Сборник задач по дифурам

780 Кб

Предисловие
Часть 1.
Предисловие		5
§1.	Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых	7
§2.	Уравнения с разделяющимися переменными	11
§3.	Геометрические и физические задачи	14
§4.	Однородные уравнения	21
§5.	Линейные уравнения первого порядка	25
§6.	Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель	30
§7.	Существование и единственность решения	35
§8.	Уравнения, не разрешенные относительно производной	42
§9.	Разные уравнения первого порядка	48
§10.	Уравнения, допускающие понижение порядка	54
§11.	Линейные уравнения с постоянными коэффициентами	60
§12.	Линейные уравнения с переменными коэффициентами	75
Часть 2.
§13.	Краевые задачи	87
§14.	Линейные системы с постоянными коэффициентами	91
§15.	Устойчивость	105
§16.	Особые точки	117
§17.	Фазовая плоскость	124
§18.	Зависимость решения от начальных условий и параметров. Приближенное решение дифф. уравнений	130
§19.	Нелинейные системы	142
§20.	Уравнения в частных производных первого порядка	146
Часть 3.
Добавление		154
§21.	Существование и единственность решения	155
§22.	Общая теория линейных уравнений и систем	159
§23.	Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами	164
§24.	Устойчивость	170
§25.	Фазовая плоскость	173
§26.	Дифференцирование решения по параметру и по начальным условиям	177
§27.	Уравнения с частными производными первого порядка	179
Ответы		181
Ответы к добавлению		203

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборник содержит задачи по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с программой, принятой на механико-математическом факультете МГУ. Часть задач взята из известных задачников Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина, Г. Н. Бермана, М. Л. Краснова и Г. И. Макаренко, учебников В. В. Степанова, Г. Филипса; большинство задач составлено заново. Более трудные задачи отмечены звездочкой.

В начале каждого параграфа изложены основные методы, необходимые для решения задач этого параграфа, или даны ссылки на учебники. В ряде случаев приведены подробные решения типовых задач.

В это издание включено «Добавление» (§§ 21–27), содержащее задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на механико-математическом факультете МГУ в 1992–1996 годах. Задачи составлены преподавателями МГУ Ю. С. Ильяшенко, В. А. Кондратьевым, В. М. Миллионщиковым, Н. X. Розовым, И. Н. Сергеевым, А. Ф. Филипповым.

В книге приняты условные обозначения учебников:

[1]	В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений.
[2]	И. Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
[3]	Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
[4]	Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
[5]	Б. П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости.