Эта книга была напечатана более 50 лет назад. Не удивительно, что некоторые формулировки кажутся архаичными, а то и просто царапают глаз. Поэтому, взявшись за конвертацию книги в TeX, я взял на себя и смелость внести в текст ряд изменений.

Во-первых, сделаны мелкие замены: интеграция → интегрирование, квадратический → квадратичный, Липшитц → Липшиц и т.п. Однако заменять термин «трансформация» на «преобразование» я всё-таки не стал.

Во-вторых, в текст внесены кое-какие изменения, связанные с цитированием. Дело в том, что по ходу дела Титчмарш часто ссылается на другую свою книгу, «Теория функций», которая к 1948 году ещё не была переведена на русский язык. С тех пор много воды утекло, «Теория функций» выходила дважды, и я заменил все ссылки на английское издание ссылками на русское издание 1980 года. Кроме того, в список литературы добавлены русские переводы других книг, которые упоминает Титчмарш.

Известный английский математик Э. Ч. Титчмарш родился 1 июня 1899 г. и умер 18 января 1963 г. Он был учеником Харди, с которым опубликовал в начале своей научной деятельности несколько работ по теории интегральных уравнений специального вида. Титчмарш начал свою педагогическую деятельность в 1923 г. После некоторого периода работы в различных университетах Англии он занял в 1931 г. кафедру чистой математики в Оксфордском университете, заменив на этой должности Харди, который перешёл в Кэмбриджский университет. Последние 10 лет своей жизни он был также директором Математического института в Оксфорде.

Математическое наследство Титчмарша огромно. Он опубликовал около 130 научных работ, пять монографий, один учебник и одну популярную книгу по математике. Все его монографии и учебник («Теория функций») переведены на русский язык и пользуются у нас большой популярностью.

Научная деятельность Титчмарша охватывала следующие области математики: ряды и интегралы Фурье, интегральные уравнения, целые функции, теория дзета-функции Римана, разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.

Большинство из его работ (во всяком случае до 1956 г.) вошли в его монографии и поэтому легко доступны. В связи с этим мы в дальнейшем кратко остановимся только на некоторых работах Титчмарша.

В теории целых функций ему принадлежат работы по распределению нулей некоторых специальных целых функций. В связи с этими исследованиями Титчмарш доказал, ставшую ныне знаменитой благодаря исследованиям Микусинского по операционному исчислению, так называемую теорему о свёртке: если φ(t) и ψ(t) — суммируемые функции и

x
∫	φ(t) ψ(x – t) dt = 0
0

почти везде в интервале 0<x<K, то φ(t) = 0 почти везде в интервале (0, λ) и ψ(t) = 0 почти везде в интервале (0, μ), причём λ+μ≥K.

Титчмарш опубликовал много работ по теории дзета-функции Римана, а также трактат в 1930 г. и книгу в 1951 г. (оба эти сочинения были переведены на русский язык). Он занимался вопросом о распределении значений дзета-функции и, в частности, распределением её нулей. С помощью электронных вычислительных машин им было показано совместно с Л. Комрье (L. J. Comrie), что все нули ρ=β+iγ функции ζ(s) с 0≤γ≤1468 простые и имеют β=½. В связи с исследованиями по теории ζ-функции Титчмаршем были получены важные результаты в аналитической теории чисел, из которых упомянем изучение асимптотического поведения при x→∞ суммы

где p пробегает простые числа, l — фиксированное целое число, d(n) — число делителей числа n.

Последние двадцать пять лет своей жизни Титчмарш, в основном, занимался теорией собственных значений, в которую он внес очень большой вклад.

Ему принадлежат важные результаты о природе спектра оператора

Для случая q(x)→–∞ он доказал, что при некоторых естественных предположениях гладкости и регулярности роста |q(x)| спектр задачи (1)–(2) непрерывен и заполняет всю ось, если

∞
∫	dx  √|q(x)|	= ∞,

и дискретен и не ограничен снизу, если этот интеграл конечен. Доказательство этой замечательной теоремы основывается на асимптотических формулах для собственных функций, которые также были выведены Титчмаршем. С этим результатом тесно связан другой замечательный результат Титчмарша, согласно которому задача (1)–(2) самосопряжена, т.е. имеет единственную функцию Грина, если

где A≥0, B≥0. Титчмарш показал также, что аналогичный результат имеет место для операторов в частных производных.

Если q(x₁, x₂, ..., x_n) → +∞ при x₁² + x₂² + ... + x_n² → ∞, то спектр оператора

рассматриваемого во всём пространстве, дискретен с единственной предельной точкой +∞. Обозначим через N(λ) число собственных значений λ_n оператора L, меньшим λ. Титчмаршем было предпринято глубокое изучение функции N(λ). В частности, в случае n=3 при очень общих предположениях на q(x₁, x₂, x₃) им была выведена следующая асимптотическая формула:

Большое число работ Титчмарша посвящено теории возмущений дифференциальных операторов второго порядка. Ему удалось строго доказать многие результаты, для которых ранее не было известно строгих выводов.

Особенный интерес представляет изученный им случай, когда невозмущённый оператор имеет дискретный спектр, а возмущённый — непрерывный. Он изучил характер вырождения непрерывного спектра в дискретный и асимптотику этого процесса.

Для изучения этого трудного вопроса Титчмарш создал новый метод, связанный с исследованием комплексных полюсов возмущённого оператора.

Аналогичная ситуация ранее возникала в физике в связи с изучением так называемых квазисобственных значений (или «слабое квантование»).

Последнее время Титчмарш изучал спектральную теорию систем вида

где p(x), q(x), r(x) — действительные функции, определённые в интервале (0, ∞) или (–∞, ∞).

Эта система связана с уравнениями Дирака из релятивистской квантовой механики. Он установил при очень общих предположениях известный физикам-теоретикам факт о том, что релятивистские уравнения квантовой механики можно рассматривать как возмущение нерелятивистского уравнения Шрёдингера.

Результаты Титчмарша по теории собственных значений являются большим вкладом в спектральную теорию дифференциальных операторов, которая в настоящее время является важной главой функционального анализа. Однако Титчмарш в своих исследованиях избегал методов функционального анализа и прибегал исключительно к методам классического анализа. Не будем гадать над тем, что было бы, если бы он одинаково хорошо владел и теми и другими методами. Однако его деятельность, как мне кажется, показывает, что методы классического анализа ещё далеко не исчерпаны и, более того, способны часто пролить свет на вопросы, в которых методы общего функционального анализа мало дают.