2056 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5   Глава 1.  Векторный и тензорный анализ 7 § 1.  Векторная алгебра 7 § 2.  Тензорная алгебра 20 § 3.  Геометрическое представление тензоров 2-го ранга 26 § 4.  Тензорные поля 29 § 5.  Теорема Гаусса–Остроградского и её применение 34 § 6.  Теорема Стокса и её применение 45 § 7.  Теорема Гельмгольца. Уравнения Максвелла 50 § 8.  Основные дифференциальные операции в криволинейных системах координат 58   Глава 2.  Линейная алгебра в n-мерном пространстве 63 § 1.  Линейное пространство 63 § 2.  Матрицы и действия над ними 67 § 3.  Линейные операторы 78 § 4.  Преобразования координат 83 § 5.  Скалярное произведение и ортогональность 87 § 6.  Унитарные и ортогональные преобразования 92 § 7.  Специальная теория относительности 96 § 8.  Эрмитовы операторы 102   Глава 3.  Разложения по ортогональным системам функций 107 § 1.  Гильбертово пространство 107 § 2.  Полнота систем функций 109 § 3.  Примеры полных ортонормированных систем. Ряды Фурье 118 § 4.  Интеграл Фурье 128 § 5.  Эрмитовы операторы 133 § 6.  Полиномы Лежандра 138 § 7.  Мультипольное разложение 145 § 8.  Сферические гармоники 151 § 9.  Преобразование сферических гармоник при поворотах осей координат 162 § 10.  Аналогия между сферическими гармониками и тензорами 163 § 11.  Свойства сферических гармоник. Продолжение 166 § 12.  Перестановочные соотношения для компонент оператора момента импульса 168 § 13.  Связь сферических гармоник с полиномами Лежандра 172 § 14.  Теорема сложения 174 § 15.  Применения сферических гармоник 180   Глава 4.  Вариационные принципы и теорема минимакса 182 § 1.  Вариация функционала и функциональная производная 182 § 2.  Экстремальные свойства функционала λ(φ) 186 § 3.  Теорема минимакса 190 § 4.  Положительные операторы 195   Глава 5.  Метод функций Грина 199 § 1.  Примеры уравнений. Определение функций Грина 199 § 2.  Линейные операторы. Матричная формулировка свойств линейных операторов 203 § 3.  Функция Грина для уравнения диффузии 213 § 4.  Функция Грина для волнового уравнения 216 § 5.  Уравнение Пуассона 221 § 6.  Неоднородное волновое уравнение 223   Глава 6.  Методы теории функций комплексного переменного 232 § 1.  Аналитические функции. Теорема Коши 232 § 2.  Ряды Тейлора и Лорана. Аналитическое продолжение 238 § 3.  Классификация особых точек 242 § 4.  Многозначные функции. Пример из гидродинамики 244 § 5.  Теория вычетов и её приложения 251 § 6.  Задача о случайном блуждании и метод перевала 257   Глава 7.  Линейные дифференциальные уравнения 268 § 1.  Решение уравнения вблизи обыкновенной точки 268 § 2.  Решение уравнения вблизи регулярной особой точки 275 § 3.  Уравнение Бесселя   282

Имя выдающегося современного физика Ли Цзун-дао достаточно хорошо известно (в научной физической литературе его обычно называют кратко, по фамилии — Ли). Ему принадлежит ряд работ по квантовой теории поля, статистической физике, теории элементарных частиц. В 1957 г. он вместе с Янгом получил Нобелевскую премию по физике за открытие несохранения четности при слабых взаимодействиях.

В течение ряда лет проф. Ли читает в Колумбийском университете курс лекций по математике для студентов-физиков. В этот курс входят основные понятия линейной алгебры, элементы векторного анализа, разложение по ортогональным функциям, гильбертово пространство и операторы в нем, некоторые методы теории функций комплексного переменного, ряд сведений из вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений. Эти лекции были записаны группой студентов и в небольшом числе экземпляров выпущены в виде ротапринтного издания.

Существует значительное количество книг, излагающих те или иные разделы математики специально для физиков. Однако обычно все такие руководства пишутся математиками, а не физиками. Своеобразие и интерес лекций Ли состоит в том, что здесь математические факты и методы излагаются с точки зрения физика-теоретика.

Курс Ли нельзя рассматривать как систематический учебник, предназначенный, скажем, для подготовки к сдаче экзамена по математике на физическом факультете. Такому назначению не соответствует ни содержание книги, ни характер изложения. Это изложение, часто весьма наглядное, в ряде мест не соответствует даже так называемому «физическому уровню строгости». Например, не различаются возможность сколь угодно точно аппроксимировать функцию линейными комбинациями функций из некоторого семейства и разложимость этой функции в ряд по элементам данного семейства. В случаях, подобных указанному, мы вносили необходимые изменения прямо в текст. В некоторых местах неточности изложения оговорены в примечаниях. Однако мы не считали возможным существенно менять принятый автором свободный стиль изложения, поэтому и в русском тексте далеко не везде точно указаны условия, при которых устанавливаются те или иные формулы или результаты, сохранены выражения вроде «достаточно хорошие функции» и т. п.

При подготовке русского издания лекций Ли пришлось также считаться с тем, что записи лекций и их ротапринтное издание сделаны слушателями несколько небрежно, а сам автор текста этих лекций не отредактировал. (Проф. Ли, любезно сообщив о своем согласии на русское издание его лекций, подчеркнул, что сам он этих записей не читал.) Видимо поэтому изложение в некоторых местах слишком конспективно, в тексте имеется значительное количество опечаток, пропусков, а подчас и искажений смысла. В русском издании переводчики и редактор попытались исправить такие недочеты. Это также повлекло за собой ряд более или менее существенных отличий русского текста от оригинала.

Лекции Ли не охватывают, конечно, многих разделов того математического аппарата, которым должен владеть сейчас физик-теоретик. Например, в этих лекциях совсем не затронуты теоретико-групповые понятия и методы, в последнее время играющие большую роль во многих физических вопросах. Но все то, что в этих лекциях изложено, безусловно необходимо каждому физику.

Книга не требует от читателя большой предварительной подготовки. Она вполне доступна студентам-физикам третьего и даже второго курсов. Вместе с тем она будет интересна и более подготовленному читателю, уже знакомому с излагаемыми в ней разделами математики по другим руководствам.