Системы линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами


64 стр., 313 Кб

Этот HTML-файл — лишь фрагменты, причём выбранные так, чтобы текста было побольше, а формул поменьше. И предназначен этот файл для поисковых машин. А для людей предназначен DjVu-файл. Впрочем, шрифт для адекватного отображения «завитушечных» символов всё-таки прилагаю. :) E.G.A.



Система дифференциальных уравнений 1-го порядка в нормальной форме записи имеет вид

u′ = Au. (1)

Здесь un-мерный вектор, A — матрица n×n, элементы которой являются константами. Для нахождения решения системы (1) необходимо определить собственные числа матрицы A, т.е. корни характеристического уравнения det (A – λE) = 0. По основной теореме алгебры это уравнение имеет ровно n корней с учётом кратности. Если все корни λk, k = 1, n, различны между собой, то общее решение системы (1) можно представить в виде
 n
u(t) =     Cheλk t.
k=1
(2)

где hk — любой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу λk (т.е. hk — любой ненулевой вектор, являющийся решением вырожденной системы уравнений (A – λkE)hk = 0), Ck произвольные константы.

Случай кратных корней более интересен. Если корень λ имеет кратность m, то его вклад в решение (2) зависит от ответа на вопрос: «Можно ли найти m линейно независимых собственных векторов для этого корня?», а этот ответ, в свою очередь, зависит от ответа на вопрос: «Чему равен ранг матрицы (A – λE)?».


ТАБЕЛЬ  О  РАНГАХ

... и дальше замямлил такие прописные истины, что толпа, слушавшая уже шестую международную речь, похолодела.

И. Ильф, Е. Петров. «Двенадцать стульев».


Ранг матрицы — это или число её линейно независимых строк, или число её линейно независимых столбцов, или порядок её максимального минора с ненулевым определителем. Любого из этих трёх равнозначных определений ранга вполне достаточно на все случаи жизни. При решении задач мы будем иметь дело только с квадратными матрицами, поэтому о прямоугольных матрицах здесь говорить не будем.

Если дана матрица A размером n×n, то её ранг — это целое число от нуля до n. Рассмотрим крайние варианты. Если A — нулевая матрица, т.е. состоит из одних нулей, то rank A = 0. Если A — матрица с ненулевым определителем, т.е. det A ≠ 0, то rank A = n, поскольку в этом случае максимальный невырожденный минор — это сама матрица A и есть. Во всех остальных случаях 1 ≤ rank An–1.

Обычно ранг матрицы находят используя слегка модифицированные приёмы, полезные при нахождении определителя (далее эти приёмы даются для столбцов; во всех формулировках столбцы можно заменить на строки):

  1. Все элементы столбца можно умножить на любое число, отличное от нуля. Например, можно сократить все элементы столбца на общий множитель.
  2. К одному столбцу можно прибавить другой, умноженный на любое число.
  3. Нулевой столбец можно выкинуть (ранг от этого не изменится). Из двух одинаковых или пропорциональных столбцов один можно выкинуть.
  4. Столбцы можно переставлять.

Поговорим теперь о ранге матриц вида A – λE, где λ — собственное число матрицы A. Для таких матриц det(A – λE) = 0, поэтому обязательно rank(A – λE) < n.

Многие задачи, которые нам предстоит рассмотреть, связаны с матрицами 3×3, т.е. rank (A – λE) < 3. Совсем уж тривиальных задач, когда A – λE вдруг окажется нулевой матрицей, тоже не будет. Таким образом, ранг будет или 1, или 2. Если все строки пропорциональны между собой, то rank (A – λE) = 1. Если взгляд выхватывает две строки, где пропорциональность отсутствует, а простейшая проверка минора 2×2 даёт ненулевой определитель, то rank (A – λE) = 2.


Возвращаемся к рассмотрению случая кратных корней. Итак, пусть собственное число λ исходной n×n-матрицы A имеет кратность m. При этом rank(A – λE) мы знаем. Тогда число линейно независимых векторов для λ равно n – rank(A – λE). Если m = n – rank(A – λE), т.е. найдётся m ЛНЗ собственных векторов h1, h2, ..., hm, то форма решения (2) не меняется: вклад собственного числа λ в решение u(t) имеет вид

(Ch + Ch + ... + Chm ) eλt. (3)

Если же n – rank(A – λE) < m, т.е. количество ЛНЗ векторов меньше, чем надо, то вклад числа λ в решение u(t) будет следующим:

(th + ts–1 h + ... + hs+1) eλt. (4)

Здесь степень s многочлена в скобках есть разность между кратностью корня λ и числом ЛНЗ собственных векторов для него (т.е. s = mn + rank(A – λE)). При этом произвольные постоянные входят в состав векторов hk (т.е. здесь требуется искать не какое-то частное решение соответствующей вырожденной системы, а общее). Нахождение векторов hk осуществляется с помощью подстановки (4) в уравнение (1).

806. Решить систему уравнений
ì
î
 x
 y
 z
ü
þ
=
ì
î
–2  
1  
3  
1  
–2  
–3  
–2
2
5
üì
þî
 x
 y
 z
ü
þ
.

Характеристические числа в данном случае известны: λ1=3, λ2,3=–1.

Решение. [· · ·]

811. Решить систему уравнений
ì
î
 x
 y
 z
ü
þ
=
ì
î
2  
2  
–1  
–1  
–1  
1  
–1
–2
2
üì
þî
 x
 y
 z
ü
þ
,     λ1,2,3 = 1.

Решение. [· · ·]

Необходимо отметить, что в случаях, подобных вышеизложенному (т.е. когда число ЛНЗ собственных векторов меньше кратности собственного числа), имеется и другой способ нахождения решения. Этот способ основан на построении линейно независимых серий векторов (см. дайджест у Филиппова, подробности — у Понтрягина). Мне он кажется неоправданно громоздким для такой простой задачи, хотя и красивым в теоретическом плане. Однако, если в будущем предвидится необходимость в массовом решении дифференциальных систем или хочется довести своё умение решать подобные задачи до автоматизма и, заодно, свести к минимуму времязатраты (впрочем, шансов сравняться по этому показателю с Maple никаких), то понтрягинский подход можно выучить. А так, достаточно запомнить просто принцип:

  1. вклад собственного числа λ в общее решение — это многочлен степени «кратность λ минус число соответствующих ЛНЗ собственных векторов», умноженный на eλt;
  2. если подставить такое произведение в исходную систему, то можно найти коэффициенты-векторы многочлена;
  3. искать коэффициенты-векторы надо в общем виде (частных решений не достаточно) и последовательно, начиная с коэффициента при старшей степени многочлена.

812. Решить систему уравнений
ì
î
 x
 y
 z
ü
þ
=
ì
î
4  
3  
1  
–1  
1  
0  
0
–1
1
üì
þî
 x
 y
 z
ü
þ
,     λ1,2,3 = 2.

Решение. [· · ·]

865. Решить систему уравнений u′ = Au, где
 A =
ì
î
4  
1  
3  
2  
3  
3  
–2
–1
–1
ü
þ
.

Решение. Находим корни характеристического уравнения:

det(A – λE) = –(λ – 2)3 = 0.

Таким образом, у матрицы A лишь одно собственное число λ=2, но зато кратности 3. Поскольку матрица A–λE имеет ранг 1, то найдутся два ЛНЗ собственных вектора, а решение системы надо искать в виде многочлена первой степени (ещё раз:1 степень многочлена — это кратность корня минус число ЛНЗ векторов), умноженного на e2t;

u = (th1 + h2) e2t.

[· · ·]

Пример. Решить систему уравнений u′ = Au, где
 A =
ì
ï
î
1  
1  
1  
1  
1  
1  
–1  
–1  
1  
–1  
1  
–1  
1
–1
–1
1
ü
ï
þ
.

Решение. [· · ·]

Пример. Решить систему уравнений u′ = Au, где
 A =
ì
ï
î
0  
–1  
0  
0  
1  
0  
–1  
0  
0  
1  
0  
–1  
0
0
1
0
ü
ï
þ
.

Решение. [· · ·]

Пример. Найти решение системы
ì
í
î
 x′ = 2xy + z,
 y′ = x + z,
 z′ = –3x + y – 2z,

удовлетворяющее начальным условиям x(0)=0, y(0)=0, z(0)=1.

Решение. Сначала запишем всё в векторно-матричном виде:

[· · ·]

Необходимо отметить, что в данном примере, в отличие от предыдущего с матрицей 4×4, не так легко рассмотреть задачу поиска всех собственных векторов единообразно. В предыдущем примере мы выбирали первое, второе и четвёртое уравнения, поскольку они были линейно независимы (ранг получающейся «урезанной» матрицы был равен 3). Нахождение собственных векторов в данном примере требует выбора двух уравнений из трёх. Для собственного вектора h1 всё равно какие уравнения выбирать, и выбор первого и второго обусловлен только тем, что они проще, чем третье (второе ещё и нуль имеет, что также относится к достоинствам). Для h2 первое и второе уравнения одинаковы, и их выбрать нельзя. Из соображений линейной независимости приходится выбирать первое и третье. По этой же причине для нахождения h3 нельзя использовать совместно первое и третье уравнения. Нахождение всех собственных векторов можно было бы осуществить в едином стиле, выбрав второе и третье уравнения, но выясняется это лишь после выписывания всех матриц, а не сразу.

[· · ·]

Возвращаемся от вектора u к функциям x, y, z и получаем окончательный ответ:

x(t) = 1 – et,   y(t) = 1 – et,   z(t) = –1 + 2et.


ОПЕРАЦИОННОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ

Мне хочется привести ещё один способ решения этой задачи, основанный на операционном исчислении. Подобно тому, как дифференциальное исчисление сформировалось при исследовании понятия «производная», а интегральное исчисление — при исследовании обратного к производной действия, так и операционное исчисление — это теория, базирующаяся на двух понятиях: «оригинал» и «изображение».

Придуманное английским физиком Оливером Хевисайдом на рубеже XIX и XX веков, операционное исчисление поначалу сильно раздражало ортодоксальных математиков, поскольку Хевисайд получал правильные результаты при решении важных прикладных задач, нимало не беспокоясь насчёт обоснования своих выкладок, которые, надо сказать, выглядели весьма непривычно. Лишь после трудов Бромвича и Карсона из Англии, а также польского математика Яна Микусинского, которые подвели теоретическую базу под идеи Хевисайда, операционное исчисление приобрело статус «законной» области математики.

Определение. Пусть  f (t) — некоторая функция, заданная на положительной полуоси, и интеграл
 ∞
F(p) =     e–pt f (t) dt
0
(5)

при некотором значении параметра p=p0 абсолютно сходится.2 Тогда сам интеграл называется преобразованием Лапласа функции  f (t). При этом F(p) называется изображением функции  f (t), а  f (t)оригиналом функции F(p).

Чтобы не записывать каждый раз формулу (5) для указания на вид связи между функциями  f (t) и F(p), была придумана форма записи  f (t) ·=· F(p), причём она используется в обе стороны: и  f (t) ·=· F(p), и F(p) ·=· f (t). Только аргументы показывают «кто есть кто» в этих соотношениях: если аргумент p, то речь идёт об изображении; если аргумент t, то это оригинал.

Для многих функций  f (t) преобразование Лапласа находится достаточно легко, что позволяет без труда составлять пары «оригинал–изображение».

[· · ·]

Возвращаемся от изображений к оригиналам и получаем ответ:

x(t) = 1 – et,   y(t) = 1 – et,   z(t) = –1 + 2et.

Напоследок пара советов. Если захотелось узнать об операционном исчислении чуть больше, то не надо кидаться с криком на диван: «Полежу полчаса — всё пройдёт!», а наоборот — надо отправляться в библиотеку за книгами:

  1. В. А. Диткин,  А. П. Прудников. «Операционное исчисление» (М., Высшая школа, 1975).
  2. Ф. А. Шелковников,  К. Г. Такайшвили. «Сборник упражнений по операционному исчислению» (М., Высшая школа, 1976).

Изучение лучше начинать со второй. Читаем условия задач, затем лезем в ответы и читаем решения (в этой книге они довольно подробные). Через какое-то время начинаем самостоятельно решать задачи, у которых приводятся только ответы. Таким образом можно пройти достаточно большой путь без теоремы обращения и обобщённых функций. Когда захочется разобраться с обобщёнными функциями, то желательно для начала прочитать Добавление в книге: Я. Б. Зельдович. «Высшая математика для начинающих» (М., Наука, 1970). Её автор рассказывает о дельта-функции Дирака очень доходчиво и не стремится напугать читателя многоэтажной математикой.

Первую книгу можно привлекать в качестве ещё одного источника множества примеров с решениями. Только не надо её читать с самого начала — эдак можно самостоятельно изучить бóльшую часть ТФКП (там идёт обоснование операционного исчисления, для практических навыков это совсем не обязательно), пользуйтесь индексным указателем. Если в результате всех трудов при виде незнакомой задачи, связанной с интегралами, рядами, уравнениями типа свёртки, линейными дифференциальными уравнениями (обычными или в частных производных), когда идёт начальный период «знакомства» и «кружения вокруг», вы будете вспоминать об операционном исчислении в первые пять минут, то можно считать, что вы пополнили свой арсенал методов ещё одним, причём весьма мощным.


Пример. Решить систему уравнений u′ = Au, где
 A =
ì
î
 a  
 b  
 c  
b  
c  
a  
c
a
b
ü
þ

и a, b, c — попарно различные вещественные числа.

Решение. [· · ·]

На случай ab + bc + ca = 0 можно взглянуть и с несколько другой точки зрения. Есть теорема о непрерывной зависимости решения от параметров. Обычно она формулируется для нормальной системы уравнений.

Итак, пусть tÎR, uÎRn и вектор параметров μÎRm. Пусть вектор-функция  f (tuμ) непрерывна на некотором открытом множестве G Ì R×Rn×Rm и непрерывно дифференцируема по u на любом замкнутом ограниченном множестве, содержащемся в G. Возьмём произвольную точку (t0u0μ0) множества G и рассмотрим задачу Коши

u′ =  f (t, u, μ),     u (t0) = u0.

Чтобы отразить зависимость решения u этой задачи от параметра μ, будем записывать его не в виде u(t), а в виде u(tμ). В силу теоремы существования и единственности решение задачи Коши определено на некотором открытом интервале (t1t2), содержащем точку t0. Если теперь мы начнём изменять параметр μ, то будем получать разные решения u(tμ) на разных интервалах (t1(μ), t2(μ)). Так вот теорема о непрерывной зависимости от параметра говорит, что, зафиксировав μ = μ0 и получив решение u(tμ0) на интервале (t1(μ0), t2(μ0)), мы получаем в придачу непрерывность u(tμ) по μ в некоторой окрестности U(μ0).3 Грубо говоря, решение u непрерывно в точке μ = μ0, если функция  f  непрерывна в этой точке.

В рассматриваемом примере в качестве  f (tuμ) выступает вектор-функция
 f (u, a, b, c) =
ì
î
 a  
 b  
 c  
b  
c  
a  
c
a
b
ü
þ
u,

которая непрерывна в любой точке (abc) Î R3 и непрерывно дифференцируема по u Î R3. Поэтому решение u(abc) исходной системы уравнений непрерывно зависит от параметров abc. В каждой точке (abc) трёхмерного пространства, кроме поверхности ab + bc + ca = 0 (кстати, что это за поверхность?), эта зависимость задаётся формулой (10). Поскольку для непрерывной функции u(tabc) и сходящихся последовательностей anbncn выполняется равенство

 lim  u (t, an, bn, cn) = u (t,   lim  an,   lim  bn,   lim  cn), 
n → ∞ n → ∞ n → ∞ n → ∞

то мы можем распространить формулу (10) и на случай ab + bc + ca = 0. Действительно, строим последовательность не лежащих на поверхности ab + bc + ca = 0 точек {anbncn}, которая сходится к точке {abc}, лежащей на поверхности, и получаем, что формула (10) остаётся справедливой и при ab + bc + ca = 0.

Пример. Решить систему уравнений u′ = Au, где
 A =
ì
î
 0  
 b  
 b  
a  
0  
b  
a 
a 
ü
þ
    и     0 ≠ ab ≠ 0.

и a, b, c — попарно различные вещественные числа.

Решение. Находим корни характеристического уравнения:
 det(A – λE) =
ú
ú
 –λ  
 b  
 b  
a  
–λ  
b  
a 
a 
–λ 
ê
ê
= 0.     Þ     λ3 – 3abλ – ab(a + b) = 0.

ФОРМУЛА  КАРДАНО

Я намеренно не стал делать никаких финтов, а тупо свёл всё к кубическому уравнению, чтобы воспользоваться этим обстоятельством как предлогом для небольшого рассказа о формуле Кардано.

Когда надо решить кубическое уравнение общего вида x3 + ax2 + bx + c = 0, то первым делом линейной заменой xx – a/3 избавляются от квадратичного слагаемого4 и получают приведённое кубическое уравнение:

x3 + px + q = 0.

Опишем два подхода к решению этого уравнения.

1. Метод Виета. Сделаем подстановку p = 3tx + 3t2. Тогда

x3 + px + q = x3 + 3tx2 + 3t2x + q = (x + t)3t3 + q = 0.

С другой стороны,

 p = 3t(x + t)     Þ     (x + t)3 p3

27t3

 .

Поэтому

p3

27t3

 – t3 + q = 0     Þ     (t3)2q(t3) –  p3

27

 = 0     Þ
   
 t3  q

2

 ± 
q²

4

 +  p³

27

    Þ     t = t±,  ωt±,  ωt±,   где   t± = 3  q

2

 ± 
 q²

4

 +  p³

27


и ω = ei/3, ω = e–2πi/3 — корни третьей степени из единицы.

После нахождения t находим x. Так как p = 3t(x + t), то x = p/3tt. Можно ещё отметить, что выбор знака ± не имеет значения: хоть и кажется, что для x получается шесть возможных вариантов, на самом деле их всего три, поскольку p/3t+t+ = p/3tt = –t+t. Эти минусы перед компонентами t± обычно вносят под знак кубического корня и записывают формулу Кардано для корней приведённого уравнения в виде:
 
x1 = z+ + z,     x2 = ωz+ + ωz,     x3 = ωz+ + ωz,     где   z± = 3  –   q

2

 ± 
 q²

4

 +  p³

27

 .
 
(12)

2. Mathematical Gazette (1955, № 39, p. 139). Имеет место тождество

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x + ωy + ωz)(x + ωy + ωz),

где ω = ei/3. Тогда уравнение x3 – 3yz·x + (y3 + z3) = 0 имеет три корня: x1 = –yz, x2 = –ωyωz, x3 = –ωy – ωz. Для решения кубического уравнения x3 + px + q = 0 осталось подобрать такие y, z, что –3yz = p и y3 + z3 = q. Подбираем:

 z = –  p

3y

     Þ     y3 –  p3

27y3

 = q.

Для y3 получаем такое же квадратное уравнение, что и для t3 в способе Виета. Поэтому и дальнейшее изложение один в один совпадает с виетовским.


[· · ·]

Пример. Решить систему уравнений u′ = Au, где
 A =
ì
î
 1   
 1   
 1   
1   
ω   
ω2  
1  
ω2 
ω4 
ü
þ
    и   ω = ei/3.

Решение. Число ω — корень третьей степени из единицы: ω3 = 1. Уже использованные в предыдущем примере свойства этого числа (|ω| = 1, 1 + ω + ω2 = 0 и ω2 = ω) позволяют работать с матрицей A, не прибегая к явному алгебраическому представлению ω = ½(–1 + i3).

[· · ·]

Пример. Решить систему уравнений u′ = Au, где
 A =
ì
ï
î
 1   
 1   
 1   
 1   
1 
ε 
ε2
 ε3 
1 
ε2
ε4
  ε6  
1 
ε3
ε6
 ε9 
ü
ï
þ
    и   ε = ei/4.

Решение. Исходная матрица записана в таком громоздком виде специально, чтобы подчеркнуть связь с предыдущим примером. Там была 3×3-матрица для кубического корня из единицы, здесь — 4×4-матрица для корня из единицы четвёртой степени. Поскольку ε = i, то матрицу A можно представить в более простом виде:

[· · ·]

ОБОБЩЕНИЕ  НА  n-МЕРНЫЙ  СЛУЧАЙ

У стойки он выхватил из рук хозяина объёмистый черпак, которым тот разливал вино по кружкам, молча осушил его до дна и объявил, что теперь всё пропало и остаётся только одно — как следует повеселиться.

А. и Б. Стругацкие. «Трудно быть богом».


Матрицы в последних двух примерах были частными случаями n×n-матрицы

 A  
 1   
 1   
 1   
... 
 1   
1 
ζ 
ζ2
... 
 ζn–1 
1 
ζ2
ζ4
... 
  ζ2(n–1)  
... 
... 
... 
... 
... 
1 
ζn–1
ζ2(n–1)
... 
 ζ(n–1)² 
   ,   где   ζ = ei/n.

Давно понятно, что, несмотря на дифурные формулировки задач, занимаемся мы чистой воды алгеброй. Поэтому при исследовании матрицы A на собственные числа и векторы не будем утруждать себя даже такой малостью, как запись системы уравнений.

Корень из единицы ζ = ei/n — это корень уравнения xn – 1 = 0. Многие свойства этого числа можно получить непосредственно из уравнения. Например, поскольку

xn – 1 = (x – 1)(xn–1 + xn–2 + ... + x + 1)

и ζ ≠ 1, то 1 + ζ + ζ 2 + ... + ζ n–1 = 0. Более того, поскольку числа ζ k, k = 2, n – 1, наряду с ζ, также являются корнями уравнения xn – 1 = 0, то
 n–1
1 + ζ k + (ζk)2 + ... + (ζ k)n–1 =      k)m = 0     для всех   k = 1, n – 1.
m=0

И всё же, если есть возможность выбора, я предпочитаю использовать методы анализа, а не алгебраические средства. В частности, получать сумму степеней корней из единицы через геометрическую прогрессию:
 n–1
m=0
ζ km =
 n–1
m=0
 k)m ζ kn – 1

ζ k – 1

 = 
ì
í
î
n,    k ≡ 0 (mod n),
0,    k ≠ 0 (mod n).
(13)

Здесь k может быть любым целым числом: и положительным, и отрицательным, и нулём.

Простыми следствиями формулы (13) являются равенства
 n–1
m=0
 k)m·(ζ l)m
ì
í
î
n,    k + l ≡ 0 (mod n),
0,    k + l ≠ 0 (mod n);
 n–1
m=0
 k)m·(ζ l)m
ì
í
î
n,    kl ≡ 0 (mod n),
0,    kl ≠ 0 (mod n).

Первое из них полезно при нахождении квадрата матрицы A, второе — при нахождении произведения AA:

 A2  
 n   
 0   
 0   
... 
 0   
 0   
 0   
 0   
... 
 n   
... 
... 
... 
... 
... 
 0   
 0   
 n   
... 
 0   
 0 
 n 
 0 
... 
 0 
   ,     AA = nE.

Эти формулы показывают, что матрица U = A/√n — более удобный объект, чем первоначальная матрица A. Во-первых, UU = E и, таким образом, U –1 = U. Во-вторых, U унитарная матрица5 и можно воспользоваться плодами общей теории. В-третьих, U 2 состоит только из нулей и единиц, причём нулей в ней ну очень много. Это позволяет надеяться на достаточно простой вид характеристического многочлена для U 2, а там и до собственных чисел матрицы U рукой подать.6

  Поиск собственных чисел

Итак, ищем собственные числа матрицы U 2:

[· · ·]
det (U 2 – λE) = 
ì
í
î
 (λ – 1)n1 + 1(λ + 1)n1 – 1, 
–(λ – 1)n1 + 1(λ + 1)n1, 
   n = 2n1;
   n = 2n1 + 1.

Таким образом, собственные числа n×n-матрицы U 2 — это числа +1 и –1, а их кратности зависят от чётности n. Соответственно, для матрицы U собственными числами будут квадратные корни из +1 и –1, т.е. числа ±1 и ±i. Поэтому

det (U – λE) = (–1)n(λ – 1)(λ + 1)(λ – i)(λ + i)d.
(14)

Насчёт кратностей a, b, c, d пока можно сказать только одно:
a + b   кратность числа  +1
для матрицы U 2
   = 
ì
í
î
n1 + 1,
n1 + 1,
  n = 2n1;
  n = 2n1 + 1;
c + d   кратность числа  –1
для матрицы U 2
   = 
ì
í
î
n1 – 1,
n1,
  n = 2n1;
  n = 2n1 + 1.

Чтобы найти a, b, c, d нужно выявить ещё какие-нибудь связи между этими числами. Используем следующие соображения. Матрица U унитарная, её жорданова матрица J диагональна, и на этой диагонали располагаются +1 в количестве a штук, –1 в количестве b штук, а также +i и i по c и d штук соответственно. В сумме a+b+c+d дают, естественно, n. Далее,

tr U = tr J = ab + cidi     и     det U = det J = 1(–1)i(–i),

поскольку, в силу общей теории, след и определитель матрицы являются инвариантами. Определитель det U вычисляется легко (определитель Вандермонда), но однозначного нахождения чисел a, b, c, d не гарантирует. Зато след tr U идеально подходит для нашей цели:
 n–1
ab + cidi = tr U  1

 n

 tr A  1

 n

   ζm².
m=0

Последняя сумма называется суммой Гаусса. Именно Гаусс впервые доказал, что
 n–1 n–1
   ζm² =    eim²/n =
m=0m=0
ì
í
î
(1 + i)√n, 
n, 
0, 
in, 
  n ≡ 0(mod 4); 
  n ≡ 1(mod 4); 
  n ≡ 2(mod 4); 
  n ≡ 3(mod 4). 
(15)

Поэтому
ab =
ì
í
î
1,
1,
0,
0,
  n ≡ 0(mod 4);
  n ≡ 1(mod 4);
  n ≡ 2(mod 4);
  n ≡ 3(mod 4);
    и     cd =
ì
í
î
1,
0,
0,
1,
  n ≡ 0(mod 4);
  n ≡ 1(mod 4);
  n ≡ 2(mod 4);
  n ≡ 3(mod 4).

что, совместно с найденными выше значениями для a+b и c+d, приводит к равенствам:
a = 1

4

ì
í
î
n + 4
n + 3
n + 2
n + 1
÷
÷
÷
,   b = 1

4

ì
í
î
n
n – 1
n + 2
n + 1
÷
÷
÷
,   c = 1

4

ì
í
î
n
n – 1
n – 2
n + 1
÷
÷
÷
,   d = 1

4

ì
í
î
n – 4
n – 1
n – 2
n – 3
÷
÷
÷
    при    n ≡ 0(mod 4);
  n ≡ 1(mod 4);
  n ≡ 2(mod 4);
  n ≡ 3(mod 4).

Таким образом,
  n + 4

4

    n + 2

4

    n + 1

4

    n – 1

4

 
det(U – λE) = (–1)(λ – 1)  (λ + 1)  (λ – i)  (λ + i) .
(16)

Аналогичное разложение для det(A – λE) получается заменой скобок (λ ± 1), (λ ± i) на скобки (λ ± √n), (λ ± in), при сохранении показателей степеней. Для n = 3 и n = 4, в частности, получаются уже известные формулы

det(A – λE) = –(λ – √3)(λ + √3)(λ – i3)   (n = 3),
det(A – λE) = –(λ – 2)2(λ + 2)(λ – 2i)(n = 4).

Задача нахождения собственных чисел матрицы A почти завершена: для порядка надо бы доказать формулу (15). Займёмся этим.7

  Вычисление суммы Гаусса при помощи рядов Фурье

Наиболее удачный способ доказательства (удачный в том смысле, что способ не требует никакой специальной изобретательности) предложил в 1835 году Дирихле, который впоследствии использовал сумму Гаусса в своей знаменитой теореме о простых числах в арифметических прогрессиях: если a и b — целые, взаимно простые числа, то последовательность

a,  a + b,  a + 2b,  a + 3b,  a + 4b, ...

содержит бесконечно много простых чисел.

Итак, доказательство Дирихле. Пусть функция g(x) задана на отрезке [0, n] явно: g(x) = eix²/n, а за пределы этого отрезка продолжена периодическим образом: g(x+n) = g(x). Получившаяся функция, как легко видеть, непрерывна, но не дифференцируема в точках склейки. Например, g(0) = g(n) = 1, g′(0+) = 0 ≠ g′(0–) = g′(n–) = 4πi.

Разложим g(x) в ряд Фурье8 по системе функций {eikx/n, k Î R}:

[· · ·]

Тогда
 n–1  n–1
ζm² = g(m) = [· · ·] = n(1 + i–n)    eint² dt (1 + i–n)(1 + i)

2

n.
m=0 m=0 R

На завершающем этапе было использовано известное значение интеграла Френеля:
   
    eiat² dt Ö π

 a

 eπi/4 Ö π

2a

 (1 + i)       (a > 0).
R
(17)

  Вычисление суммы Гаусса при помощи контурного интегрирования

Другой способ вычисления суммы Гаусса был предложен в «Курсе математического анализа» Гурса (М., Гостехиздат, 1933, т. 2, ч. 1, стр. 120) и основан на контурном интегрировании.9

[· · ·]

Можно ещё отметить, что дважды использованный на последней стадии выкладок трюк ab + ∫bc = ∫ac — это не свойство интеграла по вещественным отрезкам, а теорема Коши для голоморфной функции и треугольного контура. Экспонента, которую мы интегрировали, — целая аналитическая функция, поэтому можно брать треугольники с любыми R и n.

  Вычисление суммы Гаусса при помощи тэта-функций

Ещё один способ вычисления суммы Гаусса предложил в 1840 году В. А. Лебег10 на основе формулы Пуассона
    eπ(k+tz  1

  z

    e2πikt eπk²/z.
kÎZ kÎZ
(18)

Здесь tÎR, zÎC, причём Re z > 0 (чтобы ряды сходились), а при вычислении  z выбирается то значение, для которого Re  z > 0.

Формула (18) обычно получается как частный результат или при рассмотрении преобразования Фурье обобщённых функций,11 или при рассмотрении дробно-линейных преобразований тэта-функций.12 Для наших целей, однако, проще проигнорировать эти теории и доказать равенство (18) непосредственно.

[· · ·]

Вернёмся теперь к формуле Пуассона и посмотрим, что с ней произойдёт, если положить z = ε – im/n, где m, n Î N, а затем устремить ε к нулю. Очевидно, что мы не можем просто взять и подставить z = –im/n в равенство (18), поскольку ряды тогда разойдутся. Весь интерес заключается в том, чтобы, опираясь на абсолютную и равномерную сходимость рядов при ε>0, выяснить их асимптотическое поведение. Грубо говоря, если ряд слева ведёт себя при ε → +0 как (A+o(1))/ε, а ряд справа — как (B+o(1))/ε, то A=B.

[· · ·]

Приравнивая главные члены асимптотик (19) и (20), меняя индекс суммирования k2 на k и считая, что mn + l — чётное число, получаем в итоге плоды наших трудов:
n–1 m–1
 1

  n

 exp ( πil 2

4mn

)  exp ( πim

n

 k2 πil

n

k )  1

  m

 exp (  πi

4

)  exp ( –   πin

m

 k2 πil

m

k ) .
k=0 k=0
(21)

В частности, при l = mn
n–1 m–1
 1

  n

 (–1)mk eπimk²/n eπi(1 – mn)/4

  m

   (–1)nk e–πink²/m.
k=0 k=0
(22)

Если теперь положить в этом равенстве m = 2, то получим
n–1
 1

  n

 eik²/n eπi/4

  2

 e–πin/2(1 + (–1)e–πin/2) =  (1 + i)(1 + i –n)

2

 ,
k=0

и тем самым выражение для суммы Гаусса найдено в третий раз. Как говорил Гекке: «Точное знание поведения аналитической функции в окрестности её особых точек — источник многих арифметических теорем».

Кстати, если обозначить сумму в левой части равенства (22) через g(nm), то легко видеть, что само равенство представимо в виде:

g(nm)

  n

 = eπi(1 – mn)/4  g(mn)

  m

 .

т.е. функция g(nm) хоть и не симметрическая, но очень терпимо относится к перестановке своих аргументов. Такого рода формулы, когда некая функция  f (nm) связана с  f (mn) простым соотношением, называются теоремами или законами взаимности, поэтому равенство (22) выражает закон взаимности для обобщённой суммы Гаусса.13

Все приведённые выше способы доказательства формулы (15) являются аналитическими по методам и получаются с использованием непрерывных функций, несобственных интегралов, рядов Фурье и т.д., хотя исходная сумма была конечным набором дискретных объектов и, казалось бы, должна находиться в рамках манипуляций подобными же объектами. Хассе, занимаясь в своих «Лекциях по теории чисел» (М., ИЛ, 1953) вычислением суммы Гаусса и приводя «почти арифметический» вариант вычисления, пишет, что вклад анализа хоть и можно свести к минимальному, но полностью обойтись без него нельзя. И далее с явным неудовольствием продолжает: «Существуют другие доказательства, в которых, наоборот, арифметике отводится по возможности меньшая роль, а иногда она полностью вытесняется аналитическими рассуждениями». Я же, в свою очередь, при любом удобном случае пытаюсь избавиться от дискретных объектов и «обменять» их на непрерывные, поскольку арсенал методов работы с последними гораздо богаче.

  Поиск собственных векторов: предварительное обсуждение

Итак, с собственными числами мы разобрались,14 займёмся теперь собственными векторами. Их нахождение — более тяжёлая задача. У меня, по крайней мере, простого решения этой задачи нет. Если вы смогли найти такое решение или знаете по литературе, то занесите его мне на кафедру.

Начнём с некоторых замечаний общего плана. Поскольку A = nU, то собственные векторы матриц A и U совпадают. Уже было отмечено, что U — унитарная матрица, поэтому для каждого её собственного числа λ кратности #(λ) найдётся ровно сколько же ЛНЗ собственных векторов. Вообще, предварительное обсуждение — это удобный момент, чтобы вспомнить кое-какие определения и теоремы из алгебры.15

  • Матрица S называется симметрической, если S = S t. Матрица H называется эрмитовой, если H = H t (при этом H t обозначается H*). Вещественная матрица O называется ортогональной, если OO t = E. Комплексная матрица U называется унитарной, если UU * = E. Матрица N называется нормальной, если NN * = N *N (в частности, эрмитова матрица нормальна, унитарная матрица тоже нормальна).
  • Для вещественной симметрической матрицы S собственные числа вещественны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны в евклидовом пространстве Rn. Если λ — собственное число кратности m, то для него существует ровно m ЛНЗ собственных векторов.16 Как следствие, из собственных векторов вещественной симметрической n×n-матрицы можно собрать базис пространства Rn. Существует ортогональная матрица O, приводящая S к диагональному виду:

    S = OΛO –1

    где Λ = diag(λ1, λ2,..., λn), а λk, k = 1, n, — все собственные числа матрицы S с учётом кратности.

Легко заметить соответствие «симметрическая матрица → эрмитова матрица», «ортогональная матрица → унитарная матрица». Поэтому не удивительно, что комплексная переформулировка предыдущего пункта делается простой заменой. И всё же наша исходная матрица A комплексна, поэтому нас, в первую очередь, должен интересовать именно комплексный вариант теории, а о вещественных матрицах я тут всего наговорил просто так, для преемственности перехода от Rn к Cn.

Сначала обсудим нормальные матрицы, как наиболее общие среди определённых выше.

  • Любая нормальная матрица N приводится к диагональному виду с помощью некоторой унитарной матрицы: N = UΛU –1. Если Nh = λh (т.е. λ — собственное число матрицы N, а h — соответствующий собственный вектор), то N *h = λh. (Как следствие, все собственные числа эрмитовой матрицы вещественны.) Для нормальных матриц собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны в унитарном пространстве Cn. Если λ — собственное число матрицы n кратности m, то найдётся m ЛНЗ собственных векторов, соответствующих этому числу. Найденные собственные векторы можно ортогонализовать, затем нормировать и получить в результате ортонормированный базис пространства Cn. 17

Теперь можно было бы сказать несколько слов об унитарных матрицах. Например, что унитарные матрицы в пространстве Cn осуществляют перевод ортонормированного базиса в ортонормированный, что собственные числа унитарных матриц по модулю равны единице, т.е. λ = eic, где c Î R, но, пожалуй, пора переходить к нашей конкретной матрице U = A/√n. Собственные числа матрицы U равны {±1, ±i}, кратности тоже известны, а про собственные векторы мы теперь знаем, что из них можно собрать базис в Cn. Кроме того, для разных собственных чисел собственные векторы ортогональны. Поэтому пространство Cn можно разложить в прямую сумму ортогональных подпространств, каждое из которых является линейной оболочкой собственных векторов, соответствующих одному из собственных чисел.

[· · ·]

  Дискретное преобразование Фурье

Взглянем теперь на проблему поиска собственных векторов матрицы A с другой точки зрения. Если x, y Î Rn, то y = Ax и x = Ay/n называют соответственно прямым и обратным дискретным преобразованием Фурье (или просто ДПФ). В координатной форме записи эти преобразования выглядят так:
 n–1 n–1
 yk    eikm/xm     (k = 0, n–1)     и     xm 1

 n

   e–2πikm/yk     (m = 0, n–1),
m=0k=0

Если не применять специальных ухищрений, то для нахождения вектора y по известному вектору x требуется n2 комплексных умножений. Можно слегка выгадать, если не делать умножений на 1, но порядок это не уменьшит. На практике, чтобы его уменьшить, применяют алгоритмы быстрого преобразования Фурье (или просто БПФ), которым для нахождения вектора y достаточно порядка n ln n комплексных умножений.

По сути все алгоритмы БПФ заключаются в том, чтобы выбрать составное число n, разложить его на множители, n = n1n2, и перейти от задачи умножения n×n-матрицы A на n-мерный вектор x к подзадачам размерности n1 и n2. При этом структура корней из единицы ζk позволяет реализовать такой переход весьма эффективно с точки зрения времязатрат.

Пусть, например, n — чётное число. Тогда

[· · ·]

Тем самым n-точечная задача вычисления ДПФ свелась к двум n/2-точечным задачам. При этом вектор x тоже разделился на две составляющие — чётную и нечётную. На этом этапе уже ощущается потребность введения более детальной информации в обозначениях. Раньше для корней из единицы запись ζ = ei/n казалась вполне достаточной. Теперь, чтобы не путаться в формулах, в которых присутствуют корни из единицы разных степеней, я иногда буду использовать нижние индексы: ζn = ei/n, An = ||ζnkl||, Un = A/√n. Таким образом, формулы (24) осуществляют редукцию от n-точечного ДПФ y = Anx к двум n/2-точечным с матрицей An/2.

Обозначим через M(n) число комплексных умножений при вычислении ДПФ y = Anx. Тогда формулы (24) позволяют составить рекуррентное соотношение M(n) = 2M(n/2) + n/2. Если n является степенью двойки, то процесс редукции можно довести до логического конца, nn/2 → n/4 → ... → 1, не прибегая ни к чему иному, кроме полученных формул. При этом

 M(n) = 2M  (  n

2

)  +   n

2

 = 4M  (  n

4

)  +   2n

2

 = ... = 2M  (  n 

2k

)  +   kn

2

 = nM(1) +  n logn

2 

 ,

т.е. число необходимых комплексных умножений существенно меньше, чем при прямом перемножении матрицы An на вектор x.

Этот простой и наглядный пример реализации БПФ, который был опубликован Кули и Тьюки в 1965 году, не следует рассматривать как единственно возможный. Блейхут в своей книге «Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов» (М., Мир, 1989) называет «злополучным мифом» широко распространившееся мнение о том, что ДПФ становится быстрым лишь при длине блока n, равной степени двойки. На самом же деле хорошие БПФ-алгоритмы существуют практически для произвольной длины блока.

Другим алгоритмом БПФ, сильно отличающимся от алгоритма Кули–Тьюки и гораздо менее известным, является алгоритм Гуда–Томаса. Он был опубликован в 1960 году, но публикация эта прошла почти незамеченной. Для нашей задачи поиска собственных векторов матрицы An именно этот алгоритм представляет интерес.

  Арифметическое свойство корней из единицы

Начнём издалека — с линейного диофантова уравнения c двумя неизвестными и построения его решения на основе алгоритма Евклида. Пусть n1n2 — положительные взаимно простые числа.18 Тогда существуют такие целые m1m2, что n1m1 + n2m2 = 1. На практике эти числа находят, раскладывая n2/n1 в цепную дробь, затем отбрасывая последнюю дробь в этой цепи, вновь всё сворачивая и получая в итоге отношение чисел m1 и m2 с точностью до знака.

Чтобы лучше «вспомнить всё» рассмотрим конкретный пример. Найдём целочисленные решения уравнения 14m1 + 45m2 = 1. Раскладываем дробь 45/14 в цепную дробь:

45  = 3 +  3  = 3 +    1    = 3 +    1    = 3 +    1    .
14 14 14   4 +   2     4 +    1  
3 3 1 + ½

Выкидываем «хвост», ½, и сворачиваем всё обратно:

3 +    1    = 3 +   1   =  16  .
 4 +   1  5 5
1

Ясно, что |m1| > |m2|, поскольку 45 > 14. Поэтому |m1| = 16, a |m2| = 5. Знаки чисел m1m2 противоположны, и способ их определения я всегда забываю. В данном случае все рассматриваемые числа невелики, так что знаки можно определить прямым умножением. Можно также заметить, что 14·16 оканчивается цифрой 4, а 45·5цифрой 5, и отсюда сделать вывод, где должен стоять знак минус. В общем, m1 = –16, m2 = 5. После нахождения одной пары решений легко выписать и общее решение уравнения 14m1 + 45m2 = 1, но нам это не нужно.

Ещё один пример, чуть сложнее. Пусть n = n1n2 и числа n1n2 взаимно просты. Тогда весь набор корней из единицы n-й степени получается перемножением наборов корней из единицы n1 и n2 степеней:

{ ζ  k
n
,   k = 0, n–1 }  =  { ζ  k1
n1
ζ  k2
n2
,   k1
0, n1–1
,   k2
0, n2–1
} .

Для доказательства достаточно заметить, что оба множества содержат по n элементов и что каждый корень из единицы n-й степени можно представить в виде произведения корней из единицы меньших степеней:

ζ  k
n
 = exp (  i

 n1n2

 k(n1m1 + n2m2) )  = ζ  km2
n1
ζ  km1
n2
.
(25a)

С другой стороны,

ζ  k1
n1
ζ  k2
n2
 = exp (  i

 n1n2

 (k1n2 + k2n1) )  = ζ  k
n
,
(25b)

а значит, если k1 пробегает набор чисел {0, 1, ..., n1–1}, а k2 набор чисел {0, 1, ..., n2–1}, то k1n2 + k2n1 пробегает полную систему вычетов по модулю n, а kk1n2 + k2n1 (mod n) — набор чисел {0, 1, ..., n–1} (т.е. приведённую систему вычетов). Как следствие, если определить функцию
n–1
G(n, m, l) =     exp ( πim

n

 k2 πil

n

k ) ,
k=0

где mn+l — чётное число, то, используя разложение n в произведение взаимно простых чисел n1 и n2, получаем

G(n1n2, m, l) = G(n1, mn2, lG(n2, mn1, l).
(26)

Пример в примере:
274
   exp  ( i

275

 (14k2 + 45k) )  = [· · ·] = 5√11 exp  ( –  i

22

) ,
k=0

и мы переходим к ещё одному вспомогательному вопросу, который нам понадобится в дальнейшем — китайской теореме об остатках.

Пусть n = n1n2 ... nk и все nk попарно взаимно просты. Тогда nk и n/nk взаимно просты, и можно найти целые числа mk, Mk, удовлетворяющие равенству nkmk + (n/nk)Mk = 1. Китайская теорема об остатках гласит, что у системы сравнений

xa (mod nk),     k = 1, K,

существует единственное решение x, лежащее в 0, n–1, и оно удовлетворяет сравнению
 K
x ≡      ak   n

 nk

 M (mod n).
k=1

Простая иллюстрация. Пусть K = 2, т.е. n = n1n2. Тогда решение системы

xa1 (mod n1),     xa2 (mod n2)

имеет вид xa1n2m2 + a2n1m1 (mod n).

В частности, если n = 2·5·7·9 = 630 = n1n2, где n1 = 2·7 = 14, n2 = 5·9 = 45, то из предыдущих наработок нам уже известно, что m1 = –16, m2 = 5. Поэтому xa1·45·5 – a2·14·16 (mod 630). Для a1 = 8, a2 = 22, например, получаем x ≡ –3128 ≡ 22 (mod 630) и, значит, x = 22 — это единственное решение в диапазоне 0 ≤ x ≤ 629.

  Арифметическое свойство собственных векторов

Теперь мы во всеоружии и готовы обсудить алгоритм Гуда–Томаса, который сводит процедуру вычисления ДПФ y = Anx к перемножению прямоугольных матриц.

Пусть n = n1n2, а числа n1, n2 взаимно просты. Возьмём n-мерный вектор x и преобразуем его в n1×n2-матрицу X следующим образом:

x = (x0, x1, ..., xn–1)t   →   X = ║ x  
 j1j2
║,   j1
0, n1–1
,   j2
0, n2–1
.

Компоненты вектора x и элементы матрицы X специально обозначены одной и той же буквой x, чтобы подчеркнуть, что мы не делаем никаких действий над вектором x, кроме перегруппировки. Компонента xj вектора x ставится в ту ячейку xj1j2 матрицы X, для которой выполняются условия  j1j (mod n1),  j2j (mod n2). Согласно китайской теореме об остатках, матрицу X можно наоборот преобразовать в вектор x, если элемент xj1j2 располагать на месте xj, где  jj1n2m2 + j2n1m1 (mod n). Здесь m1, m2 — это те самые числа, которые удовлетворяют равенству n1m1 + n2m2 = 1.

Далее, опять же только перегруппировкой компонент вектора y, организуем матрицу Y:

y = ( y0, y1, ..., yn–1)t   →   Y = ║ y  
k1k2
║,   k1
0, n1–1
,   k2
0, n2–1
.

В данном случае взаимно-однозначное соответствие компонент ykyk1,k2 строится на основе формул (25). Если задан индекс k, то пара индексов (k1k2) определяется по формулам k1km2 (mod n1), k2km1 (mod n2). В свою очередь, по индексам k1k2 восстанавливается индекс k:

k = k(n1m1 + n2m2) = n1·km1 + n2·km2n1k2 + n2k1 (mod n).

Теперь, переходя от векторов x, y к матрицам X, Y, мы можем записать ДПФ y = Anx в чисто матричном виде
 Y = [· · ·] = A X A.
n2n1

Вот такая интерпретация ДПФ была предложена Гудом и Томасом. Мы не будем далее рассматривать вычислительные аспекты этого алгоритма (например, что он является быстрым), а перейдём, наконец, к его использованию для задачи поиска собственных векторов.

[· · ·]

Рассмотрим пример. Пусть n = 6 = n1n2, где n1 = 2 и n2 = 3. В этом случае, как мы уже знаем, spec U2 = {+1, –1}, spec U3 = {+1, –1, +i} и

[· · ·]

Ещё один пример, почти аналогичный. Пусть n = 12 = n1n2, где n1 = 4 и n2 = 3. В этом случае spec U4 = {+1, –1, +i}, #(+1) = 2, #(–1) = #(+i) = 1, и

[· · ·]

И тем не менее, несмотря на всю изящность построения собственных векторов матрицы Un по собственным векторам матриц меньшего порядка, при таком подходе к решению нам пришлось бы столкнуться с некоторыми весьма серьёзными проблемами. Во-первых, пришлось бы доказывать, что равенство Y = ±X справедливо всегда. Во-вторых, нет никакой уверенности, что мы всегда будем получать линейно независимые векторы. А вдруг при n = 28, построив семь собственных векторов для λ = 1 и достраивая последний восьмой, мы получим в итоге линейную комбинацию предыдущей семёрки? В-третьих, даже зная разложение n в произведение простых чисел, n = ∏ pkαk, нам не обойтись без построения собственных векторов матриц типа Upα, причём непонятно из каких соображений.19 Поэтому хорошо было бы предложить более основательный подход, который не нуждается в необходимости предварительной «разборки» n на множители pα и последующей «сборки» векторов h(n) из компонент h(pα).

Такой подход действительно существует. Аналитический в своей основе, он был опубликован Владимиром Матвеевым,20 и к его изложению мы сейчас и приступаем.

  Интегральное преобразование Фурье и многочлены Эрмита

Начнём, как всегда, издалека. Пусть

 F [ f ](x) =   1

 

    eixξ f (ξ) dξ
R

— интегральное преобразование Фурье. Спрашивается, как построить функцию  f (x), инвариантную к этому преобразованию?

Для начала заметим, что для гладких быстро убывающих функций  f (x)

[· · ·]

Конечно, продемонстрированный подход к решению задачи может показаться разочаровывающе скучным, поскольку он ничего не говорит о способе получения таких красивых фурье-инвариантов, как

 1

 |x|

,    cos  ( x²

2

 –  π

8

) ,      cos(x²/2) + sin(x²/2)

 ch(xπ/2)

,      1

2 ch(x2π/3) + 1

, 21

и всё же у него есть одна важная деталь: он связывает возможность построения собственных функций оператора F, соответствующих собственному числу λ = 1, со степенями оператора применительно к произвольной функции  f (x).

Можно предложить другой, не такой абстрактный способ построения функций, инвариантных к преобразованию Фурье. Если вспомнить интеграл
 
    eat² + ibt dt Ö π

 a

 eb²/4a,       (Re a > 0,   Re(√a) > 0),
R

который был найден при обсуждении формулы Пуассона, то, полагая a = ½ и b = –x, мы получаем равенство

 1

 

    eixtt²/2 dt = ex²/2    Û   F [et²/2](x) = ex²/2
R
(33)

и самый известный фурье-инвариант — функцию ex²/2 — собственную функцию оператора F, соответствующую собственному числу λ = 1. Дифференцируя (33) по x, находим ещё одну собственную функцию:

 1

 

    eixtt²/2 (–itdt = ex²/2(–x)    Û   F [et²/2 t](x) = –i·ex²/2 x,
R

теперь для λ = –i. На этом лёгкая жизнь заканчивается — ещё одно дифференцирование приводит к равенству

 1

 

    eixtt²/2 (–t2dt = ex²/2(x2 – 1)    Û   F [et²/2 t2](x) = –ex²/2 (x2 – 1),
R

и для нахождения следующей собственной функции мы вынуждены устраивать линейные комбинации с предыдущими наработками:

F [et²/2 (t2 + c)](x) = –ex²/2 (x2 – 1 – c)   Þ   c = –1 – c   Þ   c = – ½.

Получается функция ex²/2(x2 – ½) — собственная функция оператора Фурье, соответствующая собственному числу λ = –1.

Понятно, что таким способом (дифференцирование + линейные комбинации) можно двигаться и дальше. Ещё понятно, что такое черепашье движение быстро надоест. Чтобы одним махом построить всё семейство собственных функций, проделаем следующее.

Пусть  f (x) — бесконечно дифференцируемая на R функция, такая что

 lim   xmf (n)(x) = 0     (n, m = 0, 1, ...)
x→±∞

(иначе говоря,  f (x) принадлежит пространству Шварца). Возьмём преобразование Фурье от  f (x) и продифференцируем его по x:

 1

 

    eixt (–itf (tdt d

dx

 F [ f ](x)    Þ   F [t f (t)](x) = i  d

dx

 F [ f ](x).
R

С другой стороны,

F [ f'(t)](x) = [· · ·] = ixF [ f ](x).

Поэтому

F [(td/dtf ](x) = –i(xd/dx)F [ f ](x).

Далее,

F [(td/dt)f ](x) = [· · ·] = (–i)n(xd/dx)nF [ f ](x).

Таким образом, если Ff ](x) =  f (x), т.е.  f (x) — собственная функция оператора Фурье, соответствующая собственному числу λ=1, то (xd/dx)f (x) — собственная функция, соответствующая числу λ=(i)n. Выбирая  f (x) = ex²/2, мы получаем семейство функций

 ψn(x) =  ( x –   d

dx

) n ex²/2  = ex²/2 Hn(x)     (n = 0, 1, ...),
(34)

где Hn(x) — некоторый многочлен степени n. В частности, H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2 – 2. В общем случае,

Hn(x) = (–1)n ex²/2  d n

dxn

 ex²/2.

Многочлены Hn(x) называют многочленами Эрмита, а последнее равенство — формулой Родрига. Здесь дифференциальный оператор более прост, поэтому формула Родрига часто используется как отправная точка для получения различных свойств многочленов Эрмита. Например, производящей функции, значений в нуле и разложения по степеням x.

Самым важным свойством функций ψn(x), наряду с инвариантностью к преобразованию Фурье, является тот факт, что множество n(x), n = 0, 1, ...} образует базис в пространстве L2(R), причём ортогональный:22
 
 m, ψn) =     ψm(xn(xdx    ex²Hm(x)Hn(xdx = √π 2nn! δn,m.
RR
(35)

Чтобы доказать равенство (35), достаточно построить для скалярных произведений производящую функцию и сравнить коэффициенты при smtn в исходном и конечном рядах.

Н-да... Что-то я чересчур увлёкся, и первоначальная задумка кратенько обсудить оператор Фурье F и его собственные функции, а затем вернуться к собственным векторам матрицы U обернулась длинным разговором. Постараюсь быть менее многословным.

  Спектральное разложение оператора Фурье

Итак, собственные функции ψn(x) оператора Фурье образуют ортогональный базис в L2(R). Поскольку F [ψn](x) = (–i)nψn(x), то spec F = {±1, ±i}, а само пространство L2(R) раскладывается в прямую сумму ортогональных подпространств, соответствующих собственным числам оператора F :
 
 L2(R) = S+1 + S–1 + S+i + Si    Sλ.
λ Î spec F 
(36)

Для каждого собственного числа λ определим проекционный оператор (или проектор) Pλ: L2(R) → Sλ. Тогда разложение (36) можно представить в операторном виде:

 E = P+1 + P–1 + P+i + Pi    Pλ.
λ Î spec F 

т.е. тождественный оператор — это сумма проекторов на ортогональные подпространства.23 Наша цель теперь — выразить эти проекторы через оператор Фурье.

Возьмём произвольную функцию  f (xΠL2(R) и представим её в виде суммы четырёх функций из ортогональных подпространств:

 f  =  f+1 +  f–1 +  f+i +  fi     fλ,     где   fλ Î Sλ.
λ Î spec F 

Тогда
 
 F f  =     F fλ    λ fλ    λPλ f,
λ Î spec F λ Î spec F λ Î spec F 

или

F  = P+1P–1 + iP+iiPi.

Используя очевидные свойства проекторов, Pλ2 = Pλ и Pλ1Pλ2 = 0 для λ1 ≠ λ2, находим разложения степеней оператора Фурье:

F k = (P+1P–1 + iP+iiPi)k = P+1 + (–1)kP–1 + ikP+i + (–i)kPi.

Четвёртая степень оператора Фурье — это тождественный оператор, поэтому достаточно оставить только равенства для степеней k = 1, 2, 3, 4 и рассматривать получившиеся соотношения как систему линейных уравнений для нахождения проекторов:

ì
í
î
 F 
 F 2
 F 3
  E
P+1P–1 + iP+iiPi, 
P+1 + P–1P+iPi, 
P+1P–1iP+i + iPi, 
P+1 + P–1 + P+i + Pi. 
   Þ     P+1
 P–1
 P+i
 Pi
¼(E + F  + F 2 + F 3), 
¼(EF  + F 2F 3), 
¼(EiF  – F 2 + iF 3), 
¼(E + iF  – F 2iF 3). 
   24

Вот теперь мы можем взять любую функцию  f (xΠL2(R) и построить из неё собственные функции оператора Фурье для каждого λ, просто навесив на  f  проектор Pλ и посчитав всего один интеграл, поскольку F 2f ](x) =  f (–x):

\begin{array}{rl} P+1 f (x)&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{ f (x)+ f (–x)}{2}+\dfrac{F [ f ](x) + F [ f ](–x)}{2}\biggr),\\ P–1 f (x)&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{ f (x)+ f (–x)}{2}-\dfrac{\Fscr[ f ](x)+\Fscr[ f ](–x)}{2}\biggr),\\ P+i f (x)&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{ f (x)- f (–x)}{2}-i \dfrac{\Fscr[ f ](x)-\Fscr[ f ](–x)}{2}\biggr),\\ Pi f (x)&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{ f (x)- f (–x)}{2}+i \dfrac{\Fscr[ f ](x)-\Fscr[ f ](–x)}{2}\biggr).\\ \end{array} } \eqno(37)

Как видно, проекторы не только разбивают пространство L2(R) на четыре ортогональных подпространства, но проделывают это таким образом, что

S+1 + S–1 = {чётные функции},
S+i + Si = {нечётные функции}.

Перед тем как покончить с обсуждением оператора Фурье и вернуться из бесконечномерного L2(R) в конечномерное Cn (где, как вы уже догадываетесь, мы тоже будем строить проекторы на собственные подпространства, но только теперь для матрицы U) рассмотрим один пример. Возьмём в L2(R) базис {eax²xn; Re a > 0, n Î N} и посмотрим, что из него сделают наши проекторы Pλ.

[· · ·]

Окончательные выражения довольно громоздки и только при a = ½ немного упрощаются. Вытекающие отсюда разнообразные следствия относительно многочленов Эрмита (интегралы, разложения в ряды и конечные суммы) мы не станем обсуждать.

  Проекторы и построение полной системы собственных векторов

В каком-то смысле, долгое исследование положения дел с оператором Фурье, действующим в пространстве L2(R), оказалось выгодным. Многие моменты переносятся на матрицу U, действующую в пространстве Cn, без всяких изменений. Причина кроется в унитарности,

F * = F  –1,       U* = U –1,

и совпадении спектров,

spec F  = spec U = {±1, ±i}.

Не нужно даже проверять, что U 4 = E, поскольку спектральное разложение оператора U сделает всё за нас. Тем не менее повторим некоторые утверждения (практически, в тех же обозначениях!). Раскладываем Cn в прямую сумму ортогональных подпространств Sλ:

Cn = S+1 + S–1 + S+i + Si,

или, что то же самое, раскладываем единичную матрицу в сумму проекторов:

E = P+1 + P–1 + P+i + Pi.

Поскольку все собственные векторы матрицы U вещественны, то каждый проектор Pλ — это n×n-матрица с вещественными, а не комплексными элементами. Раскладываем по проекторам матрицу U и её степени:

U = P+1P–1 + iP+iiPi,
U k = P+1 + (–1)P–1 + iP+i + (–i)Pi.

По ходу дела получаем, что U 3 = U и U 4 = E. Записываем систему и её решение:

U&=P+1-P–1+iP+i-iPi,\\ U2&=P+1+P–1-P+i-Pi,\\ U3=\bar U&=P+1-P–1-iP+i+iPi,\\ U4=E&=P+1+P–1+P+i+Pi.\\ \end{array} \right.     \Rightarrow     \begin{array}{rl} P+1&=\tfrac14\bigl(E+U+U2+\bar U\bigr),\\ P–1&=\tfrac14\bigl(E-U+U2-\bar U\bigr),\\ P+i&=\tfrac14\bigl(E-iU-U2+i\bar U\bigr),\\ Pi&=\tfrac14\bigl(E+iU-U2-i\bar U\bigr).\\ \end{array}

Теперь небольшая перегруппировка слагаемых в правой части, учитывающая вещественность матрицы U 2, завершающее добавление вектора v и всё — дело, в принципе, сделано! P+1v&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{v+U2v}{2}+ \dfrac{Uv+\bar Uv}{2}\biggr),&     P+iv&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{v-U2v}{2}-i \dfrac{Uv-\bar Uv}{2}\biggr),\\ P–1v&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{v+U2v}{2}- \dfrac{Uv+\bar Uv}{2}\biggr),& Piv&=\dfrac{1}{2} \biggl(\dfrac{v-U2v}{2}+i \dfrac{Uv-\bar Uv}{2}\biggr).\\ \end{array} \eqno(38)

Осталось выбрать какой-нибудь определённый вектор v и проектор Pλ превратит его (если только не занулит) в собственный вектор матрицы U, соответствующий собственному числу λ.

А теперь построение полной системы собственных векторов матрицы U. Берём набор базисных ортов и напускаем на этот стандартный набор проекторы Pλ.

[· · ·]

Осталось показать, что получившийся набор из n векторов действительно является базисом (т.е. набором ЛНЗ векторов), и это последнее задание для вас на сегодня. :)

  Заключительные комментарии

Рассмотренные выше вопросы — лишь самое начало большой и многогранной теории. После суммы Гаусса ζm² можно перейти к суммам корней из единицы в более высоких степенях, например, ζm³, заняться теорией характеров и высшими законами взаимности. А можно вернуться к одномерным функциям ψn(x) = ex²/2Hn(x) и заняться их переносом на N-мерный случай. Например, при N = 2 моды Эрмита–Гаусса

Hn,m(xy) = ψn(xm( y) = e–(x² + y²)/2Hn(x)Hm( y)     (n, m = 0, 1, ...)

обретают весьма достойных родственников — моды Лагерра–Гаусса

Lnm(xy) = e–(x² + y²)/2(x ± iy)mLnm(x2 + y2)     (n, m = 0, 1, ...).

где Lnm(t) — многочлены Лагерра. Оба семейства функций ведут своё происхождение от одной гауссовой функции: H0,0(xy) = L0,0(xy) = e–(x² + y²)/2. Оба семейства являются ортогональными базисами в L2(R2) и инвариантны к двумерному преобразованию Фурье:

1

 ∫∫   ei(xξ + yη)Hn,m(ξ,η) dξ dη = (–i)n+mHn,m(xy),
R2
1

 ∫∫   ei(xξ + yη)Lnm(ξ,η) dξ dη = (–i)2n+mLnm(xy).
R2

И, подобно тому как суммы Гаусса, функции Гаусса и ряды квадратичных экспонент тесно переплетаются и плавно трансформируются друг в друга (заставляя задуматься о почти философских вопросах взаимосвязи дискретного и непрерывного), оба семейства связаны между собой и алгебраическими, и интегральными соотношениями:

\Rint2 e^{i(xξ+yη)+iξη} \Hscr_{n,m}(ξ,η) dξ dη= π\sqrt{2} e^{{{\scriptsize -$}$\frac{ixy}{2}$}}}\cdot \begin{cases} (2i)n m! \Lscr_{m,n-m} \left(\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2} \right) & (n\geq m),\\ \noalign{\vskip5pt} (2i)m n! \Lscr_{n,m-n}\left(\dfrac{y}{2},\dfrac{x}{2} \right) & (n\leq m);\\ \end{cases} \begin{align} \sum_{k=0}^{n+m} (± 2)k &Pk^{(n-k,m-k)}(0) H_{n+m-k}(x)Hk(y)= 2^{{$\tfrac{n+m}{2}$}}} Hn \left(\frac{x± y}{\sqrt{2}}\right) Hm \left(\frac{x\mp y}{\sqrt{2}}\right); \\ \sum_{k=0}^{n+m} (2i)^{k} &Pk^{(n-k,m-k)}(0) Hn+mk(x)Hk(y) = =2n+m· \left\{ &(-1)m m! (x+iy)^{n-m}Lm^{n-m}(x2+y2)&   (n\ge m),\\ &(-1)n n! (x-iy)^{m-n}Ln^{m-n}(x2+y2)&   (n\le m),\\ \right.

где Pn(μ,ν)(t) — многочлены Якоби.

При дальнейшем изучении в круг «причастных» оказываются втянуты и уравнение Шрёдингера, и принцип Фрагмена–Линделёфа, и дробное преобразование Фурье, и диофантовы уравнения, и преобразование инверсии, и другие временами удивляющие, временами озадачивающие объекты и понятия, но это уже совсем другая история.


Примечания
1.

Гильберт, не будучи очень высокого мнения о способностях среднего студента, считал, что ничего нельзя усвоить, пока не услышишь несколько раз.

— Пять раз, Герман, пять раз! — говорил он Герману Вейлю, когда тот начинал свою педагогическую деятельность. — Вычисления проводи не выше, чем на уровне таблицы умножения, и начинай всё с простейших примеров.

Так что считаем до пяти. :) назад к тексту

2.

Очевидно, что тогда F(p) будет гладкой функцией при p>p0. назад к тексту

3.

Более точно, для любого отрезка [τ1, τ2], вложенного в интервал (t1(μ0), t2(μ0)), на котором существует решение u(tμ0), найдётся такая окрестность U(μ0) = {μ Î Rm: |μμ0| < δ}, что

1) для любого μ Î U(μ0) решение u(tμ) определено при всех t Î1, τ2];

2) решение u(tμ) является непрерывной функцией на 1, τ2] ×U(μ0).

назад к тексту

4.

Такая замена чем-то сродни выделению полного квадрата для уравнения ax2 + bx + c = 0, т.е. шагу, который позволяет решить уравнение 2-й степени. Для уравнений 3-й и 4-й степеней линейная замена тоже полезна, хотя, конечно, её роль уже не столь велика. О решении алгебраических уравнений (и не только) можно прочесть в книге: В. В. Прасолов, Ю. П. Соловьёв. «Эллиптические функции и алгебраические уравнения» (М., Факториал, 1997), в которой, в частности, приведены три способа решения уравнения 4-й степени. Не могу удержаться, чтобы не привести ещё один, вычитанный в заметке В. М. Дубровского «Об уравнениях четвёртой степени» (УМН, 1973, № 4).

Рассмотрим общее уравнение 4-й степени

P(x) ≡ ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,

где e — не обязательно основание натуральных логарифмов, хотя может и быть им. :) Пусть α* = –b/4a, т.е. точка, в которой P'''(x) = 0. Введём обозначения P = P(α*), P' = P'(α*), P'' = P''(α*). Пусть Hкакой-либо корень уравнения

64a2H 3 + 16aP''H 2 + [(P'')2 – 16aP]H – (P')2 = 0,

отличный от нуля. Тогда корни исходного уравнения имеют вид
   
x1,2 = α* + √H ± 
H –  P''

4a

 –  P'

4aH

 ,     x3,4 = α* – √H ± 
H –  P''

4a

 +  P'

4aH

 .

И, уж совсем уходя в сторону, несколько слов об уравнениях 5-й степени (см. ещё одну заметку В. М. Дубровского, опубликованную в УМН, 1973, № 5). Как известно (теорема Абеля), уравнение общего вида

P(x) ≡ ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0

в радикалах не решается. Пусть, однако, кубические уравнения

8a(40ac – 13b2)x3 + 24(2abc + 10a2db3)x2 + 2(50a2e + 28abd – 3b2c)x + 25a(beaf) = 0,
40a2x3 + 24abx2 + (2ac + 4b2)x + (bcad) = 0

имеют общий корень, который мы обозначим через α*. Тогда четыре корня уравнения P(x) = 0 имеют вид x1,2 = α* ± √H1, x3,4 = α* ± √H2, где H1, H2 — корни квадратного уравнения

aH 2 + (10aα*2 + 4bα* + c)H + P'(α*) = 0.

А последний, пятый, корень можно найти по четырём предыдущим и теореме Виета. назад к тексту

5.

По определению, U — унитарная матрица, если UU t = E. Основное свойство таких матриц: все их собственные числа по модулю равны 1, а из собственных векторов можно собрать ортогональный базис. Как следствие, можно не тратить время на подсчёт ранга матрицы A – λE, если вдруг λ окажется кратным числом (забегая вперёд, отмечу, что так оно и будет). Наконец, посредством унитарных матриц любая матрица S приводится к треугольному виду, S = UTU t, а любая эрмитова матрица H — к диагональному виду, H = UΛU t, что демонстрирует полезность унитарных матриц. назад к тексту

6.

Если A — произвольная матрица n×n, то

det(A – λE) = (–1)n(λ – λ1)(λ – λ2) ... (λ – λn).

Замена λ → –λ:

det(A + λE) = (–1)n(–λ – λ1)(–λ – λ2) ... (–λ – λn) = (λ + λ1)(λ + λ2) ... (λ + λn).

Перемножаем обе формулы:

det(A2 – λ2E) = (–1)n2 – λ12)(λ2 – λ22) ... (λ2 – λn2).

Ещё одна замена λ2 → λ:

det(A2 – λE) = (–1)n(λ – λ12)(λ – λ22) ... (λ – λn2),

и мы получаем, что собственные числа матрицы A2 — это квадраты собственных чисел матрицы A. назад к тексту

7.

Для малых n формулу (15) легко проверить непосредственно. Например, если n = 3, то

1 + ω + ω4 = 1 + 2ω = i3;

если n = 5, то

1 + ζ + ζ4 + ζ9 + ζ16 = 1 + ζ + ζ + ζ + ζ = 1 + 4 cos 

5

 = √5.

Для n = 4, 6, 8 тоже всё просто. Попробуйте доказать элементарными средствами, что для n = 7 получаются равенства

cos 

7

 + cos 

7

 + cos 

7

 = –  1

2

 ;       sin 

7

 + sin 

7

 + sin 

7

 =  1

2

 √7.

При n = 9, 10 проверка становится сложнее, при n ≥ 11 — практически неприподъёмной.

Ещё один момент. Тем, кто недоволен степенью общности суммы Гаусса  ζm² в сравнении с формулой (13) и хочет получить в замкнутом виде значение  ζkm² для всех kÎZ (достаточно рассмотреть случай взаимно простых k и n), советую обратиться к книге: С. А. Степанов. «Арифметика алгебраических кривых» (М., Наука, 1991, стр. 22 и далее) или непосредственно к работе самого Гаусса «Суммирование некоторых рядов особого вида», опубликованную в книге: К. Ф. Гаусс. «Труды по теории чисел» (М., Изд-во АН СССР, 1959, серия «Классики науки»). Тем, кто всё равно недоволен и хочет получить в замкнутом виде значение  ζkm²+lm для ненулевых kl Î Z, советую подождать ещё несколько страниц. назад к тексту

8.

Если функция  f (x) кусочно-дифференцируема, то в каждой точке x0 её ряд Фурье сходится к ½( f (x0+0) + f (x0–0)). Если добавить непрерывность, то сходимость превратится в сходимость к  f (x0). Одной непрерывности, как известно, мало. В этом случае ряд Фурье может и разойтись в некоторых точках. Для функций из L1 всё может быть ещё хуже. Цитата из Арнольда: «Фреше говорил мне в 1965 году:

— А-а, Колмогоров — это тот молодой человек, который построил суммируемую функцию с расходящимся почти всюду рядом Фурье?». :)

Кстати, и сам Колмогоров среди всех своих достижений особо выделял этот результат, вспоминая то предельное напряжение ума, которым сопровождалось построение такой функции. назад к тексту

9.

Этот способ — лишь один из многих возможных подходов такого рода. По-видимому, первым, кто доказал формулу (15) при помощи интегрирования по контуру, был Коши в 1840 году. В дальнейшем менялись аналитические функции и контуры, свои варианты доказательства дали Шаар (1848), Кронекер (1880), Ландсберг (1893), Морделл (1919), Зигель (1960) и, скорее всего, этот список далеко не полон. Эдвардс в своей книге «Последняя теорема Ферма» (М., Мир, 1980) особо отметил «очень интересное и простое» доказательство Морделла, но я, к сожалению, не смог найти эту статью: L. J. Mordell. On a simple summation of the series  e2s²πi/n. Messenger of Math., 48 (1919), pp. 54–56. назад к тексту

10.

Это не Анри Лебег (1875–1941), именем которого названы соответствующие мера и интеграл. И не его отец (тот был типографским рабочим и рано умер). Не знаю, являются ли родственниками оба Лебега-математика, но их фамилии пишутся одинаково — Lebesgue. назад к тексту

11.

Например, в книгах: С. Ленг. «Математические беседы для студентов» (Ижевск, РХД, 2000); А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. «Теоремы и задачи функционального анализа» (М., Наука, 1979). назад к тексту

12.

Например, в книгах: А. Гурвиц, Р. Курант. «Теория функций» (М., Наука, 1968); Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. «Курс современного анализа», т. 2 (М., Наука, 1963). назад к тексту

13.

Ещё одним, достаточно хрестоматийным примером на взаимность является пример Эйзенштейна: если натуральные числа n и m нечётны и взаимно просты, то
 n–1  m–1
 1 

 n

   tg (πmk/n)

tg (2πk/n)

  +    1 

 m

   tg (πnk/m)

tg (2πk/m)

  = 1 –   n2 + m2

2nm

.
 k=1  k=1

назад к тексту

14.

Множество всех собственных чисел (или спектр, такое название предложил Гильберт) матрицы U:

spec U = {±1, ±i};       #(+1) = 
é
ë
 n

4

ù
û
 + 1,   #(–1) = 
é
ë
n + 2

4

ù
û
 ,   #(+i) = 
é
ë
n + 1

4

ù
û
 ,   #(–i) = 
é
ë
n – 1

4

ù
û
 ;

можно записать компактней, потеряв, правда, при этом наглядность и простоту: {1; i –k, k = 2, n}. назад к тексту

15.

Или полистать книги: Р. Беллман. «Введение в теорию матриц» (М., Наука, 1976); Ф. Р. Гантмахер. «Теория матриц» (М., Наука, 1988); Г. Е. Шилов. «Математический анализ. Конечномерные линейные пространства» (М., Наука, 1969). назад к тексту

16.

Любимый вопрос: что можно сказать о собственных векторах единичной матрицы n×n? Чего только не доводилось услышать в ответ! :) назад к тексту

17.

Это обратимое свойство: матрица нормальна Û из её собственных векторов можно собрать ортонормированный базис. Аналоги: 1) матрица эрмитова Û вдобавок к ортонормированному базису из собственных векторов все её собственные числа вещественны; 2) матрица унитарна Û вдобавок к ортонормированному базису из собственных векторов все её собственные числа по модулю равны единице. назад к тексту

18.

В книгах по теории чисел это обычно записывается в виде (n1n2) = 1 или Н.О.Д.(n1n2) = 1, т.е. наибольший общий делитель чисел n1, n2 равен 1. В «Конкретной математике» предлагается такое свойство записывать более эффектно: n1 ^ n2. назад к тексту

19.

Я слегка сгущаю краски. Выход есть, хотя и не простой. Точнее, для простых чисел он простой, а для степеней простых — не простой. :) Ещё точнее: пусть p — нечётное простое число (для p = 2 мы уже всё сделали), тогда существует первообразный корень по модулю p, задачу нахождения собственных векторов матрицы Up можно свести к преобразованию свёртки, затем перейти к циклической матрице (циркулянту), для которой собственные числа и векторы хорошо известны (см., например, задачу № 1032 (k) у Фаддеева–Соминского). В вопросах, связанных с ДПФ, этот подход известен как алгоритм Рейдера. Для Upα получается соответственно обобщённый алгоритм Рейдера, требующий разбиения матрицы Upα на блоки. Подробности можно найти в уже упоминавшейся книге Блейхута. Там, правда, эти вопросы рассматриваются под несколько другим углом, но разобраться и «устроить перевод» под наши нужды не трудно. Впрочем, почти наверное существует какая-нибудь публикация, где прямым текстом говорится о том, что алгоритм Рейдера примени́м к задаче нахождения собственных векторов матрицы Up и рассказывается как это сделать, просто она мне на глаза не попадалась.

В качестве иллюстрации приведу ответ для Up, где p — простое число вида 4m + 1. Я сделаю это без излишней зауми, а вы попробуйте с его помощью разобрать до конца случай U5.

Сначала приготовление ингредиентов, необходимых для записи ответа.

  1. Находим максимальное число q Î 1, p–1, которое удовлетворяет сравнению q2 ≡ –1(mod p).
  2. Строим множество K = {k Î 1, 2m | 1 ≤ qk(mod p) ≤ 2m}. В нём будет m чисел.
  3. Находим число r Î 1, p–1, которое удовлетворяет сравнению r ≡ q·(2)–1(mod p). Здесь целое число (2)–1 — это решение сравнения 2x ≡ 1(mod p).

Теперь сам ответ. Если p = 4m + 1, то #(+1) = m + 1, #(–1) = #(+i) = #(–i) = m. Определим p-мерный вектор h = (h(0), h(1), ..., h(p–1))t с компонентами
 3
h(x) =   1

 2√ p

    λlexp  ( i

p

 (rx2 + qlkx) +  πi

p

  q2l – 1

q2 – 1

 qk2 ) ,
l=0

зависящими от параметров λ и k. Тогда для каждого λ Î {±1, ±i} и каждого k Î K получается собственный вектор (по m штук на λ), а ещё один собственный вектор для λ=1 получается при

h(x) =   1

  p

 exp  ( i

p

 rx2 ) .

Отмечу, кстати, что построенная система собственных векторов ортонормальна (ну, единичная нормировка — это ладно, а вот то, что ортогональность имеет место для собственных векторов не только из разных подпространств, но и внутри каждого подпространства — это интересно). назад к тексту

20.

V. B. Matveev. Interwining relations between the Fourier transform and discrete Fourier transform, the related functional identities and beyond. Inverse Problems, 17 (2001), pp. 633–657. Есть и электронная версия:

www.iop.org/EJ/article/0266-5611/17/4/305/ip1405.pdf

назад к тексту
21.

Об этом лучше всего написано у Титчмарша в книге «Введение в теорию интегралов Фурье» (М.–Л., Гостехиздат, 1948). назад к тексту

22.

См., например, А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. «Элементы теории функций и функционального анализа» (М., Наука, 1976) или уже упоминавшегося Титчмарша.

источник: Квант, 1974, № 1, с.7. 
С. М. Полоснов, А. Н. Колмогоров и
С. В. Фомин в Карпатах (1955 г.).

назад к тексту
23.

Если концепция проекционного оператора кажется новой и непривычной, то можно на первых порах проводить аналогию с проекциями вектора r = xi + yj + zk из R3 на оси координат. Определяем операторы

Pi: rxi,     Pj: ryj,     Pk: rzk,

или в координатной форме записи

Pi: (xyz) → (x, 0, 0),     Pj: (xyz) → (0, y, 0),     Pk: (xyz) → (0, 0, z).

Тогда E = Pi + Pj + Pk. Кроме того,

Pi2 = Pi,     Pj2 = Pj,     Pk2 = Pk,     PiPj = PjPk = PkPi = 0.

назад к тексту

24.

Решить систему уравнений можно весьма элегантно. Так как {±1, ±i} = {im, m = 0, 3}, то
 3
 F k    λkPλ    i kmPim.
λÎspec F m=0

Поскольку i = ei/4 — корень четвёртой степени из единицы, то, вспоминая прямое и обратное ДПФ,
 n–1 n–1
 yk    eikm/xm     (k = 0, n–1)     и     xm 1

 n

   e–2πikm/yk     (m = 0, n–1),
m=0k=0

получаем
 3
 Pim 1

4

   i –kmF k     (m = 0, 3).
k=0

Можно было бы обсудить аналогичные результаты для операторов, некоторая степень которых (не обязательно четвёртая) есть тождественный оператор. Можно было бы пойти ещё дальше и рассмотреть унитарные операторы вообще и спектральные разложения вообще, но сейчас мы в такой «поход» не пойдём. Для любознательных и желающих отправиться в него самостоятельно в качестве путеводителя посоветую книгу: Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. «Лекции по функциональному анализу» (М., Мир, 1979). Замечу, кстати, что полученный в (32) способ конструирования собственных функций оператора Фурье для λ=1 — это с точностью до множителя просто P+1 f (x). назад к тексту


Hosted by uCoz