Стефан  Банах

Стефан Банах родился 30 марта 1892 года в Кракове. Его отец носил фамилию Гречек, был чиновником в краковском управлении железной дороги и происходил из горской семьи села Йорданова. Никто точно не знает истории детских лет Банаха, но известно, что сразу после рождения он был отдан на воспитание прачке по фамилии Банахова, проживавшей в мансарде на улице Гродзкой (дом № 70 или 71). С этого времени он уже никогда больше не встречался со своей матерью, так что, собственно говоря, совсем её не знал. Отец тоже о нём не заботился, так что с 15 лет Банах перестал получать систематическое образование, но с большой охотой брал частные уроки математики. [Комментарий В.Д.Мильмана по поводу таких пробелов в биографии. И вопрос после сравнения текстов: так «брал частные уроки» или «подрабатывал частными уроками»? — E.G.A.] Математику он изучал самостоятельно и ещё в гимназии читал французскую книгу Таннери о теории действительных функций; неизвестно, откуда он знал французский язык. Перед Первой мировой войной он посещал лекции Станислава Зарембы в Ягеллонском университете, но нерегулярно и недолго, после чего перешёл во Львовский политехнический институт, где сдал так называемый «первый экзамен», подтверждающий два первых года обучения по инженерной специальности. Когда в 1914 году началась мировая война, он вернулся в Краков. Проходя летним вечером 1916 года по бульвару, я услышал разговор, а скорее всего несколько слов; слова «интеграл Лебега» были так неожиданны, что я подошёл к скамейке и познакомился с беседующими. О математике говорили Стефан Банах и Отто Никодим, которые сказали мне, что их 319  третьим компаньоном является Вилкош. Эту тройку объединяла не только математика, но и безнадёжность положения молодых людей в крепости (какой был в то время Краков), неуверенность в завтрашнем дне, отсутствие оплачиваемой работы и потеря контакта не только с заграничными, но даже и с польскими учёными. Такова была краковская атмосфера в 1916 году, но это не мешало троице просиживать в кафе и решать задачи в гомоне и толчее — Банах шума не избегал, а даже (неизвестно почему) охотно выбирал столики поближе к оркестру.

Мечтой Банаха была должность ассистента математики во Львовском политехническом институте, и она осуществилась в 1920 году, когда Антоний Ломницкий предоставил Банаху желанную должность. Банах уже тогда был автором работы о сходимости в среднем частичных сумм рядов Фурье. Эту задачу поставил ему я ещё в 1916 году, когда познакомился с ним на краковских бульварах. До этого я долгое время пытался решить её сам, так что велико было моё удивление, когда Банах получил отрицательный ответ, который сообщил мне через несколько дней с некоторой оговоркой (она заключалась в незнании примера Дюбуа-Реймонда). Нашу совместную заметку С. Заремба представил Краковской Академии с большой задержкой, так что вышла она датированной 1918 годом.

С момента прибытия во Львов положение Банаха радикально изменилось. Он стал материально обеспеченным, женился и поселился в университетском здании на улице Св. Николая. В 1922 году в III томе Fundamenta Mathematicae появилась его докторская диссертация: «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales», c. 133–181.

Это была седьмая работа Банаха, а первая была посвящена теории линейных операций. В том же году состоялась его защита. В отношении Банаха не были соблюдены университетские традиции — ему присудили докторскую степень (хотя он не имел законченного образования) и сразу после защиты дали должность профессора в возрасте 30 лет. Не было недостатка в признании и с других сторон. В 1924 году Банах стал членом-корреспондентом Польской Академии наук, в 1930 году получил премию г. Львова, а в 1939 году он стал лауреатом большой премии Академии. Сегодня 320  трудно понять, почему в той же Академии не нашлось кресла для мальчишки с краковской улицы, но львовские математики сразу поняли, что Банах прославит польскую математику. До его прихода львовской школы не существовало в буквальном смысле этого слова, поскольку Серпиньский вскоре после Первой мировой войны вернулся в Варшаву, откуда его прогнала война, а вскоре после этого умер Зигмунд Янишевский. В межвоенное двадцатилетие львовская школа завоевала признание в первую очередь за счёт теории операторов, ибо на этом поле выросли её главные достижения. Банах занялся линейными функционалами, такими как интеграл. Он показал, что понятие интеграла можно расширить так, чтобы оно охватило все функции, сохраняя свойства, постулированные Лебегом; на самом деле это понятие неэффективно, но доказательство его существования и вывод (Fund. Math., 1923) свидетельствуют о силе Банаха. Основной его работой является книга о линейных операторах. Изданная в 1932 году в виде первого тома Monografie Matematyczne (Варшава, VII + 254 с.), сегодня она во всём математическом мире известна под названием «Théorie des opérations linéaires». Её успех основан на том, что, благодаря так называемым «банаховым пространствам», можно получать в общем виде решение многих задач, которые до того требовали специальной трактовки и немалой сообразительности. Были и другие математики, большие и малые, которые до Банаха пытались создать теорию операторов. Я помню, как известный гёттингенский математик Эдмунд Ландау высказался о книге «Operazioni distributive», которую написал Пинчерле: «Пинчерле написал книгу, в которой не доказал ни одной теоремы» — и это действительно было так. Но были также и более крупные конкуренты. Прочитаем, что пишет создатель кибернетики Норберт Винер в своей автобиографии, изданной в Лондоне в 1956 году (под названием «I am a mathematician»). Он упоминает там Фреше, который первым привёл вид линейного функционала в пространстве L², но не отважился на создание системы постулатов, определяющих такое общее пространство, чтобы L² было только одним из многих в нём. Эту заслугу Винер приписывает себе самому. Он рассказывает, как Фреше, гостем которого был Винер в Страсбурге в 1920 году по случаю математического конгресса, показал 321  ему в «каком-то польском математическом издании» статью Банаха; Фреше был возмущён тем фактом, что Банах на несколько месяцев раньше Винера привёл систему аксиом бесконечномерного векторного пространства, идентичную системе Винера. «Таким образом, — говорит Винер, — через некоторое время новая теория стала называться теорией пространства Банаха–Винера, но я написал об этом ещё пару раз и впоследствии отказался от своего имени — в настоящее время это пространство по справедливости называется именем только одного Банаха...» После этого признания Винер несколько страниц своей автобиографии посвящает данной коллизии и объясняет, почему он покинул поле сражения: ему казалось, что теория Банаха является формализмом, который не оправдывается изобилием нетривиальных теорем, до того времени неизвестных, а затем он признаётся, что ошибся, поскольку спустя 34 года, прошедших со страсбургского конгресса, теория Банаха всё ещё популярна как инструмент анализа и «только теперь начинает в полной мере проявлять свою эффективность в качестве научного метода». Слава Банаха дошла до Соединённых Штатов ещё до появления «Opérations linéaires». Уже в 1934 году в Bulletin of the American Mathematical Society (40, с. 13–16) Я. Д. Тамаркин в рецензии на книгу Банаха писал: «Она представляет собой заслуживающую внимания climax (кульминацию) долгой серии исследований, начатых Вольтеррой, Фредгольмом, Гильбертом, Адамаром, Фреше и Риссом, и успешно продолженных Стефаном Банахом и его учениками». И далее: «Теория линейных операций уже сама по себе является захватывающей областью, но её важность подчёркивают многочисленные и красивые применения». Один из наиболее способных учеников Банаха, Станислав Улам, так пишет в некрологе, опубликованном в июле 1946 года в Bulletin of the American Mathematical Society (52, с. 600–603): «Недавно пришло известие, что вскоре после войны в Европе умер Банах, работы которого нас очень интересовали. Действительно, в одном из основных направлений его деятельности, а именно в теории линейных бесконечномерных пространств, 322  американская школа продвинулась вперёд и добивается всё более важных результатов. Это был изумительный перебежчик научной интуиции, который объединил усилия многочисленных польских и американских математиков в этой области...». И далее: «Работа Банаха впервые в общем случае подчеркнула успех метода геометрического и алгебраического подхода к проблемам линейного анализа, выйдя далеко за рамки скорее формального открытия Вольтерры, Адамара и их последователей. Его результаты охватывают более общее пространство, чем работы таких математиков, как Гильберт, Э. Шмидт, фон Нейман, Рисс и другие. Многие американские математики, особенно молодые, применили эти идеи к геометрическому и алгебраическому изучению линейных функциональных пространств, а эта работа (1946) продвигается всё энергичнее и даёт важные результаты».

Пожалуй, только этих мнений известных учёных (один из которых сыграл значительную роль в расчётах термоядерной реакции) достаточно для доказательства того, что Банах смог занять ведущее место в истории развития чрезвычайно важного и нового раздела анализа и войти в ряд известных математиков, работавших в этом направлении.

От себя лично, как свидетеля работы Банаха, я позволю добавить, что ясность мышления Банаха Казимеж Бартель однажды назвал «даже неприятной...». Он никогда не рассчитывал на счастливый случай, на то, что в данную минуту вдруг исполнятся его ожидания, и охотно говорил, что «надежда — мать глупцов». Это пренебрежение оптимизмом он применял не только в математике, но также и в политических пророчествах. Он был схож с Гильбертом в том, что набрасывался на задачу напрямую — отбрасывая все окольные пути и концентрируя усилия на центральном направлении, ведущем прямо к цели. Банах верил, что логический анализ проблемы должен напоминать шахматный анализ трудной позиции и приводить к точному доказательству или к опровержению утверждения.

Значение Банаха не ограничивается тем, чего он сам добился в теории линейных операций, в списке его 58 публикаций можно найти как работы, написанные совместно с другими математиками, так и его собственные работы, относящиеся к другим областям. 323  К обеим этим категориям принадлежит работа о разбиении множеств на смежные части, написанная совместно с Тарским (Fund. Math., 1924, 6, с. 244–277). Решение этой задачи напоминает школьный метод доказательства теоремы Пифагора путём разрезания большого квадрата на части, из которых можно сложить два малых квадрата. Результат для трёхмерного пространства является неожиданным — шар можно разложить на несколько частей, таких что из них можно образовать два шара, причём каждый из них будет таким же большим, как исходный шар! На меня особое впечатление произвела небольшая работа в Proceedings of the London Mathematical Society (21, с. 95–97). Задача заключается в нахождении ортогональной системы, полной в L², но не полной в L. Банах выбирает интегрируемую (L) функцию  f (t),

1
∫	f (t) dt = 1,
0

но такую, что

1
∫	f 2(t) dt = ∞,
0

обозначает через {φ_n(t)} последовательность всех тригонометрических функций {cos nt, sin nt} и определяет числовую последовательность {c_n} соотношением

1
∫	f (t)φn(t) dt = cn.
0

Если мы теперь определим последовательность {ψ_n(t)} как ψ_n(t) = φ_n(t) – c_n, то из этого будет следовать

1
∫	f (t)ψn(t) dt = 0
0

для всех n. Ортонормируя последовательность {ψ_n(t)}, мы получим искомую последовательность {γ_n(t)}. Остроумие доказательства основано на том, что вспомогательная последовательность {φ_n(t)} не имеет того свойства, которое требуется от искомой последовательности. Известна также работа, посвящённая сходимости функционалов, начатая одним из коллег Банаха, обобщённая Банахом и доведённая Ст. Саксом до окончательного вида (Fund. Math., 1927, 9, с. 50–61). Банах интересовался также проблемой компланации (т.е. определением понятия площади кривых поверхностей), его определение является очень удачным и всё ещё остаётся предметом исследований (например, во Львове этим занимается проф. Кованко). В этой задаче, к сожалению, никто не умеет привести той принципиальной леммы, которая 324  необходима для того, чтобы доказать соответствие банахова определения классическим. С сожалением надо ещё раз подтвердить, что многие ценные результаты Банаха и его школы пропали (с большим ущербом для польской науки) из-за педантизма адептов этой школы, и прежде всего самого Банаха. Красива была также его идея замены классического определения колебания функции y = f (x) другим, более соответствующим эпохе Лебега, а именно с помощью интеграла

∞
∫	L(η) dη,
–∞

где L(η) означает число пересечений кривой y = f (x) прямой y = η. Возможно, присутствующим будет интересно узнать, что этот подход имеет практическое значение — например, позволяет быстро рассчитать в «злотоднях» банковские кредиты, выдаваемые в заводских магазинах в виде сырья, ожидающего переработки.

Не буду больше говорить о многочисленных и важных позициях списка работ создателя львовской школы и основателя журнала Studia Mathematica, сыгравшего немалую роль в развитии этой школы и в истории теории линейных операторов, а предпочту вернуться к личности Банаха и его непосредственному влиянию на окружение. Банах стал профессором в 1927 году, но ни до этого, ни после он не был профессором в академическом смысле этого слова. Он великолепно читал лекции, никогда не углубляясь в детали и не загромождал таблицы сложными и многочисленными обозначениями. Он не заботился о безупречности словесной формы, ему чужд был всякий гуманитарный глянец, и в течение всей жизни он сохранил некоторые черты краковского хулигана в способе существования и в речи. Письменное изложение мысли доставляло ему большие трудности. Свои рукописи он писал на больших страницах, вырванных из тетради; когда надо было изменить часть текста, он вырезал ненужные места и подклеивал части чистой странички (на которых писал новые версии), поэтому без помощи друзей и помощников первые работы Банаха никогда не дошли бы до типографии. Писем он почти совсем не писал и не отвечал на запросы в письменном виде. Он не увлекался логическими исследованиями, хотя отлично понимал их. Его не привлекали также практические применения математики, 325  хотя, несомненно, он мог бы ими заняться, если бы захотел — ведь спустя год после получения степени доктора он читал лекции по механике в политехническом институте. Он говорил, что математика отличается специфической красотой, и её никогда не удастся свести к жёсткому дедуктивному методу, потому что рано или поздно она прорывает каждую формальную границу и создаёт новые принципы. Определяющей для него была ценность математических теорий, но не утилитарная, а самобытная. Его заграничные конкуренты по теории линейных операторов трактовали пространство слишком обобщённо, вследствие чего получали только банальные результаты, либо слишком много основывали на этих пространствах, сводя сферу их применения к немногочисленным и искусственным примерам — гений Банаха проявился в нахождении золотой середины. Это умение проникать в суть вопроса характеризует Банаха как прирождённого математика.

Банах умел работать всегда и везде. Он не привык к удобствам и не требовал комфорта, поэтому ему вполне хватало профессорского жалованья. Но пристрастие к посещениям кафе и полное отсутствие обывательской бережливости и планомерности в повседневных делах загнали его сперва в долги, а в конце концов в очень трудное положение. Желая из него выбраться, он занялся написанием учебников. Так появилось «Rachunek różniczkowy i całkovy» (Дифференциальное и интегральное исчисление) в двух томах, из которых первый был выпущен издательством Оссолиньских (1929, 294 с.), а второй издательством Książnica-Atlas (1930, 248 с.). Этот учебник написан сжато и понятно, и он пользовался и сегодня ещё пользуется популярностью среди студентов первых лет обучения в высших учебных заведениях. Больше всего времени и сил отняло у Банаха написание учебников арифметики, алгебры и геометрии для средних школ, которые он писал сам или в соавторстве с Серпиньским и Стожеком. Его учебники ни в коем случае не были копированием существующих школьных книг, так как Банах (благодаря своему опыту репетитора) полностью отдавал себе отчёт в том, что каждое определение, каждый вывод и каждая задача чрезвычайно важны для автора школьного учебника, который беспокоится о дидактической ценности. 326  По моему мнению Банаху не хватало только одного из множества талантов, необходимых авторам школьных учебников: пространственного воображения. Продуктом опыта, приобретённого во время многократных лекционных курсов по механике в политехническом институте, стала «Mechanika w zakresie szkól akademickich» (Механика в объёме академических учебных заведений) (Monografie Matematyczne 8, 9). Этот двухтомный курс, изданный впервые в 1938 году, был переиздан в 1947 году, а несколько лет назад вышел его перевод на английский язык.

Чтобы оценить значение Банаха для науки в целом, а для польской науки в первую очередь, необходимо перечислить имена его учеников. Мы здесь видим нескольких из них. Мазур и Орлич являются непосредственными учениками Банаха: они представляют сегодня в Польше теорию операторов, их имена на обложке Studia Mathematica свидетельствуют о прямом продолжении банаховой научной программы, которая нашла явное выражение в этом издании. Станислав Улам, который обязан Куратовскому занятиями математикой, после получения степени доктора также вошёл в орбиту Банаха. Банах, Мазур и Улам когда-то занимали самый лучший столик в так называемом шотландском кафе города Львова, и именно там проходили те заседания, о которых Улам пишет в уже цитированном некрологе: «it was hard to outlast or outdrink Banach during these sessions» (трудно было пересидеть или перепить Банаха во время этих заседаний). А было даже совещание, которое продолжалось 17 часов — его результатом явилось доказательство одной важной теоремы в пространстве Банаха, — но никто его не записал, и сегодня уже никто не способен его воспроизвести... вероятно, поверхность столика со следами химического карандаша после этого совещания, как обычно, была вытерта уборщицей кафе. Такая судьба постигла не одну теорему, доказанную Банахом и его учениками. Огромной заслугой г-жи Люции Банаховой, которая ныне покоится на вроцлавском кладбище, было то, что она купила толстую тетрадь в твёрдой обложке и вручила её хозяину шотландского кафе. В тетради на первых страницах записывались вопросы и задачи, с тем чтобы возможные ответы когда-нибудь могли быть вписаны на свободных местах рядом с текстом вопросов. Оригинальная 327  «шотландская книжка» предоставлялась по первому требованию каждому математику, посещавшему кафе, а за решение некоторых предложенных в ней проблем было даже обещано вознаграждение, которое варьировалось от небольшой чернильницы до живого гуся. Тот, кто сегодня снисходительно улыбается, когда слышит о таких способах занятия математикой, пусть поймёт, что — согласно мнению Гильберта — формулировка проблемы есть половина её решения, а список нерешённых и выдвинутых проблем заставляет искать ответы и является вызовом для всех, желающих испытать себя. Именно подобное состояние умственной боевой готовности и создаёт научную атмосферу. Среди учеников Банаха, которые погибли от рук убийц в мундирах со свастикой, несомненно самым выдающимся был Павел Юлиуш Шаудер, лауреат международной премии имени Метаксаса, присуждённой ему и Лере ex aequo (поровну). Именно Шаудер увидел, какое значение может иметь банахово пространство для краевых задач дифференциальных уравнений в частных производных. Трудность заключалась в подборе соответствующих норм, но Шаудер её преодолел, и, благодаря этому молодому учёному, пальму первенства в такой классической теории, как дифференциальные уравнения в частных производных, делят между собой Франция и Польша.

На более позднюю деятельность Банаха свою мрачную тень бросила Вторая мировая война. В 1939–1941 годах он был деканом во Львовском университете и даже членом-корреспондентом Киевской Академии, а после вторжения немцев (в конце июня 1941 года) стал кормить вшей в бактериологическом институте Вейгля. Несколько недель он провёл в тюрьме, когда в его квартире застали людей, занимавшихся контрабандой немецких марок. Впрочем, пока решался его вопрос, он в тюрьме смог доказать одну новую теорему...

Банах прежде всего был математиком. Его мало интересовали политические вопросы, хотя он имел проницательный взгляд на любую актуальную ситуацию, в которой ему приходилось находиться. Природа не производила на него никакого впечатления, а искусство, литература, театр были для него второстепенными развлечениями и выпадали ему очень редко, во время кратких перерывов в работе — зато он ценил сплочённый рюмкой коллектив 328  друзей. Концентрация всей его умственной энергии в одном направлении не знала никаких преград. Он не обольщался надеждой и прекрасно знал, что среди людей есть всего лишь небольшой процент тех, кто способен понять математику. Однажды он сказал мне: «Знаешь, друг, что я тебе скажу? Гуманитарные науки в средней школе важнее математики — математика это острый инструмент, он не для детей...».

Было бы ошибкой представлять Банаха мечтателем, неряхой, апостолом или аскетом. Это был реалист, который даже физически не напоминал кандидатов в святые или хотя бы в святоши. Не знаю, существует ли сейчас, но наверняка ещё 25 лет назад существовал идеал польского учёного, созданный не столько по наблюдениям настоящих учёных, сколько исходя из духовных потребностей той эпохи, выразителем которой был Стефан Жеромский. Такой учёный должен был вдали от мирских утех работать для неясно определённого «общества», причём ему заранее прощалась даже безрезультатность этой работы, невзирая на то, что в других странах учёных оценивают не по степени их отречённости от жизни, а по их реальному вкладу в науку. Польская интеллигенция ещё между двумя войнами находилась под впечатлением этого мученического идеала, но Банах никогда ему не был подвластен. Он был здоровым и сильным, был реалистом вплоть до цинизма, а польской науке, особенно математике, сумел дать больше любого другого. Он лично больше всех остальных способствовал развенчанию ошибочного мнения, что в научной конкуренции недостаток гениальности (или, хотя бы, только недостаток таланта) можно заменить какими-то иными качествами, которые, впрочем, отличаются тем, что их трудно подтвердить. Банах отдавал себе отчёт в своей значимости и в том, какие ценности он создал. Он подчёркивал свое горское происхождение и довольно пренебрежительно относился к типу общеобразованного интеллигента без портфеля.

Он дождался во Львове поражения немцев, но скончался вскоре после этого, 31 августа 1945 года. Его похоронили за счёт Украинской Республики. Его именем названа одна из вроцлавских улиц. Собрание его работ издано Польской Академией наук. 329 

Самой главной заслугой Банаха является преодоление и разрушение до основания комплекса неполноценности поляков от ощущения своего низкого уровня в точных науках, маскирующегося возвышением посредственных личностей, Банах этому комплексу никогда не был подвержен — он соединял в себе искру гениальности с каким-то внутренним императивом. Он как бы постоянно слышал слова поэта: «Il n'y que la gloire ardente du métier!» (П. Верлен: «Есть только одно — пылкая слава ремесла!») — а математики хорошо знают, что их ремесло сродни поэзии и её секретам... 330