| УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК | |
Дорогой председатель и друг, дамы и господа!
Благодарю вас за теплые слова, сказанные вами по моему адресу. Со своей стороны я должен сказать вам, с каким удовольствием я отложил на неделю свои заботы декана, чтобы провести эти дни в вашем теплом дружеском кругу. Традиции научной дружбы, в частности, математической, между французами и румынами очень стары, и я счастлив, что могу внести свой вклад в развитие этих традиционных связей, которые, я надеюсь, будут становиться все более тесными и сердечными. С вашего разрешения, я прочитаю вам не очень, может быть, длинную лекцию, а затем с удовольствием отвечу на вопросы, которые, без сомнения, вы мне зададите. Я не претендую на то, чтобы изложить всю историю деятельности Бурбаки, и оставляю всем вам возможность задавать вопросы по тем сторонам этой деятельности, которых я лишь слегка коснусь в докладе.
Для того чтобы понять возникновение Бурбаки, вероятно, надо вернуться ко времени, о котором только что напоминал М. Николеску – к годам, когда мы были еще студентами, к годам после войны 1914 года, которая для французских математиков была, можно сказать, очень трагичной. Я не собираюсь ни осуждать, ни делать какие-либо моральные выводы из того, что произошло в то время. В годы великого конфликта 1914–1918 г. немецкое и французское правительства по-разному понимали задачи науки. В то время как немцы заставляли своих ученых очень много работать над повышением военного потенциала, использовали их открытия и изобретения для того, чтобы применить в бою, французы, по крайней мере в самом начале и в течение одного-двух лет войны, в демократическом духе и в патриотическом порыве, который можно лишь уважать, считали, что все без исключения должны быть на передовой линии. Молодые ученые, как и все французы, выполняли свой долг на линии фронта. Результатом были ужасные потери среди молодых французских ученых, и когда перелистываешь списки выпускников Нормальной Школы, то видишь множество черных заглавных букв, означающих, что две трети выпускников Школы было скошено войной. Это обстоятельство имело пагубные последствия для французской математики. Эти выпускники должны были бы стать руководителями для нас, молодых, – слишком молодых, чтобы быть непосредственно затронутыми войной, поступивших в университет в первые послевоенные годы. Некоторые из них, мы в этом уверены, дали бы значительно больше, чем только надежды, но были безжалостно уничтожены, а вместе с этим было разрушено и их влияние на нас. Конечно, оставались люди старшего поколения, большие ученые, которых мы все почитаем. Я имею в виду таких ученых, как Пикар, Монтель, Борель, Адамар, Данжуа, Лебег и другие, оставшихся в живых, полных активности, но это были математики, которым было около пятидесяти лет или значительно больше. Был, таким образом, провал в одно поколение между нами и ими. Я не хочу сказать, что они нас не обучали первоклассной математике. Мы все прослушали, господин Николеску свидетель этому, блестящие лекции этих математиков. Однако неоспоримо, и это было во все времена, что 50-летний математик хорошо знает ту математику, которую он изучал в 20–30-летнем возрасте, но зачастую имеет несколько смутное представление о математике того времени, когда ему уже 50 лет. С этим фактом надо согласиться, и здесь мы ничего изменить не можем. В то время у нас были блестящие преподаватели, обучавшие нас, скажем, математике до 1900 г. О том же, что было после 1900 г., мы знали немного, в то время как у немцев, как я только что сказал, все шло иначе и настолько хорошо, что немецкая математическая школа в первые послевоенные годы развивалась исключительно сильно. Достаточно вспомнить таких математиков первой величины, прославивших эту школу, как Зигель, Э. Нётер, Е. Артин, Круль, Хассе и других. Мы во Франции ничего этого не знали. Мы не представляли не только того, чем занимались немцы, но и чем занимались математики быстро развивающейся русской математической школы, математики только что родившейся и очень ярко вспыхнувшей польской математической школы и многое другое. Мы не знали того, что сделал Рисс, что сделал фон Нейман и другие. Мы в какой-то мере оставались в замкнутом кругу интересов, где царила теория функций. Не считая непонятного Эли Картана, на 20 лет опередившего свое время (первым после Пуанкаре его понял Герман Вейль и в течение 10 лет он был единственным человеком, понимавшим Картана и, конечно, не мы, бедные маленькие студенты, могли его понять), кроме Картана, не понятого в то время (это обнаружилось лишь через 20 лет, несмотря на все возрастающее его влияние), мы замкнулись на теории функций, очень важной, конечно, но представляющей собой лишь часть математики. Единственным окном за эти пределы в то время был семинар Адамара. Адамар, работавший после войны преподавателем колледжа Франции, вместо того, чтобы читать лекции (он не перегружал себя этой работой, так как, будучи большим ученым, он не был блестящим лектором), решил (позаимствовав, по-видимому, иностранный опыт, поскольку во Франции это, как мне кажется, никогда не делалось) организовать семинар по новым математическим работам. В начале года он распределял среди тех, кто хотел этим заниматься, только что появившиеся научные статьи, которые он считал наиболее важными, с тем, чтобы они были изложены на доске. В те времена это было чем-то новым, крайне драгоценным для нас, поскольку мы там встречались с самыми разнообразными математиками. Очень быстро этот семинар стал центром притяжения для иностранцев, толпой валивших на него (господин Оницеску напомнил мне, что он сам несколько раз делал доклад в Париже на семинаре Адамара). Для нас, молодых студентов, это был источник познания и, одновременно, общий обзор по многим разделам математики, не входившим в формальные курсы, которые нам читали в университете. Так продолжалось несколько лет – до тех пор, пока некоторые из нас, начиная с А. Вейля, затем Шевалле, побывавших за границей в Италии, Германии, Польше и других странах, заметили, что если продолжать идти в том же направлении, то Франция может оказаться в тупике. Мы продолжали бы, без сомнения, занимать блестящее положение в теории функций, но во всем остальном о французских математиках уже не говорили бы. Это противоречило бы многовековой традиции Франции, поскольку, начиная с Фермá и кончая Пуанкаре, крупнейшие французские математики пользовались репутацией универсальных математиков, способных хорошо работать в арифметике, алгебре, анализе и геометрии. Таким образом, мы начали с того, что узнали о столкновении идей, рождавшихся вне Франции, и многие из нас получили возможность учиться и видеть в каком состоянии там находится развитие науки. После отставки Адамара в 1934 г. его семинар в несколько иной форме продолжил Г. Жюлиа. Мы занялись более систематическим изучением больших новых идей, приходивших к нам отовсюду. И именно в связи с этим родилась мысль заняться подготовкой общего труда, который уже не в форме семинара, а в виде книги охватывал бы основные идеи современной математики. Именно это породило трактат Бурбаки. Должен сказать, что сотрудники Бурбаки в то время были очень молоды. Они, без сомнения, никогда не начали бы эту работу, если бы не были так молоды и, в особенности, если бы они в то время не были так невежественны. При первом обсуждении проекта этого труда казалось, что все будет закончено года через три и что за это время будет составлен обзор по наиболее существенным разделам математики. Однако дальнейшие события и история решили по-иному: мало-помалу, став более компетентными и не столь неграмотными, мы поняли необъятность нашей задачи и потеряли надежду выполнить ее в столь короткий срок, как намечалось.
В то время уже существовали прекрасные монографии, и я должен отметить, что вначале блестящий трактат по алгебре Ван-дер-Вардена служил для Бурбаки моделью. Не следует преуменьшать заслуги Ван-дер-Вардена, но в предисловии к книге он сам говорит, что его трактат имеет много авторов, в том числе Э. Нётер и Е. Артин, так что это было чем-то вроде еще не написанного труда Бурбаки. Этот трактат произвел большое впечатление. Я еще помню (будучи в 1930 г. в Берлине, я в то время подготавливал к защите свою диссертацию) тот день, когда в книжном магазине появился трактат Ван-дер-Вардена. Я тогда ничего не знал об алгебре, без которой сейчас меня не приняли бы на первый курс университета, накинулся на эти тома и был поражен открывшимся передо мной новым миром. В то время мои познания по алгебре были не больше вводного курса математики: определители, какие-то крохи по поводу решения уравнений и уникурсальных кривых. Я не имел понятия об идеале, едва представлял себе группу – и это будучи выпускником Нормальной Школы! Это может дать вам представление о математических познаниях молодых французских математиков в 1930 г. Мы пытались следовать Ван-дер-Вардену, но он охватывал только алгебру и даже лишь небольшую часть современной алгебры. (С того времени алгебра существенно развилась, отчасти под влиянием труда Ван-дер-Вардена, являющегося и сейчас прекрасным введением в алгебру. Меня часто спрашивают, с чего начинать изучение алгебры, и в большинстве случаев я отвечаю: несмотря на все, что сделано за это время, читайте прежде всего Ван-дер-Вардена.) Итак, мы хотели сделать что-то в духе Ван-дер-Вардена, отличавшегося, как вы это знаете, исключительной точностью языка, исключительной сжатостью в изложении развития идей и разнообразием частей книги. Так как этот способ изложения нам показался наилучшим, мы его положили в основу изложения многочисленных вещей, ранее никем серьезно не затронутых. Вся общая топология содержалась лишь в нескольких заметках и в книге Фреше, по существу, компиляции огромного числа совершенно не упорядоченных результатов. То же самое я могу сказать о книге Банаха, прекрасной для исследований, но совершенно беспорядочной. По другим же вопросам, таким, как интегрирование (как оно представлено у Бурбаки), или по некоторым вопросам алгебры, вообще не было ничего. Мне кажется, что до появления трактата Бурбаков во всем мире была только одна работа дидактического характера по мультилинейной алгебре, в которой объяснялось, что же представляет собой внешняя алгебра. Надо было обращаться к работам Грассмана, не отличавшимся особой ясностью. Таким образом, мы быстро поняли, что оказались втянутыми в значительно более сложную работу, чем это могли себе представить, в работу, которая, как вы это знаете теперь, еще очень далека от завершения. У меня в чемодане лежат оттиски 34-го тома, посвященного трем главам теории групп Ли; имеются и другие – много других, вышло 3 или 4 неплохих издания предыдущих томов, а работе еще не видно конца.
Надо было иметь начальную идею, надо было выяснить, чтó мы хотим сделать. Имелась, очевидно, одна возможность – создать энциклопедию. По существу, такая энциклопедия уже существовала. Она была создана, как вы это знаете, немцами, начиная с 1900 г. и несмотря на общеизвестное немецкое упорство и рвение, энциклопедия, переделанная после нескольких изданий в 1930 г., была безнадежной в отношении связи с состоянием математической науки того времени. Сейчас приступать к такой работе никто и не подумает. При такой гигантской массе математических публикаций, нахлынувших на нас за эти годы, задача создания математической энциклопедии невыполнима. Мне думается, что надо будет подождать того времени, когда ЭВМ станут думающими существами и разовьются настолько, чтобы усвоить все это за считанные минуты. Сейчас же ничего этого нет и тем более не было в 1930 г. Кроме того, было бы бесполезным переделывать что-либо теперь отжившее, несмотря на заслуги, которые оно имело в свое время. Создать энциклопедию даже сейчас полезно как реферативное библиографическое издание – для того, чтобы знать, где искать тот или иной результат. Однако, в такой энциклопедии не было бы никаких доказательств, поскольку и без них она состояла бы из 25–30 томов, а с доказательствами она была бы в 10 раз больше. Мы хотели создать не реферативную библиографию, а труд, в котором все было бы от начала до конца доказанным. Это обязывало нас произвести строгий отбор. Какой отбор? Именно в этом состояли узловые пункты эволюции Н. Бурбаки. Первой превалирующей идеей было то, что выполненный труд должен быть применим. Это означает, что он должен иметь применения не только в узких разделах математики, а в возможно большем числе математических направлений. Надо было, следовательно, сосредоточиться на основных математических идеях, на существенных исследованиях, полностью отбросив второстепенное, не имеющее непосредственного приложения, не ведущее непосредственно к важным концепциям, полезность которых доказана. Надо было производить выборку материала, а это вызывало несчетные дискуссии среди бурбакистов, стоившие им многочисленных ссор. В начале, конечно, никто об этом не думал, но по мере того как работа Бурбаки разрасталась, все те, любимые темы которых не были включены в трактат, вряд ли были за это признательны Бурбаки. Мне кажется, что чрезвычайно строгий выбор тем сыграл большую роль в той враждебности, которая окружала Бурбаки в отдельные моменты, которая и сейчас сохраняется в некоторых кругах, имея затяжной характер.
Итак, как же выбрать фундаментальные теоремы? Здесь возникла новая идея математических структур. Я не говорю, что это была оригинальная идея Бурбаки. Не приходится и говорить о том, что у Бурбаки что-либо было оригинальным. Бурбаки вовсе не стремятся создать новое в математике, и если в их томах имеется теорема, то она уже была доказана 2 года, 20 или 200 лет назад. Бурбаки случалось лишь уточнять и обобщать идеи, появившиеся намного раньше. Начиная с Гильберта и Дедекинда было известно, что большие части математики могут быть изложены и развиты логически исключительно красиво и плодотворно, исходя из небольшого числа тщательно подобранных аксиом. Иными словами, задавая основу теории в аксиоматической форме, можно развить ее всю так красиво и понятно, как это невозможно было сделать до этого. Это привело к общей идее математической структуры. Отметим сразу же, что это понятие теперь перекрыто понятиями категории и функтора, возобновляющими его в более общей и более удобной форме, и можно быть уверенным, что Бурбаки, никогда не отступавшие перед новым, будут считать своим долгом применить основные идеи этой теории в своих трудах.
Как только эта идея была принята и хорошо продумана, надо было выбрать и решить, какие же структуры наиболее важны в математике, а это привело, естественно, перед достижением общего согласия, к многочисленным спорам. Я должен сказать, что бурбакисты не претендуют на непогрешимость, что они неоднократно ошибались по поводу будущего, предполагавшегося для той или иной структуры, и что, когда оказывалось необходимым возвращаться к первоначальной идее, накладывался почетный штраф. В последовательных изданиях эти изменения очень ясно видны. Бурбаки не собираются, поскольку это только противоречило бы их намерениям, затормозить, зафиксировать математику, ибо это противоположно тому, что было задумано вначале. Однако не отступать перед новым, если оно превосходит Бурбаки, значит, не иметь никакого особого уважения к традициям. Это отношение к ним, объявленное с самого начала, послужило причиной враждебности на этот раз со стороны старшего поколения, неодобрительно смотревшего на то, с какой свободой мы обращались с математикой и времени. В частности, выбор определений, порядок следования тем, определялись исключительно согласно выбранной рациональной логической схеме. Если что либо не согласовывалось с тем, что было сделано ранее, предыдущее, несмотря на многовековые традиции, безжалостно отбрасывалось. Например, Бурбаки отказались от слов «неубывающая», когда речь идет о возрастающей функции, поскольку это совершенно бессмысленно, когда имеют в виду отношения полной упорядоченности (когда говорят «неубывающая» для отношения частичной упорядоченности, то это вовсе не означает «возрастающая, но не строго возрастающая»). Бурбаки удалили эту терминологию, как многую другую. Они изобрели много других терминов, пользуясь как все, при необходимости, греческим языком, но используя также слова разговорного языка, что тоже заставило ощетиниться многих любителей традиций, с трудом допускавших, чтобы брусом или шаром называлось то что прежде носило название параллелепипеда или гиперсфероида: «Это не серьезно»,– говорили они. Недавно появилась книжонка Этьембля «Научный жаргон», которая может доставить вам удовольствие. Этьембль, бдительный страж французского языка, пытается сохранить первоначальную чистоту языка и бросается в бой против тарабарщины многих ученых. К счастью, он делает исключения для французских математиков, говоря, что у них появилась хорошая идея применять в нынешнем языке старые французские слова, очень простые, придавать им нужный смысл, но так, чтобы когда говорят о чем-либо, то это должно производить впечатление настоящего французского языка, а не какого-то жаргона. Он приводит такие очаровательные примеры недавних математических заголовков как «platidude et privilège» [может переводиться как «пошлость и привилегия». – Прим. перев.], или «О недостаточно проколотых римановых многообразиях». Стиль Бурбаки состоит в том, чтобы писать понятным языком, а не на жаргоне сокращений, как это делается в англосаксонских текстах, где вам говорят, что CFTC не так сильно связано с ALV, как BSF или ZD и т.д., так что через 10 страниц уже не знаешь, о чем идет речь. Мы считаем, что чернила не так уж дороги, чтобы нельзя было писать подлиннее, хорошо выбирая слова.
Я уже говорил вам, что мы сделали выбор. Я сейчас вам объясню точнее, в чем заключался этот выбор, и мне хотелось бы это сделать возможно образнее. Мы очень быстро поняли, что несмотря на введение понятия структуры, предназначенного для того, чтобы расчленить и осветить различные вещи, математика сопротивляется ее разбиению на небольшие куски. С другой стороны, было очевидным, что прежнее разбиение ее на алгебру, арифметику, геометрию, анализ,– устарело, и мы, вызывая ярость многих, с самого начала от него отказались. У нас к этим вещам не было никакого уважения. Известно, например, что евклидова геометрия является частным случаем теории эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве. Точно так же теория алгебраических кривых и теория алгебраических чисел полностью вытекают из одних и тех же структур. Я охотно сравниваю старое разделение математики с делением, принятым старыми зоологами, которые, видя, что дельфин, акула и тунец были, ей-богу, близкими животными, говорили: «это рыбы, потому, что все они живут в море и имеют близкие формы». Требовалось время, чтобы понять, что структуры этих животных вовсе не подобны и что при классификации их надо расположить очень далеко друг от друга. Разделение математики на алгебру, арифметику и геометрию и весь этот старый вздор полностью аналогичны. Надо было изучить структуру каждой теории и классифицировать эти теории по их структурам. Однако понадобилось совсем немного времени, чтобы понять, что, несмотря ни па какие усилия по разделению структур, они имеют тенденцию очень быстро и плодотворно смешиваться. Можно сказать, что самые большие идеи в математике возникают на пересечении нескольких очень отличающихся друг от друга структур. Сейчас, если вы не возражаете, я вам выскажу тот образ, который у меня вызывает математика. Это – чрезвычайно запутанный нитяный клубок, в котором различные части математики действуют друг на друга самым непредвиденным образом, поскольку не проходит почти ни одного года, чтобы не обнаруживались новые влияния такого рода. Затем, в этом клубке имеется часть нитей, идущих во всех направлениях и ни с чем не соединяющихся. Метод Бурбаки очень прост: нити надо резать. Что это означает? Посмотрим, чтó при этом остается и перечислим, чтó оказывается выброшенным. Осталось: архиклассические структуры (я не говорю, конечно, о множествах): линейная алгебра, немного общей топологии (возможно меньше), немного векторных топологических пространств (возможно меньше), гомологическая алгебра, коммутативная алгебра, некоммутативная алгебра, группы Ли, интегрирование, дифференцируемые многообразия, риманова геометрия, дифференциальная топология, гармонический анализ и его продолжения, общие представления групп в самом широком смысле, аналитическая геометрия (здесь я ее, конечно, понимаю в единственно терпимом смысле Серра. Совершенно невыносимо говорить об аналитической геометрии как о линейной алгебре с введенными в ней координатами, как ее называют в элементарных книгах. Аналитической геометрии в этом смысле никогда не было. Были только люди, обидевшие линейную алгебру введением координат, которую они затем назвали аналитической геометрией. Прочь! Каждый знает, что аналитическая геометрия – это теория аналитических пространств, одна из наиболее трудных и наиболее глубоких во всей математике), алгебраическая геометрия – ее близнецовая сестра, и, наконец, теория алгебраических чисел.
Это была уже серьезная программа. Посмотрим теперь, что же исключено: теория кардинальных чисел, универсальная алгебра (вы хорошо знаете, что это такое), полуупорядоченные пространства, неассоциативная алгебра, большая часть теории групп (конечные группы), большая часть теории чисел (в том числе аналитическая теория чисел), процессы суммирования, все, что можно назвать чистым анализом (тригонометрические ряды, интерполирование, ряды полиномов и многое другое), и, наконец, конечно, вся прикладная математика. Здесь я бы хотел дать некоторые разъяснения. Я совершенно не хочу сказать, что производя это разделение, Бурбаки как-то оценивают значение изобретательности и мощности теории, попавшей в ту или иную категорию. Я уверен, что теория конечных групп, например, является сейчас одной из наиболее глубоких и богатых необычными результатами математических теорий, в то время как такие теории, как коммутативная алгебра – теории средней трудности. Если бы я должен был выносить оценку, то, вероятно, я бы сказал, что наиболее изобретательные, вызывающие наибольшее восхищение, подчеркивающие изобретательность автора теории были у Бурбаки исключены. Следовательно, речь не идет о такой классификации, когда справа находится хорошее, а слева плохое, поскольку мы не играли в доброго Бога. Я хочу только сказать, что если хотят дать такое изложение современной математики, которое отвечало бы идее создания центра, из которого вытекало бы все остальное, то крайне необходимо исключить множество вещей. Несмотря на доказанные в теории групп исключительно красивые и глубокие теоремы, не скажешь, что в ней имеется метод общего наступления. Там есть несколько методов, но все время сохраняется впечатление, что работа там выполняется кустарно, с нагромождением искусственных построений. Это не та вещь, которую можно было бы поместить в трактат Бурбаки. Бурбакисты могут и хотят помещать в трактат только рационально организованные теории, в которых имеются методы, естественно вытекающие из первоначальных данных, в которых почти нет места искусственному изобретательству. Итак, я повторяю, что бурбакисты решили изложить в основном математические теории, практически полностью исчерпанные, по крайней мере в их основе. Речь идет лишь об основах, а не о деталях, о теориях, приведенных к такому состоянию, при котором они могут быть изложены чрезвычайно рациональным способом. Очевидно, теория групп и тем более аналитическая теория чисел представляет собой всего лишь последовательность искусственных построений одно необычнее другого, а следовательно, крайне противоположных Бурбаки. Я повторяю, это не значит, что мы эту теорию презираем, скорее наоборот. Цена математика определяется тем, что он способен изобрести, даже новым искусственным приемом. Вы знаете старую историю: появившееся впервые – это изобретение, а повторившееся трижды – это уже метод. Так вот, я считаю, что большей оценки заслуживает тот, кто способен изобретать впервые, чем тот, кто после трех-четырех раз замечает, что это можно превратить в метод. Вторая стадия и является объектом Бурбаки: собрать в различных применяемых в математике процессах то, что можно выделить в виде теории, логически связанной, легко излагаемой и легко используемой.
Метод работы бурбакистов чрезвычайно долог и тяжел, но в общем он вызван характером труда. С того момента, как более или менее достигается согласие по поводу необходимости подготовить книгу или главу из той или иной теории (для книги предусматривается определенное число глав), на общем собрании редакции, созывающемся в среднем три раза в год, эта работа поручается одному из сотрудников, который изъявит желание этим заняться. Он пишет первый вариант главы или предложенных ему глав в достаточно свободном плане, где он довольно свободно может на свой страх и риск вставить то, что ему больше нравится или удалить то, что не нравится и т.д. В конце года или двух лет, когда он напишет свою редакцию книги, эта редакция представляется на совет Бурбаки, который обычно вслух зачитывает ее, не пропуская ни одной страницы, по пунктам проверяет каждое доказательство и безжалостно критикует сотрудника, представившего работу. Надо присутствовать на совете Бурбаки для того, чтобы видеть, в какой мере эта критика ядовита и насколько превосходит то, за что можно было бы со стороны упрекнуть Бурбаков: за неповторимый здесь язык, или по поводу возраста (немного спустя я скажу, что он ограничен сверху), когда даже наличие разницы в возрасте в 20 лет не мешает младшему позорить старшего тогда, когда ему кажется, что старший ничего не понял в рассматриваемом вопросе. И надо принимать это с улыбкой, как должное. Впрочем, обиды долго не удерживались, никто не мог похвастаться непогрешимостью перед лицом других членов общества Бурбаки и, несмотря на чрезвычайно оживленные ~и продолжительные дискуссии, все окончательно разрешалось наилучшим образом. Те из посторонних, которые несколько раз приглашались на заседание совета Бурбаки, выносили о них впечатление как о собрании группы сумасшедших, и совершенно не могли понять, как эти люди, кричавшие всегда по трое и по четверо сразу, говоря о математике, могли когда-либо сделать что-либо осмысленное. Это, может быть, наша тайна, но время от времени все успокаивалось. Каждый раз, когда первый вариант оказывался разорванным на мелкие куски, превратившись в ничто, другому сотруднику поручалось все начать заново. Несчастный знал, что его ожидает, потому что хотя он и переделывал все по новым инструкциям, но за это время идеи совета менялись и на следующий год его редакция могла снова оказаться разорванной на мелкие куски и все начиналось заново в третий раз и так далее. Казалось, что этот процесс бесконечен, что эта рекуррентная последовательность не имеет конца, но в действительности все заканчивалось по чисто человеческим причинам. Когда шесть или семь, или восемь, или десять раз подряд видели возвращавшейся одну и ту же главу, все уставали до такой степени, что появлялось единодушное желание отправить ее в печать. Это не означает, что все стало прекрасно. Очень часто мы замечали, что несмотря на все предосторожности, мы ошиблись, вступив не на тот путь, и возвращались к другим идеям в последующих изданиях. Наибольшую трудность вызвало, конечно, рождение первого издания. Потребовалось от 8 до 12 лет с того момента, когда впервые первая глава была положена в фундамент постройки, до того времени, когда она появилась в книжных магазинах. Сейчас выходят те главы, которые впервые обсуждались в 1955 году.
Я вам только что говорил, что у нас было возрастное ограничение. Оно было сразу принято по той причине, о которой я говорил в начале нашей беседы. Математик, которому уже за 50 лет, может быть еще очень хорошим математиком, еще продуктивным, однако редко случается, чтобы он привык к новым идеям, к идеям людей моложе его на 25–30 лет. Такое предприятие, как Бурбаки, хотело быть постоянным. Нельзя было фиксироваться на математике той или иной эпохи. Если математика, излагаемая Бурбаки, не соответствует больше тенденции времени, книга становится бесполезной и ее надо переделывать (что, впрочем, уже произошло с несколькими томами Бурбаки). Таким образом, в тот момент, когда среди бурбакистов оказывались лица определенного возраста, возникал риск, что они будут сдерживать эту благотворную тенденцию, считая, что во времена их молодости все было очень хорошим, что нет нужды вводить изменения, а это было бы уже гибельным. Тогда для того, чтобы избежать давления этого рода, которое рано или поздно неминуемо привело бы к концу Бурбаки, в то время когда этот вопрос возник за несколько лет до рокового возраста, было решено, что начиная с 50-летнего возраста сотрудники Бурбаки должны уходить в отставку. Так оно и есть. Всем нынешним бурбакистам меньше 50 лет. Основатели Бурбаки ушли оттуда более чем 10 лет назад – даже те, кого считали молодыми или только подходившими к возрасту отставки. Итак, речь идет о замене уходящих членов. Как это делается? Здесь не было определенной процедуры, потому что у бурбакистов было лишь одно формальное правило, о котором я уже говорил: отставка в возрасте 50 лет. Кроме этого, единственным, можно сказать, правилом было отсутствие всяких правил. Не было правил в том смысле, что не было голосований, а по всем вопросам должно было быть полное единодушие. Каждый член имел право вето, если какая-либо глава ему казалась плохой. Право вето означало лишь то, что глава не допускалась к печати и ее изучение надо было возобновить. Продолжительность издания объясняется тем, что прийти к соглашению по поводу окончательной редакции было трудно.
Мы говорили о замене сотрудников, достигших предельного возраста. Формально их не заменяют (это было бы правилом, а правил нет), понятия вакантного места, как в академии, нет. Поскольку большинство бурбакистов – преподаватели и даже преподаватели Парижа, то они имеют возможности хорошо рассмотреть молодых математиков, начинающих заниматься математическими исследованиями. Они быстро замечают среди молодежи стоящего парня, которого, кажется, ожидает большое будущее. Его приглашают присутствовать на совете в качестве подопытной «морской свинки». Это – традиционный способ. Вы знаете, что такое морская свинка, на которой испытываются все вирусы. Несчастный подвергается перекрестному огню дискуссии и должен не только понимать ее, но и участвовать в ней. Если он молчит, то все кончается просто – его больше не приглашают. Надо, чтобы он проявил еще одну способность, отсутствие которой отделяло от Бурбаки исключительно больших математиков. Во время заседаний совета приготовленные варианты подавались без какого-либо порядка следования. Заранее нельзя было сказать, что то или иное заседание будет заниматься исключительно дифференциальной топологией или следующей будет коммутативная алгебра и т.д. Вовсе нет! Все там было перемешанным (как всегда, символический пример нитяного клубка, который можно было бы взять как символ Бурбаки) и, следовательно, предполагалось, что каждый бурбакист интересуется всем, что он услышит. Если он неистовый алгебраист и заявляет: «я интересуюсь алгеброй и ничем больше», – это его право, но он никогда не будет членом коллектива Бурбаки, потому что для этого надо быть в состоянии интересоваться всем одновременно. Это не значит, конечно, что надо быть способным создавать везде. Нельзя спрашивать с каждого, чтобы он был универсальным математиком. Такие способности сохранены у небольшого числа гениев, их слитком мало, а бурбакисты не были гениями. Однако, во всяком случае, каждый должен был быть способным интересоваться всем и суметь в нужный момент подготовить редакцию любого раздела труда, даже если это и не связано с его специальностью. Я должен сказать, что такого рода опыт практически приобретался всеми бурбакистами, и я думаю, что большинство из них нашли его исключительно выгодным. Во всяком случае, в том, что касается моего личного опыта, мне кажется, что если бы я не был вынужден заняться вопросами, которые я не представлял уже с первых слов, то я никогда не сделал бы четверти или десятой части тех математических работ, которые я сделал, потому что когда принимаешься писать о незнакомых вещах, то неизбежно возникают вопросы и, следовательно, пытаешься их решить (это характеризует математика), а это приводит к личным работам, не зависящим от Бурбаки, имеющим свою значимость, но в конечном счете порожденных Бурбаки. Нельзя сказать, что это была плохая практика. Есть блестящие умы, не способные освоиться с такого рода обязанностями, очень глубокие умы первого порядка по своей специальности, которым нет нужды говорить с другими специалистами, есть закоренелые алгебраисты, которых вы никогда не заставите проглотить анализ, и аналисты, для которых поле кватернионов кажется чудовищем. Эти математики могут быть математиками первой величины, значительно превосходящими большинство бурбакистов, мы их без колебаний признаем, и я могу привести очень известные имена, которые, однако, не смогли быть членами коллектива Бурбаки. Возвращаясь к подопытной свинке, скажу, что когда ее приглашают, то прежде всего выясняют, обладает ли она нужным качеством адаптации. Часто это не обнаруживается, и тогда кандидату желают счастливого пути, и он продолжает идти своей дорогой. К счастью, время от времени среди молодежи находится парень, обладающий этим качеством, этой жадностью к познанию всей математики, способный адаптироваться к различным теориям и через небольшое время, когда убеждаются в том, что он действительно хорош, его принимают в коллектив Бурбаки, естественно, без каких-либо голосований, местных выборов и церемоний. Повторяю, что единственным у бурбакистов правилом было отсутствие всяких правил, кроме отставки в 50 лет.
В заключение я хотел бы ответить на недавние нападки на Бурбаки со стороны математической молодежи некоторых стран. Бурбаков обвиняли в выхолащивании математических исследований. Сознаюсь, что я не понимаю этих обвинений. Бурбаки не претендовал создать книгу, стимулирующую исследования. Я только что говорил о том, что Бурбаки мог себе позволить писать только о мертвых теориях, окончательно установившихся вещах, в которых можно лишь собирать готовый урожай. (Кроме, конечно, непредвиденного. Никогда не следует говорить, что в математике что-либо умерло, потому что так могут говорить сегодня, а завтра кто-либо возьмется за эту теорию, внесет в нее новую идею, и она оживет.) Лучше сказать, что речь идет о теориях мертвых в момент написания, т.е. когда в течение 10, 20 или 50 лет никто не делал в них значительных открытий, когда они составляют, но общему мнению, важную и центральную часть математики и могут быть полезными в других исследованиях. Но вовсе не обязательно, чтобы они стимулировали исследования. Речь идет о том, чтобы дать систему координат, точки опоры тем, кто хочет знать существо теории. Например, если хотят работать в векторных топологических пространствах, то надо хорошо знать 3 или 4 теоремы: Хана–Банаха, Банаха–Штейнгауза, теорему о замкнутом графике и иметь возможность их найти в литературе. Но ни у кого не было мысли улучшать эти теоремы. Они остаются такими, как есть, исключительно полезными, фундаментальными и их помещают в трактат Бурбаки, поскольку это как раз то, что нужно. Что же касается стимула к поискам, то, естественно, когда обнаруживается, что в очень старой теории есть еще открытые задачи, то на них указывается, но не в этом заключается цель Бурбаки. Эта цель, я ее повторю: дать рабочий инструмент, а не делать стимулирующие доклады по нерешенным задачам современной математики, поскольку эти задачи в основном лежат значительно дальше, чем может дойти Бурбаки. Это – живая математика, а Бурбаки не касаются живой ежегодно меняющейся математики. Если бы какая-нибудь книга о живой математике писалась по методу Бурбаки, т.е. после 8–10 летней обработки, то вы можете себе представить, что за книга вышла бы в свет через 12 лет. Она бы не представляла собой ничего, ее надо было бы менять все время и она бы имела вид старой энциклопедии. Все эти разъяснения я и хотел бы вам дать. Теперь я буду счастлив ответить на вопросы, какие мне будут поставлены в дополненение к тому, что я сказал.
Бурбаки, если хотите, исходят из основного убеждения (убеждения метафизического, недоказываемого, что мы охотно признаем), что математика проста и что для каждого математического вопроса существует наилучший среди всех других способ изложения, оптимальный способ. Мы можем привести примеры, когда это справедливо и можем дать примеры, где в этом смысле нам ничего не известно, поскольку до сих пор оптимальный метод изложения не найден. Приведу, как очень характерный пример, теорию групп и теорию чисел. В теории групп имеется множество методов, один из которых хитрее другого. Это великолепно, изобретательно и неслыханной сложности, но мы уверены, что это не окончательный метод изложения результатов. А теперь возьмем теорию алгебраических чисел. Начиная с Гильберта она систематизирована настолько, что стала для всех примером изложения. В изложении математических вопросов неоднократно происходят изменения, но мало-помалу в конце концов приходят к методу, наилучшему среди прочих. Наша вера в это носит, я повторяю, метафизический характер.
Что касается оснований математики, то мы верим в ее реальность, но когда философы нас атакуют своими «парадоксами», мы спешим спрятаться за формализм и говорим: Вовсе нет! Мы в них не верим. Математика строга без какого-либо особого смысла этого слова. Это мы вам докажем с помощью
1) Доклад, прочитанный 10 октября 1968 г. в Румынской Академии наук. Перев. с французского статьи J. Dieudonné, Regard sur Bourbaki, An. Univ. Buçuresti, ser. stiiut. natur., mat.-mecan. 18, № 2 (1969), 13-25, выполнен Б. П. Пугачевым. назад к тексту