3893 Кб
|
| 3893 Кб |
| Предисловие | 3 | |
| Глава I. Функциональный анализ и операторные методы | ||
| § 1. | Пространства Соболева. Обобщённые функции | 5 |
| § 2. | Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Фурье | 12 |
| § 3. | Линейные операторы в пространствах Соболева | 15 |
| § 4. | Метод Хевисайда решения обыкновенных дифференциальных уравнений | 18 |
| § 5. | Операторный метод решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами | 21 |
| Глава II. Уравнение Гамильтона–Якоби | ||
| § 6. | Эволюционное уравнение Гамильтона–Якоби в малом | 24 |
| § 7. | Решение задачи Коши с помощью лагранжевых поверхностей | 27 |
| § 8. | Преобразование Лежандра и его связь с уравнением Гамильтона–Якоби | 29 |
| § 9. | Лагранжевы поверхности, гамильтоновы векторные поля, симплектическая структура на фазовом пространстве | 34 |
| §10. | Лагранжева задача Коши | 37 |
| §11. | Лагранжева задача Коши для эволюционного уравнения Гамильтона–Якоби | 39 |
| Глава III. Редукция дифференциальных уравнений с симметриями и метод разделения переменных | ||
| §12. | Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби | 42 |
| §13. | Симметрии уравнения Гамильтона–Якоби | 45 |
| §14. | Применение симметрий для решения дифференциальных уравнений первого порядка | 49 |
| Глава IV. Метод ВКБ | ||
| §15. | Метод стационарной фазы | 52 |
| §16. | Метод ВКБ для одномерного уравнения Шрёдингера | 55 |
| §17. | Метод | 58 |
| §18. | Обобщённый метод ВКБ для систем | 66 |
| Глава V. Канонический оператор Маслова. Построение асимптотических решений | ||
| §19. | Канонические элементы на лагранжевом многообразии | 73 |
| §20. | Канонический оператор на лагранжевом многообразии | 77 |
| §21. | Асимптотические решения (в целом) уравнений математической физики | 80 |
| §22. | Асимптотика собственных значений и собственных функций | 84 |
| Ответы и решения | 88 | |
| Литература | 263 | |
| Указатель обозначений | 266 | |
Предлагаемый читателю сборник задач составлен на основе материала практических занятий по курсу «Уравнения математической физики» и ряду специальных курсов, которые читаются кафедрой прикладной математики Московского института электронного машиностроения. В книге отражены три круга вопросов: теория обобщённых функций и операторные методы, методы интегрирования уравнения Гамильтона–Якоби, асимптотические методы.
В главе I собраны задачи, в которых обобщённые функции рассматриваются как элементы нормированных пространств Соболева. Преобразование Фурье используется в качестве инструмента теоретического исследования и решения дифференциальных уравнений. Теория операторов представлена операторными методами решения дифференциальных и разностных уравнений.
В главе II даны задачи на построение решений уравнения Гамильтона–Якоби в координатном, импульсном и координатно-импульсном представлении с помощью лагранжевых многообразий.
В главе III рассмотрен метод разделения переменных для уравнения Гамильтона–Якоби и его современный вариант, основанный на применении симметрии дифференциальных уравнений.
Глава IV содержит задачи на применение стандартного метода ВКБ построения асимптотических решений дифференциальных уравнений и его обобщение на так называемые
Глава V посвящена применению канонического оператора Маслова для решения асимптотических задач математической физики. По трудности материала задачник неоднороден. Это объясняется тем, что часть задач соответствует общему курсу «Уравнения математической физики», а часть — специальным курсам. Последние задачи могут служить темами курсовых работ (в работах списка дополнительной литературы более подробно обсуждаются проблемы, затронутые в задачах повышенной трудности).
Во время работы над книгой авторы постоянно ощущали дружеское участие сотрудников и студентов кафедры прикладной математики МИЭМ, пользовались их советами и критическими замечаниями в адрес ротапринтной версии задачника. Мы благодарны всем своим коллегам и особенно В. Л. Дубнову, М. В. Карасёву, В. П. Маслову, Ю. А. Уханову. Авторы признательны В. С. Буслаеву за ряд полезных замечаний по рукописи книги и рецензентам за обстоятельные отзывы. Авторы благодарят научного редактора В. В. Кучеренко, оказавшего значительное влияние на содержание и характер излагаемого материала.
В книге В. В. Беловым написаны §§ 11, 18 и гл. V, Е. М. Воробьёвым §§ 1, 13, 14, 15, 16, остальной материал написан совместно.
