3714 Кб

Пожалуй, нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна среди математиков и особенно среди математиков-любителей, как проблема Ферма (или знаменитая «Великая теорема Ферма», или «Последняя теорема Ферма»).

На русском языке имеется не так много книг, специально посвящённых этой проблеме, да и книги эти из серии популярных. [После доказательства ПТФ в 1995 году Эндрю Уайлсом кое-какие книги появились. Например, П. Рибенбойм. «Последняя теорема Ферма для любителей» (М., Мир, 2003). См. также Ж. Остерле. «Новые подходы к "теореме Ферма"» в сб. «Труды семинара Бурбаки за 1988 г.» (Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 46. М., Мир, 1990) и Э. Кнэпп. «Эллиптические кривые» (М., Факториал, 2004). — E.G.A.] Одиозность проблематики, первоначально вызванная Вольфскелевской премией, вынуждает каждого пишущего о теореме Ферма быть предельно осторожным. По крайней мере написанная книга не должна вызывать сомнения в том, что её автор не хочет иметь дело с «ферматистами». [Рибенбойм в вышеупомянутой книге более категоричен. В обращении к читателю он пишет:

– E.G.A.]

Книга Эдвардса, предлагаемая вниманию читателей, настолько содержательна, что у любителей решать проблему Ферма примитивными методами она отобьёт всякое желание дискутировать. Кстати, и книга М. М. Постникова «Теорема Ферма» (М.: Наука, 1978), не столь объёмистая, как эта, наделена таким же иммунитетом.

Книга Эдвардса, как пишет сам автор в предисловии, не претендует на историчность. Это, конечно, верно, однако некоторые моменты истории математики в книге описаны весьма подробно. Достоинством книги является и то, что автор подробно излагает основы теории идеалов генетическим методом. Приятно узнавать, каким образом создавалась эта теория, какие математики в этом участвовали, какие возникали драматические, а порой и парадоксальные ситуации (например, случай с р=23), в итоге приведшие к гениальному открытию.

Изложение генетическим методом имеет и теневые стороны. Эдвардсу волей-неволей приходится пользоваться терминологией прошлого века, излагать доказательства теорем языком той эпохи, производить многочисленные арифметические вычисления, выписывать длинные цитаты — всё это в книге соткано в единое произведение, наделённое духом нашего времени. Такое сочетание затрудняет чтение книги в оригинале и делает её чрезвычайно сложной для перевода. Переводчики стремились сохранить свежесть и оригинальность стиля автора, и если это не всегда удалось им, то, во всяком случае, не из-за отсутствия старания. Предисловие, главы I, II, VII, VIII, IX и § 2 приложения переведены В. Л. Калининым. Главы III, IV, V, VI и § 1 приложения переведены А. И. Скопиным.

По-видимому, многие откроют эту книгу с желанием узнать, каково современное состояние знаний о Последней теореме Ферма, и, так как сама книга не даёт ответа на этот вопрос, стоит, вероятно, сказать об этом несколько слов в предисловии. Последняя теорема Ферма — это утверждение (не теорема), что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ при n>2 не имеет целых положительных решений. Легко доказать (см. § 1.5) неразрешимость уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴. Поэтому исходное уравнение неразрешимо, когда n делится на 4. (Если n=4k, то равенство xⁿ + yⁿ = zⁿ приводило бы к равенству X ⁴ + Y ⁴ = Z⁴, где X=x^k, Y=y^k, Z=z^k, что невозможно.) Аналогично, если доказать неразрешимость уравнения x^m + y^m = z^m при некотором значении m, отсюда будет следовать неразрешимость исходного уравнения для любого n, делящегося на m. Поскольку каждое n>2 делится либо на 4, либо на нечётное простое число, то для доказательства Последней теоремы Ферма достаточно доказать её для простых показателей n.

Для показателя n=3 доказать эту теорему не слишком трудно (см. гл. 2). Для показателей 5 и 7 возникают бо́льшие трудности (§ 3.3 и 3.4), однако методы остаются по существу элементарными. Основное содержание книги составляет мощная теория «идеального разложения», разработанная Куммером в 40-е годы XIX века и позволившая одним махом доказать Последнюю теорему для всех простых показателей, меньших 100, кроме 37, 59 и 67. Точнее, теорема Куммера утверждает следующее. Пусть p — нечётное простое число. Тогда достаточное условие для справедливости Последней теоремы Ферма при показателе p состоит в том, что p не делит числители чисел Бернулли B₂, B₄, ..., B_p–3 (см. § 5.5 и 6.19). Простое число, удовлетворяющее достаточному условию Куммера, называется «регулярным».

Начиная с 1850 года основные усилия были направлены на нахождение всё более мощных достаточных условий. Наилучшие известные теперь достаточные условия, с одной стороны, являются очень мощными в том смысле, что им удовлетворяют все простые числа, меньшие 100 000 [W1]. Однако, с другой стороны, все эти условия вызывают сильное разочарование, поскольку среди них нет ни одного, которому удовлетворяло бы бесконечное множество простых показателей. Таким образом, Последнюю теорему Ферма можно доказать для любого простого числа, лежащего в доступных для вычислений пределах, и тем не менее нельзя исключить возможность, что для всех простых чисел, превосходящих некоторую большую границу, теорема неверна.

Основным методом изложения в этой книге, как указывает её подзаголовок, является генетический метод. Словарь определяет «генетический» как «относящийся к генезису, происхождению». В этой книге я попытался объяснить основные методы и понятия алгебраической теории чисел и продемонстрировать их естественность и эффективность, прослеживая их происхождение и развитие в работах некоторых из великих мастеров: Ферма, Эйлера, Лагранжа, Лежандра, Гаусса, Дирихле, Куммера и других.

Важно отличать генетический метод от описания истории вопроса. Различие заключается в том, что генетический метод прежде всего занимается самим предметом изучения — его происхождением и развитием, тогда как основной целью исторического описания является аккуратная регистрация сведений о людях, идеях и событиях, которые играли роль в эволюции предмета изучения. В истории нет места для детального описания теории — если только это не является существенным для понимания событий. В генетическом методе нет места для внимательного изучения событий — если только это не способствует более глубокому проникновению в предмет.

Это означает, что генетический метод имеет тенденцию представлять историческую последовательность в искажённой перспективе. Игнорируются вопросы, которые так и не были успешно разрешены. Не рассматриваются идеи, ведущие в тупик. Генетический метод обходит молчанием месяцы бесплодных усилий и горы вспомогательных вычислений. Для того чтобы выявить действительно плодотворные идеи, приходится делать вид, что человеческий разум по прямой линии движется от задач к решениям. Я особенно хотел бы подчеркнуть, что представление о прямолинейном движении человеческого разума является настолько нелепой фикцией, что к ней ни на мгновение нельзя относиться серьёзно.

Сэмюэль Джонсон некогда так писал о работе над биографиями: «Если бы дозволялось показывать лишь светлые стороны характеров, то нам оставалось бы только впасть в уныние из-за полной невозможности в чём-либо следовать героям. Авторы жизнеописаний святых рассказывали как о дурных, так и о добродетельных поступках людей. Это удерживало человечество от отчаяния, в чём и заключалось моральное действие такого подхода». В этой книге по большей части мы показываем только светлые стороны, только плодотворные идеи и только правильные догадки. Читатель должен иметь в виду, что эта книга не является ни исторической, ни биографической, и, значит, ему не стоит впадать в отчаяние.

Возможно, вас заинтересует не столько разница между историческим описанием и генетическим методом, сколько отличие генетического метода от более обычного метода математического изложения. Как утверждал математик Отто Тёплиц, сущность генетического метода состоит в том, чтобы, рассмотрев исторические источники идеи, найти для неё наилучшую мотивировку, и, изучив контекст, в котором работал человек, первым выдвинувший эту идею, найти тот «жгучий вопрос», на который он жаждал ответить [T1]. В противоположность этому более обычный метод оставляет в стороне вопросы и приводит лишь ответы. С логической точки зрения нужны только ответы, однако с психологической точки зрения изучать ответы, не зная вопросов, очень трудно и даже практически невозможно. По крайней мере таков мой собственный опыт. Я обнаружил, что наилучший путь преодолеть трудности изучения абстрактной математической теории состоит в том, чтобы последовать совету Тёплица и игнорировать современные изложения до тех пор, пока не изучишь генезис и не узнаешь вопросов, которые привели к этой теории.

В первых трёх главах этой книги рассматриваются элементарные аспекты Последней теоремы Ферма. Эти главы написаны на более элементарном уровне, чем остальная часть книги. Я надеюсь, что читателю, обладающему достаточной математической зрелостью для чтения последних глав, эти первые три главы тоже покажутся интересным и достойным внимания, хотя и лёгким чтением. В то же время я надеюсь, что менее искушённый читатель, который потратит больше времени и сил на первые главы, в результате приобретёт достаточно опыта, чтобы, хотя и с трудом, но преодолеть и дальнейшие главы.

Следующие три главы 4–6 посвящены развитию куммеровой теории идеальных делителей и её приложению к доказательству сформулированной выше замечательной теоремы Куммера о том, что Последняя теорема Ферма верна для регулярных простых показателей. Это наивысшая точка, которая достигается в настоящей книге при изучении Последней теоремы Ферма. Я намереваюсь написать второй том, в котором будут изложены работы по Последней теореме Ферма, выходящие за пределы теоремы Куммера; однако эти более поздние исследования трудны, и теорема Куммера является естественной точкой для завершения этого тома.

В трёх последних главах рассматриваются вопросы, более косвенным образом связанные с Последней теоремой Ферма, а именно: теория идеального разложения для квадратичных целых, гауссова теория бинарных квадратичных форм и формула Дирихле для числа классов. Изучать работы Куммера по Последней теореме Ферма, не касаясь этих вопросов, столь же неразумно, как изучать историю Германии, не затрагивая истории Франции. С самого начала своей работы по теории идеалов Куммер сознавал, что она тесно связана с гауссовой теорией бинарных квадратичных форм. Применение к Последней теореме Ферма было лишь одним из мотивов, побудивших Куммера к развитию этой теории; другими мотивами (и, по его собственному свидетельству, более настоятельными) были поиски обобщения квадратичного, кубического и биквадратичного законов взаимности на высшие степени и попытки найти объяснение трудной гауссовой теории композиции форм. Кроме того, по словам самого Куммера, тем, что ему удалось удивительно быстро найти формулу для числа классов и открыть поразительную связь между Последней теоремой Ферма для показателя p и поведением чисел Бернулли по модулю p, он был обязан решению Дирихле аналогичной задачи в квадратичном случае. Генетический метод подсказывает — почти требует — изучить эти достижения и найти мотивировку трудной, но чрезвычайно плодотворной идеи «идеальных простых делителей», столь существенной для понимания работ Куммера по Последней теореме Ферма. Кроме того, материал трёх заключительных глав обеспечивает необходимую основу для изучения высших законов взаимности и теории полей классов, на которые в свою очередь опираются более поздние работы по Последней теореме Ферма, намеченные для изучения во втором томе.

В этой книге, как в основном тексте, так и в упражнениях, особенно большое место уделено вычислениям. Это необходимая составляющая генетического метода. Действительно, даже поверхностный взгляд на историю вопроса показывает, что Куммер и другие великие новаторы в теории чисел производили обширные вычисления и на этом пути достигали своих глубоких озарений. Я вынужден с прискорбием заметить, что современное математическое образование имеет тенденцию прививать студентам мысль, что вычисления являются унизительной нудной работой, которой следует избегать любой ценой. Если вы внимательно проследите за вычислениями в основном тексте и будете рассматривать упражнения вычислительного характера не только как отнимающие время (неизбежно они обладают этой особенностью), но и как представляющие интерес, доставляющие наслаждение и понимание, то я уверен, что вы сможете оценить как мощь, так и крайнюю простоту теории.

Я убеждён в том, что не бывает пассивного понимания математики. Только при активном чтении лекций, написании учебников или решении задач можно полностью овладеть математическими идеями. Именно по этой причине данная книга содержит так много упражнений, и именно по этой причине я считал, что серьёзный читатель должен решить их как можно больше. Некоторые из моих коллег указали мне, что, предлагая столь большое количество упражнений, я оттолкну от книги тех читателей, которые захотели бы прочитать её только ради удовольствия. На это я могу ответить, что упражнения только предлагаются, но не предписываются для обязательного решения. Делайте с ними что хотите, но, возможно, вы обнаружите, что они также способны доставить удовольствие.

Знаменитая премия за доказательство Последней теоремы Ферма была учреждена П. Вольфскелем в 1908 г. Одним из условий присуждения премии была публикация доказательства, и, по-видимому, главным результатом учреждения премии было чудовищное количество нелепых доказательств, предназначенных для печати или опубликованных частным образом. С очевидным удовольствием Морделл и другие специалисты по теории чисел объявили, что последовавшая после первой мировой войны инфляция в Германии свела первоначально внушительную премию практически к нулю. Однако экономическое возрождение ФРГ после второй мировой войны изменило ситуацию. Теперь премия Вольфскеля составляет около 10 000 западногерманских марок, или 4000 американских долларов. Для присуждения премии доказательство должно быть опубликовано и не менее чем через два года после публикации должно быть признано верным Гёттингенской Академией наук.

Если вы намерены попытаться заработать эту премию — примите мои наилучшие пожелания. Я был бы восхищён, если бы эта задача была решена, и особенно если бы человеку, решившему её, оказалась полезной моя книга. И хотя можно спорить о том, способна ли книга, излагающая идеи, которые не привели к решению задачи, оказаться полезной тому, кто надеется найти решение, я думаю, что безуспешных усилий многих первоклассных математиков (не говоря уже о многих не таких первоклассных) достаточно для того, чтобы считать наивный подход к этой проблеме совершенно безнадёжным. Приведённые в этой книге идеи позволяют решить проблему для всех показателей, меньших 37. Ничего подобного нельзя сказать ни об одном подходе, не использующем куммерову теорию идеального разложения. Однако прежде чем вы задумаете добиться получения премии Вольфскеля, стоит принять во внимание ещё одно обстоятельство. Мне кажется, что нет вообще никаких оснований считать Последнюю теорему Ферма верной, а условия присуждения премии не предлагают ни единого пфеннига за опровержение этой теоремы.

Благодарности

Просто сказать, что работа над книгой велась при финансовой поддержке фонда Вона, значило бы создать совершенно неправильное представление о том, до какой степени я обязан этому фонду и лично г-ну Джеймсу М. Вону, мл. Если бы я не получил от них предложения рассказать о Последней теореме Ферма, эта книга не только никогда не появилась бы, но у меня и не возникла бы мысль писать её. Я глубоко благодарен г-ну Вону и фонду за приглашение заняться этим столь увлекательным, полезным и приятным делом. Я хотел бы также поблагодарить Брюса Чендлера за дружескую поддержку и мудрые советы. Его семинар по истории математики в Нью-Йоркском университете стал замечательным местом встреч историков математики — встреч, которые я и многие другие считаем чрезвычайно полезными и вдохновляющими.

Кроме того, я признателен многим учёным, высказавшим свои замечания по рукописи. В частности, я хотел бы упомянуть Джона Бриллхарта, Эда Кертиса, Пьера Дюгака, Дж. М. Ганди, Линетт Ганим, Поля Халмоша, Жана Итара, Вальтера Кауфман-Бюлера, Морриса Клайна, Карлоса Морено, Эла Новикова, Гарольда Шапиро, Габриэля Штольценберга, Джеймса Вона и Андре Вейля.

Наконец, я благодарен Курантовскому институту математических наук при Нью-Йоркском университете за удобное рабочее место, отличную библиотеку и высококвалифицированную работу Элен Саморай и её коллег по перепечатке рукописи.

1.1. Ферма и его «Последняя теорема»

Пьер де Ферма умер в 1665 году. К этому времени он был одним из самых знаменитых математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чисел, но при жизни его работы по теории чисел были настолько революционными и настолько опережали своё время, что их значение было плохо понято современниками, и слава Ферма основывалась больше на его достижениях в других областях науки. Среди них были важные труды по аналитической геометрии (независимо от Декарта Ферма был одним из создателей этой науки), по теории касательных, вычисления площадей, максимумов и минимумов (эти работы послужили началом математического анализа) и по геометрической оптике (которую он обогатил открытием того, что законы преломления можно вывести из принципа наименьшего времени).

В славе Ферма как математика есть два удивительных факта. Во-первых, по профессии Ферма был юристом, а не математиком. В зрелом возрасте он занимал довольно важные судебные должности в Тулузе, посвящая математике лишь свободное время. Во-вторых, за всю свою жизнь он не опубликовал ни одной математической работы.¹ Своей репутацией Ферма был обязан переписке с другими учёными и значительному количеству трактатов, которые распространялись в рукописном виде. Ферма часто убеждали опубликовать его работы, но по необъяснимым причинам он отказывался печатать свои труды, и многие из его открытий, особенно в теории чисел, так и не были приведены к виду, пригодному для публикации.

Поскольку Ферма отказывался публиковать свои работы, многие из его почитателей стали опасаться, что он скоро будет забыт, если не попытаться собрать его письма и неопубликованные трактаты и издать их посмертно. Такая попытка была предпринята его сыном, Самюэлем. Самюэль де Ферма занялся не только сбором писем и трактатов среди корреспондентов отца, но и разобрал его бумаги и книги, и именно этот путь привёл к публикации знаменитой «Последней теоремы» Ферма.

Книгой, первоначально вдохновившей Ферма на изучение теории чисел, была «Арифметика» Диофанта — одно из великих классических произведений древнегреческой математики, незадолго до того переоткрытое и переведённое на латинский язык. Самюэль обнаружил, что его отец сделал много замечаний на полях своего экземпляра книги Диофанта в переводе Баше, и для начала он выпустил новое издание «Арифметики» Диофанта [D3], которое в качестве приложения содержало сделанные Ферма заметки на полях. Второе из этих 48 «Замечаний к Диофанту» было написано на полях вслед за задачей 8 из Книги II. В этой задаче требуется «данное число, которое является квадратом, записать в виде суммы двух других квадратов».

Написанная на латинском языке заметка Ферма утверждает, что «с другой стороны, невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвёртую степень — в виде суммы двух четвёртых степеней, или, вообще, любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Это простое утверждение, которое символически можно записать так: «для любого целого n>2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ неразрешимо», — теперь известно как Последняя теорема Ферма. Если Ферма действительно знал доказательство этого утверждения, оно несомненно было «удивительным», поскольку за триста с лишним лет, прошедших со времён Ферма, никто больше не смог найти такого доказательства. Эту задачу безуспешно пытались решить многие великие математики, и хотя был достигнут некоторый прогресс, позволивший доказать утверждение Ферма для всех показателей n порядка многих тысяч, до сегодняшнего дня неизвестно, справедливо это утверждение или нет.

Происхождение названия «Последняя теорема Ферма» неясно. Неизвестно, в какой период жизни Ферма написал эту заметку на полях, но принято считать, что он написал её тогда, когда впервые изучал книгу Диофанта, т.е. в конце 1630-х годов, — за три десятилетия до смерти. В таком случае эта теорема, конечно, не была его последней теоремой. Вполне возможно, что это название обязано своим происхождением тому обстоятельству, что среди многих теорем, которые Ферма сформулировал без доказательства, эта теорема остаётся последней, до сих пор не доказанной. По-видимому, заслуживает внимания и соображение о том, что Ферма после дальнейших размышлений был, возможно, не вполне удовлетворён своим «удивительным доказательством», особенно если он действительно написал о нём в 1630-е годы. В самом деле, другие теоремы он вновь и вновь формулирует в своих письмах (иногда в виде своеобразного вызова на соревнование); среди них встречаются и частные случаи x³ + y³ ≠ z³, x⁴ + y⁴ ≠ z⁴. Последней теоремы, но сама эта теорема появилась лишь однажды как замечание номер 2 к Диофанту — загадочным сфинксом для потомков.

В «Арифметике» Диофанта рассматриваются исключительно рациональные числа, поэтому не следует сомневаться в том, что Ферма имел в виду отсутствие рациональных чисел x, y, z, таких, что xⁿ + yⁿ = zⁿ (n>2). Если бы можно было рассматривать иррациональные числа, то для любой пары чисел x, y мы получили бы такое решение, просто положив z =ⁿ√xⁿ + yⁿ. С другой стороны, если бы уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ имело рациональные решения, то оно имело бы и целые решения, или решения в целых числах: действительно, если x, y, z — рациональные решения уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ и d — их наименьший общий знаменатель, то xd, yd, zd — целые числа и (xd)ⁿ + (yd)ⁿ = (xⁿ + yⁿ)dⁿ = (zd)ⁿ, так что zd — целое число, n-я степень которого равна сумме n-х степеней. Кроме того, как Диофант, так и Ферма имели дело с положительными числами — во времена Ферма к отрицательным числам и нулю ещё относились с подозрением, — поэтому молчаливо исключается также и тривиальный случай, когда x или y равно нулю. (Например, равенство 2⁵ + 0⁵ = 2⁵, конечно, не противоречит Последней теореме Ферма.) Таким образом, Последняя теорема Ферма, по существу, сводится к утверждению о том, что если n — целое, большее двух, то невозможно найти такие положительные целые числа x, y, z, что xⁿ + yⁿ = zⁿ. Именно в таком виде обычно и формулируется эта теорема.

За три столетия, прошедшие после смерти Ферма, его работы во всех областях, кроме теории чисел, были постепенно забыты, но не потому, что они оказались чем-либо плохи. Наоборот, это были первые серьёзные шаги в развитии важных теорий, которые теперь значительно яснее поняты и которые проще объяснить с использованием языка и символики, не существовавших во времена Ферма. В то же время работы Ферма по теории чисел пользуются непреходящей славой, и среди них не только его Последняя теорема, но и многие другие открытия и идеи, часть которых мы рассмотрим позже в этой главе. Такое отношение к наследию Ферма кажется вполне сообразным, поскольку, как явствует из его переписки, какими бы важными для развития математики ни считал он свои работы в других областях, его истинной любовью была теория чисел, изучение свойств положительных целых чисел, которые казались ему величайшим вызовом силе чистого математического рассуждения и величайшей сокровищницей чистых математических истин.

1.2. Пифагоровы треугольники

В предложении из «Арифметики» Диофанта, которое привело Ферма к его Последней теореме, рассматривается одна из самых старых математических задач: «записать квадрат в виде суммы двух квадратов». Одно решение этой задачи получается при помощи равенства 3² + 4² = 5², из которого следует, что для любого квадрата a² справедливо тождество a² = (3a/5)² + (4a/5)². Аналогично, любая тройка положительных целых x, y, z, таких, что x² + y² = z², даёт решение a² = (ax/z)² + (ay/z)², и, как легко видеть, любое решение получается таким образом. Короче говоря, задача Диофанта сводится к задаче нахождения троек положительных целых чисел, удовлетворяющих уравнению x² + y² = z².

Если задачу Диофанта сформулировать таким образом, то станет очевидной её связь с теоремой Пифагора. По теореме Пифагора² из равенства 3² + 4² = 5² следует, что треугольник, стороны которого находятся в отношении 3 : 4 : 5, является прямоугольным треугольником. Вообще, любая тройка положительных целых x, y, z, удовлетворяющая уравнению x² + y² = z², определяет такое множество отношений x : y : z, что треугольник, стороны которого находятся в этом отношении, является прямоугольным треугольником. Это означает, что задачу Диофанта можно на геометрическом языке выразить как задачу нахождения прямоугольных треугольников с соизмеримыми³ длинами сторон, т.е. треугольников, для которых отношения длин сторон выражаются как отношения целых чисел. Ввиду такой геометрической интерпретации любую тройку положительных целых чисел, удовлетворяющую уравнению x² + y² = z², называют пифагоровой тройкой.

Пифагорова тройка 3² + 4² = 5² — самый простой и наиболее известный пример. Другой пример: 5² + 12² = 13². Конечно, здесь важны только отношения, и тройка 6, 8, 10, которая образует те же отношения, что и 3, 4, 5, также является пифагоровой тройкой. Аналогично, 9, 12, 15 и 10, 24, 26 — пифагоровы тройки, которые существенно не отличаются от приведённых выше. Но тройка 7, 24, 25 отличается существенно. Задача Диофанта состоит в нахождении пифагоровых троек. За несколько веков до Диофанта (около 250 г. н.э.?) эту задачу рассмотрел Евклид (около 300 г. до н.э.) в своих «Началах» (Книга X, лемма 1 между предложениями 28 и 29). Однако, как показало одно из самых удивительных открытий археологии двадцатого века, более чем за тысячу лет до Евклида эту задачу изучали древние вавилоняне.

В археологической коллекции Колумбийского университета хранится клинописная табличка, датируемая приблизительно 1500 г. до н.э.; при изучении оказалось (см. Нейгебауэр [N1]), что она содержит список пифагоровых троек. Одна из троек в этом списке — 3, 4, 5, но среди других содержится также и 4961, 6480, 8161. (Возможно, читателю будет интересно провести вычисления и убедиться в том, что это действительно пифагорова тройка.) Эта тройка со всей достоверностью показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и ошибок; значит, древние вавилоняне обладали каким-то способом решения задачи Диофанта. Мы не знаем ни того, что это был за способ, ни того, какие причины побудили вавилонян изучать пифагоровы тройки. По мнению Нейгебауэра, вполне вероятно, что им был известен геометрический смысл пифагоровых троек — другими словами, вавилоняне знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора, — и что они получали эти тройки каким-то методом, подобным использованному в книгах Диофанта и, с меньшей строгостью, Евклида. Этот метод мы рассмотрим в следующем параграфе.

Интересно, и, по-видимому, это не простое совпадение, что этой задаче из предыстории математики суждено было привести к одной из самых знаменитых математических задач нашего времени.

1.3. Как находить пифагоровы тройки

Хотя идеи следующего решения задачи нахождения пифагоровых троек, по существу, совпадают с идеями решения Диофанта,⁴ наши обозначения, терминология и изложение современны. Конечно, серьёзному студенту стоит прочитать собственное изложение Диофанта (имеется прекрасный английский перевод Хита [H1], русский перевод также имеется: см. [D3]. — E.G.A.), но для того, чтобы восстановить обозначения и точку зрения Диофанта, требуются некоторые усилия, и, поскольку в нашей книге рассматривается более современная математика, мы не будем предпринимать попытку такой реконструкции. Рассуждение в этом доказательстве является очень важным, и его основная идея снова и снова встречается при изучении Последней теоремы Ферма.

Метод приводимого ниже решения известен в классической греческой математике как аналитический метод:⁵ предполагается, что задано некоторое решение уравнения x² + y² = z² (x, y, z — положительные целые), и свойства данного решения анализируются с тем, чтобы найти такие характеристики этих решений, которые позволили бы их строить.

Заметим прежде всего, что если d — некоторое число, на которое делятся все три числа x, y, z, то уравнение x² + y² = z² можно сократить на d² и целые x/d, y/d, z/d также составляют пифагорову тройку. Если d — наибольший общий делитель чисел x, y, z, то x/d, y/d, z/d не имеют общих делителей, отличных от 1, и образуют так называемую примитивную пифагорову тройку, т.е. пифагорову тройку, входящие в которую числа не имеют общих делителей, отличных от 1. Таким способом — делением на наибольший общий делитель — каждую пифагорову тройку можно привести к примитивной. Обратно, если дана примитивная пифагорова тройка, скажем a² + b² = c², то любая пифагорова тройка, которая приводится к ней, может быть получена путём выбора соответствующего целого d и умножения на него: x = ad, y = bd, z = cd. Следовательно, достаточно научиться находить примитивные пифагоровы тройки и с самого начала можно предположить, что данная тройка x, y, z примитивная.

Из этого предположения следует, что никакие два из трёх чисел x, y, z не имеют общих делителей, больших 1. Например, если бы d было делителем x и y, то из равенства z² = x² + y² следовало бы, что d² является делителем z², а тем самым,⁶ что d делит z. Следовательно, d делило бы все три числа и, согласно примитивности тройки, равнялось бы 1. Аналогично, единственным общим делителем x и z или y и z служит 1.

В частности, никакие два из трёх чисел x, y, z не могут быть чётными (иметь общий делитель 2). Следовательно, по крайней мере два из них нечётны. Но очевидно, что все три числа не могут быть нечётными, так как тогда из x² + y² = z² следовало бы, что «нечётное + нечётное = нечётное», а это невозможно. Поэтому в точности одно из них чётно. Рассматривая сравнения по модулю 4, легко видеть, что z не может быть чётным. Действительно, квадрат нечётного числа 2n + 1 на единицу больше некоторого числа, кратного 4, а именно, он равен 4n² + 4n + 1. Квадрат чётного числа кратен 4: он равен 4n². Таким образом, если бы x и y были нечётными, a z чётным, то равенство x² + y² = z² давало бы нам число, кратное 4 и одновременно равное сумме двух чисел, каждое из которых на единицу больше, чем некоторое число, кратное 4, что, очевидно, невозможно. Следовательно, z нечётно, а x и y имеют противоположную чётность: одно из них нечётно, а другое — чётно. В случае необходимости меняя местами x и y, мы можем считать, что в данной примитивной пифагоровой тройке x чётно, тогда как y и z нечётны.

Теперь перепишем уравнение x² + y² = z² в виде x² = z² – y² и, разложив правую часть на множители, получим x² = (z + y)(z – y). Поскольку все числа x, z+y, z–y чётны, существуют такие положительные целые u, v, w, что x = 2u, z+y = 2v, z–y = 2w. Тогда (2u)² = (2v)(2w), или u² = vw. Кроме того, наибольший общий делитель v и w равен 1, так как любое число, делящее как v, так и w, делило бы также и v+w = ½(z+y) + ½(z–y) = z и v–w = ½(z+y) – ½(z–y) = y и потому могло бы равняться только 1. Другими словами, v и w взаимно просты.

Основной шаг нашего рассуждения состоит в следующем. Произведение двух взаимно простых чисел v и w может быть квадратом vw = u² только тогда, когда v и w сами являются квадратами. Это утверждение становится очевидным, если мы рассмотрим разложение чисел v и w на простые множители. Действительно, поскольку v и w взаимно просты, то ни одно простое не входит одновременно в разложения v и w. Поэтому разложение числа vw на простые множители распадается на эти два разложения; если vw является квадратом, то все простые должны входить в разложение vw в чётных степенях, но тогда они должны входить уже в разложения v и w в чётных степенях. Следовательно, v и w — квадраты. Полное доказательство этого утверждения будет приведено в следующем параграфе.

Итак, существуют такие положительные целые p и q, что v = p², w = q². Кроме того, p и q взаимно просты, поскольку таковы v и w. Тогда

Это показывает, что p больше q (y положительно) и что p и q должны иметь противоположную чётность (поскольку z и y нечётны). Далее, x легко выразить через p и q:

Таким образом, если дана произвольная примитивная пифагорова тройка, то найдутся такие взаимно простые положительные целые p и q, что p > q, p и q имеют противоположную чётность и данная тройка состоит из чисел 2pq, p² – q² и p² + q².

Это завершает анализ, поскольку легко доказать, что если дана произвольная пара p и q, такая, что (1)  p и q взаимно просты, (2)  p > q и (3)  p и q имеют противоположную чётность, то числа 2pq, p² – q², p² + q² образуют примитивную пифагорову тройку. Для этого достаточно заметить, что

является алгебраическим тождеством, справедливым для всех p и q, и что из условий, наложенных на p и q, следует, что 2pq и p² – q² взаимно просты (и, значит, соответствующая тройка примитивна). Действительно, если бы эти числа имели общий делитель, больший 1, то они имели бы и простой общий делитель, скажем P. Поскольку p² – q² нечётно, P не равно 2; поэтому на P должно делиться p или q (так как на него делится 2pq), но не оба эти числа одновременно (так как p и q взаимно просты). Но это невозможно, поскольку это противоречило бы предположению о том, что P делит p² – q².

Это полностью решает задачу построения пифагоровых троек. Все пифагоровы тройки, соответствующие парам p и q с p ≤ 8, приведены в таблице 1.1. Заметим, что в эту таблицу входят стандартные примеры 3, 4, 5;  5, 12, 13 и 7, 24, 25. Заметим также, что легко продолжить эту таблицу на бо́льшие значения p, включая только те значения q, которые меньше p, взаимно просты с p и имеют противоположную чётность.

Упражнения

1.	Найдите значения p и q, которые соответствуют пифагоровой тройке из вавилонской таблички, приведённой в § 1.2.
2.	Продолжите таблицу 1.1 до p = 12.
3.	В следующем параграфе будет доказано, что если vw = u2 и v, w взаимно просты, то v и w являются квадратами. Используйте это для доказательства того, что если d2 делит z2, то d делит z. [Пусть d = cD, z = cZ, где c — наибольший общий делитель d и z. Тогда Z2 = kD2, где k и D2 взаимно просты.]

1.4. Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска изобрёл Ферма, и этим изобретением он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном незадолго до смерти, он подвёл итог своим открытиям в теории чисел и с полной определённостью заявил, что во всех своих доказательствах пользовался этим методом. Коротко говоря, этот метод состоит в следующем: некоторые свойства или отношения невозможны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо чисел, удаётся доказать, что они выполняются для некоторых меньших чисел. Действительно, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для ещё меньших чисел, и т.д. — ad infinitum, — что невозможно, поскольку последовательность положительных целых чисел не может бесконечно убывать.

Например, рассмотрим предложение, которое мы использовали в предыдущем параграфе, а именно: если v и w взаимно просты и vw является квадратом, то и сами v и w должны быть квадратами. Как подчёркивал сам Ферма, метод бесконечного спуска — это метод доказательства невозможности. В рассматриваемом случае мы должны доказать, что невозможно найти такие числа v и w, что (1) v и w взаимно просты, (2) vw — квадрат и (3) v или w не является квадратом.

Предположим, что можно найти такие v и w. В случае необходимости меняя местами v и w, мы можем предположить, что v не является квадратом. В частности, v ≠ 1. Следовательно, v делится по крайней мере на одно простое число. Пусть P — какое-либо простое число, на которое делится v, скажем v = Pk. Тогда на P делится также число vw, которое является квадратом: vw = u². Согласно основному свойству простых чисел (см. приложение А.1), если P делит u·u, то P должно делить u или u, т.е. P должно делить u: u = Pm. Тогда равенство vw = u² можно переписать в виде Pkw = (Pm)² = P ²m²; отсюда следует, что kw = Pm². Так как P делит правую часть этого равенства, оно должно делить и левую. Следовательно, согласно основному свойству простых чисел, P должно делить либо k, либо w. Но P не делит w, поскольку оно делит v, a v и w взаимно просты. Поэтому P делит k, скажем k = Pv'. Тогда равенство kw = Pm² превращается в Pv'w = Pm²; таким образом, v'w = m². Так как v = Pk = P ²v', то любой делитель числа v' является делителем v, а следовательно, v' и w не могут иметь общих делителей, больших 1. Кроме того, если бы v' было квадратом, то число v = P ²v' также было бы квадратом, что не имеет места; поэтому v' не является квадратом. Таким образом, числа v', w обладают приведёнными выше свойствами (1), (2), (3) и v' < v. Тогда то же самое рассуждение показывает, что существует другое положительное целое v'' < v', такое, что v'', w обладают всеми этими тремя свойствами. Бесконечное повторение этих рассуждений привело бы нас к бесконечно убывающей последовательности положительных целых чисел v > v' > v'' > v''' > ... . Но такой последовательности не существует (само число v даёт верхнюю границу числа шагов, в течение которых оно может быть уменьшено), поэтому никакие два числа v и w не могут обладать тремя указанными свойствами. Это доказывает данное предложение.

Подводя итоги, можно сказать, что метод бесконечного спуска основывается на следующем принципе. Если из предположения, согласно которому данное положительное целое обладает данным множеством свойств, следует, что существует меньшее положительное целое с тем же множеством свойств, то ни одно положительное целое не может обладать этим множеством свойств.

1.5. Случай n=4 Последней теоремы

Для доказательства Последней теоремы Ферма при n = 4 достаточно, руководствуясь интуицией, сочетать методы двух предыдущих параграфов: метод бесконечного спуска и метод построения пифагоровых троек.

Предположим, что дано решение x, y, z уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴. Как и в случае пифагоровых троек, можно с самого начала считать, что x, y, z не имеют общих делителей, больших 1, и даже что никакие два из них не имеют общих делителей, больших 1. Действительно, в противном случае из равенства x⁴ + y⁴ = z⁴ следовало бы, что и третье из чисел имеет тот же самый делитель и уравнение можно сократить на четвёртую степень этого делителя. Следовательно, числа x², y², z² образуют примитивную пифагорову тройку и, в случае необходимости меняя местами x и y, можно написать

где p и q — взаимно простые числа противоположной чётности и p>q>0. Второе из этих уравнений можно записать в виде y² + q² = p² и, поскольку p и q взаимно просты, y, q, p — примитивная пифагорова тройка. Таким образом, p нечётно, и так как p и q имеют противоположную чётность, то q чётно. Следовательно,

где a, b — взаимно простые числа противоположной чётности и a>b>0. Таким образом,

Это показывает, что ab(a² + b²) является квадратом, а именно квадратом половины чётного числа x. Но ab и a² + b² взаимно просты, поскольку любое простое P, делящее ab, делит a или b (по основному свойству простых чисел), но не оба этих числа одновременно (так как a и b взаимно просты), и поэтому не может делить a² + b². Следовательно, как ab, так и a² + b² должны быть квадратами. Однако ab является квадратом, а целые a и b взаимно просты, поэтому как a, так и b должны быть квадратами, скажем a = X², b = Y². Следовательно, X⁴ + Y⁴ = a² + b² является квадратом. Теперь для того, чтобы привести в движение бесконечный спуск, достаточно заметить, что из исходного предположения x⁴ + y⁴ = z⁴ мы использовали лишь то, что z⁴ является квадратом, а не четвёртой степенью. Другими словами, если x и y — такие положительные целые, что x⁴ + y⁴ — квадрат, то приведённая выше последовательность шагов даёт новую пару положительных целых X, Y, такую, что X⁴ + Y⁴ является квадратом. Кроме того, X⁴ + Y⁴ = a² + b² = p < p² + q² = z² < z⁴ = x⁴ + y⁴. Тем самым мы указали бесконечную убывающую последовательность положительных целых чисел, существование которой невозможно. Следовательно, сумма двух четвёртых степеней не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвёртой степени. Это доказывает Последнюю теорему Ферма для четвёртых степеней.

Отсюда, очевидно, следует, что при произвольном положительном целом m уравнение x^m + y^m = z^m неразрешимо. Действительно, в противном случае тройка X = x^m, Y = y^m, Z = z^m была бы решением уравнения X⁴ + Y⁴ = Z⁴. Таким образом, Последняя теорема Ферма справедлива для всех показателей n, которые делятся на 4. Показатель n>2, который не делится на 4, не является степенью двойки и, следовательно, должен делиться на некоторое простое число p≠2; например, n = pm. По той же причине, что и выше, для доказательства неразрешимости уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ, очевидно, достаточно доказать, что неразрешимо уравнение x^p + y^p = z^p. Таким образом, поскольку Последняя теорема Ферма доказана в случае n=4, доказательство общего случая сводится к доказательству для простых n>2. По этой причине в оставшейся части книги будут рассматриваться только те случаи Последней теоремы Ферма, в которых n — простое число, n≠2.

1.6. Одно доказательство Ферма

По-видимому, во всех дошедших до нас работах Ферма по теории чисел можно найти только одно доказательство. Это доказательство частного утверждения, которое Ферма неоднократно⁷ формулировал в своей переписке, но которое, как это характерно для Ферма, он не доказывал, оставляя эту задачу своим корреспондентам. Это доказательство, как и формулировка Последней теоремы, было обнаружено его сыном Самюэлем на полях всё той же книги Диофанта; оно было включено в посмертно опубликованные работы как Замечание 45 к Диофанту.

В своих письмах Ферма часто повторяет, что у него нет желания скрывать свои работы, что, по его мнению, прогресс науки зависит от совместных усилий многих учёных и что он был бы счастлив открыть свои методы любому, кто пожелает. Однако факты красноречивее слов. То, что ни одно из многочисленных дошедших до нас писем Ферма не даёт сколько-нибудь верного представления об используемых им методах, конечно, свидетельствует о том, что, сознательно или бессознательно, Ферма, как и все его современники, ревниво оберегал от соперников секреты своего ремесла.

В предложении, которое доказывает Ферма, утверждается, что площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом; здесь, конечно, имеется в виду, что площадь рационального прямоугольного треугольника не может равняться рациональному квадрату. Используя арифметическую операцию умножения всех длин на их наименьший общий знаменатель, или, что то же самое, геометрическую операцию выбора новой единицы длины, в которой стороны треугольника и квадрата задаются целыми числами (возвращаясь к греческой идее соизмеримости), можно переформулировать это предложение так: не существует такой пифагоровой тройки x² + y² = z², что xy/2 является квадратом. (Заметим, что x и y одновременно не могут быть нечётными, и поэтому xy/2 обязательно будет целым числом.) Именно в этом виде Ферма доказывает данное предложение.

Как характерно для задач, которыми занимался Ферма, эта задача не возникает из ничего, а основывается на предшествующей литературе. В Книге VI «Арифметики» Диофанта есть несколько задач, где требуется найти пифагоровы треугольники, площади которых удовлетворяют различным условиям, например отличаются от квадратов на данное положительное или отрицательное число. Однако Диофант, как всегда, удовлетворяется тем, что даёт решение частных случаев своих задач, но не изучает условия, при которых данная задача имеет или не имеет решения. Ферма пользовался изданием книги Диофанта в переводе Баше (1581–1638), который не только перевёл Диофанта с греческого на латынь, но и добавил к основному тексту многочисленные комментарии и дополнения. В своём дополнении к Книге VI Баше приводит необходимое и достаточное условие для того, чтобы число A было площадью пифагорова треугольника. Это условие состоит в существовании такого числа K, что (2A)² + (K)⁴ является квадратом.⁸ Таким образом, когда Ферма спрашивал, может ли треугольник иметь площадь, равную квадрату, он продолжал линию исследований, явно начатую Баше, который в свою очередь был вдохновлён на это Диофантом.

Приведённое Ферма доказательство этого предложения основано на более тонких соображениях, чем доказательство Последней теоремы для n = 4 из предыдущего параграфа. Оно звучит следующим образом.

Это доказательство, как вы обнаружите, если проследите его шаг за шагом, совершенно неясно в двух важных моментах.

В первом предложении разобраться достаточно легко. Самая общая пифагорова тройка имеет вид x = (2pq)d, y = (p² – q²)d, z = (p² + q²)d  ( p и q — взаимно простые положительные целые числа противоположной чётности с p>q, d — положительное целое), и задача состоит в том, чтобы представить ½ xy = pq(p² – q²)d² в виде квадрата. Это возможно тогда и только тогда, когда pq(p² – q²) является квадратом. (Если Ad² является квадратом, то A должно быть квадратом; см. упр. 1.) Поскольку  p и q взаимно просты, каждое из них должно быть взаимно просто с p² – q². Следовательно, pq(p² – q²) может быть квадратом только тогда, когда все числа  p, q и p² – q² являются квадратами. Другими словами, треугольник, площадь которого является квадратом, приводит к паре таких взаимно простых чисел  p и q противоположной чётности, что  p, q и p² – q² являются квадратами. Поскольку  p и q — квадраты,  p² – q² является разностью четвёртых степеней (биквадратов); это те самые «два биквадрата» Ферма, «разность которых равна квадрату». Кроме того, p² – q² = (p – q)(p + q) — разложение числа p² – q² на два взаимно простых множителя. Действительно, любой общий делитель чисел p–q и p+q должен также делить (p–q) + (p+q) = 2p и (p+q) – (p–q) = 2q. Поскольку  p и q взаимно просты, этот общий делитель может быть равен только числам 2 или 1. Однако  p и q имеют противоположную чётность, следовательно,  p–q и  p+q нечётны и у них нет общего делителя, отличного от 1. Поэтому из предположения о том, что p² – q² является квадратом, следует, что  p–q и  p+q также являются квадратами. Это «два квадрата» Ферма, «сумма и разность которых являются квадратами». Третье предложение Ферма относится к равенствам (p–q) + 2q = p+q, (p–q) + q = p, в которых числа  p, q,  p–q и  p+q — квадраты.

В следующих двух предложениях разобраться уже трудно. Пусть p+q = r², p–q = s². В первом из этих двух предложений утверждается, что r можно представить в виде r = u + v, где одно из чисел u, v является квадратом, а второе — удвоенным квадратом. Во втором предложении говорится, что u и v являются сторонами прямоугольного треугольника, т.е. что u² + v² — квадрат. О доказательстве первого утверждения⁹ Ферма говорит лишь то, что он может «легко» его доказать; но даже если это и так, то не видно никакого пути для того, чтобы из первого утверждения «вывести» справедливость второго. Поэтому интерпретация этих предложений может быть лишь предположительной. Следующая интерпретация (по существу, принадлежащая Диксону [D2, т. 2, стр. 615–616]) может совпадать или не совпадать с той, которую имел в виду Ферма. В любом случае она очень легко доказывает оба утверждения.

Так как  p и q имеют противоположную чётность, то числа p+q = r², p–q = s² нечётны; следовательно, нечётны и r, s. Кроме того, r и s взаимно просты, поскольку, как показано выше, взаимно просты  p–q и  p+q. Определим положительные целые числа u и v равенствами

Тогда u и v взаимно просты; действительно, любой их общий делитель был бы общим делителем их суммы и разности r = u + v, s = v – u, но r и s взаимно просты. Кроме того,

Поскольку q является квадратом, q/2 может быть целым числом только тогда, когда оно будет чётным целым. Следовательно, uv/2 = q/4 — целое, и это число является квадратом как отношение двух квадратов. Тогда либо u, либо v должно быть чётным (поскольку uv/2 — целое), но не оба одновременно (так как они взаимно просты). Но половина чётного из этих чисел взаимно проста с нечётным, а их произведение uv/2 является квадратом; поэтому сами множители должны быть квадратами, и, следовательно, чётное из этих чисел является удвоенным квадратом, а нечётное — квадратом. Таким образом, равенство r = u + v даёт, как и требовалось, представление r в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата. Кроме того,

Таким образом, u² + v² является квадратом, и оба утверждения Ферма доказаны.

За оставшейся частью доказательства проследить легко. Пифагорова тройка со «сторонами» u, v примитивна, поскольку u, v взаимно просты; следовательно, она имеет вид 2PQ, P² – Q², P² + Q², где P и Q — взаимно простые числа противоположной чётности и P>Q. Так как uv/2 = PQ(P² – Q²) является квадратом, то, как и раньше, отсюда следует, что все числа P, Q, P–Q и P+Q должны быть квадратами. Но

и этот процесс можно повторить и найти ещё два квадрата P', Q' таких, что P' – Q' и P' + Q' также являются квадратами и P' + Q' < P + Q. Этот процесс может быть продолжен бесконечно; он даст бесконечно убывающую последовательность p + q > P + Q > P' + Q' > ... . Поскольку такой бесконечный спуск невозможен, то пифагоров треугольник не может иметь площадь, равную квадрату.

Интересно, что это единственное дошедшее до нас доказательство Ферма доказывает также Последнюю теорему при n = 4. Действительно, оно показывает, что z⁴ – x⁴ не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвёртой степени (см. упр. 2). Однако неразрешимость уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴ можно доказать значительно проще методом предыдущего параграфа, и есть все основания полагать, что Ферма знал это более простое доказательство.

Упражнения

1.	Докажите, что если Ad2 — квадрат, то и A — квадрат.
2.	Докажите, что уравнение x4 – y4 = z2 неразрешимо в ненулевых целых числах.

1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы

Одной из первых задач в теории чисел, которую изучал Ферма, была задача представления чисел в виде сумм двух квадратов. Эта задача привела его ко многим другим важным вопросам. Как это часто случалось, интерес Ферма к этому предмету возник при чтении «Арифметики» Диофанта.

В книге Диофанта есть по крайней мере три места, связанные с представлениями в виде суммы двух квадратов; они показывают, что Диофант, бесспорно, хорошо знал этот предмет. В одном месте (III, 19) он замечает, что число 65 можно двумя способами записать в виде суммы двух квадратов: 65 = 1² + 8² = 4² + 7², и объясняет это тем, что «65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых равно сумме двух квадратов». В другом месте («необходимое условие» из V, 9) он фактически формулирует необходимое условие представимости данного числа в виде суммы двух квадратов; однако, как утверждает его переводчик и издатель Хит, «к несчастью, текст дополнительного условия неясен». Наконец, в третьем месте (VI, 14) Диофант по ходу дела замечает, что число 15 не является суммой двух (рациональных) квадратов.

Основную роль в изучении чисел, которые являются суммами двух квадратов, играет формула

Она показывает, что если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также будет суммой двух квадратов. Формула (1) является простым следствием коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов, согласно которым обе её части равны a²c² + a²d² + b²c² + b²d². Если двумя различными способами применить её к 5 = 2² + 1² и 13 = 3² + 2², то (как и утверждал Диофант) число 65 = 5 · 13 можно будет двумя способами представить в виде суммы двух квадратов, а именно:

и

В XIII веке эта формула была известна Леонардо из Пизы (Фибоначчи); неявно она присутствует в алгебре древней Индии (см. далее § 1.9), и, конечно, в том или ином виде Диофант знал её.

Ферма не был первым учёным, который попытался сделать ясными те места в книге Диофанта, где говорится о суммах двух квадратов. Такую же попытку, увенчавшуюся частичным успехом, предпринял Баше в своих комментариях к Диофанту. Другим комментатором был Франсуа Виет (1540–1603) — один из отцов-основателей современной алгебры. Третьим был Альбер Жирар (1595–1632), которому удалось дать необходимые и достаточные условия представимости данного числа в виде суммы двух квадратов за несколько лет до самых ранних известных нам записей Ферма по этому вопросу (см. Хит [H1], стр. 106). Жирар, очевидно, считал квадратом 0² = 0, и его условия состоят в том, что данное число можно представить в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно является (1) квадратом, или (2) простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4, или (3) числом 2, или (4) любым произведением таких чисел. Справедливость этих условий подтверждается таблицей 1.2, в которой приведены все числа, меньшие 250, которые можно представить в виде суммы двух квадратов.

Неясно, опирался ли Жирар только на подобные эмпирические данные или действительно знал доказательство. Кажется, Жирар и не претендовал на то, что может доказать необходимость и достаточность своих условий.

Ферма же, с другой стороны, утверждал, что он может доказать необходимость и достаточность условий Жирара.¹⁰ Более трудная часть этой теоремы — доказательство достаточности. Поскольку a², очевидно, представляется в виде a² + 0², поскольку 2 = 1² + 1² и поскольку формула (1) показывает, что произведения сумм двух квадратов сами являются суммами двух квадратов, доказательство достаточности сводится к доказательству того, что каждое простое число вида 4n + 1 можно записать как сумму двух квадратов. Ферма неоднократно приводил формулировку этой теоремы и с полной определённостью утверждал, что может строго доказать её, хотя, как обычно, неизвестно ни одной записи его доказательства. Ферма также пошёл дальше Жирара, утверждая, что он может доказать единственность представления такого простого числа в виде суммы двух квадратов и что у него есть общий метод нахождения такого представления, не прибегающий к перебору. Доказательства этих теорем (возможно, те самые, которые имел в виду Ферма, а быть может, другие) приведены в § 2.4 и 2.6.

Необходимость условий Жирара можно переформулировать как утверждение о том, что если частное от деления числа на наибольший содержащийся в нём квадрат делится на простое число вида 4n + 3, то данное число нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это также одна из теорем Ферма. Она значительно проще, чем вторая часть теоремы о представлении чисел в виде суммы двух квадратов, но ни в коем случае не тривиальна. (Доказательство этой теоремы см. в упр. 2 к § 1.8.)

Другой задачей, которую детально рассмотрел Ферма, была задача о нахождении числа представлений данного числа в виде суммы двух квадратов. Эта задача не имеет отношения к теме нашей книги, и мы не будем рассматривать её здесь, однако суть её решения изложена в § 2.5.

Ферма обнаружил, что представления чисел в виде x² + 2y² или x² + 3y² управляются теми же законами, что и представления в виде сумм двух квадратов. Представления в виде x² + 2y² не понадобятся при изучении Последней теоремы Ферма, и мы ограничимся здесь лишь кратким обзором относящихся к ним фактов. В таблице 1.3 приведены все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде x² + 2y².

Изучение этой таблицы показывает, что, как и в предыдущем случае, входящие в эту таблицу числа можно описать как (1) квадраты, или (2) простые, которые входят в таблицу, или (3) любое произведение таких чисел. Следовательно, процедура, которая позволяет записать данное число в виде x² + 2y², должна состоять в том, чтобы записать его в виде квадрата, умноженного на произведение первых степеней простых чисел, и выяснить, представимы ли входящие в это произведение простые в виде x² + 2y². Если они представимы в таком виде, то аналог формулы (1), а именно

(обе части равны a²c² + 2a²d² + 4b²d²), показывает, как записать исходное число в таком виде. Если хотя бы одно из них не представимо в виде x² + 2y², то по аналогии со случаем x² + y² и как подсказывает таблица следует ожидать, что и само исходное число не представимо в виде x² + 2y². Для полной аналогии со случаем x² + y² необходимо доказать эту теорему (если число, делённое на наибольший содержащийся в нём квадрат, имеет простой множитель, который не записывается в виде x² + 2y², то и само число не записывается в таком виде) и охарактеризовать все простые, которые представимы в виде x² + 2y². Ферма утверждал (и явно претендовал на то, что у него есть строгое доказательство), что нечётное простое можно представить в виде x² + 2y² тогда и только тогда, когда оно имеет вид 8n + 1 или 8n + 3. Доказательство того, что простые числа, не имеющие вида 8n + 1 или 8n + 3, не представимы в виде x² + 2y², — более лёгкая часть этой теоремы (см. упр. 3); обратное утверждение труднее (см. упр. 6 и 7 к § 2.4).

В отличие от представлений в виде x² + 2y² представления в виде x² + 3y² играют важную роль в изучении Последней теоремы, особенно в доказательстве Эйлера случая n=3, поэтому аналогичные теоремы о таких представлениях будут подробно доказаны в следующей главе. В таблице 1.4 приведены все числа вида x² + 3y², меньшие 256.

Изучение этой таблицы показывает, что опять данное число можно представить в виде x² + 3y² тогда и только тогда, когда оно является (1) квадратом, или (2) простым числом такого вида, или (3) произведением таких чисел. Далее, легко заметить, что все входящие в таблицу простые числа, кроме числа 3 = 0² + 3·1², которое явно является здесь исключительным, отличаются одно от другого на кратные 6, а на самом деле каждое из них на единицу больше, чем некоторое кратное 6. Поскольку все простые вида 6n + 1 рано или поздно окажутся в этой таблице (но не вообще все числа такого вида, так как отсутствует 55), то естественно догадаться, что любое простое, отличное от 3, можно представить в виде x² + 3y² тогда и только тогда, когда оно имеет вид 6n + 1. Снова легко (см. упр. 2) доказать часть «только тогда» этой теоремы. Имеется аналог формулы (1), а именно

который делает очевидной часть «тогда» первой из приведённых теорем. Далее, каждое простое, отличное от 3, можно представить в виде 3n + 1 или 3n + 2, и простые числа вида 3n + 1 должны иметь вид 6n + 1. Действительно, если n нечётно, то 3n + 1 чётно и, следовательно, не может быть простым.

Эти наблюдения сводят две приведённые выше теоремы к следующим утверждениям: если число, разделённое на наибольший содержащийся в нём квадрат, имеет простой делитель вида 3n + 2, то его нельзя представить в виде x² + 3y²; каждое простое число вида 3n + 1 можно записать в виде x² + 3y². Эти теоремы доказываются в следующей главе.

Однако уже рассмотрение следующего случая показывает, что эти свойства представлений чисел в виде x² + y², x² + 2y², x² + 3y² являются чем-то исключительным. Выражение x² + 4y² является суммой двух квадратов, поэтому следующим случаем будет не x² + 4y², а x² + 5y². В таблице 1.5 приведены все числа, меньшие 256, которые представимы в виде x² + 5y².

Заметим, что 21 встречается дважды (как 1² + 5·2² и 4² + 5·1²), а его простые делители 3 и 7 не входят вообще. Это показывает, что в данном случае утверждения, подобные приведённым выше, не имеют места. Ферма высказал очень глубокую гипотезу о числах вида x² + 5y², которая свидетельствует о том, что он изучил эту задачу и осознал её коренное отличие от предыдущих. Гипотеза Ферма состоит в том, что если два простых числа p₁ и p₂ оба имеют вид 4n + 3, а их последняя цифра есть либо 3, либо 7, то p₁ p₂ представимо в виде x² + 5y². (Простые 3, 7, 23, 43, 47, 67, ... сравнимы с 3 по модулю 4 и оканчиваются на 3 или 7. Гипотеза состоит в том, что произведение любых двух этих чисел имеет вид x² + 5y². Например, 3·3 = 2² + 5·1², 3·7 = 4² + 5·1², 7·7 = 2² + 5·3², 3·23 = 8² + 5·1², 3·43 = 2² + 5·5², 7·23 = 9² + 5·4² и т.д.) Эта гипотеза не только верна, но и является основным фактом о числах вида x² + 5y² (см. упр. 1 к § 8.6). Это ещё одно подтверждение гениальности Ферма именно в теории чисел.

Упражнения

1.	Докажите, что если x2 + y2 — нечётное простое число, то оно представимо в виде 4n + 1.
2.	Докажите, что если x2 + 3y2 — простое, отличное от 3, то оно имеет вид 6n + 1.
3.	Докажите, что если x2 + 2y2 — нечётное простое, то оно имеет вид либо 8n + 1, либо 8n + 3.
4.	Докажите, что необходимость условия Жирара можно, как указано в тексте, переформулировать в виде утверждения о том, что если частное от деления числа на наибольший содержащийся в нём квадрат делится на простое вида 4n + 3, то данное число нельзя записать как сумму двух квадратов.
5.	Покажите, что из теоремы Жирара следует утверждение Диофанта, согласно которому нельзя найти такие  рациональные числа x и y, что x2 + y2 = 15.
6.	Докажите, что произведение двух чисел вида x2 + 5y2 также имеет такой вид.

1.8. Совершенные числа и теорема Ферма

Изучение «совершенных чисел» берёт своё начало в предыстории теории чисел, когда числам приписывали некие магические свойства. Число называется «совершенным», если оно равно сумме своих собственных делителей. Например, число 6 совершенно, поскольку 6=1+2+3. Современному математику это понятие уже не кажется ни слишком захватывающим, ни слишком интересным. Однако в течение многих веков оно пленяло и завораживало учёных. Дискуссия о совершенных числах велась в широком масштабе: от такой мистики, как утверждение Алкуина (735–804) из Йорка и Тура о том, что совершенством числа 6 объясняется сотворение мира за 6 дней, до более близких к науке попыток найти все совершенные числа. Во времена Ферма интерес к совершенным числам ещё далеко не угас, и в конце 1630-х годов между Ферма, Мерсенном, Декартом, Френиклем и другими велась обширная переписка по поводу совершенных чисел и родственных вопросов.

Евклид в «Началах» показал (Книга IX, предложение 36), что если 1+2+4+... + 2^n–1 = 2ⁿ – 1 — простое число, то число 2^n–1(2ⁿ – 1) совершенно. Например, 3=1+2 — простое, поэтому 2·3=6 — совершенное; 7=1+2+4 — простое, поэтому совершенно 2²·7 = 28. В современных обозначениях это утверждение доказывается очень просто. Действительно, если p = 2ⁿ – 1 — простое, то собственными делителями числа 2^n–1 p являются 1, 2, 4, ..., 2^n–1, p, 2p, 4p, ..., 2^n–2 p, и их сумма равна

что и требовалось доказать. Условие Евклида является достаточным для того, чтобы число было совершенным. Никакие примеры других совершенных чисел неизвестны. Декарт утверждал (а Эйлер доказал это утверждение), что совершенное число имеет евклидов вид тогда (и, конечно, только тогда), когда оно чётно. [Читателю предлагается доказать эту теорему в качестве упражнения.] Вопрос о том, существуют ли нечётные совершенные числа, является знаменитой нерешённой проблемой. К счастью, здесь мы можем без неё обойтись.

Согласно условию Евклида, для нахождения совершенных чисел достаточно¹¹ найти простые числа в последовательности 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, ... . Эта последняя задача уже представляет для нас значительный интерес. Короче говоря, для каких значений n число 2ⁿ – 1 является простым? Решая эту задачу, Ферма сделал важное открытие, известное теперь как теорема Ферма.

Во-первых, числа 15, 63, 255, 1023 (= 3 · 341), 4095, очевидно, не являются простыми. Вообще, если n чётно и больше 2, то 2ⁿ – 1 = 2^2k – 1 = (2^k – 1)(2^k + 1) — не простое. Нечётные значения n = 3, 5, 7 приводят к простым 7, 31, 127, но нечётное значение n = 9 даёт 511 и, как легко видеть, 511 делится на 7. Это приводит к предположению, что если n — не простое, то число 2ⁿ – 1 также не является простым. Это предположение легко проверяется, если заметить, что

Последнее замечание сводит рассматриваемый вопрос к вопросу о том, для каких простых p число 2^p – 1 является простым. Простые числа вида 2^p – 1 называются простыми Мерсенна в честь постоянного корреспондента Ферма преподобного Марэна Мерсенна (1588–1648).

Простым 2, 3, 5, 7 соответствуют простые Мерсенна 3, 7, 31, 127 (и, следовательно, совершенные числа 6, 28, 496, 8128). Проверим, является ли простым 2¹¹ – 1. На этот вопрос легко ответить, найдя число 2¹¹ – 1 = 2047 в явном виде и пробуя делить его на все простые, меньшие √2047, чтобы узнать, делит ли какое-нибудь из них 2047 нацело. Однако поучительнее подойти к этой задаче другим способом, который можно использовать затем для больших, чем 11, показателей р.

Посмотрим, делится ли 2¹¹ – 1 на 7. Представим себе, что степени числа 2 записаны в одну строку, а под ними записаны их остатки при делении на 7:

Закономерность в расположении остатков очевидна, и ясно, что остаток от деления 2ⁿ на 7 равен 1 тогда и только тогда, когда n делится на 3, т.е. 7 делит 2ⁿ – 1 тогда и только тогда, когда 3 делит n. Следовательно, 7 не делит 2¹¹ – 1. Тот же метод можно использовать и для других простых. Некоторые результаты приведены в таблице 1.6.

Ясно, что для каждого простого p остатки расположены в циклическом порядке и существует такое целое d, что p делит 2ⁿ – 1 тогда и только тогда, когда d делит n. Как только этот факт замечен, его легко доказать. Поскольку при делении на p возможны только p–1 остатков, в последовательности остатков по крайней мере два остатка должны совпадать; пусть, скажем, числа 2ⁿ и 2^n+m имеют один и тот же остаток. Тогда p делит их разность 2^n+m – 2ⁿ = 2ⁿ (2^m – 1), но p — простое число и не делит 2, следовательно, p делит 2^m – 1. Поэтому остаток от деления числа 2^m на p равен 1. Следовательно, число 1 входит в последовательность остатков. Пусть 2^d — наименьшая степень числа 2, которая даёт в остатке 1. Тогда 2^md при делении на p также даёт в остатке 1, поскольку

делится на p. Обратно, единственными степенями числа 2, которые дают в остатке 1, являются степени, соответствующие кратным d. Действительно, если 2^m даёт в остатке 1 и если m = qd + r  (q≥0, 0≤r<d), то как 2^m = 2^qd 2^r, так и 2^qd дают в остатке 1, и их разность 2^qd (2^r – 1) делится на p. Так как 2^qd не делится на p, то это противоречит определению d (напомним, что 0≤r<d), за исключением случая, когда r=0 и m кратно d, что и требовалось доказать. Кроме того, выше мы заметили, что 2^n+m и 2ⁿ дают одинаковые остатки только тогда, когда 2^m даёт в остатке 1, т.е. остатки повторяются только через интервалы, длина которых делится на d. Следовательно, существует в точности d различных остатков и они циклически повторяются, как и в рассмотренных примерах.

Из этого замечания об остатках следует, что если мы хотим определить, делится ли 2¹¹ – 1 на p, достаточно найти соответствующее значение d и выяснить, делится ли 11 на d. Поскольку 11 — простое число, последнее условие равносильно тому, что d = 11. Для всех рассмотренных до сих пор простых ответ на этот вопрос отрицателен.

Существует более простой способ нахождения последовательности остатков, который не требует прямого вычисления 2ⁿ и деления его на p (для n = 1, 2, 3, ...). Например, поскольку известно, что при делении 128 на 13 получается остаток 11, то остаток от деления 256 на 13 легко найти путём удвоения 11 и вычитания 13 из полученного результата; таким образом, следующий остаток равен 22 – 13 = 9. Далее получится остаток 2·9 – 13 = 5, а за ним 2·5. Вообще, каждый остаток равен либо удвоенному предыдущему, либо удвоенному предыдущему минус p и любой из них лежит в области значений остатков 1≤r≤p–1. Действительно, если 2ⁿ – r делится на p, то 2ⁿ⁺¹ – 2r делится на p, и отсюда немедленно следует, что 2ⁿ⁺¹ и 2r имеют один и тот же остаток при делении на p. Таким образом, для p = 19 остатками являются 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, ..., поэтому d = 18 ≠ 11; следовательно, 2¹¹ – 1 не делится на 19. Для следующего простого p = 23 получаются остатки 1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12, 1, 2, 4, ...; отсюда следует, что d = 11 и 23 делит 2¹¹ – 1. Таким образом, 2¹¹ – 1 не является простым, и действительно, 2¹¹ – 1 = 2047 = 23·89.

Аналогичным образом можно подойти к задаче, является ли число 2¹³ – 1 простым (а тем самым является ли число 2¹² (2¹³ – 1) совершенным). Мы должны выяснить, существует ли простое p, для которого d = 13. Все рассмотренные до сих пор простые можно исключить (поскольку соответствующие им d оказались отличными от 13), и нам остаётся проверить, равно ли d числу 13 для p = 29, 31, 37, ... до последнего простого, которое меньше чем √2¹³ – 1 = √8191 < 91. Ферма заметил одну несложную закономерность в значениях d, которая позволяет немедленно исключить из рассмотрения все, кроме очень небольшого числа таких простых. Попробуйте обнаружить её самостоятельно! Вот несколько первых значений  d:

Конечно, поскольку d — число различных остатков, то d не превосходит p–1. Ферма заметил, что на самом деле d делит p–1. Отсюда следует, что d может равняться 13, только если 13 делит p–1. Поэтому возможными значениями p являются 13+1, 26+1, 39+1, 52+1, ... . Из них только нечётные числа 27, 27 + 26 = 53, 53 + 26 = 79, ... могут быть простыми. Поскольку 27 не является простым, а 79 + 26 больше чем √2¹³ – 1, то это означает, что нужно испытать только два простых, а именно: 53 и 79. Соответствующие им значения d, которые определяются использованным выше методом, равны 52 и 39. Таким образом, если мы убеждены в том эмпирическом факте, что d делит p–1, то из этих кратких вычислений мы сразу получаем, что 2¹³ – 1 = 8191 — простое число.

Учитывая, что d делит m тогда и только тогда, когда 2^m – 1 делится на p (см. выше), мы можем утверждение о том, что d делит p–1, переформулировать в виде «p делит 2^p–1 – 1», или «p делит 2^p – 2». Ферма формулирует свою теорему как в последнем виде, так и в виде d | (p–1).¹² Как обычно, Ферма утверждает, что у него есть доказательство этой теоремы, но опускает его. Возможно, его доказательство было следующим.

Согласно определению, существуют в точности d возможных остатков 1, 2, 3, ..., p–1, которые могут встретиться при делении степеней 2 на  p. Если каждый из них встречается на самом деле, то d = p–1 и требуемое заключение d | (p–1) справедливо. В противном случае среди них найдётся хотя бы одно число k, не попадающее в число остатков. Среди возможных остатков 1, 2, 3, ..., p–1 рассмотрим те, которые получаются при делении на  p чисел вида k, 2k, 4k, 8k, ..., 2ⁿ k, ... . Таких остатков в точности d, и ни один из них не входит в исходное множество из d остатков. Первое из этих двух утверждений следует из того, что 2^n+m k и 2ⁿ k дают один и тот же остаток тогда и только тогда, когда 2ⁿ k(2^m – 1) делится на  p, а это верно в том и только в том случае, когда mn делится на d. Для доказательства второго достаточно заметить, что если бы 2ⁿ и 2^mk давали один и тот же остаток, то тем же свойством обладали бы 2ⁿ⁺¹ и 2^m+1k (поскольку 2ⁿ – 2^mk делится на  p тогда и только тогда, когда 2(2ⁿ – 2^mk) делится на  p), а также 2ⁿ⁺² и 2^m+2k, и т.д.; отсюда следует (если выбрать m+j делящимся на d), что 2^n+j и k при делении на  p дают один и тот же остаток, а это противоречит выбору k. Если эти два множества остатков исчерпывают все p–1 возможных остатков, то p–1 = 2d и d | (p–1), что и требовалось доказать. В противном случае найдётся ещё один возможный остаток k', который не принадлежит ни тому ни другому множеству. Тогда, так же как и раньше, остатки чисел k', 2k', 4k', ..., 2ⁿk', ... образуют множество, состоящее ещё из d различных остатков, ни один из которых не принадлежит никакому из двух уже найденных множеств. Продолжив этот процесс, мы разобьём множество всех p–1 возможных остатков на подмножества, каждое из которых состоит из d элементов. Отсюда, конечно, следует, что d обязательно делит  p–1, что и требовалось доказать.

Например, при p = 31 степени 2 дают остатки 1, 2, 4, 8, 16. В этот список не входит 3, и числа 3, 2·3, 4·3, 8·3, ... дают остатки 3, 6, 12, 24, 17. Ни один из этих списков не включает 5; при делении чисел 5, 2·5, 4·5, 8·5, ... в остатке получаются 5, 10, 20, 9, 18. Если продолжить таким образом, то остатки 1, 2, ..., 30 сгруппируются в шесть множеств из пяти элементов: три перечисленных выше и множества (7, 14, 28, 25, 19), (11, 22, 13, 26, 21), (15, 30, 29, 27, 23). Тот факт, что p–1 остатков всегда распадаются таким образом на множества из d элементов, гарантирует, что d всегда делит p–1.

Ни одно из этих рассуждений не зависит от каких-либо специальных свойств числа 2, которое было выбрано только потому, что оно появляется в связи с нахождением совершенных чисел, и для любого другого положительного целого a те же самые рассуждения доказывают такую теорему: если  p — простое, которое не делит a, то существует такое целое d, что p делит a^m – 1 тогда и только тогда, когда d делит m. Теорема Ферма утверждает, что d делит p–1. Согласно определяющему свойству d, это утверждение сводится к тому, что  p делит a^p–1 – 1, или, что то же самое, что  p делит a^p – a. Последнее утверждение самое краткое, поскольку в него вообще не входит d и поскольку оно справедливо, даже если p делит a. Это обычная формулировка теоремы Ферма: если p — простое число и a — произвольное целое, то  p делит a^p – a.

Теорема Ферма — одно из самых важных арифметических свойств целых чисел; мы будем существенно пользоваться ею в последующих главах этой книги. Остальная часть данного параграфа, напротив, посвящена вопросу, который представляет лишь исторический интерес. Это вопрос о так называемых числах Ферма 2¹ + 1, 2² + 1, 2⁴ + 1, 2⁸ + 1, 2¹⁶ + 1, 2³² + 1, ... . В переписке Ферма неоднократно выражал своё убеждение в том, что все эти числа — простые. (Заметим, что 2ⁿ + 1 не является простым, если n не есть степень двойки; действительно, если n имеет нечётный делитель k, например n = km, то

Таким образом, он полагал, что решил древнюю задачу нахождения формулы, которая даёт сколь угодно большие простые числа. В конце жизни Ферма даже заявил,¹³ что может доказать простоту всех таких чисел.

Несколько первых чисел Ферма — простые. Числа 2¹ + 1 = 3, 2² + 1 = 5 и 2⁴ + 1 = 17, несомненно, простые. Простоту 2⁸ + 1 = 257 можно доказать следующим образом. Если p делит 2⁸ + 1, то оно делит (2⁸ + 1)(2⁸ – 1) = 2¹⁶ – 1. Следовательно, соответствующее ему d (при a = 2) должно делить 16. Но делителями 16 являются только 1, 2, 4, 8, 16, и d не может равняться 1, 2, 4 или 8, поскольку в этом случае  p делило бы 2⁸ – 1, а это противоречит предположению, что p делит 2⁸ + 1. Следовательно, d = 16 и по теореме Ферма  p = 16n + 1 для некоторого целого n. Но наименьшее такое простое p = 17 уже больше чем √2⁸ + 1, поэтому 2⁸ + 1 не имеет собственных делителей, что и требовалось доказать.

Аналогично, единственными простыми делителями 2¹⁶ + 1 могут быть только простые вида  p = 32n + 1. Поскольку √2¹⁶ + 1 лишь немного больше чем 2⁸ = 256, то мы должны испытать только простые числа в списке 33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, в котором лишь два простых 97, 193. Ни одно из них не делит 2¹⁶ + 1, поскольку остатки, которые получаются при делении степеней 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2¹⁶ на 97, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 31, 62, 27, 54, 11, 22, 44, 88, 79, 61, так что при делении 2¹⁶ + 1 на 97 получается в остатке 62, а остатки при делении этих степеней на 193 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 63, 126, 59, 118, 43, 86, 172, 151, 109, и при делении 2¹⁶ + 1 на 193 в остатке получается 110. Следовательно, 2¹⁶ + 1 — простое число.

Аналогичное доказательство для 2³² + 1 гораздо длиннее, и Ферма, должно быть, не пытался всерьёз его провести либо допустил ошибку в вычислениях. Согласно такому же рассуждению, как и выше, единственными простыми делителями 2³² + 1 могут быть числа вида  p = 64n + 1. Если 2³² + 1 не является простым, то его наименьший простой делитель не может быть больше чем 2¹⁶. Поскольку числа 64n + 1 расположены через интервалы в 64 = 2⁶ единицы, грубо говоря, надо проверить 2¹⁰ = 1024 числа. Однако каждое третье из них делится на 3, каждое пятое — на 5, и т.д.; поэтому количество простых p = 64n + 1, лежащих в критической области, только порядка 500 или в этом роде. Доказывать таким способом, что 2³² + 1 — простое число, — довольно долгое дело, хотя оно и займёт не больше нескольких дней. Однако число 2³² + 1 не является простым; оно делится на 641. Если следовать описанной выше процедуре, то мы должны проверить последовательно 193, 257, 449, 577, а затем 641. Таким образом, 641 — всего лишь пятое¹⁴ простое число, которое следует проверить. Делитель 641 числа 2³² + 1 был обнаружен Эйлером.

Эта неудача, кажется, — единственное серьёзное пятно на репутации Ферма как специалиста по теории чисел. Дело усугубляется тем, что, как нам теперь известно, следующие несколько чисел Ферма: 2⁶⁴ + 1, 2¹²⁸ + 1, 2²⁵⁶ + 1 и несколько других — все составные. Не найдено ни одного простого числа Ферма за пределами 2¹⁶ + 1. Однако даже здесь есть смягчающее обстоятельство, ещё одно подтверждение безошибочного инстинкта Ферма при выборе задачи. Через полтора века после того, как Ферма выдвинул свою гипотезу, юный Гаусс показал, что евклидово построение пятиугольника при помощи циркуля и линейки тесно связано с тем фактом, что 5 = 2² + 1 является числом Ферма. Вообще, Гаусс доказал, что если n — простое число Ферма, то правильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки. Обратно, как утверждал Гаусс и доказал Ванцель (см. [K1a]), при помощи циркуля и линейки можно построить только те правильные n-угольники, для которых n = 2^k p₁ p₂ ... p_m, где p₁, p₂, ..., p_m — различные простые числа Ферма и k≥0.

Упражнения

1.	Докажите, что число 237 – 1 не является простым. [При проверке данного простого не обязательно находить d; достаточно определить, делит ли это простое 237 – 1. Для этого не надо находить остатки, получающиеся при делении всех чисел 1, 2, 4, 8, 16, ... , так как достаточно найти только те остатки, которые получаются при делении чисел 2, 22, 24, 28, 216, 232, 232+4, 237.]
2.	Докажите, что число, которое не удовлетворяет условиям Жирара, нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Точнее, докажите, что если p делит x2 + y2 и p — простое вида 4n + 3, то p делит как x, так и y. [Если p делит x2 + y2, то оно делит число (x2)2n+1 + (y2)2n+1. Если же p не делит хотя бы одно из x, y, то это число на 1 или 2 больше чем некоторое кратное p и, следовательно, не может делиться на p.]
3.	Покажите, как можно построить правильный треугольник при помощи циркуля и линейки. Рассмотрите евклидово построение правильного пятиугольника («Начала», Книга IV, предложение 11). Покажите, как, используя эти два построения, можно построить правильный 15-угольник. Применяя теорему Гаусса и Ванцеля, найдите все такие значения n ≤ 30, что правильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки.

1.9. Уравнение Пелля

В 1657 году — в довольно поздний период своей деятельности — Ферма в качестве вызова разослал другим математикам, в частности английским, одну задачу: он надеялся найти среди них кого-нибудь, кто разделял бы его интерес к теории чисел.

Вступление Ферма к формулировке этой задачи ясно показывает, что он делает чёткое различие между диофантовой традицией решения в рациональных числах и традицией, с которой он теперь ассоциирует самого себя, решения в целых числах. (По иронии судьбы в современной терминологии «диофантово» означает «целое», тогда как Диофант ни в одной дошедшей до нас части его работы не занимался решениями в целых числах.) Как это ни странно, вступление было опущено одним из посредников в том экзепляре письма, который был переправлен английским математикам; в результате они сочли эту задачу глупой, имеющей тривиальное диофантово решение

которое даёт бесконечно много рациональных ответов. Когда же дополнительное требование, что x и y должны быть целыми числами, дошло до них, они обнаружили, что это «решение» не имеет никакой ценности, и пожаловались, что Ферма изменил условие задачи. Конечно, их жалоба оправдана в свете сильной диофантовой традиции, но, как указал Ферма, с их стороны было наивно полагать, что он предложил столь тривиальную задачу.

Конечно, Ферма не был первым, кто начал изучать свойства целых чисел. В тех книгах «Начал» Евклида, которые посвящены арифметике, рассматриваются исключительно целые числа; Платон тоже неоднократно говорил о предпочтительности с философской точки зрения изучения целых чисел. Но Ферма возродил эту древнюю традицию и пытался при помощи своей задачи пробудить в других такой же интерес. Поскольку ему не удалось заинтересовать сограждан — например Паскаля — своими занятиями арифметикой целых чисел, теперь он был готов войти в международную переписку, пытаясь найти других учёных, которые разделяли бы его интересы.

Мотивировка задачи: «доказать, что для данного положительного целого A, не являющегося квадратом, найдётся бесконечно много целых x, для которых Ax² + 1 является квадратом» — лежит в собственных работах Ферма, а так как Ферма был очень скрытным во всём, что касалось его математической деятельности, то теперь невозможно реконструировать тот путь, который привёл его к этой задаче. В какой-то мере эта задача неявно присутствует в некоторых местах у Диофанта (см. Диксон [D2, т. 2, стр. 345–346]), и довольно ясно, что некоторые задачи Диофанта и комментарии Баше к ним привели Ферма к задачам, которые включали целочисленные решения квадратных уравнений с двумя неизвестными, но детали этой связи непонятны. С определённостью можно лишь сказать, что эта задача была выбрана не случайно. Как обнаружили позднейшие исследования, это частное квадратное уравнение в целых числах  y² – Ax² = 1 играет важную роль в решении произвольных квадратных уравнений с двумя неизвестными в целых числах.

Конечно, Ферма не был первым, кто распознал важность этой задачи. Есть указания на то, что интерес к ней проявляли ещё древнегреческие математики — об этом свидетельствует пифагорово решение¹⁵ для случая A = 2, связанное с иррациональностью √2, а в немотивированном утверждении Архимеда, что 1351/780 > √3, проявляется знание решения 3·780² + 1 = 1351² задачи Ферма при A = 3. Многие историки полагали, что древние греки обладали значительными знаниями этого предмета, которые не дошли до нас. Доказательства интереса, проявляемого к этой задаче в древней Индии, документированы полнее. (См. [D2, т. 2, стр. 346–350], [C3] или [H1, стр. 281–285].) В очень давние времена (за несколько веков до н.э.) в древней Индии было известно решение 2·408² + 1 = 577², а решение 92·120² + 1 = 1151², являющееся наименьшим в случае A = 92, вместе с изощрённой техникой его вывода было получено Брахмагуптой (родился в 598 году н.э.). Общий способ решения этого уравнения (так называемый «циклический метод») дал Бхаскара Акхария (родился в 1114 году н.э.). Сущность этого метода состоит в следующем.

Предположим, что A = 67, т.е. задача состоит в том, чтобы найти такое целое x, что 67x² + 1 является квадратом, или, что то же самое, найти такие целые x и y, что y² – 67x² = 1. Поскольку 8² – 67·1² = –3 достаточно близко к 1, в качестве первого приближения к таким числам x и y можно взять 1, 8. Рассмотрим теперь аналог формулы (1) из § 1.7 для этого случая, а именно формулу

Применив её к равенствам 8² – 67·1² = –3 и r² – 67·1² = s (где r, а тем самым и s должны быть определены позже), мы получим, что

Попытка сделать это число как можно меньше только за счёт выбора наименьшего возможного s привела бы к выбору r = 8, s = –3, и мы получили бы 131² – 67·16² = 9. Ясно, что это никуда не ведёт. «Циклический метод» состоит в том, чтобы выбрать такое r, чтобы r + 8 делилось на 3, и в то же время сделать s возможно меньшим. Когда это сделано, последнее уравнение показывает, что 8r + 67 должно делиться на 3 и, следовательно, левая часть этого уравнения должна делиться на 3². Таким образом, s должно делиться на 3, и обе части уравнения должны делиться на 9. Это приводит к существенно новому случаю, в котором  y² – 67x² является маленьким числом.

Проведём эти рассуждения явно. Для того чтобы r+8 делилось на 3, r должно принимать одно из значений 1, 4, 7, 10, 13, ... . Выбор r = 7, s = –18 даёт наименьшее (по абсолютной величине) s; этим r и s соответствует равенство 123² – 67·15² = 54, которое после сокращения на 9 превращается в

Теперь этот процесс можно повторить. Умножая обе части последнего равенства на r² – 67·1² = s, получим (41r + 67·5)² – 67(5r + 41)² = 6s. Если, как и раньше, выбрать такое r, что 5r + 41 делится на 6, то мы сможем обе части уравнения сократить на 6². Для того чтобы 5r + 41 делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы r + 1 = 6(r + 7) – (5r + 41) делилось на 6, что справедливо при r = 5, 11, 17, 23, ... . Выбор r = 5 даёт наименьшее значение s, и мы получаем 540² – 67·66² = 6·(–42), что после сокращения на 6² превращается в

Конечно, не ясно, привела ли эта процедура нашу задачу хоть немного ближе к решению, но по крайней мере понятно, что её продолжение может в конце концов привести к уравнению, правая часть которого, как и требуется, равна 1. В данной задаче дело обстоит именно так; продолжение процесса «циклического метода» в нашем случае даёт её решение:

(Оригинальное индийское решение этой задачи использует приём, сокращающий вычисления. Обе части формулы 221² – 67·27² = –2 возводятся в квадрат, что приводит к равенству (221² + 67·27²)² – 67·(2·27·221)² = 2², после сокращения которого на 2² получается окончательное решение 48842² – 67·5967². Заметим, что это есть приведённое выше диофантово решение с m = 221, n = 27, An² – m² = 2.) Коротко говоря, если A = 67 — данное число, то x = 5967 обладает тем свойством, что Ax² + 1 является квадратом. «Бесконечное число» решений, которых требует Ферма, можно получить либо продолжая этот процесс и находя всё больше равенств, в которых правая часть равна 1 (и тогда окажется, что числа в правой части будут циклически повторяться: 1, –3, 6, –7, –2, –7, 6, –3, 1, –3, 6, — возможно поэтому такой процесс называется «циклическим методом»), либо используя уже найденное решение и получая другие возведением в квадрат:

в куб

в четвёртую степень, и т.д. Это решает задачу Ферма в частном случае A = 67.

Точно так же можно применять циклический метод для нахождения решения задачи Ферма при произвольном A, которое не является квадратом. Коротко говоря, процедура заключается в следующем. На первом шаге берём равенство 1² – A·0² = 1. Предположим, что на n-м шаге мы имеем равенство p² – Aq² = k. Для того чтобы перейти к (n+1)-му шагу, умножим это равенства на r² – A = s; получим (pr + qA)² – A(p + qr)² = ks, где r, а тем самым и s ещё должны быть определены. В качестве r выберем положительное целое, для которого p + qr делится на k и которому соответствует наименьшее возможное s. Тогда pr + qA делится¹⁶ на k, и, сократив обе части (pr + qA)² – A(p + qr)² = ks на k², мы получим равенство следующего шага P² – AQ² = K, где P = (pr + qA)/|k|, Q = (p + qr)/|k| и K = s/k. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на некотором шаге мы не придём к равенству требуемого вида p² – Aq² = 1. Тогда x = q является решением задачи Ферма, так как Aq² + 1 = p² — квадрат. Затем можно получить бесконечную серию решений, либо продолжая работать циклическим методом для нахождения других равенств p² – Aq² = k с k = 1, либо, как и выше, последовательно возводя в степени первое полученное решение.

В действительности этим методом удаётся получить решения задачи Ферма для всех значений A, которые не являются квадратами. В таблице 1.7 приведён список наименьших решений x уравнения Ax² + 1 = квадрат для A = 2, 3, 5, 6, ... . Эта таблица показывает, что предложенные Ферма частные случаи A = 149, A = 109 являются чрезвычайно трудными. Случай A = 61 — несомненно, труднейший при всех A < 100 — был также выделен¹⁷ Ферма, когда он предложил эту задачу Френиклю примерно в то же самое время. Если и могли быть какие-то сомнения, то этот факт достоверно показывает, что Ферма владел процедурой решения, которая позволяла ему находить самые трудные случаи. (Хотя случай A = 433 не кажется особенно трудным: решение имеет 19 разрядов, а при A = 421 разрядов 33.)

К чести англичан, надо сказать, им удалось не только найти частные решения в предложенных Ферма трёх случаях, но и разработать общую процедуру получения решений для любого значения A. Кто сделал это — достоверно неизвестно. Хотя Джон Валлис первым дал описание процедуры и получил решения в трёх частных случаях, он приписывает авторство виконту Уильяму Броункеру. В опубликованной переписке Валлиса нет никаких указаний на то, что Броункер когда-либо сообщал ему что-либо об этом методе, кроме нескольких простых замечаний, которые, быть может, послужили зародышем идеи, развитой впоследствии Валлисом. Вполне возможно, Валлису было чрезвычайно важно завоевать расположение Броункера и добиться его покровительства, и потому он назвал этот метод методом Броункера; Броункер не только принадлежал к знати, он был также первым президентом Королевского общества.¹⁸

Концепция английского метода существенно отличается от концепции описанного выше «циклического метода», хотя вычисления очень похожи. В частности, оба метода обладают тем свойством, что их можно применять для нахождения решений в частных случаях, не будучи заранее уверенным, что это приведёт к успеху. Например, выше нам удалось найти решение в случае A = 67, когда мы получили равенство с правой частью 1; аналогично будет установлено, что при применении циклического метода к любому другому частному случаю мы получим в конце концов равенство с правой частью 1 и тем самым найдём решение поставленной задачи. Однако нет никаких очевидных причин, по которым равенство с правой частью 1 должно обязательно получаться во всех случаях; аналогично, нет очевидных причин, по которым всегда должен приводить к успеху английский метод.

Таким образом, англичане в действительности не решили задачу Ферма, которая заключалась в том, чтобы доказать, что «при данном A, отличном от квадрата, существует бесконечно много таких x, что Ax² + 1 является квадратом», — несмотря на то, что им удалось дать процедуру нахождения x при данном A. Конечно, недостаёт доказательства того, что эта процедура всегда ведёт к успеху. Англичане не дали такого доказательства и, кажется, даже не осознавали, что оно необходимо. Однако это обстоятельство далеко не второстепенное, поскольку даже Эйлеру не удалось доказать, что английский метод всегда приводит к успеху. Лишь через 110 лет после того, как Валлис послал ответ на вызов Ферма, Лагранж дал первое доказательство этого утверждения. Доказательство Лагранжа в общих чертах намечено в упражнениях, которые следуют за этим параграфом.

Не вполне ясно, знал ли Ферма об этом недостатке решения Валлиса, и ещё менее очевидно, что его собственный метод был свободен от подобного недостатка. Ферма написал письмо, в котором признал, что англичанам в конце концов удалось решить его задачу; в нём он не проявил ни малейшей неудовлетворенности их методом, несмотря на отсутствие доказательства того, что этот метод всегда приводит к решению. Однако главным для Ферма в этом письме было убедить англичан признать, что перед ними была поставлена интересная и достойная их внимания задача. Короче говоря, Ферма по-прежнему надеялся пробудить в Валлисе и его окружении интерес к изучению целых чисел и, быть может, намеренно не обратил внимания на их упущения, чтобы воодушевить их на дальнейшие исследования.

Несколько лет спустя, подводя в письме к Каркави итоги некоторым своим открытиям в теории чисел, Ферма указал, что англичане получили решение его задачи Ax² + 1 = квадрат только в отдельных частных случаях и что им не удалось дать «общее доказательство». Очевидная интерпретация этого замечания заключается в том, что Ферма заметил отсутствие доказательства того, что предложенный ими процесс всегда приводит к решению; с другой стороны, в нём можно видеть и менее глубокую критику того, что этот процесс описан в недостаточно общих терминах. Ферма утверждает, что он мог бы дать нужное здесь «общее доказательство», «надлежащим образом» применяя метод бесконечного спуска. Трудно понять, как можно использовать бесконечный спуск для доказательства того, что этот процесс — либо метод Валлиса, либо тесно связанный с ним индийский циклический метод — всегда приводит к решению. По этой причине утверждение Ферма нельзя считать несомненным свидетельством в пользу того, что он действительно имел совершенно удовлетворительное решение своей задачи.

В результате ошибки Эйлера эта задача Ферма известна теперь как «уравнение Пелля». Почему-то — возможно, по причине смутных воспоминаний, оставшихся от чтения «Алгебры» Валлиса, — у Эйлера создалось ошибочное впечатление, будто Валлис приписывает метод решения этой задачи не Броункеру, а Пеллю — современнику Валлиса, который часто упоминается в его работах, но, как оказалось, не имеет ничего общего с решением задачи Ферма. Эйлер впервые сделал эту ошибку ещё в 1730 году, когда ему было только 23 года, но она попала и в окончательное издание его «Введения в алгебру» [E9], написанного около 1770 года. Эйлер был самым популярным математическим автором своего времени, и с тех пор метод Валлиса–Броункера связан с именем Пелля, а задача, которая решается при помощи этого метода, т.е. задача нахождения всех целых решений уравнения  y² – Ax² = 1 с данным числом A, отличным от квадрата, известна как «уравнение Пелля», несмотря на то, что именно Ферма первым указал на важность этой задачи, а Пелль вообще не имел к ней никакого отношения.

1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел

Многочисленные недоказанные утверждения Ферма остались вызовом для тех, кто пришёл ему на смену, и хотя ему не удалось пробудить интерес к теории чисел ни у Валлиса, ни у других математиков следующего поколения, на более поздних математиков, особенно начиная с Эйлера, попытки доказать или опровергнуть эти утверждения оказали огромное стимулирующее влияние. Как впоследствии выяснилось, все они, за исключением утверждения о том, что числа 2³² + 1, 2⁶⁴ + 1, 2¹²⁸ + 1, ... являются простыми, и, возможно, Последней теоремы xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ (n > 2), справедливы. Эти утверждения (кроме тех, которые обсуждались выше) не оказали непосредственного влияния на дальнейшую историю Последней теоремы Ферма, поэтому мы не будем рассматривать их подробно. Однако некоторые из них стоит упомянуть хотя бы для того, чтобы дать представление о размахе деятельности Ферма.

Одно из этих утверждений, согласно которому каждое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов, неявно содержится в книге Диофанта и явно сформулировано в комментариях Баше. Ферма утверждал, что он может доказать не только это утверждение, но и его обобщение, согласно которому каждое число можно представить в виде суммы трёх треугольных чисел, или четырёх квадратных чисел, или пяти пятиугольных, или шести шестиугольных чисел, и т.д. — ad infinitum. Здесь треугольными числами называются 0, 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15 и т.д.; квадратными — числа 0, 0 + 1 = 1, 1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 16, 16 + 9 = 25, ..., а пятиугольными — числа 0, 0 + 1 = 1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12, 12 + 10 = 22, 22 + 13 = 35 и т.д. Вообще, n-угольные числа 0, 1, a₂, a₃, a₄, ... получаются при последовательном сложении членов арифметической прогрессии 1, n – 1, 2n – 3, 3n – 5, ... . Таким образом, a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = n, a₃ = 3n – 3, a₄ = 6n – 8, a₀ = 10n – 15, ..., a_k = ½k(k–1)n – k(k–2). (Многоугольные числа рассматривались в различных древних трактатах, включая трактат Диофанта, от которого до наших времён сохранились только фрагменты.) Впоследствии с этой красивой теоремой были связаны некоторые из величайших имён в истории математики: Лагранж первым доказал утверждение для квадратов, Гаусс — для треугольных чисел, а Коши впервые получил доказательство в общем случае.

Среди других недоказанных утверждений Ферма содержится теорема о том, что 25 + 2 = 27 является единственным целочисленным решением уравнения x² + 2 = y³, а 4 + 4 = 8 и 121 + 4 = 125 — единственные решения уравнения x² + 4 = y³. Казалось бы, эти простые утверждения возникли из ничего, и не видно никакого естественного пути, на котором можно было бы попытаться их доказать.¹⁹ Согласно другому утверждению такого типа, 1 + 1 + 1 + 1 = 4 и 1 + 7 + 49 + 343 = 400 являются единственными решениями уравнения 1 + x + x² + x³ = y² (упр. 1).

Адресованное Валлису и другим английским математикам предложение решить уравнение Пелля в действительности было вторым вызовом Ферма. Первый вызов был ещё труднее и оказался, по-видимому, выше их понимания. Ферма предложил две задачи. (1) Найти куб, который в сумме со всеми его собственными делителями даёт квадрат. [Например, сумма числа 343 и всех его собственных делителей (343 + 49 + 7 + 1 = 400) является квадратом. Найдите другой куб, обладающий тем же самым свойством.] (2) Найти квадрат, который в сумме со всеми его собственными делителями даёт куб. Решение этих задач можно найти в книге Диксона [D2, т. 1, стр. 54–58].

Ещё одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде суммы двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения x³ + y³ = u³ + v³. Френикль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашёл несколько решений, например 1729 = 9³ + 10³ = 1³ + 12³ и 40 033 = 16³ + 33³ = 9³ + 34³ (по-видимому, испытанным методом проб и ошибок).

В заключение ещё одна теорема, которую легко сформулировать, но далеко не легко доказать: ни одно треугольное число, большее 1, не является четвёртой степенью. Другими словами, при x>2 уравнение ½ x(x–1) = y⁴ не имеет решений в целых числах. Первое доказательство этого факта примерно через сто пятьдесят лет было опубликовано в «Теории чисел» Лежандра.

В письме к Каркави Ферма завершает подведение итогов своим любимым открытиям в теории чисел следующими словами: «Потомки, возможно, будут благодарны мне за то, что я показал, что Древние знали не всё». Какое драматичное свидетельство пропасти во взглядах между временем Ферма и нашим временем! Невозможно представить себе математика двадцатого века, который считал бы, что Древние знали всё. Напротив, в наше время считается (по крайней мере в том, что касается математики), что Древние вообще ничего не знали. Скорее мы можем быть благодарны Ферма за то, что он показал нам, какое стимулирующее влияние оказывает изучение работ великих деятелей науки прошлого и как оно способствует более глубокому проникновению в предмет.

Упражнение

1.

Докажите утверждение Ферма о том, что единственными натуральными числами x, для которых 1 + x + x2 + x3 — квадрат, являются x=1 и x=7. Кроме них единственными целыми решениями являются x=0, –1. [Это прекрасная, но очень трудная задача. Воспользуйтесь тем, что x4 + y4 не может быть квадратом (§ 1.5), а уравнение x4 – y4 = z2 разрешимо только в тривиальных случаях  y = 0 или z = 0 (§ 1.6, упр. 2).]

2.1. Эйлер и Последняя теорема Ферма при n=3

Леонард Эйлер (1707–1783), несомненно, был величайшим математиком своего времени. Он внёс вклад во все мыслимые области математики — от прикладной математики до алгебраической топологии и теории чисел, причём не только в виде новых теорем и методов, но и в виде целой серии учебников по алгебре, анализу, математической физике и другим областям. Эти учебники составили основу математического образования для нескольких последующих поколений.

О величии Эйлера как математика можно судить хотя бы по тому, что при изучении теории чисел создаётся впечатление, что Эйлер в основном интересовался теорией чисел; если же изучаешь расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения, то кажется, что именно расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения были для Эйлера любимым предметом исследования и т.д. Конечно, в этой книге мы будем главным образом интересоваться вкладом Эйлера в теорию чисел и, в частности, его достижениями, связанными с Последней теоремой Ферма. Независимо от того, была или не была теория чисел любимым предметом Эйлера, в течение всей своей жизни он проявлял к ней неослабевающий интерес, и одних только его результатов в этой области было бы достаточно, чтобы его имя навсегда осталось в анналах математики.

В истории Последней теоремы Ферма имеются противоречивые мнения о том, удалось ли Эйлеру доказать эту теорему при n = 3. Обычно считается, что Эйлер привёл доказательство случая n = 3, но оно было «неполным» в некотором важном отношении. В нескольких словах невозможно сформулировать суть дела точнее. Подробное объяснение значительно сложнее. Доказательство Эйлера содержало фундаментальный пробел, о котором Эйлер, очевидно, не подозревал. Исправить это доказательство непосредственно, т.е. предложить другое доказательство того утверждения, при доказательстве которого Эйлер допустил ошибку, далеко не просто. Однако, как мы покажем в § 2.5, это доказательство можно исправить косвенным образом — при помощи рассуждений, которые Эйлер применил при доказательстве других утверждений Ферма. Такой метод не даёт ответа на вопрос о том, можно ли залатать первоначальное доказательство Эйлера — что весьма желательно ввиду элегантности и общности этого доказательства — но он по крайней мере показывает, что уравнение x³ + y³ = z³ неразрешимо в целых положительных числах x, y, z.

2.2. Доказательство Эйлера для n=3

В своём доказательстве Последней теоремы Ферма при n = 3 Эйлер применяет принадлежащий Ферма метод бесконечного спуска. Он показывает, что если можно найти положительные целые числа x, y, z, удовлетворяющие уравнению x³ + y³ = z³, то существуют меньшие положительные целые с тем же свойством; таким образом, в случае разрешимости этого уравнения можно было бы найти убывающую бесконечную последовательность таких троек целых положительных чисел. Ясно, что такой последовательности не существует. Следовательно, нельзя найти таких чисел x, y, z.

Итак, предположим, что x³ + y³ = z³. Из этого уравнения следует, что любой делитель двух из трёх чисел x, y, z делит также и третье из них. Следовательно, обе части этого уравнения можно сократить на все общие делители и с самого начала считать, что числа x, y, z попарно взаимно просты, т.е. что наибольший общий делитель x, y, или x, z, или y, z равен 1. В частности, не более чем одно из чисел x, y, z может быть чётным. В то же время ясно, что по крайней мере одно из этих чисел является чётным: если x и y оба нечётны, то z чётно. Поэтому в точности одно из этих чисел является чётным.

Сначала предположим, что x, y нечётны, a z чётно. Тогда x+y и x–y — чётные числа, скажем 2p и 2q соответственно, и x = ½(2p + 2q) = p + q, y = ½(2p – 2q) = p – q. Если x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) выразить через p и q, то получим

Числа p и q имеют противоположную чётность (поскольку p+q и p–q нечётны) и взаимно просты: действительно, любой общий делитель этих чисел обязан делить x = p+q и y = p–q и поэтому должен равняться 1. Кроме того, можно предположить, что p и q положительны. (Если x<y, то, меняя местами x и y, можно получить q>0. С другой стороны, x≠y, поскольку в противном случае x = y = 1, z³ = 2.) Следовательно, из предположения о существовании нечётных x, y, удовлетворяющих уравнению x³ + y³ = z³, следует, что существуют такие взаимно простые положительные целые p и q противоположной чётности, что

К такому же выводу можно прийти при нечётном z и чётном x или y. В этом случае нечётное число, скажем y³, можно перенести в правую часть:

Тогда  z–y = 2p,  z+y = 2q,  z = q+p,  y = q–p и

что приводит к тому же самому заключению:

где p и q — взаимно простые положительные целые противоположной чётности.

Следующий шаг в нашем рассуждении, грубо говоря, состоит в том, чтобы заметить, что числа 2p и  p² + 3q² взаимно просты, и из этого замечания заключить, что их произведение может быть кубом тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей является кубом. Обратите внимание на аналогию с методом из § 1.3, где анализируются решения уравнения x² + y² = z². Однако утверждение, что 2p и  p² + 3q² взаимно просты, не вполне обосновано. Так как  p и q имеют противоположную чётность, то  p² + 3q² — нечётное число, и каждый общий делитель чисел 2p,  p² + 3q² обязан быть общим делителем чисел p,  p² + 3q², а потому и  p, 3q². Но  p и q взаимно просты, поэтому отсюда следует, что единственным общим делителем может быть число 3. Однако если 3 делит  p, то оно делит и  p² + 3q² и 2p; поэтому 2p и  p² + 3q² не взаимно просты. Следовательно, доказательство распадается на два случая: в первом случае 3 не делит p, а потому 2p и  p² + 3q² взаимно просты, а во втором 3 делит p. Сначала мы рассмотрим первый случай; второй окажется простой модификацией первого.

Итак, предположим, что 3 не делит  p, и, следовательно, 2p и  p² + 3q² являются кубами. Применяя формулу

из § 1.7, можно найти кубы вида  p² + 3q²:

Таким образом, один из способов нахождения кубов вида  p² + 3q² состоит в том, чтобы выбрать произвольные числа a, b и положить

так что p² + 3q² = (a² + 3b²)³. Главный пробел, который надо заполнить в доказательстве Эйлера, заключается в доказательстве утверждения, что такой способ даёт все кубы вида p² + 3q², т.е. если p² + 3q² является кубом, то существуют такие a и b, что p и q задаются приведёнными выше формулами. Эйлер обосновывает этот вывод при помощи ошибочного рассуждения, изложенного в следующем параграфе, однако он мог бы опираться и на рассуждение из § 2.5, которое, по существу, тоже принадлежит ему самому. В любом случае, считая это утверждение справедливым, оставшуюся часть доказательства провести сравнительно легко.

Выражения для  p и q можно разложить на множители:

Числа a и b, конечно, взаимно просты, ибо каждый их общий делитель обязан делить p и q, а потому равен 1. Кроме того,

Числа a и b имеют противоположную чётность, поскольку в противном случае  p и q оба были бы чётными. Следовательно, a – 3b, a + 3b — нечётные числа, и все возможные общие делители чисел 2a, a ± 3b обязаны делить a, a ± 3b, а потому и a, ±3b. Аналогично, каждый общий делитель чисел a + 3b, a – 3b обязан делить a и 3b. Короче говоря, единственным возможным общим делителем является число 3. Но 3 не делит a, поскольку в противном случае оно делило бы  p, что противоречит предположению. Следовательно, 2a, a – 3b, a + 3b взаимно просты, и каждое из этих чисел должно быть кубом, скажем 2a = α³, a – 3b = β³, a + 3b = γ³. Тогда β³ + γ³ = 2a = α³, и это даёт решение уравнения x³ + y³ = z³, состоящее из меньших чисел, чем исходное решение.

Точнее, α³β³γ³ = 2a(a – 3b)(a + 3b) = 2p. Число 2p положительно и делит z³, если z чётно, или x³, если х чётно. Тогда в любом случае α³β³γ³ меньше z³. Числа α, β и γ не обязаны быть положительными, но (–α)³ = –α³, поэтому отрицательные кубы можно перенести в другую часть уравнения, и мы получим уравнение вида X ³ + Y ³ = Z³, где X, Y, Z положительны и Z³ < z³. Итак, в случае когда 3 не делит p, спуск произведён.

Наконец, рассмотрим случай, когда 3 | p. Тогда  p = 3s и 3 не делит q. В этом случае 2p(p² + 3q²) = 3² · 2s(3s² + q²). Легко видеть, что числа 3² · 2s и 3s² + q² взаимно просты; следовательно, каждое из них является кубом. Согласно лемме, которую мы докажем позже, 3s² + q² может быть кубом только тогда, когда

при некоторых целых a и b. Число 3² · 2s является кубом, поэтому кубом будет 3³ · 2b(a – b)(a + b) а следовательно, и 2b(a – b)(a + b). Легко видеть, что множители, входящие в последнее выражение, взаимно просты; таким образом, 2b = α³, a – b = β³, a + b = γ³, α³ = 2b = γ³ – β³. Как и выше, отсюда можно получить равенство вида X ³ + Y ³ = Z³, где Z³ < z³.

Итак, в любом случае из существования куба, представимого в виде суммы двух кубов, следует существование меньшего куба такого же вида, что невозможно. Для завершения доказательства остается только показать, что если существуют взаимно простые целые  p и q, для которых  p² + 3q² является кубом, то найдутся такие целые a и b, что  p = a³ – 9ab² и q = 3a²b – 3b³. Доказательство этого утверждения приведено в § 2.5.

2.3. Арифметика иррациональных чисел

Метод, который Эйлер использовал при попытке доказать приведённое в § 2.2 утверждение о кубах вида p² + 3q², основывается на смелой идее распространения арифметики целых чисел при помощи операций сложения, вычитания и умножения на «числа» вида a + b√–3 с целыми a и b. Ясно, как складывать, вычитать и умножать такие числа (особого упоминания заслуживает только правило умножения

в этой арифметике выполняются обычные законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности и, кроме того,

Говоря языком современной алгебры, «числа» a + b√–3 образуют коммутативное кольцо с единицей.

Идея использования в вычислениях иррациональностей вида a + b√–3 упрощает вывод достаточных условий для того, чтобы число p² + 3q² было кубом. Вместо применения формулы

можно рассуждать следующим образом. Разложим p² + 3q² на множители: (p + q√–3)(p – q√–3). Если один из этих множителей является кубом, скажем p + q√–3 = (a + b√–3)³, то легко проверить, что сопряжённый к нему, который получается заменой √–3 на –√–3, является кубом сопряжённого к a + b√–3, т.е. p – q√–3 = (a – b√–3)³. Следовательно, согласно коммутативности умножения, (p + q√–3)(p – q√–3) = [(a + b√–3)(a – b√–3)]³, т.е. p² + 3q² = (a² + 3b²)³. Другими словами, для того чтобы найти куб вида p² + 3q², достаточно положить p + q√–3 = (a + b√–3)³. Разложив (a + b√–3)³ по формуле бинома Ньютона:

мы получим, что, для того чтобы записать p² + 3q² в виде куба некоторого числа, достаточно найти такие числа a и b, что  p = a³ – 9ab², q = 3a²b – 3b³. Это и есть достаточное условие, найденное в предыдущем параграфе.

В этой части своей «Алгебры» [E9] Эйлер всерьёз путает необходимые и достаточные условия; поэтому очень трудно установить, что же он в действительности имел в виду. В примерах Эйлер, кажется, большей частью имеет дело с достаточными условиями: начиная с a и b, находит  p и q. Но иногда он допускает совершенно ошибочные утверждения. Например, Эйлер пишет: «Если число x² + cy² должно быть кубом, то отсюда, конечно, можно заключить, что каждый из его иррациональных множителей, а именно x + y√–c и x – y√–c, обязан быть кубом, поскольку эти множители взаимно просты в том смысле, что x и y не имеют общих делителей»; при этом Эйлер не доказывает, что x + y√–c и x – y√–c обязаны быть кубами. В заключении к тому же самому параграфу (§ 191 из последней части) Эйлер совершенно недвусмысленно утверждает: «Если ax² + cy² нельзя разложить на два рациональных множителя, то нет других решений, кроме приведённых здесь», т.е. ax² + cy² только тогда может быть кубом, когда существуют такие целые  p и q, что x√a + y√–c = (p√a + q√–c)³. Единственный намёк на доказательство этого утверждения состоит в приведённом выше рассуждении по аналогии, а именно: если AB является кубом и A и B взаимно просты, то A и B должны быть кубами. Последнее утверждение является теоремой, которую можно доказать²⁰ для целых A и B; однако если A и B являются числами вида p + q√–3 или x√a + y√–c, то это доказательство непригодно. В частном случае a = 1, c = 3 утверждение Эйлера действительно справедливо (хотя доказательство совсем не такое, как для целых чисел), но существуют значения a и c, при которых оно неверно.

Эйлер рассматривает задачу «x² + cy² = куб» вслед за несколько более полным обсуждением случая «x² + cy² = квадрат». В первом случае он утверждает, что «если произведение двух чисел, например  pq, должно быть квадратом, то либо  p = r² и q = s², т.е. оба множителя должны быть квадратами, либо  p = mr² и q = ms², т.е. сомножители являются квадратами, умноженными на одно и то же число». Здесь снова это утверждение справедливо, если под «числами» понимаются «целые числа», и мы доказали его в § 1.4; однако Эйлер сразу же применяет этот принцип к числам, которые не являются обыкновенными целыми числами, а имеют вид x + y√–c. Обсуждение квадратов является более полным, чем обсуждение кубов, в том отношении, что Эйлер приводит нечто похожее на альтернативное доказательство утверждения, согласно которому для любого квадрата вида x² + cy² с взаимно простыми целыми числами x и y при некоторых целых a и b справедливо равенство x + y√–c = (a + b√–c)². Это «доказательство» следует стандартному методу Диофанта, при котором квадратный корень из x² + cy² записывается в виде x + (p/q)y с некоторыми целыми числами  p и q, а затем производятся следующие упрощения:

«Но x и y должны быть взаимно простыми (так же, как  p и q), следовательно, x = cq² – p² и y = 2pq», так что²¹ –x + y√–c = (p + q√–c)². Эйлер утверждает, что этот альтернативный вывод «подтверждает²² правильность метода», однако из естественного предположения о взаимной простоте  p и q не следует взаимная простота cq² – p² и 2pq, а потому не следует и заключение Эйлера о том, что x = cq² – p² и y = 2pq. На самом деле пример 49 = 2² + 5·3² не только показывает неадекватность этого рассуждения, но и говорит о том, что само заключение неверно. Действительно, уравнения 2 = 5q² – p², 3 = 2pq не имеют рациональных решений  p и q, не говоря уже о целых решениях. (Эти гиперболы пересекаются при  p = √5/2, q = √9/10 и  p = –√5/2,  q = –√9/10.)

Высказывалось мнение ([D2, т. 2, гл. XX, а также стр. xiv]), что сам Эйлер замечает ошибочность предложенного им метода, когда (в § 195) он говорит, что при решении уравнения 2x² – 5 = куб его методом потребовалось бы положить x√2 + √5 = (a√2 + b√5)³ = a³·2√2 + 3a²b·2√5 + 3ab²·5√2 + b³·5√5 и, следовательно, x = 2a³ + 15ab², 1 = 6a²b + 5b³. Из последнего уравнения следует, что b = ±1 и 6a² + 5b² = ±1. Ясно, что это невозможно. Следовательно, этот метод показывает, что 2x² – 5 не может быть кубом, несмотря на то что это выражение является кубом при x = 4. Первоначальная реакция Эйлера на это противоречие заключалась в замечании: «Чрезвычайно важно установить причины этого противоречия». Естественно считать, что в этом замечании Эйлер признаёт важный недочёт своего метода и предлагает изучить его причины. Однако, как ясно показывают следующие два параграфа (§§ 196, 197), Эйлер был убеждён в том, что источник затруднений заключается в знаке минус в выражении 2x² – 5y² и в связанном с этим обстоятельством наличии решений уравнения Пелля x² – 10y² = 1, отличных от тривиального решения x = ±1, y = 0 (см. упр. 2). Не вникая в детали, достаточно сказать, что Эйлер, по-видимому, был уверен в том, что подобные трудности не возникнут в тех случаях, когда соответствующее выражение имеет знак плюс. Однако, как было указано выше, его метод не приводит к успеху в случае 49 = 2² + 5 · 3², а здесь второе слагаемое положительно и соответствующее уравнение x² + 5y² = 1 имеет только тривиальное решение.