1. Опыт и представление. Опыт вносит изменения в человеческие представления. Мы учимся, исходя из опыта, или, вернее, должны учиться, исходя из опыта. Наилучшим возможным образом воспользоваться опытом — одна из великих задач человека, а трудиться для её решения — подлинное призвание учёных.

Учёный, заслуживающий этого имени, старается извлечь из данного опыта наиболее правильное представление и накопить наиболее подходящий опыт для того, чтобы установить правильное представление о данном вопросе. Метод, с помощью которого учёный имеет дело с опытом, обычно называется индукцией. Особенно ясные примеры метода индукции можно найти в математическом исследовании. В следующем параграфе мы приступаем к рассмотрению одного простого примера.

2. Наводящие контакты. Индукция часто начинается с наблюдения. Натуралист может наблюдать жизнь птиц, кристаллограф — формы кристаллов. Математик, интересующийся теорией чисел, наблюдает свойства чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...

Если вы хотите наблюдать жизнь птиц так, чтобы была некоторая возможность получить интересные результаты, то вы должны быть в какой-то степени знакомы с птицами, интересоваться птицами, вы должны даже, пожалуй, любить птиц. Точно так же, если вы хотите наблюдать числа, вы должны интересоваться ими и в какой-то степени быть знакомы с ними. Вы должны различать чётные и нечётные числа, должны знать квадраты 1, 4, 9, 16, 25, ... и простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (лучше выделить 1 как «единицу» и не причислять её к простым числам). Даже со столь скромными знаниями вы смогли бы подметить кое-что интересное.

Случайно вы наталкиваетесь на соотношения

и замечаете между ними некоторое сходство. Вам приходит в голову, что числа 3, 7, 13 и 17 являются нечётными простыми числами. Сумма двух нечётных простых чисел есть обязательно чётное число; действительно, числа 10, 20 и 30 — чётные. А что можно сказать о других чётных числах? Ведут ли они себя подобным же образом? Первое чётное число, являющееся суммой двух нечётных простых чисел, есть, конечно,

Двигаясь дальше, находим, что

Всегда ли так будет продолжаться? Как бы то ни было, частные случаи, которые мы наблюдали, наводят на мысль об общем утверждении: любое чётное число, большее чем 4, представимо в виде суммы двух нечётных простых чисел. Поразмыслив об исключительных случаях — числах 2 и 4, которые не могут быть расщеплены в сумму двух нечётных простых чисел, мы можем предпочесть следующее менее непосредственное утверждение: любое чётное число, не являющееся ни простым числом, ни квадратом простого числа, представимо в виде суммы двух нечётных простых чисел.

Итак, нам удалось сформулировать предположение. Мы нашли это предположение с помощью индукции. Иными словами, оно возникло у нас в результате наблюдения, было указано отдельными частными примерами.

Эти указания являются довольно легковесными; у нас есть лишь очень слабые основания верить в своё предположение. Мы можем, однако, найти некоторое утешение в том факте, что Гольдбах, математик, впервые высказавший это предположение немногим более двухсот лет тому назад, не обладал для этого сколько-нибудь более серьёзными основаниями.

Справедливо ли предположение Гольдбаха? Никто сегодня не может ответить на этот вопрос. Несмотря на огромные усилия, затраченные на выяснение этого вопроса некоторыми великими математиками, предположение Гольдбаха сегодня, как это было и в дни Эйлера, является одним из тех «многих свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы всё ещё не в состоянии доказать» или опровергнуть.

Взглянем теперь назад и попытаемся уловить в предыдущем рассуждении такие шаги, которые могли бы быть типичными для процесса индукции.

Сначала мы подметили некоторое сходство. Мы осознали, что 3, 7, 13 и 17 — простые, а 10, 20 и 30 — чётные числа и что три соотношения 3 + 7 = 10, 3 + 17 = 20, 13 + 17 = 30 аналогичны между собой.

Следующим шагом было обобщение. От четырёх чисел 3, 7, 13 и 17 мы перешли ко всем нечётным простым числам; от 10, 20 и 30 — ко всем чётным числам, а затем — к возможному общему соотношению

Мы пришли, таким образом, к отчётливо сформулированному общему утверждению, которое, однако, является только предположением, только пробным утверждением. Это значит, что утверждение ни в какой степени не является доказанным, никак не может претендовать на истинность, оно является только попыткой подойти к истине.

Это предположение имеет, однако, некоторые наводящие точки соприкосновения, контакта с опытом, с «фактами», с «действительностью». Оно верно для некоторых конкретных чисел 10, 20, 30, а также для 6, 8, 12, 14, 16.

Этими замечаниями мы в общих чертах обрисовали первую стадию процесса индукции.

3. Подкрепляющие контакты. Не стоит слишком уж верить в любое недоказанное предположение, даже если оно было предложено большими авторитетами, даже если оно возникло у вас самих. Нужно попытаться доказать его или опровергнуть; нужно его испытать.

Мы испытаем предположение Гольдбаха, если исследуем какое-нибудь новое чётное число и выясним, является ли оно суммой двух нечётных простых чисел или нет. Исследуем, например, число 60. Выполним «квазиэксперимент», как выражается Эйлер. Число 60 чётное, но является ли оно суммой двух простых чисел? Верно ли, что

Нет, число 57 не простое. Имеет ли место

Ответ снова будет «Нет»: число 55 не простое. Если так будет продолжаться и дальше, то предположение будет подорвано. Но следующее испытание даёт

и 53 — простое число. Предположение подтвердилось ещё в одном случае.

Противоположный результат решил бы судьбу предположения Гольдбаха раз и навсегда. Если, испытывая все простые числа до данного чётного числа, например 60, вы ни в одном случае не приходите к разложению его в сумму двух простых чисел, то тем самым вы безвозвратно подрываете предположение. Подтвердив предположение в случае числа 60, вы не можете прийти к столь же определённому заключению. Вы, безусловно, не докажете теорему с помощью единственного подтверждения. Естественно, однако, истолковать такое подтверждение, как благоприятный признак, говорящий в пользу предположения, делающий его более правдоподобным, хотя, конечно, остаётся вашим личным делом, какой вес вы придадите этому благоприятному признаку.

Возвратимся на минуту к числу 60. После того как были испытаны простые числа 3, 5 и 7, мы можем испытать остающиеся простые числа до 30. (Очевидно, нет необходимости идти дальше 30 = 60/2, так как одно из двух простых чисел, сумма которых равна 60, должно быть меньше 30.) Мы получим, таким образом, все разложения 60 в сумму двух простых чисел:

Мы можем действовать систематически и исследовать чётные числа одно за другим, как только что исследовали число 60. Результат мы можем записать в виде следующей таблицы:

Предположение подтверждается во всех случаях, которые мы здесь рассмотрели. Каждое подтверждение, удлиняющее таблицу, усиливает предположение, делает его в большей мере внушающим доверие, увеличивает его правдоподобие. Конечно, никакое число таких подтверждений не могло бы его доказать.

Нам нужно исследовать собранные наблюдения, сравнить их и сопоставить, нужно поискать какой-то ключ, быть может скрытый за ними. В нашем случае очень трудно обнаружить в таблице какой-либо ключ, который мог бы оказать нам существенную помощь. Тем не менее, рассматривая таблицу, мы можем яснее осознать смысл предположения. Таблица показывает, сколькими способами входящие в неё чётные числа могут быть представлены как сумма двух простых чисел (6 — одним, 30 — тремя). Число таких представлений чётного числа 2n кажется «неправильно возрастающим» вместе с n. Предположение Гольдбаха выражает надежду, что как бы далеко мы ни расширяли таблицу, число представлений никогда не упадёт до 0.

Среди исследованных нами частных случаев мы можем различать две группы: те, которые предшествовали формулировке предположения, и те, которые были рассмотрены после неё. Первые навели на предположение, вторые подкрепили его. И те, и другие создают некоторого рода контакт между предположением и «фактами». Таблица не делает различия между «наводящими» и «подкрепляющими» точками соприкосновения.

Посмотрим теперь снова на предыдущее рассуждение и попытаемся заметить в нём черты, типичные для процесса индукции.

Высказав предположение, мы пытались выяснить, является ли оно верным или ошибочным. Наше предположение было утверждением общего характера, возникшим из некоторых частных примеров, в которых оно оказалось верным. Мы исследовали ещё несколько частных случаев. Поскольку обнаружилось, что предположение справедливо для всех рассмотренных примеров, наша вера в него возросла.

Мы делали, как мне кажется, только то, что обычно делают разумные люди. Поступая таким образом, мы, по-видимому, принимаем принцип: предположительное общее утверждение становится более правдоподобными, если оно подтверждается для нового частного случая.

Не этот ли принцип лежит в основе процесса индукции?

4. Индуктивный подход. В нашей личной жизни мы часто цепляемся за иллюзии. Иными словами, мы не смеем исследовать некоторые представления, которые легко могли бы быть опровергнуты опытом, потому что боимся нарушить своё душевное равновесие. Возможны обстоятельства, в которых не является неразумным цепляться за иллюзии, но в науке мы нуждаемся в совершенно ином подходе, в индуктивном подходе. Этот подход имеет целью приспособление наших представлений к нашему опыту в такой степени, в какой это возможно. Он требует беспрекословного предпочтения для того, что фактически существует. Он требует готовности к подъёму от наблюдений к обобщениям и готовности к спуску от наиболее широких обобщений к наиболее конкретным наблюдениям. Он требует говорить «быть может» и «возможно» с тысячей различных оттенков. Он требует многих других вещей, и особенно следующих трёх.

• Во-первых, мы должны быть готовы пересмотреть любое из наших представлений.
• Во-вторых, мы должны изменить представление, когда имеются веские обстоятельства, вынуждающие его изменить.
• В-третьих, мы не должны изменять представления произвольно, без достаточных оснований.

Эти принципы звучат довольно тривиально. Но нужны довольно необычные достоинства, чтобы их придерживаться.

Первый принцип требует «мужества ума». Вам нужно мужество, чтобы пересмотреть ваши представления. Галилей, бросивший вызов предрассудку своих современников и авторитету Аристотеля, являет собой великий пример мужества ума.

Второй принцип требует «честности ума». Оставаться верным своему предположению, ясно опровергнутому опытом, только потому, что это моё собственное предположение, было бы нечестно.

Третий принцип требует «мудрой сдержанности». Изменить представление без серьёзного исследования, например только ради моды, было бы глупо. Но мы не имеем ни времени, ни сил серьёзно исследовать все наши представления. Поэтому будет мудро посвятить нашу повседневную работу, наши вопросы и наши живые сомнения тем представлениям, которые мы можем разумно надеяться исправить.

«Не верь ничему, но сомневайся только в том, в чём стоит сомневаться».

Смелость ума, честность ума и мудрая сдержанность — моральные достоинства учёного.

 1.  Догадайтесь, в соответствии с каким правилом выбираются члены последовательности

 Ответ 

 2.  Рассмотрите таблицу:

Догадайтесь, к какому общему закону подводят эти примеры; выразите его в подходящих математических обозначениях и докажите.

 Ответ 

 3.  Рассмотрите значения последовательных сумм

Имеется ли простое правило?

 Ответ 

 4.  Рассмотрите значения последовательных сумм

Имеется ли простое правило?

 Ответ 

 5.  Три стороны треугольника имеют соответственно длины l, m и n. Числа l, m и n — целые положительные, l ≤ m ≤ n. Найдите число различных треугольников указанного вида для данного n. (Возьмите n = 1, 2, 3, 4, 5, ...) Найдите общий закон, управляющий зависимостью числа треугольников от n.

 Ответ 

 6.  Три первых члена последовательности 5, 15, 25, ... (чисел, оканчивающихся на 5) делятся на 5, Делятся ли на 5 и следующие члены?

Три первых члена последовательности 3, 13, 23, ... (чисел, оканчивающихся на 3) являются простыми числами. Будут ли простыми числами и следующие члены?

 Ответ 

 7.  С помощью формальных вычислений находим

Естественно возникают два предположения относительно следующих коэффициентов степенного ряда, стоящего в правой части: (1) все они отрицательны; (2) все они простые числа. Одинаково ли эти два предположения заслуживают доверия?

 Ответ 

 8.  Положим

Мы найдём, что для

Сформулируйте предположение.

 Ответ 

 9.  Великий французский математик Ферма рассмотрел последовательность

	2n
5,  17,  257,  65537,  ... , 2		+ 1, ...

Он заметил, что первые четыре члена, соответствующие n = 1, 2, 3 и 4, являются простыми числами. Он предположил, что следующие члены также являются простыми числами. Хотя он и не доказал этого, он чувствовал такую уверенность в справедливости своего предположения, что бросил вызов Валлису и другим английским математикам, предлагая его доказать. Однако Эйлер нашёл, что уже следующий член, 2³² +1, соответствующий n = 5, не является простым числом:² он делится на 641. См. цитату из Эйлера в начале этой главы: «Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке».

 10.  Проверяя предположение Гольдбаха для 2n = 60, мы последовательно испытывали простые числа p до n = 30. Однако мы могли бы также испытывать простые числа p между n = 30 и 2n = 60. Какой приём скорее всего окажется более выгодным для бóльших n?

 Ответ 

 11.  В словаре вы найдёте среди объяснений слов «индукция», «эксперимент» и «наблюдение» предложения вроде следующих:

«Индукция есть выведение общего закона из частных случаев, или предъявление фактов, чтобы доказать общее утверждение».

«Эксперимент есть приём для проверки гипотез».

«Наблюдение есть точное прослеживание и регистрирование явлений в том виде, как они появляются в природе, по отношению к причине и результату или взаимным связям».

Применимы ли эти описания к нашему примеру, рассмотренному в §§ 2 и 3?

 12.  Да и нет. Математик, подобно натуралисту, проверяя некоторые следствия предполагаемого общего закона с помощью нового наблюдения, обращается с вопросом к Природе: «Я подозреваю, что этот закон верен. Верен ли он?» Если следствие ясно опровергается, то закон не может быть верен. Если следствие ясно подтверждается, то имеется некоторое указание, что закон может быть верен. Природа может ответить «Да» или «Нет», но она шепчет один ответ и громогласно произносит другой; её «Да» условно, её «Нет» определённо.

 13.  Опыт и поведение. Опыт вносит изменения в поведение человека. Вместе с тем опыт вносит изменения в человеческие представления. Поведение человека и его представления не независимы. Поведение часто является результатом представлений, представления — это потенциальное поведение. Однако вы можете видеть поведение другого человека, но не можете видеть его представлений. Поведение легче наблюдать, чем представления. Каждый знает поговорку: «Кто обжёгся на молоке, тот дует на воду»,³ выражающую как раз то, что мы сказали: опыт вносит изменения в поведение человека.

Впрочем, он вносит изменения и в поведение животных.

Неподалеку от моего дома есть гадкая собака, которая лает и бросается на людей безо всякого повода. Но я обнаружил, что довольно легко могу себя защитить. Если я нагибаюсь и делаю вид, что поднимаю камень, то собака с визгом убегает. Так себя ведут не все собаки, и легко догадаться, какого рода опыт явился причиной такого поведения этой собаки.

Медведь в зоопарке «служит», т.е., когда вблизи находится наблюдатель, он становится в смешную позу, которая довольно часто побуждает наблюдателя бросить в клетку кусок сахара. Медведь, живущий на воле, вероятно, никогда не принимает такой нелепой позы, и легко представить, какого рода опыт привёл к тому, что медведь из зоопарка научился «служить».

Полное исследование индукции должно было бы, возможно, включать и изучение поведения животных.

 14.  Логик, математик, физик и инженер.

— Взгляни на этого математика, — сказал логик. — Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что все числа меньше сотни.

— Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится и на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.

— Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Инженер подозревает, что все нечётные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай; 9, по-видимому, не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, — говорит он, — я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента.

Совершенно очевидно, что индукция может привести к ошибке. Однако замечательно, что индукция иногда приводит к истине, хотя, по-видимому, возможность появления ошибки так подавляюще велика. Должны ли мы начать с изучения очевидных случаев, когда индукция не удаётся, или с изучения тех замечательных случаев, когда индукция приводит к успеху? Изучение драгоценных камней, понятно, более привлекательно, чем изучение обычных голышей, и, более того, именно драгоценные камни в гораздо большей степени, чем голыши, привели минералогов к чудесной науке кристаллографии.