3316 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ От издательства 5 Введение 8   Глава 1. Примеры 15 § 1.  Бесконечность множества простых чисел 15 § 2.  Иррациональность числа √2 19 § 3.  Приближения рациональными числами 23 § 4.  Трансцендентные числа: канторовское доказательство 29 § 5.  Ещё некоторые доказательства невозможности 32 § 6.  Лемма Шпернера 40 § 7.  Искусство и наука счёта 45 § 8.  Отступление о числовых системах и о функциях 50 § 9.  Искусство и наука счёта (продолжение) 57 § 10.  Вероятность и независимость 60 § 11.  Мера 77 § 12.  Ещё о теории вероятностей 84 § 13.  Группы и преобразования 88 § 14.  Группы гомологий 100 § 15.  Векторы, матрицы и геометрия 108 § 16.  Специальная теория относительности как пример геометрического подхода в физике 130 § 17.  Преобразования, потоки и эргодичность 142 § 18.  Ещё об итерации и композиции отображений 148 § 19.  Легко ли доказать очевидное? 152   Глава 2. Темы, тенденции и синтез 157   Глава 3. Связь с другими науками 212   Глава 4. Итоги и перспективы   235

Роль математики в научно-техническом прогрессе весьма велика, а в последние десятилетия она возросла особенно. Математика, которая традиционно обслуживала механику, астрономию и некоторые разделы физики, сейчас активно вторгается в технику, экономику, науку об управлении, начинает завоёвывать плацдармы в медицине, биологии и других областях естественных и общественных наук. Возрастает и интерес к математике среди неспециалистов, особенно молодёжи, желание разобраться в особенностях математических методов, понять, в чём сила и привлекательность этой науки.

Книга написана по заказу Британской энциклопедии и призвана дать представление о математике, доступное достаточно широким читательским кругам. Её авторы — американские учёные, выходцы из Польши. Оба они известны не только научными результатами, но и своей деятельностью по популяризации науки. Марк Кац в течение ряда лет руководил Исследовательской группой по школьной математике США, Станиславу Уламу принадлежит собрание задач и проблем из разных разделов математики. Советским читателям М. Кац и С. Улам известны по переводу ряда их книг и статей.

Большую часть книги занимает первая глава, которая называется «Примеры». В ней разбирается много конкретных задач из разных областей математики, иллюстрирующих богатство и своеобразие её идей. Задачи эти составляют, так сказать, экспериментальный фактический материал, без которого понять, что представляет собой математика, невозможно. Они подобраны с большим вкусом, изложены живо, интересно и по возможности доступно. Авторы начинают с широко известных идей расширения понятия числа и осуществимости геометрических построений, затем переходят к основам теории вероятностей и, наконец, к теории групп и линейной алгебре. По мере накопления фактов обсуждаются их связи друг с другом и с физикой — постепенно из отдельных деталей начинает вырисовываться величественная картина математики.

Следующая глава «Темы, тенденции и синтез» призвана завершить создание этой картины. Здесь оттеняются наиболее важные идеи, поданные в их развитии. Особое место уделяется логике и основаниям математики, а также изменениям, которые вызвало в математике появление электронных вычислительных машин.

Третья глава посвящена связям математики с другими науками. Здесь, в частности, коротко излагаются задачи массового обслуживания (теории очередей), теории игр и теории информации. В небольшой последней главе «Итоги и перспективы» уже совсем бегло описываются некоторые самые свежие исследования и делаются предположения о дальнейшем их развитии.

Не со всеми утверждениями авторов можно согласиться. В частности, вызывает возражения неоднократно высказываемая ими мысль о том, что внешний мир является лишь источником математических понятий и теорий, а дальше математика развивается независимо по своим внутренним законам. Конечно же, связи математики с внешним миром неизмеримо глубже и богаче. Чтобы составить правильное представление об этом и других методологических вопросах, читатель должен обратиться, например, к статье А. Н. Колмогорова «Математика» в 26-м томе Большой советской энциклопедии и к книге «Математика, её содержание, методы и значение» (М., Изд-во АН СССР, 1956).

Спорным является и то, что авторы выделяют из математики и относят к другим наукам такие важные разделы, как теория игр и теория информации. Пожалуй, слишком критически они относятся и к возможностям применения математических методов в экономике и совсем ничего не говорят о применениях в психологии, педагогике и других науках, изучающих интеллектуальную деятельность.

С сожалением приходится отметить, что вообще новые разделы математики, особенно прикладные, не нашли в книге столь полного и яркого отражения, как классические. По-видимому, эти разделы заслуживают отдельной книги того же объёма и столь же интересной. Но такая книга ещё не написана...

Эта же книга, несмотря на отмеченные недостатки, доставит истинное удовольствие всем, кто любит математику, независимо от того, знает он её, или только начинает с ней знакомиться.

Что такое математика? Как она возникла, кто её создал и кто делает её сейчас? Можно ли обрисовать путь её развития и её место в истории научной мысли? Можно ли предсказать её будущее? Эта книга — попытка разобраться в подобных вопросах и дать читателю представление о необъятности и глубине предмета.

Математика — это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощной способностью отражать и моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и ещё в большей мере продолжает приносить её сейчас. Можно даже пойти дальше и сказать, что математика необходима для покорения природы человеком и вообще для развития человека как биологического вида, ибо она формирует его мышление.

В самом деле, насколько можно проследить по летописям человеческой любознательности и стремления к знанию, математику всегда бережно лелеяли, заботясь о передаче накопленных истин новым поколениям. Её рассматривали как окончательное выражение рациональных размышлений о внешнем мире и как памятник извечному желанию человека испытать работу своего ума. Мы не будем пытаться дать определение математики, так как для этого пришлось бы втиснуть её в какие-то границы. Как увидит читатель, математика способна обобщить любую схему, изменить и обогатить её. И всё же каждый раз, когда это происходит, полученный результат по-прежнему составляет лишь часть математики. Вероятно, самым характерным для этой науки является то, что она развивается путём постоянной самопроверки и всё более глубокого осознания собственной структуры. Сама же эта структура непрерывно изменяется, причём иногда весьма радикально. Поэтому любая попытка дать сколько-нибудь полное и исчерпывающее определение математики обречена, по нашему мнению, на неудачу.

Мы попробуем описать в историческом аспекте ряд наиболее важных моментов развития математической мысли. При этом мы нередко будем задерживаться на вопросе о том, в какой мере прогресс в математике связан с «придумыванием» и до какой степени он носит характер «открытия». Иначе говоря, вопрос состоит в том, диктуется ли выбор аксиом, определений и проблем окружающим нас внешним миром, который мы воспринимаем своими органами чувств, наблюдаем и измеряем при помощи разных приборов и инструментов, или же эти аксиомы, определения и проблемы являются свободными творениями человеческого разума и определяются физиологической структурой мозга?

За последние пятьдесят лет математика подобно другим наукам претерпела большие изменения. И дело не только в том, что значительно вырос объём математических знаний и изменились представления о важности тех или иных проблем. Другими в какой-то мере стали тон и цели математики. Многие великие успехи физики, астрономии и других «точных» наук были достигнуты главным образом благодаря математике. Свободно заимствуя средства, предоставляемые математикой, эти родственные науки в свою очередь снабжают её новыми проблемами и открывают новые источники вдохновения.

Глубокое влияние на математику оказывает и развитие техники: так, создание быстродействующих вычислительных машин неизмеримо расширило возможности экспериментирования в самой математике.

Коренные изменения коснулись и оснований математики и математической логики. В главе 2 мы постараемся объяснить, в чём сущность этих изменений.

В процессе своего развития математика постоянно возвращается к некоторым специфическим понятиям и темам; мы приведём много примеров, иллюстрирующих их вариации и взаимодействие.

Одним из таких понятий, наиболее характерных для математики, является бесконечность. Мы уделили этой теме довольно много места, пытаясь показать, как возникло представление о бесконечности и как оно затем развивалось и уточнялось.

Вопреки мнению, широко распространённому среди далёких от науки людей, математика не являет собой законченное и совершенное здание. Это наука и, кроме того, искусство; свойственные математике критерии всегда в той или иной степени носят эстетический характер. Одной только истинности теоремы ещё недостаточно для того, чтобы считать её достойной занять место в математике. Она должна быть «полезной», «интересной» и «красивой». А поскольку ощущение красоты субъективно, остаётся только удивляться, какое единодушие проявляют обычно математики в своих эстетических оценках.

В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачёркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать.

Можно ли при таком невероятном разнообразии проблем и способов применения усмотреть в математике какой-то внутренний порядок? Что обеспечивает ей не вызывающее сомнений единство и что делает её самостоятельной наукой?

Начнём с того, что следует различать объекты математики и её метод.

Самыми первыми математическими объектами являются натуральные числа 1, 2, 3, ..., а также точки и простые геометрические фигуры (прямые линии, треугольники и т. п.). Они настолько привычны и знакомы нам с детства, что долгое время считались не требующими никаких пояснений и уточнений. Только в конце XIX века был впервые предпринят серьёзный логический анализ арифметики (Пеано, Фреге, Рассел) и геометрии (Гильберт). Однако столь характерный для математики процесс образования новых объектов и выделения новых структур происходил и до того, как были уточнены понятия натурального числа и точки.

От объектов можно перейти к множествам этих объектов, к функциям и соответствиям. (Идея соответствия, или преобразования, родилась из естественного стремления человека распознать родственные друг другу расположения и выделить общую закономерность, объединяющую различные на вид ситуации.) Продолжая возникающий здесь процесс итерации, переходят к классам функций, к соответствиям между функциями (операторам), затем к классам операторов и т. д.; этот процесс, шаги которого становятся всё крупнее, не имеет конца. Таким способом из простых объектов получают всё более и более сложные.

Главной составной частью математического метода является доказательство, структура которого едва ли сильно изменилась со времён греков. По-прежнему сначала постулируется небольшое число аксиом (предложений, которые принимаются на веру), а затем по строгим логическим правилам выводятся новые предложения. Сам этот процесс, его сильные и слабые стороны — всё это лишь в сравнительно недавние годы стало предметом критического изучения. Метаматематика, которая этим занимается, сама является частью математики. Объектом метаматематики служит довольно ограниченный, казалось бы, набор правил, относящихся к математической логике. Однако насколько всеобъемлющи и всемогущи эти правила! В какой-то мере математика питает сама себя, но здесь нет порочного круга: как показывают блестящие успехи математического метода в физике, астрономии и других естественных науках, — это отнюдь не бесплодная игра. Вероятно, так происходит потому, что многие объекты математического исследования навеяны внешним миром, а обобщение и выбор новых структур тоже не совсем произвольны. «Непостижимая эффективность математики», быть может, и остаётся чудом для философии, однако это никак не отражается на её очевидных и несомненных успехах.

Математику определяли как науку вывода необходимых следствий. Но каких именно следствий? Простая цепь силлогизмов — это ещё не математика. Каким-то образом мы выбираем те формулировки, которые в компактном виде охватывают широкий класс частных случаев, а определённые доказательства считаем элегантными или красивыми. Значит, метод включает в себя нечто большее, чем простая логика, заключённая в дедукции. Объекты же содержат в себе меньше, чем их интуитивные или инстинктивные источники.

Отличительная черта математики — возможность оперировать объектами, не определяя их.

Точки, прямые, плоскости не определяются. В наши дни математик отвергает попытки своих предшественников определить точку как нечто, не имеющее «ни длины, ни ширины», или дать столь же бессмысленные псевдоопределения прямой и плоскости.

В течение многих веков выработалась такая точка зрения: неважно, что именно представляют собой рассматриваемые объекты, если известно, какие утверждения о них допустимы. Знаменитая работа Гильберта «Основания геометрии» начинается словами: «Пусть имеется три типа объектов; объекты первого типа будем называть «точками», второго типа — «прямыми», третьего — «плоскостями»». Вот и всё, — а за этим следует перечень исходных утверждений (аксиом), включающих слова «точка», «прямая» и «плоскость»; из этих аксиом можно выводить, пользуясь уже только правилами логики, дальнейшие утверждения, содержащие эти не определённые нами слова. Такой подход позволяет научить геометрии слепого и даже вычислительную машину!

Этот характерный тип абстракции, ведущий к полному игнорированию физической природы геометрических объектов, встречается не только в традиционных границах математики, Примером служит предложенная Эрнстом Махом (на основе работ Джеймса Максвелла) трактовка понятия температуры. Для определения температуры необходимо ввести понятия теплового равновесия и теплового контакта; последние же крайне трудно, если вообще возможно, определить в логически приемлемых терминах. Однако, как показывает анализ, всё, что на самом деле нужно, — это свойство транзитивности теплового равновесия, т.е. постулат (называемый иногда нулевым началом термодинамики), утверждающий, что если (A и B) и (A и C) находятся в тепловом равновесии, то и (B и C) находятся в тепловом равновесии. [Для полноты нужно ещё добавить в некотором смысле обращение этого нулевого начала: если A, B и C находятся в тепловом равновесии, то этим свойством обладают (A и B) и (A и C)]. Так же, как в геометрии, здесь необязательно знать логически точный смысл терминов; достаточно уметь объединять их в осмысленные (т. е. допустимые) предложения.

Хотя мы можем успешно оперировать с неопределёнными (и, вероятно, даже неопределимыми) объектами и понятиями, сами эти объекты и понятия уходят своими корнями в видимый физический (или по крайней мере чувственный) мир. Физические явления подсказывают и даже диктуют нам исходные аксиомы, и под влиянием той же видимой физической реальности мы формулируем вопросы и проблемы.

Анри Пуанкаре сказал, что существовать в математике — значит быть свободным от противоречий. Но одно только существование ещё не гарантирует возможности выжить. Чтобы выжить в математике, нужна такая разновидность жизнеспособности, которую не опишешь в чисто логических терминах.

В следующих главах мы обсудим ряд проблем, которые не только проявили завидную жизнестойкость, но и положили начало развитию наиболее плодотворных математических теорий. Они простираются от конкретного к абстрактному и от самого простого к сравнительно сложному. Мы выбрали их, чтобы проиллюстрировать объекты математики и математический метод и убедить читателя, что чистая математика всё-таки не исчерпывается определением Рассела: «Чистая математика есть класс всех предложений вида «из p следует q», где p и q — предложения, содержащие одну или более переменных, одни и те же в обоих предложениях, и ни p, ни q не содержат никаких постоянных, кроме логических постоянных».

источник: www.math.ufl.edu/dept_news_events/ulam/

Марк Кац (1914–1984) и Станислав Улам (1909–1984).

Вопрос о связи между математикой и естественнонаучными дисциплинами веками ставил в затруднение философов и историков науки.

Вряд ли стоит сомневаться в том, что источником многих математических понятий и теорий послужил «внешний мир». Но однажды постигнутые, эти понятия и теории начинали развиваться совершенно независимо. Они поднимались к высотам абстракции, освобождаясь от пут своего конкретного (даже «низменного») происхождения. В процессе этой эволюции чисто интроспективным путём рождались новые понятия и теории, которые в свою очередь чудодейственным образом оказывали решающее влияние на ход научного прогресса уже за пределами собственно математики.

Рассмотрим в качестве примера геометрию. Она возникла из опыта древних землемеров и астрономов и на своём первом великом этапе развития достигла кульминации в «Элементах» Евклида, которые веками служили непреложным образцом логической строгости и совершенства.

Оторвавшись от внешнего мира, из которого она возникла, геометрия продолжала развиваться, питаясь своими собственными проблемами. Среди них была и проблема пятого постулата — столь же неуловимая, сколь и привлекательная.

Как мы видели в гл. 2, задача была чисто логической: можно ли вывести указанную аксиому (постулат) из остальных аксиом евклидовой геометрии.

Бойаи и Лобачевский первыми дали отрицательных ответ на этот вопрос, построив систему геометрических предложений (включающую отрицание пятого постулата), которые находились в таком взаимно однозначном соответствии с их евклидовыми аналогами, что противоречие в одной из этих систем немедленно повлекло бы за собой противоречие в другой.

Интересно отметить, что ни Бойаи, ни Лобачевский не имели отчётливого ощущения «реальности» своей геометрии. Лобачевский называл её «мнимой», а Бойаи взволнованно писал отцу: «... из ничего я создал новый и удивительный мир».

Лишь много лет спустя геометрия Бойаи–Лобачевского помогла Риману найти глубокий и открывающий новые перспективы подход к неевклидовым геометриям. Созданный в результате математический аппарат был положен в основание общей теории относительности Эйнштейна.

Этот пример с геометрией — вероятно, самая драматическая, но далеко не единственная иллюстрация превращений, которые претерпевают математические понятия и идеи.

Исследуя, как остывает Земля, Фурье пришёл к проблеме представления периодической функции в виде ряда, состоящего из синусов и косинусов:

		∞
1 2	a0 +	∑	(an cos 2πnx + bn sin 2πnx).
		n=1

Та же проблема возникает при попытке разложить сложное периодическое колебание (например, звуковую волну, создаваемую музыкальным инструментом) на простые «чистые тоны» (синусоидальные колебания).

Эти задачи физики дали мощный толчок изучению рядов, подобных написанному выше, что привело к созданию чисто математической теории тригонометрических рядов.

По мере развития этой теории стало очевидно, что некоторые её разделы совершенно не связаны с синусоидальностью «чистых тонов». В действительности большинство результатов останутся верными, если появившиеся из физических соображений синусы и косинусы заменить функциями φ_n(x), подчинёнными единственному условию

1 ∫ 0

φn(x) φm(x) dx =

ì í î

1,    m ≠ n, 0,    m = n.

Это условие является аналогом условия взаимной перпендикулярности векторов евклидова пространства (см. § 15 гл. 1) и требования, чтобы эти векторы имели единичную длину. Итак, задача представления функции в виде ряда

∞
∑	cn φn (x)
n=1

стала аналогом задачи разложения вектора на взаимно перпендикулярные компоненты.

Эта и другие аналогии того же рода привели к появлению понятия простейшего бесконечномерного пространства — так называемого гильбертова пространства. И снова чудо: гильбертово пространство оказалось подходящим «математическим каркасом» квантовой механики.

Известно, что развитие математики, особенно в некоторые периоды, в значительной мере определялось задачами физики и астрономии.

Так, исчисление бесконечно малых — самый крупный, по-видимому, шаг на пути эволюции математических понятий и методов — было развито Ньютоном для решения задач динамики и, в частности, задач, возникающих при изучении движения планет. Коронным достижением Ньютона был вывод законов Кеплера ¹⁾ из закона всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения утверждает, что два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Постулированный Ньютоном второй закон механики (сила пропорциональна массе, умноженной на ускорение) позволяет установить, что ускорение планеты обратно пропорционально квадрату её расстояния от Солнца и направлено к Солнцу вдоль отрезка, соединяющего её с Солнцем. Поскольку ускорение есть вторая производная радиуса-вектора планеты, предыдущее заключение приводит к уравнению, связывающему вторую производную вектора с самим вектором. Такое уравнение называется дифференциальным, так как в него входит производная искомой функции от времени. Ньютон вывел и решил это уравнение, получив в качестве следствия все три закона Кеплера.

Трудно передать, какое громадное воздействие оказало это великое деяние Ньютона на развитие науки. Оно, несомненно, положило начало теоретической физике и дало образец использования математических понятий и представлений для описания физических явлений.

Основных операций исчисления бесконечно малых — дифференцирования и интегрирования — оказалось вполне достаточно для того, чтобы сформулировать все физические законы, открытые в XVIII и XIX веках. Теория упругости, гидродинамика, термодинамика и великое достижение Максвелла — теория электромагнитного поля — всё это дань почти непостижимой многосторонности этого исчисления. Не удивительно поэтому, что анализ — раздел математики, выросший на почве дифференциального и интегрального исчисления, — стал поистине языком точных наук и превратил математиков в полноправных участников битв за овладение тайнами природы.

В течение двух прошлых столетий физика становилась всё более математической, математика же, с одной стороны, всё сильнее проникала в физику, а с другой, всё больше проникалась физическим духом. Многие крупные математики того времени были и ведущими физиками. Традиция тесного сотрудничества между двумя этими науками продолжается и до наших дней, хотя его масштабы сильно сократились.

О том, сколь плодотворным и многообещающим являлось такое сотрудничество, свидетельствует, например, предсказание электромагнитных волн и создание электромагнитной теории света. К середине XIX века накопилось много экспериментальных данных, касающихся электромагнитных явлений. На базе этих данных, сочетая строгую дедукцию с дерзким предвидением, Максвелл сумел прийти к системе дифференциальных уравнений, вобравших в себя всё, что было известно в то время об электричестве и магнетизме.

Незадолго до Максвелла стало известно, что локальное возмущение в изотропной упругой среде (находившейся в состоянии покоя в начальный момент времени) распространяется в виде волн, причём это распространение описывается волновым уравнением

где U(x, y, z, t) — отклонение от начального положения покоя в точке (x, y, z) в момент времени t. Здесь постоянная c — это скорость распространения волн в рассматриваемой среде.

Максвелл был поражён тем фактом, что электрический и магнитный векторы подчиняются волновому уравнению, и пришёл к выводу, что электромагнитные возмущения тоже распространяются в виде волн. Это великолепное теоретическое предсказание блестяще подтвердилось в 1886 г., когда Генрих Герц экспериментально получил электромагнитные волны. Поскольку электромагнитные волны распространяются со скоростью света, Максвелл предположил, что свет является одной из форм электромагнитного излучения. Это предположение также полностью подтвердилось многочисленными экспериментами и дальнейшими теоретическими выводами. В результате было достигнуто более глубокое понимание природы света.

Пример максвелловской теории электромагнитного поля иллюстрирует и другое (в некотором смысле более тонкое) взаимодействие математических и физических идей. Оно связано с тем, что уравнения Максвелла, в отличие от законов Ньютона, не инвариантны относительно преобразований Галилея (см. § 16 гл. 1).

С другой стороны, эти уравнения сохраняют свой вид при преобразованиях Лоренца (§ 16 гл. 1). Этот чисто математический факт следует из формы уравнений Максвелла, и в принципе его можно было бы обнаружить, не имея ни малейшего представления о физическом содержании этих уравнений. Однако дерзкое требование изменить законы динамики так, чтобы они тоже стали инвариантны относительно преобразований Лоренца, не является уже ни математическим, ни даже дедуктивным. Это разрешение дилеммы, поставленной отрицательным результатом эксперимента Майкельсона–Морли (§ 16 гл. 1); из него следует, что все законы физики должны быть инвариантны относительно группы преобразований Лоренца.

Когда Эйнштейн в 1905 г. сформулировал эти новые для физики представления, идеи Феликса Клейна, касающиеся геометрии, были приняты и полностью оценены математиками того времени. Клейн изложил эти идеи в речи, прочитанной им при вступлении в должность профессора математики в Эрлангене. В этой речи, ставшей известной под названием Эрлангенской программы, он предложил рассматривать различные геометрии как изучение инвариантов соответствующих групп преобразований ²⁾. Выдающийся математик Герман Минковский, изумлённый сходством между физическими идеями Эйнштейна и геометрическими идеями Клейна, сумел получить из них прекрасное сочетание — пространство-время, наделённое геометрией, в основу которой положены преобразования Лоренца.

Обсуждая роль математики в формулировании физических законов и выводе из них следствий, необходимо отметить часто возникающее несоответствие между глубиной физической теории и степенью сложности её математического описания.

Математический аппарат специальной теории относительности предельно прост, в то время как лежащие в её основе физические идеи и представления чрезвычайно тонки и глубоки. С другой стороны, многие проблемы, поставленные техникой, вносят незначительный вклад в наше понимание физического мира, однако требуют привлечения невероятно сложного математического аппарата. Кроме того, хотя (и это весьма примечательно) так часто какое-либо детище математики, задуманное и выращенное в её недрах, оказывается неожиданно полезным для описания явлений внешнего мира (хорошими примерами служат комплексные числа и матрицы), тем не менее ни элегантность, ни особая сложность того или иного математического понятия, построения или метода сами по себе не дают никакой гарантии их практической полезности и пригодности.

Вигнер так подытожил всё это в своей статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» ³⁾: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остаётся лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им и что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, охватывая всё более широкие области науки и принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.»

Бесполезно было бы пытаться сколько-нибудь полно описать взаимодействие между математикой и физическими науками. Остановимся, однако, на одном важном аспекте этого взаимодействия, представляющем значительный интерес.

Внешний мир настолько сложен, что учёный-естествоиспытатель бывает доволен, если ему удаётся уловить и понять хотя бы некоторые самые простые из присущих миру закономерностей. Для этого он вводит упрощённые и идеализированные модели, освобождённые от маловажных и усложняющих дело подробностей и отражающие, как он надеется, наиболее существенные свойства рассматриваемых физических объектов.

Так, например, Ньютон при выводе законов Кеплера считал, что на планеты действует только притяжение Солнца. Он пренебрёг действием других масс, хотя это, строго говоря, было неправильно. Позднее были предложены другие модели, более близкие к действительности. Одним из крупнейших достижений астрономии XIX века было предсказание существования планеты Нептун, сделанное Адамсом и Леверье при попытке найти объяснение тому, что движение Урана заметно отклоняется от его кеплеровой орбиты.

Грубо говоря, дело обстоит так: вопрос о выборе модели решает учёный-естествоиспытатель; после этого выполняет свою роль математика, позволяющая дедуктивно выводить заключения уже только на основе предложенной модели. Всё это достаточно хорошо известно и вряд ли требует дальнейшего обсуждения.

Существуют и модели иного типа, которые помогают разрешить логические трудности, возникающие при изучении других моделей, на вид вполне хорошо отражающих явления внешнего мира. Рассмотрим, например, тепловые явления при контакте двух тел A и B разной температуры, изолированных от всех остальных тел. Тогда, согласно законам термодинамики, должен возникнуть поток тепла только в одну сторону от более горячего тела (скажем, A) к более холодному (B) (однонаправленный поток).

В ходе этого процесса разность температур будет экспоненциально стремиться к нулю (закон теплопередачи Ньютона). Это следует из знаменитого второго начала термодинамики; одним из пессимистических следствий второго начала (в применении ко Вселенной) является полное выравнивание температур всех тел, которое Клаузиус назвал тепловой смертью.

Механический (кинетический) подход, при котором вещество рассматривается как совокупность частиц, а именно атомов или молекул, подчиняющихся обычным законам движения, приводит к совсем другой картине. Частицы, сталкиваясь друг с другом и двигаясь «случайным» образом, не могут создать абсолютно однонаправленный поток от A к B. Согласно теореме Пуанкаре, такая динамическая система в конце концов вернётся в состояние, сколь угодно близкое к начальному, если только это начальное состояние не является столь исключительным, что такой возможностью можно спокойно пренебречь. Это «квазипериодическое» поведение резко отличается от монотонного стремления к выравниванию, которое следует из второго начала термодинамики.

Чтобы уладить возникшее расхождение, Пауль и Татьяна Эренфест предложили в 1907 г. простую и красивую модель (упомянутую в § 18 гл. 1).

Рассмотрим две урны A и B, одна из которых (скажем, A) содержит большое число N занумерованных шаров (в § 18 гл. 1 в качестве N было взято число 2R). Сыграем теперь в такую игру: выберем «случайно» какое-нибудь число от 1 до N и переложим шар с этим номером из урны, где он лежит, во вторую (первым ходом всегда будет перекладывание из A в B). Затем повторим эту процедуру много раз (при этом шары будут часто возвращаться в A), следя за тем, чтобы последовательные вытягивания чисел были независимы и чтобы каждый раз извлечения всех чисел от 1 до N были равновероятными.

Интуитивно кажется, что до тех пор, пока в A намного больше шаров, чем в B, вероятность перекладывания из A в B будет значительно большей, т.е. получится нечто вроде однонаправленного потока из A в B.

Хотя вытягивания чисел и независимы, количества шаров в A в последовательные моменты времени не являются независимыми. Они связаны определённой зависимостью типа марковской цепи (см. § 18 гл. 1). Среднее значение числа шаров в A, экспоненциально убывая, стремится к N/2, что вполне согласуется с выводом термодинамики. С другой стороны, можно найти, что с вероятностью 1 модель в конце концов вернётся в начальное состояние (т.е. все шары снова окажутся в A). Но в этом и состоит утверждение теоремы Пуанкаре для динамических систем.

Очевидно, что на самом деле между вторым началом термодинамики и квазипериодическим поведением динамических систем нет никакого противоречия, если только не рассматривать этот закон как абсолютную догму и допускать более гибкую интерпретацию, основанную на теории вероятностей. Всё это становится ещё яснее, если вычислить среднюю продолжительность интервала времени, необходимого для того, чтобы модель Эренфестов вернулась в начальное состояние. Для этого потребуется 2^N шагов — огромное число даже для не слишком больших N, скажем около 100.

И если все наблюдаемые явления кажутся нам необратимыми (однонаправленными), то только потому, что наша жизнь ничтожно коротка по сравнению с этими грандиозными сроками!

В «игру» Эренфестов легко играть при помощи современных вычислительных машин. Такие эксперименты проводились для N = 2¹⁴ = 16 384 «шаров», причём каждый «прогон» состоял из 200 000 вытягиваний. (Это занимает меньше двух минут.) Число шаров в A регистрировалось после каждых 1000 вытягиваний. Один из полученных при этом графиков показан на рисунке.

Как видно из этого графика, число шаров в A сначала падает почти в точности по экспоненте. Однако далее кривая становится «волнистой» и случайным образом колеблется относительно положения равновесия.

Как модель выравнивания температур модель Эренфестов весьма далека от реальности. И тем не менее именно она улавливает существо дела, позволяющее примирить кинетический подход с традиционной термодинамикой.

На протяжении XX века применение математических понятий, методов и технических приёмов захватывает всё больше областей знания и приложений. Можно даже отважиться на утверждение, что мы являемся свидетелями тенденции к «математизации» всех видов интеллектуальной деятельности. Такая тенденция, конечно, далеко не всегда оправдана. Можно назвать множество примеров, когда «математизация» тривиальна или претенциозна, и даже таких, когда она страдает обоими этими недостатками.

Однако, оставляя в стороне вкусы и личные точки зрения, невозможно отрицать, что число и разнообразие проблем, которые могут быть сформулированы и исследованы математически, постоянно увеличивается. Мы выделим из них и коротко обсудим здесь три проблемы, относящиеся соответственно к теории очередей, теории игр и теории информации.

Теория очередей возникла из попыток так спроектировать центральную телефонную станцию, чтобы каким-то образом свести к минимуму время ожидания связи. Опишем простейший тип возникающих при этом задач.

Допустим, что на станцию с одним обслуживающим аппаратом прибывают «клиенты» (поступают телефонные вызовы), которые обслуживаются (или обрабатываются) по очереди, один вслед за другим. Допустим также, что время можно разделить на элементарные интервалы продолжительности τ. («Квантовать» время здесь не обязательно, но если это сделать, задачу сформулировать легче. Решив её в такой постановке, можно затем каким-то подходящим образом устремить τ к нулю и построить теорию, соответствующую случаю непрерывного прибытия клиентов.) Далее, обозначим через p_k вероятность того, что в течение некоторого данного интервала времени прибудет k (k = 0, 1, 2, ...) клиентов. Тогда

Затем вводится существенное упрощение: предполагается, что прибытия клиентов в разные интервалы времени являются независимыми событиями, и, таким образом, вероятность того, что в течение первого интервала прибыло k₁ клиентов, в течение второго — k₂, третьего — k₃ и т.д., равна произведению

Наконец, предполагается, что время обслуживания случайно, и вероятность того, что процесс обслуживания занимает время λτ (т.е. λ элементарных интервалов, где λ = 1, 2, ...), обозначается через ρ_λ. Тогда

Теперь возникают следующие вопросы: каково среднее число клиентов, ожидающих своей очереди, по прошествии некоторого указанного времени? Каково среднее время, которое должен прождать клиент, прежде чем его обслужат? На эти вопросы получены полные ответы, которые, однако, отнюдь не являются простыми. Путь к ним неожиданно проходит по таким областям математики, как теория функций комплексного переменного. Например, приходится рассматривать степенные ряды

для комплексных значений z и w.

Если рассматривать более близкую к действительности модель, допуская больше одного обслуживающего аппарата, математические трудности становятся почти непреодолимыми, и даже на простейшие вопросы невозможно ответить достаточно полно. К счастью, на помощь проектировщику сложной системы с несколькими обслуживающими аппаратами приходят быстродействующие вычислительные машины. Вдумчивое использование метода Монте-Карло (описанного в гл. 2) позволяет имитировать проектируемую систему и эмпирически исследовать различные стороны её функционирования.

Строго говоря, такой «экспериментальный» подход не относится к математике. Однако эта ситуация похожа на ту, которая сложилась много веков назад, когда Евдокс и Архит пытались «подлить» немного механики в «светлые воды» геометрии (см. стр. 194–195).

Эмпирическое изучение очередей в сложных системах вполне может подсказать пути аналитического подхода, который потребует новых понятий и методов. Последние в свою очередь могут обогатить и украсить отдалённые и не связанные между собой области математики.

Теория игр, созданная Джоном фон Нейманом почти в одиночку, является удивительной иллюстрацией того, как можно «математизировать» задачи, которые на первый взгляд кажутся неподдающимися никакому рациональному подходу. Мы объясним, что это за теория, на примере упрощённого покера ⁴⁾.

Колода для игры в упрощённый покер состоит из 2n карт (n достаточно велико), половина которых — старшие (С), а вторая половина — младшие (М). Каждый из двух игроков A и B делает «ставку» размера a и получает одну карту. Затем A начинает игру. Он может либо «открыть» свою карту, либо «повысить» ставку, добавив в «банк» ещё b денежных единиц. Если A открывает карту, то B обязан сделать то же самое. После этого игрок, у которого оказалась более сильная карта, забирает обе ставки; если же оба игрока имели одинаковые карты, то они делят банк между собой, т.е. каждый забирает назад свою ставку.

Если A «повышает» ставку, то у B уже есть выбор: он может либо «спасовать» (т.е. отказаться от игры и отдать деньги A), либо «играть» (т.е. добавить в банк ту же сумму b в последнем случае A должен открыть свою карту, после чего карту открывает и B). Выигрыш, проигрыш и ничья определяются так же, как и в первом случае.

Вопрос заключается в том, какой способ игры наиболее выгоден для A (соответственно для B). Чистой стратегией называется правило, предписывающее, как должен поступить игрок в любой ситуации, которая может возникнуть в ходе игры. Таким образом, для A имеется четыре чистые стратегии:

1. (O–О) — стратегия «открыть–открыть», т.е. открыть карту независимо от того, какая она у него: старшая (С) или младшая (М).
2. (О–П) — «открыть–повысить», т.е. открыть, если у него старшая карта, и повысить ставку, если его карта младшая.
3. (П–О) — «повысить–открыть», т.е. повысить ставку, если он имеет старшую карту, и открыть карту, если она младшая.
4. (П–П) — «повысить–повысить», т.е. повышать ставку в любом случае.

Следует заметить, что стратегии (О–О) и особенно (О–П) «плохие», ибо они не дают возможности использовать преимущество старшей карты.

Аналогично, B имеет четыре чистые стратегии, определяемые его решением «спасовать» (С) или «играть» (И) в разных ситуациях:

1. (С–С),
2. (С–И),
3. (И–С),
4. (И–И).

(Напомним, что если A требует открыть карты, то у B нет никакого выбора.) Из этих четырёх стратегий для B первая и вторая заведомо «плохие», так как они предписывают ему спасовать, имея на руках старшую карту.

Если предположить, что A и B играют ради выигрыша, а не ради скрытой благотворительности, то нужно сразу отбросить стратегии (О–О) и (О–П) для A, а также (С–С) и (С–И) для B. Теперь легко подсчитать, сколько может выиграть A при различных комбинациях стратегий. Допустим, например, что A выбирает стратегию (П–О) (т.е. повышает, если у него старшая карта, и открывает, если его карта младшая), а B — стратегию (И–И) (т.е. играет в любом случае). Тогда можно составить такую таблицу:

При большом n четыре варианта исходных позиций — (C, C), (C, М), (М, C), (М, М) — будут осуществляться примерно с одинаковой частотой, равной 1/4. Тогда «в среднем» стратегия (П–О) против (И–И) принесёт A чистый выигрыш, равный b/4 за одну игру.

Аналогично можно подсчитать средний чистый выигрыш A за одну игру при выборе остальных трёх пар стратегий. Результаты этих подсчётов можно изобразить в виде так называемой матрицы платежа (или матрицы выигрышей):

Допустим, что a < b, т.е. левый нижний элемент этой матрицы отрицателен. Тогда стратегия (П–П) невыгодна игроку A, и он выберет стратегию (П–О). Аналогично, игроку B невыгодна стратегия (И–И), и он выберет чистую стратегию (И–С). Итак, в случае «консервативной» игры («повысить», если карта старшая; «открыть», если карта младшая; «играть», если карта старшая; «спасовать», если карта младшая) оба игрока в среднем будут «оставаться при своих». Оптимальными стратегиями являются чистые стратегии, и игра в этом случае честная (не дающая преимущества ни одному из игроков).

Если a > b, то результат игры смещается в пользу A, так как только он обладает привилегией «повышения»; в действительной игре это право предоставляется игрокам по очереди. Однако для того чтобы воспользоваться своим выгодным положением, A должен придерживаться смешанной стратегии, выбирая (П–О) с вероятностью p₁ и (П–П) с вероятностью p₂, где p₁ + p₂ = 1. Например, при a = 8 и b = 4 матрица платежа имеет вид

и A может обеспечить себе средний выигрыш в размере 1/2 за одну игру, выбирая с вероятностью 50% стратегию (П–О) или (П–П). В свою очередь B, отвечая тем же (т.е. тоже выбирая свои стратегии с вероятностью 50%), может помешать A выиграть больше.

Отсюда видно, что в некоторых ситуациях для достижения оптимального результата игрок A в части играемых партий должен «блефовать» (т.е. повышать ставку, имея на руках младшую карту); в какой именно части партий ему следует это делать, видно из матрицы платежа.

Фон Нейман показал, что большой класс конфликтных ситуаций, подобных возникающим в экономике, можно рассматривать как матричные игры, т.е. игры, имеющие (n×m)-матрицу платежа

в которой элемент a_ij равен выигрышу игрока A, если он выбрал i-ю строку, а его противник B (втайне от A) выбрал j-й столбец.

Основная теорема теории игр утверждает, что существует такое число v, называемое ценой (или значением) игры, что A может обеспечить себе выигрыш, в среднем равный v за одну игру, в то время как B может помешать ему выиграть больше. Кроме того, существует оптимальная стратегия для A (вообще говоря, смешанная), гарантирующая ему выигрыш не меньше v за одну игру, и оптимальная стратегия для B (вообще говоря, тоже смешанная), гарантирующая, что его проигрыш за одну игру не превзойдёт v.

По-видимому, ещё рано судить о результатах применения теории игр, особенно в экономике, хотя именно там она нашла ряд наиболее известных (и наиболее разрекламированных) приложений. Одна из причин такой осторожности — огромные размеры матриц платежа в реальных ситуациях, так что полный их численный анализ всё ещё недоступен даже самым быстродействующим вычислительным машинам.

Важная роль теории игр определяется не только её конкретными применениями в той или иной области знаний. Теория игр позволяет найти математический подход к целому ряду вопросов, связанных, если так можно выразиться, с рациональным поведением в конфликтных ситуациях. И даже если построенные на её основе модели слишком упрощённы и нереалистичны, теория игр заслуживает большого доверия уже потому, что она даёт надежду отыскать систематический подход к чрезвычайно сложным проблемам, связанным с общественным поведением.

Заканчивая обсуждение теории игр, невозможно не упомянуть хотя бы коротко теорию статистических решений, созданную на базе теории игр А. Вальдом.

Вальд рассматривал процесс принятия решения в условиях неопределённости как игру статистика против Природы. Стратегия Природы, конечно, неизвестна, однако статистик принимает решения в соответствии с оптимальной стратегией, которая определяется матрицей платежа. Эта матрица составляется из величин, которыми статистик оценивает для себя сравнительную стоимость того или иного решения. Эта теория по форме аналогична теории игр, однако технически гораздо более сложна и громоздка, так как матрицы платежа в большинстве случаев бесконечны. Влияние теории принятия решений на статистику было главным образом концептуальным. Теория статистических решений привлекла внимание ко многим важным вопросам, связанным со статистическими выводами, и особенно с характером статистических критериев, и внесла в них известную ясность.

Теория информации занимается проблемами, связанными с эффективностью передачи сообщений. Типичная ситуация здесь состоит в том, что имеется источник информации, выбирающий, из некоторого множества сообщений одно сообщение, которое должно быть передано; передающее устройство превращает это сообщение в сигнал; далее, имеется канал (линия связи), по которому посылается сигнал, и, наконец, принимающее устройство, преобразующее сигнал в сообщение. Например, при передаче телеграмм записанные буквами слова кодируются последовательностями импульсов тока переменной длительности (тире, точки, пробелы), которые передаются по проводам и затем снова преобразуются в составленные из букв слова.

Теория информации не занимается проблемами семантики (насколько полно передаваемые символы отражают смысл сообщения); в ней рассматриваются только вопросы, связанные с безошибочностью (точностью) и экономичностью передачи.

Чтобы пояснить, какого рода задачи возникают в теории информации, допустим, что сообщение представляет собой строку из N букв латинского алфавита (N достаточно велико), в которой каждая буква встречается с той же частотой, с какой она появляется в «среднестатистических» текстах на английском языке. Можно представить себе и более общую ситуацию, когда имеется алфавит из k букв S₁, S₂, ..., S_k, причём появление в сообщении буквы S₁ имеет вероятность p₁, буквы S₂ — вероятность p₂ и т.д. Следующие одна за другой буквы выбираются независимым образом. Такие сообщения можно передавать последовательно, буква за буквой. Допустим, что передача одной буквы занимает одну единицу времени (скажем, одну микросекунду); тогда скорость передачи равна одному символу за единицу времени. Нельзя ли улучшить положение? Какова максимальная скорость, с которой может быть осуществлена передача?

Передача по буквам неэффективна: при такой передаче не используется то важное обстоятельство, что некоторые сообщения выбираются источником, значительно реже, чем другие. Скорость передачи можно повысить, закодировав частые сообщения короткими выражениями и оставив более длинные выражения более редким сообщениям.

Шеннон ввёл в рассмотрение две величины: H — энтропию источника и C — пропускную способность канала и доказал, что оптимальная скорость передачи равна отношению C/H, которое всегда не меньше единицы. Это означает, что можно придумать коды, позволяющие осуществлять передачу с любой средней скоростью, меньшей, чем C/H, и не существует кодов, обеспечивающих большую, чем C/H, скорость передачи сообщений.

Энтропия H определяется (грубо говоря) как

Пропускная способность C равна максимуму H по всем возможным заданиям вероятностей, совместимым с ограничениями, которые налагаются на сообщения. В рассматриваемом простом случае, когда сообщение представляет собой строку из N букв, выбираемых независимым образом, на источник не налагается никаких ограничений. К вопросу об ограничениях мы вернёмся несколько ниже.

Для теоретических целей достаточно рассматривать только двоичные коды (т.е. коды, представляющие собой последовательности нулей и единиц). Поэтому в теории информации удобно пользоваться логарифмами при основании 2. Это, конечно, не вызвано необходимостью: подобное соглашение равнозначно, скажем, выбору системы единиц.

Чтобы получить представление о том, что понимается под «типичным» сообщением, вернёмся к нашему примеру.

Если N велико, то бо́льшая часть сообщений содержит приблизительно p₁N букв S₁, p₂N букв S₂ и т.д. Это утверждение является грубой формулировкой закона больших чисел, рассмотренного в главе 1. Типичным считается сообщение, которое действительно содержит p₁N букв S₁, p₂N букв S₂ и т.д. Числа p₁N, p₂N, ..., конечно, могут быть и не целыми; в таком случае нужно брать ближайшие к ним целые числа; в пределе при N→∞ замена, скажем, p₁N целым числом [p₁N] не отразится существенно на результате.

Вероятность того, что сообщение из N букв будет содержать p₁N букв S₁, p₂N букв S₂ и т.д., равна

и, следовательно, в нашем простом примере энтропия задаётся формулой

где p₁, p₂, ..., p_k удовлетворяют единственному условию

Максимальное значение H при таком условии равно

оно получается, когда все p_i равны между собой. Следовательно, можно построить код, обеспечивающий любую скорость передачи, меньшую чем

До сих пор мы задавали только частоту появления в сообщении каждого символа в отдельности. Однако в конкретном языке, скажем английском или французском, на последовательности букв, образующие допустимое сообщение, налагаются очень жёсткие ограничения, часть которых не известна. Реальный язык можно аппроксимировать, налагая всё больше и больше ограничений статистического характера на процесс генерации сообщений. Например, вместо условия независимости можно ввести требование, чтобы каждая диграмма (т.е. каждая пара из двух последовательных букв) появлялась в сообщениях с той же частотой, что и в реальных текстах на данном языке; тем самым будет достигнуто большее соответствие с действительной структурой языка. Этот процесс можно продолжить, подгоняя частоты троек, четвёрок и т.д. последовательных букв к реальным частотам соответствующих сочетаний в данном языке. Если ограничиться диграммами, то статистическое описание источника сообщений примет вид простой марковской цепи.

В применении к нашему искусственному примеру с алфавитом S₁, S₂, ..., S_k это означает, что заданы вероятности p_ij того, что за S_i следует S_j, и вероятность сообщения Si₁Si₂...Si_N равна

Вероятности p₁, p₂, ..., p_k появления отдельных символов в длинных сообщениях можно найти, решая линейные уравнения

Энтропия такого источника равна

Можно показать, что эта величина не превосходит энтропии источника в случае независимой генерации символов с вероятностями p_i. В этом проявляется общий принцип; чем больше налагается ограничений, тем меньше становится энтропия.

Если некоторое p_ij равно 0 или 1 (например, в английском языке за буквой  z никогда не следует x, так что p_zx = 0), то мы имеем абсолютное ограничение. При отыскании максимума энтропии можно варьировать все вероятности p_ij, кроме тех, которые равны 0 или 1.

До сих пор мы предполагали, что в канале отсутствует шум, т.е. что каждый символ передаётся абсолютно точно. Наиболее интересные математические задачи возникают в ситуациях, когда канал «зашумлён». Простейшая модель такого зашумлённого канала — двоичный канал без памяти. Здесь мы считаем, что при передаче двоичных кодов имеется некоторая постоянная вероятность p того, что символ 0 или 1 будет передан правильно, и постоянная вероятность q=1–р того, что он будет искажён (т.е. 0 заменится на 1 или 1 на 0); кроме того, мы полагаем, что отдельные символы передаются независимо.

Шеннон и другие показали, как и при каких обстоятельствах можно построить коды, допускающие дешифровку с произвольно высокой вероятностью; найдены также оптимальные скорости передачи.

Эти разделы теории уже чрезвычайно сложны, но даже из нашего краткого и неполного обзора её более элементарных частей видно, с каким успехом математика применяется сейчас к задачам, которые совсем недавно считались недоступными никакому точному количественному анализу.

Обсуждая связи математики с другими науками, нельзя не коснуться статистики. Статистика не является ветвью математики, поскольку она занимается обработкой данных и принятием решений на основе результатов этой обработки. Используемая таким образом, она не является даже чётко очерченной дисциплиной, а скорее представляет собой общий инструмент научного исследования. Однако математика играла и играет важную роль в развитии статистики. Многие разделы статистики настолько глубоко пропитаны математическими идеями и методами, что их совокупность получила наименование математической статистики.

В свою очередь статистическая точка зрения оказывается полезной во многих областях чистой математики, расширяя проблематику и подсказывая новые пути и подходы.

Мы хотим снова подчеркнуть, что очень редко можно провести чёткую границу между математикой и другими науками, к которым она применяется. Попытки — к сожалению, довольно частые — изолировать «чистую» математику от всей остальной научной деятельности и заставить её вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику, и прочие науки.

Маршруты наших путешествий в математику мы выбирали исходя из её истории, внутренних связей её разделов и развития в ней синтезирующего начала. Мы рассмотрели задачи о целых числах, в связи с которыми родилась идея бесконечности, а потом перешли к примерам из геометрии, проследив предварительно эволюцию абстрактных представлений о числах и геометрических объектах. Мы попытались, по возможности просто, показать, каким путём математики пришли к рассмотрению общих групп преобразований, а затем, исследуя множества таких объектов, как пространства, — к построению теорий общих структур. Хотя разнообразие математических объектов в наше время огромно, сам математический метод остался таким же, каким был всегда: сначала постулируется или молча принимается небольшое число аксиом, а затем путём повторного применения определённых правил (математической логики) строится теория, т.е. совокупность теорем, описывающих свойства и отношения между объектами, удовлетворяющими этим аксиомам. Воскресни сегодня такие математики, как Архимед, Евклид или Ньютон, они могли бы растеряться от обилия понятий, интересующих современных математиков, однако наши методы они нашли бы вполне понятными и знакомыми.

В столь кратком очерке мы поневоле должны были ограничиться отдельными избранными темами и методами современной теоретической и прикладной математики; многие из новейших методов нам не удалось даже упомянуть. В этой заключительной главе мы хотим назвать ряд областей математики, где ведутся особенно интенсивные исследования, и обрисовать процесс растущей математизации различных отраслей науки и техники.

Все самые выдающиеся достижения математического метода связаны с тем, что он позволяет абстрагировать определённые свойства наблюдаемых объектов и наблюдаемых отношений между ними и чисто логическим путём выводить новые свойства и новые отношения, которые можно затем проверить наблюдением и экспериментом. Так, сформулированные Ньютоном законы механики позволили чисто математическими средствами возвести грандиозное здание классической механики и найти законы движения небесных тел. Тем же духом проникнуты и все дальнейшие успехи математической физики, открывшие дорогу для развития других областей науки и техники. В самой математике новая теория обычно начинается с того, что постулируется ряд новых математических свойств. Так возникала теория вероятностей, различные геометрии, теория аналитических функций, теория пространств, элементами, или «точками», которых служат функции. Этот процесс аксиоматического построения новых теорий продолжается и поныне. Наблюдая отдельные классы явлений, мы выделяем из них путём абстракции более простые «фундаментальные» классы, постулируем те или иные свойства этих классов и выводим математические следствия из построенных таким образом моделей. Одновременно изучаются и сравниваются свойства различных классов и прилагаются усилия к тому, чтобы свести их воедино в рамках новых создаваемых для этого «сверхтеорий». Иначе говоря, в процессе совместной деятельности математиков, из их общих интересов и результатов рождаются новые математические концепции, которые в дальнейшем сами оказываются частными случаями более общих закономерностей.

Мы попробуем описать современные исследования на примере нескольких таких новых теорий. Элегантную и логически связную часть математики составляет созданная Шенноном и его последователями теория информации. Выше, когда мы говорили о теории информации, речь шла о конечном множестве событий и приписанных им вероятностях. Интересно, что понятия теории информации можно определить и для бесконечного пространства событий (как дискретного, так и непрерывного); для этого нужно ввести меру в таком пространстве событий либо путём предельных переходов, либо путём интегрирования (вспомним сказанное выше в параграфе, посвящённом теории меры). Кроме меры, удалось ввести и другие характеристики множеств в пространстве событий. Если в пространстве событий определено расстояние между элементами, то можно определить энтропию, или ёмкость, множеств в этом пространстве. Эти определения, выросшие из практических задач передачи и кодирования сообщений, позволили математикам развить общие абстрактные теории, которые помогли решить несколько давних проблем теории функций. В частности, больших успехов в применении идей Шеннона для решения задач чистой математики добились советские учёные. Удивительно, как много времени ушло на то, чтобы обобщить идею энтропии, перейдя от первоначального понятия, относившегося к совокупностям молекул или атомов, к формулировке, охватывающей весьма общие классы событий. Помимо той пользы, которую это обобщение принесло для решения проблем теории связи, оно оказалось исключительно ценным для решения ряда абстрактных математических проблем, на первый взгляд не имевших, как будто бы, ни малейшего отношения к идеям теории вероятностей.

Выше мы уже упоминали знаменитый список проблем Гильберта. Одна из этих проблем — найти выражение корней алгебраического уравнения степени n в виде функций от его коэффициентов. Известно, что каждому такому уравнению соответствует однозначно определённое множество корней; следовательно, эти корни должны быть функциями его коэффициентов. Для уравнений первой, второй, третьей и четвёртой степени эти функции имеют весьма специальный вид: они получаются из коэффициентов путём сложения, умножения и извлечения корней. Функции такого вида от n переменных (n = 1, 2, 3, 4) можно представить в виде суперпозиции функций меньшего числа (двух) переменных. В самом деле, сумму или произведение любого числа членов можно найти, выполняя нужное число раз сложение или умножение двух членов, а операция извлечения корня степени k определяет функцию одной переменной. При n≥5, согласно знаменитому результату Галуа, корни алгебраического уравнения не выражаются через его коэффициенты в виде радикалов и рациональных функций. Проблема, поставленная Гильбертом, заключается в следующем: если сложения, умножения и извлечения корней недостаточно для того, чтобы выразить корни алгебраического уравнения степени n≥5 в виде функций коэффициентов, то нет ли каких-нибудь других функций меньшего числа переменных, путём повторной суперпозиции которых можно получить эти корни, т.е. решить уравнение? Более общая формулировка этой проблемы Гильберта такова: всегда ли возможно выразить непрерывную функцию многих переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных, скажем всего двух? Хотя сам Гильберт был склонен считать это невозможным, А. Н. Колмогорову и В. И. Арнольду удалось доказать, что всякую непрерывную функцию любого конечного числа действительных переменных можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций не более двух переменных. Этот результат, полученный в 1957 г., позволил уточнить и обобщить формулировки других проблем, связанных с суперпозициями функций. Речь идёт о проблемах аналогичного представления наборов n функций от n переменных: можно ли выразить взаимно однозначное непрерывное преобразование n-мерного пространства в виде суперпозиции непрерывных преобразований с меньшим числом переменных? При каких условиях это возможно? Вместо одной только непрерывности можно наложить более сильные ограничения, потребовав, чтобы функции или преобразования были дифференцируемыми, аналитическими и т.д.

Выше мы видели, как удобно на языке преобразований формулировать качественные свойства движений физических систем. Динамическая система из n материальных точек представляется одной точкой 6n-мерного пространства, а изменения этой динамической системы во времени описываются движениями этой точки. Совокупность всех возможных начальных положений, изменяющихся во времени, определяет поток в 6n-мерном фазовом пространстве. В общем случае такой поток, если он сохраняет объём или меру, является эргодическим, т.е. фазовая точка с одинаковой вероятностью может попасть в любую часть доступного пространства. Поясним, что означают здесь слова «в общем случае». Множество всех непрерывных сохраняющих меру преобразований можно рассматривать как пространство, элементами, или «точками», которого служат эти преобразования. В этом пространстве можно определить расстояние между точками. Множество эргодических преобразований в этом пространстве является «большим» в том смысле, что его дополнение — множество преобразований, не являющихся эргодическими, «мало»: его можно представить в виде объединения счётного числа множеств, нигде не плотных во всём пространстве. Здесь оказывается полезным понятие функционального пространства; хотя это понятие было введено в результате чисто абстрактных рассуждений, оно во многих случаях помогает формулировать точные утверждения о физических системах. Вывод о том, что среди всех сохраняющих объём непрерывных потоков «большинство» эргодичны, напоминает утверждение, что «большинство» действительных чисел иррациональны или даже трансцендентны. Конечно, то или иное число, определённое какими-то уравнениями или алгоритмом, не обязательно должно принадлежать этому «большому» множеству. В каждом конкретном случае нелегко установить, обладает ли данная динамическая система свойством эргодичности, кроме тех случаев, когда движение динамической системы определяет непрерывный сохраняющий объём поток весьма специального вида. Дж. Мозер в США и А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд в СССР выявили классы динамических систем, фазовые точки которых движутся не по всему пространству, а описывают квазипериодические траектории, не выходящие за пределы некоторых характерных участков пространства. Иными словами, эти физические системы обладают свойствами, представляющими собой нечто промежуточное между свойствами простого периодического движения (типа кеплеровой системы двух тел) и свойствами «общего» непрерывного потока. Раньше предполагалось, что если рассматривается «достаточно усложнённая» система, то её движение стремится стать эргодическим, т.е., грубо говоря, по прошествии достаточного времени система будет близка к любому возможному положению. Однако оказалось, что некоторые специальные системы могут и не обладать этим свойством. Например, если движение можно описать линейными уравнениями, как в случае механических колебаний какой-нибудь физической системы, то (по крайней мере при малых амплитудах) мы получим периодические колебания. Так, движение идеально упругой струны всегда будет складываться из периодических колебаний, соответствующих её собственным частотам. Разумеется, линейные уравнения являются лишь приближением реальной физической ситуации. Эмпирически сила упругости не будет строго пропорциональна смещению. Выражение этой силы как функции смещения включает, кроме главного члена, которому эта сила пропорциональна, ещё ряд малых членов — второго или более высоких порядков. Принимая это во внимание, можно было бы думать, что с течением времени первоначальная форма колебания будет постепенно становиться всё более и более сложной. Расчёты на вычислительной машине позволили имитировать это движение за достаточно продолжительный промежуток времени. Выяснилось, что вопреки всем ожиданиям колебания не становятся чрезвычайно сложными и что струна колеблется хотя и не вполне периодически, но в пределах небольшой части допустимого класса положений. Иными словами, эта система не обладает свойством эргодичности. Результаты этих расчётов послужили толчком к широкому исследованию такого рода «нелинейных» задач, в том числе и таких, которые представляют чисто математический интерес. Как мы видели выше, о линейных преобразованиях евклидова пространства известно уже очень многое; преобразования же такого пространства в себя, не являющиеся линейными, изучены мало. Можно ожидать, что из исследований в этом направлении будут постепенно вырисовываться контуры новой общей теории.

Теория игр (с которой мы уже немного познакомились раньше) связана с особого рода математическими задачами из области комбинаторики. Представим себе двух игроков, по очереди выбирающих ходы из какого-то заданного множества альтернатив. После некоторого числа ходов возникает ситуация, которая рассматривается как «выигрыш» одного из партнеров. В теории игр изучается выбор стратегий при условиях, когда каждый из игроков должен в своих решениях основываться на вероятностях различных решений противника. Прежде всего здесь возникает задача оптимизации тактики каждого из партнеров. Большая часть теории посвящена играм «с неполной информацией», в которых значительная роль приходится на долю случая. Так обстоит дело, скажем, в покере в отличие от шахмат, являющихся типичным примером игры «с полной информацией». Изучаются также игры, в которых участвует более двух партнеров; важной проблемой здесь является образование коалиций одних игроков против других. Начало этим исследованиям в их современной форме было положено статьей Дж. фон Неймана, а своё дальнейшее развитие они получили в книге фон Неймана и Моргенштерна ⁵⁾, давшей толчок целой серии последующих работ.

Классическим примером «ясновидения», которым может обладать математическое воображение, предвосхищая развитие физических теорий, служит создание римановых геометрий. Б. Риман в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (Über die Hypothesen die der Geometrie zugrunde liegen) ⁶⁾ определил целый класс геометрий, рассматривая в качестве обобщения «плоского» евклидова пространства «искривлённые» многообразия, где кривизна задаётся локально, в окрестности каждой точки пространства; например, она может определяться какой-нибудь физической величиной типа плотности вещества. Пророческий характер этой новой теории обнаружился много лет спустя, когда Эйнштейн положил её в основу общей теории относительности. Аппарат дифференциальной геометрии, разработанный Риманом и другими математиками после него, был существенным образом использован для формулировки принципов общей теории относительности. Обе эти теории носят локальный характер, интересуясь прежде всего поведением кривизны и геодезических (т.е. кратчайших линий, соединяющих точки) в окрестности каждой точки. Глобальные свойства таких пространств связаны с топологическими характеристиками пространства в целом. Такими характеристиками являются, например, число n-мерных дырок в пространстве (числа Бетти) и группы гомотопий пространства (порождаемые не стягиваемыми друг в друга кривыми и поверхностями в этом пространстве). Многие важные исследования посвящены изучению подобных топологических свойств пространств; дифференциальная геометрия «в целом» составляет один из самых активно разрабатываемых разделов современной математики. Применяемые для этого методы, алгебраические по своему характеру, позволяют изучать свойства непрерывных векторных полей на таких пространствах.

В духе того же глобального подхода математики интенсивно изучают структуру непрерывных групп. Например, группы вращений n-мерных пространств сами можно рассматривать как пространства, определив в них расстояние между любыми двумя вращениями. В последнее время удалось выяснить многие топологические характеристики таких групп, особенно в случае, когда групповая операция не только непрерывна, но и дифференцируема. Такие группы называются группами Ли. Для них ищут представления группами линейных преобразований n-мерного пространства, т.е. ищут группы линейных преобразований, изоморфные группам Ли. Математические свойства таких представлений получили важную физическую интерпретацию в квантовой механике и теории элементарных частиц. Применение этих идей к классификации атомных спектров и элементарных частиц — ещё одно свидетельство поразительных возможностей математического предвидения.

Непрерывный рост количества отдельных и частных результатов, многочисленные, но несогласованные попытки унифицировать математику и, наконец, растущая математизация науки и техники ставят перед математикой серьёзную проблему возможной потери общего языка: обнаруживается явная тенденция к вавилонскому столпотворению.

В этой связи полезно в историческом плане проследить, какую роль сыграла математика в развитии других наук. Не случайно, что дифференцирование и интегрирование были придуманы тогда же, когда Ньютон открыл законы механики и обосновал законы движения небесных тел. В то самое время, когда были сформулированы все основные законы механики, были изобретены и усовершенствованы и средства для вывода следствий из этих законов, причём до сих пор, по-видимому, не существует других, теоретически более совершенных или технически более эффективных средств для формулировки этих законов и для расчётов движения тел. Дифференциальные и интегральные операторы и сегодня составляют основу математического анализа. Законы классической физики формулируются в виде дифференциальных уравнений или систем таких уравнений. Сначала это были обыкновенные дифференциальные уравнения: они связывают производные неизвестной функции одной переменной со значениями самой этой функции и других заданных функций. При таком подходе поведение физической системы описывается в терминах поведения материальных точек, которые моделируют фактическое распределение масс.

Для математического описания непрерывных распределений масс или полей требуются дифференциальное уравнения с частными производными. В этом случае рассматриваются функции нескольких переменных, а в уравнения входят частные производные этих функций по пространственным координатам и по времени. Подобные уравнения применялись последователями Ньютона ещё в XVIII веке. Примерами описываемых такими уравнениями функций могут служить скорости в жидкостях, плотность вещества в пространстве, упругие напряжения в материале, зависимость температуры от координат и времени.

При помощи дифференциальных уравнений с частными производными были поставлены и решены многие задачи гидродинамики, теории упругости и теории теплоты. На протяжении XIX столетия математическая физика добилась ряда крупных достижений путём применения математического анализа. Несколько позднее работы по теории электричества увенчались математическим описанием электромагнитных явлений, полученным Максвеллом, выразившим основные законы электромагнетизма в виде системы дифференциальных уравнений с частными производными.

В прошлом веке использование в физике функций комплексной переменной прямо-таки чудодейственным образом помогло создать эффективные алгоритмы решения задач, которые до этого не удавалось решить никакими другими методами. Мало того, оказалось, что благодаря этому физические законы получили новый смысл и новые формулировки, что уж совсем похоже на мистику; ведь, как мы помним, комплексные переменные (и функции с комплексными значениями) первоначально возникли в алгебре, вне всякой связи с проблемами естественных наук.

Ещё одна область математического анализа, начало которой было положено в XVIII веке, — это вариационное исчисление. Физические законы можно формулировать как утверждения о том, что некоторые интегралы функций одной или нескольких переменных принимают экстремальное значение. Компактны, изящны и обладают большой математической силой принцип Ферма (о кратчайшем времени прохождения светового луча через оптическую систему) или принцип наименьшего действия (в форме Гамильтона или Мопертюи–Лагранжа). В конце прошлого столетия возникла теория интегральных уравнений, отдельные примеры которых изучал ещё Абель. Все эти исследования относятся к математическому анализу.

Свою дорогу в физику нашли и другие разделы математики. Теория вероятностей образовала фундамент статистической механики, которая изучает поведение вещества на основе дискретной, а не непрерывной, математической модели, рассматривая его как совокупность огромного количества взаимодействующих частиц. Такой «комбинаторный» подход существует параллельно с непрерывным подходом термодинамики и дополняет его. Наконец, как мы уже говорили, развитие в прошлом веке теории новых геометрий подготовило создание специальной и общей теории относительности.

Эти новые применения математики в физических теориях, включая великое творение Эйнштейна — теорию относительности, были найдены уже в XX веке. Весь необходимый математический аппарат теории относительности был подготовлен ещё до Эйнштейна. Лоренц и Пуанкаре исследовали группу преобразований четырёхмерного пространства-времени, относительно которых инвариантны уравнения Максвелла, описывающие электромагнитные явления. Инвариантность относительно этих преобразований всех уравнений, описывающих физические явления, Эйнштейн возвёл в основополагающий физический принцип; это означало радикальный переворот в существовавших тогда представлениях о пространстве и времени. Такие ошеломляющие выводы, как утверждение об эквивалентности массы и энергии, были получены как математические следствия этого допущения. Формула E = mc² является математическим следствием инвариантности законов природы относительно преобразований Лоренца. Проделанная математиками работа по определению абстрактных понятий и развитию абстрактных идей существенно облегчила разработку новых математических схем для теоретической физики, а в ряде случаев непосредственно способствовала их созданию. Так, например, работа Римана и других математиков над геометриями, более общими, чем евклидова, подготовила почву и создала математический аппарат общей теории относительности.

В квантовой механике различные явления рассматриваются с точки зрения, которая представляется ещё более абстрактной. Основными объектами — «исходными понятиями» этой теории служат уже не материальные точки евклидова пространства, а функции распределения, характеризующие «волновые пакеты». Они рассматриваются как первооснова физического объекта, причём наблюдаемыми характеристиками физических явлений оказываются интегралы этих распределений или производные от них. Математической основой этой теории служит теория функциональных пространств, подобных гильбертову пространству, упомянутому в главе 2. Задолго до создания квантовой механики Гильберт, определяя математические свойства линейных преобразований своего бесконечномерного пространства, употребил слово «спектр». Оказалось, что этот математический спектр в точности соответствует спектру излучения атома!

Кажущийся хаос спектральных линий можно понять и упорядочить с помощью математической теории групп. В самой математике идея о том, что формальные свойства групп преобразований могут служить для определения и классификации объектов, на которые действуют эти преобразования, была впервые применена в геометрии. Ф. Клейн в своей знаменитой Эрлангенской программе провозгласил, что любая геометрия определяется группой преобразований, относительно которых инвариантны её объекты и отношения между ними. В настоящее время наблюдаются тенденции к обобщению этого подхода, и многое из того, что сейчас делается в теоретической физике, можно считать развитием этой идеи. Группы преобразований использовались для вывода законов сохранения и классификации элементарных частиц. С помощью абстрактных групп изучаются законы сохранения импульса и энергии, а также сохранения заряда и таких величин, как «спин» и «странность». Какие из математических теорий, вероятнее всего, будут играть важную роль в дальнейшем развитии физических теорий? Явления чрезвычайно малых масштабов, происходящие на внутриатомном и ядерном уровне, совершенно не согласуются с представлениями классической физики. Даже для чисто качественного их описания требуются математические переменные иного типа, чем привычные действительные числа и евклидовы континуумы. Оказывается невозможным с произвольной точностью одновременно измерить импульс и координаты частицы или энергию и время испускания излучения. По мере того как, изучая строение вещества, мы будем переходить ко всё более высоким энергиям, могут потребоваться математические модели, совсем непохожие на те, которые применяет современная физика. Полезной для построения модели вещества и излучения может оказаться теория множеств (и топология точечных множеств). Перемены будут ещё более радикальными, если подобные идеи будут использованы для построения моделей самого пространства-времени. Последние работы в области астрономии и космологии — науки, рассматривающей Вселенную в целом, обнаружили ряд неожиданных явлений. Если выяснится, что большей адекватностью обладают модели реально бесконечной Вселенной, то это повысит роль математических идей теории множеств. Последние открытия математической логики относительно неполноты любой системы аксиом ставят как строго научные, так и философские проблемы о природе Вселенной. Мы уже рассказывали о том, как в последние годы в самой математике было доказано, что некоторые важные проблемы неразрешимы в существующих аксиоматических системах. Может статься, что никакая конечная система аксиом никогда не будет признана определённой или окончательной. Подобные дилеммы вырастают не только из чисто умозрительных построений (в частности, математических), но и из того, что мы называем физическим миром. Если Вселенная действительно содержит бесконечное множество дискретных «точек» (будь то звезды, элементарные .частицы или фотоны), то должны существовать высказывания или предложения об этих множествах, неразрешимые в терминах любого конечного числа заранее сформулированных законов и правил. Вот какие серьёзные последствия, быть может, вытекают из этих недавних математических работ.

Мы уже много говорили об органической связи между математикой и математической физикой. Ни одна из этих двух важнейших сфер человеческой мысли не была бы даже отдалённо похожа на то, чем она стала сегодня, если бы она постоянно не подвергалась влиянию другой. Самая суть теоретической физики заключена в её математических формулировках; с другой стороны, и развитие ряда важных разделов математики стимулировалось и определялось проблемами, вытекавшими из наблюдений за поведением вещества и излучения. Наши представления о пространстве и времени являются абстракциями, основанными на эмпирическом опыте. Каким образом получается, что этот опыт поддаётся математической интерпретации, которую можно затем логически развивать и в итоге приходить к выводам, согласующимся с данными наблюдений, — это, быть может, сложный философский вопрос. Одной из причин, почему это возможно, является обязательное требование, чтобы все измерения, а тем самым и большую часть результатов физических и астрономических исследований, можно было свести к операциям над числами.

Совершенно по-иному обстоит сейчас дело с науками, изучающими живую материю, которая характеризуется гораздо большим богатством и многообразием форм. Происходящий в наши дни бурный рост знаний о первичных, или «элементарных», биологических явлениях делает эти явления всё более доступными для исследования математическими методами. В биологии такие методы уже давно и с большим успехом используются для решения многих частных технических задач. Для решения задач, связанных со статистическим поведением (например, при изучении химических реакций в живом организме), с закономерностями поведения больших совокупностей органических компонентов и их организации, успешно применяются дифференциальное и интегральное исчисление, алгебра и комбинаторика. Такие работы, как исследование Вольтерры об изменении численности особей в биологических видах, из которых одни питаются другими, помимо своего значения для биологии, представляют и математический интерес. Вольтерра использовал систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Его работа послужила толчком для изучения нелинейных проблем в чистой математике; за последнее время в этой области получены многие важные результаты. В связи с законами наследственности, вскрытыми Менделем, был проведён ряд комбинаторных исследований. Математические методы существенным образом используются для описания поведения различных смесей в биохимии, а для изучения термодинамических и квантовых основ подобных процессов не только полезен, но просто необходим весь сложный аппарат математической физики.

Более того, мы уверены, что достижения биологии за последний десяток лет открывают ещё более широкие, захватывающие и многообещающие математические перспективы.

В последние годы получены первые важные результаты, касающиеся механизмов функционирования живой клетки. Общепринятая геометрическая модель ДНК, предложенная Криком и Уотсоном, представляет собой длинную спиральную двойную структуру, построенную из четырёх видов оснований, с поперечными связями между цепями. Предполагается, что в процессе воспроизведения эта «лесенка» (двойная спираль) расщепляется на две цепи. Составные элементы каждой из этих цепей находят для себя комплементарные элементы в окружающей среде; таким образом из двух одинарных цепей ДНК получаются две новые двойные цепи, идентичные исходной двойной спирали. Последовательность четырёх оснований, из которых состоит молекула ДНК, служит генетическим кодом клетки и всего организма. В этой последовательности закодирована, в частности, информация о биосинтезе белков. Кроме того, в ней, по-видимому, содержатся и инструкции (с логической точки зрения более высокого порядка) о функциональном поведении, нечто вроде общей «блок-схемы» для вычислительной машины. Другие находящиеся в клетке молекулы, по-видимому, получают все эти инструкции от ДНК и передают их далее, туда, где происходят процессы биосинтеза.

В понимании механики, логики и комбинаторики этих процессов полной ясности достичь пока что не удалось. Несомненно во всяком случае, что при математическом анализе новых логических схем, которые вводятся для описания этих процессов, будут обнаружены какие-то новые элементы, не используемые в формальном аппарате современной математики.