4470 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5 ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ 6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ 7 ВВЕДЕНИЕ 11 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ 16 СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 20   Глава 1.  ВВЕДЕНИЕ 21 1.1.  История 21 1.1.1. Первые шаги 21 1.1.2. Результаты, относящиеся к теории чисел 22 1.1.3. Аналитическая теория 25 1.2.  Обзор содержания книги 31   Глава 2.  ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 37 2.1.  Предварительные замечания 37 2.1.1. Основные определения и теоремы 37 2.1.2. Правильные непрерывные дроби 41 2.1.3. Другие разложения в непрерывные дроби 42 2.1.4. Алгоритмы для вычисления подходящих дробей 45 2.2.  Последовательности, порожденные дробно-линейными преобразованиями 46 2.3.  Преобразования эквивалентности 49 2.3.1. Эквивалентные непрерывные дроби 49 2.3.2. Эйлерова [1748] связь между непрерывными дробями и бесконечными рядами 54 2.4.  Свёртки и расширения 56 2.4.1. Свёртка непрерывных дробей 56 2.4.2. Чётная часть непрерывной дроби 58 2.4.3. Нечётная часть непрерывной дроби 59 2.4.4. Расширение непрерывной дроби 60   Глава 3.  ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ 63 3.1.  Введение 63 3.2.  Сходимость периодических непрерывных дробей 64 3.3.  Двойственные периодические непрерывные дроби 71   Глава 4.  СХОДИМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 76 4.1.  Введение 76 4.2.  Области элементов, области значений и последовательности вложенных круговых областей 80 4.3.  Необходимые условия сходимости 93 4.3.1. Теорема Штерна–Штольца 93 4.3.2. Необходимые условия для наилучших областей значений и областей сходимости 94 4.4.  Достаточные условия сходимости; постоянные элементы 101 4.4.1. Классические результаты и их обобщения 101 4.4.2. Параболические области сходимости 111 4.4.3. Окрестности сходимости для дробей вида K(an /1)  118 4.4.4. Парные области сходимости 125 4.4.5. Прочие критерии сходимости 134 4.5.  Достаточные условия сходимости; переменные элементы 137 4.5.1. Введение; классификация непрерывных дробей 137 4.5.2. Правильные C-дроби 139 4.5.3. Положительно определённые J-дроби 146 4.5.4. Общие T-дроби 147   Глава 5.  МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 153 5.1.  Соответствие 154 5.2.  Трёхчленные рекуррентные соотношения 164 5.3.  Минимальные решения трёхчленных рекуррентных соотношений 167 5.4.  Равномерная сходимость 178 5.5.  Таблицы Паде 186 5.5.1. Аппроксимации Паде 187 5.5.2. Многоточечные таблицы Паде 196   Глава 6.  ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 198 6.1.  Непрерывные дроби Гаусса 198 6.1.1. Гипергеометрические функции F(a,b;c;z) 199 6.1.2. Вырожденные гипергеометрические функции Φ(b;c;z) 204 6.1.3. Вырожденные гипергеометрические функции Ψ(c;z) 207 6.1.4. Вырожденные гипергеометрические функции Ω(a,b;z) 209 6.2.  Представления, полученные из минимальных решений 211   Глава 7.  ТИПЫ СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ И АЛГОРИТМЫ ИХ ПОСТРОЕНИЯ 217 7.1.  Правильные C-дроби 218 7.1.1. Соответствие правильных C-дробей 219 7.1.2. Алгоритм частных и разностей 224 7.1.3. g-дроби 235 7.2.  Присоединённые непрерывные дроби и J-дроби 236 7.2.1. Соответствие присоединенных непрерывных дробей 237 7.2.2. J-дроби и ортогональные полиномы 243 7.3.  Общие T-дроби 250 7.3.1. Соответствие общих T-дробей 252 7.3.2. FG-алгоритмы 259 7.3.3. Представление аналитических функций 268 7.4.  Устойчивые полиномы 274   Глава 8.  АНАЛИЗ ОШИБОК АППРОКСИМАЦИИ 286 8.1.  Введение 286 8.2.  Общая теория областей включения и ошибки аппроксимации 287 8.3.  Явные оценки для областей включения и границ ошибок аппроксимации 291 8.4.  Ускоренная сходимость 314   Глава 9.  АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ 317 9.1.  Введение 317 9.2.  Проблемы моментов 318 9.3.  Интегральные представления непрерывных дробей 321 9.4.  Асимптотические разложения непрерывных дробей 325 9.5.  Решения проблем моментов 329 9.6.  Представления аналитических функций 331   Глава 10.  ЧИСЛЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПРИБЛИЖЁННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 338 10.1.  Общие оценки относительной ошибки округления 339 10.2.  Методы оценки gk(n)  341 10.3.  Приложения 343   Глава 11.  ПРИЛОЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ К ПРОЦЕССАМ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ 349 11.1.  Процессы размножения и гибели 349 11.2.  Вычислительные процедуры 354   Глава 12.  СМЕШАННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 361 12.1.  Разложения в T-дроби семейств ограниченных функций 361 12.2.  T-дроби, соответствующие рациональным функциям 363 12.3.  Локализация особых точек аналитических функций, представленных непрерывными дробями 365 12.4.  Однолистность функций, представленных непрерывными дробями 368   Приложение А. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 370 Приложение Б. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МИНИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ ТРЁХЧЛЕННЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 377 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 386 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 401 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ   405

Многие выдающиеся математики прошлого широко использовали аппарат непрерывных (цепных) дробей в своих научных исследованиях и приложили немало усилий для его развития и совершенствования. Ещё в начале нашего столетия этот раздел анализа в той или иной форме входил в математические программы практически всех университетов. Сейчас даже трудно объяснить, почему он отошёл на задний план и как эффективный метод аналитических исследований, и как обязательный фрагмент математического образования. Но в последнее время непрерывные дроби снова привлекли внимание специалистов главным образом потому, что во многих случаях с их помощью удаётся получать хорошие приближения для аналитических функций. При этом были получены и новые интересные теоретические результаты.

Предлагаемая вниманию читателей книга У. Джоунса и В. Трона представляет собой одиннадцатый том «Энциклопедии математики и её приложений» — издания, рассчитанного на широкие круги научных работников, инженеров и студентов, в котором принимают редакционное участие видные учёные из многих стран. В книге даётся тщательно продуманное изложение аналитической теории непрерывных дробей над полем комплексных чисел и рассматриваются разнообразные приложения этой теории. Последовательно излагаются не только основные классические результаты, но и многие недавние работы. Авторы книги не один десяток лет активно работают в данной области, и поэтому многие из затронутых ими вопросов будут, на наш взгляд, интересны не только тем, кто впервые знакомится с непрерывными дробями, но и специалистам. Это прежде всего гл. 4 и 5, в которых весьма полно рассматривается сходимость непрерывных дробей, а также некоторые разделы гл. 6–10. Для чтения книги не требуется особой математической подготовки, хотя разбор доказательств некоторых теорем может потребовать от читателя определённых усилий. О месте и роли непрерывных дробей в математике, а также об особенностях содержания книги достаточно хорошо сказано в предисловиях редакторов энциклопедии и авторов. Поэтому нам остаётся только пожелать, чтобы все интересующиеся математикой и её приложениями по достоинству оценили эту книгу.

Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому явлению природы. Эти факты, иногда сформулированные явно в виде теорем, иногда упоминаемые по ходу доказательств, составляют основную часть приложений математики и будут существовать всегда, несмотря на изменчивость направлений и интересов в данной науке.

Цель настоящей Энциклопедии — постараться осветить все области математики. От каждого автора требуется ясное и чёткое изложение материала, доступное для понимания широкого круга читателей, а также подробная библиография. Тома Энциклопедии объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий время от времени будет пересматриваться и корректироваться.

Мы надеемся, что наше смелое предприятие будет способствовать ещё более широкому применению математики не только там, где без неё нельзя обойтись, но даже в тех областях, где её следовало бы применять и где из-за недостатка информации это пока почти не делается.

Любой комментарий к настоящему труду профессоров Джоунса и Трона по аналитической теории непрерывных дробей следует начать с того, что это первое монографическое изложение теории непрерывных дробей за последние два десятилетия. В этом качестве книга призвана заменить на современном уровне известный трактат Оскара Перрона — образец истинно немецкой основательности, в своих различных изданиях определявший изложение этой теории в течение более чем 50 лет. Тот факт, что книга Перрона [1957] (и дополняющие её книги Уолла [1948] и Хованского [1956]) так долго ожидала преемника (к тому же книга Перрона, кажется, никогда не переводилась на английский язык [Эта книга не переводилась и на русский язык. — Прим. перев.]), поднимает ряд важных вопросов о роли непрерывных дробей как одной из «горячих точек» современной математической деятельности.

Изучение конечных непрерывных дробей, т.е. выражений вида

компактнее записываемых как

началось в конце XVI века в статье Бомбелли, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Такие выражения естественным образом получаются при повторном применении алгоритма Евклида, а некоторые специалисты по истории математики утверждают, что аналогичное использование этих выражений восходит к индийской или даже к греческой математике. Бесконечные непрерывные дроби впервые были рассмотрены лордом Броункером, первым президентом Королевского общества.

На первых порах непрерывные дроби имели целочисленные элементы и служили для рационального приближения значений алгебраических чисел и π. Использование непрерывных дробей как важного инструмента в теории чисел началось в семнадцатом веке результатами Швентера, Гюйгенса и Валлиса, достигло зрелости в работах Эйлера и затем было существенно расширено Лагранжем, Лежандром, Гауссом, Галуа и их последователями. Разложения в непрерывные дроби, содержащие функции комплексного переменного вместо числовых элементов, были введены Эйлером и стали важным средством аппроксимации специальных классов аналитических функций в работах Эйлера, Ламберта и Лагранжа. Особенно плодотворным направлением исследования было разложение в непрерывные дроби, введённое Гауссом в 1813 году для отношения гипергеометрических функций; именно в этой связи впервые появились ортогональные полиномы.

В прошлом веке различие целей теоретико-числового и аналитического приложений формального аппарата непрерывных дробей привело к раздвоению пути развития теории. Одной из возникших ветвей явилась аналитическая теория непрерывных дробей — математическая дисциплина, которая подробно освещена в настоящем томе. Основной предмет её исследований — теория разложения и сходимости непрерывных дробей, элементами которых являются линейные функции комплексного переменного z. Важность таких исследований состоит в том, что получающиеся при этом конечные подходящие дроби представляют собой рациональные функции от z, аппроксимирующие функцию  f (z) и дающие разложение в смысле интерполяции Эрмита в классе рациональных функций, степени которых удовлетворяют определённым ограничениям.

Ведущее положение такого подхода к теории непрерывных дробей в классическом анализе XIX века подтверждается длинным списком крупнейших аналитиков, работавших в этой области — он включает такие имена, как Лаплас, Лежандр, Якоби, Эйзенштейн, Гейне, Лагерр, Риман, Стилтьес, Чебышёв, Фробениус и Пуанкаре. Эти исследования оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Особенно это относится к работам Стилтьеса, которые привели к таким важным исследованиям, как проблема моментов (со всем её последующим влиянием на развитие функционального анализа XX века), теория интеграла Стилтьеса, начало систематического изучения сходимости последовательностей голоморфных функций (теорема Стилтьеса–Витали) и первое применение Гильбертом и его школой аппарата спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве к проблеме моментов. В работах Пуанкаре и Стилтьеса, в которых разложения в непрерывные дроби применялись в связи с расходящимися рядами, по-видимому, впервые появились асимптотические разложения.

Таким образом, влияние теории непрерывных дробей на развитие классического анализа в XIX веке оказалось особенно плодотворным. По иронии судьбы в XX века эта теория резко отделилась от большинства главных направлений развития математики. Специалисты по теории чисел продолжали использовать непрерывные дроби и изучали их свойства. С другой стороны, аналитики, даже работающие в наиболее классических областях, стали сравнительно редко интересоваться непрерывными дробями. За небольшими исключениями, трудно найти современный учебник по аналитическим функциям комплексного переменного, в котором этому кругу методов и задач уделялось бы сколько-нибудь заметное внимание. Подобно многим другим ранее процветавшим областям математики, теория непрерывных дробей стала специальным разделом, в котором продолжает трудиться лишь ограниченный круг аналитиков, искусно и энергично решая технические задачи из этой области, расширяя её понятия и разрабатывая новые методы.

В этой тенденции произошёл важный и интересный поворот по причинам, которые со временем представляются всё менее и менее удивительными: бурный, почти взрывообразный рост применения непрерывных дробей в физических проблемах. Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце XIX века для приближения аналитических функций подходящими дробями непрерывных дробей, под общим названием аппроксимаций Паде стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твёрдого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики. Большие масштабы, свойственные вычислительным методам, привели к оживлению в теории непрерывных дробей в целом и, в частности, сделали весьма своевременным появление настоящего тома. Профессора Джоунс и Трон сжато, но достаточно полно описали основные результаты и методы аналитической теории непрерывных дробей на вполне современной основе, дав обзор не только самых последних достижений сравнительно сложной теории сходимости непрерывных дробей, но также и численных приложений. Благодаря этому они заслужили признательность как аналитиков, так и специалистов в области прикладной математики и численного анализа. Наверное, ещё важнее то, что они придали материалу, разбросанному по сравнительно малодоступной периодической литературе, форму, приемлемую и для специалистов по другим разделам математических наук, и для студентов.

Я позволю себе завершить эти заметки краткими замечаниями на более общую тему. В своём введении профессор Хенричи (сам сделавший очень много для того, чтобы современные методы непрерывных дробей заняли более заметное положение в численном анализе) высказывает мнение, что относительный упадок теории непрерывных дробей как предмета внимания математиков явился следствием тенденции, обнаруженной им в истории математики XIX и XX веков и заключающейся в предпочтении алгоритмической математики тому, что Хенричи называет диалектической математикой. Термин диалектический в данном контексте при всей своей необычности примерно эквивалентен терминам концептуальный, систематический или дискурсивный (здесь имеется в виду диалектика Платона, а не диалектика в понимании Аристотеля, Гегеля или Маркса). Однако, даже отвлекаясь от вопроса о лингвистических различиях, диагноз Хенричи заслуживает основательного философского анализа. Если считать, что в новейшей математике, начиная с Гаусса, основное внимание уделялось концептуальной стороне дела (и, в частности, логической строгости), то это, несомненно, не вызвало потерю интереса к вычислениям, алгоритмам или даже частным задачам. Бо́льшая строгость анализа XIX века была достигнута в то же самое время и той же самой группой специалистов по классическому анализу, которые развивали детальный анализ специальных функций. Успехи алгебры также, очевидно, не исключили заинтересованности в вычислительной стороне аналитической теории полугрупп, как это убедительно показывает пример Фробениуса.

Связь истории математики и стремления к логической схоластике в некоторых кругах современного математического мира, которым Хенричи адресует своё высказывание, гораздо сложнее, чем простое противопоставление терминов алгоритмический и диалектический. Кажется несомненным, что интенсивное проникновение математики в другие науки, естественные и общественные, отчасти обусловленное появлением ЭВМ, переходит в новую фазу, обещающую возрождением как алгоритмической, так и концептуальной сторон математики на основе продолжающейся математизации всех сфер человеческих знаний и деятельности в мире настоящего и будущего.

Своей жизнеспособностью математика в большой мере обязана своей многогранности, причём каждая из её граней имеет свои резко выраженные отличительные черты. Одна грань, которую можно назвать диалектической, — это грань, через которую на математику смотрит учёный или даже философ. Она касается истинности или ложности теорем и существования математических объектов с заданными свойствами. Диалектическая математика является интеллектуальной игрой с чётко сформулированными правилами, в которой успех измеряется достигнутой степенью общности результата.

Есть и совершенно иная грань математики, которую я хотел бы назвать алгоритмической. Это грань, через которую на математику смотрит инженер. Математики-алгоритмисты говорят нам, как построить те прекрасные вещи, в существовании которых нас убедили математики-диалектики. Правила игры алгоритмической математики и, в частности, значимость её результатов зависят от технических средств, дающих возможность осуществлять необходимые построения.

Диалектическая математика имеет опыт непрерывного развития по меньшей мере со времён Гаусса. Алгоритмическая математика, с другой стороны, находилась в состоянии застоя со времён Эйлера до самого недавнего времени, поскольку не появлялось никаких действительно новых вычислительных средств; даже настольные механические вычислительные машины незначительно повысили скорость вычислений. Голдстайн обнаружил, что Гаусс по существу изобрёл алгоритм быстрого преобразования Фурье. В то время никто не обратил на это внимания, ибо не было реальной потребности в вычислениях с использованием дискретного преобразования Фурье (независимо от того, быстрое оно или нет), кроме как на совершенно тривиальном уровне.

Разумеется, с изобретением электронных вычислительных машин всё это изменилось, и на наших глазах произошёл бурный подъём в использовании алгоритмической математики, особенно в технике и прикладных науках, не имеющий параллелей в истории математики.

Теория непрерывных дробей может служить примером такой ветви алгоритмической математики, которая расцвела во времена Эйлера, но с тех пор играла довольно скромную роль по сравнению с такими типичными областями диалектической математики, как теория групп или топология. Исследование и применение алгоритмических возможностей непрерывных дробей в больших масштабах стало возможным только тогда, когда благодаря фон Нейману мы поняли, как нужно проводить вычисления.

Так в чём же состоит алгоритмическая сущность непрерывных дробей? Вспомним принцип итерации — один из столпов алгоритмической математики. Слово «итерация» происходит от латинского корня iterare, который в земледельческом обществе древних римлян означал «ещё раз вспахать, провести ещё одну борозду». В математической итерации то, что всегда «вспахивается ещё раз», — это заданная математическая операция или функция. Таким образом, если  f  — заданная функция, то мы получаем итерационную последовательность, связанную с  f , выбирая x₀ и образуя последовательность {x_n} по формуле x_n+1 = f (x_n ). Если {a_n} — данная последовательность, то мы получаем новую последовательность {s_n}, полагая s₀ = 0 и постоянно добавляя новое a_n по формуле s_n = s_n–1 + a_n, т.е. повторяя сдвиги t_n(z) := z + a_n. Если нам повезёт, то предел s := lim s_n  существует и мы придём к понятию бесконечного ряда. Бесконечные произведения получаются аналогично повторением поворотов с растяжениями t_n(z) := a_n z. Повторение инверсии t_n(z) := 1/z интереса не представляет. Однако, если мы будем повторять преобразования Мёбиуса вида

где {a_n} и {b_n} — заданные последовательности, т.е. если мы будем производить сдвиги, инверсии и повороты с растяжениями, чередуя их в одном и том же фиксированном порядке, то придём к рассмотрению пределов при n→∞ выражений вида

или в принятой нами компактной записи

Предел такого рода называется непрерывной дробью, и именно эти дроби рассматриваются в этой книге.

Из самого определения непрерывных дробей очевидно, что они по своей сути более интересные объекты, чем, скажем, бесконечные ряды или произведения. Это становится ясным уже тогда, когда мы рассматриваем самую элементарную задачу вычисления частичных дробей (1) для непрерывной дроби. В то время как мало что можно сказать о вычислении частичных сумм бесконечного ряда, существует несколько принципиально различных алгоритмов для вычисления дробей (1) (см. разд. 2.1.4 этой книги), каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки.

Другой увлекательной темой является теория сходимости непрерывных дробей. Нельзя не учитывать, что существует также значительный раздел теории сходимости и для бесконечных рядов. Однако, как только мы выходим за рамки обычно используемых элементарных критериев сходимости, эта теория быстро приводит к малоразработанным областям, имеющим лишь академический интерес. Не так обстоит дело с непрерывными дробями: здесь теория сходимости намного богаче, но зато и намного труднее; это ясно уже из того, что непрерывные дроби нелинейно зависят от своих элементов a_n и b_n: если все эти числа умножить на одну и ту же константу, то получится совсем новая дробь. Я рад случаю отметить, что теория сходимости непрерывных дробей изложена в этом томе в достойной подражания манере и содержит несколько новых и важных результатов и методов, принадлежащих авторам.

Теория бесконечных рядов становится особенно подходящей для целей анализа, когда допускается зависимость членов ряда от некоторого параметра каким-либо стандартным образом, как, например, в случае степенных рядов или рядов Фурье. Аналогично этому теория непрерывных дробей представляет значительно больший интерес для целей алгоритмической или вычислительной математики, если элементы непрерывной дроби зависят от параметра. И в этом случае благодаря сложной структуре непрерывных дробей имеется много возможностей для стандартизации такой зависимости разумным образом. Помимо теории классических C-дробей в этой книге излагаются и более современные теории g-дробей и T-дробей (мы называем лишь некоторые из них).

Приведённые выше примеры уже показывают, что теория непрерывных дробей изобилует новыми и перспективными достижениями. Это верно почти для всех разделов теории непрерывных дробей. Назовём ещё несколько дополнительных примеров.

1. Одной из главных причин, почему непрерывные дроби так полезны в вычислениях, является то, что они часто дают гораздо более общие представления трансцендентных функций, чем классическое представление, скажем степенным рядом. Так, например, в то время как степенной ряд для мероморфной функции в точке z=0 представляет эту функцию только вплоть до ближайшего полюса, для некоторых мероморфных функций существуют представления непрерывными дробями (см. § 6.1), которые представляют эту функцию всюду на комплексной плоскости, за исключением полюсов. Превосходные сами по себе, эти результаты в настоящее время выглядят скорее отдельными жемчужинами, чем конкретными проявлениями скрывающейся за ними общей теории. Конечно, было бы весьма желательно увидеть хотя бы начало такой теории.

2. Широко известно приложение, которое непрерывные дроби находят в теории управления. Там часто необходимо установить, будет ли данный полином с вещественными коэффициентами устойчив, т.е. будут ли все его нули иметь отрицательные вещественные части. Ответить на этот вопрос за конечное число шагов и без вычисления самих нулей можно следующим образом. Рассмотрим для определённости полином 6-й степени

Используя коэффициенты полинома  p, образуем рациональную функцию

которая называется его тестовой функцией устойчивости. При помощи стандартного алгоритма тестовую функцию устойчивости можно представить в виде непрерывной дроби

и можно показать, что данный полином устойчив в том и только том случае, когда в этом представлении все b_n > 0. В современной теории управления всё чаще и чаще требуется исследовать устойчивость полиномов от нескольких переменных, и хочется надеяться, что и для решения таких вопросов многомерной устойчивости появятся столь же простые алгоритмы.

3. В прикладной математике результаты часто получают в виде асимптотических рядов, скажем в виде

причём ряд расходится при всех x. Если желательно оценить  f (x) при помощи такого ряда, то эту оценку нельзя получить с произвольной точностью при любом заданном значении x. Эмпирический подход, который часто срабатывает, заключается в следующем. Асимптотический ряд обращают в непрерывную дробь вида

(алгоритмы для выполнения такого обращения обсуждаются в § 7.1 настоящей книги). Затем находят, что непрерывная дробь сходится при всех x≠0 и что она действительно представляет искомую функцию  f . В строго математическом смысле этот метод обоснован только для очень ограниченного класса асимптотических рядов (а именно для тех рядов, у которых (–1)ⁿ c_n является n-м моментом некоторого распределения масс), но этот метод используется гораздо шире, особенно физиками. Конечно, хотелось бы надеяться на большее внимание к этим вопросам со стороны теоретиков.

Я упомянул лишь несколько из многих замечательных проблем теории непрерывных дробей, интересных для современной вычислительной математики. Авторы настоящей книги входят в число наиболее выдающихся специалистов в этой области; глубина их знаний и накопленный ими опыт сказываются почти на каждой странице книги. Мне очень хотелось бы, чтобы её появление возродило интерес к теории непрерывных дробей и ускорило решение основных задач этой теории.

Уже давно не выходило книг с изложением аналитической теории непрерывных дробей на современном уровне, и мы намерены восполнить этот пробел. Речь пойдёт о непрерывных дробях в комплексной плоскости и особенно об их приложениях и вычислительных методах. Все аналитические функции имеют различные разложения в непрерывные дроби. Среди функций, которые имеют довольно простые разложения, много специальных функций математической физики. Другие приложения относятся к аналитическому продолжению, локализации нулей и особых точек, устойчивым полиномам, ускорению сходимости, суммированию расходящихся рядов, асимптотическим разложениям, задачам теории моментов и процессам размножения и гибели.

Эта книга предназначена для математиков (теоретиков и прикладников), физиков-теоретиков, химиков и инженеров. Она доступна любому, кто знаком с основами комплексного анализа. Мы надеемся, что она будет интересна специалистам по теории функций, теории аппроксимаций и численному анализу. Представленный здесь материал частично является результатом нескольких лет работы семинара в Университете штата Колорадо; часть материала использовалась также на семинаре Трондхеймского университета.

Имеются три книги по аналитической теории непрерывных дробей: Уолла [1948], Перрона [1957а] и Хованского [1956]. Сравнительно недавно [1977] Хенричи включил во второй том своей монографии «Прикладной и численный комплексный анализ» превосходную главу по непрерывным дробям. Мы многим обязаны книгам Перрона и Уолла, но с тех пор, как вышли их книги, в этой области было получено много новых результатов, и мы попытались включить в нашу книгу наиболее важные из них. Кроме того, по сравнению с этими двумя авторами мы уделяем больше внимания вычислительным аспектам и больше ориентируем наше изложение на читателей, интересующихся главным образом приложениями. Хенричи не ставил перед собой цель дать исчерпывающее изложение аналитической теории непрерывных дробей. Поэтому не будет неожиданностью, что многие темы у нас трактуются детальнее и глубже, чем у него.

Мы даём систематическое изложение теории, в основном замкнутое, хотя доказательства ряда теорем для краткости опускаются. Доказательства включаются в тех случаях, когда они помогают прояснить смысл теоремы или иллюстрируют общие методы. Для тех теорем, которые даются без доказательства, указываются источники. Исторические примечания и библиографические ссылки сопровождают весь текст, а в конце книги приводится обширная библиография, в которой особое внимание уделяется новейшим статьям, а также статьям, связанным с приложениями. Изложение иллюстрируется многочисленными примерами (некоторые из них носят численный характер).

Два новых внешних достижения оказали сильное влияние на направление исследований в теории непрерывных дробей, а тем самым и на отбор материала и расстановку акцентов в нашей книге:

1. установление того, что таблицы Паде (введённые Фробениусом и Паде 70-80 лет назад) являются важным инструментом в приложениях к физическим наукам;
2. появление быстродействующих вычислительных машин.

О большом интересе к таблицам Паде свидетельствуют публикация ряда книг (Бейкер и Гаммел [1970], Бейкер [1975], Гилевич [1978] и библиографии Брезински [1977], включающей свыше 1000 названий, а также пять международных конференций, посвящённых в основном таблицам Паде и непрерывным дробям [К этому списку следует добавить 13-й и 14-й тома настоящей Энциклопедии — двухтомник Бейкера и Грейвс-Морриса [1981]. — Прим. ред.]). В трудах этих конференций (Грейвс-Моррис [1973], Джоунс и Трон [1974c], Кабаннес [1976], Сафф и Варга [1977], Вуйтак [1979]) помимо чисто математических результатов можно найти приложения к физике, химии и технике.

Исходя из этого, мы сочли важным дать краткое введение к таблицам Паде и отметить связь между аппроксимациями Паде и непрерывными дробями. Главная связь между ними заключается в том, что таблицы Паде могут быть заполнены подходящими дробями соответствующим образом подобранных непрерывных дробей. Тогда вопрос о сходимости последовательностей аппроксимаций Паде в большинстве случаев можно решить с помощью известных результатов о сходимости непрерывных дробей.

Второе направление (вычислительное) проявляется во всё возрастающей возможности практического использования непрерывных дробей. Важный шаг вперёд в осуществлении этой возможности сделал Рутисхаузер [1954a,b,c], предложивший алгоритм частных и разностей (QD) для представления степенных рядов непрерывными дробями; QD-алгоритм и подобные ему алгоритмы изложены в нашей книге. ε-алгоритм для вычисления аппроксимаций Паде предложил Уинн [1956].

Чтобы сделать непрерывные дроби более удобными для вычислений, желательно как можно больше знать о скорости их сходимости и об их численной устойчивости. Хорошей основой для решения этих проблем оказалась теория сходимости, которая была развита исключительно в теоретических целях Лейтоном, Уоллом, Скоттом, Троном и другими авторами. В книге излагается теория сходимости и её приложения к анализу ошибок аппроксимации и численной устойчивости. Другой подход к анализу ошибок аппроксимации, предложенный Хенричи и Пфлюгер [1966], связан с наилучшими областями включения для дробей Стилтьеса. Эта работа была обобщена на другие типы непрерывно-дробных разложений; она обсуждается в гл. 8.

В этой книге отражены также следующие вопросы: задачи моментов и соответствующие асимптотические разложения, процессы размножения и гибели, теория трёхчленных рекуррентных соотношений, при изложении которой мы включили новые результаты Гаучи [1969b] и пока ещё неопубликованные результаты Хенричи (см. приложение Б).

Глава, посвящённая теории сходимости, самая большая в этой книге. Так получилось, несмотря на то что мы приложили много усилий при отборе материала для неё, опустив многие более ранние теоремы и результаты, обсуждавшиеся в других руководствах (такие, как положительно определённые непрерывные дроби, детально исследованные Уоллом [1948]). До сих пор, к сожалению, нет простых доказательств наиболее важного критерия сходимости — основной теоремы о параболической области сходимости (теорема 4.40). Кроме того, много места заняли результаты, относящиеся к областям значений и играющие важную роль при доказательстве сходимости, при определении границ ошибок аппроксимации и при анализе численной устойчивости. Они могут представлять интерес и для других целей, так как далеко не всегда мы имеем нужную информацию для бесконечных процессов.

В целях экономии места и времени авторы сочли необходимым опустить или несколько сократить изложение отдельных разделов. Некоторые из них хорошо освещены в имеющихся книгах. Тесная связь между ортогональными полиномами, квадратурами Гаусса и непрерывными дробями кратко рассмотрена в разд. 1.1.3 и 7.2.2, хотя можно дать и более полное изложение этих тем (см., например, Кихара [1978]). Мы уже упоминали, что положительно определённые непрерывные дроби описаны в книге Уолла [1948]. Тождества Рамануджана, дополнительные сведения о предельно-периодических непрерывных дробях и ряд других вопросов приводятся в книге Перрона [1957a,b]. Новая интерпретация тождеств Рамануджана имеется также в статье Эндрюса [1979]. Дополнительные приложения непрерывных дробей в задачах теории аппроксимации можно найти в книге Хованского [1956]. Хотя мы рассмотрели непрерывные дроби, элементы которых лежат в нормированном поле, но не обращались к более общим алгебраическим структурам, как это сделали, например, Уинн [1960, 1963, 1964], Файр [1972], Хейден [1974] и Роч [1974]. Мы опустили также непрерывные дроби Тиле (см., например, Нёрлунд [1924], Вуйтак [1973] и Классенс [1976]).

Мы с признательностью благодарим всех тех, кто помогал нам при подготовке этой книги. В особенности мы отдаём должное отличной работе Джанис Уилсон, Сьюзен Ле-Графт, Берт Рашбаум и Марты Тротчел при перепечатке рукописи. Мы благодарим Анну Джоунс за умелую помощь в программировании на ЭВМ и Марту Джоунс за её терпение и внимание при чтении машинописного текста и корректур.

Ричард Аски, Уолтер Гаучи, Петер Хенричи, Арне Магнус и Хокон Воделанд любезно прочитали (частично или полностью) машинописный текст книги и сделали критические замечания и предложения. Мы высоко оцениваем их помощь.

Часть работы над книгой была выполнена во время пребывания одного из нас в Кентском университете и нас обоих (хотя и неодновременно) в Трондхеймском университете. Мы высоко ценим благоприятную обстановку в математических институтах этих университетов.

И наконец, мы благодарны Джиану-Карло Рота, предложившему нам написать том по непрерывным дробям для «Энциклопедии математики и её приложений», а также сотрудникам редакции Advanced Book Program of Addison-Wesley Publishing Company за их квалифицированную помощь при решении вопросов, связанных с изданием этого тома. Мы хотели бы особо отметить нашего редактора Лору Хенлейн, немало потрудившуюся для того, чтобы удерживать нас в установленных нами самими пределах.

1.1.1. Первые шаги

Хотя уже греки знали об алгоритме Евклида, нет сведений о том, что они использовали его для получения непрерывных дробей.

Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для √13

данное Р. Бомбелли (ок. 1526–1573) в 1572 г. Это частный случай формулы

Второй частный случай (1.1.1) был дан П. Каталди (1548–1626) в 1613 г. Это

с сокращённой записью в виде

Каталди также рассмотрел формулу (1.1.1).

Д. Швентер в 1625 г. и X. Гюйгенс (1629–1695) [в работе, опубликованной посмертно] рассмотрели подходящие дроби конечных правильных непрерывных дробей как способ приближённого представления дробей с большими числителем и знаменателем через дроби с меньшими числителем и знаменателем. Так, Швентер (хотя и в очень неудобной форме) дал представление

а Гюйгенс нашёл (в задаче, касающейся конструкции зубчатых колёс), что

Ему было известно, что подходящие дроби попеременно становятся больше или меньше самого числа и что они дают наилучшее рациональное приближение этого числа.

Первое бесконечное непрерывно-дробное разложение принадлежит У. Броункеру (1620–1686), первому президенту Королевского общества. Около 1659 г. он без доказательства опубликовал равенство

∞   4  π  = 1 +  K  ( (2n – 1)2 2  ) , n=1

(1.1.2)

выведенное, вероятно, из формулы для π/2 в виде бесконечного произведения, полученной Дж. Валлисом (1616–1703).

Л. Эйлер (1707–1783) начиная с 1737 г. последовательно развивал теорию непрерывных дробей. Из его работ стало ясно, что непрерывные дроби могут применяться как в теории чисел, так и в анализе. В этой книге мы почти всюду будем иметь дело с аналитической теорией непрерывных дробей. Поэтому будет полезно привести здесь (очень кратко) некоторые основные понятия и наиболее важные результаты, относящиеся к теории чисел.

1.1.2. Результаты, относящиеся к теории чисел

Разложение в правильные непрерывные дроби (см. также разд. 2.1.2) вещественных иррациональных чисел x > 0 имеет вид

Здесь b_n (x) определены выражением b_n (x) = [[x_n ]], n≥0, где x₀ = x и x_n  = 1/Frac(x_n–1), n≥1, причём [[x]] обозначает целую часть и Frac(x) — дробную часть x. Отсюда следует, что все b_n (x) — положительные целые числа.

Большинство теоретико-числовых приложений основано на разложениях в правильные непрерывные дроби и на аппроксимациях x с их помощью. Правильная непрерывная дробь b₀(x) + K(1/b_n(x)) всегда сходится к x. Поэтому здесь не надо задаваться вопросами сходимости, и более важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь p_n(x)/q_n(x).

Как мы уже упоминали, первые примеры правильных непрерывных дробей были даны Швентером и Гюйгенсом. В 1685 г. Валлис вычислил первые 35 членов b_n(x) для x=π. Все три автора, по-видимому, отдавали себе отчёт в том, что подходящие дроби p_n(x)/q_n(x) дают лучшее приближение для x в том смысле, что

при условии, что a и b — взаимно-простые целые числа и 0 < b ≤ q_n(x).

Большой вклад в теорию правильных непрерывных дробей внёс Ж. Л. Лагранж (1736–1813), доказавший, что квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n). Неравенство

тоже принадлежит ему, как и решение уравнения Пелля

Решениями являются пары á p_n(√D ), q_n(√D )ñ для некоторых значений n. Законченное решение этой задачи дал А. Лежандр (1752–1833); частные решения были уже получены Эйлером. Это уравнение интересно, в частности, тем, что может быть использовано при решении задач аддитивной теории чисел, таких, как, например, следующая:

Этот результат сформулировал П. Ферма (1601–1665) и впервые доказал Эйлер. Доказательство, основанное на непрерывных дробях, дал К. Ф. Гаусс (1777–1855).

Э. Галуа (1811–1832) в своей первой опубликованной работе исследовал некоторые периодические правильные непрерывные дроби. Он дал определение двойственных периодических правильных непрерывных дробей (см. § 3.3).

Ж. Лиувилль (1809–1882) первым доказал существование трансцендентных (неалгебраических) чисел. В 1851 г. он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами. Он доказал, что если ξ — корень неприводимого полинома с целыми коэффициентами степени n, то существует константа 0<c<1, такая, что для всех  p и q имеет место неравенство

Используя этот результат, он получил возможность привести сколь угодно много примеров трансцендентных чисел. Среди них имеются такие x, разложения которых в правильную непрерывную дробь удовлетворяют неравенству

для некоторой последовательности {n_k } целых чисел. Трансцендентность этих чисел следует из оценки Лагранжа (1.1.4), из которой получается, что

а это противоречит (1.1.6), если x — алгебраическое число.

Результат, полученный А. Гурвицем (1859–1919) позже [1891], заключается в том, что неравенство

всегда имеет бесконечное число рациональных решений p/q. Э. Борель (1871–1956) дал простое доказательство этого факта [1903], заметив, что среди любых трёх следующих одна за другой подходящих дробей правильного непрерывно-дробного разложения x имеется хотя бы одна, которая удовлетворяет неравенству (1.1.8). Гурвиц доказал также, что √5 является наименьшим значением, для которого этот результат верен при всех x.

Оттенок теории меры придали этим результатам Борель [1909] и Ф. Бернштейн (1878–1956) [1912], которые доказали, что для почти всех x, 0<x<1, последовательность {b_n(x)} не ограничена. А. Я. Хинчин (1894–1959) дал дальнейшее развитие этому направлению (он основал метрическую теорию непрерывных дробей). Мы приведём два его результата.

1. Для почти всех x

[Хинчин, 1924].

2. Существует константа γ, не зависящая от x и такая, что для почти всех x

[Хинчин, 1936].

1.1.3. Аналитическая теория

Значительный вклад в аналитическую теорию внёс Эйлер. Он получил разложения в непрерывные дроби (во всех случаях без исследования сходимости) для интегралов и степенных рядов, включая и расходящиеся, а также показал, как разложение Броункера для 4/π может быть выведено либо из формулы приведения (к виду, удобному для логарифмирования) Валлиса, либо из знакопеременного ряда Грегори–Лейбница для π/4. Другим вкладом Эйлера было решение дифференциального уравнения Риккати при помощи непрерывных дробей.

И.Г.Ламберт (1728–1777) разложил ln (1 + x), arctg x и tg x в непрерывные дроби [1768]. Его работа примечательна особенно потому, что содержит полное исследование вопросов сходимости непрерывных дробей к этим функциям. Лагранж нашёл разложения (1 + x)^m и

x
∫	dt 1 + tn	.
0

В работе, опубликованной только в 1813 г. (посмертно), Эйлер нашёл разложение для ln [(1 + x)/(1 – x)]. Поскольку Эйлер, Ламберт и Лагранж были членами Берлинской Академии в разное время, сомнительно, что они когда-либо обсуждали свои работы по непрерывным дробям.

Метод определения приближённых решений алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами, использующий разложения в правильные непрерывные дроби, разработан Лагранжем в 1769 и 1770 гг. (Лагранж [1867]).

Помимо применения непрерывных дробей в теории чисел Гаусс [1813, 1814] использовал их в анализе. В работе по гипергеометрическим рядам он обобщил ранние работы Эйлера, Ламберта и Лагранжа, получив непрерывно-дробные разложения для отношений

гипергеометрических функций (см. также разд. 6.1.1). Во второй работе о механических квадратурах (т.е. о приближённом вычислении интегралов) он рассматривал разложение

1  n  ∫  f (t) dt =  ∑  γn(xk(n)) f (xk(n)) + ошибка. –1 k=1

(1.1.9)

Гаусс показал, что γ_n(x) и x₁⁽ⁿ⁾, …, x_n⁽ⁿ⁾ могут быть выбраны независимо от  f  так, что равенство (1.1.9) будет выполняться для всех полиномов  f (x) степени не выше 2n–1. При выводе этого результата он использовал соотношение

1  ∫  dt  z + t  = ln  z + 1  z – 1  =   2   z    –  1/3  z    –  4/(3·5)  z    –  9/(5·7)  z    –   … , –1

(1.1.10)

которое он получил в своей предыдущей работе. Оказывается, что функции γ_n(x) могут быть выражены через числитель P_n(x) и знаменатель Q_n(x)  n-й подходящей дроби для непрерывной дроби (1.1.10). Числа x₁⁽ⁿ⁾, …, x_n⁽ⁿ⁾ — нули полинома Q_n(–x).

Последовательность {Q_n(x)} удовлетворяет соотношениям

1  ∫ Qn (t)Qm (t) dt = 0,     m ≠ n, –1

(1.1.11)

т.е. представляет собой последовательность ортогональных полиномов с весовой функцией, равной единице, на интервале –1≤t≤1. Как впервые заметил К. Г. Якоби (1804–1851) в [1827], Q_n(x) — это в точности те полиномы, которые получил Лежандр в 1784–1789 гг. в связи с исследованиями притяжения сфероидов и формы планет. Сначала Якоби посвятил статью квадратурам Гаусса, получив результат без использования непрерывных дробей. Он использовал вместо этого формулу (1.1.11). (Согласно Беллу, термин «ортогональные» был введён Р. Мёрфи только в 1833–1835 гг.)

Девятнадцатое столетие оказалось золотым веком для аналитической теории непрерывных дробей. Как изучение специальных функций, так и конкретные численные результаты (например, квадратуры) всё ещё были в центре внимания, и здесь могли быть использованы методы непрерывных дробей. По-видимому, многим математикам были хорошо знакомы непрерывные дроби, и большинство из них использовали эти дроби в своих исследованиях и/или способствовали развитию аналитической теории.

Помимо уже упомянутых новые непрерывно-дробные разложения были найдены Лапласом, Лежандром, Якоби, Эйзенштейном, Шлёмильхом и Лагерром. Гейне в 1846–1847 гг. занимался гипергеометрическими функциями. Проблема сходимости непрерывных дробей для отношений гипергеометрических функций, которую Гаусс оставил открытой, привлекла к себе внимание Римана и более полно была рассмотрена Томе [1867].

Исследования проблемы представления произвольных степенных рядов непрерывными дробями были начаты Штерном [1832] и Хейлерманном [1846] и продолжены среди прочих Фробениусом (1849–1917) в работе [1881] и Стилтьесом. Они изучали, в частности, правильные C-дроби и присоединённые непрерывные дроби. К концу столетия Фробениус в [1881] и Паде (1863–1953) в [1892] предложили даже более общую схему для представления формального степенного ряда P(z) рациональными функциями. Получающиеся в результате таблицы с двумя входами известны как таблицы Паде для P(z).

Вероятно, здесь уместно упомянуть С. Рамануджана (1887–1920) (хотя его деятельность относится главным образом к двадцатому веку), «который в мастерстве действий над непрерывными дробями, по крайней мере с формальной стороны, был выше любого другого математика в мире» (из предисловия Г. Г. Харди к сборнику трудов Рамануджана [1927]). Рамануджан не дал доказательств своим формулам, и заслуга убедительных обоснований этих формул принадлежит Ватсону [1929, 1952 и другие работы], Прису [1929, 1930] и Перрону [1952, 1953, 1958a,b].

Проблемой, оказавшей особенно плодотворное влияние на изучение непрерывных дробей на протяжении девятнадцатого и двадцатого столетий, были механические квадратуры Гаусса. Из этой проблемы вытекают четыре взаимосвязанные задачи. Мы опишем их при помощи интегралов Стилтьеса, которые были введены им как инструмент для изучения этих задач. Для этих целей допустим, что ψ(t) обозначает (фиксированную) ограниченную неубывающую функцию. Тогда четыре задачи формулируются следующим образом.

1. Определить функции γ_n(x) и константы x₁⁽ⁿ⁾, …, x_n⁽ⁿ⁾ так, чтобы

∞		n
∫	f (t) dψ(t) =	∑	γn(xk(n)) f (xk(n)) + ошибка
–∞		k=1

с ошибкой, равной нулю в случае, когда  f (t) — полином степени до 2n–1 включительно.

2. Выразить

∞
∫	dψ(t)   z + t
–∞

в виде непрерывной дроби и исследовать её область сходимости.

3. Найти последовательность {Q_n(x)} ортогональных полиномов с плотностью весовой функции dψ(t).

4. Разложить «произвольную» функцию по последовательности ортогональных функций {Q_n(x)} в виде

	∞
f (x) =	∑	cn Qn(x)
	n=0

и исследовать сходимость такого разложения.

Решению одной или нескольких из этих задач способствовали многие лучшие аналитики девятнадцатого столетия. Не все из них пользовались непрерывными дробями; наиболее успешно их использовали Чебышёв и Стилтьес, важные исследования принадлежат среди других также Кристоффелю, Руше и Маркову.

П. Л. Чебышёв (1821–1894) применял непрерывные дроби в более чем двадцати своих работах. Первая из них появилась в 1854 г., последняя — в год его смерти. Во всех проблемах, упомянутых выше, он получил весьма глубокие результаты. Так как Чебышёв не придавал большого значения чтению современной математической литературы, ему, вероятно, не было известно, что Т. Стилтьес (1856–1894) начиная с 1884 г., в некоторой степени воодушевлённый работой Чебышёва [1858], решал многие из задач, над которыми работал Чебышёв. (По иронии судьбы одним из принципов Чебышёва было убеждение, что усилия, затраченные на изучение работ других авторов, лишают индивидуальности собственные работы.) Ко времени смерти обоих, которая настигла их в декабре 1894 г., Стилтьес значительно обогнал Чебышёва, получив (среди других результатов) непрерывно-дробные разложения вида

и полностью исследовав характер их сходимости для интегралов

∞
∫	dψ(t)   z + t	,
0

Стилтьес с 1890 г. был нездоров и с трудом закончил эти исследования. Его интерес к этой проблеме проистекал не только из теории квадратур, но также из задачи «суммирования» некоторых расходящихся рядов. Как это часто бывает в истории математики, Стилтьес (в своей диссертации [1886]) и Пуанкаре (1854–1912) в работе [1886] сделали важный вклад в этой области в один и тот же год. Оба они находились в это время в Париже, но, очевидно, не знали о работах друг друга. Тот факт, что теория асимптотических рядов, которой оба они занимались, может использовать непрерывные дроби, уже предполагался Э. Лагерром (1834–1886) в 1879 г. и был известен Ш. Эрмиту (1822–1901). Для асимптотических рядов Стилтьес использовал термин «полусходящиеся», который применялся в то время в несколько более узком смысле. Эрмит был покровителем и другом Стилтьеса. Они регулярно переписывались с 1882 по 1894 гг., и Эрмит был одним из оппонентов диссертации Стилтьеса (остальными оппонентами были Дарбу и Тиссеран).

Теория моментов, сформулированная и созданная Стилтьесом, отвечает также на некоторые вопросы об асимптотических разложениях. Путём определения функции ψ(t), которая связана с заданной последовательностью c_n соотношением

	∞
cn =	∫	(–t)n dψ(t),
	0

Стилтьес не только смог решить задачу моментов, но также определил функции (при помощи непрерывных дробей), для которых ряды

∞
∑	ck z–k
k=0

будут асимптотическим разложением на бесконечности (см. гл. 9).

Как Ф. Клейн (1849–1925), так и Д. Гильберт (1862–1943) интересовались работами Стилтьеса. Гильберт даже встретился со Стилтьесом, когда тот приезжал в Париж в 1886 г., и послал ему оттиски своих работ. Собственные интересы Гильберта частично совпадали с интересами Стилтьеса, так как разложение функции по системе ортогональных функций играет важную роль в теории интегральных уравнений.

Э. Ван Флек (1863–1943) написал свою диссертацию Zur Ketten­bruchent­wicklung hyper­elliptischer und ähnlicher Integrale под руководством Клейна в Гёттингене в 1893 г. и некоторое время продолжал работать над непрерывными дробями. Среди его результатов имеется несколько основных критериев сходимости [1901a,b, 1904]. Значительно позже, после того как Ван Флек возглавил математический факультет Висконсинского университета, его учеником стал X. Уолл (1902–1971), в 1927 г. написавший докторскую диссертацию «Об аппроксимациях Паде, связанных с непрерывными дробями и рядами Стилтьеса». Уолл в свою очередь заинтересовал этим вопросом У. Лейтона, и оба они стали основателями американской школы непрерывных дробей, в которую вошли У. Скотт, У. Ветцел, Э. Франк, Р. Лейн, Э. Меркес, Т. Хейден, У. Джоунс, А. Магнус и другие.

Учениками Гильберта, которые писали диссертации по непрерывным дробям, были О. Блюменталь (1876–1944) в 1898 г. и И. Громмер в 1914 г. Два других его ученика, Г. Хамель (1877–1954) и Э. Хеллингер (1883–1950), тоже внесли свой вклад в теорию непрерывных дробей.

X. Хамбургер (1889–1956) в серии статей [1920, 1921] распространил теорию Стилтьеса с интервала 0≤t<∞ на интервал –∞<t<∞. Хамбургер обучался как в Гёттингене, так и в Мюнхене (где получил докторскую степень) и поэтому был знаком с работами по непрерывным дробям, которые были выполнены в этих двух центрах.

Непрерывными дробями, появившимися в связи с проблемой моментов, занимался в 1920 и 1930 гг. И. Шохат (1886–1944), вышедший из петербургской школы Чебышёва и Маркова. Несколько позже его аспиранты в Пенсильванском университете также работали в этой области.

В девятнадцатом столетии начались тщательные исследования характера сходимости бесконечных процессов. Первое приемлемое определение сходимости для непрерывной дроби принадлежит Зейделю [1846]. Штерн [1832] ещё раньше предположил, что непрерывные дроби, колеблющиеся в конечных пределах, должны рассматриваться как сходящиеся; позже в [1848] он принял формулировку Зейделя. Затем Зейдель и Штерн перешли к развитию критериев сходимости и расходимости для непрерывных дробей с вещественными элементами.

Для непрерывных дробей с комплексными элементами, по-видимому, первым был результат Ворпицкого [1865], состоящий в том, что

Теорема Ворпицкого была опубликована в годовой программе гимназии Фридриха и реального училища в Берлине, и не удивительно, что она не привлекла к себе внимания. Эта теорема была заново получена Прингсхеймом [1899] и Ван Флеком [1901b], и только в 1905 г. статья Ворпицкого обратила на себя внимание Ван Флека [1905]. Очевидно, эта работа была диссертацией Ворпицкого. В ней также содержится доказательство сходимости гауссовых непрерывных дробей, на два года предшествовавшее доказательству Томе.

Следующий важный вклад был сделан А. Прингсхеймом (1850–1941) и Ван Флеком. В 1898 г. Прингсхейм показал, что

Из этого можно вывести как результат Ворпицкого, так и следующее утверждение:

Немного более слабый результат, а именно

был дан уже в [1889] С. Пинкерле (1853–1936), чрезвычайно результативным математиком, который внёс большой вклад в теорию непрерывных дробей, получив в том числе результат, связывающий решение трёхчленных рекуррентных соотношений со сходимостью соответствующей непрерывной дроби (см. § 5.3).

Ван Флек [1901a] доказал, что

Дальнейшие дополнения к теории сходимости, в частности предельно-периодических непрерывных дробей, были сделаны Прингсхеймом в Мюнхене, его учеником О. Перроном (1880–1973), который также стал профессором в Мюнхене, и О. Сасом (1884–1952). Сас провёл год в Мюнхене перед отъездом во Франкфурт (где он стал коллегой Хеллингера), а впоследствии переехал в Цинциннати. Педагогическая работа Перрона по непрерывным дробям представляет бо́льшую значимость, чем его важные оригинальные результаты в этой области. Три издания его книги Die Lehre von den Kettenbrüchen [1913; 1929; 1954; 1957a] не только поддержали интерес к этой теме, но и явились образцом наглядного изложения предмета.

Другие исторические сведения, главным образом относящиеся к более современным результатам, можно найти как в следующем параграфе, так и во вводных параграфах различных глав.

[· · ·]

Алгоритм Бейкера 76

— биортогональный 358

— Висковатова 119, 134–140

Абсолютная сходимость непрерывной дроби 134

Алгоритм, задающий непрерывную дробь 37

Аппроксимации Ньютона–Паде 196, 376

—  Паде 35, 189

Армса–Эдрея теорема 233–234

Асимптотические разложения непрерывных дробей 325–329

Асимптотическое разложение функции в точке z=∞ 317

— — —  в точке z=0 320

Модифицированная правильная C-дробь 321, 371

—  S-дробь 321, 371

Модифицированное разложение в T-дробь голоморфной функции 362

Моментов проблема в форме Стилтьеса 318

— — — — —  решение 329–331

— — — — —  сильная 329–331

— — — —  Хамбургера 318–319

— — — — —  решение 328–331

—  теория 28

Монтессуса де Баллора теорема 194–195

Наилучшая область включения 288

—  последовательность областей значений 81

— — —  элементов 81

Необходимые условия сходимости 93

Неподвижная точка притягивающая 68

— —  нейтральная 68

— —  отталкивающая 68

Неполная бета-функция 213–214

—  гамма-функция 207, 214–215, 334

Непрерывная дробь бесконечная (неограниченная) 37

— —  двойственная 32, 72

— —  значение 39

— —  конечная (ограниченная) 37

— —  над нормированным полем 41

— —  определение 37

— —  периодическая 32, 63

— —  предельно-периодическая  см. Предельно-периодическая непрерывная дробь

— —  присоединённая  см. Присоединённые непрерывные дроби

— —  сходимость 39

Неравенства фундаментальные 134

Нечётная часть непрерывной дроби 60

Норма 41

Нормальная таблица Паде 190

Нормальные аппроксимации Паде 190

Нормальный ФСР 190

Нормированное поле 40

Ньютона–Паде аппроксимации 196, 376

— — —  нормальные 196

Области сходимости парные 33.  См. также Парные области сходимости

Область включения 286–288

—  значений 80

—  сходимости 33

— —  кардиодная 33

— —  круговая приближённая 33

— —  параболическая 33

— —  простая 93

—  условной сходимости простая 94

—  элементов 80

— —  параболическая 92

Обратный рекуррентный алгоритм (BR-алгоритм) 45, 338–339

— — — —  устойчивость 339–341

Общая T-дробь 32, 138, 251, 374

— —  представление функций 268–273

— —  связь с двухточечной таблицей Паде 374–375

— — — —  FG-алгоритмом 259–375

— — — —  M-дробью 374–375

— —  соответствие 252–259

— —  сходимость 147–149, 268

Однолистность функций 368–369

Окрестность сходимости точки 119

Определители Ганкеля    см. Ганкеля определители

—  c_m,n 190

— —  связь с определителями H_k⁽ⁿ⁾ 222

Определяющие формулы 40

Орика теорема 35

— —  обобщение 175–176

Ортогональные полиномы 25, 27, 245–249

Отображение сжимающее 290

Ошибка аппроксимации n-й подходящей дроби 286

— — — — —  границы, определённые апостериори 295

— — — — — — —  заранее 295

Паде аппроксимации 35, 189

— —  двухточечные 197, 135

— —  нормальные 190

—  таблица 27, 189

— —  нормальная 190

Паранечётная функция 276

— —  целая часть 278

Парасопряжённая функция 274

Парные области сходимости 33, 93, 125, 132, 133

Пинкерле теорема 30, 35, 384

— —  обобщение 168

Подходящая дробь n-я непрерывной дроби 31, 37

Пойа частотный ряд (PF-ряд) 35, 232

Поле нормированное 40

—  расширенное 40

—  ФРЛ 154

— —  норма 156

—  функций, мероморфных в начале координат 155, 157

Полная сходимость непрерывной дроби 325

Положительная рациональная функция 275

—  T-дробь 138, 374

— —  границы ошибки аппроксимации 304–305

— —  сходимость 152

Положительно определённая непрерывная дробь 312–313

— — — —  границы ошибки аппроксимации 312–313

— — — —  наилучшая область включения 312–313

— — —  J-дробь 138, 372–373

— — —  границы ошибки аппроксимации 313–314

— — —  сходимость 146

Порядок соответствия 155

Последовательность вполне положительная 232

—  областей значений 80

— — —  индуцированная последовательностью областей элементов (соответствующая последовательности областей элементов) 81

— — —  наилучшая 81

— —  сходимости 93

— — —  равномерная 112

— —  элементов 80

— — —  наилучшая 81

— — —  относящаяся к последовательности областей значений 81

—  порождающая непрерывную дробь (ПНД-последовательность) 49

—  простая 296

Правила ромба 224

Правильная C-дробь 26, 137, 221, 370

— —  связь с таблицей Паде 191–192, 371–372

— — — —  QD-схемой 226–227

— —  соответствие 219–223

— —  сходимость 139, 145, 185–186

Предельный окружности случай 78, 83

—  точки случай 78, 83

Предельно-периодическая непрерывная дробь 33, 118–119, 124

Представление непрерывной дробью Бесселя функции J_ν(z) 171, 185, 208–209

— — —  Бине функции 336–337

— — —  волновой функции Кулона 213

— — —  дисперсионной функции для плазмы 216

— — —  дополнительной функции ошибок 215–216, 335

— — —  интеграла Доусона 206, 273

— — — —  Френеля 207, 273

— — —  неполной бета-функции 213–214

— — — —  гамма-функции 207, 214–215, 334

— — —  общей биномиальной функции 202

— — —  функции ошибок 206, 273

— — —  Arcsin z  203

— — —  Arctg z  25, 43, 201

— — —  Arsh z  203

— — —  Arth z  202

— — —  e^z  44, 206

— — —  F(a, 1; c; z)  201

— — —  F(a, b; c; z)/F(a, b+1; c+1; z)  25, 200

— — —  ∫₀^z (1 + tⁿ)^–1 dt  202

— — —  log (1 + z)  25, 44, 202

— — —  log [(1 + z)/(1 – z)]  25, 202

— — —  P_α^m(z)/P_α^m–1(z)  212

— — —  Q_α+n^m(z)/Q_α+n+1^m+1(z)  204

— — —  tg z  205, 209

— — —  th z  209

— — —  Φ(1; c; z)  206, 273

— — —  Φ(b; c; z)/Φ(b+1; c+1; z)  205, 270–272

— — —  Ψ(c; z)/Ψ(c+1; z)  208

—  непрерывных дробей в форме интеграла Стилтьеса 324–325

Преобразование дробно-линейное  см. Дробно-линейное преобразование

—  Мёбиуса 46

Прингсхейма теорема (критерий сходимости) 30, 105–106

Присоединённые непрерывные дроби 26, 32, 137, 234, 236, 372

— — —  алгоритм для вычисления коэффициентов 242–243

— — —  связь с таблицей Паде 372

— — —  соответствие 237–243

Процессы размножения и гибели 349–350

Прямой рекуррентный алгоритм (FR-алгоритм) 45, 338

Равномерная последовательность областей сходимости 112

—  простая область сходимости 112

—  сходимость последовательности мероморфных функций 178

Равномерно ограниченная последовательность мероморфных функций 178

Равномерные парные области сходимости 112

Разложение асимптотическое функции в точке z=∞ 317

— — —  в точке z=0 320

—  в правильную непрерывную дробь 22, 41–42

— — — — —  числа e  42

— — — — — —  π  42

— — — — — —  (√5 – 1)/2 (золотое сечение) 42

—  модифицированное в T-дробь 362

Разностные уравнения, определяющие числитель и знаменатель непрерывной дроби 39

Расширение непрерывной дроби 56, 60

Рациональная функция типа [m, n] 187

Рациональное выражение 187

Рациональные выражения эквивалентные 187

Решение трёхчленных рекуррентных соотношений доминирующее 167

— — —  минимальное 167, 379

—  проблемы моментов в форме Стилтьеса 329–331

— — — — —  Хамбургера 318–319

Риккати уравнение 25

Ряд гипергеометрический 25

Свёртка непрерывной дроби 56

Сжимающее отображение 290

Соответствие непрерывной дроби ФРЛ при z=∞ 156

— — — — —  z=0 154–155

— — —  функции 155

Соответствия порядок 155

Стилтьеса–Витали теорема 103, 138

—  дробь 370

—  теорема 144

Сходимости коэффициенты 287

—  необходимые условия 93

—  области  см. Области сходимости

Сходимость непрерывной дроби 39

— — —  абсолютная 134

— — —  полная 325

—  ускоренная 314–316

Таблица Паде 27, 189

— —  нормальная 190

Теорема Армса–Эдрея 233–234

—  Ван Флека 30, 102

—  Ворпицкого 30, 107

—  Зайделя–Штерна 101

—  Маркова 250, 330–331

—  Монтессуса де Баллора 194–195

—  о блоках 189

—  об области сходимости кардиодной 142

— — — —  параболической 117

— — — —  равномерной простой круговой 119–120

— — — — — —  параболической 112

— — —  областях сходимости параболических 117

—  Орика  см. Орика теорема

—  Пинкерле  см. Пинкерле теорема

—  Прингсхейма 30, 105–106

—  Стилтьеса 144

—  Стилтьеса–Витали 103, 138

—  Шёнберга–Карлина 233

—  Штерна–Штольца 93

Теория моментов 28  См. также Моментов проблемы

Тиле непрерывная дробь 7, 376

— — —  связь с таблицей Ньютона–Паде 376

Точки критические 295

Трёхчленные рекуррентные соотношения 164–165

Устойчивости полинома необходимые и достаточные условия 280–281, 283, 285

Устойчивость обратного рекуррентного алгоритма 339–341

Устойчивый полином 274

Формальный ряд Лорана (ФРЛ) 154

— —  Ньютона (ФРН) 196

— —  степенной (ФСР) 154

— — — —  нормальный 190

— — — —  (M, N)-нормальный 191

Франка непрерывная дробь 375

Френеля интегралы 207, 273, 382

Фундаментальные неравенства 134

Функции Бесселя  см. Бесселя функция

—  Лежандра  см. Лежандра функции

Функция Бине  J(z) 335

—  волновая Кулона 213

—  дисперсионная для плазмы 216

—  Куммера 205

—  мероморфная  см. Мероморфная функция

—  ошибок 206, 273

— —  дополнительная 215–216, 335

—  паранечётная 276

—  парасопряжённая 274

Целая часть паранечётной функции 278

Цепные последовательности 125, 296

— —  параметры 125, 296

Частный знаменатель непрерывной дроби 37

—  числитель непрерывной дроби 37

Частных и разностей алгоритм (QD-алгоритм) 35, 224–231

— — — — —  применение для вычисления коэффициентов непрерывных дробей 227–228

— — — — — —  нулей и полюсов функций 228–231

— — —  схема (QD-схема) 224–225

Частотный ряд Пойа (PF-ряд) 35, 232

Чётная часть непрерывной дроби 58

Числа Кристоффеля 249, 250

Числитель непрерывной дроби n-й 39

Шёнберга–Карлина теорема 233

Штерна–Штольца теорема 93

Шура непрерывная дробь 375

Эквивалентности преобразование 51

Эквивалентные непрерывные дроби 49–50

Элементы непрерывной дроби 37

Эрмита интерполяция 34, 187

Якоби тождество 225

BR-алгоритм  см. Обратный рекуррентный алгоритм

C-дробь 26, 32, 137, 370

—  правильная  см. Правильная C-дробь

— —  модифицированная 321, 371

—  соответствие 161–162

FG-алгоритмы 259–267

—  вычисления нулей и полюсов функций 265–267

— —  последовательного столбцов FG-таблицы 261

— — —  строк FG-таблицы 262

FG-таблица 261

FR-алгоритм  см. Прямой рекуррентный алгоритм

G-дробь 322, 373

g-дробь 137, 235–236, 371

—  граница ошибки аппроксимации 306–307

—  сходимость 146

g-таблица 325

H-дробь 322, 371

J-дробь 32, 138, 236, 372

—  вещественная  см. Вещественная J-дробь

—  положительно определённая  см. Положительно определённая J-дробь

—  связь с ортогональными полиномами 245–249

— — —  присоединённой непрерывной дробью 236–237, 244

k-я обращённая разность функции 376

M-дробь 138, 374

(M, N)-нормальный ФСР 232

n-й знаменатель непрерывной дроби 39

—  числитель непрерывной дроби 39

n-я подходящая дробь 31, 37

P-дробь 161, 164, 194, 373

—  связь с таблицей Паде 194, 373–374

—  соответствие 164

QD-алгоритм  см. Алгоритм частных и разностей

QD-схема 224–225

RITZ-дробь 371

S-дробь 137, 370

—  границы ошибки аппроксимации 300–302

—  модифицированная 321, 371

—  представление функции z arctg z 347

— — —  –zJ_m+1(z)/J_m(z)  347–348

— — —  √π e^z² erfc z  348

—  сходимость 144

—  численная устойчивость BR-алгоритма 346–348

—  эквивалентные формы 303

SITZ-дробь 371

T-дробь 138, 250, 251, 374

—  общая  см. Общая T-дробь

—  положительная  см. Положительная T-дробь

—  разложение семейств ограниченных функций 361–363

— —  модифицированное функции 362

—  соответствующая рациональной функции 363–365

π-дробь 305

—  граница ошибки аппроксимации 306–307