3632 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие переводчика 5 От американского редакционного комитета 7 Предисловие 9   Глава I. Теоретико-вероятностный способ рассуждений 13 Глава II. Некоторые аналитические средства и приёмы теории вероятностей 42 Глава III. Вероятность в некоторых задачах классической статистической механики 80 Глава IV. Интегрирование в функциональных пространствах и некоторые приложения 193 Примечания и библиография 219   Приложение I. Уравнение Больцмана. Г. Е. Уленбек 227 Приложение II. Квантовая механика. А. Р. Гиббс 251 Приложение III. Теория Ван-дер-Ваальса о равновесии между газом и жидкостью. М. Кац, Г. Е. Уленбек, П. К. Хеммер 271     Часть I. Изучение одномерной модели 271     Часть II. Изучение функций распределения 307     Часть III. Исследование критической области 355 Добавление переводчика. Краткие сведения о теории фазовых переходов в классической статистической физике 396   Указатель   405

В своём предисловии автор ясно очертил как стиль книги, так и те педагогические и литературные принципы, которыми он руководствовался. По своей форме и манере изложения эта книга принадлежит к новому жанру в математической литературе, изобретенному, по-видимому, недавно. Эту форму можно наполнить любым содержанием, и с её помощью читателя можно вести почти от «нуля» в самую гущу нерешённых проблем, не отнимая у него возможности в любом месте с достоинством выйти из игры.

Одно замечание относительно содержания книги. Несмотря на то что она очень фрагментарна и состоит из большого числа искусно расположенных этюдов, в ней всё-таки центральное место занимает третья глава. Здесь сделана далеко идущая попытка ввести читателя в круг вопросов, связанных с кинетическими уравнениями. Автор следует в этой главе своей основной тенденции (впрочем, вполне совпадающей с общим замыслом книги) — дать статистическое истолкование кинетическим уравнениям и тем необратимым процессам, которые ими описываются. В связи с этим здесь почти отсутствует упоминание о других аспектах и подходах к этой проблеме. Этот пробел, правда частично, восполняется лекцией Г. Е. Уленбека, помещённой в приложениях к книге. Но следует иметь в виду, что книга написана около пяти лет назад, а за последнее время в этой области появилось много интересных работ.

В конце книги добавлено приложение, которого не было в оригинальном издании. Это цикл недавних статей М. Каца, Г. Уленбека и П. Хеммера, где подробно разбирается одна модель фазового перехода.

В третьей главе, а также в лекции Уленбека трактуются вопросы неравновесной статистической механики — каким образом большая система, исходя из произвольного состояния, приходит к равновесию. Однако уже в равновесной статистической механике существует очень важная нерешённая задача — задача о фазовом переходе. В настоящее время в классической статистической механике имеется лишь одна модель (двумерная и трёхмерная решётки Изинга), в которой строго установлено существование фазового перехода. Непрерывной же модели (модели газа) фазового перехода ещё нет, не говоря уже о том, что отсутствует какое-либо описание тех систем, где такой переход возможен.

В помещённом нами цикле статей строится модель одномерного газа с очень малым и очень дальнодействующим притяжением, в которой обнаруживается фазовый переход. Хотя этот случай и не улавливает всех трудностей истинной трёхмерной задачи, эти работы очень интересны. К этим статьям мною написано небольшое добавление, где кратко изложены необходимые сведения о проблеме конденсации. Читателю, мало знакомому с вопросом, лучше начать с этого добавления.

Эта книга представляет собой первый том трудов летнего семинара по прикладной математике, организованного Американским математическим обществом и проходившего в Колорадском университете в течение четырёх недель с 23 июня 1957 г.

Цель этого семинара состояла в том, чтобы ознакомить квалифицированных математиков с современным состоянием нескольких областей прикладной математики и поставить перед ними ряд важных и интересных задач, которые до сих пор не решены. Такой семинар можно рассматривать как попытку содействовать развитию сотрудничества между математиками и физиками. Труды семинара публикуются для того, чтобы информация, приобретённая участниками семинара, стала доступной значительно более широкому научному кругу. В то же время эти книги могут служить справочником для тех, кто слушал лекции.

Программа семинара была разработана организационным комитетом Американского математического общества в составе П. Гарабедяна, А. Хаусхолдера, М. Каца, Р. Ленгера, Линь Цзя-цзяо, В. Прагера, Дж. Стокера и М. Мартина (председатель).

Подготовка семинара (составление программ заседаний, организация отдыха участников) была осуществлена комитетом Отделения прикладной математики Колорадского университета в составе Бриттона, Бен Крига, Рутланда, Снивли, Шталя, Хатчинсона (председатель).

Неисчерпаемая энергия и энтузиазм председателя и других сотрудников университета внесли неизмеримый вклад в успешное осуществление планов семинара.

Семинар открылся 23 июня вступительным докладом Р. Фейнмана (Калифорнийский технологический институт) на тему «Связь математики и физики». Заседания, предусмотренные программой, проводились по утрам, с тем чтобы сохранить свободным послеполуденное время и предоставить участникам возможность проводить неофициальные дискуссии по отдельным вопросам.

13 октября 1958 г.

А. Хаусхолдер

Эта книга — расширенное изложение двенадцати лекций, прочитанных на семинаре по прикладной математике в Колорадском университете летом 1957 года.

Как и лекции, книга представляет собой введение в теорию вероятностей и предназначена для квалифицированного читателя, не имеющего почти никаких предварительных сведений о предмете.

Это не означает, что она может служить учебником; для этого она слишком фрагментарна и, возможно, слишком сильно отражает вкусы, наклонности и предубеждения автора. По сути дела, это скорее обзор некоторых собственных его исследований и точек зрения.

В теории вероятностей автора больше всего привлекает необычайное разнообразие её применений. Немногие математические дисциплины имеют такой широкий диапазон приложений — от теории чисел до физики; ещё меньше среди них тех, которые столь решительно проникают во всё наше научное мышление.

Отразить эту многогранность теории вероятностей и показать широту её применений — в этом и заключается цель книги. Чтобы добиться этого, мы сосредоточили основное внимание в нашем изложении на ряде отдельных примеров и задач, не делая при этом никаких серьёзных попыток вложить их в общие схемы или теории.

Помимо того, что такой стиль изложения весьма свойствен автору, он кажется нам наиболее ярким, во всяком случае в педагогическом отношении.

Стремление к общности и абстрактности в курсе лекций, призванных служить введением в новую область, выглядело бы, мягко говоря, глупо. Это могло бы привести к искажённой картине, где все побудительные мотивы были бы скрыты; да и, кроме того, чтобы спасти изложение от смертельной скуки, от автора потребовался бы литературный талант, далёкий от его возможностей.

Книга делится на четыре главы. В первой (теоретико-вероятностный способ рассуждений) показывается, каким образом вероятностные понятия возникают при исследовании различных задач и насколько они бывают плодотворны.

Во второй главе (аналитические средства и приёмы теории вероятностей) мы прежде всего хотели показать, как подступаются к этим задачам и как их решают. При этом мы получили возможность обсудить на ряде примеров вопрос о роли переформулировок одного и того же утверждения и выявить столь свойственную теории вероятностей связь между комбинаторным и аналитическим аспектами.

Третья глава (самая длинная) называется «Вероятность в некоторых задачах классической статистической механики». Эта глава дополнена двумя лекциями Г. Е. Уленбека об уравнении Больцмана (приложение I). Очень удачно, что мы смогли поместить в нашей книге столь прозрачный обзор физических идей, господствующих в этой трудной и важной области, и заручиться сотрудничеством столь выдающегося авторитета в этих вопросах. Наша третья глава в значительной степени является последовательным комментарием к некоторым вопросам, затронутым в первой лекции Уленбека, и хотя содержание этой главы независимо, мы очень советуем читать её вместе с этой лекцией.

Вторая лекция Уленбека подводит читателя к границе наших сегодняшних знаний и ставит его перед обширной областью, где возможности дальнейших открытий почти неограниченны.

Однако я обязан Уленбеку значительно большим. Почти вся третья глава написана под прямым или косвенным влиянием наших с ним бесед и переписки, длившихся в течение почти пятилетней дружбы и научного сотрудничества. И удовольствие, с которым я приношу ему благодарность, заставляет меня полностью забыть те муки, с которыми я писал и переписывал эту главу.

В четвёртой главе (интегрирование в функциональных пространствах) излагается действительно новый способ исследования задач классического анализа и физики. Эти фундаментальные идеи были выдвинуты в начале двадцатых годов Н. Винером и с несколько другой точки зрения Р. Фейнманом в 1942 г. Наши собственные исследования возникли под сильным влиянием работ Фейнмана, хотя в чисто математическом плане мы опирались на строго установленные свойства меры Винера в пространстве непрерывных функций.

Подход Фейнмана к нерелятивистской квантовой механике настолько изящен и нагляден, что мы просили доктора А. Р. Гиббса прочитать специальную лекцию (приложение II), чтобы ознакомить семинар с этим методом. Мы крайне признательны А. Р. Гиббсу за помощь. Читатель может подождать появления книги Фейнмана и Гиббса, целиком посвящённой этому важному и захватывающему предмету.

Со своей стороны мы в четвёртой главе сосредоточили внимание на выявлении возможностей интегрирования в функциональных пространствах как метода решения задач, не имеющих на первый взгляд ничего общего с вероятностями или мерой в функциональном пространстве.

Когда в 1948 г. впервые было строго установлено соответствие между уравнением Шрёдингера и средним от некоторого функционала по пространству непрерывных функций (идея, навеянная работой Фейнмана), нами была задумана определённая программа. Эта программа состояла в том, чтобы изучить аналитические свойства некоторого класса дифференциальных и интегральных операторов, связав их со средними значениями от определённых функционалов по подходящему пространству функций. Краткое её изложение дано в нашей статье «On some connections between probability theory and differential and integral equations» (Proc. Sec. Berkeley Symp. in Math. Stat. and Prob., 1951). Важная часть программы (касающаяся асимптотики собственных значений уравнения Шрёдингера) была выполнена Д. Рэем в 1953 г. Мы указываем здесь также на возможности применения метода функционального интегрирования в классической теории потенциала.

За последние годы появилось много статей различных авторов, касающихся некоторых вероятностных аспектов теории потенциала и смежных задач. Эти статьи следуют другому пути: авторы стремятся главным образом к окончательной общности вероятностного истолкования, а не к использованию вероятностных методов как руководства к открытию, пониманию и доказательству определённых фактов из анализа и физики.

Хотя в узком техническом смысле наши результаты являются, может быть, частными случаями некоторых более поздних и общих теорий, мы предпочитаем вычисления и формулы словесным доводам, основанным на тонком (но утомительном) использовании теории меры; потеря же общности с избытком вознаграждается ясностью и конкретностью.

Эта книга возникла из записи лекций и сохранила их свободный стиль. То, что научная книга столь радикально отступает от пресловутого «Введения в теорию слонов» («Einführung in die Elephantenlehre»), произошло в значительной степени из-за отвращения автора к увесистым заумным трактатам. Если я слишком перегнул в другую сторону, то надеюсь, что читателю по крайней мере будет всё понятно.

Многие друзья и коллеги всячески помогали мне в работе над книгой. А. Иоффе помогал в составлении первоначальных мимеографических записей; Дж. Риордан значительно помог мне советами и с выдержкой и тактом исправлял мои погрешности в английском языке. Наибольшую благодарность я приношу Г. Кестену, который критически просмотрел большую часть рукописи и исправил там потрясающее количество ошибок.

Я особенно благодарен участникам встречи в Боулдере, чьё неизменное внимание и неиссякаемый интерес к предмету служили для меня постоянно ободряющим источником, и, наконец — но не в последнюю очередь, — я благодарю сотрудников издательства Interscience Publishers за их замечательное содействие.

Итака, Нью-Йорк

Марк Кац

1. Что превратило теорию вероятностей в особую науку?

Она, несомненно, является ветвью анализа и в узком смысле ветвью теории меры. В своей наиболее рудиментарной (и часто наиболее трудной!) части она связана с комбинаторикой.

Однако всё это далеко не исчерпывает содержания теории вероятностей, и вряд ли возможно определить её точное место и границы.

Поэтому мы не будем даже пытаться установить, что такое теория вероятностей. Вместо этого мы покажем, что можно из неё извлечь.

Чтобы облегчить изложение, мы предлагаем очень общую (и, следовательно, почти тривиальную!) схему, которая встречается во всех теоретико-вероятностных рассуждениях.

Эта схема предполагает, что задано некоторое множество S (называемое «выборочным пространством») и выделено семейство F его подмножеств (называемых «элементарными событиями» или «элементарными множествами»), которым заранее приписаны их меры. Кроме того, постулируется ряд правил, с помощью которых меры (или, что то же самое, «вероятности») могут быть вычислены для других подмножеств из S.

В классической теории вероятностей приняты следующие правила:

1. Если обозначить через μ меру, то
   μ(S) = 1,     μ(Æ) = 0
   

   (Æ — пустое множество).

2. Если множества B_n попарно не пересекаются (т.е. B_i ∩ B_j = Æ, i ≠ j) и измеримы (т.е. μ(B_n) определены), то

   μ	(	U	Bn	)	=	∑	μ(Bn).
   		n				n

   Обычно допускаются счётные суммы множеств (вполне аддитивная мера), но в некоторых интересных случаях (замечательный пример даёт теория чисел) допустимы только конечные суммы множеств.

3. Если некоторое множество B измеримо, то и его дополнение S\B измеримо.
4. Если μ(C) = 0 и B Ì C, то μ(B) = 0.

Последний постулат не является общепринятым, но мы не станем здесь это обсуждать.

Само собой разумеется, что первоначальное задание меры (вероятности) на элементарных множествах (событиях) должно быть согласовано с перечисленными правилами.

Может показаться удивительным, что столь «тощая» схема служит основанием богатой и плодовитой теории, однако на деле это богатство и плодовитость возникают в значительной мере за счёт выбора специальных множеств и специальных мер.

Выбор множества S, так же как и выбор в нём семейства элементарных событий и задание меры, зависит каждый раз от условий рассматриваемой задачи.

Теперь мы хотим на ряде примеров проиллюстрировать способ рассуждений, принятый в теории вероятностей.

[· · ·]