П. Р. Халмош НИКОЛАЙ БУРБАКИ «Nicolas Bourbaki» by Paul R. Halmоs, Scientific American, май 1957 г., стр.88–99. (Перевод с английского Ф.Л. Варпаховского и Г.А. Шестопал)

У него греческая фамилия, французская национальность и весьма любопытная история. Он один из самых влиятельных математиков XX века. О нём существует множество легенд, и количество их растёт с каждым днём. Едва ли не каждый математик знает о нём несколько историй, а кто-нибудь, вероятно, и пополняет их запас. Во всём мире читают его и ссылаются на его труды. В Рио-де-Жанейро есть молодые люди, сформировавшиеся как математики почти исключительно благодаря его работам, и есть знаменитые математики в Беркли и Гёттингене, считающие его влияние пагубным. Всюду, где собирается группа математиков, он находит себе и горячих сторонников и шумных противников. Однако самым удивительным является то обстоятельство, что он не существует.

Этот несуществующий француз с греческой фамилией — Николай Бурбаки. Дело в том, что Николай Бурбаки — это коллективный псевдоним неофициальной корпорации математиков. (Очаровательное французское название корпорации — «анонимное общество» — является здесь вполне подходящим.) Группа, выступающая под этим псевдонимом, создаёт всеобъемлющий трактат по математике, который освещает наиболее общие принципы, лежащие в основе математической науки, и завершится, по-видимому, изложением весьма специальных её разделов. Начало этому было положено в 1939 году, с тех пор появилось уже 20 томов (почти 3000 страниц) монументальных работ.

На этом рисунке, сделанном с одной гравюры, изображён генерал Бурбаки, имя которого вовсе не Николай, а Шарль-Дени-Сотэ. Однажды он чуть не стал королём Греции.

Причины, по которым авторы назвали себя Бурбаки, окутаны тайной. Есть основания думать, что этот выбор связан с именем офицера французской армии, игравшего некоторую роль во время франко-прусской войны. Генерал Шарль-Дени-Сотэ Бурбаки был очень колоритной фигурой. В 1862 году в возрасте 46 лет ему предложили стать королём Греции. Однако он отказался от этой возможности. Сейчас память о нём связана главным образом с его военными неудачами. В 1871 году после бегства из Франции в Швейцарию с небольшими остатками своей армии он был там интернирован и пытался застрелиться. Вероятно, генерал промахнулся, так как известно, что он дожил до почтенного возраста 83 лет. Говорят, что в Нанси ему поставлен памятник. Это даёт возможность установить связь между ним и математиками, принявшими его имя, так как некоторые из них в различное время были связаны с университетом Нанси.

В одной из легенд, окружающих имя Бурбаки, говорится, что приблизительно 25–30 лет назад в Высшей нормальной школе (где обучается большинство французских математиков) студентам-первокурсникам предлагали прослушать лекцию выдающегося приезжего учёного по имени Николай Бурбаки. На самом же деле это был актёр-любитель, замаскированный патриархальной бородой, лекция которого являлась мастерской имитацией математического жаргона.

Необходимо отметить, что большую часть историй о Бурбаки следует считать недостоверной. Несмотря на то, что члены этой таинственной организации не давали друг другу кровавой клятвы молчания, многие из них так были довольны своей шуткой, что их собственные рассказы о себе умышленно противоречивы и апокрифичны. С другой стороны, не принадлежащие к этой группе люди вряд ли знают, насколько достоверно то, о чём они говорят: они лишь пересказывают, как правило, приукрашенные легенды.

В этой статье мы постараемся дать представление о научных достижениях Бурбаки и перескажем несколько легенд, связанных с его (их) именем. Некоторые из этих историй не совсем проверены, чтобы не сказать больше, но это обстоятельство не делает их менее занимательными.

Научная публикация под псевдонимом не является, конечно, начинанием именно этой группы. Английский статистик Уильям Сили Госсет (William Sealy Gosset) опубликовал свою основополагающую работу по теории малых выборок под псевдонимом «Student», вероятно, для того, чтобы не смущать своих хозяев, пивоваров из Гина (Guinness). Примерно в то же время, что и Бурбаки, появилась другая группа шутников, которая придумала некоего Е. С. Пондичери (E. S. Pondiczery), члена «Королевского института в Полдавии» (Royal Institute of Poldavia). Основная работа Пондичери была посвящена математическим курьёзам. Его наивысшим достижением явилось, однако, единственное в своём роде использование псевдонима второго порядка: посылая статью о математической теории игры «big-game hunting» в журнал «The American Mathematical Monthly», Пондичери в сопроводительном письме просил разрешения подписать её псевдонимом из-за очевидной несерьёзности излагаемого там материала. Издатель согласился, и статья появилась в 1938 году за подписью H. Pétard. [По поводу Пондичери см. Википедию. — E.G.A.]

Первобытные племена, а иногда и учёные испытывают на себе магическую силу имени. Это приводит к тому, что публикуются работы, которые никогда не были бы напечатаны, если бы имена авторов были другими. Георгий Гамов и его друг Ганс Бете увидели, какая чудесная возможность таится для них в появлении блестящего молодого-физика с необычным именем, и решили не упустить случая. 1 апреля 1948 года они опубликовали в журнале «The Physical Review» ничем не примечательную статью о происхождении химических элементов. Необычными были лишь имена авторов: Альфер, Бете и Гамов.

Говоря о статьях, появившихся под странными именами, уместно вспомнить о Морисе де Дюффаеле. Этот джентльмен достиг математического бессмертия весьма простым способом, опубликовав под своим именем некоторые классические труды крупнейших математиков. При этом он почти не маскировал своей деятельности. В 1936 году им была опубликована, как его собственная, статья Пикара, впервые напечатанная всего лишь 24 годами ранее. Тексты Дюффаеля и Пикара были полностью идентичны, слово в слово, символ в символ, за одним исключением: по понятным причинам было выброшено подстрочное примечание, в котором Пикар ссылался на одну из более ранних своих работ. В конце концов такая учёность погубила Дюффаеля. Можно одурачить на некоторое время некоторых издателей, но нельзя полностью одурачить всех рецензентов. Рецензент статьи Пикара — Дюффаеля, к счастью, достаточно хорошо знал работы Пикара для того, чтобы обнаружить плагиат; это положило конец авторской карьере Дюффаеля.

Бурбаки не должны были скрывать свои работы от администрации пивоваренного завода; они также не просто невинные весельчаки, а серьёзные математики, и, конечно, они не являются плагиаторами. Первоначально группа выступила под псевдонимом отчасти шутки ради, а отчасти для того, чтобы избежать длинного и надоедливого списка авторов на титульном листе; сейчас этот псевдоним используется скорее в качестве коллективного имени, чем для маскировки. Имена членов группы уже не являются секретом для большинства математиков. Состав Бурбаки, так же как и большинства других корпораций, меняется с течением времени, но стиль и дух работ остаются неизменными. Лучше охарактеризовать этот стиль и дух одним прилагательным (принятый для. этого термин — «бурбакичный»), чем ссылками на «молодую французскую школу» или чем-либо подобным.

Первые выступления Бурбаки относятся к середине 1930-х годов, когда они начали публиковать заметки, рефераты и другие статьи в Докладах (Comptes Rendus) Французской Академии наук и в различных журналах. Об основном замысле их большой работы, к изданию которой они впоследствии приступили, было рассказано в статье, переведённой на английский язык и напечатанной в 1950 году в журнале «The American Mathematical Monthly» под названием «Архитектура математики»¹. В сноске к заглавию статьи указано: «Профессор Н. Бурбаки, бывший член Королевской Полдавской Академии (напоминание о Пондичери!), ныне проживающий в Нанси (Франция), является автором обширного руководства по современной математике, выходящего под заглавием "Элементы математики" [Eléments de Mathématique], Paris, 1939, 10 томов которого уже вышли в свет». Сама статья является, между прочим, интересным изложением точки зрения Бурбаки на понятие «структуры» в математике и представляет собой превосходный пример, характеризующий дух Бурбаки.

Другая статья, напечатанная в журнале «The Journal of Symbolic Logic» за 1949 год, имеет громкое название «Основания математики для действующих математиков» (Foundations of Mathematics for the Working Mathematician). Она носит совершенно технический характер, однако личность авторов отчётливо проступает сквозь всю её символику. Работа заканчивается следующими словами:

«Я утверждаю, что этих оснований достаточно для построения всей современной математической науки; в этом нет ничего нового, если не считать того, что я, не довольствуясь этим утверждением самим по себе, начну доказывать его тем же способом, каким Диоген доказывал существование движения: моё доказательство будет становиться всё более полным по мере написания моего трактата».

В этой статье сказано, что автор работает в университете Нанкаго (Нанси плюс Чикаго). Такое сочетание возникло, в основном, в связи с тем, что один из основателей Бурбаки работает в настоящее время в Чикагском университете. Имя этого математика Андрэ Вейль (Andre Weil). Хотя это имя неизвестно широкой публике, многие коллеги Вейля считают его величайшим из ныне живущих математиков. Очень важными и глубокими являются его работы в области алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии; он оказывает значительное влияние на развитие математики XX столетия, даже некоторые из менее важных его работ (например, работы по однородным структурам и по гармоническому анализу топологических групп) открыли новые направления и вдохновили дальнейшие исследования². Время от времени Нанкаго вновь напоминает о себе в связи с появлением новой серии математических книг повышенного типа, выходящих под впечатляющим заголовком: «Труды Математического института Нанкаго»³.

Согласно одной из легенд, основная работа Бурбаки «Элементы математики» возникла из спора между Вейлем и Жаном Дельсартом (Jean Delsarte) на тему о том, как следует преподавать математический анализ. Однако, каковы бы ни были первоначальные причины возникновения этой работы, в настоящее время она преследует не только педагогические цели. Получается совершенно так же, как если, бы обсуждение вопроса о том, как лучше научить понимать популярную музыку, дало бы начало всеобъемлющим исследованиям по гармонии и теории музыки. (Математики считают анализ элементарным предметом, они относятся к нему так же, как музыканты к музыке Виктора Герберта⁴.

   
Титульные листы французского и русского изданий третьей книги первой части труда Бурбаки.

Трактат Бурбаки (написанный по-французски) является обзором всей математической науки, выдержанным в духе современных идей и представлений. В целом это произведение будет состоять, по-видимому, из нескольких частей, но даже первая часть (озаглавленная «Фундаментальные структуры анализа») не исчерпывается вышедшими до сих пор 20 томами трактата. Подзаголовки шести разделов I части являются до некоторой степени неожиданностью для дилетанта или классического математика, который исходит из устаревших представлений о математике как о науке, состоящей из арифметики, геометрии и других традиционных разделов. Эти подзаголовки таковы:

1. Теория множеств.
2. Алгебра.
3. Общая топология.
4. Функции действительного переменного.
5. Топологические векторные пространства.
6. Интегрирование.

Каждая книга снабжена вкладышем, написанным на четырёх страницах и содержащим ряд инструкций для правильного пользования книгой. В этих инструкциях указана необходимая для чтения книги подготовка (приблизительно два года обучения на математическом факультете университета), даны пояснения относительно расположения материала и установлен «точно определённый логический порядок», в котором должны читаться отдельные главы, книги и части. В инструкциях разъясняются также педагогические приёмы авторов; некоторые из них, в самом деле, очень хороши. Один из таких приёмов, который мог бы быть с пользой позаимствован другими авторами, служит для предостережения читателя в местах особенно трудных и скользких, т. е. там, где читатель легко может допустить ошибку: все эти места помечены на полях бросающимся в глаза знаком «опасный поворот».

Эта кривая в трудах Бурбаки указывает на «опасный поворот» в рассуждениях.

С другой стороны, вряд ли можно считать оправданным слегка презрительное отношение авторов к замене специальных терминов тем, что они называют «неверно употребляемыми словообразованиями». Общеизвестно, что безоговорочная приверженность к совершенно точной терминологии обычно ведёт к педантизму и неудобочитаемости. В отношении Бурбаки это особенно верно, поскольку их терминология и символика часто отличаются от общепринятых. Занятным, однако, является то обстоятельство, что «неверно употребляемые словообразования», используемые ими в качестве «неформальной» замены специальных терминов, имеют фактически обычный смысл: утомлённые необходимостью запоминать свои собственные нововведения, авторы спокойно возвращаются к терминологии, принятой остальным математическим миром.

Почти каждый том Бурбаки содержит ряд великолепных упражнений. Математику невозможно изучать пассивно, и упражнения Бурбаки являются призывом к активности. Авторы проявляют много изобретательности в подборе новых упражнений, а также приспособлении и переделке старых. Как правило, они не указывают имён авторов воспроизводимых ими упражнений, однако, по-видимому, никто против этого не возражает. Математик считает даже честью для себя, если какая-либо из его статей украдена Бурбаки и использована ими в качестве упражнения.

Кроме того, Бурбаки помещают в свои книги вкладные листы, которые содержат сводку наиболее важных определений и аксиом. В каждой книге имеется также словарь, являющийся полным указателем и перечнем всей используемой терминологии, в частности, основных «бурбакизмов».

Единственно важная вещь, которой здесь не хватает, это — столь же полный библиографический указатель. Бурбаки стремятся к систематическому и всестороннему освещению предмета и часто включают в своё изложение великолепные исторические обзоры. Однако в этих исторических очерках они неохотно и очень редко ссылаются на классиков и почти вовсе не называют авторов наиболее значительных современных достижений. Здесь нет намеренного обмана (Бурбаки не претендуют на то, чтобы считаться творцами всей современной математики), но, это, конечно, может ввести в заблуждение будущих историков математики.

Такова внешняя обрисовка Бурбаки. Стиль же и дух Бурбаки, те качества, которые привлекают к ним друзей и отталкивают врагов, передать значительно труднее. Так же, как и музыку, их следует скорее чувствовать, чем понимать.

Бурбаки с самого начала завоевали себе симпатию изучающих математику тем, что они впервые систематически изложили некоторые предметы (например, общую топологию и полилинейную алгебру). До них этим наукам не было посвящено ни одного учебника или монографии. Бурбаки первыми взяли на себя труд систематизировать громадный материал, разбросанный в виде массы статей, которые выходили в течение нескольких десятилетий в различных журналах на нескольких языках.

Бурбаки отличаются своей непримиримостью ко всякого рода рутине, к догматизму в терминологии; они не признают гладкого и компактного изложения идей и являются противниками такой манеры, когда желание сказать всё о предмете не оставляет места для воображения и приводит, очевидно, к вялости мысли.

Типичным примером основательного и неторопливого стиля Бурбаки может служить их подход к определению числа «1». Почти 200 страниц посвящаются подготовке к самому определению. Затем они определяют число 1, используя в высшей степени сжатую и сокращённую символику; в сноске указывается, что несокращенная форма этого определения потребовала бы в их системе обозначений нескольких десятков тысяч символов. Справедливости ради следует отметить, что такие понятия, как число 1, отнюдь не являются простыми, как это могло бы показаться на первый взгляд. Это обстоятельство уже давно известно математикам, работающим в области математической логики.

Как же создавалась эта важнейшая совместная работа? Большая её часть приписывается Жану Дьёдонне (Jean Dieudonné, сначала он работал в Нанси, теперь в Северо-западном университете, США). Дьёдонне почти с самого начала был наиболее активным деятелем группы. Так как Дьёдонне является автором многих трудов по математике под своим собственным именем, то довольно трудно провести различие между его собственными работами и работами, написанными им для Бурбаки. Рассказывают, что он смог однажды замечательным образом выйти из трудного положения, не искажая фактов. В одной из заметок, опубликованных Дьёдонне под именем Бурбаки, была обнаружена ошибка. Эта ошибка была исправлена в статье, озаглавленной «Об ошибке г. Бурбаки» и подписанной Жаном Дьёдонне.

Количество членов Бурбаки колеблется, по-видимому, от 10 до 20. Все члены всегда были только французами за одним исключением. Этим исключением является Самуэль Эйленберг (Samuel Eilenberg), работавший сначала в Варшаве, а затем в Колумбийском университете. Известный среди друзей юности под именем S²P² [первые буквы английского прозвища — «ловкий Сэмми, польское чудо» (Smart Sammy, Polish Prodigy)], Эйленберг является обаятельным и чрезвычайно общительным человеком, который за шесть месяцев своего пребывания в Соединённых Штатах больше узнал об этой стране, чем большинство американцев за всю свою жизнь. (Первым делом он отправился в длительное путешествие по стране на попутных автомашинах.) Так как он говорил по-французски как на своём родном языке и знал по алгебраической топологии больше, чем любой француз, то неписаное правило, согласно которому членами Бурбаки могут быть только французы, было на этот раз нарушено.

Николай Бурбаки изображён здесь в виде фантастической взбудораженной толпы французских математиков.
Портретное сходство могло получиться только совершенно случайно.

Французская ориентация Бурбаки не вызвана шовинистическими соображениями, а является просто лингвистической необходимостью, так как основателями являются французы. Когда звёзды первой величины, такие, как Вейль, Дьёдонне, Клод Шевалле и Анри Картан, собираются вместе со своими коллегами, то потоки льющейся при этом французской речи поистине впечатляющи. Поэтому для того, чтобы следить за разговором и принимать участие в беседе, необходимо не только уметь говорить по-французски быстро и громко, но и знать ещё самый последний парижский студенческий жаргон.

Несмотря на то, что на знаменитых собраниях Бурбаки все присутствующие удовлетворяют этим требованиям, трудно понять, как они ухитряются работать в таких условиях. Однако работа движется...

Члены корпорации собираются ежегодно, обычно в одном из привлекательных курортных местечек Франции, для принятия основных принципиальных решений. Поскольку их труды принесли и коммерческий успех (что явилось сюрпризом для Бурбаки), то денег оказалось достаточно как для покрытия дорожных расходов, так и для закупки необходимого количества провианта и французских вин, оживляющих заседания. (Между прочим, коммерческим успехом Бурбаки обязаны главным образом американскому рынку. Четыре из пяти главных членов Бурбаки являются сейчас жителями Соединённых Штатов.).

На составление тома Бурбаки затрачивается масса труда. После принятия тщательно разработанного проекта тома кто-нибудь даёт своё согласие на написание предварительного варианта. Решаясь на это, он подвергает себя трудному испытанию. После окончания работы над первым вариантом копии его рассылаются другим членам Бурбаки. На следующем общем собрании этот вариант беспощадно критикуется, а иногда и вовсе отвергается. Например, первый вариант книги Бурбаки об интегрировании был написан Дьёдонне и получил название «чудовища Дьёдонне». Говорят, что по своему духу и содержанию «чудовище Дьёдонне» было очень похоже на хорошо известную американскую книгу по интегрированию, написанную автором, которого мы назовём здесь просто X. «Чудовище Дьёдонне» никогда не было напечатано; коллеги Дьёдонне полностью забраковали его труд. Окончательно решило дело возмущение Вейля: «Чем делать подобные вещи, не лучше ли просто перевести на французский язык книгу X и тем кончить дело».

После обсуждения первого варианта начинается работа над вторым, выполняемая, как правило, другим автором. Этот процесс продолжается дальше: небезызвестны случаи, когда делалось шесть или семь вариантов. Результатом этой тщательной работы является отнюдь не учебник для начинающих (даже Бурбаки признают это), но справочник, почти энциклопедия, без которой математика XX века была бы лучше или хуже, но совсем не той, которой она является сейчас.

Юношеская плодовитость Бурбаки служит хорошим предзнаменованием для будущего их трудов, она же вызывает особое раздражение их недоброжелателей. Руководители Американского математического общества не нашли ничего забавного в том, что получили заявление о принятии в члены Общества, подписанное Н. Бурбаки. Они восприняли это как легкомысленную шутку и отклонили заявление. Секретарь Общества бесстрастно сообщил, что Бурбаки не может рассчитывать на большее, чем стать коллективным членом Общества. Так как членские взносы для коллективных членов значительно выше, чем для индивидуальных, и так как Бурбаки не пожелал признать, что он не существует, то тем дело и кончилось.

Да, шутка может быть легкомысленной, но легкомыслие свойственно молодости, а математика — это профессия молодых. Очень хорошо, что Бурбаки так подчёркивают свою молодость. Недавно, после того как Дьёдонне и Вейль достигли 50 лет, они заявили о своём уходе из группы, несмотря на то, что являлись основателями Бурбаки. Они объявляли ранее о намерении работать в группе только до 50 лет и выполнили своё обещание.

В заключение следует предупредить читателя о возможности различного рода инсинуаций, инспирированных Бурбаки и направленных против автора настоящей статьи. Мы рекомендуем читателю быть в этом отношении очень осторожным. Дело в том, что Бурбаки не любят, когда разглашаются их секреты, и неоднократно доказывали своё умение наказывать виновников. Конечно, сведения о Бурбаки появляются в печати не впервые. В 1949 году Андрэ Деляшэ (André Delachet) в своей небольшой книге по математическому анализу ссылался на работы «многоликого математика» Н. Бурбаки и даже позволил себе назвать имена некоторых руководителей корпорации. За год или два до этого в Ежегоднике Британской Энциклопедии была напечатана небольшая заметка, в которой рассказывалось о Бурбаки как о группе. Автором этой заметки был Ральф Бос (Ralph P. Boas), в то время — главный редактор журнала «Mathematical Reviews», а теперь — коллега Дьёдонне по Северо-западному университету. Вскоре после этого издатели Британской Энциклопедии получили негодующее письмо, подписанное Н. Бурбаки, в котором выражался протест против голословного утверждения Боса о несуществовании Бурбаки. Ещё не улеглись смущение издателя и замешательство Боса, когда один из членов математического отделения Чикагского университета написал правдивое, но очень хитро составленное письмо, из которого явствовало, хотя и нигде не было сказано прямо, что Бурбаки действительно существует. Издатели так и не смогли понять всё до конца, пока не пришло письмо от секретаря Американского математического общества (того самого, который отклонил заявление Бурбаки о приёме в члены общества).

Но Бурбаки взяли реванш.

Используя свои международные связи, корпорация распустила слух о том, что Бос не существует. Бос, по словам Бурбаки, — это «коллективный псевдоним группы молодых американских математиков, которые сообща издают журнал «Mathematical Reviews».