3521 Кб

ОГЛАВЛЕНИЕ ♦ ♦   ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5 ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ 7 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ 8 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА 28   Глава 1.  УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 33 1.0.  Введение 33 1.1.  Группа симметрии уравнения Гельмгольца 34 1.2.  Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 42 1.3.  Формулы разложения, связывающие решения с разделёнными переменными 56 1.4.  Разделение переменных для уравнения Клейна–Гордона 74 1.5.  Формулы разложения для решений уравнения Клейна–Гордона 83 1.6.  Комплексное уравнение Гельмгольца 95 1.7.  Метод Вейснера для комплексного уравнения Гельмгольца 100 Упр ажнения 109   Глава 2.  УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 111 2.1.  Разделение переменных для уравнения Шрёдингера (i∂t + ∂xx )Ψ(t, x) = 0  111 2.2.  Уравнение теплопроводности (∂t – ∂xx )Φ = 0  132 2.3.  Разделение переменных для уравнения Шрёдингера (i∂t + ∂xx – a/x2)Ψ = 0  146 2.4.  Комплексное уравнение (∂τ – ∂xx + a/x2)Φ(τ, x) = 0  154 2.5.  Разделение переменных для уравнения Шрёдингера (i∂t + ∂xx + ∂yy )Ψ = 0  162 2.6.  Базисы и матричные элементы смешанных базисов для уравнения Шрёдингера 178 2.7.  Вещественное и комплексное уравнения теплопроводности (∂t – ∂xx – ∂yy )Φ = 0  188 2.8.  Заключительные замечания 203 Упр ажнения 206   Глава 3.  УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ЛАПЛАСА С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 207 3.1.  Уравнение Гельмгольца (Δ3 + ω2)Ψ = 0  207 3.2.  Модель гильбертова пространства: сфера S2  217 3.3.  Многочлены и функции Ламе на сфере 231 3.4.  Формулы разложения для решений с разделёнными переменными уравнения Гельмгольца 239 3.5.  Модели негильбертовых пространств для решений уравнения Гельмгольца 242 3.6.  Уравнение Лапласа Δ3Ψ = 0  252 3.7.  Тождества для решений с разделёнными переменными уравнения Лапласа 263 Упр ажнения 272   Глава 4.  ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 273 4.1.  Уравнение (∂tt – Δ2)Ψ = 0  273 4.2.  Оператор Лапласа на сфере 280 4.3.  Диагонализация операторов P0, P2 и D 284 4.4.  Уравнение Шрёдингера и уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу 288 4.5.  Волновое уравнение (∂tt – Δ3)Ψ = 0  292 Упр ажнения 295   Глава 5.  ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ОБОБЩЕНИЯ 296 5.1.  Функции Лауричеллы FD 296 5.2.  Формулы преобразований и производящие функции для функций FD 303 Упр ажнения 308   Приложение А. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ 310 Приложение Б. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 315 Приложение В. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 324 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 326 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 333 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ   336

В прикладных областях исследователи часто имеют дело с конкретными дифференциальными уравнениями, допускающими нетривиальную группу преобразований. Многие важные классы решений уравнений гидродинамики, теории упругости, магнитной гидродинамики и т.п. были получены с использованием групповых свойств этих уравнений. Это решения типа простых волн в гидродинамике, типа бегущих волн, так называемые автомодельные решения и т.д.

С другой стороны, метод разделения переменных, широко применяемый для отыскания частных решений линейного дифференциального уравнения, самым тесным образом связан с групповыми свойствами уравнения. Хорошо известно, что очень многие классические специальные функции первоначально появились при решении волнового уравнения и уравнения Лапласа методом разделения переменных. В связи со сказанным естественно возникает задача изучения дифференциальных уравнений с групповой точки зрения. Такое изучение является в известном смысле вынужденным ввиду следующего обстоятельства. По мере развития самой математики и по мере увеличения числа тех областей естествознания и техники, где математика находит широкие приложения, росло число специальных функций и различных относящихся к ним фактов. В то же время происходила резкая переоценка роли отдельных классов функций, а это приводило к тому, что целые поколения математиков-прикладников были начисто лишены необходимых знаний в отдельных областях теории специальных функций. Учитывая, что для непосвящённого читателя теория специальных функций представляется кошмарным набором сложных формул, возникает большое желание навести порядок во всём этом таком сложном, но и таком чрезвычайно важном разделе математики. К счастью, эта задача не представляется столь уж безнадёжной, и здесь прежде всего могут помочь методы теории групп и алгебр Ли и их представлений.

В предлагаемой монографии развит один из возможных подходов к вопросу о разделении переменных в ряде классических уравнений математической физики, основанный на изучении алгебры Ли симметрии уравнения и на теории представлений этой алгебры Ли. В результате не только находятся все системы координат, в которых уравнение допускает разделение переменных, но и получается целый ряд соотношений из теории специальных функций. В частности, таким образом получаются различного рода производящие функции для различных классов специальных функций, теоремы сложения и т.п. Автор рассмотрел довольно большой набор специальных функций, включающий и функции, не принадлежащие к гипергеометрическому типу. Нам представляется, что специалисту по прикладной математике, использующему специальные функции, будет полезно владение изложенными в данной монографии алгебраическими навыками работы с ними, равно как и умение работать со специальными функциями с помощью ЭВМ. Но это уже иной аспект теории специальных функций.

Монография входит в известную «Энциклопедию математики и её приложений», которая выпускается издательством «Эддисон–Уэсли» под общей редакцией Дж.-К. Роты, и открывает серию, посвящённую специальным функциям. Цели этого собрания книг и его структура описаны в следующих ниже предисловиях редактора Энциклопедии и редактора серии.

Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому явлению природы. Эти факты, иногда сформулированные явно в виде теорем, иногда упоминаемые по ходу доказательств, составляют основную часть приложений математики и будут существовать всегда, несмотря на изменчивость направлений и интересов в данной науке.

Цель настоящей Энциклопедии — постараться осветить все области математики. От каждого автора требуется ясное и чёткое изложение материала, доступное для понимания широкого круга читателей, а также подробная библиография. Тома Энциклопедии объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий время от времени будет пересматриваться и корректироваться.

Мы надеемся, что наше смелое предприятие будет способствовать ещё более широкому применению математики не только там, где без неё нельзя обойтись, но даже в тех областях, где её следовало бы применять и где из-за недостатка информации это пока почти не делается.

Всем, кто хоть раз пытался решить какое-либо дифференциальное уравнение, известно, что такое разделение переменных. Обычно этот метод представляется как множество всяческих ловких приёмов, лежащих на грани математики.

Профессор Миллер в своей монографии дал первое систематическое изложение этого метода; в ней раскрыта тесная связь процесса разделения переменных с одним из основных разделов современной математики и математической физики, а именно с теорией алгебр Ли.

Этот том открывает серию, посвящённую теории специальных функций, с которыми математикам приходится сталкиваться в приложениях.

Этот том открывает серию книг, авторы которых пытаются показать, как и почему во многих приложениях математики появляются специальные функции. Элементарные трансцендентные функции, такие, как экспоненциальная функция, её обратная (логарифмическая) и тригонометрические функции, входят в число рабочих инструментов не только математиков, но и большинства специалистов, использующих математику в своей работе. Было время, когда каждый математик в совершенстве знал теорию высших трансцендентных функций. Так, например, во второй половине XIX столетия появилось поразительное количество книг, посвящённых эллиптическим функциям, а на выпускных экзаменах в университетах постоянно предлагались сложные задачи на доказательство различных фактов, относящихся к функциям Бесселя и функциям Лежандра. Теперь эти функции и другие исключительно полезные специальные функции известны не столь широкому кругу специалистов; это привело к тому, что возникающие в приложениях важные специальные функции вот уже в течение двадцати пяти с лишним лет изучаются людьми, не подозревающими, что многие открытые ими факты были установлены около ста лет тому назад.

За последние сорок лет нечто подобное произошло с так называемыми (3–j)-символами. С этими функциями приходится сталкиваться при исследовании разложения прямого произведения двух неприводимых представлений группы SU(2). Поскольку гипергеометрические ряды известны не столь широко, как следовало бы, только недавно было обнаружено, что одно из соотношений ортогональности для (3–j)-символов является не чем иным, как соотношением ортогональности для некоторого семейства многочленов, полученным Чебышёвым ещё в 1875 году. Для этих многочленов Чебышёв предложил несколько полезных формул, до сих пор не появившихся в физической литературе, к которой относится большинство работ, посвящённых (3–j)-символам. Подобным же образом соотношение симметрии для (3–j)-символов, полученное Регге в 1958 году, было предложено в 1923 году Уипплом, а ещё ранее — в 1879 году — Томэ. Первые операторы симметрии для этих функций были найдены в 1836 году Куммером. Можно было бы не беспокоиться о том, что старые результаты забываются, если бы получать такие результаты было легко и просто и если бы это было по плечу каждому, кто в них нуждается. Однако довольно часто дело обстоит совсем иначе, а для соотношения симметрии Регге это можно утверждать с полной уверенностью. В период с 1930 по 1958 годы многие специалисты занимались изучением (3–j)-символов, но никто из них не смог получить эту симметрию.

От недостатка обмена информацией между математиками и специалистами, применяющими математику в своей работе, страдают обе стороны, что можно показать на простом примере. В 1942 году Рака опубликовал важное соотношение ортогональности для функций, которые мы теперь называем (6–j)-символами или коэффициентами Рака. Он также установил важное представление для этих функций в виде однократной суммы, обычно же эти функции представляются в виде четырёхкратных сумм. Подставляя представление в виде однократной суммы в соотношении ортогональности Рака и применяя к (6–j)-символу формулу преобразования Уиппла (кстати, Рака переоткрыл эту же формулу), можно получить новое семейство ортогональных многочленов, совершенно не упоминаемое в математической литературе. В действительности положение было намного хуже: это семейство ортогональных многочленов не только не было открыто, но имелся ряд теорем, которые, казалось бы, утверждали, что существующее множество ортогональных многочленов от одной переменной является полным множеством всех ортогональных многочленов от одной переменной, которые можно представить в явном виде. Такое утверждение, как показал Рака на примере предложенных им многочленов, было ошибочным.

Этот случай должен послужить хорошим уроком, и из него следует сделать очень важный вывод: для того чтобы математика не превратилась в разрозненный набор отдельных узких областей, необходимы тесные контакты между специалистами по её различным разделам. Цель настоящей серии книг — попытаться показать, как различные разделы математики связаны между собой и как эту связь можно использовать для решения проблем, представляющих интерес для специалистов в различных областях.

В оставшейся части этого предисловия мы дадим краткий обзор современных взглядов на специальные функции. Поскольку имеется довольно много важных специальных функций, мы в своём обзоре будем рассматривать специальные функции примерно в том порядке, в котором они были открыты. Многих, возможно, удивит тот факт, что современный взгляд на некоторые вопросы почти не претерпел никаких изменений с того момента, когда были получены первые серьёзные результаты. Мы придерживаемся современного стиля изложения, но большинство идей, которыми мы пользуемся, было предложено давным-давно.

В приложениях наиболее важными специальными функциями оказываются гипергеометрические функции. Обобщённый гипергеометрический ряд имеет вид

∞
∑	cn,
n=0

причём c_n+1/c_n — рациональная функция от n. Эта рациональная функция, как правило, представляется в виде произведения

так что

Сдвинутый факториал (a)_n определяется соотношениями

и поэтому ∑ c_n можно записать в следующем виде:

	∞
pFq(a1, ..., ap; b1, ..., bq; x) =	∑	(a1)n ... (ap )n (b1)n ... (bq )n	·	xn   n!	.
	n=0

Этот ряд сходится для всех комплексных x при p ≤ q и для |x| < 1 при p=q+1. Имеют место следующие частные случаи:

	∞
exp(x) = 0F0(x) =	∑	xn   n!	,
	n=0

	∞
(1 – x)–a = 1F0(a; –; x) =	∑	(a)n   n!	xn     (|x| < 1),
	n=0

Последняя формула имеет особенное значение, так как она наводит на мысль о том, что параметры, входящие в гипергеометрические ряды, не просто дают нам возможность отличать один ряд от другого, а могут играть более важную роль в изучении гипергеометрических рядов. Первым понял это, вероятно, Гаусс. Мы ещё вернёмся к результатам Гаусса, но сначала познакомимся с установленными Валлисом и Эйлером более ранними результатами, которые помогут нам понять, почему последняя формула справедлива.

Когда рассматривается биномиальное разложение, приходится сталкиваться с факториалом n! = 1·2·...·n. Наиболее простым обобщением n! является сдвинутый факториал (a)_n, определённый нами выше. Ясно, что n! = (1)_n, но это не даёт ответа на интересный вопрос, что же такое (½)! ? На этот вопрос ответил Эйлер после того, как он ввёл функцию Γ(x). Первоначальное выражение, предложенное Эйлером, имело вид бесконечного произведения, но он дал и интегральное представление, эквивалентное следующему:

	∞
Γ(x) =	∫	e–ttx–1 dt.
	0

Вывод свойств функции Γ(x) всегда начинается с исследования этого интеграла, но следует сказать несколько слов в защиту произведения Эйлера и других формул, определяющих гамма-функцию сразу для всех x, а не только для тех значений x, для которых Re x > 0, как в указанном выше интеграле. Одна из таких формул имеет вид

		∞
1 Γ(x)	= xeγx	∏	(	1 +	x  n	)	e–x/n,
		n=1

где

Другая формула, полученная Эйлером, но обычно приписываемая Гауссу, записывается следующим образом:

Применяя гамма-функцию, Эйлер вычислил интеграл, определяющий бета-функцию:

	1
Β(x, y) =	∫	tx–1(1–t)y–1 dt
	0

и получил

Легко видеть, что отсюда вытекает соотношение Γ(½) = √π. И действительно, первоначальная формула Эйлера для гамма-функции сводится при x = ½ (после некоторых простых алгебраических преобразований) к бесконечному произведению Валлиса для π.

В XIX веке было предложено много различных интегральных представлений для функции Γ(x), а Ганкель доказал [В отечественной литературе эта теорема называется теоремой Гёльдера. — Прим. ред.], что эта функция не может удовлетворять никакому дифференциальному уравнению с алгебраическими коэффициентами. Она удовлетворяет разностному уравнению Γ(x+1) = xΓ(x), но это условие не является достаточно строгим для того, чтобы определить Γ(x). Естественное условие, в силу которого мы имеем единственное решение и которое было установлено Бором и Моллерупом, состоит в следующем: функция ln Γ(x) является выпуклой при x→0. Современное поколение математиков проявляет большой интерес к структурным условиям, и данная теорема является прекрасным образцом результатов, которым современные математики дают высокие оценки. Теорема эта очень красива, но не следует забывать, что истинная причина, почему мы проявляем повышенный интерес к гамма-функции и детально изучаем её, заключается в том, что она чрезвычайно полезна. Она встречается столь часто, что мы просто вынуждены заниматься ею. Это как раз один из многих примеров того, как математическая эстетика и полезность совместно указывают нам путь исследования. Почему это происходит, всё ещё остаётся тайной.

Изучение факториала и гамма-функции привело к развитию целого ряда основных математических идей, нашедших применение в различных областях науки. Одним из наиболее полезных достижений явилось введение понятия асимптотического разложения. Стирлинг нашёл способ вычисления n! при больших n. Полученный им ряд не сходится, но при помощи этого ряда можно получить очень точные значения n!. Используя формулу Эйлера

можно получить аналитическое продолжение гамма-функции из области Re x > 0 в область Re x < 1, x ≠ 0, –1, ... . Та же формула вместе с одним из бесконечных произведений для Γ(x) даёт произведение Эйлера

		∞
sin πx  πx	=	∏	(	1 –	x²  n²	)	.
		n=1

Это произведение, а также произведение, полученное нами выше для 1/Γ(x), и некоторые произведения для эллиптических функций и тэта-функций, о которых речь пойдёт ниже, привели Вейерштрасса к его теореме о разложении целых функций в произведение, а логарифмическая производная от произведения Вейерштрасса привели Миттаг-Лефлера к его теореме разложения для мероморфных функций.

Вернёмся к гипергеометрическому ряду. Гаусс показал, что

∞
∑	(a)n (b)n (c)n n!	= 2F1(a, b; c; 1) =	Γ(c – a – b) Γ(c) Γ(c – a) Γ(c – b)	,       Re (c–a–b) > 0.
n=0

При c = ½, a = x, b = –x эта формула принимает вид

Первым функцию ₂F₁(a, b; c; x) в общем случае изучил Эйлер. Он получил дифференциальное уравнение второго порядка, которому эта функция удовлетворяет, дал формулу преобразования

и интегральное представление

		1
2F1(a, b; c; x) =	Γ(c) Γ(b) Γ(c – b)	∫	(1–xt)–a tb–1(1–t)c–a–1 dt.
		0

Пфафф, занимаясь посмертным изданием работ Эйлера, нашёл ещё две формулы преобразований. Он получил обе формулы для случая, когда ряд конечен, но одна формула легко переносится на случай бесконечного ряда. Это следующие формулы:

и

2F1(–n, b; c; x) =

(c – b)n (c)n

2F1(–n, b; b–n+1–c; 1 – x)  ,     n = 0, 1, ... .

Используя первую формулу, Эйлер рассмотрел целый ряд примеров преобразований рядов, ускоряющих сходимость. Например, при x = –1 ряд ₂F₁(a, b; c; –1) сходится медленно, а ряд ₂F₁(a, c–b; c; ½) — гораздо быстрее. В век, когда вычисления выполняются легко и сравнительно недорого, нам трудно представить себе, как желание что-либо вычислить могло стимулировать столько математических исследований. Эти формулы преобразований вместе с преобразованием Эйлера были первыми из немногих открытых за последние два столетия формул преобразований обобщённых гипергеометрических рядов. Ещё одной формулой преобразований является полученная Регге формула симметрии для упомянутых ранее (3–j)-символов. Гаусс нашёл правильное обобщение второй формулы преобразований Пфаффа на случай бесконечного ряда. Если в множителе

заменить –n на a, то, как можно догадаться, этот множитель примет вид

но это не единственное изменение: следует добавить ещё один член.

Гаусс занимался исследованием результатов и иного вида. Он считал два гипергеометрических ряда смежными, если все их параметры, за исключением одного, совпадают, а несовпадающие параметры различаются на единицу. Он показал, что функция общего вида ₂F₁(a, b; c; x) и две смежные с ней функции ₂F₁ линейно независимы. В силу симметрии функции ₂F₁(a, b; c; x) по a и b имеется девять таких соотношений. Эти соотношения для смежных функций можно итерировать и таким образом показать, что любые три функции ₂F₁(a+j, b+k; c+l; x), где j, k, l — целые числа, будут линейно независимыми. Поскольку

легко видеть, что дифференциальное уравнение Эйлера для ₂F₁(a, b; c; x) можно представить в виде одного из этих итерированных соотношений для смежных функций. Это разностное уравнение было дано Гауссом в конце его единственной опубликованной работы по гипергеометрическим функциям. В своей второй работе, которая так и не была издана при его жизни, Гаусс, рассматривая это уравнение как дифференциальное уравнение, получил большую часть явных формул, которые можно вывести непосредственно из этого уравнения. К ним относятся квадратичные преобразования, играющие очень важную роль в целом ряде проблем. Чтобы лучше понять значение этих преобразований, необходимо напомнить ещё о двух важных открытиях XVIII века.

Первым из них было изучение эллиптических интегралов, которыми занимались Фаньяно, Эйлер, Ланден и Лежандр, а также введение Лагранжем и Гауссом понятия арифметико-геометрического среднего. Вторым открытием было введение Лежандром и Лапласом сферических функций и многочленов Лежандра. Исследование эллиптических интегралов привело к эллиптическим функциям, которыми последние три четверти XIX века интенсивно занимались Абель, Якоби, Эйзенштейн, Вейерштрасс, Эрмит и многие другие. Второе открытие непосредственно связано с некоторыми алгебраическими подходами к исследованию специальных функций, которые были разработаны за последние пятьдесят лет. Миттаг-Лефлер [7] дал прекрасный исторический обзор первых работ по эллиптическим интегралам. В этой работе описывается преобразование Ландена в том виде, в каком его дал Лагранж; Миттаг-Лефлер приводит также квадратичные преобразования Гаусса эллиптических интегралов первого рода. Интерес Лагранжа к эллиптическим интегралам объяснялся его желанием вычислить величину некоего важного интеграла. Гаусс сначала исследовал последовательности a_n+1 = (a_n + b_n)/2, b_n+1 = (a_nb_n)^1/2 заметив, что они сходятся, он нашёл величину, к которой они сходятся при a₀ = √2, b₀ = 1, и наконец вычислил предел в общем виде. Используя этот результат, Гаусс получил ещё два результата, а именно ввёл лемнискатические функции, являющиеся специальными эллиптическими функциями, и ввёл два квадратичных преобразования общего вида обыкновенной гипергеометрической функции ₂F₁(a, b; c; x) с различными ограничениями на один из параметров. Эти функции образуют очень важный подкласс функций ₂F₁ общего вида, поскольку, будучи умноженными на соответствующую алгебраическую функцию, они в точности составляют класс гипергеометрических рядов, которые мы называем функциями Лежандра.

Многочлены Лежандра интенсивно изучались в восьмидесятых годах XVIII века Лежандром и Лапласом. Эти многочлены были введены следующим образом. Функция (c² – 2cr cos θ + r²)^–1/2 даёт значение в точке P потенциала силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра C; здесь r и c — расстояния от P и C до фиксированной точки O, а θ — угол между отрезками PO и OC. Разлагая эту функцию в степенной ряд по r, получаем

		∞
1  √c² – 2cr cos θ + r²	=	∑	Pn(cos θ)	rn cn+1	,
		n=0

где P_n(x) — многочлен степени n от x, называемый многочленом Лежандра. Лежандр и Лаплас вывели для этих многочленов следующие формулы:

1  ∫   Pn (x)Pm (x) dx =  2  2n + 1  δn,m. –1

(L.1)

π  ∫   Pn (cos θ)Pm (cos θ) sin θ dθ =  2  2n + 1  δn,m. 0

(L.1a)

π  Pn (cos θ) =  1 π  ∫  [cos θ + i sin θ cos φ]n dφ. 0

(L.2)

π  Pn (cos θ)Pn (cos φ) =  1 π  ∫  Pn (cos θ cos φ + sin θ sin φ cos Ψ) dΨ. 0

(L.3)

(1 – x2)y″ – 2xy′ + n(n + 1)y = 0,       y = Pn (x).

(L.4)

Присоединённые функции Лежандра определяются соотношениями

Ещё раньше Лагранж получил эти же многочлены как решения разностного уравнения

Каждая из приведённых выше формул — только одна из обширного класса формул для специальных функций более общего вида. Чтобы продемонстрировать эти формулы, мы ниже приведём соответствующие результаты для тригонометрических функций, а затем укажем условия их применения. Поскольку cos nθ — многочлен степени n от cos θ, рассмотрим функцию T_n(cos θ), определяемую соотношением T_n(cos θ) = cos nθ:

1  ∫  Tn (x)Tm (x)  √1 – x²  dx = π  1 + δn,0 2   δn,m. –1

(T.1)

π  ∫  cos nθ cos mθ dθ = π  1 + δn,0 2   δn,m. 0

(T.1a)

cos nθ =  einθ + e–inθ 2  .

(T.2)

cos nθ cos nφ =  cos n(θ+φ) + cos n(θ–φ) 2  .

(T.3)

(1–x2)y″ – xy′ + n2y = 0,       y = Tn(x).

(T.4)

u″(θ) + n2u(θ) = 0,       u = cos nθ.

(T.4a)

cos n(θ+φ) = cos nθ cos nφ – sin nθ sin nφ.

(T.5)

d cos nθ dθ  = – n sin nθ, d cos nθ d cos θ  =   dTn (x) dx  =  n sin nθ sin θ  = nUn–1 (x),       x = cos θ.

(T.6)

2cos θ cos nθ = cos (n–1)θ + cos (n+1)θ.

(T.7)

xT0 (x) = T1 (x), xTn (x) =  Tn+1(x) + Tn–1(x) 2  ,       n = 1, 2, ... .

(T.7a)

Соотношения ортогональности (L.1) и (T.1) являются фундаментальными. Поскольку P_n (x) и T_n (x) — многочлены, эти многочлены ортогональны. Для любого семейства многочленов от одной переменной, ортогонального относительно некоторой положительной меры, выполняется трёхчленное рекуррентное соотношение

где A_n–1C_n > 0 и B_n — вещественная величина. Обратно, любое множество многочленов, удовлетворяющих этому рекуррентному соотношению, ортогонально относительно некоторой положительной меры, если A_n–1C_n > 0 и B_n — вещественная величина. Если A_n–1C_n > 0 (n = 1, 2, ..., N) и A_NC_N+1 = 0, то эти многочлены ортогональны относительно положительной меры, носитель которой состоит лишь из конечного числа точек. Данное рекуррентное соотношение напоминает одно из соотношений Гаусса для смежных функций ₂F₁; в ряде случаев можно показать, что это соотношение является вариантом одной из формул Гаусса или итерацией этих формул. В других случаях получаются иные гипергеометрические ряды: либо ₃F₂(a, b, c; d, e; 1), либо ₄F₃(–n, n+a, b, c; d, e, f; 1), где a+b+c+1=d+e+f, удовлетворяющие соотношениям для смежных функций более общего вида, которые приводят к ортогональным многочленам. Теперь переменная многочлена стоит на месте одного из параметров или нескольких параметров, а не является переменной степенного ряда. По этой причине, а также в силу нашего исключительного интереса к степенным рядам изучением и применением этих многочленов стали заниматься с некоторым опозданием.

Одна из причин, объясняющих полезность функций cos θ и sin θ, состоит в их тесной связи с окружностью. Для доказательства формулы (T.5) самым простым способом надо сделать поворот окружности. Такое доказательство было дано Коши. Подобным же образом, чтобы доказать формулу сложения (L.5) для P_n (x) надо рассмотреть группу поворотов, действующую на сфере в R³.

Чтобы разобраться в ситуации, рассмотрим сначала окружность. Функцию  f (θ), 0 ≤ θ ≤ 2π,  f (0) =  f (2π), можно разложить в ряд Фурье

			∞
f(θ) ~	a0 2	+	∑	(an cos nθ + bn sin nθ),
			n=1

где

		π			π
an =	1  π	∫	f (θ) cos nθ dθ,       bn =	1  π	∫	f (θ) sin nθ dθ.
		–π			–π

Это разложение можно использовать для построения гармонической функции u(x, y) в круге x² + y² < 1, принимающей заданные значения на границе. Пусть

			∞
u(x, y) =	a0 2	+	∑	rn (an cos nθ + bn sin nθ),
			n=1

где x = r cos θ,  y = r sin θ. Тогда u(x, y) будет гармонической функцией, т.е.

и

lim	u (r cos θ, r sin θ) =  f (θ),
r → 1–

если функция  f (θ) непрерывна при 0 ≤ θ ≤ 2π.

Подобная задача существует и для трёх переменных, и решается она аналогичным образом. Прежде всего необходимо найти семейство функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа

в шаре x² + y² + z² < 1. Для этого вводятся сферические координаты x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π, а затем находятся решения уравнения Лапласа вида a(r)b(θ)c(φ). Можно взять a(r) = rⁿ, c(φ) = cos kφ или c(φ) = sin kφ и b(θ) = P_n^k(cos θ). Функции rⁿ cos nφ = Re(x+iy)ⁿ и rⁿ sin nφ = Im(x+iy)ⁿ являются однородными многочленами от x и y степени n. Подобным образом rⁿ P_n^k(cos θ) cos kφ и rⁿ P_n^k(cos θ) sin kφ k = 0, 1, ..., n, являются однородными гармоническими линейно независимыми многочленами от x, y и z степени n. Существует 2n + 1 таких многочленов, и именно это число стоит в знаменателе в формуле (L.1). Подобным образом функции rⁿ cos nθ и rⁿ sin nθ линейно независимы при n = 1, 2, и во всех этих случаях существуют обе функции; если же n = 0, то имеется только одна из этих функций. Этим обстоятельством объясняется вид дробей в правой части (T.1). Далее, при помощи этих однородных гармонических многочленов гармоническая функция в шаре x² + y² + z² < 1 с заданными граничными значениями строится точно так же, как и в случае окружности, поскольку функции P_n^k(cos θ) cos kφ и P_n^k(cos θ) sin kφ,  k = 0, 1, ..., n,  n = 0, 1, ..., образуют полную ортогональную систему.

Формула (L.3) является основным функциональным уравнением, которому удовлетворяет зональная сферическая гармоника степени n на S ² («зональная» означает «не зависящая от угла φ»); зональные сферические гармоники мы называем сферическими функциями. При более общей постановке вопроса необходимым условием возникновения таких сферических функций является наличие метрического пространства и группы G, действующей на этом пространстве. Это пространство должно быть однородно в том смысле, что в результате действия группы любая точка отображается в любую другую точку. Кроме того, это пространство должно обладать следующим свойством: если d(x₁, y₁) = d(x₂, y₂), то имеется элемент g Î G, такой, что g(x₁) = x₂, g( y₁) = y₂. О таких пространствах говорят, что они двуточечно однородны. Кроме сферы в R³ и сфер любой размерности, вещественные проективные пространства, комплексные проективные пространства, кватернионные проективные пространства, а также двумерное проективное пространство над числами Кэли являются компактными двуточечно однородными римановыми многообразиями. Во всех этих случаях сферические функции являются ортогональными многочленами от переменной, зависящей от расстояния. Каждый из этих ортогональных многочленов является также гипергеометрической функцией вида ₂F₁(–n, n+a; b; x) при некоторых a и b. Меру sin θ dθ в случае (L.1a) даёт размер орбиты малой дуги dθ, получающийся в результате поворота, при котором северный полюс неподвижен.

Имеются и другие компактные двуточечно однородные пространства. Для наглядности рассмотрим множество вершин единичного куба в Rⁿ. В этом случае сферические функции также являются ортогональными многочленами, причём ортогональны они относительно симметрического биномиального распределения (Nx)2^–N, x = 0, 1, ..., N, поскольку это распределение даёт размер орбиты любой точки с x нулями и N–x единицами, получаемый в результате действия на это пространство октаэдральной группы, оставляющей неподвижной точку (0, 0, ..., 0). Эти ортогональные многочлены также являются гипергеометрическими функциями ₂F₁(–n, –x; –N; 2), x, n = 0, 1, ..., N, а связывающее их трёхчленное рекуррентное соотношение является одним из соотношений Гаусса для смежных функций. Эти многочлены называются многочленами Кравчука (хотя введены они были почти сто лет тому назад Грэмом) и играют важную роль в теории кодирования, которой посвящён третий том настоящей Энциклопедии («Теория информации и кодирования»).

Дифференциальные уравнения (L.4), (T.4) и (T.4a) получаются при решении уравнения Лапласа методом разделения переменных. Формулы сложения (L.5) и (T.5) относятся к наиболее важным из известных для этих функций формул. Для большинства двуточечно однородных пространств, где для сферических функций найдены явные формулы, имеется формула сложения, являющаяся неким ортогональным разложением и содержащая функциональное уравнение в качестве постоянного члена. Например, проинтегрировав (L.5) по отрезку [0, π] по мере dΨ и применив формулу (T.1a), мы получим (L.3). Наиболее естественный способ вывода формул сложения этого типа состоит в том, что мы используем действие группы на это пространство. Фактически этим же методом пользовались Лежандр и Лаплас двести лет тому назад.

Другим важным классом функций, введённым в XVIII столетии, являются функции Бесселя. Функции Бесселя первого рода J_α(x) можно определить следующим соотношением:

	∞
Jα(x) =	∑	(–1)n (x/2)2n+α  Γ(n+α+1) n!	=	(x/2)α  Γ(α+1)	0F1(–; α+1; –x2/4).
	n=0

После элементарных трансцендентных функций эти функции изучались наиболее интенсивно и нашли применение во многих областях, где применяется математика. Они тесно связаны с функциями Лежандра, и изучением этой связи занимались многие учёные. Простым примером такой связи является формула Мелера

Эту формулу можно интерпретировать следующим образом: будем рассматривать многочлены Лежандра как сферические функции на сфере большого радиуса и посмотрим, что происходит в окрестности северного полюса. Сфера при этом уплощается, и это наводит на мысль, что функция J₀(z) должна играть ту же роль в R², что и функция P_n(cos θ) на S ². Аналоги зональных функций называются радиальными функциями, т.е. функциями, зависящими только от расстояния от начала координат. Пуассон установил следующий важный факт: если  f (ξ, η) = g(√ξ² + η²) и

	∞	∞
F(x, y) =	∫	∫	ei(xξ+yη) f (ξ, η) dξ dη,
	–∞	–∞

то

	∞
F(x, y) = G(√x² + y²)     и     G(r) = 2π	∫	g(ρ) ρJ0(rρ) dρ.
	0

Следующим важным этапом в исследовании специальных функций было введение Якоби и Абелем эллиптических функций и тэта-функций. (Исторический обзор можно найти в работе Миттаг-Лефлера.) После введения этих функций был сделан целый ряд открытий, которые позволили несколько изменить наш взгляд на этот предмет. Важным достижением было введение Гейне класса рядов, аналогичных гипергеометрическим рядам. Напомним, что гипергеометрическим рядом называется ряд ∑ c_n, где c_n+1/c_n — рациональная функция от n. Ряды, введённые Гейне, имеют вид ∑ c_n, где c_n+1/c_n — рациональная функция от qⁿ для некоторого фиксированного q. Роль, которую в гипергеометрическом ряде играет сдвинутый факториал (a)_n, теперь исполняет

Если |q|<1, то

	∞
(a; q)∞ =	∏	(1 – aqn),
	n=0

а

определяется для нецелочисленных значений n, пока имеет место соотношение aq^n+k ≠ 1, k = 0, 1, ... . Эйлер вычислил два ряда

∞					∞
∑	xn (q; q)n	=	1  (x; q)∞	,	∑	(–1)n	qn(n–1)/2 xn (q; q)n	= (x; q)∞.
n=0					n=0

Эти равенства суть частные случаи q-биномиальной теоремы

∞
∑	(a; q)n (q; q)n	xn =	(ax; q)∞ (q; q)∞	,
n=0

приписываемой различным учёным. Гейне получил этот результат, когда предложил основной аналог функции ₂F₁(a, b; c; x) в 1847 году, Коши опубликовал доказательство несколькими годами ранее, а Якоби ссылается на работу Швейнса 1820 года. Эта формула приводится в работе Швейнса, но последний ссылается на более раннюю работу Роте. К сожалению, я не знаком с работой Роте и не могу подтвердить, что эта теорема действительно была известна уже в 1811 году, как утверждает Швейнс; впрочем, вполне вероятно, что он прав, так как в 1811 году Гаусс опубликовал формулы, связанные с этим результатом.

Одним из наиболее важных рядов является ряд

∞
∑	qn² xn = (q2; q2)∞ (–qx; q2)∞ (–qx–1; q2)∞,
n=–∞

сумма которого представляет собой известную тэта-функцию. Этот результат был не первым примером билатерального ряда (ряда, бесконечного в обоих направлениях), поскольку

		n
π ctg πz =	lim	∑	1  z – m	=
	n → ∞	m=–n

	∞							∞
=	∑	(	1  z – m	–	1  ½ – m	)	=	∑	½ – z (z – m)(½ – m)
	m=–∞							m=–∞

и

		∞
π2 sin2 πz	=	∑	1  (z – n)2	,
		n=–∞

тем не менее это было весьма плодотворным открытием. Первоначально Якоби, исследуя эллиптические функции в Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (1829 год), получил результаты для тэта-функций (как следствия результатов для эллиптических функций). Позднее он обратил эту процедуру и использовал тэта-функции, чтобы получить результаты для эллиптических функций. Функция ∑ q^n²xⁿ появилась в работе Фурье, посвящённой анализу уравнения теплопроводности, а Пуассон получил очень важное преобразование этой функции, но тот факт, что эта функция является фундаментальной, установил и объяснил Якоби. Недавно для этой функции были получены новые результаты, позволяющие применить к ней теоретико-групповые методы исследования, подобные тем, которые были указаны нами выше. Соответствующей группой является трёхмерная группа Гейзенберга, т.е. группа матриц

(см. работу Картье [5], а также Ауслендера и Толимьери [1]).

Другими примерами аналогов гипергеометрических рядов являются многочлены, получающиеся как сферические функции на дискретных двуточечно однородных пространствах в результате действия на эти пространства некоторых групп Шевалле. Пока ещё рано говорить, какое значение будут иметь эти функции, но я твёрдо уверен, что, развивая эту идею, мы получим важные результаты. В XIX столетии эллиптические функции были исследованы самым подробным образом и, казалось бы, заняли определённое место в математическом образовании. Усилия учёных постигнуть смысл этих функций породили много идей. Однако сами эти функции оказались не столь полезными, как можно было ожидать, и поэтому их место в общепринятых программах обучения математике заняли другие, представляющиеся более полезными понятия, и в течение десятилетий эллиптические функции были известны лишь ограниченному кругу учёных-теоретиков, некоторым специалистам, занимающимся прикладными вопросами, и немногим инженерам. В настоящее время каждый, кто изучает и применяет комбинаторный анализ, стремится узнать как можно больше об упомянутых выше аналогах гипергеометрических рядов. Сюда можно отнести специалистов в области статистики, занимающихся блочным планированием, и многих специалистов, которые изучают и применяют в своей работе вычислительные алгоритмы. Эти ряды играют важную роль в теории разбиений, которой посвящён второй том («Теория разбиений») настоящей Энциклопедии.

Большим вкладом в развитие учения о специальных функциях в прошлом столетии было введение дифференциальных уравнений более чем с тремя регулярными особыми точками. Риман заметил, что дифференциальное уравнение Эйлера

имеет регулярные особые точки в x = 0, 1, ∞ и что при помощи дробно-линейного преобразования эти особые точки можно переместить в три произвольные точки. Полученное в результате дифференциальное уравнение определяется положением этих особых точек и некоторыми параметрами, характеризующими природу решений в окрестности этих точек. Риман показал простой способ получения результатов Гаусса, Куммера и некоторых результатов Якоби, относящихся к гипергеометрическим рядам, и нашёл кубическое преобразование, которое до сих пор ещё по-настоящему не понято. Однако истинная ценность его работы состоит в установлении того факта, что особые точки дифференциального уравнения дают гораздо больше информации о его решении, чем это предполагалось. Впоследствии были предложены и другие дифференциальные уравнения, например уравнения Хойна, Матье, Ламе и уравнения для сфероидальных волновых функций, часто получающиеся при разделении переменных в волновом уравнении или уравнении Лапласа, вследствие которого эти уравнения сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решения этих уравнений являются интересными специальными функциями, значительно более сложными, чем гипергеометрические функции. До сих пор всё ещё непонятно, какой подход к изучению этих функций является наилучшим, и можно надеяться, что алгебраические методы, предлагаемые Миллером в его книге, дадут нам возможность действительно понять эти важные функции.

Аппель ввёл гипергеометрические функции от двух переменных и установил для них результаты, аналогичные некоторым результатам, полученным для обычных гипергеометрических функций. Однако, несмотря на то что мы обладаем рядом методов, позволяющих плодотворно исследовать некоторые аспекты этой проблемы, истинное понимание гипергеометрических функций от двух переменных остаётся делом будущего.

Пинчерле, а впоследствии Меллин и Варне предложили новый способ изучения гипергеометрических рядов и функций. Они проинтегрировали отношения гамма-функций и без труда получили аналитические продолжения гипергеометрических функций. Интегралы рассмотренного ими вида встречаются во многих работах, начиная с ранней работы Мелера, посвящённой проблемам теории электричества с конической симметрией, и кончая работой Баргманна о представлениях группы Лоренца.

Пуанкаре, исследуя автоморфные функции, получил важные обобщения эллиптических функций. Было предложено несколько способов обобщения этих функций на несколько переменных. Одним из наиболее плодотворных из них оказался предложенный Зигелем метод, в котором используются функции матричного аргумента. Гамма-функции от матричного аргумента были введены несколько раньше Ингамом в связи с его работами по статистике. С точки зрения специальных функций, используемых в прикладной математике, основную пользу от автоморфных функций, возможно, мы получим в виде методов, которые могут быть применены для развития теории функций от многих переменных; хотя теория гипергеометрических функций и аналогичных им функций Гейне от нескольких переменных почти не разработана, мы имеем достаточно результатов, чтобы понять, что можно получить ещё много фундаментальных результатов. Хорошим примером может служить недавно вышедшая работа Макдональда, посвящённая соотношениям, подобным тройному произведению для тэта-функции, которые он получил из аффинных систем корней классических алгебр Ли. Как гипергеометрические функции от нескольких переменных можно рассматривать интегралы Фейнмана (см. [4]), а также (3n–j)-символы, применяющиеся для разложения тензорных произведений представлений группы SU(2) [2]. И те и другие очень полезны и тем не менее ещё мало исследованы. Таким образом, положение в этой области математики нисколько не отличается от положения в других областях этой науки; необходимо как можно быстрее ответить на все вопросы, связанные со специальными функциями от многих переменных.

До сих пор мы не дали определения термина «специальная функция». Я даю простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция называется специальной, если она встречается настолько часто, что ей присваивается название. Имеется целый ряд очень важных специальных функций, которые не укладываются в изложенную выше схему, например дзета-функция Римана, которая играет основную роль в изучении простых чисел и в решении многих других теоретико-числовых проблем. Другим примером таких функций могут служить многочлены Бернулли и числа Бернулли. Числа Бернулли были введены в целях вычисления рядов, а теперь они часто встречаются в совершенно неожиданных ситуациях.

Гарри Бейтмен составил список более чем тысячи специальных функций. И, хотя многие из этих функций являются частными случаями гипергеометрических рядов и нет никаких оснований присваивать им особые названия, поскольку все установленные для этих функций факты являются частными случаями результатов, известных для гипергеометрических рядов более общего вида, совершенно очевидно, что многие функции заслуживают того, чтобы о каждой из них были написаны отдельные книги. Некоторые из этих функций обладают столь интересными свойствами и встречаются настолько часто, что каждое поколение математиков непременно заново начинает исследовать их и регистрировать полученные результаты, с тем чтобы ими могли пользоваться другие. Пока нельзя точно сказать, какие книги по специальным функциям выйдут в настоящей серии, но в настоящее время не существует надлежащего подхода к гипергеометрическим рядам и их аналогам, введённым Гейне. Имеется несколько работ [3, 6, 8], в которых применяется алгебраический подход к исследованию специальных функций, но ни в одну из них не включены очень интересные исследования унитарной группы, которые приводят к формулам сложения для многочленов Якоби и Лагерра и для круговых многочленов, образующих важный класс ортогональных многочленов от двух переменных. Дискретные ортогональные многочлены тоже рассматриваются неадекватным образом. Всё это — материал для будущих книг.

Существует также ряд очень интересных приложений специальных функций к комбинаторным задачам, лишь частично рассмотренных в упомянутых выше втором и третьем томах настоящей Энциклопедии. И подождём дальнейших открытий. Опыт подсказывает, что нас ожидают удивительные открытия в этой области математики. Такие открытия можно предсказывать ретроспективно, но не заранее.

Список литературы

В этой книге рассматривается связь между операторами симметрии линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, системами координат, в которых это уравнение допускает решения с разделёнными переменными, и свойствами получающихся при этом специальных функций. Книга рассчитана на широкий круг специалистов, занимающихся дифференциальными уравнениями в частных производных, специальными функциями и теорией групп Ли, т.е. специалистов в области теории групп, прикладных вопросов математики, теоретической физики и химии, а также инженеров. Мы продемонстрируем, как в старый метод разделения переменных вводятся некоторые современные теоретико-групповые приёмы, применение которых может дать нам основу для теории специальных функций, В частности, мы покажем в явном виде, что все специальные функции, получающиеся в процессе разделения переменных в уравнениях математической физики, можно изучать при помощи теоретико-групповых методов. Это относится к функциям Ламе, Айнса, Матье и другим функциям, включая функции гипергеометрического типа.

Сейчас в истории применения теоретико-групповых методов к теории специальных функций наступил критический момент. Основные связи между группами Ли, специальными функциями и методами разделения переменных были выяснены совсем недавно. Теперь появилась возможность сконструировать некий теоретико-групповой алгоритм, который, будучи применённым к заданному дифференциальному уравнению, сможет дать рациональное описание возможных систем координат, допускающих решения с разделёнными переменными, и различные теоремы разложений, связывающие решения с разделёнными переменными (специальные функции), полученные в различных системах координат. Действительно, для большинства важных линейных уравнений решения с разделёнными переменными являются общими собственными функциями множеств коммутирующих операторов второго порядка из универсальной обвёртывающей алгебры алгебры Ли симметрии, соответствующей этому уравнению. Задача разложения одной системы решений с разделёнными переменными по элементам другой сводится к задаче теории представлений алгебры Ли симметрии.

Несмотря на простоту, элегантность и полезность этого метода, он пока применялся к сравнительно немногим дифференциальным уравнениям. (Во время работы над настоящей книгой волновое уравнение (∂_tt – Δ₃)Ψ = 0 всё ещё интенсивно изучалось.) Кроме того, пока что доказано мало теорем, раскрывающих все возможности этого метода. Автор надеется, что настоящая работа, рассчитанная на широкий круг специалистов, сможет убедить читателя в исключительной полезности и уместности теоретико-групповых методов при изучении разделения переменных и специальных функций. Можно также надеяться, что эта работа вызовет у некоторых читателей интерес к данной области математики и что со временем мы получим от них ответы на многие ещё не решённые задачи.

Идеи, связывающие группы Ли, специальные функции и разделение переменных, исходят из различных источников. Первая глубокая работа, в которой изучались связи теории представлений групп со специальными функциями, обычно приписывается Картану [65]. Однако первые подробные указания на использование этих связей в вычислительных целях, возможно, дают работы Вигнера. Вигнер начал работать в этой области ещё в тридцатых годах, а в 1955 году в конспектах лекций, прочитанных в Принстонском университете, он изложил полученные им результаты. Впоследствии эти результаты были обобщены и усовершенствованы в книге Толмена [122].

Следующий большой вклад в теорию вычислений внёс Виленкин, который, начиная с 1956 года, выпустил целую серию работ, основные результаты которых изложены в его книге [37]. Этот энциклопедический труд создавался под сильным влиянием явных конструкций неприводимых представлений классических групп, предложенных Гельфандом и Наймарком (см., например, [44]). Виленкин (и Вигнер) получил специальные функции в виде матричных элементов операторов, определяющих неприводимые представления групп.

Ещё одним предшественником нашей теории явился метод факторизации. Данный метод был предложен Шрёдингером, который применил его к решению не зависящего от времени уравнения Шрёдингера для ряда систем, представляющих определённый интерес с физической точки зрения (см., например, [141]). Это полезное орудие вычисления собственных функций и рекуррентных соотношений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка было разработано несколькими авторами, включая Инфельда и Халла [51], которые дали обзор состояния теории на 1951 год. Совершенно независимая и несколько иная разработка этой теории дана в работе Инуи [50].

Автор настоящей книги также внёс определённый вклад в развитие этой теории, показав в 1964 году [81], что метод факторизации эквивалентен теории представлений 4-алгебр Ли.

Другой подход к решению проблем, рассматриваемых в настоящей книге, был предложен и разработан Вейснером в его замечательных работах [33–35], первая из которых появилась в 1955 году. Вейснер раскрыл теоретико-групповой смысл семейств производящих функций для гипергеометрических функций, функций Эрмита и функций Бесселя. В этих статьях можно также найти примеры допускающих разделение переменных систем координат, описанных при помощи операторов симметрии алгебры Ли. Теория Вейснера получила дальнейшее развитие и была связана с методом факторизации в монографии [83] автора настоящей книги, где рассматривалась главным образом теория локальных групп Ли, а не теория глобальных групп Ли, как в работах Толмена и Виленкина.

Необходимо также сказать несколько слов о монографии Трусделла [123], посвящённой F-уравнению, в которой показан способ прямого получения производящих функций и интегральных представлений для специальных функций, если известны дифференциальные рекуррентные соотношения, которым эти специальные функции удовлетворяют. В 1968 году было установлено, что метод Трусделла вполне соответствует теоретико-групповому подходу к изучению специальных функций [83].

Основная идея настоящей работы состоит в том, что системы координат, допускающие разделение переменных для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, можно охарактеризовать при помощи систем операторов симметрии второго порядка для этих уравнений. Эта идея вполне естественна с квантово­механической точки зрения. Кроме того, уже с тех пор, как появилась работа Ли, известно, что данная идея справедлива для некоторых простых систем координат, таких, как сферические, цилиндрические и декартовы, т.е. систем координат, связанных с некоей подгруппой.

Для некоторых важных уравнений Шрёдингера, например уравнения для атома водорода, известен способ операторной характеристики некоторых неподгрупповых систем координат [10, 71]. Но явное утверждение о связи между операторами симметрии и разделением переменных впервые появилось лишь в 1965 году в работе Винтернитца и Фриша [40], которые дали теоретико-групповую характеристику допускающих разделение переменных систем координат, соответствующих уравнениям на собственные значения для операторов Лапласа–Бельтрами на двумерных пространствах с постоянной кривизной. Эта работа была продолжена Винтернитцем и др. (см. [38, 39, 79, 108]). И наконец, автор настоящей книги в сотрудничестве с Бойером и Калнинсом дал теоретико-групповую классификацию систем координат, допускающих разделение переменных для целого ряда важных уравнений в частных производных, и исследовал связь между этой классификацией и теорией специальных функций. Интересной особенностью этой работы, которой мы обязаны Калнинсу, было открытие целого ряда допускающих разделение переменных систем координат, не указанных в работе [101], на которую обычно ссылаются все авторы. Другой особенностью этой работы является разработка теоретико-группового метода, позволяющего получать тождества для негипергеометрических специальных функций, таких, как функции Матье, Ламе, сфероидальные функции, функции Айнса, функции ангармонического осциллятора, а также для более известных гипергеометрических функций.

Для понимания настоящей книги необходимо некоторое знакомство с группами и алгебрами Ли (точнее, с гомоморфизмом и изоморфизмом групп и алгебр Ли); необходимые знания могут дать работы [45, 86]. Однако рассматриваемые нами примеры просты и должны быть понятны всем, кто хотя в какой-то мере знаком с теорией Ли. Предполагается также, что читатель имеет некоторый опыт в решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, скажем, в прямоугольных, полярных и сферических координатах.

В силу недостатка места, времени и компетенции автора мы были вынуждены опустить некоторые темы; наиболее важное место среди них занимает теория сферических функций на группах. Этой теме, которая является обобщением теории сферических гармоник, посвящена обширная литература (см., например, [126, 131]). Кроме того, недавно при помощи сферических функций была получена формула сложения для многочленов Якоби [69, 138]. Но сферические функции всегда связаны с координатами подгрупп, поэтому для большинства даже элементарных уравнений, рассматриваемых в настоящей книге, они не могут охватить все специальные функции, получающиеся в процессе разделения переменных.

Краевые задачи также не рассматриваются, хотя при их решении метод операторов симметрии имеет большое значение (см. [19]). В последней работе, а также в работах [106, 144, 145] рассматривается применение метода операторов симметрии к решению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных; этот вопрос нами не рассматривался, так как окончательного мнения по нему пока нет.

Я искренне благодарен Полю Винтернитцу за полезные обсуждения основных концепций, связывающих симметрию и разделение переменных. И в заключение я выражаю свою признательность Чарльзу Бойеру и Эрни Калнинсу, без творческого сотрудничества с которыми эта книга не была бы написана.

Основные идеи, связывающие группу симметрии некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных и системы координат, в которых данное уравнение допускает решения с разделяющимися переменными, можно легко продемонстрировать на конкретных примерах. Наиболее простым нетривиальным примером, подходящим для этой цели, очевидно, является приведённое волновое уравнение, или уравнение Гельмгольца,

где ω — некоторая вещественная положительная константа и

(Здесь ∂_xxΨ — частная производная второго порядка от Ψ по переменной x.)

В этой главе мы дадим подробный анализ группы симметрии уравнения (0.1), решений с разделяющимися переменными этого уравнения, а также уравнений, с ним связанных; в дальнейшем этот анализ будет служить нам основой в подобных исследованиях гораздо более сложных задач.

На данном этапе мы рассмотрим только такие решения Ψ уравнения (0.1), которые определены на некотором открытом связном множестве D  плоскости R² и аналитичны относительно вещественных переменных x, y. (Здесь D, например, можно выбрать так, чтобы оно совпадало с этой плоскостью.) Множество всех таких решений Ψ образует векторное (комплексное) пространство F₀ , т.е. если Ψ ÎF₀  и a Î C, то (aΨ)(x, y) = aΨ(x, y) ÎF₀ , и если Ψ₁, Ψ₂ ÎF₀ , то (Ψ₁ + Ψ₂)(x, y) = Ψ₁(x, y) + Ψ₂(x, y) ÎF₀ . Фиксируя D  в нашем анализе, назовём F₀  пространством решений уравнения (0.1).

Пусть F — векторное пространство всех комплекснозначных функций, определённых и вещественно-аналитических на D, и пусть Q — дифференциальный оператор в частных производных:

определённый на D . Ясно, что QΦ ÎF при Φ ÎF, а F₀ — такое подпространство векторного пространства F,  которое является ядром, или нуль-пространством, линейного оператора Q.

Известно, что если Ψ(x), x = (x, y), является некоторым решением уравнения (0.1), то Ψ^(x) = Ψ(x + a), где a = (a₁, a₂) — вещественный двумерный вектор, и Ψ^^(x) = Ψ(xO), где

также будут решениями этого уравнения. (Точку x следует выбирать так, чтобы x+a и xO лежали в D, с тем чтобы Ψ^ и Ψ^^ имели смысл при вычислении их в точке x.) Таким образом, переносы в рассматриваемой плоскости и повороты относительно начала координат отображают решения уравнения (0.1) в решения. Эти переносы и повороты порождают группу E(2) — группу движений евклидовой полости, или евклидову группу, элементы которой суть движения фигуры как твёрдого тела в данной плоскости. Как мы покажем в дальнейшем, использование евклидовой симметрии уравнения (0.1) даёт возможность просто доказать многие факты относительно решений уравнения Гельмгольца. Ниже мы дадим доказательство того, что уравнение (0.1) допускает евклидову группу движений, и покажем, что в определённом смысле E(2) представляет собой максимальную группу симметрии этого уравнения.

Линейный дифференциальный оператор

называется оператором симметрии для уравнения Гельмгольца, если

где [L, Q] = LQ – QL — коммутатор операторов L и Q, а аналитическая функция R = R_L зависит от L. Напомним, что Q — оператор (0.2). (Соотношение (1.2) означает, что оператор справа и оператор слева, будучи применёнными к любой функции Φ ÎF , дают один и тот же результат.)

Пусть G — множество всех операторов симметрии уравнения Гельмгольца.

Теорема 1.1. Оператор симметрии L отображает решения уравнения (0.1) в решения, т.е. если Ψ ÎF₀ , то LΨ ÎF₀ .

[· · ·]

Автоморфные функции 25, 26

Айнса многочлены 179, 180, 186, 195, 234

— функции 28, 31, 170, 171, 194

Ангармонического осциллятора функции 31, 169, 172, 182, 183, 191, 193

Аппеля преобразование 135, 190, 200

Базис 61

— алгебры Ли 314

Баргманна–Сегала гильбертово пространство аналитических функций 186, 282

Бернулли многочлены 26

— числа 26

Бесселя многочлены 110

— уравнение 43, 63, 78, 100, 320

— — модифицированное 250

— функции 8, 21, 30, 43, 56, 72, 82, 93, 98, 100, 103, 104, 148, 155, 161, 168, 180, 192, 198, 213, 243, 266, 287, 290, 295, 319, 320

— — второго рода 109, 110

— — модифицированные 249, 271

— — сферические 223, 239

Бета-функция 12

Билинейное разложение 74, 109, 206, 241, 272

Биномиальные коэффициенты 315

Биполярные координаты 262

Вандермонда теорема 305

Вейля алгебра 114, 132, 164, 166

— группа 114, 132, 164

— теорема 149

— Вейснера метод 30, 100–109, 139, 145, 155, 160, 198, 201, 202, 247, 251, 263, 268, 271, 309

Вигнера D-функция 221

Вигнера–Экхарта теорема 205

Винтовое смещение 210

Волновое уравнение 29, 272, 273, 292–295, 300

— — приведённое 207

Галилея преобразование 113

— преобразований группа 118, 172, 191

Гамильтониан осциллятора гармонического 122–124, 167

— — — изотропного 150

— — репульсивного изотропного 150

— — — линейного 122–124

— потенциала линейного 122–124

— частицы свободной 122–124, 148, 150, 141, 167

Гамма-функция 11–14, 25, 128, 315

Ганкеля преобразование обратное 153

— функции 94, 243

Гегенбауэра многочлены 248, 249, 269, 270, 272, 290, 293, 294, 317

Гейзенберга группа 24

Гёльдера теорема 12

Гельмгольца уравнение 33, 56, 197, 198, 207, 211, 219, 239, 240, 247, 294

— — комплексное 95

Гильбертово пространство 56, 57, 83, 88, 119, 120, 173, 217, 219, 275, 276, 281, 285, 287, 289, 291, 293

Гипергеометрическая функция конфлюентная 131, 156, 160, 199, 201, 307, 318, 319

— — ₂F₁ 13–16, 20, 21, 24, 145, 272, 292, 296, 302, 309, 316, 317

Гипергеометрические ряды смежные 14, 15, 21

— функции 10, 25, 26, 30, 31

— — обобщённые _pF_q 203, 308, 309, 320, 321

Гипергеометрический ряд обобщённый 10, 13, 14, 22

Грама–Шмидта процесс ортогонализации 60

Графа формула сложения 106, 109

Декартовы координаты 30, 42, 50, 78, 86, 172, 212, 224, 256, 284

Дефекта индексы 61, 88, 90, 91

Дирака дельта-функция 56, 64

Допускающие разделение переменных координаты 44, 47–53, 178, 210, 309

— — — — для оператора Лапласа на сфере 232

— — — — — уравнения Гельмгольца комплексного 98

— — — — — — — от двух переменных 56

— — — — — — — — трёх переменных 212–213

— — — — — — Клейна–Гордона 82

— — — — — — Лапласа 256, 257

— — — — — — Шрёдингера, независящего от времени 204

Допускающие R-разделение переменных координаты 117, 175, 279, 280, 307

— — — — для уравнения волнового 279, 282–290

— — — — — — теплопроводности 134, 138, 190–195, 197, 198

— — — — — — Шрёдингера для изотропной свободной частицы 148, 155

— — — — — — — от двух переменных 118

— — — — — — — — трёх переменных 168–171

Евклидова группа 34, 36, 50, 160, 207, 208

— — в плоскости 35–37

— — — трёхмерном пространстве 208, 262

— — комплексная 96

Инверсия пространства 97, 233

— пространства-времени 80

Казимира оператор 126, 151, 263, 286, 290, 295

Кеплера задача 281, 294

Класса I уравнение 40–41, 76, 204, 205, 211, 254

Класса II уравнение 41, 203, 204, 211

Клебша–Гордана коэффициент 223

Клейна–Гордона уравнение 74, 109, 285, 294

уравнения слабые решения 85

Коммутатор матричный 37, 311

Конические координаты 213, 216, 231, 241, 257

Конфлюентная гипергеометрическая функция см. Гипергеометрическая функция

Конформная группа 254, 294

Координаты, допускающие разделение переменных см. Допускающие разделение переменных координаты

— подгрупп 31, 47, 288

Косоэрмитов оператор 58

Коши задача 136, 196, 206

Коши–Римана уравнения 48

Кравчука многочлены 21

Лагерра многочлены 27, 142, 151, 156, 157, 161, 178, 191, 198, 199, 206, 281, 307, 319

— — обобщённые 246, 307

— функции 148, 155, 160, 170, 194, 200

— — обобщённые 144

Ламе–Вангерина функция 287, 290

Ламе многочлены 217, 231, 235–239, 257

— уравнение 25, 216, 235–239, 257, 261, 268; 283

— функции 28, 31

Лапласа оператор 44, 204

— — на гиперболоиде 286, 294

— — — сфере 222, 232, 233, 280, 283, 293, 295

— уравнение 19, 21, 25, 222, 233, 252–255, 257–259, 261–264, 268–272

Лауричеллы функции 296–308, 321, 322

Лебедева преобразование 90

Лежандра многочлены 15, 16, 22, 262, 287, 290, 317

Локальное мультипликативное представление 312–314

— функции 8, 16, 21, 213, 214, 317

— — присоединённые 17, 221, 227, 243, 262, 287

Лемнискатические функции 16

Ли алгебра 31, 35, 36, 95, 311

— группа 31, 310

— производная 38, 46, 313

Локальная группа Ли преобразований 312

— мультипликативная функция 312

Локальное мультипликативное представление 312–314

Локальной группы представление 103

Лоренца преобразование 273

— преобразований группа 25, 293

Макдональда функция 87, 90, 93, 94, 287

Матричные элементы 71, 92, 104, 105, 141, 144, 158, 159, 220–223, 246, 247, 249

— — смешанных базисов (м.э.с.б.) 71–73, 92, 130, 131, 154, 178, 186, 187, 238–241, 288

Матье уравнение 25, 52, 68, 81, 226, 322

— — модифицированное 69, 80, 81

— функции 28, 31, 52, 56, 80, 81, 181, 187, 192, 193, 241, 322, 323

— — модифицированные 70, 181–182, 192, 193, 226

Мелера теорема 143, 144

Меллина преобразование 128

Нерасщепляющаяся система координат 279, 292

Обобщённые гипергеометрические функции см. Гипергеометрические обобщённые функции

Оператор импульса 67, 254

— момента импульса 254

— отражения в пространстве 274

— — во времени 274

— сдвига по времени 120, 173

— симметрии инверсии 254, 274, 293

Орбиты 45, 53–55, 76–78, 83, 96, 97,99–101, 116–118, 122, 123, 127, 133, 137, 138, 147–150, 152–155, 165, 172, 180, 191, 210, 211, 232, 271, 272, 286, 290, 295

Ортогональные собственные векторы 60

Ортонормальное множество 60–61

Осциллятор гармонический 112, 163, 289

— репульсивный 112, 163, 289

Параболические координаты 50, 68, 107, 172, 181, 212, 214, 228, 240, 245, 24£, 252, 256, 265

Параболического цилиндра координаты 212, 225, 240, 256, 272, 284

— — уравнение 51, 68, 319

— — функции 51, 56, 68, 79, 82, 88, 98, 107, 118, 128, 129, 134, 139, 168, 170, 171, 192, 193, 195, 319

Параболоидальные координаты 212, 214, 229, 257

Парсеваля равенство 60, 87

Планка постоянная 111

Плоская волна 71, 224

Поворотов группа 208, 233

— — полная 233

Повышающие операторы 205

Полурасщепляющаяся система координат 279, 280, 292

Полярные координаты 31, 43, 49, 51, 78, 172, 180, 181, 200, 284

— — комплексные 100

Потенциал 162, 163, 203, 204

— линейный 112, 163, 289

Потенциалы с максимальной симметрией 163

Потенциальная функция 211. См. также Потенциал

Похгаммера символ 109, 316

Предел в среднем 85

Преобразований группа 36–38, 75, 208, 209, 254, 274, 312

Производящая функция 100, 101, 130, 140, 143, 146, 157, 161, 200–202, 241, 248, 270, 272, 303, 306, 307, 309

Производящей функции непрерывный аналог 130, 153, 206

Пуанкаре группа 75, 274, 293

— — расширенная 77, 92

Радиальные функции 22

Разделение переменных 42

Рака коэффициенты 9

— соотношение ортогональности 9

Разделения константа 42, 51, 53

Расширение оператора 61

Расщепляющаяся система координат 279

Регге соотношение симметрии 9

Рекуррентные формулы 18, 30, 157, 199, 200, 206, 237, 238, 241, 248, 249, 269, 270, 292, 295, 297, 298, 308, 309, 316–321

Решений пространство 33, 218, 255

Решения с разделёнными переменными 43–45

Решения типа волны плоской 71, 224

— — — сферической 251

— — — цилиндрической 72, 73, 225, 251

R-разделение переменных 166, 190, 191, 197, 198, 205

R-разделимость 116, 117

Самосопряжённый оператор 61, 219

Свободная частица 112, 120, 163, 189

— — изотропная 112

Симметрии алгебра 35, 74, 112, 154, 189, 207, 232, 253, 273, 300, 308

— группа 34, 38, 254

— оператор 34

— — порядка второго 39–41, 53, 76, 97, 167, 190, 203, 204, 209, 210, 232, 254, 263, 279, 280, 290

— — — первого 34–36, 38, 53, 167, 190, 203, 204

Симметрии тривиальные 40, 209–210

Симметрический оператор 59

Собственные векторы 60

— значения 44, 60, 61

— функции 44, 61

— — обобщённые 64, 65, 67

Сопряжённое действие 46, 195

— представление 43, 45, 53, 54, 76, 96, 116, 147, 165, 210

Спектр непрерывный 65

Спектра кратность 65

Спектральное разложение 62, 124, 176, 178, 219, 220, 235, 288, 291

Специальная линейная группа 113, 114, 133, 147, 164, 165, 263, 278, 279, 286, 290, 291

— — — комплексная 137, 154, 157, 272, 298, 301

— ортогональная группа O(3) 233

— — — SO(2,1) 277, 286, 287

— — — SO(3) 208, 220, 221, 232, 233, 277, 279, 280

— — — SO(3,1) 293, 294

— — — SO(3,2) 277

— — — SO(4) 293

— — — SO(4,1) 254

— — — SO(4,2) 293

Специальной линейной группы универсальная накрывающая группа 125, 149, 291

Специальные конформные отображения 253, 254, 273, 274

— функции второго рода 109

Сфера S₂ 217, 232

Сферическая волна 223, 243, 244, 251

Сферические гармоники 31, 220, 221, 236, 266, 282

— — зональные 20

— координаты 19, 30, 31, 147, 212, 213, 217, 220, 223, 231, 232, 240, 247, 249, 250, 252, 256, 262, 264, 265, 268, 272, 283

— — комплексные 269

— функции 15, 20, 22, 31

— — обобщённые 221

Сфероида вытянутого координаты 212, 213, 226, 227, 240, 241, 256, 272

— сплющенного координаты 212, 214, 227, 228, 241, 256, 266

Сфероидальной волны уравнение 213

— — функции 213

Теорема о вириале 281

— сложения 71, 73, 93, 94, 223, 251

Тепловые многочлены 134

Теплопроводности уравнение 23, 132

— — комплексное 137, 197, 198, 272

— — от двух переменных 132

— — — трёх переменных 188

Теплопроводности уравнения группа симметрии 133, 182, 197

Тороидальные координаты 262, 267, 268

Тэта-функции 13, 22, 23, 26

Уиппла формула 9

Уиттекера функции 148, 170, 193, 228

Уиттекера–Хилла уравнение 179, 184, 215, 229, 268

Унитарное представление 58, 85

— преобразование 59, 85, 219

Унитарные операторы 58, 85

Факториал сдвинутый 10, 22

Факторизации метод 29, 30

Фейнмана интеграл 27

Фурье преобразование 67, 87, 275

— ряды 19, 62

Хилле–Харди формула 151, 152, 162, 206

Хойна уравнение 25

Циклида 257, 258, 262

Цилиндрическая волна 72, 73, 225, 251, 266, 267

Цилиндрические координаты 30, 211, 212, 225, 240, 244, 256, 262, 271

Черри теорема 129

Шаровые гармоники 264, 266–268

Шрёдингера алгебра 164, 206

— группа 115, 116, 126, 164, 289

— группы накрывающая группа 126

— уравнение 30, 111, 162, 178, 185, 188, 203

— — временнóе 111, 162, 204

— — для линейного потенциала 122, 167, 174, 204, 206

— — — осциллятора изотропного гармонического 147, 150

— — — — — репульсивного 147, 150, 152

— — — — линейного гармонического 121, 167, 174, 204

— — — — — репульсивного 121, 122, 127, 167, 174, 204

— — — частицы свободной 112, 121, 124, 163, 167, 190, 206, 288, 294

— — — — — изотропной 146, 150, 151, 153, 206

— — не зависящее от времени 29, 203

Штурма–Лиувилля задача 68, 322

Эйлера–Пуассона–Дарбу уравнение (ЭПД уравнение) 288–292, 295

Эйлеровы углы 208, 218, 220

Эйри функции 82, 98, 118, 129, 134, 138, 146, 161, 171, 182, 187, 193, 195

Эквивалентные системы координат 45, 279

Экспоненциальное отображение 37, 311, 313

Эллипсоидальной волны уравнение 216, 230

— — функция 216, 230, 231

Эллипсоидальные гармоники 257

— координаты 212, 215, 229, 241, 257

Эллиптические интегралы 15

— координаты 52, 53, 68, 172, 179, 229, 232, 235, 238, 284

— функции 8, 13, 15, 16, 22, 24, 215, 230, 231, 261, 324, 325

Эллиптического цилиндра координаты 212, 226, 241, 256

Эрмита многочлены 124, 130, 134, 139–141, 143, 146, 176, 202, 319

— функции 30, 139, 140, 143, 194, 195, 202, 206

— — второго рода 206

Якоби многочлены 27, 31, 293, 294, 317