10972 Кб

Известная книга А. Зигмунда «Тригонометрические ряды» [6] содержит более или менее исчерпывающее изложение тех результатов по теории тригонометрических рядов, которые были получены до 1935 года ¹⁾. С тех пор интерес математиков к тригонометрическим рядам не уменьшился и достигнутый прогресс настолько значителен, что представляется необходимым изложить современное состояние наших познаний в этой области.

Круг вопросов, которые следовало бы рассмотреть, настолько велик, что приходится сразу же его ограничить. Поэтому я совершенно исключаю интегралы Фурье ²⁾, тригонометрические ряды от нескольких переменных ³⁾ и лишь очень мало касаюсь исследований по наилучшим приближениям функций тригонометрическими полиномами.

Я говорю также об ортогональных системах лишь в тех случаях, где получение теорем теории тригонометрических рядов из более общих, касающихся ортогональных систем, оказывается проще; если же перенос теорем на общие ортогональные системы требует специального изучения, я ограничиваюсь их формулировкой для тригонометрических рядов ⁴⁾.

Несмотря на указанное здесь ограничение материала, его всё ещё остаётся очень много. Когда в 1915 году Н. Н. Лузин написал свою замечательную диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд» [9, 10], где им был решён и поставлен целый ряд существенных проблем, он отметил, что «понятие ряда Фурье не есть понятие вполне определённое и устойчивое, но всецело зависит от понятия интеграла. Принимая в формулах Фурье всё более и более общее определение интеграла (Коши, Римана, Дирихле, Гарнака, Лебега, Данжуа), мы расширяем всё более и более класс тригонометрических рядов Фурье». В настоящей книге под словами «ряд Фурье» я всегда буду понимать ряд Фурье–Лебега. Известно, что существуют тригонометрические ряды, сходящиеся в каждой точке, но имеющие сумму неинтегрируемую не только по Лебегу, но и по Данжуа, в том смысле, как интеграл был определён самим Данжуа и А. Я. Хинчиным в 1916 году. Чтобы суметь выразить коэффициенты такого ряда через его сумму по формулам Фурье, Данжуа позже изобрёл новый процесс: тотализацию с двумя индексами (см. [27]).

Я не сочла возможным осветить в своей книге эту хотя и очень важную тему, так как на это потребовалось бы слишком много места. Более того, я не касаюсь даже и рядов Фурье–Данжуа, если понимать интеграл Данжуа в смысле первоначального определения: уже на изложение материала по рядам Фурье–Лебега и общим тригонометрическим рядам (т.е. не являющимся рядами Фурье) понадобилось очень много страниц. Ведь если в первое время после создания интеграла Лебега принято было думать, что множествами меры нуль всегда можно пренебречь, то в настоящее время совершенно ясно обратное: в целом ряде вопросов теории тригонометрических рядов некоторые множества меры нуль ведут себя так, как множества положительной меры. Таким образом, если прежде об общих тригонометрических рядах можно было сказать очень мало, то теперь им посвящён ряд интересных работ, где появились не только новые результаты, но и существенно новые методы (в частности, в теории тригонометрических рядов иногда значительную роль играет теория чисел).

Сказанное здесь имеет целью хоть отчасти объяснить объём настоящей книги. Конечно, желая его сократить, можно было бы пойти по пути лаконичного изложения, но я сознательно от этого отказываюсь. Мне кажется, что в последнее время авторы математических работ слишком злоупотребляют словами «легко видеть», в результате чего читатель часто не понимает доказательств теорем или упускает некоторые важные моменты. Я же старалась сделать изложение вполне доступным для аспирантов и студентов старших курсов. Особенно это относится к материалу главы I. Я предполагаю, что её сможет понимать всякий, кто знает лишь теорию интеграла Лебега в объёме обычного курса теории функций для университетов ⁵⁾. В следующих главах содержатся уже более углублённые исследования по теории тригонометрических рядов; для их понимания иногда требуются дополнительные сведения. Для удобства читателей доказательства ряда теорем, на которые я ссылаюсь в тексте, помещены в «Добавлениях». Во «Вводный материал» отнесены некоторые весьма элементарные теоремы из анализа, теории рядов и теории функций, которыми я пользуюсь в тексте систематически; я даю ссылки на наиболее употребительные учебники, где можно найти их доказательства. Вводный материал написан в виде отдельных теорем, причём я не ставила себе целью их формулировать в самой общей форме, а лишь так, как это понадобится в дальнейшем тексте.

Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность П. Л. Ульянову, который прочёл всю книгу ещё в рукописи и сделал ряд ценных указаний как в смысле подбора материала, так и в смысле устранения некоторых недочётов. Он дал также во многих случаях ряд собственных доказательств теорем других авторов.