более ухудшались. Одним из убеждённых сторонников «третьего рейха» был Людвиг Бибербах, который столь резко протестовал против участия немецких математиков в международном конгрессе в Болонье. Вместе с другими он занимался анализом различия в творческих стилях немецких и еврейских математиков. Даже смерть не служила защитой. Так как Клейн был включен в Еврейскую энциклопедию, его генеалогия была тщательно проанализирована, после чего, наконец, было решено, что он «великий немецкий математик». Генеалогия Гильберта также была изучена. Существовала шутка, что в Гёттингене был только один математик-ариец и в его венах текла еврейская кровь. Шутка основывалась на факте: во время болезни Гильберту было сделано переливание крови от Куранта. Теперь серьёзно рассматривался вопрос, не подозрительно ли, что арийский математик носил имя Давид. В конце концов Гильберту пришлось предъявить автобиографию Христиана Давида Гильберта, указывавшую, что Давид было семейным именем, показывавшим, что когда-то Гильберты принадлежали к пиетистам.

В конце лета 1936 года математики всего мира снова встретились на новом международном конгрессе, на этот раз в Осло. Хотя Гильберт не принял в нём участия, ему была послана приветственная телеграмма делегатов, Курант, приехавший из Соединённых Штатов, где в то время он преподавал в Нью-Йоркском университете, позвонил из Осло. Однако Гильберт не знал, что сказать своему бывшему ученику и коллеге и разговор состоял из невнятного бормотанья: «Да, но что мне сказать? О чем спросить? Дай мне подумать немного».

В 1937 году Гильберту исполнилось 75 лет. Один газетный репортёр пришёл взять у него интервью и спросил его о местах в Гёттингене, связанных с историей математики. «По правде говоря, я не знаю ни одного из таких мест, — сказал он (к удивлению репортёра) без всякой тени смущения. — Память только путает мысли. Я уже давно полностью избавился от неё. Мне, в самом деле, ничего не надо знать: для этого есть моя жена и наша служанка; они будут знать». Когда репортёр начал выражать «вежливое сомнение» в возможности кому-нибудь полностью избавиться от памяти и забыть прошлое, Гильберт, откинув голову, слегка рассмеялся: «Да, наверное я даже был знаменит тем, что обладал большим талантом уметь забывать. Именно по этой причине я и занимался математикой». Затем он закрыл глаза.

Репортёр не решился больше беспокоить старого человека, «почётного доктора пяти университетов, который с лёгкой безмятежностью мог полностью забыть всё: дом, улицы, город, имена, события и факты, потому что он обладал силой в каждый момент заново возродить и построить целый мир».

В тот вечер у Гильбертов праздновался день рождения, довольно большое событие для тех дней. В то время, как произносились поздравительные речи, Гильберт сидел в другой комнате, опершись на двух молоденьких медицинских сестёр, которые регулярно приходили в дом для оказания медицинской помощи. Когда Гекке, специально приехавший из Гамбурга, напомнил, что неплохо было бы ему послушать пылкие речи, произносившиеся о нём и его работе, Гильберт рассмеялся: «Это гораздо приятнее».

Элизабет Рейдемейстер сделала фотоснимок того вечера. Она напомнила ему о казавшемся ей довольно важном событии, в котором они вместе участвовали, и была удивлена, что он ничего не помнил об этом. «Меня интересуют только звёзды», — объяснил он.

В это время Франц снова был дома. С возрастом он всё больше, как и его отец, стал смущать окружающих. Он подражал ему, громко высказывая своё мнение по всем вопросам, — трагическая пародия — «звук без содержания», как говорили в Гёттингене. Он никогда не занимался настоящей работой. Одно время он продавал газеты. Однако в то же самое время он тщательно изучал различные предметы — Гёте, теологию. Как вспоминает Арнольд Шмидт, он был настоящий Kenner — знаток в своих областях. Он часто говорил об изучении математики с тем, чтобы получить возможность оценить работу своего отца.

В следующем, 1938 году в доме на Вильгельм Веберштрассе последний раз праздновался день рождения. На ленче присутствовали только несколько старых друзей. Гекке приехал из Гамбурга, Каратеодори — из Мюнхена, присутствовал также Зигель, находившийся теперь в институте в Гёттингене. Был и Блюменталь.

«Какие предметы вы читаете в этом семестре?» — спросил Гильберт.

«Я больше не читаю лекций», — осторожно напомнил ему Блюменталь.

«Что значит, что вы не читаете лекций?»

«Мне больше не разрешают их читать».

«Но это совершенно невозможно! Этого не может быть. Никто не имеет права смещать профессора до тех пор, пока он не совершил какое-либо преступление. Почему вы не обращаетесь в суд?»

Остальные пытались объяснить положение Блюменталя, но Гильберта это ещё сильнее рассердило.

«Я чувствовал, — говорит Зигель, — что у него создавалось впечатление, что мы пытаемся зло подшутить над ним».

Вскоре после этого имя Блюменталя пришлось убрать с обложки Annalen. С помощью своих друзей он оставил Германию и переехал в Голландию.

Из-за океана Дьёрдь Пойа, бывший в то время в Стэнфордском университете в Америке, напомнил Вейлю, что теперь 1938 год и, согласно их договору, срок их пари о будущем интуиционизма истёк. Вейль согласился, что он и вправду проиграл, но попросил Пойа не заставлять его публично признаваться в этом.

В том же году умер Эдмунд Ландау.

Жизнь в Гёттингене продолжалась. Госпожа Гильберт, зрение которой прогрессивно ухудшалось, жаловалась, что люди, ранее всегда приходившие в гости, больше не появлялись. Однако иногда у Гильбертов всё ещё устраивались маленькие вечера.

Как-то раз на одном из этих вечеров зашёл спор о самом красивом городе Германии. Некоторые из гостей сказали, что это Дрезден, другие, что Мюнхен. Но Гильберт настаивал: «Нет, нет — самым красивым городом в Германии до сих пор является Кёнигсберг». Когда его жена запротестовала: «Но, Давид, ты не можешь так говорить — Кёнигсберг не так уж красив», он ответил: «Но, Кёте, в конце концов, я лучше знаю, так как прожил в нём всю свою жизнь». Даже после того, как она напомнила ему, что на самом деле они приехали в Гёттинген более сорока лет назад, он покачал головой и сказал: «О, всего несколько недолгих лет, а всю жизнь я провёл в Кёнигсберге».

«Да, — печально подумал присутствовавший там Хассе, — его память сжала все сорок плодотворных лет его замечательных достижений в столь многих областях математики в несколько недолгих лет».

В 1939 году подписанное в Мюнхене соглашение между Германией, Францией, Англией и Италией, казалось, гарантировало на некоторый период «мир в наше время». Шведская Академия наук объявила о первой премии Миттаг-Леффлера, которая была присуждена Давиду Гильберту и Эмилю Пикару. Старый французский математик получил свою премию из рук посланника Академии Торстена Карлемана на большом банкете в Париже. После пылких восхвалений Карлеман преподнёс Пикару полный комплект прекрасно переплетённого журнала Acta Mathematica, основанного Миттаг-Леффлером. Этот журнал одним из первых начал публиковать работы Кантора. Из Парижа Карлеман отправился в Гёттинген. Он предвкушал, что и здесь ему устроят банкет, на котором он выступит с речью и сделает преподношение. Разочарованный в том, что такового не предвидится, он тем не менее настоял на своём желании лично преподнести премию Гильберту. В конце концов, Хассе и Зигель разыскали Гильберта, находившегося вместе с женою неподалеку в горах Гарц, и отвезли Карлемана в гостиницу, в которой те остановились. Гильберт молча выслушал восторженную речь Карлемана. Спустя некоторое время 72 тома Acta Mathematica в красных кожаных переплётах оказались на полках библиотеки другого математика, которому Гильберт их почти сразу же продал.

Снова был август. Первого сентября Германия вторглась в Польшу. Через неделю Франция и Англия объявили войну Германии.

Ассистентом Гильберта стал теперь способный молодой логик Герхард Генцен. Основываясь на новых, менее ограничительных методах «трансфинитной индукции», он смог получить давно разыскиваемое доказательство непротиворечивости арифметики. Однако оно потребовало существенного снижения требований, которые первоначально предъявил Гильберт. Генцен регулярно приходил в дом Гильберта и по его просьбе читал вслух поэмы Шиллера. Спустя некоторое время он также уехал. Он погиб в 1945 году, став одной из жертв войны.

Голландия была оккупирована. В Англии Эвальд и другие пытались спасти Блюменталя. Но было уже поздно.

В конце первой мировой войны Зигель поклялся, что не останется в Германии, если случится следующая война. В марте 1940 года он получил приглашение прочитать лекцию в Осло. Он знал, что больше не увидит Гильбертов, и поэтому пошёл к ним проститься. Их не было в доме на Вильгельм Веберштрассе: обвалилась печь; однако он нашёл их в дешёвом отеле, где, как сказала госпожа Гильберт, всегда останавливался Герман Амандус Шварц, когда приезжал в Гёттинген. Шварц был инициатором приглашения Клейна в Гёттинген, и к этому времени прошло уже более двадцати лет со дня его смерти. Гильберты завтракали в своей комнате, Гильберт сидел на кровати и ел из баночки икру, которую Нильс Бор прислал ему из Копенгагена. Зигель попрощался. В Осло он узнал, что братья Бор и Освальд Веблен уже устроили ему разрешение на въезд в Соединённые Штаты, где его ожидало место в Институте перспективных исследований. Через два дня после того, как он покинул Осло, немцы вторглись в Норвегию.

В декабре 1941 года, за месяц до восьмидесятилетия Гильберта, Соединённые Штаты вступили в войну. Хотя восьмидесятилетие не праздновалось, было опубликовано, как обычно, приветственное обращение к Гильберту. Оно было подготовлено Вальтером Литцманом, который в 1902 году возглавил делегацию Математического клуба, уговаривавшую Гильберта отказаться от заманчивого предложения из Берлина и остаться в Гёттингене. Рассказ о жизни Гильберта и его достижениях — всё было в обращении Литцмана, не было только имён многих евреев (за исключением Минковского и Гурвица), сыгравших столь важную роль в жизни Гильберта. Блюменталь осторожно упоминался только как «автор жизнеописания в собрании его трудов». Приложенная к обращению фотография была недавней, и глаза, когда-то столь твёрдо и невинно смотревшие на окружающий мир, теперь казались недоверчивыми.

В Голландии Блюменталь опубликовал статью с посвящением Гильберту в честь его восьмидесятилетия.

Берлинская Академия наук приняла решение праздновать юбилей, специально отметив работу, которая из всех важнейших работ Гильберта оказала наибольшее влияние на прогресс математики, — маленькую книжку в 92 страницы по основаниям геометрии.

В тот день, когда в Академии принималось это решение, Гильберт упал на улице Гёттингена и сломал себе руку. Он скончался, прожив ещё немногим более года, 14 февраля 1943 года от осложнений, вызванных физической неактивностью после этого несчастного случая.

Не более дюжины людей присутствовало на утренней панихиде в гостиной дома на Вильгельм Веберштрассе. Из Мюнхена приехал один из его старейших друзей. Стоя над гробом, Арнольд Зоммерфельд говорил о творчестве Гильберта.

Что было его величайшим математическим достижением?

«Инварианты? Теория чисел, столь любимая им? Аксиоматика геометрии, явившаяся в этой области первым великим достижением после Евклида и неевклидовых геометрий? То, о чём догадывались Риман и Дирихле, Гильберт установил с помощью доказательства, относящегося к основам теории функций и вариационного исчисления. Или его высшим взлётом были интегральные уравнения?.. Вскоре в новой физике... они принесли прекрасные плоды. Его теория газа оказала основополагающее воздействие на новое экспериментальное знание, которое до конца ещё себя не проявило. Кроме того, имеют непреходящую ценность и его достижения в общей теории относительности. Ещё не сказано последнего слова по поводу его поздних усилий в вопросах математического познания. Однако когда представится случай продвинуться в этой области, то это произойдёт не в обход, а по пути Гильберта».

Каратеодори также собирался приехать из Мюнхена на похороны, но заболел. Написанное им обращение было прочитано Густавом Герглоцем, по лицу которого катились слёзы. Однако превыше всего, казалось Каратеодори, следовало поставить жизнь Гильберта, которая была столь единой и целостной, что «даже странности его преклонного возраста, способные удивить постороннего, были, для нас, его друзей, истинным проявлением характера Гильберта».

Активное влияние, оказанное Гильбертом на математику своего времени, воплощалось Каратеодори в утверждении, которое он слышал, когда один из ведущих современных математиков высказывал его непосредственно Гильберту: «Вы заставили всех нас думать только над тем, над чем вы считали, что нам следовало думать».

Вспоминая, что значил для них покойный в дни своей жизни, он обратился непосредственно к вдове: «Дорогая госпожа Гильберт, теперь он лежит в той же самой комнате, в которой мы провели с ним так много счастливых часов. Вскоре мы отнесём его на последнее место упокоения. Но пока наши сердца бьются, мы будем связаны памятью об этом великом человеке».

Они похоронили Гильберта на кладбище над рекою, там же, где лежал и Клейн. Только имя и даты были написаны на металлической табличке в траве.

Весть о смерти Гильберта проникла в воюющие страны через Швейцарию. Приехав на математическую конференцию в Нью-Йорк, Герман Вейль увидел в «Таймс» маленькую заметку из Берна. Он снова вспомнил летние месяцы, которые много лет назад он провёл за проработкой Zahlbericht, самые счастливые месяцы его жизни, «блеск которых, проникая сквозь годы, отягощённые нашей общей долей сомнений и заблуждений, всё ещё успокаивает мою душу». Вернувшись домой в Принстон, он написал Августе Минковской, жившей со своей старшей дочерью в Бостоне: «Сообщение о смерти Гильберта воскресило в памяти всё гёттингенское прошлое. Мне выпало большое счастье вырасти в самые прекрасные годы... когда Гильберт и Ваш муж оба находились в расцвете своих сил... Я думаю, что в математике очень редко случалось, чтобы два человека оказали такое сильное и магическое влияние на целое поколение студентов. Это было прекрасное, но короткое время. Сегодня нигде нет ничего даже отдалённо похожего...»

Сообщение о смерти Гильберта пришло в Англию, находившуюся под бомбёжкой, с опозданием и не совсем точным.

«Как нам стало известно, этим летом (sic!) умер Давид Гильберт, — сообщал в ту осень Journal of the London Mathematical Society. Редакционная коллегия чувствует, что смерть такого великого математика не должна остаться незамеченной даже на короткое мгновение, однако трудности с составлением подобающего обзора его работ и анализа оказанного ими влияния в настоящий момент непреодолимы».

Макс Борн, живший теперь в Англии, был в Гёттингене, когда умер Минковский, и он невольно задал себе вопрос: «Гильберт пережил своего друга более чем на тридцать лет. Ему была дана возможность завершить важную работу. Но кто бы не сказал, что его одинокая смерть в мрачное нацистское время была ещё трагичней, чем смерть Минковского в расцвете своих сил?»

Спустя несколько месяцев после смерти Гильберта в одной из периодических облав гестапо на евреев в Голландии был схвачен Блюменталь. Он был сослан в Терезин, маленькую чехословацкую деревушку, превращённую в гетто для старых евреев и других, за чьи смерти, по крайней мере вначале, нацисты не хотели брать прямой ответственности. Известно, что одно время его поместили в поезд, отправлявшийся в Освенцим, но потом по какой-то причине он был снят до отхода поезда. Он умер в Терезине в конце 1944 года.

17 января 1945 года умерла Кёте Гильберт. К тому времени она почти полностью ослепла. Около её гроба некому было выступить из старых друзей, а так как она, как и её муж, уже давно оставила церковь, не было и священника, который бы выполнил этот долг. В конце концов по просьбе Франца Гильберта несколько слов сказала одна женщина, никогда не знавшая её лучших дней.

В этом же году Кёнигсберг, почти полностью разрушенный, был взят советскими войсками.



XXV
ПОСЛЕДНЕЕ СЛОВО

Могло показаться, что сладостный звук гамельнского Дудочника замолк навсегда. Однако по всему миру — в маленьких европейских странах, охваченных войной Англии, Японии, России, Соединённых Штатах — оставались ученики Гильберта и ученики учеников Гильберта.

За океаном даже во время войны можно было услышать отголоски старого. Герман Вейль с характерным для него рвением пытался создать в Принстоне, в Институте перспективных исследований, новый великий центр пламенной научной жизни — это его выражение, — напоминающий тот, который он знал в своей молодости в Гёттингене. В Нью-Йорке Рихард Курант устроился на заброшенной шляпной фабрике, шутливо называемой его друзьями «Институт Куранта». Дух Гильберта жил и там.

После смерти Гильберта в Nature было сказано, что едва ли можно было встретить в мире математика, чья работа не была бы в той или иной степени связана с работами Гильберта. Как некий математический Александр Македонский, он оставил своё имя ярко запечатлённым на карте математики. Как указывалось в том же журнале, существовали гильбертово пространство, неравенство Гильберта, преобразование Гильберта, инвариантный интеграл Гильберта, теорема неприводимости Гильберта, теорема Гильберта о базисе, аксиома Гильберта, подгруппа Гильберта, поле классов Гильберта.

Идеи, содержавшиеся в его работе по проблеме Гордана, далеко распространили методы и значение теории алгебраических инвариантов: из них выросла теория абстрактных полей, колец и модулей — короче говоря, современная алгебра. Большинство работ последующих теоретико-числовиков относились к тем плодородным областям, которые были открыты Гильбертом в его Zahlbericht и программе теории полей классов. Маленькая книга по основаниям геометрии — «поворотный пункт в математической мысли» — заложила прочные и надёжные основы аксиоматического метода почти во всех областях математики. «Влияние этой маленькой книги, — писал современный историк математики, — трудно переоценить». После того как Гильберт спас принцип Дирихле, его теория была упрощена и обобщена, в результате чего этот принцип стал «средством, столь гибким и почти столь же простым, каким он был первоначально создан Риманом». Эта работа, помимо прочего, заложила основу для развития того, что теперь называют прямыми методами вариационного исчисления, имеющими значение как в чистой, так и в прикладной математике. Одна теорема, сформулированная и доказанная Гильбертом на своих лекциях по вариационному исчислению в начале века, была использована для заложения совершенно новых основ этой теории. Общая теория интегральных уравнений стала одним из самых мощных математических средств в арсенале физиков, а теория гильбертовых пространств выросла до таких размеров, что, как жаловался один математик, её невозможно изложить «конечным набором слов». И хотя сегодня уже никто не говорит об аксиоматизации физики, проясняющая, упорядочивающая и объединяющая мощь аксиоматического метода проникла и в эту науку.

А как обстоят дела с последней великой работой Гильберта — формализацией математики и установлением её непротиворечивости с помощью абсолютного доказательства? Несмотря на удар, нанесённый этой программе работой Гёделя, широкое гильбертово определение математического существования как свободы от противоречий, несомненно, восторжествовало над тесными рамками конструктивистских идей его противников. Вопрос о непротиворечивости математики, столь простой и очевидный до тех пор, пока он не был поднят Гильбертом, сыграл неоценимую по важности роль в истории математической мысли. «Это был хороший вопрос, — говорит один из современных математиков, — и только очень большому математику могло прийти в голову его задать».

Гёдель, никогда не встречавшийся и не переписывавшийся с Гильбертом, чувствует, что гильбертовы принципы оснований математики «остаются чрезвычайно интересными и важными, несмотря на мои отрицательные результаты».

И добавляет: «Единственное, что было показано, что та специальная эпистемологическая цель, которую преследовал Гильберт, не может быть достигнута. В его намерения входило установить непротиворечивость аксиом классической математики на основе доказательств, столь же конкретных и убедительных, как и элементарная арифметика.

Однако, если подойти к этому с чисто математической точки зрения, доказательства непротиворечивости на основе подходящих более сильных математических предпосылок (как у Генцена или других) также представляют интерес и ведут к чрезвычайно важному проникновению в структуру теории доказательств в математике. Кроме того, остаётся открытым вопрос, можно ли, или до какой степени можно, дать «конструктивное» доказательство непротиворечивости классической математики на основе формалистского подхода, т.е. заменить её аксиомы об абстрактных сущностях объективного платонистского мира пониманием конкретных операций нашего мышления.

Что касается моих отрицательных результатов, то, оставляя в стороне их философское значение, я вижу их важность главным образом в том, что во многих случаях они позволяют оценивать или предсказывать возможность осуществления какой-нибудь специальной части гильбертовой программы на основе данных математических предположений».

Гёдель, кроме того, чувствует, что, «оценивая значение работы Гильберта по континуум-гипотезе, часто забывают, что, с точностью до деталей, одна его чрезвычайно важная общая идея оказалась абсолютно верной — именно то, что континуум-гипотеза потребует для своего решения совершенно новых методов, связанных с основаниями математики. В частности, отсюда, по-видимому, следует (хотя явно этого Гильберт и не указывал), что континуум-гипотеза не выводится из обычных аксиом теории множеств».

В результате восторженного отношения Гильберта к проблемам математической логики и основаниям математики создалась целая новая область науки — метаматематика, надматематика.

«Будущий историк науки, интересующийся развитием математики конца XIX и первой половины XX века, без сомнения, отметит, что многие разделы математики своим бурным развитием в этот период во многом обязаны достижениям Гильберта, — писал Альфред Тарский. — С другой стороны, ему придётся, быть может с некоторым удивлением, признать, что влияние этого человека так же сильно и мощно проявляется в некоторых других областях, которые не были особенно существенно затронуты его собственными исследованиями. Одним из таких примеров служат основания геометрии. Я далёк от недооценки значения вклада Гильберта... в его [Основаниях геометрии], но я думаю, что его самой существенной заслугой явился тот стимул, который он дал организованным исследованиям в этой области. Ещё более поразительным примером служит метаматематика. Отдельные исследования в этой области были и до речи Гильберта в Париже; первые положительные и действительно глубокие результаты появились до того, как Гильберт начал свою постоянную работу в этой области... и трудно сразу же связать с его именем какой-нибудь конкретный и важный математический результат. Тем не менее Гильберт заслуженно считается отцом метаматематики. Действительно, именно он создал метаматематику как самостоятельную науку; он боролся за её право на существование, имея за собой всю свою репутацию великого математика. Он также был тем, кто очертил её будущий курс и поставил перед ней честолюбивые цели и важные задачи. Это верно, что ребёнок не оправдал всех надежд своего отца и не стал вундеркиндом. Но он развивался нормально, рос здоровым и стал нормальным членом великой математической семьи, и я не думаю, что у его отца есть какие-нибудь причины стыдиться своего отпрыска...»

В 1950 году Американское математическое общество обратилось с просьбой к Герману Вейлю подытожить историю математики за первую половину XX столетия. Отвечая, он писал, что, если бы терминология парижских проблем не была столь специальной, он смог бы выполнить требуемое задание исключительно в терминах тех проблем Гильберта, которые были решены либо частично решены, — «схема, по которой математики часто измеряли наш прогресс» в течение прошедших пятидесяти лет. «Насколько лучше он предсказал будущее математики, чем любой политик смог предвидеть последствия войн и террора, которые должно было обрушить на человечество новое столетие».

Сегодня Кёнигсберга больше не существует. Там, где он находился, на реке Прегель, находится Калининград, самый западный морской порт Советского Союза. Соперничество между Гёттингеном и Парижем отошло в прошлое. Как в Германии, так и во Франции недостаёт целого поколения математиков. Соединённые Штаты неизмеримо обогатились, ибо почти все представители школы Гильберта и многие другие европейские математики эмигрировали в эту страну. Среди них были и следующие лица, упоминавшиеся в этой книге: Артин, Вейль, Вигнер, Гёдель, Дебай, Ден, Курант, фон Карман, Ланде, Леви, Нейгебауэр, фон Нейман, Эмми Нётер, Нордгейм, Оре, Пойа, Сегё, Тарский, Ольга Таусски, Феллер, Франк, Фридрихс, Хеллингер, Эвальд, Эйнштейн.

После войны Гёттинген был первым немецким университетом, вновь открывшим свои двери. Со временем многие из старых друзей Гильберта снова приехали, чтобы посетить Гёттинген; некоторые из них, как, например, Макс Борн, остались доживать свой век неподалёку от него.

В 1962 году по случаю столетия со дня рождения Гильберта Рихард Курант произнёс речь в Гёттингене о работе Гильберта и её значении для математики.

«Естественно, что в такой речи невозможно дать даже приблизительное представление о столь многогранной личности, как Гильберт, — сказал он. — Кроме того, не имеет смысла и предаваться сентиментальным воспоминаниям о старых добрых временах. Однако я чувствую, что осознание духа Гильберта имеет большое актуальное значение для математики и математиков нашего времени».

«Хотя математика играет важную роль вот уже более двух тысячелетий, она всё ещё подвержена влиянию моды и, прежде всего, смене традиций. В нашу эру чрезмерной индустриализации науки, пропаганды и опасных манипуляций общественной и личной основой науки я считаю, что мы находимся в одном из таких опасных периодов. В наше время массовой информации призыв к реформе, как следствие пропаганды, может легко привести как к сужению и удушению, так и к раскрепощению математического знания. Это относится не только к исследованиям в университетах, но также и к школьному обучению. Опасность состоит в том, что общие усилия столь сильно направляются в сторону абстракции, что только эта сторона великой традиции Гильберта продолжает существовать».

«Живая математика опирается на сочетание противоречивых, прямо противоположных друг другу способностей к интуиции и логике, конкретных «основополагающих» проблем и общности далеко идущих абстракций. Мы сами должны противодействовать тому, чтобы её развитие направлялось только к одному полюсу этого животворного противоречия».

«Математику нужно лелеять и укреплять как единую жизненную ветвь в широком русле науки; она не имеет права быть выплеснутой на берег тоненьким ручеёчком».

«Гильберт показал нам своим впечатляющим примером, что такие опасности можно легко предупредить и что не существует разделения между чистой и прикладной математикой, а между математикой и наукой в целом может быть установлено плодотворное сотрудничество. Поэтому я уверен, что заразительный оптимизм Гильберта даже сегодня сохраняет свою жизнеспособность для математики, которая будет процветать, только следуя духу Гильберта».

И пока сохранится камень от надгробной плиты, установленной на могиле Гильберта в Гёттингене, именно этот оптимизм будет отдаваться от него эхом:

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.


Примечания
1.

Чудесными годами (нем.). назад к тексту

2.

Юношеский стиль (нем.). назад к тексту

3.

Вне Гёттингена жизни нет (лат.). назад к тексту

4.

Изречение (нем.). назад к тексту

5.

Но нет (нем.). назад к тексту

Hosted by uCoz