Mark Kac (1914–1984) enjoyed describing himself as only a simple Pole.				М. Кац
					НЕСКОЛЬКО ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ
					Перевод с польского Ю. В. ЛИННИКА и Д. Н. ЛЕНСКОГО
					ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»  ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  МОСКВА  1967

1334 Кб

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие переводчиков 5 Из предисловия к польскому изданию 6   ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ   Классические парадоксы 8 H-теорема (9). Парадокс обратимости (10). Теорема Лиувилля (12). Теорема Пуанкаре о возвратах (13).   Простая модель с такими же трудностями 18 H-теорема (21). Парадокс обратимости (21). Парадокс возврата (21). Вероятностный анализ (23). Объяснение парадоксов (31).   Другая модель, но более лёгкая 33 Уравнение Лиувилля (39). M-уравнение (41). Два основных метода подхода (43).   Уравнение Больцмана для газов 56 Статистический подход (62). M-уравнение (67).   Более простая модель газа 69 M-уравнение (70). Суженные распределения (72). Уравнение Больцмана (74). Хаос, хаотичные распределения (75). H-теорема (78). Распределение Максвелла (82). Класс хаотичных распределений (85). Линейное уравнение Больцмана (93). Линеаризованное уравнение Больцмана (95). Метод Гильберта (99). Связь с подходом, опирающимся на M-уравнение (101).     ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДРУГИЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ   Стохастическая модель, связанная с телеграфным уравнением. Дискретное случайное блуждание 103 Предельный случай (108). Метод Монте-Карло (109).   Непрерывная модель 110 Процесс Пуассона (110). Решение телеграфного уравнения (113). Соответствующие уравнения при большем числе измерений (114).   Асимптотическое поведение собственных значений оператора Лапласа 120 Связь с уравнением диффузии (122). Принцип неощущаемости границы для коротких промежутков времени (123). Использование теоремы тауберова типа (125).   Броуновское движение 128 Уравнение Чепмена-Колмогорова (128). Решения уравнения Чепмена-Колмогорова (130). Мера Винера (132). Один функционал, его распределение и связанное с ним дифференциальное уравнение (136). Стохастическая интерпретация (138). Фундаментальное решение (139). Собственные значения уравнения Шрёдингера (144). Метод Монте-Карло (150).   Теория потенциала   152 Среднее время, которое броуновская частица проводит в области Ω (154). Различие между трехмерным пространством и плоскостью (156). Распределение времени пребывания в Ω (160). Связанное с задачей интегральное уравнение (162). Вероятностное выражение для объёмного потенциала (166). Ёмкость (171). Случай двух измерений (173). Другие меры, опирающиеся на уравнение Чепмена-Колмогорова (174).

В 1956 году известный американский математик М. Кац прочитал в г. Далласе (США) цикл лекций для инженерно-научных работников. По мере чтения лекций их записывали на магнитофонную ленту, а затем отпечатали на множительном аппарате. Так возникла эта книга. Она посвящена приложениям теории вероятностей к различным вопросам математического анализа и классической статистической физики. Диапазон лекций достаточно широк: здесь и дифференциальные уравнения в частных производных, и теория потенциала, и броуновское движение, и теория газов и многое другое. Отличительная черта книги Каца состоит в том, что читатель не найдёт в ней систематического изложения рассматриваемых вопросов, педантически завершённых математических доказательств. Зато автор уделяет много внимания идейной стороне дела независимо от того, идёт ли речь о математических построениях или о выяснении их физического смысла. Он стремится развить у читателя интуицию и подчёркивает, что сила интуитивных рассуждений подчас бывает удивительной. Если добавить ещё, что книга написана в стиле непринуждённой беседы, и что этот разговорный, «интимный» стиль полностью сохранён и при переводе, то станет ясным, что мы имеем дело с не совсем обычным явлением в математической литературе.

Книгу Каца можно порекомендовать всем, кто, обладая достаточной подготовкой в области математики и физики, захочет прочитать поучительный обзор целого ряда математических и физических задач, решаемых методами теории вероятностей.

Мы не располагали английским оригиналом записи лекций М. Каца, и наш перевод сделан с их польского издания.

В октябре 1956 года я имел честь прочитать цикл из десяти лекций для научных работников научной лаборатории нефтяной компании «Магнолия» в г. Далласе (Техас). Лекции были записаны с магнитофонной ленты и изданы на английском языке с помощью множительного аппарата. Обработка текста не была произведена, если не считать наиболее бросающихся в глаза языковых ошибок, которые лектор так часто делает в пылу увлечения лекцией.

Польскому читателю предлагаемого перевода, возможно, будет интересно узнать, что нефтяная компания «Магнолия» ежегодно организует цикл лекций, и что мои лекции составили второй из таких циклов. Первый из них читал проф. Макс Дрезден, сотрудник физического отдела Северо-Западного университета. Они были посвящены уравнению Больцмана и уравнениям гидродинамики. Этим объясняются встречающиеся в тексте ссылки на проф. Дрездена.

Главной целью моих лекций было ознакомление слушателей, имеющих разнородные интересы, с ролью, которую играет теоретико-вероятностный подход в различных разделах науки. Следуя своим собственным вкусам и интересам, я сосредоточился на статистической механике (классической) и математическом анализе.

Я намеренно избегал доказательств и запутанных вычислений и старался подчёркивать, главным образом, простоту и богатство излагаемых идей.

Эта книга не предназначена для специалистов, и было бы нелегко найти что-либо похожее на неё в научной литературе. Я намеревался не учить, а будить мысль, заинтересовывать, и надеюсь — хотя это может дать повод для обвинения меня в самонадеянности, — что эта книга будет содействовать общему образованию, которое, к сожалению, в наше время отсутствует. Эта книга лишена системы и перескакивает с темы на тему. Она не отличается строгостью композиции и страдает болтливостью. Но «в этом безумии есть метод» и читатель, который схватит этот «метод» и которого не оттолкнёт это «безумие», действительно поймёт мою книгу.

Данный цикл лекций посвящён предмету, который становится всё более популярным и полезным — теории вероятностей. Я не собираюсь излагать эти лекции так, чтобы они образовали учебное пособие; я хотел бы скорее показать на примерах, как некоторые из понятий и методов теории вероятностей возникли на почве важных и простых задач из области естественных наук. Начну с предметов, которые выглядят весьма просто, а затем перейду к более сложным вопросам.

В чтение этих лекций я хотел бы внести некоторую новинку. Говорить около полутора часов — сравнительно легко, особенно если являешься профессором высшего учебного заведения и привык к такому занятию. Слушать же в течение полутора часов трудно. Действительно, я думаю, что продолжительность сосредоточения внимания человека — около 50 минут. По истечении этого времени можно читать как угодно гладко, рассказывать лучшие анекдоты, но, несмотря на это, слушатель не будет в состоянии воспринять материал. Ввиду этого после 50 минут занятий мы будем делать короткий перерыв для разрядки. Я хотел бы также посвятить, скажем, 20 минут на возможные вопросы слушателей. Быть может, изложенный материал покажется вам несколько непривычным, тогда лучше всего устранять трудности в понимании тут же. Прошу не стесняться задавать вопросы. Каждый боится, что покажет себя при этом большим невеждой. Все мы невежды: единственную разницу составляет степень нашего невежества. Должен сказать, что на некоторые вопросы я определённо не буду в состоянии ответить. Иногда я смогу дать лишь указания о соответствующей литературе, иногда мне придётся идти в библиотеку, рыться в книгах и давать ответ на другой день; в другой же раз мне удастся дать ответ сразу. Разница между мной и вами заключается в том, что я потратил на данный предмет 15 лет, тогда как вы собираетесь посвятить ему около недели. Естественно, я надеюсь заинтересовать вас этим предметом, так что, может быть, вы станете в дальнейшем уделять ему больше времени.

Классические парадоксы

После этого отступления я хотел бы начать с некоторых исторических фактов. Как вам наверное известно, теория вероятностей выросла из весьма простых задач, относящихся к азартным играм. Однако в таком виде она ещё не вошла в науку. Эта теория заинтересовала научный мир лишь в последних десятилетиях XIX века, хотя некоторые факты были известны ещё в начале XIX века, в связи с кинетической теорией материи. Хотя в настоящее время кинетическая теория материи нам хорошо известна, интересно заметить, что совсем нелегко было убедить людей, что атомы являются чем-то, что на самом деле существует. Действительно, Больцмана резко критиковали за «пустые» спекуляции рецензенты его книги. Для этого, по-видимому, было много поводов. Одним из важных упрёков было то обстоятельство, что обсуждаемый предмет приводил к определённым парадоксам. Попытки истолкования этих парадоксов собственно и стали источником рождения теории вероятностей, можно было бы даже сказать, статистического способа мышления, по крайней мере, в физике.

В чём же коренятся эти парадоксы? История, которую я хочу вкратце рассказать вам здесь как вступление к предмету, необыкновенно интересна и поучительна. Вероятно, вам известно, что Больцман, идя за другими исследователями, такими, как Клаузиус или Майер, пытался выяснить поведение газов, опираясь на механическую модель.

Газ рассматривался как система, состоящая из огромного числа частиц, и для вывода уравнения состояния газа применялись законы механики. Венцом исследований Больцмана и Максвелла был вывод так называемой H-теоремы Больцмана. Это один из предметов, о которых здесь говорил проф. Дрезден (см. предисловие. — Прим. перев.) при обсуждении уравнения Больцмана и его связей с гидродинамикой. Обсудим уравнение Больцмана, но с несколько иной точки зрения. Предположим, что мы имеем дело с пространственно однородным газом. Это означает, что распределение частиц в пространстве равномерное. Для гидродинамики существенно, как изменяется такое распределение со временем, поэтому проф. Дрезден не обсуждал этот случай.

Так вот, пусть  f (v, t) dv — распределение скоростей в пространстве скоростей. Это выражение Больцман интерпретировал как число частиц газа, заключенных в элементе объёма dv и имеющих в момент времени t скорость v.

Он выписал сложное интегро-дифференциальное уравнение, из которого вывел знаменитую H-теорему:

Этот интеграл (в действительности — тройной) обозначается через H. Таким образом,

уменьшается или по крайней мере не возрастает с течением времени. Это было достижением, достойным внимания и особенно нравившимся Больцману, так как H было в определённом смысле аналогом взятой с обратным знаком энтропии. Из классической термодинамики было хорошо известно, что эта функция состояния (энтропия) имеет важное свойство, а именно, никогда не уменьшается.

Больцману удалось, таким образом, построить механическую величину, которая ведёт себя подобным же образом.

Парадокс обратимости

И всё было хорошо, пока не оказалось, что это неприемлемо, ибо противоречит механике. Возражения выкристаллизовались в двух парадоксах. Один из них был парадоксом обратимости Лошмидта (около 1876 г.), другой — парадоксом возвратов Цермело и Пуанкаре. Этот второй парадокс возник позже, думаю, около 1900 г. Парадокс обратимости проще и, в некотором смысле, более фундаментален. Он состоит в следующем: все уравнения механики обратимы по отношению ко времени. Это значит, что если мы совершим преобразование t → –t (так называемая замена времени на отрицательное время), то данные уравнения не претерпят изменений. Это — следствие того факта, что в механике все производные по времени — вторые. Нет средств отличить уравнения механики, написанные для возрастающего времени, от уравнений, написанных для убывающего времени. Пользуясь более философской терминологией, можно сказать, что не существует никакого механического опыта, который мог бы решить вопрос о том, в каком направлении изменяется время. Поэтому, как указал Лошмидт, что-то у нас не так, поскольку допускается, что H — величина, которую можно вывести на основе механического описания состояния. Но если заменить t на –t, то эта величина вместо уменьшения возрастает. Таким образом, исходя из чисто обратимой модели, мы приходим к необратимым выводам — ясно, что тут что-то по существу не в порядке.

Занятно, что в математике одного опровержения достаточно; достаточно даже подумать, что что-то не в порядке, чтобы возникли сомнения. В физике же нужно иметь несколько парадоксов, чтобы люди убедились, что что-то не в порядке. И вот, в целях построения ещё одного парадокса Цермело (которого на пороге XX века интересовала логическая сторона указанного вопроса) напомнил об одной теореме Пуанкаре. Это хорошо известная и изящная теорема. Она гласит, что каждая замкнутая и консервативная динамическая система будет такого типа, что (я формулирую её в данном случае не очень точно) если мы выйдем из произвольной точки, то непременно вернёмся в сколь угодно её близкую окрестность, лишь бы не слишком неудачно была выбрана исходная точка. Иными словами, консервативная система с конечной энергией будет квазипериодичной. Это значит, что состояние стремится повториться. Следовательно, если бы величина H была механической величиной, она должна была бы тогда осциллировать. Отправляясь от некоторого начального значения, она когда-нибудь должна была бы вернуться сколь угодно близко к начальному значению. Это явно противоречило бы выводу, что H изменяется только в одном направлении.

Прежде чем приступить к выяснению этого парадокса, я хотел бы доказать слушателям теорему Пуанкаре. Вывод её очень прост и, вместе с тем, иллюстрирует один из основных и дидактически важных методов общего математического мышления. На этот метод мы будем неоднократно обращать внимание в течение наших лекций.

Допустим, что мы имеем механическую систему частиц с полностью произвольными силами, действующими между ними. Известно, что тогда движение этой системы можно записать с помощью уравнений движения Гамильтона. Впрочем, нам нет необходимости знать точный вид этих уравнений. Всё, что нам нужно знать — это то, что существует некоторая функция H, зависящая от координат (обобщённых координат) и моментов, и что с помощью этой функции можно написать некоторое дифференциальное уравнение, описывающее движение частиц. Поскольку гамильтониан зависит от координат и моментов, возникает мысль рассматривать всё это в 6n-мерном пространстве, в котором координаты обозначались бы через q_i и p_i. Как, вероятно, знает большинство из вас, такое пространство называется фазовым.

Теорема Лиувилля

С точки зрения, которая нас интересует, гамильтоновы уравнения движения можно записать в чрезвычайно простой и сжатой форме, а именно, в форме теоремы Лиувилля, которая попросту состоит в следующем. Рассмотрим малую область A (см. рис., на котором фазовое пространство изображается плоскостью). Каждую точку множества A можно принять за начальную точку для нашей системы. Траектории при этом будут описывать движение системы согласно уравнениям движения. Рассмотрим теперь все точки этой области как начальные точки нашей системы, и посмотрим, что произойдёт по истечении времени t. По истечении этого времени снова объединим наши точки в множество, которое мы назовём A_t. Это — множество, которое мы получили из A по истечении времени t вследствие движения точек. Вы можете представить себе множество A_t весьма простым образом, например, в виде круга или шара. На самом деле, ввиду сложности движения в 6n-мерном пространстве этот образ будет значительно более сложным. Самое важное здесь то, что его объём остаётся постоянным. Собственно это и составляет содержание теоремы Лиувилля. Она гласит, что объём множества A есть инвариантная величина. Эта теорема следует из уравнений движения Гамильтона, но и наоборот, из неё вытекают уравнения движения Гамильтона. Таким образом, если вы хотите раз и навсегда запомнить простейший способ описания движения системы материальных частиц, то следует просто запомнить, что в фазовом пространстве объём во время движения системы сохраняется.

Поскольку наша система является консервативной, мы должны сделать следующий шаг. Именно, поскольку энергия должна быть постоянной во времени, «в игру входит» не всё фазовое пространство. Роль энергии играет гамильтониан, так что в действительности мы будем находиться не где-либо в фазовом пространстве, а на поверхности H(q, p) = E.

Теорема Пуанкаре о возвратах

Надо ещё предположить, что эта поверхность ограниченная. Одним из условий в указанной теореме Пуанкаре является как раз ограниченность этой так называемой поверхности энергии. Пользуясь теоремой Лиувилля (не останавливаясь на несущественных для нашей цели деталях), легко выяснить, что происходит на этой поверхности. Всё, что следует сделать, — это взять поверхность, близкую к указанной, и рассмотреть малый цилиндрический («прокатанный») объём, ограниченный этими двумя близкими поверхностями. Теорема Лиувилля утверждает, что этот объём является инвариантом движения. Теперь мы должны рассмотреть, что же будет происходить на нашей поверхности, если другая неограниченно сближается с ней?

Сделав это, убедимся в следующем. Если рассмотреть элемент поверхности dσ, т. е. небольшой «кусочек» на поверхности энергии, и проследить за его движением, то по истечении времени t этот элемент подвергнется преобразованию. То, что останется неизменным — это dσ, делённое на абсолютную величину градиента функции H. Если теперь мы возьмём множество A на поверхности энергии, то и множество A_t будет лежать на поверхности энергии, так как энергия сохраняется. Таким образом,

Это не новый факт, а простое и сжатое утверждение, вытекающее из динамики замкнутых консервативных систем.

Только теперь математик, — если он заслуживает этого звания, — выделит то, что здесь существенно. В отношении всей этой картины существенно не то, что мы имеем дело с механической системой, движущейся в соответствии с уравнениями Гамильтона, а то, что мы имеем следующую простую ситуацию. Рассмотрим некоторое абстрактное множество, скажем, Ω, которое будет играть роль поверхности энергии. Точки этого множества обозначим через ω. Допустим, далее, что мы имеем также однопараметрическое семейство преобразований T_t множества Ω — произвольное семейство, зависящее только от времени. Единственное условие, которому должны подчиняться эти преобразования, заключается в равенстве

Такое условие очевидно, поскольку то, где мы оказываемся по истечении времени t+s, определяется тем, где мы были в момент t, и нашим движением в течение дополнительного времени s. Это свойство называется свойством полугруппы. Это лишь название и больше ничего. Важно здесь то, что имеется такое однопараметрическое семейство преобразований, которое отвечает рассматриваемому движению. Если ω — начальная точка, то T_t(ω) есть точка, в которую придёт ω по истечении t секунд.

И, наконец, самый существенный факт. В указанном пространстве мы имеем меру. Когда я говорю слово «мера», то не для того, чтобы вдаваться в какие-либо связанные с этим детали; всё, что мне нужно — это класс подмножеств, из которых каждому должно быть сопоставлено число, такое, как, например, объём. И вот для весьма широких классов подмножеств существует определённая мера, которая обозначается символом μ(A) или |A|. Эта мера — попросту интеграл:

И, наконец, самое важное — наше преобразование сохраняет меру. Что это значит? Это значит, что если мы возьмём множество А и преобразованное множество A_t, то мера множества А будет той же самой, что мера множества A_t.

Таким образом, мы абстрагировались от всего, что нам известно из механики. Мы отошли от понятия поверхности энергии, движения и даже от первоначальной формулировки теоремы Лиувилля, утверждая лишь то, что мера сохраняется. На основании этого теперь мы докажем в несколько строк теорему Пуанкаре. Вместо того, чтобы рассматривать непрерывное время, рассмотрим один за другим отдельные моменты времени и преобразования T₁, T₂, T₃, ..., отвечающие истечению 1, 2, 3, ... секунд. Мы можем написать, что T₁ равно T ¹, T₂ = T ², T₃ = T ³ и т.д. Важным условием, о котором надо вспомнить, является то, что мера всего пространства конечна. Это условие появляется, как абстракция, из того факта, что мы имеем дело с ограниченной поверхностью энергии.

Возьмём множество A, какую-либо точку ω, принадлежащую ему, и посмотрим, что с ней будет происходить. Эта точка преобразуется в Tω, затем в T ²ω, в T ³ω и т.д. Полученное множество точек называется орбитой. Я хочу доказать, что когда-нибудь мы снова вернёмся к множеству A, если только выбор начальной точки не был слишком неудачен. Я хочу показать, что некоторые точки T ^k(ω) будут снова принадлежать множеству A. Это поможет нам заодно установить, какие точки можно считать неудачно выбранными.

Итак, допустим, что наше предположение неверно, и некоторые точки никогда не возвращаются в наше множество, или, точнее, их образы никогда не попадают в A. Рассмотрим множество B тех точек A, которые никогда не возвращаются в A. Мы должны как-то показать, что множество B должно быть очень малым: выбор начальной точки в множестве B должен быть редким случаем. Если это так, то подавляющее большинство начальных точек когда-либо возвращается в A.

Дальнейшее теперь весьма просто. Берём множество B, затем образ множества B, потом образ образа множества B и т.д. Это даёт множества B, T(B), T ²(B), и т.д. Мы утверждаем, что эти множества никогда не пересекаются. Почему? Допустим, что в противоположность нашему утверждению T(B) и T ³(B) пересекаются; это означает, что существует точка, принадлежащая обоим множествам одновременно. (Я должен был заметить, что это преобразование T однозначно обратимо. Так обстоит дело в механике, ибо если мы знаем, где мы сейчас, то мы можем с определённостью сказать, где мы были 10 минут тому назад.)

Допустим теперь, что P — общая точка множеств T(B) и T ³(B). Рассмотрим T ^–1(P), т.е. точку, бывшую во времени один шаг назад. В результате мы получим точку множества B, так как мы выходили из точки, принадлежащей множеству T(B). Это должна быть также точка множества T ²(B), поскольку точка P принадлежала также множеству T ³(B). Итак, точка P принадлежит как T ²(B), так и B. Но это невозможно, ибо B было таким множеством, ни одна точка которого не возвращается в B. Поэтому наше допущение о том, что T(B) и T ³(B) имеют общую точку, надо отвергнуть. Аналогичное рассуждение можно применить для доказательства того, что каждые два из рассмотренных множеств не пересекаются.

И на этом всё заканчивается, поскольку теперь мы имеем бесконечно много множеств, не пересекающихся между собой. Все они имеют одну и ту же меру, поскольку рассматриваемое преобразование её сохраняет. Все эти множества лежат на поверхности энергии, которая образует множество конечной меры. Если бы мера каждого из этих множеств была положительной, мы имели бы бесконечно много разъединённых кусков, каждый положительной меры, помещённых в множество конечной меры. Это, очевидно, невозможно. Таким образом, мера множества B должна быть равной нулю, иначе мы не смогли бы разместить это бесконечное количество множеств. Высказывание о том, что начальная точка была выбрана неудачно, означает, таким образом, что мера множества точек этого типа равна нулю. Это, по существу, и есть точный смысл теоремы Пуанкаре о возврате.

Я хотел бы обратить ваше внимание на то, как часто математическая абстракция, т.е. когда мы отбрасываем всё, что несущественно, и оставляем только то, что присуще данной проблеме, — упрощает задачу. Действительно, доказательство теоремы Пуанкаре, с которым вы только что ознакомились, вообще не приводит к особой проблеме. Вы не должны представлять себе ряд точек, совершающих сложное движение в трёхмерном пространстве. Всё свелось к чрезвычайно простому и интуитивно ясному понятию, именно, к движению одной точки в фазовом пространстве, причём движение описывается с помощью преобразований, сохраняющих меру.

Вернёмся теперь к парадоксам: их два. Один из них был парадоксом обратимости, другой — парадоксом возврата, связанным с теоремой Пуанкаре. Останавливаясь на них, мы оказываемся в ситуации, внушающей беспокойство. С одной стороны, было чрезвычайно полезно иметь в распоряжении H-теорему Больцмана, которая, так сказать, связывает термодинамику с механикой. С другой стороны, беспокоил факт, что эта связь оказалась не вполне состоятельной. Ввиду этого встал вопрос, как примирить вывод H-теоремы, который, как бы там ни было, заключает в себе какую-то долю истины, с трудностями, возникшими из упомянутых выше парадоксов. Сам Больцман, как и некоторые другие, предложил искать разрешение этих трудностей в трактовке данного вопроса с вероятностной точки зрения. Мы бы сказали так: на самом деле так будет не всегда, но с преобладающей вероятностью будет так. Можно процитировать здесь Джильберта и Сулливана (авторы многих известных английских оперетт. — Прим. перев.):

— Как, никогда?
— Никогда.
— Как, никогда?
— Ну, лишь иногда.

Возникло намерение описать факт непременного возврата с помощью вероятностного выражения. Как сам Больцман, так и его последователи не имели в то время чёткого взгляда на свои аргументы и объяснения.

Следует признать тот факт, что даже сегодня мы не знаем ответов на все связанные с этим вопросы. Но всё же удаётся дать состоятельное описание без каких-либо внутренних противоречий.

По крайней мере, для идеального газа я хотел бы показать, как это можно сделать. С помощью весьма простой модели я хочу сейчас ещё раз пояснить обсуждаемую «болезнь» и её «лечение». В своей основе эта модель является упрощением другой модели, которую много лет назад предложил Эренфест. Думаю, что мы можем не обсуждать модель Эренфеста, ибо та модель, о которой я буду рассказывать, имеет все соответствующие черты. Сверх того, она будет лёгкой для расчётов. Мы снова встречаемся здесь с традиционным методом в науке: именно, мы пробуем абстрагироваться от весьма сложной ситуации, конструируя более простую, в которой содержатся трудности предыдущей, но которая свободна от излишнего балласта деталей. Нам нужна модель, имеющая те же самые трудности, но для которой легче будет проводить вычисления, обсуждать результаты и т.д.

Я намереваюсь представить вам модель, на которой смогу осуществить то, что сделали Больцман и Гиббс. Мы покажем все трудности, связанные с ней, точнее, те самые два парадокса, — и заодно — как их можно в конце концов преодолеть, по крайней мере, в некотором удовлетворительном смысле. Эта модель даст нам также повод обсудить уравнение Больцмана и связать его с другими фактами.

[· · ·]