Данилов Ю. А.  Прекрасный мир науки. Сборник. Сост. А. Г. Шад­тина. Под общ. ред. В. И. Са­нюка, Д. И. Тру­бец­кого. — М.: Прогресс-Тра­ди­ция, 2008. — 384 с. — ISBN 5–89826–282–2 Сборник посвящён памяти Юлия Алек­сандро­вича Дани­лова, извест­ного учё­ного-мате­матика, фи­зика, пере­вод­чика, писа­теля, попу­ляри­за­тора нау­ки. В изда­ние вклю­чены избран­ные научно-попу­ляр­ные статьи Ю. А. Дани­лова, обшир­ная библио­графия его науч­ных, научно-попу­ляр­ных работ, пере­водов науч­ных ста­тей и книг, авто­рами кото­рых явля­ются все­мирно извест­ные учё­ные. Сбор­ник также содер­жит воспо­ми­нания об этом заме­чатель­ном чело­веке и рас­считан на широ­кий круг чита­телей, инте­ресу­ющихся жиз­нью науки. Издание осуществлено при финан­совой под­держке Россий­ского гума­нитар­ного науч­ного фонда (РГНФ), проект № 06–03–16082.

Я хотела бы выразить искреннюю благодарность всем, кто принял участие в создании этой книги: Дмитрию Ивановичу Трубецкову и Валерию Ивановичу Санюку за проделанную работу по редактированию статей; Владимиру Ивановичу Аршинову за многостороннюю помощь в издании книги; Георгию Теодоровичу Гурия за активную поддержку на протяжении трёх лет подготовки сборника и убеждённость в необходимости его издания; Александру Евгеньевичу Войскунскому, Юрию Тихоновичу Кагану, Борису Николаевичу Пойзнеру за активное желание оставить память о Юлии Александровиче. Нину Михайловну Демурову я благодарю за её огромное желание сохранить память о Юлии Александровиче в кругу кэрролловедов, восстанавливая сохранившиеся записи выступлений Юлия Александровича и публикуя их. Я благодарю за помощь в пополнении библиографии работ Юлия Александровича Валерия Ивановича Санюка, Юлия Брука, Галину Петровну Вельскую. Я благодарна Николаю Михайловичу Троценко, Владимиру Израилевичу Сафонову за дружеское отношение к Юлию Александровичу, а Людмилу Герасимовну Гридасову за многолетнюю и продолжающуюся дружбу с семьёй. Я благодарна Михаилу Александровичу Данилову, младшему брату Юлия Александровича, за то, что преодолевая недуг, и это сравнимо с подвигом, он написал воспоминание о брате. Безмерно благодарна Наталье Николаевне Левиной — редактору журнала «Прикладная нелинейная динамика» и её коллективу за выпуск приложения к журналу ПНД (г. Саратов) к годовщине памяти Юлия Александровича, что послужило основой данной книги.

Всем-всем участникам, в том числе и издательскому коллективу во главе с Борисом Васильевичем Орешиным, и тем коллегам Ю.А., кого я не упомянула в силу обстоятельств, я выражаю огромную благодарность за помощь в издании книги.

Юлий Александрович Данилов
(1936 – 2003)

Многоуважаемый Глубокоуважаемый Читатель! Позвольте именно так обратиться к Вам уже по той причине, что Вы раскрыли во многом необычную и нестандартную по нынешним канонам книгу воспоминаний. В чём её необычность? Прежде всего, в личности учёного, переводчика и просветителя Юлия Александровича Данилова, о котором говорится на этих страницах.

В канонической мемуарной литературе, когда речь идёт об известном учёном, прежде всего перечисляются полученные им учёные степени, звания и прочие регалии, существующие во всём мире для ранжирования или определения статуса учёного в соответствии с общепринятыми (читай — усреднёнными) критериями. Да, именно усреднёнными, пригодными в большинстве случаев. Но, к счастью, не всегда! Вот именно таким нестандартным случаем и оказался в физико-математическом сообществе Ю.А. Данилов. Он приобрёл широчайшую известность и как математик, и как физик, и как переводчик, и как историк науки, и т.д., не обременяя себя никакой степенью, никаким званием, никакими регалиями. Взамен всего этого у него было имя — Юлий Данилов, абсолютно не нуждающееся в дальнейших эпитетах и пояснениях.

Дабы не сложилось неверного представления, сразу отметим, что стандартные, узаконенные пути к успеху, как говорится, никогда не были «заказаны» для Юлия Александровича. В 70–80-х годах он выполнил целую серию пионерских работ по групповой классификации нелинейных уравнений, являющихся и поныне классикой жанра. Оставалось лишь собрать это в стандартный «кирпич», потратить время на связанные с защитой процедуры, и любая искомая степень была бы получена. Но не любил этот обаятельный человек проторённые пути-дорожки. Именно в это время происходило бурное проникновение нелинейных идей и методов, активно развивалась физика солитонов, синергетика, закладывались основы эволюционно-синергетической картины мира. Идеи и методы были настолько свежи и нестандартны, что для их перевода на удобоваримый для огромной армии физиков язык требовался мудрый переводчик. Таковым и стал Юлий Александрович, раскрыв в себе нестандартное дарование полиглота, успешно освоившего, как он говорил, за своим письменным столом один за другим все европейские языки. И он по-царски распорядился своим даром, использовав его во благо всего физико-математического сообщества Советского Союза. Вспомните тогдашнюю обстановку, когда выезд за рубеж на конференцию был событием для целых институтов, счастливчиков месяцами потом расспрашивали и выпытывали на разных семинарах и диспутах. Зарубежная литература для большинства выпускников советских вузов была не только труднодоступной, но и трудно читаемой. Редко кому везло с изучением языков, а подготовить публикацию в зарубежном издании — об этом просто большинство и не помышляло. Во-первых, языковые трудности, а во-вторых, куча согласований, разрешений, допусков из многочисленных инстанций.

Вот Юлий Александрович и стал одним из первых, кто ринулся на прорыв этой «информационной блокады». Сейчас, во времена Интернета и электронной почты, всё это просто трудно себе представить, но в то время именно его переводы десятков и сотен самых важных и существенных зарубежных публикаций сыграли роль живительного потока для советской науки. Да ещё на каком высочайшем уровне всё это выполнялось Юлием Александровичем! Понятие халтуры было просто несовместимо с этим человеком. Не правда ли, Глубокомысленный Читатель, это была достойная замена стандартному «кирпичу», которого так добивалось институтское начальство. На книгах и статьях в переводе Данилова, по сути, выросло не одно поколение советских физиков и математиков, занявших лидирующее положение в мировой нелинейной науке.

В раскрытом Вами сборнике Вы найдёте отражение разных граней таланта Ю.А. Данилова, познакомитесь с его многообразными увлечениями. Но не надейтесь, что у Вас возникнет исчерпывающее представление о феномене Данилова в нашей культуре. Для этого Вам наверняка понадобится перечитать те «три полки» книг, которые он так вдохновенно перевёл, познакомиться с личностями их авторов (которые, как правило, были «одной с ним крови»). Вот тогда Вы сумеете понять всю даниловскую причудливость мира науки и вряд ли захотите покидать этот мир науки.

Как уже говорилось, Ю.А. Данилов не придавал особого значения стандартным званиям и степеням, у него была своя особая шкала измерения человеческих достоинств. На этой шкале была всего одна, но очень высокая метка, и если человек её достигал, то в таких случаях Юлий Александрович говорил просто и ёмко: «Он — настоящий!» Даниловского титула было непросто удостоиться, но уже и невозможно было потерять. Ведь за ним стоял весьма непростой напряжённый (если не сказать больше) ежедневный труд за письменным столом, вознаграждавшийся, по большому счёту, лишь упоительным общением с великими авторами, которые вне всяких сомнений были по шкале Данилова — настоящими!

Юлий Александрович Данилов... Наш современник, с которым некоторым из нас посчастливилось достаточно длительное время творчески и дружески общаться, и этого общения нам теперь всегда будет очень недоставать. Однако значение личности Ю.А. выходит далеко за рамки круга людей, знавших его лично, — его будет недоставать и многим читателям его книг, и слушателям его лекций, которых он в буквальном смысле приобщил к науке (а может быть даже — что ещё важнее — привил вкус к ней).

Наверное, к Ю.А. как редко кому другому подходит афоризм Бюффона «Стиль — это сам человек»: мало кто в нашей среде был столь полным воплощением высочайшей интеллигентности как в своём научном, педагогическом и литературном творчестве, так и в повседневном деловом и дружеском общении. Этот стиль и редкая интуиция проявлялись и в отборе произведений, которые Ю.А. предлагал издательствам сам или давал согласие переводить. Как правило, авторами этих произведений были люди, во многом формировавшие сам предмет, либо отличавшиеся оригинальным и изящным его изложением. Яркими примерами «даниловского отбора» могут служить сборник статей Германа Вейля «Математическое мышление» и книги Мориса Клайна.

Присущий Ю.А. стиль проявлялся и в том, насколько тщательно работал Ю.А. с этими произведениями не только как просто переводчик, но и как стилист, — каждый автор говорит у него присущим именно ему языком, разным в разных произведениях (достаточно взглянуть, например, на переводы Льюиса Кэрролла — одного из любимых авторов Ю.А.).

Неизменно поражает филигранная отделка всех видов интеллектуальной деятельности Ю.А., требующая не только безукоризненного владения материалом (который он, как говорится, чувствовал «кончиками пальцев»), но и блестящего знания ряда европейских языков. Поистине, Ю.А. в полной мере следовал принципу Людвига Витгенштейна «Границы моего мира — это границы моего языка» и неустанно расширял эти границы...

Далеко за рамки обязанностей переводчика выходил Ю.А. и в другом отношении: он всегда снабжал текст содержательными комментариями и научно-историческими примечаниями, справедливо полагая, что автора невозможно до конца понять, если не знать обстоятельств его творческого и жизненного пути.

Вообще интерес к личности в науке — одна из отличительных черт всей деятельности Ю.А. Он искренне переживал, когда видел далеко не достаточное внимание и уважение к достойным личностям (в особенности на фоне преувеличения роли дутых авторитетов). Во всяком случае, своей собственной судьбой он доказал, что можно быть известным и уважаемым членом научно-педагогического сообщества, не стремясь ни к каким формальным подтверждениям этого факта, да и просто не нуждаясь в них.

Пожалуй, немногие из нас были бы способны проявить такую силу духа, полную независимость от «мнения начальства» и равнодушие к «званиям и чинам», но именно эти черты всегда были отличительными для настоящего российского интеллигента. В то же время Ю.А. вовсе не был прекраснодушным мечтателем и «всепрощенцем» — он без колебаний порывал с теми, кто нарушал неписаный кодекс деловой, профессиональной или личной этики. Ю.А. решительно отвергал любые попытки той или иной (как правило, корыстной) эксплуатации его эрудиции и знаний и был строго принципиален в оценке научного и литературного качества как своих собственных, так и чужих произведений.

Когда размышляешь о феномене Ю.А. Данилова, представляется, что — при всей его гармоничности! — это не один человек, а некий собирательный образ, единый во многих лицах и ипостасях, действующий под неизменным девизом: «Те, кто любит Науку?, — объединяйтесь!».

Действительно, Ю.А. отличал прежде всего огромный переводческий и редакторский труд, объём и качество которого впечатляют даже на фоне отнюдь не бедного талантами корпуса российских переводчиков и редакторов (как художественной, так и научной литературы). А что такое перевод в широком смысле слова, как не объединение (по крайней мере, культурное) стран и людей, в них живущих?

Ю.А. — один из тех, кто своей неустанной работой воплощал определение самой культуры как «производительного существования» (Б.Л. Пастернак) и при этом не декларативно, а вполне предметно и убедительно доказывал, что наука — это неотъемлемая часть культуры.

Ю.А. во многом олицетворял собой и объединение наук: будучи по образованию математиком, он глубоко и тонко понимал не только смежную с ней физику, но и несколько более отдалённую от них философию естествознания и познания вообще (разумеется, освобождённую от догматических пут) — неслучайно Ю.А. был одним из постоянных авторов журнала «Вопросы философии».

Неудивительно, что Ю.А. практически сразу оценил смысл и значение самой «объединяющей» из наук — синергетики. Он много сделал для её развития и популяризации в России —достаточно упомянуть его переводы книг Г. Хакена и И. Пригожина, Дж. Николиса и В. Эбелинга, а также статьи и лекции на эти темы. В течение многих лет Ю.А. был учёным секретарём единственного в Москве синергетического семинара профессора Ю.Л. Климонтовича на физическом факультете МГУ.

В своей лекторской и писательской деятельности Ю.А. неизменно следовал принципу, который можно было бы назвать объединением времён: он убедительно показывал, что ткань науки едина, что существует незримая связь между учёными разных стран, разных поколений и разных (порой весьма драматических) личных судеб. Будучи сам цельной творческой личностью, Ю.А. хорошо понимал поиски (а порой ошибки и заблуждения) многих крупных учёных — преимущественно физиков и математиков прошлого и настоящего времени. Кроме того, Ю.А. прекрасно знал многие существенные детали их творческих биографий и умел захватывающе интересно рассказывать о них.

Я старался не пропускать выступлений Ю.А. и иногда по нескольку раз слушал одни и те же темы, каждый раз находя в них что-то новое для себя. Сожалею, что не записывал соответствующие тексты подробно, а Ю.А. по своей скромности, видимо, не считал нужным их публиковать. К счастью, всё же оказалось опубликованным (по крайней мере, частично) блестящее изложение Ю.А. основных идей теории фракталов в рамках спецкурса на физическом факультете МГУ, который я регулярно посещал.

Слушая Ю.А., можно было не только пополнить свой научный багаж, но и приобщиться к его замечательному искусству «импровизаций на тему», а тем таких — прямо связанных с излагаемым материалом — у него всегда было в избытке: о Безиковиче, Банахе, Канторовиче, Хаусдорфе, Белоусове, Тьюринге... При этом Ю.А. никогда не повторялся — он всегда знал гораздо больше того, что рассказывал, и хорошо понимал интересы своих слушателей (которые обычно ждали от Ю.А. его «лирических отступлений»).

Неудивительно, что именно Ю.А. было предложено написать значительную часть биографических очерков в детской энциклопедии «Аванта+» (том «Физика»), а 2003 г. вышло в свет 2-е издание его прекрасной книги о П.Л. Чебышёве и «чебышёвских полиномах». Жаль, что Ю.А. не оставил нам биографии нобелевского лауреата И.Р. Пригожина, чьим личным другом, переводчиком книг и выступлений в России, а также неоднократным гостем в Брюсселе Ю.А. довелось быть.

Об актуальности и качестве биографических трудов Ю.А. может свидетельствовать и такой факт: недавно в журнале «Успехи физических наук» (№ 12 за 2004 год) опубликована (к сожалению, с годовым опозданием) статья М.И. Монастырского к 100-летию Джона фон Неймана. Единственным источником в отечественной литературе, на который можно было в этой связи сослаться, оказалась посвящённая этому выдающемуся (но пока недостаточно известному у нас) учёному брошюра Ю.А., опубликованная им ещё в 1981 году в издательстве «Знание».

Обладая широким физико-математическим образованием, незаурядными творческими способностями и фантастическим трудолюбием, Ю.А. участвовал одновременно в целом ряде, как теперь принято говорить, «проектов» — научных, издательских, педагогических... Будучи прежде всего профессиональным математиком, Ю.А. совместно со своим старшим коллегой по Курчатовскому институту профессором Я.А. Смородинским был фактически «в ответе» за многие научные проекты института, требовавшие высокой математической культуры и владения современными достижениями математической физики.

Ю.А. в полной мере удалось то, что очень редко кому удаётся в нашем жёстко формализованном мире (в том числе и научном): он завоевал себе право заниматься тем, что его действительно интересовало, а потому он всегда любил то, чем занимался. Следы этой увлечённости видны буквально во всём его творчестве — будь это его научные статьи, конспекты лекций или переводы избранных им авторов.

Наверное, не случайно Ю.А. часто выбирал в качестве объектов своих переводов книги (особенно по математике), представляющие научное исследование в виде «игры» — ведь, пожалуй, именно интеллектуальная Игра с Природой (или, в традиции Спинозы, с Богом) и является настоящим человеческим измерением Науки. Во всяком случае, именно такое понимание науки было свойственно Эйнштейну, Бору, Гейзенбергу, Дираку, и именно оно нашло отражение в знаковой книге Германа Гессе «Игра в бисер».

Кстати, сегодня в России как никогда актуально звучит «Письмо магистра Игры администрации Педагогического ведомства», которое стоит перечитать и под которым наверняка подписался бы Ю.А. Ведь в каком-то смысле он сам повторил судьбу Йозефа Кнехта — главного героя Гессе, для которого в конце жизни самым главным стало воспитание юношества.

Как тут не вспомнить о замечательной педагогической деятельности Ю.А. в Курчатовском лицее и физико-математическом колледже Саратовского университета. Уже будучи серьёзно больным, Ю.А. не раз говорил, что он может позволить себе не пойти на важное академическое мероприятие, но никогда не даст себе права пропустить очередную встречу с «детьми». Случилось так, что именно поездка к обожавшим его ученикам в Саратов стала для Ю.А. последней...

Ю.А. Данилов с участниками «Нелинейных дней–2003»

Всё сказанное о Ю.А. (а сколько ещё следовало бы сказать!) каким-то непостижимым образом сливается в удивительной гармонии — наверное, это и есть ключевое слово, характеризующее Ю.А. и его творчество. Во всяком случае, я не был удивлён, с большим опозданием узнав, что Ю.А. в школьные годы прекрасно играл на скрипке — ведь именно музыкальная гармония является общим символом гармонии. Очень жаль, что нам не довелось увидеть — именно в переводе Ю.А.! — уникальную книгу Дугласа Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах», дающую представление об «универсальной» гармонии. [См. в этом сборнике статью Ю.А. Данилова «Приглашение на Хофштадтера». — Прим. ред.]

Хочется надеяться, что полный и адекватный анализ — науковедческий, психологический и особенно культурологический — огромного и яркого феномена, который являл собой Юлий Александрович Данилов, ещё впереди. Нет сомнения, что если бы существовал Всемирный Орден Рыцарей Культуры, Юлий Александрович был бы одним из его российских магистров.

В качестве заключения позволю себе привести цитату из уже упомянутой книги Г. Гессе «Игра в бисер», написанной им в Германии в период с 1930 по 1942 год и изданной в СССР в период «оттепели» в переводе С. Апта. На мой взгляд, эта цитата (да, пожалуй, и вся книга) служит своеобразным «ключом» к творчеству Юлия Александровича Данилова и звучит более чем актуально в сегодняшней России:

...Да будет мне позволено привести слова досточтимого отца Иакова, записанные мною, магистром игры в бисер Йозефом Кнехтом, во время одной из наших незабываемых бесед:

«Могут придти времена ужаса и величайших бедствий. Но если бывает счастье и в беде, то оно может быть только духовным — обращённым назад, чтобы спасти культуру прошлого, обращённым вперёд, чтобы с бодрою весёлостью представлять дух в эпоху, которая иначе целиком оказалась бы во власти материи»...

Впервые с Юлием Александровичем мы познакомились заочно при несколько необычных обстоятельствах. Будучи на конференции в Брюсселе, мой наставник и соавтор Владимир Григорьевич Маханьков отрекомендовал меня Илье Романовичу Пригожину как специалиста по топологическим солитонам. Осенью 1992 г. я получил приглашение от Ильи Романовича провести несколько месяцев в Сольвеевском институте и ознакомить его с этой тематикой. Все, кто бывал в этом институте, безусловно помнят замечательную мадам Надин, царившую в приёмной Ильи Романовича и решавшую все насущные вопросы визитёров. Узнав о том, что я физик и прибыл из России, она тут же задала вопрос:

— О, тогда вы знаете Юлика Данилова, как его дела?

К глубокому сожалению, в то время я не был знаком с Юлием Александровичем и не стал скрывать этого от мадам Надин. Приговор последовал незамедлительно:

— Тогда вы или не русский, или не физик...

О том, насколько был справедлив приговор мадам Надин, мне удалось убедиться лишь по возвращении в Москву. Даже в моей домашней библиотеке я обнаружил почти целую полку книг, которые переводил Юлий Александрович Данилов. Положа руку на сердце, редко кто из нас, штудирующих в студенческие годы Голдстейна, Швебера, Паули, Гейзенберга, Гильберта и других классиков, обращает внимание на то, благодаря кому всё это становится нам, россиянам, доступным. Ещё меньшее число людей представляет себе, насколько это тяжёлый и, по сути, подвижнический труд. Для того чтобы это понять, надо попробовать перевести хотя бы одну книгу с чужого языка, не искажая при этом мысли автора... А если при этом учесть положение дел с обучением иностранным языкам в советской высшей школе, где в основном достаточно было не говорить и не писать на языке, а сдать пресловутые «тысячи», то становится понятной громадная роль переводчиков-подвижников в том, что в 70-х–80-х годах XX века советские математические и физические школы стали занимать ведущие места в мировой науке. Именно к числу переводчиков-подвижников принадлежал Юлий Александрович Данилов, который самостоятельно освоил 18(!) языков и перевёл более 100 книг по физике и математике. Как он сам говорил: «Закончил уже третью полку...» Даже одного этого подвига было бы достаточно для того, чтобы имя этого замечательного интеллектуала навсегда осталось в истории нашей науки. А ведь были ещё и замечательные работы по нелинейной динамике, по приложениям теории групп Ли и дифференциальной геометрии к решениям нелинейных уравнений, превосходные циклы лекций в Курчатовском институте и в Институте истории естествознания и техники, на которых первые ряды занимали маститые академики.

Но всё это я узнал значительно позже, когда в 1998 г. занялся созданием тома «Физика» «Энциклопедии для детей» издательства «Аванта+». Мне очень хотелось, чтобы в этом проекте приняли участие лучшие представители расцвета физической науки в России, которые ещё не успели или не захотели рассыпаться по зарубежным «постдоковским» контрактам. В числе первых большинство авторитетных физиков и математиков рекомендовали мне обратиться к Юлию Александровичу, и благодаря этому состоялось наше телефонное знакомство. Я рассказал ему о проекте, но он не сразу захотел принимать в нём участие. Имея горький опыт взаимодействия с новоиспечёнными издателями, для которых даже у этого глубочайшей воды интеллигентнейшего человека было лишь одно название: «бандиты», Юлий Александрович поначалу отнёсся к проекту с некоторой опаской. При следующем разговоре я рассказал ему про эпизод с мадам Надин, а он успел уже к этому времени ознакомиться с продукцией «Аванты+», в итоге — он не только дал своё согласие, а сказал, что мы можем полностью рассчитывать на него. Как я потом убедился, это были не просто слова. Труд над томом «Физика» был весьма непростым. Перед нами стояла задача рассказать о современном состоянии физики, не пользуясь при этом математикой, выходящей за рамки школьной, и не прибегая к вульгаризациям. Не знаю, как бы мы справились с этой задачей, не будь в нашем коллективе такого всепоглощающего эрудита, как Юлий Александрович. Помимо того, что он написал лично более полусотни статей и очерков, он каким-то образом добровольно взял на себя обязанности и редактора, и «универсального энциклопедического автоответчика».

Поскольку «Аванта+» была создана энтузиастами — выпускниками мехмата МГУ и даже после огромного успеха у читателей (о чём говорят миллионные тиражи) так и не получала никогда ни копейки денег из бюджета, на создание каждого тома отводились довольно сжатые сроки, и мы очень часто оказывались в цейтноте. Юлий Александрович при этом выполнял роль и отца-спасителя, и отца-хранителя. Несмотря на летнюю жару и, как он говорил, «пошаливающее сердце», Юлий Александрович всегда находил возможность вовремя принести нужный к вёрстке материал, дать незаменимый совет художникам, иллюстрировавшим наш том, приободрить отчаивающихся ответственных редакторов, которых брали за горло сроки...

Безусловно, очень тяжело и горько, что этого замечательного человека нет среди нас, что не осуществились (может быть, пока) его планы по переизданию «всего Перельмана» и по созданию полной библиотеки научно-популярной литературы для юношества, список которой он начал составлять... Но уже всё то, что свершил Юлий Александрович за свою короткую и яркую жизнь, позволяет говорить о нём как о Просветителе Земли Российской.

Судьбе было угодно, чтобы в пору аспирантской молодости я встретил в лице Юлия Александровича Данилова человека, который открыл мне глаза на эстетическую сторону всякой познавательной деятельности.

Первая встреча с ним произошла заочно. В середине 1970-х у меня в руках оказалась переводная книжка небольшого формата с нейтрально звучащим названием «Симметрия». Имя автора — Г. Вейль — ничего мне тогда не говорило. Само собой разумеется, что книга не входила в круг так называемого «обязательного чтения» для студентов МФТИ. Однако, открыв её на случайной странице, я вдруг оказался вовлечён в мир понятий и проблем, от которого невозможно оторваться. Перед моим взором зримо предстали древнеегипетские паркеты и дворцовые орнаменты из Альгамбры. Оказалось, что понятие инвариантности объекта по отношению к некоторым преобразованиям, связанным с его действительным или воображаемым перемещением в пространстве, уже многие века использовалось людьми для реализации художественных замыслов.

Манило и завораживало то, что такое знакомое по учебникам высшей алгебры понятие, как группа, вдруг словно ожило, заиграло многими красками. Я поймал себя на мысли о том, что чисто утилитарная значимость теории групп, столь ценимая всяким, кто стремится к поиску так называемых «нормальных форм», полно и неполно симметричных колебаний молекулярных систем, к определению наиболее удачных подстановок и т.д., как-то меркнет на фоне тех грандиозных архитектурных и неброских на первый взгляд ремесленных изделий, как тогда говорилось, «местной промышленности», в которых симметрийные идеи воплощались и которые ими одушевлялись. Рассматривая отдельный узор, орнамент или композиционно целостное, обладающее чертами завершённости изделие, подсознательно ловишь себя на мысли, что степень умелости и искусности создателя, как ни в чём другом, часто проявляется в совершенстве воплощения идей симметрии. Разум не хочет мириться с мыслью, что наличие правильных, «благородных» пропорций у того или иного объекта в природе имеет случайное происхождение, не есть знак, зримый след усилий Творца.

Бросалось в глаза и другое: Герман Вейль, являясь профессиональным математиком, т.е. лицом, принадлежащим к касте сторонников чистого отвлечённого (если угодно, наиболее абстрактного) знания, пытался выявить глубинный смысл понятия «симметрия», апеллируя не к тому, как его следует описывать в рамках той или иной аксиоматики, а к тому, что оно представляет собой по сути, к тому, в какой мере это понятие соотносится с нашей интуицией. Было несомненно, что он пытается содержательным образом раскрыть то, что обычно аксиоматически (в своём кругу) принято постулировать! И для этого ему потребовались слова и лишь в незначительной степени — символы и формулы. Складывалось впечатление, что для Вейля филологические конструкции более адекватны и строги по сравнению с сугубо математической символикой. Сама мысль о возможности использования употребляемых в обиходе слов для безукоризненно точной передачи содержательных идей казалась мне архаичной, не отвечающей духу времени, требовавшему более широкого использования рафинированной математической символики для целей строгого изложения.

Чтение Г. Вейля не просто завораживало, оно убеждало, что за пределами математического формализма остаётся если не всё, то, по крайней мере, самое главное из «самого содержательного». Выходило так, что «формулы отдельно», а содержательная сторона дела — отдельно! Возникало опасение: «А не является ли принятый в математических кругах язык символьного описания особым способом кодировки и перекодировки когда-то содержательных, а потом утративших содержание сообщений?» Получалось, что Вейль решает «обратную задачу» — задачу декодировки — задачу восстановления (так и хочется сказать — воскрешения) смысла.

Эта его антиформалистская деятельность никак не вязалась в моём сознании с тем, чем, по моему мнению, заняты современные математики. Пусть бросит в меня камень тот, кто скажет, что они хоть что-нибудь делают, чтобы быть «поняты массами трудящихся».

Вейль же, раскрывая смысл, пользовался обыденным языком, но как-то филигранно, местами по-старорежимному, подбирая слова. С какого-то момента я понял, что между намерениями автора и его речью существует таинственная взаимная связь. Слова подчиняются смыслам, а смыслы словам! Они жили вместе. Стало ясно, что в работе над русским текстом Вейлю кто-то помогал.

В этот момент я открыл титульную страницу ещё раз и прочитал: «Пер. Ю.А. Данилов». Увы, я ничего не знал о существовании такого писателя! Имя мне ничего не говорило...

Понятное дело, я знал М. Шолохова, ну там, классиков... Обескураживало то, что текст, который я держал в руках, обладал несомненными художественными достоинствами. Классическая, безупречная манера. Ничего лишнего. Кристальная ясность. Стилевая неповторимость. После Лермонтовской «Тамани» ни одно произведение не захватывало меня таким же чарующим образом. Было очевидно: этот неизвестный мне Ю.А. Данилов — мастер своего дела...

На театре принято после блистательного исполнения требовать на сцену автора. С книгами всё иначе... Традиция писать автору или переводчику личные благодарственные письма, увы, была уже утеряна. Оставалось ждать «нечаянных встреч». И они не заставили себя ждать!

Впервые воочию я увидел Юлия Александровича в Горьком, точнее, на Ветлужской, где в 1981 году проходила знаменитая школа «Нелинейные волны». Он был докладчиком по теме, которая витала в воздухе: «Что такое синергетика?». От своего имени и от имени своего содокладчика Б.Б. Кадомцева Юлий Александрович изложил в общих чертах суть положений новой дисциплины, следуя уже полгода как опубликованной на русском языке книге Германа Хакена «Синергетика». Две вещи мне сразу бросились в глаза. Было совершенно очевидно, что докладчик пользуется огромным авторитетом. И несмотря на это, его сообщение вызвало, как сейчас принято говорить, «противоречивую» реакцию. Посыпались вопросы из зала. Завязалась дискуссия. Докладчик корректно отвечал на иногда весьма колкие вопросы и скептические замечания, нисколько не теряя самообладания и не «опускаясь» до уровня вопрошающего. Температура дискуссии постепенно поднималась, а докладчик в безупречной академической манере разъяснял суть вещей, нисколько не разделяя скепсиса вопрошающих.

Признаться, мне никогда ранее не доводилось видеть своими глазами людей, в столь безупречной манере отвечавших на вопросы присутствующих. Казалось, они просили его спуститься с небес на землю и «по рабоче-крестьянски» объяснить, в чём же суть дела. Но он был неумолим и не снисходил дальше того, что сделал в своём докладе, словно ожидая, что зал «поднимется» до его уровня.

Ведущие заседание А.В. Гапонов-Грехов и М.И. Рабинович пригласили на трибуну содокладчика. Б.Б. Кадомцев вышел, зал затих. Борис Борисович дал, как ему, видимо, казалось, необходимые пояснения, но, увы, зал ждал чего-то другого.

Наступила пауза. На трибуну вышел Яков Борисович Зельдович. Вскользь отметил, что он «немного знаком» с неустойчивостями и бифуркациями, но саму книгу не читал, и сегодня, прослушав доклад, не стыдится признаться в том, что так и не понял, в чём суть новой науки. Мне казалось, что, говоря, он обращается непосредственно к Юлию Александровичу Данилову: «Либо это что-то действительно выходящее за рамки моего понимания, либо здесь что-то не так!»

Со стороны представлялось так, словно на Зельдовича давил не столько авторитет Кадомцева, сколько Данилова, а он набрался смелости всё же высказать своё суждение.

И тут как будто что-то прорвало. Пошли выступать один за другим. Началась настоящая рубка. Нет нужды описывать ход событий. Последними выступали друг за другом «случайный участник школы» — автор этих строк — и Юрий Львович Климонтович. Он-то и поставил увесистую точку. Стало ясно, что «синергетика устояла»...

Оглядываясь назад и зная, что произошло потом, я не перестаю удивляться тому мужеству и достоинству, с которым Ю.А. Данилов взялся защищать, как многим представлялось, «заведомо гиблое дело». И где защищать? В самом что ни на есть «нелинейном логове». Может быть, с такой же решимостью и внутренней уверенностью в своей правоте «подвижники веры» шли проповедовать среди тех, «которые не знают, что творят». А иногда, напротив, очень хорошо знают, ведь учёные заняты не только поисками истины, не чужды им и земные слабости и интересы.

Не только с позиций нашего нынешнего XXI века с его «базарной экономикой» и тотальной апологетикой прагматизма, но и с позиций начала 80-х годов прошлого столетия Ю.А. Данилов представлялся безупречным «рыцарем истины», со своим «кодексом чести» и внутренними правилами.

Возвращаясь к дискуссии на Ветлуге, замечу: она выплеснулась в кулуары школы. Полагаю, что не прочитавшие к тому моменту книгу Г. Хакена сильно об этом пожалели. Через день-другой после дискуссии должен был быть ещё один доклад Ю.А. Данилова, посвящённый методам применения групп и алгебр Ли к решению нелинейных задач. Нет нужды говорить, какой огромный интерес он вызвал. Как известно, с решением нелинейных задач не всё так гладко, как с решением линейных. Сколько-нибудь регулярных «ключей» не существует, оттого в большой цене разнообразные «отмычки» — средства для нахождения частных решений.

Перед лекцией зал полон до отказа. Все присутствующие не сомневаются, что «Данилов знает больше, чем говорит»... Придя заблаговременно и заняв «выгодную» позицию, «чтобы и доска, и экран были видны», только и слышу вокруг: «групповые методы, групповые методы»... Думаю про себя: «Скрывали от нас, что ли, эти методы? Вроде бы я всю эту "высшую математику" уже сдал...» В какой-то момент показалось, я единственный в зале, кто не знал, о чём пойдёт речь.

Выходит лектор на сцену, достаёт целлофановые прозрачки, включает диковинное по тем временам устройство, потомков которого принято называть «оверхед». Становится ясно, что писать на доске лектор не будет — придётся быстро конспектировать. Начинается лекция. Надо сказать, что по правилам тех знаменитых Горьковских Школ лектору вменялось в обязанность не сразу приступать к изложению сути дела, а сначала несколько «загрунтовать фон», дать некоторое ретровидение проблемы. Не скрою, мне это было очень кстати: невежествен я был, как показало время, чудовищно.

Между тем лектор начал словами: «Как известно, проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах долгое время волновала исследователей...» В течение нескольких минут лектор «напоминал» собравшимся имена известных учёных, ломавших голову над этой проблемой, живших и работавших со времён Античности и до начала XIX века. Потом последовало: «Как вы знаете, ключевое продвижение произошло благодаря тому, что Эвариста Галуа посетила мысль связать проблему разрешимости уравнения с проблемой разрешимости группы перестановок, ассоциированной с данным уравнением, т.е. с группой симметрии данного уравнения».

Думаю: «Про симметрию я уже читал, а вот всё остальное как-то не по делу. Мы же пришли слушать про поиски решений дифуров».

Лектор, словно уловив мою мысль, продолжает: «Эта идея о связи симметрии уравнения с его разрешимостью легла в основу развитой Софусом Ли теории поиска частных решений нелинейных дифференциальных уравнений». «Прежде всего, как вы понимаете, Софусу Ли предстояло построить группы преобразований, оставляющих данное уравнение в инвариантном виде». Физикам эти преобразования известны как преобразования подобия. Во многих случаях их удаётся непосредственно угадать, достаточно долго смотреть на уравнение, пока оно «само собой» не разрешится. Софусу Ли принадлежат методы, которые позволяют исчерпывающим образом находить все такого рода преобразования. После слов: «Сейчас я вам покажу, как это просто делается» — пошли выкладки. Одна прозрачка сменяет другую. Мистика какая-то. Берёт КдФ, раз-два — и получается уравнение диффузии. Всё это казалось невероятным по блистательности и красоте трюком. Я тоже так хотел...

До сих пор помню потрясение от этой лекции. Как в наваждении, после неё подхожу к лектору. Признаюсь, что не всё успел записать. Спрашиваю, где можно это прочесть? Отвечает: «Нигде, но у вас есть шанс, если вы успеете переписать прозрачки до 16.00. Видите ли, целлофановые прозрачки у нас в дефиците, и текст одного доклада приходится смывать спиртом, чтобы кто-то другой мог их вновь использовать». «Да уж, видно, моим потрясениям в этот день не будет предела», — подумалось мне. Было что-то, на мой взгляд, кощунственное в том, чтобы смывать уникальный, непонятный мне до конца текст с его единственного носителя. «Смывать спиртом» или одеколоном. Подумалось: «Да не всё ли равно чем».

Я немедленно согласился. Слышу: «Идёмте прямо сейчас ко мне в комнату, там есть ещё тетрадь, в ней всё в более развёрнутом виде...» Приходим. «Вот, садитесь тут. Думаю, вам будет удобно. Простите, мне надо отойти, я обещал Сене заглянуть к нему». Всё, он ушёл. Я один, у меня в руках текст, который через пару часов умрёт. Сижу переписываю, спешу. Время от времени в комнату заглядывают люди. Спрашивают одно и то же: «Где Юлик?» Говорю: «У Сени». Про себя отмечаю, что все всех знают. С прозрачками справляюсь быстро — их всего 25–30, открываю тетрадь. А там текста с выкладками страниц на 70–80. И текст-то всё плотный, связный. Всё, чего нет на прозрачках, прописано слово в слово. Отдельные куски помечены. Пишу по инерции быстро, но вижу, что мне не успеть. Потом соображаю, что тетрадь не будут «смывать спиртом» вскорости.

Начинаю вчитываться. Даётся плохо. Ловлю себя на мысли, услышанной после дискуссии в кулуарах: «Культура для своего восприятия требует предварительной подготовки». Мысли, сначала задевшей меня, а в комнате Данилова ставшей очевидной, как говорят, «более чем!»

Вернулся Данилов; признаюсь, что прозрачки переписал, а тетрадь не даётся. Да и удобно ли это... Он перебивает: «Удобно, удобно, продолжайте не торопясь». Сижу, пишу дальше. Мало что уже понимаю. Приходят и уходят гости, заваривается чай. А я, не отрываясь, пишу, словно боюсь, что отнимут. Как будто прочитав мои мысли, Юлий Александрович говорит: «Гера, садитесь пить чай с нами, а тетрадь возьмёте с собой, потом допишете...» Подсаживаюсь к столу, идёт живая беседа. Непринуждённо, с юмором обсуждаются самые разные темы. Кажется, что он с лёгкостью предугадывал ход мысли собеседников, а его замечания и уточнения приходятся непостижимым образом всегда кстати, к месту. С той самой первой близкой встречи и до сегодняшнего дня у меня осталось то невероятное ощущение лёгкости, с которой Юлий Александрович общался с самыми разными людьми. Лёгкости и простоты природного аристократического свойства, без тени чопорности и высокомерия.

Не раз ловил себя на мысли о том, сколь сильно «не дотягиваю» до его высоких «стандартов». Складывалось ощущение, что при общении он «приподнимает» собеседника до своего уровня. И было видно невооружённым глазом, как «малонаселен» этот уровень. Всякий раз обнаруживалось, что, рассказывая о чём-то, давая разъяснения или отвечая на вопрос, он делает это (и смотрит на предмет) с какой-то более высокой, чем вопрошающий, позиции. В некотором смысле сверху вниз. Всегда безукоризненно по форме, словно извиняясь, он часто своим уточнением поправлял собеседника в какой-нибудь незначительной детали — и наступала смысловая «перколяция». Ситуация в целом представала в совершенно ином свете.

При этом выглядело всё так, словно Данилов как бы считал, что незнание деталей, вообще говоря, извинительно, кроме тех случаев, когда неприлично. «Налететь» на такое тонкое «уточнение» имел шанс каждый. И автор этих строк не исключение. Юлий Александрович знал массу примеров и исторических высказываний по самым разным поводам. Сражала наповал та лёгкость, с какой его уточнения «ложились в цель». Их поражающая сила была убийственной. Для тех, кто понимает, кто способен оценить. Полагаю, что не всем его знакомым и коллегам, «достигшим чинов известных», терпеть такое отношение к себе и своим «глубоким сентенциям» было приятно. Думается, что риск получения «укола по самолюбию» был платой для всех амбициозных и не очень людей, кому выпало счастье общаться с Юлием Александровичем.

Признаться, и я по молодости, попав впросак пару раз с Даниловым, стал робеть высказывать свои мысли при нём и, как теперь говорит молодёжь, «излишне напрягаться». Призрак повсюду присутствующих, но ускользающих от меня деталей повис было в наших отношениях. Ох, уж эти детали... Вспоминается сказанная мне по случаю Даниловым фраза: «Позор тому, кто, не зная всех обстоятельств, подумает плохо!» Девиз Ордена Подвязки. Ну, кому же дано знать все обстоятельства... Выходит так, что остаётся думать хорошо! Сколько раз мне доводилось быть свидетелем того, как сам Юлий Александрович бывал сражён наповал чьим-то хамским ответом или же заявлением, которого он никак не ожидал. Вот тебе и думай хорошо, не зная деталей... Уже в пору нашего хорошего знакомства, где-нибудь на берегах Волги вблизи Саратова, слушая его выстраданные и в чём-то по-детски трогательные рассказы о издателях, я вспоминал циничную фразу о том, что невозможно переоценить чужую жадность. Но это уже было время, когда мне хватало ума и такта не произносить эту фразу вслух.

Как бы то ни было, но именно Ю.А. Данилову я обязан осознанием того, в какой мере драматически способна отдельная деталь менять восприятие «общего плана». Конечно, и до встречи с ним мне было известно, что в жизни и в театре каждая деталь важна, но то, что есть целая область науки — «нелинейщина», в которой деталь порой сверхважна — было совсем неочевидно. Именно в этой «Х-науке» изучают неустойчивости, критические явления и катастрофы, происходящие в ответ на малые и сверхмалые воздействия, и, что особенно важно в нелинейщине, как это происходит в знакомых до боли «бытовых» и литературных сценариях, естественным образом могут уживаться «две правды» — ответ зависит от контекста или «истории вопроса». Контекстные детали способны столь радикально менять наше видение нелинейной ситуации, что о какой-либо «непрерывной зависимости решения от параметра» говорить не приходится.

Двадцать пять лет назад многим не верилось, что «законы бытия» в их «околокритической части» в такой степени универсальны, что способны накрывать в единообразном ключе всю культуру как целое, игнорируя принятое в новое время разделение на естественные и гуманитарные науки, искусства и ремесла. Ещё менее вероятным казалось, что Г. Хакену или кому-либо ещё было дано свыше постулировать такого рода универсальность, а другим, вроде Ю.А. Данилова, мужественно и по-рыцарски отстаивать. Но жизнь идёт, и казавшееся ранее невероятным становится привычным. Лежащие в основаниях синергетики идеи проникают в умы людей, вовлечённых в принятие серьёзных социально-политических решений и управление социумом. Другой вопрос, что из этого выйдет, но это отдельная песня...

При общении с Ю.А. Даниловым у меня иногда складывалось впечатление, что число этих критических, «круциальных» деталей столь велико, что о каких-либо «правильных» закономерностях, «игнорирующих случайный фон», «контекстно инвариантных», говорить вообще некорректно. Между собой мы не раз затрагивали эту тему. И полушутя Юлий Александрович мне отвечал каждый раз словами: «Говорить можно. Лишь надо знать, когда, кому и с кем...»

Понятно, что чувствительность к «малым шевелениям» системы с точки зрения современных нелинейных наук тесно связана с таким базовым основополагающим понятием, как «грубость» (в математической литературе ему обычно ставят в соответствие «топологически орбитальную эквивалентность»). Как-то так повелось считать, что грубость является свойством самой рассматриваемой системы, точнее — её математической модели, т.е. дилемма «грубость–негрубость» может быть разрешена, вообще говоря, и вне зависимости от воли наблюдателя. Насколько обманчиво-иллюзорно убеждение, что это верно всегда (а не «в определённых случаях»), приходилось убеждаться не раз, когда в кулуарных беседах тема всплывала раз за разом. Признаюсь, меня завораживала какая-то нечеловеческая сверхвысокая чуткость Данилова к проблеме понимания с научных позиций «грубости». Казалось, что в его отношении к проблеме доминирует эмоциональная чуткость, аналогичная абсолютному слуху в музыке, нечто сверхрациональное, способное отделять фальшь от истины с той органической непосредственностью и простотой, которая свойственна детям, без принятого в кругах «рациональных» взрослых членения целого на части.

Раз за разом Данилов демонстрировал мне (как всегда походя и как бы случайно), сколь сильно смысл текстов и иных рациональных продуктов интеллекта модулируется подтекстом, т.е. тем, что остаётся между строк. В умении разглядеть эту «скрытую часть посланий» и кроется истинный «книгочей». Несметное количество открытий такого рода сакральных для разных авторов смыслов открыл Данилов для русской читающей публики. Ещё больше было раздарено им изустно своим близким, друзьям и коллегам. Немало перепало и школьникам и студентам, читателям «Кванта» и других популярных изданий, а также слушателям «Нелинейных дней для молодых» в Саратове. Но об этом будет сказано далее. Сегодня же с некоторой грустью спрашиваешь себя: «В какой мере мы, друзья и коллеги Юлия Александровича, осознавали значение его просветительского, подвижнического, титанического, а периодами буквально каторжного труда?» Трудно говорить за всех, но мне и сегодня кажется затруднительным переоценить (т.е., как принято в математике, оценить сверху) те бесценные дары, которые преподнёс, которыми бескорыстно поделился Данилов со своими современниками, знавшими его лично и никогда не видевшими его. Более того, я думаю, что, подобно настоящему марочному вину, со временем ценность его даров нам будет возрастать, а смысл оставшегося между строк постепенно будет раскрываться, и ещё не одно поколение жаждущих знаний молодых людей будет читать оставленные им книги в глубоком ночном уединении.

Внерамочность, несоизмеримо большая крупность Данилова по сравнению со всеми другими несомненно выдающимися мыслителями, которых довелось знать, да простят меня они, остаётся для меня загадкой. Образ его в моём сознании не поддаётся «метризации». Я до сих пор не знаю, с чьим образом он может быть сравним, как в своём величии, так и в совершенной неповторимости.

Для самого Юлия Александровича одним из любимых образов был фрактал с его полной внутренней прелести дробностью размерности, с ускользающими на каждом увеличении «деталями» и бесконечной причудливостью и прихотливостью формы. Фрактал как объект пользовался такой безграничной и трогательной любовью Юлия Александровича, что не раз, видя это, я вспоминал известную фразу Марка Аврелия: «Солдат должен любить войну, как землепашец землю, кормящую его». В отношении Данилова к фракталам не было ничего утилитарно-потребительского, напротив, было что-то в высоком смысле по-религиозному светлое. Говоря о том, что он узнал про эти невероятные объекты, он светился радостью. Он был в своей стихии. Может быть, и образ Данилова в моей памяти мозаично-фрактален? Может быть, но фрактал измерим с позиции теории множеств. Значит ли это, что он постижим в той мере, в какой мы привыкли ожидать от «грубых» объектов? Думаю, что нет.

Общаясь с Даниловым, я «на каждом увеличении» видел перед собой богатый мир, не уступающий по своему разнообразию тому, что доводилось видеть на всех иных. Непостижимо.

Сейчас, с позиций моих неполных пятидесяти лет, невозможность постигнуть что-либо воспринимается спокойно, как данность, без выброса адреналина в кровь. Чарующая привлекательность непостижимого волнует как-то иначе, вызывая цепь ассоциаций и многократно самоотражающихся рефлексий, если и сходящихся, то асимптотически... Уже ни мистика, ни магия, данная нам в музыке, не оспариваются разумом как предметы, «не всем» данные в «непосредственных» ощущениях, данные лишь «избранным», и с благодарностью принимаются в мгновения откровения. Уже не вопрос, что скрытая в ритмах и шорохах тайна своей бездонностью может выходить за рамки нашего текущего понимания и постижения за любые разумные времена «экспозиции». Уже не секрет и сингулярная тканость времени и математических образов его, и нет вопиющего внутреннего протеста против невозможности или принципиальной непостижимости чего-либо несоизмеримого с «твоим конечномерным базисом». Я уж не говорю здесь про корректность наложения требований полноты к «открытым» системам, их образам и пространствам.

В Данилове было что-то «ортогональное» ко всему. В его отзывчивой к чужой боли душе жило сострадание и понимание многих глубинных вещей. Но разум мой 25 лет назад отказывался принять и признать аксиоматическую «непостижимость» Данилова. Причина его совершенной непохожести на других известных мне членов научного сообщества, его «внесистемность» волновала меня сущностно. В его принципах нестяжательства и безраздельной щедрости для всех, кто его окружал, было что-то немыслимое. Временами казалось, что он, словно реинкарнировавшись, протуннелировал в нашу эпоху откуда-то из покрытой преданиями древности, то ли из средневековой рыцарской Европы, то ли с просвещённого мавританского Востока или времён античности.

В его доскональном знании истории и культуры античной Греции особенно впечатляли рассказы о странствиях учёных по культурным центрам Средиземноморья, о путешествиях Архимеда, о поставках сицилийцами на остров Родос «двухсот трехлоктевых катапульт» в порядке «гуманитарной помощи» пострадавшим от землетрясения. Об Александрийской библиотеке и её сожжениях. Все эти рассказы захватывали слушателей своей «всамделишностью». Так знать предмет во всех подробностях определённо мог только тот, кто всё это видел своими глазами, и то не каждый. Во всём проступала такая завораживающая сила и логика хода событий, что просто не верилось, что это можно почерпнуть из книг. Любых книг, на любых языках.

Но что мы тогда, в конце 1980-х, знали о языках? Для большинства из моих современников язык был тем предметом («средством общения»), который всегда было желательно иметь при себе, а во многих случаях за зубами. Миры и эпохи, открывавшиеся нам в результате общения с Даниловым, лежали за пределами того, что составляло ткань «данной нам в ощущениях инстанциями» реальности. Общаясь с Даниловым, мы пересекали какую-то запретную черту, подобную Государственной границе, мы, говоря языком современной молодёжи, «виртуально» путешествовали с ним вместе. Перед нами воочию представали герои минувших эпох и наши современники, живущие «за бугром», которые покоряли нас своей силой духа и дерзостным полётом мысли. Галерея таких героев включала в себя Кеплера и Гука, Архимеда и Пифагора, Дарбу и фон Неймана, Римана и Софуса Ли, Пуанкаре и Ляпунова, Ландау и Гельфанда, Крылова и Шухова, Мандельброта и Хакена. Был в этом списке и А.Н. Колмогоров, и многие наши современники.

Особенно трогательно он говорил о «групповом» сообществе — никак формально не очерченном круге лиц, для которых использование теоретико-групповых методов анализа научных проблем было чем-то бо́льшим, чем просто поиск решения, — было приближением к истине, к чему-то, имеющему божественные непостижимо правильные формы, подчиняющемуся Законам Высшей Гармонии. Не вызывало сомнений, что Симметрия как зримая (пусть не всеми) форма проявления этих законов Высшей Гармонии воспринималась Даниловым словно магический кристалл, поиск и обнаружение которого в каждой конкретной ситуации и делало честь тому или иному исследователю.

В полном согласии с традициями классицизма поиск всего инвариантного, остающегося неизменным в прихотливом мире частностей и водовороте деталей, есть не просто приближение к истинным Законам природы, а распознание их в своём наивысшем безукоризненном проявлении, распознание замысла Творца. В свете этого неудивительно, что Данилов активно интересовался вопросами о том, как появляется в разных системах симметрия, как рождаются структуры, наделённые чертами симметрии. Может ли это происходить «само по себе», или всегда нужна «направляющая рука Творца»? Если рождение симметрии, её смена или исчезновение могут происходить сами по себе, без вмешательства извне, то у такого рода процессов самих по себе могут быть свои Законы — законы самоорганизации. Есть ли в природе самоорганизующиеся системы и что за законы ими движут? В начале 1980-х уже были известны несколько систем (как говорят, далёких от равновесия систем — неравновесных систем), в которых наблюдались феномены спонтанной макроскопической самоорганизации, попросту говоря — самопроизвольного рождения структур в исходно неупорядоченных в макроскопическом смысле системах.

Со временем систем таких обнаруживалось всё больше. Они обнаруживались в самых различных областях, и всякий раз выяснялось, что рождение структур тесно связано с дестабилизацией исходного неупорядоченного состояния и развитием неустойчивостей; взаимная игра последних и ведёт к формированию в конечном итоге структурно упорядоченных состояний. Было ясно, что речь идёт о неких классах критических явлений, внешне напоминающих в ряде случаев друг друга. После появления книг И. Пригожина и Г. Николиса, В. Эбелинга, Г. Хакена стала определённым образом вырисовываться перспектива возникновения нового междисциплинарного научного направления, сегодня широко известного как Синергетика. Как уже говорилось, появление работ Хакена и его соавтора Вундерлиха в Германии и независимых работ Курамото и Цудзуки в Японии, а также работ В.Е. Захарова и его соавторов из Новосибирска вселяло уверенность, что и неравновесное структурообразование удастся эффективно описывать в духе идей параметров порядка. Надо прямо сказать, что далеко не все исследователи, особенно в среде физиков, с энтузиазмом встретили «новые веяния» с «тлетворного Запада». Особый скепсис выражали учёные, известные своими работами по теории фазовых переходов в термодинамических системах, области, применительно к которой, собственно, и были впервые развиты Л. Ландау идеи параметров порядка.

Ю.А. Данилов — внештатный синхронный переводчик
на международной конференции в Протвино, 1982 г.

Но критмасса была достигнута, и все участники процесса встретились летом 1983 года на международной конференции «Явления самоорганизации в физике, химии и биологии» в Пущино на Оке. Приехали все. И Герман Хакен, и Илья Пригожин, и их последователи. Были Артур Винфри и Джон Тайсон, Вернер Эбелинг и Лутц Шиманский и многие, многие другие. Думаю, было 250–300 участников. Весь цвет нашего физического, математического, химического и биологического сообщества. Данилов был именинником. Только однажды, через месяц после конференции, на книжной выставке-ярмарке на ВДНХ я видел его таким же счастливым. Будучи в то время аспирантом Физтеха, я был привлечён своим преподавателем, одним из ключевых организаторов той памятной конференции — В.И. Кринским, к встрече прилетавших зарубежных гостей в аэропорту и сопровождению их в Пущино. Это дало мне шанс познакомиться, а с некоторыми из разморённых перелётом гостей и поговорить до официального открытия конференции.

Долгое время я льстил себе мыслью, что имел честь впервые представить друг другу Хакена и Данилова. Сейчас я не так в этом уверен. Вероятно, они познакомились несколько ранее на конференции в Таллине, но природный такт обоих не позволил дать понять самонадеянному юноше его бестактность. На моих глазах они оживлённо беседовали, иногда перемежая английскую речь «уточняющими суть» немецкими и русскими фразами. Было видно, что эти два человека понимают друг друга с полуслова. Навострив уши, я внимал обоим, получая один из первых уроков того, что духовная связь между людьми очень часто проявляется не в словах, а в паузах, необходимых для восприятия слов собеседника. Всем существом я чувствовал, что они оба «одной крови».

Конечно, в то время я не знал, что Провидению будет угодно, чтобы следующую книгу Г. Хакена «Информация и самоорганизация» (М.: Мир, 1991) переводил именно Юлий Александрович. И когда сегодня я открываю эту книгу и читаю: «Чем больше дифференцируется наука, распадаясь на отдельные дисциплины, тем большее значение обретает поиск унифицирующих принципов», —ловлю себя на мысли, а так ли хороша и точна эта фраза в немецком оригинале, как в русском переводе? И что-то эпическое, фатально неизбежное чувствуется в ней, и вспоминается та встреча в Пущино двух «пришельцев» из иной эпохи, сосредоточенно и отрешённо беседующих, находясь в конференц-зале Института биофизики АН СССР передо мной, но как бы вне времени. Вне времени.

Прошли годы, и недавно, в июне 2004 года в Москве, в разговоре с Г. Хакеном о той уже далёкой конференции я сказал ему, что Юлия Александровича уже нет с нами. Он погрустнел, выразил своё соболезнование, просил передать близким. Заметил, что получил в своё время истинное удовольствие от сотрудничества и общения с Даниловым. Обещал прислать свои воспоминания о Данилове. Вновь пришло на ум: «Они одной крови». В голубых спокойных и ясных глазах Хакена была грусть, навеянная воспоминаниями.

Другим исследователем, с которым много общался на конференции 1983 года Ю.А. Данилов, был Илья Пригожин. Внешне в то время они выглядели как полные антиподы. Энергичный, властный, деловой, подвижный как ртуть, И. Пригожин внешне совсем не походил на мягкого и подчёркнуто деликатного Юлия Александровича. Они много общались и длительное время сотрудничали. Как это им удавалось, остаётся для меня тайной. Никогда мне не доводилось быть очевидцем их встреч и бесед, но неоднократно приезжавший в Москву Пригожин разыскивал Данилова, и они встречались. Чего не хватало некоронованному «вице-королю Бельгии», нобелевскому лауреату, директору Института неравновесных исследований в Техасе, что он так искал и находил, общаясь с Даниловым, сейчас уже никто не расскажет. Обоих, увы, нет уже с нами. Но интерес, несомненно, был взаимным.

Как о детской рождественской сказке, рассказывал Юлий Александрович о своей поездке в Брюссель к Пригожину. С таким же упоением он рассказывал только об общении с детьми, а так как в его глазах и по возрасту, и по «умственному развитию» я вполне подходил под эту категорию, то могу судить об этой стороне Юлия Александровича как бы изнутри.

Если быть кратким, дети были его слабостью, мир ребёнка — святым миром, полным невероятных удивительных историй и игр. Это была для него иная — альтернативная реальность. Но реальность. Сказать, что дети обожали его, — это ничего не сказать, они его боготворили как доброго волшебника и сказочника, у которого для них всегда есть несметное количество невероятно интересных историй. Вступая в этот его мир, дети не теряли, а обретали равные со взрослыми права и достоинство, их доводы и резоны уважались, а договорённость выполнялась в соответствии с рыцарским кодексом чести. Мне довелось быть знакомым с целым рядом выдающихся педагогов и талантливых учителей и каждый раз, присутствуя на лекции Данилова для школьников и студентов, я ловил себя на мысли, что он в своём даре ни на кого не похож!

Надо сказать, что долгое время просветительско-педагогическая сторона жизни Данилова, обращённая к детям, была мне неизвестна или недооценивалась мной. Только с некоторых пор, оглядываясь назад, я начал осознавать, как много в этом плане Данилов сделал для меня лично. Сколько он сделал для пестования меня как человека, способного говорить с аудиторией «о непонятном понятным образом». Вспоминается конец января 1984 года, совхоз «Большевик», пионерский лагерь «Ветерок». Лаборатория теоретической физики ИАЭ им. И.В. Курчатова проводит нелинейную школу. Юлий Александрович в числе главных организаторов. На нём программа школы. От лаборатории в оргкомитет помимо Я.А. Смородинского и Ю.А. Данилова входили, помнится, Г.И. Кузнецов и мой бывший однокурсник Сергей Суслов, сотрудник лаборатории. Конечно, всё мероприятие, несомненно, по законам того времени «курировалось» кем-то из высокого начальства и «соседями». Но это уже всё было вне поля моего зрения.

Я в это время был «простым советским безработным». После окончания аспирантуры МФТИ в ноябре 1983 года ждал защиты диссертации на совете в МГУ. С трудоустройством по специальности никакой ясности не было. Время от времени меня приглашали в разные институты сделать «сообщение по теме работы». Тогда я не знал, что за многими из этих приглашений стоял Ю.А. Данилов. От него же последовало прямое приглашение: «Гера, не могли бы вы выступить на Школе в «Ветерке»? Естественно, я ответил согласием, хотя что за Школа, кто там будет, я не знал.

В считаные дни по научной Москве разнеслась весть, что будет супершкола, «туда едут все светила», там будет такой-то и такой-то. Встречая в Ленинке своих знакомых, я от многих слышал про Школу, которая «должна заполнить промежуток между Горьковскими». Слухов было много, программу никто не видел. Все знали, что «самый забойный доклад» должен будет сделать Данилов. Ещё было известно, что будут делать доклады Б.Б. Кадомцев, М.В. Незлин, С.С. Моисеев (из ИКИ АН СССР), В.И. Петвиашвили, В.И. Кринский, Л.И. Рудаков, В.М. Елеонский, В.Г. Яхно, Я.А. Смородинский и другие, не менее известные люди.

То один, то другой из моих знакомых сообщал, что ему удастся поехать на эту Школу в «Ветерок» и увидеть там «всех великих живьём». Какое-то время я не соотносил эту информацию с тем, что и мне предстоит там выступать, говорил всем, что я еду тоже, что приглашён, и всё такое. В те достопамятные времена не было столь привычных ныне принтеров и ксероксов, печатали объявления на машинке, обычно накануне дня заседаний. Школа началась с доклада Б.Б. Кадомцева о коллективных явлениях в плазме. И, насколько мне помнится, первые день-два были посвящены преимущественно плазменным явлениям. Потом пошли вихри в атмосфере и океане, всевозможные волны, генерация гармоник, условия синхронизации и т.д.

Все с нетерпением ждали доклада Ю.А. Данилова. Не знаю, по случайному ли стечению обстоятельств или по какой-либо причине моё сообщение должно было состояться в тот же день. И вот утром в столовой я узнаю, что доклада Данилова не будет. В чём дело, как, почему? Сразу не было известно. Спустя некоторое время выяснилось, что Данилов снял свой доклад сам в знак протеста против включения «начальством» в программу того дня Школы, который он непосредственно курировал, доклада какого-то «нужного человека», которого посвящённые называли за глаза фюрером. Помню, как все стали метаться в оргкомитет и обратно, пытаясь что-то поправить, предлагая свои варианты. Но что-то уже произошло накануне вечером. Юлий Александрович был непреклонен. Он выступать не будет. Как сказал В. Яньков: «Нас лишили сладкого...» Возникло чувство неловкости — доклада Данилова не будет, а мой будет. Как так? С меня и кулуарных обсуждений «выше крыши». Юлий Александрович сам нашёл меня: «Гера, ни о чём не думайте, спокойно выступайте. Эта история Вас не касается».

— Вы придёте?

— Обязательно приду!

Прошло двадцать лет, а меня до сих пор не покидает мысль, что Данилов снял свой доклад, желая оставить в программе мой или чей-то ещё. Он ведь «лично пригласил»... Это определённо был протест против, как я сейчас могу судить, довольно распространённой практики, когда «начальство», не обременяя себя приличиями, считало своим правом по поводу и без оного «выдвигать и задвигать», «передёргивать обоймы» и т.д. Чувство собственного достоинства не позволяло Юлию Александровичу «прогибаться», и он протестовал.

К слову сказать, на этой Школе в «Ветерке» в присутствии двух сотен зрителей мне было не дано оправдать доверие Данилова. Доклад как-то сразу не заладился. Кто-то что-то невпопад спросил в самом начале. С моей стороны последовали пространные объяснения деталей. До сих пор помню выражение «острой зубной боли» на лице Юлия Александровича. Его «спасительный круг»: «Гера, назовите, чьё имя носит приведённый вами индекс...», — я успешно утопил. Лишь со второй или третьей попытки от меня добились, что это индекс Анри Пуанкаре (тогда, кстати, как выяснилось, мало известного в научных кругах). Короче, провал был полный; картину усугубили нелицеприятные комментарии моих друзей, последовавшие после доклада. Один лишь Данилов нашёл время в перерыве подойти и приободрить меня.

Вечером в тот же день, не помню уж как, я оказался в комнате у Данилова, где за распитием чая и, видимо, чего-то более крепкого было человек пять или шесть. Помимо В.И. Кринского, одного из моих физтеховских преподавателей, В.М. Елеонского, С.С. Моисеева, Г.И. Кузнецова, кто-то ещё входил и выходил. Беседа как-то плавно перетекала с одного предмета на другой, и казалось, что все уже забыли о моём сегодняшнем провале. И вдруг Кринский спрашивает: «Ну, что будем делать с этим молодым человеком?» В наступившей тишине слышу, как бьётся моё сердце. Поворачивается Владимир Маркович Елеонский: «Да ты выбрось всё из головы, — хрипловатым голосом говорит, — и не давай себя перебивать, когда выступаешь...» Кринский: «Да я не об этом. Вот он через месяц защитит диссертацию, а куда его девать, непонятно. Можно ли его к кому из вас пристроить?» Признаться, от такой лобовой постановки «моего вопроса» и «сватовства» Валентина Израилевича Кринского (для всех присутствовавших, кроме меня, Вали) было в первый момент несколько неловко, но слово за слово... Пошёл расспрос, кто, откуда, где учился, чем занимался, имею ли опыт преподавания, что ещё знаю, кроме азов топологии, не слышал ли чужие доклады на Школе и т.д. Сошлись на том, что «Юлик прав, надо что-то делать с ним».

Так, благодаря Данилову я попал в «узкий круг ограниченных лиц» — среду нелинейщиков. В каком-то смысле как «сын полка». Стал узнаваем. «Слава скверного оратора — тоже слава», — пояснили мне знающие люди. С лёгкой руки Данилова в результате закулисных контактов с его нелинейными друзьями стали поступать приглашения выступить на разных семинарах. Начались мои смотрины, и ещё долго — год-два, пока не устроился, как теперь говорят, «на постоянную позицию» в МГУ, я держал Юлия Александровича в курсе событий.

Обычно наши встречи происходили на семинаре «Синергетика» в МГУ, где он был одним из ключевых действующих лиц. Семинар проводился раз-два в месяц, и после него по дороге к метро и в метро у нас была возможность поговорить. Иногда я просил его прокомментировать то или иное место в прослушанном на семинаре докладе, но чаще мы говорили о книгах. Надо сказать, что отношение к книгам у нас было разное. Он воспринимал книги как своих друзей, я — как своих рабов. Он, насколько мне известно, никогда не делал пометок и надписей на полях, считая себя не вправе «уродовать и кромсать чужое дитя». Мой сугубо утилитарный подход, направленный на «контрастирование и выделение» материала (попросту говоря, подчёркивание и «плотное» комментирование на полях) был чужд ему и не приветствовался им. Щадя его чувства, я никогда не показывал ему расчерканные мной книги, тем более его книги, написанные его рукой. Какое-то высшее достоинство сквозило в его трепетно уважительном отношении к книгам, к праву автора «оставаться наедине только со своими мыслями в своих книгах».

Мой нецивилизованный подход к книгам, до известной степени извинительный для человека «в горах пойманного», был известен Юлию Александровичу и вызывал с его стороны иронические замечания. Моё желание «поместить всё в кадр», всё «прояснить», сделать до боли знакомым и конкретным, даже в тех случаях, когда сам автор желает нечто оставить между строк или за кадром, не раз наталкивалось на выраженное в шутливой форме соображение Данилова: «Гера, не стоит переступать тонкую грань между эротикой и порнографией. Даже из лучших побуждений». По молодости мне была недоступна мысль, что культура в значительной мере держится на «структуре умолчаний», что существуют «непостижимо тонкие» предметы, которые пронизывают все поры научного (и по-видимому, всякого иного) творчества, о которых не принято говорить открыто на публике, не принято писать. О них сообщается доверительно tete-a-tete, из уст в уста и лишь тому, кто «дорос» до известного уровня, кто сам может задать ускользающий вопрос и принять не проясняющий, на взгляд постороннего, «всего существа дела» ответ.

Конечно, именно Данилову я обязан осознанием того, что культура (в том числе и математическая культура) начинается за гранью банального, то есть лежит где-то там, за рамками достоверно известного. Помню, как после выхода в свет переведённой Ю.А. Даниловым книги Мориса Клайна «Математика. Утрата определённости» я ходил как пьяный, потрясённый до глубины души. Фраза: «Сомнения в правильности алгебры были просто-напросто отметены, подобно тому как ненасытные промышленники зачастую отметали этические принципы; математики стали применять новую алгебру с радостью и уверенностью в своей правоте». Невольно думалось: «И это-то царица наук...» Да и математики прошлого хороши, нечего сказать!

Сюжеты из этой книги были предметом наших бесчисленных бесед с Юлием Александровичем. Для меня было внове видеть перед собой математика «до мозга костей», который не считал свой предмет чем-то выше любого другого раздела естествознания, а самих математиков — «людьми в белых одеждах». Особое место в этих беседах, особенно со временем, стали приобретать вопросы «строгости» обоснования и «дырявости» доказательств. Конвенциальные аспекты и мотивы в их связи с проблемами полноты и замкнутости обычно не выпячиваются в стандартных курсах. Их часто обсуждают «как само собой разумеющееся» либо со ссылками на авторитеты прошлого. И каково же было моё удивление неофита, когда выяснилось, что стоявшие в прошлом «проклятые вопросы» не разрешены, а по-простому говоря, «заболтаны» и в конце концов табуированы, как вносящие раскол в «стройные ряды». «И на этом-то фундаменте предлагается строить новую физику и теоретическую биологию!» В поисках «радикального» выхода я приставал к Данилову: «Юлий Александрович, ну если всё так плохо с логикой и её применением, может быть, стоит вообще отказаться от неё, взяться за изучение циклической причинности, обратных связей, искать иные алогичные пути...»

— Гера, а Вы не читали книгу Рэймонда Смаллиана?

— Нет, не читал.

— Обязательно прочтите...

Нахожу книгу Смаллиана, читаю, не могу оторваться. Да, сильно «растянулось во времени человечество», если судить по осведомлённости в математике. Просто удивительно. Кто бы мог подумать, что в XX веке в математике были сделаны такие прорывы. «Почему кроме Ю.А. Данилова об этом никто вокруг ничего не знает?» Да и как вообще преодолеть свою кругозорную и «понятийную» дремучесть? По опыту я уже знал, что погружение в специальную литературу, как правило, не рассеивает вопросы и неясности, а изучение математики по так называемым «устоявшимся курсам» не выводит тебя за рамки проблематики вековой или даже двухвековой давности.

Реальное же расширение понятийных горизонтов происходит лишь в результате контакта с некоторыми особенными авторами, способными донести до читателя или слушателя по-детски невежественного удивительную суть вещей. Таких людей, истинно «посвящённых», — единицы. Юлий Александрович Данилов, несомненно, был одним из них. Лишённый какого бы то ни было «академического снобизма», Юлий Александрович был всегда открыт для общения, и неизменно каждая наша беседа подходила к тому моменту, когда он спрашивал: «Гера, а Вы уже прочитали только что вышедшую книгу такого-то?» Чаще всего мой ответ был отрицательным, а указанный им путь, как потом выяснялось, поразительно верным. Так было не раз и не два. Была другая книга Рэя Смаллиана (Алиса в стране смекалки / Пер. с англ. и предисловие Ю.А. Данилова. М.: Мир, 1987), было издание Даниловым труда Иоганна Кеплера о снежинках. Ну кто сейчас знает, что все двадцать томов научного наследия великого астронома находятся в России? Кто из физиков и астрономов смог бы прочитать по-латыни их содержимое? И, наконец, кто бы смог в занимательной форме с безукоризненным чувством стиля донести «плоды своих архивных раскопок» до «любознательного читателя»? Всё это риторические вопросы. Не будь Ю.А. Данилова, что знали бы мы о путях исканий Кеплера, о «посылках» и руководящих мотивах поиска им Гармонии?

Принято думать, что занимательный жанр (или, как сейчас говорят, научно-популярный жанр) не вполне отвечает стандартам «строгости», присущим некоторым дисциплинам. Возможно, это и так, но не прибегая к нему, не используя живые и наглядные образы, как передать радость первооткрывателя, прикоснувшегося к чему-то совершенно неизведанному, полному изумительной прелести и очарования? Конечно, выход всегда есть. И в принципе можно «со звериной серьёзностью» и чопорным педантизмом изложить всё на бумаге, послать в научный журнал и забыть. Но некоторые особенно невероятные вещи продолжают волновать авторов и после этого. Они не укладываются в каноны и схемы, словно в какой-то своей существенной части лежат где-то вовне, за пределами нашего понимания. «Разум хладный» уже готов их принять, а сердце — нет. Оно раз за разом начинает учащённо биться, когда, следуя за мыслью, мы вновь приближаемся к «предмету».

Со сколькими такими историями нас познакомил Ю.А. Данилов? Достаточно взять его переводы Мартина Гарднера «Путешествие во времени» (М.: Мир, 1990), «От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам» (М.: Мир, 1993), «Математические головоломки и развлечения» (М.: Мир, 1971). Следуя малоизвестному изречению Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным», — Ю.А. Данилов и Я.А. Смородинский в предисловии к последней из упомянутых выше книг пишут: «Занимательная математика — это прежде всего математика, причём в лучших своих образцах— математика прекрасная...» «Помогая людям, далёким в своей повседневной жизни от математического мышления, постичь дух истинной математики, занимательная математика пробуждает в них наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного».

Именно последние два качества — вера в свои силы и способность к восприятию прекрасного, как, может быть, ни что иное нужны каждому первопроходцу, тому, кем движет жажда новых открытий, в том числе научных. Нет сомнения в том, что многих своих юных читателей и слушателей Юлий Александрович Данилов подвиг на занятия творческой деятельностью, на выбор пути в жизни. Но и уже весьма искушённым читателям было за что благодарить Ю.А. Данилова. Истоки математического творчества в их первозданной незамутненности не могут не волновать профессионалов, поэтому выход на русском языке в переводе Ю.А. Данилова таких книг, как «Математическое мышление» Германа Вейля (М.: Наука, 1989), «Трилогия о математике» Альфреда Реньи (М.: Мир, 1980) и «Математика: поиск истины» Мориса Клайна (М.: Мир, 1988) не мог пройти незамеченным. Приведённые выше книги, конечно, не равноценны в глазах того, кто ориентирован на постижение не алгоритмической, а собственно смысловой стороны вещей и действий. По своей глубине сборник статей Г. Вейля, переведённых с английского и немецкого Ю.А. Даниловым, в моих глазах не имеет себе равных. Ценители глубоких метафизических сторон творчества по случаю могут вспомнить недавно изданные в переводе Ю.А. Данилова статьи В. Гейзенберга.

Окидывая мысленным взором все сокровища, «преподнесённые» Ю.А. Даниловым русскому читателю, видишь десятки тысяч переведённых страниц, сотни страниц комментариев и примечаний, остаёшься в недоумении, как было дано одному человеку осилить столь исполинский труд. Сознание отказывается мириться с тем, что всё это было совершено одним человеком — Юлием Александровичем Даниловым. Уже и десятой доли этого было бы достаточно, чтобы понять, каким необыкновенным человеком был Ю.А. Данилов. А впрочем, и одной лишь недавно изданной книги Годфри Гарольда Харди «Апология математика» (Ижевск: РХД, 2000) в переводе и с комментариями Ю.А. Данилова было бы более чем достаточно.

Кому и чему был обязан своим образованием сам Юлий Александрович? Уже в ту пору, когда мы были с ним хорошо знакомы, я спросил его об этом. Мысленно оглядываясь назад и имея в виду одно лишь образование математическое, он сказал, что поворотным пунктом в его истинном математическом образовании был список книг, рекомендованных для изучения И.М. Гельфандом. Список, представлявший собой своеобразный математический минимум (типа теорминимума Л.Д. Ландау), был вывешен на мехмате, на 14-м этаже главного здания МГУ, когда Юлий Александрович учился на четвёртом или уже на пятом курсе. Рассказывая об этом списке, Юлий Александрович в деталях по памяти воспроизводил обстоятельства, при которых он его впервые увидел, то, как от руки его переписывал со стены, и при этом невольно оказался вовлечённым в произошедший у него за спиной обмен репликами о последнем докладе А.Н. Колмогорова. «Когда мои невидимые собеседники стали удаляться, я смог, наконец, оторваться от списка и обернулся. Одним из собеседников был И.М. Гельфанд». Юлий Александрович говорил, что список сохранился, и при случае обещал дать мне копию Увы, этому не суждено было исполниться.

Говоря о научно-педагогическом наследии Юлия Александровича, нельзя не упомянуть о двух его книгах, написанных по материалам читанных лекций. В первой из них «Многочлены Чебышёва» (Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003), по-видимому, нашёл отражение опыт преподавания начал математики школьникам, а также студентам и преподавателям вузов, в которых математика не является основным предметом. С моей точки зрения, эта книга может служить в качестве одного из лучших введений в предмет для читателей с «быстрым умом и хорошим пониманием». Судьба второй книги «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение» (М.: Постмаркет, 2001.) иная. Она родилась, как принято говорить, по мотивам лекций Юлия Александровича в МГУ в период с 1994 по 2001 год. К сожалению, по не зависящим от Юлия Александровича причинам книга получилась аскетичной, содержащей лишь «рецептурно-алгоритмический срез» подлинных проблем нелинейной динамики. Виной тому установка прагматичного издателя на «сухой остаток» и справочно-информационный характер издания, с которым в период издания книги у Ю.А. Данилова не было сил бороться. Многочисленные слушатели и ученики Юлия Александровича не нашли в ней ни «нежных акварельных красок», «ни богатства языка, ни искромётности мысли», реальными свидетелями которых они были. Доводилось обсуждать эту тему и с Ю.А. Даниловым. Он собирался подготовить новое «развёрнутое переиздание в самое ближайшее время». Увы, ему не удалось завершить свой замысел. Трудно сказать, в каком состоянии и на какой стадии прервалась работа над новой рукописью. Может быть, магнитофонные записи лекций Юлия Александровича, сделанные его студентами, могли бы помочь завершить работу над новым изданием. Содействовать всеми силами выходу в свет этого «расширенного издания» «Нелинейной динамики» считаю своим долгом.

В каком-то смысле этот курс рождался на моих глазах. Осенью 1994 года на физфаке МГУ Ю.Л. Климонтовичем и Ю.А. Даниловым было прочитано по три лекции. Помнится, Юрий Львович прочёл лекции о критериях самоорганизации и подводных камнях в этом разделе современной статистической физики. Юлий Александрович прочёл лекции о фракталах, о дробных производных и аномальной диффузии на фрактальных поверхностях. Лекции привлекли к себе внимание не только студентов и аспирантов, но и многочисленных преподавателей и научных работников. Определённо, они вызвали большой резонанс. И, как я помню, в весеннем семестре 1994–1995 года Юлий Александрович был приглашён на химический факультет для чтения лекций студентам кафедры физической химии.

Получилось так, что мы с ним стали читать лекции параллельно. Он на химфаке физхимикам по вторникам, я на физфаке биофизикам по средам. Мой курс: «Элементы теории самоорганизации», судя по всему, не сильно пересекался с курсом Ю.А. Данилова, и очень скоро мы обнаружили, что значительная часть наших слушателей ходит и к нему, и ко мне. А некоторые ещё умудрялись ходить дополнительно и на лекции Юрия Львовича Климонтовича, они были в один день с моими, но обычно на одну-две пары раньше. Нетрудно догадаться, что такое положение дел, с одной стороны, позволяло студентам на любой свой вопрос найти удовлетворительный ответ у кого-нибудь из нас троих, а с другой стороны, когда ответы, по-видимому, были разными, «содействовать нашей взаимной синхронизации». Так или иначе, но с весны 1995 года (по осень 2000 года, пока длились наши лекционные курсы) все трое довольно часто общались и интенсивно обменивались мнениями как о форме преподавания, так и о существе дела. А так как после семинаров «Синергетика» Юрию Львовичу, живущему рядом с МГУ, было в одну сторону, а нам с Юлием Александровичем — в другую, то именно эти прогулочные беседы с Даниловым всё больше стали заполняться вопросами педагогическими.

К своему изумлению, я вскорости обнаружил, что Ю.А. Данилов не просто «ориентирован в предмете», но последовательно придерживается вполне определённых педагогических воззрений. По правде говоря, чуждых мне. Не желая ходить вокруг да около и таить «шило в мешке», я хотел объясниться, но мне никак это не удавалось. Суть наших расхождений во взглядах сводилась даже не к вопросу, для меня представлявшемуся важным, о доле насильственных методов в преподавании, а к тому, что Ю.А. Данилов вообще (как с некоторых пор я стал подозревать) отвергает использование методов принуждения в преподавании. На идейном уровне, то есть в корне! Мне казалось это немыслимым. «Разумное» насилие над личностью — что, казалось бы, лучше и вернее может содействовать «правильной» ориентации ученика в вопросах существа и значимости любого предмета. Весь мой собственный «подневольный» опыт говорил о том, что фразу «необходимость — мать изобретательности» придумали не дураки.

При каждой встрече я ждал повода объясниться, потому что не без оснований опасался, что расхождение по принципиальному вопросу будет раньше или позже проявляться в массе мелких. Пойдут трещины во взаимоотношениях и всё такое.

А повод всё не представлялся и не представлялся. И всё же тема эта всплыла. Как-то зашла речь о методах «воспитания-обучения» в армии. Юлий Александрович, как мне показалось, сразу как-то отстранился, не выражая никакого желания развивать тему. Но и без слов было видно, что всё, что связано с «армейскими методами» воспитания, в его глазах имеет такое же отношение к педагогике, «как военная музыка к музыке». Помню, что по поводу ежегодного уведомления подчинённых о мнении о них начальства Ю.А. Данилов сказал: «В моей характеристике было две фразы — «Вежлив. Службу не любит». Когда я сказал, что у меня в характеристике была всего одна: «Подчёркнуто вежлив», — мы вместе рассмеялись. И тут я его спрашиваю: «Юлий Александрович, у меня сложилось впечатление, что Вы вообще против насилия в педагогике».

— Да, всякое насилие, на мой взгляд, лежит за рамками педагогики.

— Простите, Юлий Александрович, ну а как же древние со своим «ухо мальчика на спине его», как быть с Яном Амосом Коменским и многими другими?

— Видите ли, Гера, это вопрос не о прецедентах, а о личном выборе. Для меня это вопрос о том, имеет ли право педагог, уча, калечить, морально травмировать ребёнка.

— Вы о соотношении средств и целей?

— Нет, я о принципе.

— По-вашему, тогда выходит, что всякое насилие в обучении есть вовсе не приём, а, скорее, верный признак педагогического бессилия.

— Пожалуй, что да.

— Простите, Юлий Александрович, а бывает ли иначе? Ведь все «поточные» современные системы обработки, что на производстве, что в «образовательной индустрии», способны обеспечить массовость только при условии, если «обрабатываемые предметы» в известной мере похожи друг на друга, ведут себя схожим образом, лишены черт индивидуальности.

— С точки зрения того, что в массовых «поточных» технологиях обучения личность ребёнка, черты его индивидуальности должны быть «стёрты», а меры, направленные на это, следует рассматривать как «неизбежное зло», то это не ново. Но широкая распространённость точки зрения — не доказывает её правильности!

Он улыбнулся, а я счёл возможным пойти в своих копаниях дальше.

— А бывает ли иначе, Юлий Александрович?

— Вы знаете, Гера, Вам надо поехать в Саратов. Вы сами всё увидите.

Признаюсь, я не ожидал такого ответа и в первый момент подумал, что это розыгрыш или шутка. Мои скромные литературные познания позволяли связать указанное мне направление с фразой «в глушь, в Саратов». В ответ на мои высказывания в этом духе Юлий Александрович засмеялся.

— Нет-нет, поверьте, Гера, я совершенно серьёзно. Я напишу Трубецкову о Вас. Было бы здорово, если бы Вы смогли туда поехать осенью.

Потом он мне кратко рассказал о Лицее при Университете в Саратове, о местной консерватории и Радищевском музее и их участии в обучении школьников, о ежегодных «Нелинейных днях для молодых». По правде говоря, всё, что я услышал, звучало сюрреалистично и никак не вязалось с обликом местного «батьки», не сходившего в то время с экранов телевизоров. Совсем не похожего на Гаруна аль Рашида.

При каждой новой встрече Юлий Александрович рассказывал мне что-то новое о Саратове, подчас столь же невероятное, как то, что я слышал ранее. Временами мне казалось, что в общей мрачной картине действительности весны — начала лета 1995 года Ю.А. Данилов подсознательно искал нечто светлое, какой-то росток надежды на возможность иного будущего. И Саратов стал для него таким «светлым пятном» — лучом света.

Слева направо: Г. Гурия, Ю.А. Данилов, В. Сафонов
(Саратов, 1995 г.)

Так или иначе, но он убедил меня поехать и посмотреть всё своими глазами. После нашей первой совместной поездки в Саратов в 1995 году мне ещё семь раз доводилось бывать там с ним. Только в 2001 году из-за болезни Юлия Александровича не было с нами в Саратове, в «Волжских далях». Может быть, по какому-то другому поводу и какой-нибудь иной, больший, чем я, «мастер пера» сможет запечатлеть царившую в эти годы атмосферу «Платоновских пиров» на школах в Саратове. Эти «восемь с половиной» дней повседневного общения за столом во время завтрака, обеда и ужина, во время прогулок вдоль набережной Волги, во время вечерних и ночных бесед за чашкой чая или кофе навсегда останутся в моей памяти. Сказать, что в Саратове и в Университете, и в Лицее, и в Радищевском музее, и в Консерватории гостеприимно и по-доброму относились к Ю.А. Данилову — значит ничего не сказать. Его, да будет уместно так сказать, просто боготворили и дети, и учителя, и сотрудники факультета нелинейных процессов, и все, с кем мне довелось там встречаться. Можно сказать, что в Саратове был культ, культ Данилова. И я поверил, что только безграничная любовь способна «открывать» сердца и пробуждать «бесценный дар видеть прекрасное» и верить в свои силы.

Саратов был для Юлия Александровича последним «нелинейным оазисом», где он встречался со своими друзьями, коллегами и детьми. Чувствовалось, что он считал своим долгом несмотря ни на что каждую осень в начале октября в разгар бабьего лета приехать в Саратов в «Волжские дали», встретиться со всеми, увидеть Волгу в лучах заката. Так было и в последний раз в 2003 году. По стечению обстоятельств я уезжал обратно в Москву на несколько часов раньше него. Он вышел на улицу к дверям корпуса, пожал руку. На прощание он сказал, что и в этот раз, как и год назад, у него будут отличные попутчики — школьники из Колмогоровской школы-интерната. «В прошлом году мы так здорово проводили время в вагоне, что проводник спросил меня: «Это Ваши ученики или внуки?» А я ему ответил: «Это всё мои дети!» Мы простились. Как тогда казалось, до очередной встречи в Москве. Но поговорить нам больше не довелось, он ушёл. И придя проститься с ним в последний раз, я увидел множество людей, пришедших проводить его в последний путь, в чьём сердце он оставил свой след. Незабываемый след.

Уверен, что раньше или позже благодарные ученики назовут именем Ю.А. Данилова небесное тело или какой-то иной открытый ими эффект, подобно тому, как один из кратеров на обратной стороне Луны был назван именем нашего замечательного популяризатора науки Я.И. Перельмана. Будут и конференции памяти Юлия Александровича, выйдут и книги — о нём и посвящённые ему. По многу раз ещё будут издаваться книги, написанные его рукой. Оставленный им след в культуре будет жить сам по себе,

«Доколь в подлунном мире

Жив будет хоть один пиит».

Я не помню, как и когда я познакомилась с Юлием. Казалось, он был всегда. В разговорах самых различных людей то и дело мелькало его имя: «А Данилов говорит...», «Надо спросить у Юлика...» В те далёкие годы никто не называл его по имени-отчеству. Впрочем, как выяснилось позже, я была знакома не с его официальными коллегами, а только с его друзьями. Он был для них авторитетом во всех областях. Помню, мы как-то уговорили нашу приятельницу Лену Бондаренко, молоденькую скрипачку, готовившуюся к ответственнейшему конкурсу Жака Тибо и Маргариты Лонг в Париже, отправиться к нашим друзьям-математикам «обыграть» программу. Саша Кириллов, хозяин дома, сказал: «Надо позвать Юлия...» До Юлия не дозвонились, но пока дозванивались, рассказывали, как он знает и любит музыку. Позже, когда Лена вернулась из Парижа с медалью и получила возможность выступать на хороших «площадках» (так, если я не ошибаюсь, это называлось на профессиональном языке), он бывал на её концертах. Вообще, в Консерватории он бывал часто.

Сейчас уже трудно сказать, когда и при каких обстоятельствах мы наконец познакомились с Юлием; помню только, что встретились мы как старые знакомые и очень скоро перешли на «Юлика» и «Ниночку». Встречались мы всё больше у общих друзей, где всегда было весело, шумно и шли горячие споры. Помню встречи в начале 70-х годов в гостеприимном доме Зиновия и Наташи Каневских, рассказы нашего героического друга, которого все звали Зинком, о полярных исследованиях и особенно о полярниках во время войны. (Он тогда задумал книгу на эту тему, разыскивал уцелевших от войны — и от репрессий — полярников и интервьюировал их. Книжка была готова к печати в 1975 г., но начальству оказалась не по душе и — готовый набор рассыпали. Она вышла лишь год спустя, и все ликовали, что всё же её не «запороли». (Лексика того времени!). Помню долгий, затянувшийся на несколько вечеров, спор между Н. («Тоником») Эйдельманом и В. («Вилей») Лельчуком о ходе русской истории и трагических её поворотах. И многие-многие другие споры, обсуждения — время было такое, 60–70-е годы! Какая бы тема ни затрагивалась, Юлий обсуждал её со специалистами «на равных», поражая всех знанием предмета, быстротой реакции в споре, точностью и остроумием доводов. Знания его были поистине энциклопедичны. В наши дни узкой специализации это поражало. Кстати, к Арктике Юлий неизменно проявлял огромный интерес, многое знал о ней и неизменно ходил на все доклады Зиновия в Географическом обществе. В тяжёлые для семьи годы, по словам Наташи, всегда был готов прийти — и приходил! — на помощь.

Как всякий энциклопедист, Юлий жаждал поделиться своим богатством с окружающими. Признаться, окружающие не всегда были готовы принять его щедрые дары. Скажем, звонит Юлий мне по телефону и начинает рассказывать, к примеру, про Смаллиана или про Гамова, которых он тогда переводил. Я осторожно замечаю: боюсь, мол, что мне это не по зубам. «Ну, что Вы, Ниночка, я Вам сейчас всё объясню!» Следует импровизация... взлёт... парение... Просветитель? Влюблённый в своё дело романтик? Конечно, и то, и другое. Высокое горение. Завораживающая магия идей. И так велико его желание приобщить ближнего к этому особому миру, что, глядишь, и начинаешь уже что-то понимать (так во всяком случае кажется, пока он говорит и длится эта зачарованность)... Сейчас я могу лишь пожалеть о том, что не было у меня возможности записать эти жаркие — лекции ли? импровизации? Утешаюсь тем, что были у него и настоящие слушатели, могущие по достоинству его оценить. Я уверена, что Юлий потому и был великолепным преподавателем, что горячо любил то, чем занимался, и благодаря своему таланту, своему особому дару, умел увлечь за собой аудиторию. Этому я неоднократно бывала свидетелем, когда доводилось слушать его выступления.

С Юлием, конечно, меня связывал общий интерес к автору, который был нам обоим близок и дорог. Я говорю о Льюисе Кэрролле, создателе знаменитых сказок «Приключения Алисы в Стране чудес» и «Сквозь Зеркало и что там увидела Алиса», более известной в России под названием «Алиса в Зазеркалье» и ряде других произведений, которые понемногу становятся достоянием российских читателей. Теперь у нас — во многом благодаря Юлию — стало известно, что Кэрролл был также неординарным математиком и логиком, написавший ряд оригинальных и остроумных работ в этой области. В 1973 году в издательстве «Мир» вышла подготовленная и блестяще переведённая Юлием книга этих работ Кэрролла под названием «История с узелками»¹, которая обратила на себя внимание не только специалистов, но и так называемого «широкого читателя» (напомню, что в 60–70-е годы читали все и всё, читали специалисты и неспециалисты, читали много и широко). А в различных журналах то и дело появлялись статьи Юлия о Кэрролле, в которых он знакомил читателей с различными сторонами его жизни и творчества.

В середине 70-х я работала над новым вариантом своего перевода двух сказок об Алисе для «Литературных памятников» в издательстве «Наука». Редакционная коллегия не сразу решилась выпустить в этой серьёзной серии «детскую книжку», которой многие считали в те годы «Алису». На помощь пришли математики: академик А.А. Ляпунов обратился с письмом в Редколлегию «Литературных памятников», где указывал на популярность этих небольших сказок среди учёных самых различных специальностей и важность издания текста с серьёзным научным комментарием. В конце концов было принято решение издать обе сказки Кэрролла с подробным комментарием американского учёного Мартина Гарднера. Этого я и добивалась: это была так называемая «Аннотированная «Алиса»², ставшая с тех пор знаменитой не только у себя на родине, но и во многих других странах, в том числе и в России. В приложение к этому изданию мне хотелось включить эссе и статьи отечественных и зарубежных учёных о разных аспектах творчества Кэрролла, учёного и писателя.

Пользуясь своим правом составителя, я пригласила Юлия принять участие в этом томе «Литературных памятников». Он написал блестящую статью — в присущей ему изящной и свободной манере, глубокую, остроумную, будящую мысль. Она называлась «Физик читает Кэрролла» — в ту пору он занимался физическими проблемами. На каком-то этапе к работе присоединился Я.А. Смородинский, старший коллега Юлия по Курчатовскому институту, в отделе которого Юлий работал, любитель и знаток Кэрролла. Так что статья в томе «Литературных памятников» вышла под этими двумя фамилиями.

Стоит ли говорить о том, что в ходе работы над этой книгой я то и дело обращалась за помощью к Юлию, — особенно, когда дело касалось научных комментариев Мартина Гарднера, которого он хорошо знал по книгам и статьям в журнале Scientific American, и даже переводил³. И тут его советы действительно дорогого стоили. В это время мы часто встречались и то и дело советовались по разным вопросам по телефону. Многие наши решения, как ни смешно это может теперь показаться, приходилось отстаивать в жарких боях и спорах. Порой мы терпели поражение. Помню, нам обоим очень хотелось, чтобы в издание «Литературных памятников» вошли посвящённые Кэрроллу статьи о. Павла Флоренского, У.Х. Одена, Дж.Б. Пристли и других видных авторов, но, как мы ни старались, нам не удалось этого добиться. Осторожным редакторам, трясущимся за своё место, Флоренский и Оден всё ещё представлялись в те годы авторами «неприемлемыми», а эссе Пристли (вообще-то говоря, широко издававшегося в советское время) было посвящено психоанализу, теме, всё ещё полузапрещенной. Правда, отношение Пристли к попыткам психоаналитического прочтения Кэрролла, расцвет которого он едва ли не провидчески пророчил в 1921 году (время публикации эссе), было весьма саркастическим, — и всё же наши редакторы почли за благо его «запороть».

С годами у Юлия установились крепкие связи с другими любителями Кэрролла: московским коллекционером и большим любителем Кэрролла, математиком Александром Михайловичем Рушайло; выпускницей философского факультета МГУ Люсей Армаш (она была редактором издательства «Мартис» и предложила нам с Юлием сделать новый том Кэрролла); сотрудницами «Иностранки» (Всесоюзной государственной библиотеки иностранной литературы имени М.И. Рудамино) Ольгой Синицыной и Натальей Копелянской; Иосифом Моисеевичем Липкиным, тоже математиком и остроумным пародистом, переведшим поэму Кэрролла «Охота на Снарка», которую в 1993 г. он издал за собственный счёт⁴, и другими. С художником Юрием Ващенко Юлий был знаком ещё раньше; вместе они сделали не одну книгу — помимо упоминавшейся уже выше «Истории с узелками» Кэрролла, «Логическую игру» его же, а также книги М. Клайна, Э. Эббота, Г. Штейнгауза и др., вместе работали они и журнале «Квант», где Юлий был членом редколлегии. Юлий высоко ценил его и как художника, и как человека, и не раз благодарил «за счастливые часы работы» над той или другой книгой. О счастье работы с Юлием говорит и Юрий Ващенко. Позже, уже в перестроечные и постперестроечные времена, мы даже подумывали о том, не создать ли нам Российское общество Льюиса Кэрролла наподобие английского или американского, с которыми к тому времени уже установились прочные связи. Помешало хроническое безденежье, в котором многие из нас пребывали в то время, и — что греха таить — нежелание видеть в наших рядах некоторых коллег. Ограничились тем, что решили отмечать день рождения Кэрролла — 27 января. Правда, это далеко не всегда удавалось: многие из нас преподавали в вузах и старались на время зимних каникул куда-то уехать.

Юлий любил бывать в гостеприимном доме Александра Михайловича и Маргариты Фёдоровны Рушайло, где по стенам висели замечательные работы российских художников, а по стенам стояли шкафы с различными изданиями Кэрролла на всевозможных языках, включая и такие экзотические, как язык австралийских аборигенов. Вынимались различные издания, папки с рисунками книжных иллюстраторов и театральных художников («Алису» ставили различные театры страны и A.M. связывался с ними), всё это внимательно рассматривалось и обсуждалось. Обсуждались всевозможные «кэрроллианские» проекты, для которых радушные хозяева с готовностью предоставляли свои издания и материалы, среди которых были и совершенно уникальные. На многих посвящённых Кэрроллу выставках и конференциях, где мы обычно появлялись все вместе, Юлий выступал с докладом или сообщением, всегда увлекательно, ярко, так что выступление его запоминалось надолго.

В память запало его выступление на заседании Секции книги в Зелёной гостиной Дома учёных 26 февраля 1985 г., где напряжённая дискуссия едва не кончилась весьма печально. Юлий говорил о феномене Кэрролла, в творчестве которого математическое, логическое и художественное мышление сливалось в совершенно особый сплав (эти мысли нашли впоследствии выражение в его статьях, в частности в работе «Льюис Кэрролл как нелинейное явление»⁵). Выступавший за ним Д.В. Урнов, автор небольшой книжки «Как возникла «Страна чудес», позволил себе кое-какие скользкие замечания относительно дружбы писателя с девочками. Последовавшее за этим сравнение с инсинуированной Гоголю сексуальной патологией прозвучало совсем кощунственно. Юлий, возмущённый этим выпадом, поднял было руку, чтобы возразить Урнову, однако его опередил Я.А. Смородинский. Не буду приводить возражения Якова Абрамовича, скажу только: он так разволновался, что ему стало плохо и если бы не подбежавший к нему Юлий, он бы упал. Вызвали «скорую», и Юлий вместе с присутствовавшей здесь дочерью Смородинского Наей увезли Якова Абрамовича в больницу.

Вероятно, с тех пор у Юлия появилось особое отношение к Кэрроллу: он был всегда готов ринуться за него в бой, а единомышленники становились для него «соратниками». Недавно Юрий Ващенко, с которым Юлий выпустил не одну книгу, показал мне подаренное Юлием издание с надписью, в которой тот называл его «соратником в борьбе за Кэрролла».

Иногда мы все вместе отправлялись на выставки. Помню такой поход на книжную выставку в Выставочном центре на Крымском валу, где, как сообщил нам всезнающий A.M. Рушайло, была выставлена «Алиса в Стране чудес» с иллюстрациями Сальвадора Дали. Мне довелось видеть эти иллюстрации в США в коллекции одного из членов Общества Льюиса Кэрролла; репродукции двух из них, заботливо обрамлённые Александром Михайловичем, висели у меня дома; так что мы с удовольствием предвкушали встречу с этими работами. Отправились большой группой, с детьми; Юлий был с Анечкой. Каково же было наше разочарование, когда на выставке мы увидели под стеклом в витрине лишь закрытую книгу! Конечно, мы отыскали администратора или какое-то другое должностное лицо; после долгих споров и уговоров книгу наконец достали и мы получили возможность её раскрыть. Каково же было наше разочарование, когда мы обнаружили внутри одни лишь несброшюрованные листы с текстом! Цветные офорты Дали, в которые он собственноручно внёс кисточкой небольшие дополнительные мазки и детали, были кем-то предусмотрительно вынуты из папки. Знала ли об этом администрация? Или это было сделано с её ведома и согласия? На всякий случай мы поставили её об этом в известность. Зато оставшееся время мы провели в чудесной прогулке и беседах.

Юлий принимал участие и в устраиваемых A.M. Рушайло выставках книг и графики российских художников из его коллекции Кэрролла — в Доме Сытина (декабрь 1990 г.), Музее книги, Музее Ex Libris'a на Пушечной улице (октябрь 1994 г.) и пр., — где беседовал с собравшимися так доверительно и тепло, что возникала совершенно особая атмосфера. После одной из таких выставок — на Пушечной — мы долго сидели за чаем с принесённым Маргаритой Фёдоровной лимонным пирогом собственного изготовления и никак не могли разойтись. Юлий весь просто сиял, а Александр Михайлович позже признался, что от волнения не спал после этой встречи всю ночь.

Немало волнения нам доставила организованная в апреле 1998 г. Отделом искусства и детской литературы Иностранки конференция, посвящённая 100-летию смерти Кэрролла. Она назвалась «Мир Льюиса Кэрролла»: в ней участвовали математики, логики, переводчики, литературоведы, художники, издатели. В подготовке и проведении её Юлий принимал живое участие. На конференцию были приглашены также гости из Англии и США, видные специалисты по Кэрроллу, которым предстояло выступить с докладами. Англичане Энн Амор и Брайен Партридж прибыли за день или два до конференции (заботливая Оля Синицына, заведовавшая тогда Отделом искусства и детской литературы, со своими чудесными сотрудницами успели сводить их в Третьяковку и показать Москву), а вот американцам Августу А. Имхольцу и его жене Клэр, летевшим из Вашингтона, не повезло: русское консульство по обычной своей разболтанности и равнодушию до того затянуло оформление виз, что накануне открытия конференции они всё ещё не были готовы. Утром Август позвонил мне из Вашингтона и сообщил, что они не смогут принять участие в конференции; он был явно задет поведением консульских чиновников. Однако мы не могли согласиться с этим и твёрдо решили уговорить Августа и Клэр приехать в Москву. Мы понимали, что если они не приедут в Москву сейчас, то не приедут никогда, а за годы заочного знакомства с ними (лично их знала лишь я одна) все успели проникнуться к ним уважением и убедиться в их искреннем и дружеском интересе к России. Что ж, решили мы, если они не успевают к открытию конференции, мы разделим конференцию на две части, и проведём вторую часть, когда приедут Имхольцы. Юлий с готовностью согласился читать свой доклад во «втором отделении» конференции и даже пообещал, что будет читать его по-английски, а Ольга, выдвинувшая это предложение, взяла на себя всю нелёгкую его реализацию. Немалого труда стоило уговорить Имхольцев не отказываться от приезда, но когда уже в мае они всё-таки прилетели, мы убедились в том, что решение было принято правильно. «Второе отделение» прошло на каком-то особом подъёме. Большой Овальный зал библиотеки был полон, пришло много молодёжи, и когда Август начал свой доклад по-русски (правда, с сильнейшим американским акцентом, который поначалу привёл слушателей в некое остолбенение), зал разразился аплодисментами. Тема доклада — «Льюис Кэрролл и политическая корректность», в которой Август с тонкой иронией разделывался с тогдашними (а отчасти и теперешними) представлениями о пресловутой политической корректности, в которую никак не укладывалась такая личность, как Кэрролл, послужила прекрасным введением к докладу Юлия. Он назвал его «Льиюс Кэрролл и его комментаторы», но, как всегда, его выступление было значительно шире заявленной темы. Как всегда, он не читал своего доклада, а говорил — в свободной, остроумной, изящной манере, увлекая за собой слушателей. Затем последовали вопросы — ещё и ещё вопросы, — пока наконец Оля Синицына не предложила перейти к накрытым столам и продолжить беседу за ними. Наших докладчиков окружили и отпустили очень нескоро. Мы только просили, чтобы им дали возможность хоть что-то выпить и съесть. Я думаю, что этот день Юлий отметил в своей памяти «белым камешком» (так на манер древних римлян отмечал в своём дневнике счастливые дни Кэрролл, и Юлий нередко пользовался этим выражением).

Когда перед отъездом Имхольцев мы собрались на прощальный вечер у Люси Армаш и, как обычно бывает в таких случаях, стали перебирать события этих дней, Юлий с сияющей улыбкой говорил об этом вечере и об общении с молодёжью и единомышленниками, число которых теперь ещё увеличилось. (Замечу тут же, что Август Имхольц с неизменным вниманием присылал через меня Юлию книги и материалы, в первую очередь математические, которые, по его мнению, могли его заинтересовать.)

К сожалению, Юлий не записал текста своего доклада; сохранились лишь тезисы, да небольшие заметки, сделанные перед докладом. Агнесса Григорьевна Шадтина-Данилова, подготовившая их к печати, передала их мне для включения в подготовленный издательством «Согласие» сборник, посвящённый Кэрроллу, который, надеюсь, выйдет в этом году.

 
Юлий Александрович и Агнесса Григорьевна
(начало 70-х гг.)

С Люсей Армаш и издательством «Мартис» был связан дорогой для Юлия проект — издание на русском языке «Философской Алисы». Под этим названием в Америке вышли две «Алисы» Льюиса Кэрролла с философскими комментариями и предисловием философа Питера Хита (1922–2002)⁶. Шотландец родом, до конца своих дней не потерявший связи с родным Эдинбургом, где жил его брат и родные (там я и познакомилась с ним), Питер профессорствовал в Эдинбургском университете и университете Сент-Эндрюс, а также в Университете Вирджинии, выпустил ряд работ, посвящённых философии Канта и другим вопросам, а также легендарную статью «Ничто» в «Философской Энциклопедии». Питер Хит был одним из старейших и заметнейших членов Общества Льюиса Кэрролла Северной Америки: наряду с глубочайшими познаниями, его отличало удивительное изящество мысли и тонкое чувство юмора. К сожалению, Юлию не довелось его услышать, однако он по достоинству оценил философский комментарий Хита, сопровождающий текст Кэрролла, и превосходно перевёл его, прекрасно передав его стиль, лишённый тяжеловесности, зачастую ироничный или шутливый.

«Философская Алиса» в американском издании имела горизонтальный формат, так называемый "альбомный спуск", — рассказывает Юрий Ващенко. — Комментарий Питера Хита удобно располагался на обширных полях кэрролловского текста, как бы дискутируя с автором. Иллюстрации Джона Тенниела, напротив, торжествовали в гордом одиночестве». Вот тогда-то у Юры и появилась идея «прокомментировать» эту визуальную часть книги. Юлий тотчас откликнулся, напомнив, что Кэрролл в Крайс Чёрч преподавал геометрию и, в свою очередь, предложил длинный ряд геометрических образов; теорем, задач, ребусов, игр, которые органично объединялись с рисунками Тенниела, придавая им новую ось рассматривания. Создавалась особая игра, где привычные для глаза тенниеловские иллюстрации проглядывали сквозь строгую вязь теоремы Пифагора, мозаик Пенроуза и пр.».

Результат превзошёл все ожидания. Иллюстрации Тенниела, к которым мы успели уже приглядеться, получили необычное освещение, а вся книга приобрела особое изящество. Помню, отправляясь в 1998 году с докладом в Нью-Йорк на международную конференцию американского Общества Льюиса Кэрролла, я повезла по просьбе Люси Армаш несколько подготовленных издательством постеров с этими рисунками, которые вызвали всеобщий восторг. Деньги, полученные от продажи этих постеров, помогли издательству заткнуть некоторые дыры (в частности, расплатиться с Юлием — не знаю, полностью ли). Однако дела издательства шли неважно, и после дефолта 1998 г. оно так и не встало по-настоящему на ноги. Это очень омрачало последние годы тяжело заболевшей Люси, к которой Юлий относился очень тепло. Готовая к печати «Философская Алиса» так и не вышла в свет и по сей день ждёт своего издателя.

Мне кажется, что выбор книг Кэрролла для Юлия не был случайным. Обычно он занимался авторами, которые были ему так или иначе близки, чем-то особенно его интересовали или трогали. Кэрролл безусловно ему импонировал — уникальностью своего дара, энциклопедичностью, многими личными свойствами. Особенно, как мне кажется, трогала Юлия любовь писателя к детям. Сам Юлий к детям относился трепетно — и, подобно Кэрроллу, имел к ним свой ключ. Вспоминается рассказ моего старого друга Александра Евгеньевича Асарина, сын которого Женька в бытность свою школьником попал по счастливой случайности в математический кружок, который вёл Юлий (в школе училась в это время его дочка Анечка). После занятий с Юлием обычно тихий Женька ехал по вечерам домой в троллейбусе в таком экстазе, что всю дорогу пел! Поведение, прямо скажем, в другое время совершенно ему не свойственное. Вот почему, как я думаю, для перевода из Кэрролла Юлий выбрал, помимо математических работ, ещё и письма к детям. Их отличает особая — светлая — интонация: переводчик и автор как бы сливаются воедино.

Кружок по математике во втором классе
398 школы (Москва, 1983 г.)

Общаясь на протяжении лет с Юлием, мы как-то незаметно выработали свой особый язык, в котором было немало цитат или ссылок на Кэрролла. Нам даже не надо было цитировать их целиком: нередко достаточно было одного или двух слов, чтобы прекрасно понять, что хотел сказать собеседник. Это была очень приятная игра.

Конечно, моё общение с Юлием было во многом ограничено — моими возможностями, знаниями и просто элементарной бытовой занятостью, которая на всех нас ложится тяжёлым бременем; и всё же, надеюсь, мне удалось увидеть некоторые драгоценные черты его личности, о которых я пыталась здесь рассказать. Добавлю к этому скромность, деликатность и доброту, неизменно отличавшие его, изящество и, я бы даже сказала, куртуазность его общения с дамами.

Впрочем, Юлию вообще была свойственна слегка стилизованная любезность, нередко, — но, разумеется, только когда он того хотел, — звучавшая иронией или даже сарказмом. Обычно он применял её в тех случаях, когда имел дело с людьми невоспитанными, грубыми, а не то так и просто (сформулирую это мягко) непорядочными или бесчестными. Правда, я не уверена, что такая манера общаться с подобными личностями, которых немало было и в его институте, и в издательствах, могла как-то повлиять на них, и нередко пыталась убедить в этом Юлия, однако он был, по-видимому, просто не в состоянии изменить самому себе.

Запомнился небольшой эпизод, в котором мы оба принимали участие. Как-то в начале перестройки, когда неизвестно откуда появилось огромное количество новых издательств, Юлий позвонил мне и сказал, что к нему обратился издатель, назвавшийся большим энтузиастом Кэрролла, и предложил ему подготовить том неизвестных произведений писателя. Юлий, как он это нередко делал в подобных случаях, назвал и моё имя, и издатель пригласил нас обоих на беседу. По дороге в издательство мы с Юлием размечтались, что наконец-то нам удастся реализовать давние задумки, о которых мы не раз с ним говорили. Беседа с издателем, который согласился на большинство наших предложений, протекала очень приятно. Но вот он предложил обсудить договор, и когда речь дошла до обозначения копирайта на титуле, сказал, что наши переводы будут, разумеется, отмечены нашими именами, а вот состав сборника будет издательский. Сначала я вообще не поняла, о чём идёт речь. Юлий же решил, что издатель, как человек новый, просто не очень разбирается в юридических тонкостях, и начал объяснять ему, что на титуле должны стоять имена тех, кто реально работал над составом, изучал в подлинниках огромное количество материалов, отбирая из них нужные, — работа, на которую наш издатель и его сотрудники, не будучи специалистами и не зная иностранных языков, претендовать не могли. Однако издатель продолжал настаивать. «Какие пустяки, — с милой улыбкой говорил он, — ведь там будут стоять ваши имена как переводчиков. Надо же и издательству что-то оставить!» Тут мы с Юлием поняли, что нам надо просто прощаться и уходить. Что мы и сделали.

Надо было слышать негодование Юлия, которое он изливал, не стесняясь, всю дорогу домой! В какой-то момент я даже завела его в кафе выпить кофе в надежде, что это поможет ему прийти в себя. Какое там! Он продолжал возмущаться. Для Юлия, идеалиста и бессребреника, была совершенно неприемлема сама мысль о том, что кто-то хочет присвоить себе чужой труд! Он часто потом вспоминал этого горе-издателя, когда приходилось сталкиваться с его собратьями. Сколько их было! И надо сказать прямо, что большинство из них были по сравнению с тем, о котором я рассказала, прямо-таки разбойниками с большой дороги.

Особенно болезненно пережил Юлий историю с издательством «Мир», с которым он сотрудничал много лет и для которого немало сделал. Казалось бы, издательство должно было быть ему за всё это только признательно. Отнюдь! Внезапно оно предъявило ему обвинение в каком-то нарушении одного из пунктов старого договора, потребовав возмещения воображаемых убытков в совершенно астрономических суммах. Юлий был потрясён. «Да я за всю оставшуюся жизнь не смогу с ними расплатиться!» —только и повторял он. Когда он, немного оправившись от волнения, разыскал среди бумаг договор и прочитал его мне, я стала объяснять ему, что ничего страшного нет. То же говорили и его близкие. Я советовала ему обратиться к юристам, дала телефоны и адреса тех, кто в своё время помогли мне, однако он был настолько травмирован предательством людей, с которыми работал столько лет, что просто не в состоянии был решиться на это. Наконец удалось уговорить его отправиться в РАО, где специалисты по авторскому праву отвергли все притязания издательства. Казалось бы, всё кончилось благополучно, но какой кровью пришлось ему за это заплатить!

Вообще говоря, Юлий был очень раним и так и не научился ставить преград между собой и грубостью и подлостью окружающего мира. (Впрочем, кому из нас это удаётся?!) Всякий раз он болезненно переживал наносимые ему обиды и снова и снова возвращался к ним. Вот почему, как мне кажется, его поездки в Бельгию «к Пригожину» были для него таким праздником: там ничто его не задевало, ничто не мешало быть самим собой. Научное и дружеское общение с самим нобелевским лауреатом и его сотрудниками, «бытовая» вежливость бельгийцев, которые не отличаются особой любезностью, но просто соответствуют некоему европейскому стандарту, — как много значили для него эти «передышки». Он готов был без конца рассказывать о днях, проведённых в Брюсселе, и людях, которых он встретил там.

Приветливый и дружелюбный, Юлий при всём том был достаточно закрытым человеком и отнюдь не был готов на всё отзываться. Были темы, которые он неизменно отодвигал, если они как-то возникали в разговоре. Таких тем было немало, и среди них в первую очередь были вопросы о вере и «жизни после жизни», а также широко обсуждаемые сейчас экспериментальные данные об экстрасенсорном восприятии в различных его проявлениях. Бывало, задашь ему в ходе беседы прямой вопрос, он улыбнётся и переведёт разговор, даже если вопрос не носил личного характера. К той же категории табуированных относились многие политические вопросы (в частности, в своё время диссидентство), которые в нашем кругу обсуждались весьма свободно. Не знаю, чем была вызвана эта сдержанность в отношении последних; возможно, тем, что Юлий, будучи сотрудником Института Курчатова, давал какие-то подписки и пр. и не считал для себя возможным их нарушать. Была и ещё одна запрещённая зона, куда Юлий никого не допускал. Он никогда не говорил о своём здоровье. И как ни старались друзья, рекомендуя ему своих врачей и предлагая всяческие советы, он только с улыбкой отмалчивался. Только раз, вскоре после своего удара, он в разговоре со мной вскользь заметил: «Когда я вернулся оттуда...» — и сделал едва уловимое движение головой.

Празднуя дни рождения Кэрролла, мы, бывало, иногда говорили, кто в шутку, а кто всерьёз, что вот, мол, если Кэрролл смотрит на нас с небес, то, верно, ему приятно, что в далёкой России, где он когда-то побывал, спустя почти полтора века помнят его день. Что ж, кто знает, может быть, теперь они с Юлием вместе смотрят на нас сверху, отмечая белым камешком свою встречу.

Мы познакомились с Юлием Александровичем в начале 80-х годов. На меня произвели большое впечатление его высказывания по многим вопросам науки и об известных нам людях, которые очень близко соответствовали моим представлениям по этим же вопросам и об этих же людях. Я была в полной уверенности, что он замечательный физик. И каково же было моё удивление, когда я узнала, что Юлий Александрович по образованию математик. Мой опыт общения с математиками показывал, что, как правило, они плохо разбираются в физике. Вторым фактом биографии Юлия Александровича, который меня очень поразил, было то, что он не имеет никаких учёных степеней. Зная его богатую эрудицию и глубину понимания различных физических проблем, я была в полной уверенности, что он доктор наук.

Человеческие качества Юлия Александровича трудно описать словами. Он обладал удивительным и достаточно редким даром: умением сопереживать и сочувствовать тем неприятностям, которые были почти у всех достаточно частыми в наше трудное время. Помню, как у меня после разговоров с Юлием Александровичем поднималось настроение, и все имеющиеся неприятности казались не столь уж существенными.

Всякое общение с Юлием Александровичем, будь то на семинаре по синергетике в МГУ или на Школе по нелинейной динамике в г. Саратове, доставляло мне громадное удовольствие. Я всегда узнавала много нового. Например, его рассказы о Хевисайде, Дж. фон Неймане и Г. Вейле меня просто поразили. До этого о Хевисайде я знала только функцию, носящую его имя, а о Дж. фон Неймане и Г. Вейле вообще почти ничего не знала.

Насколько мне известно, научные интересы Ю.А. Данилова были чрезвычайно разнообразными. Большое внимание он, как математик, уделял теории групп и её практическому применению. В его лекциях на эту тему теория групп выглядела чрезвычайно привлекательно. И поэтому мне очень хотелось обсудить с ним мучающую меня до сих пор проблему: может ли эта теория помочь получить новые физически интересные решения, которые не могли бы быть найдены просто исходя из здравого смысла. Ни один из известных мне специалистов в области теории групп не смог привести мне такие примеры. К сожалению, обстоятельства сложились так, что мне не удалось обсудить эту проблему с Юлием Александровичем, что явилось досадным подтверждением известной поговорки: «Никогда не откладывай на завтра то, что можно сделать сегодня».

Другой темой, чрезвычайно привлекавшей Ю.А. Данилова, были проблемы синергетики. Известно, что он был пропагандистом этой науки и одним из организаторов семинара по синергетике на физическом факультете МГУ. И хотя я до сих пор считаю, что синергетика не является самостоятельной наукой, поскольку изучает те же самые процессы, что и теория колебаний и волн, созданная Л.И. Мандельштамом, однако польза от этой деятельности Юлия Александровича мне представляется несомненной. По этому поводу я полностью согласна с высказыванием Ю.И. Неймарка о том, что оформление как бы «новых» наук полезно, потому что привлекает молодёжь.

Третьей темой, пользовавшейся большим вниманием Ю.А. Данилова, были фрактальные объекты и их свойства. Несколько его небольших работ на эту тему мне представляются чрезвычайно глубокими и в то же время доступными непосвящённому читателю. Я не побоюсь высказать мнение, что эти работы более полезны для ознакомления с фракталами, чем работы специалистов в этой области, включая самого основателя этой теории Б. Мандельброта.

Данный краткий обзор охватывает лишь очень незначительную часть научных интересов и достижений Юлия Александровича. Он совершенно не касается его очень большой и плодотворной переводческой деятельности. Я написала только о том, что мне было наиболее близким.

В заключение я хочу сказать, что один раз мне выпало большое счастье близко общаться с Юлием Александровичем в связи с тем, что он любезно согласился редактировать мою и Ю.И. Неймарка книгу «Стохастические и хаотические колебания». Он был замечательным редактором: не оказывая никакого насильственного давления на авторов, он сделал так, что книга стала существенно лучше,

Хотя и говорят, что незаменимых людей нет, но мне никто не сможет заменить удовольствия и пользы от такого тонкого общения с Ю.А., на которое, наверно, только он и был способен. Я надеюсь, что Юлий Александрович навсегда останется в доброй памяти всех своих многочисленных друзей и знакомых.

Нелинейная динамика, в каком бы — узком или широком — смысле мы её ни понимали, достигла ныне такого этапа в своём развитии, когда уместно оглянуться на пройденное и подвести некоторые итоги. Период штурма и натиска ещё продолжается, но для того, чтобы дальнейшее продвижение не замедлилось, чтобы не иссяк наступательный порыв, необходимо критически осмыслить достигнутое, подвергнуть тщательному пересмотру основные идеи и понятия, проследить их происхождение, продумать наиболее рациональную схему планомерной осады «узких мест» и достичь ясного понимания того, что сделано теми гигантами духа и мысли, на плечах которых мы, по признанию Ньютона, стоим.

«Для развития науки, — любил подчёркивать Л.И. Мандельштам [2, с. 133], — важна не только работа пионеров, создающих новые концепции, в свете которых становится различимым скрывающееся во мраке неизвестное, но и последующий критический анализ этих концепций, очищающий их от случайного и неверного и вносящий в них стройность, ясность и прозрачность, без которых невозможно дальнейшее продвижение».

Вклад Пуанкаре и Мандельштама в создание нелинейной динамики вряд ли можно переоценить. Им мы обязаны созданием этой новой науки, занимающейся изучением систем различной природы (и поэтому с необходимостью вторгающейся на суверенную территорию различных частных наук), выявляющей общие закономерности там, где их, казалось бы, нельзя было и ожидать среди пёстрого разнообразия внешне далёких явлений, описываемых нелинейными теориями, каждая из которых «говорит на своём языке, ставит и решает свои собственные задачи», используя для этого свои индивидуальные методы. Пуанкаре и Мандельштам — истинные творцы нелинейной динамики: первый создал адекватный математический аппарат, второй насытил абстрактные математические схемы ярким физическим содержанием. Разумеется, каждому из них можно было бы посвятить не одну лекцию, лишь прокрустово ложе школьного расписания вынуждает нас ограничиться самым необходимым.

А. Пуанкаре

Л.И. Мандельштам

И Пуанкаре, и Мандельштам — каждый в своей области — принадлежали к редкому типу учёных-универсалов, презревших ограниченность узкой специализации, порождённую дифференциацией науки. Вот что говорит, например, о Пуанкаре легендарный Никола Бурбаки [1, с. 99–100]:

«Каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает всё более разнообразное содержание и постоянно даёт ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить всё это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-нибудь закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только полностью игнорируют всё то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от него. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же касается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение».

А вот на что считает необходимым обратить внимание в творчестве своего учителя А.А. Андронов [2, с. 100, 102]:

«Если пользоваться известной терминологией В. Оствальда, Л.И. Мандельштам одновременно и классик — по образцовой ясности и законченности опубликованных им работ, по строгости и точности рассуждений, и романтик — по стремлению делиться своими идеями и догадками, по своей любви к преподаванию, по силе своего живого слова, способного вызвать напряжённое внимание и радостное возбуждение аудитории. ...Л.И. Мандельштам ощущал всё точное естествознание, включая математику и технику, как единое развивающееся целое и не только подчёркивал взаимное влияние математики и физики, физики и техники и т.д., но хотел каждую новую вещь, будь то квантовая механика или теория нелинейных колебаний, понять и усвоить прочно, как необходимую составную часть всей физики, всего точного естествознания. ...Эта несравненная способность к далеко идущим сопоставлениям сочеталась у Л.И. Мандельштама с большой силой и остротой при конкретном исследовании, с умением преодолевать или обходить экспериментальные или вычислительные трудности».

Нужно сказать, что и немногочисленные другие математики-универсалы, отобранные по самому строгому «гамбургскому счёту», внесли свою немалую лепту в создание и развитие математического аппарата нелинейной динамики. Каждый из них великолепно владел математикой своего времени, глубоко интересовался проблемами естествознания. Для каждого из них в величественном здании математической науки не было ни закрытых комнат, ни тёмных закоулков. Каждый мощью своего интеллекта превосходил «многоголового» Никола Бурбаки.

Давид Гильберт (1862–1943) создал геометрию бесконечномерного функционального пространства, разработал прямые методы вариационного исчисления, указал на кинетическую теорию газов как на пример области физики, задачи которой решаются непосредственно с помощью интегральных уравнений и не сводимы к дифференциальным уравнениям.

Герман Вейль (1885–1955) создал аппарат теории представлений групп, всё более широко используемой при описании симметрии физических систем, в том числе и систем, изучаемых нелинейной динамикой, получил выдающиеся результаты в области дифференциальной геометрии и решил важную задачу о связи спектра колебаний с формой колеблющейся области.

Джон фон Нейман (1903–1957) получил первоклассные результаты в эргодической теории, математическом обосновании квантовой механики, теории автоматов. Именно ему принадлежит идея об использовании системы «реакция с диффузией» как основы моделирования процессов, происходящих в живых организмах, в частности формообразования и самовоспроизведения.

Вместе с Уламом фон Нейман поставил один из первых численных экспериментов, пытаясь проверить на системе связанных нелинейных осцилляторов один из краеугольных камней статистической механики — гипотезу о равнораспределении энергии по степеням свободы. Обнаруженный им парадокс — отсутствие тенденции к равнораспределению впоследствии привёл к открытию солитона в уравнении Кортевега–де Фриза.

Но сколь ни значимы результаты этих последних великих универсалов, они не образуют (в отличие от результатов Пуанкаре) всюду плотного множества в арсенале средств и методов нелинейной динамики, между тем все (или почти все) её идеи, понятия и методы так или иначе связаны с именем Пуанкаре, хотя и не всегда носят его. Ситуацию здесь довольно точно передаёт следующий отрывок из доклада Л.И. Мандельштама об оптических работах Ньютона [2, с. 260], который мы приводим здесь, лишь слегка изменив текст (у Мандельштама говорится не о Пуанкаре, а о Ньютоне):

«Я чувствую своеобразное затруднение. Когда речь идёт о таких открытиях, как открытия Пуанкаре, которые всем нам известны со школьной скамьи, легко очутиться — я знаю это по себе — в положении того любителя литературы, который на вопрос, как ему понравилось «Горе от ума», сказал, что в грибоедовской комедии он в сущности ничего замечательного не видит, так как она сплошь состоит из давно известных поговорок и пословиц. Чтобы не терять перспективы, мне кажется, лучше всего встать на историческую точку зрения. Нужно представить себе, хотя бы в общих чертах, состояние вопроса до Пуанкаре, затем восстановить по памяти то, что сделал Пуанкаре, и, наконец, коротко проследить ту роль, которую его работы сыграли в дальнейшем развитии науки».

Последуем совету Мандельштама.

Оценить развитие нелинейной динамики до Пуанкаре не составляет особого труда: нелинейной динамики (тогда ещё нелинейной теории колебаний) как отдельной науки, обладающей своим предметом и методом исследования, не было. В истории нелинейной динамики у Пуанкаре не было предтеч. Существовали отдельные разрозненные результаты, значимость и общность которых никому не были известны. Дифференциальные уравнения, долгое время составлявшие основу математического аппарата нелинейной динамики и поныне не утратившие свои позиции, математики, или, как было принято говорить, геометры пытались решать путём сведения к более простым. Оценивая в «Аналитическом резюме» свои работы по дифференциальным уравнениям того периода, Пуанкаре заметил [3, с. 580]:

«Как только принципы исчисления бесконечно малых были установлены, аналитик оказался перед лицом трёх проблем: решение алгебраических уравнений; интегрирование алгебраических функций; интегрирование дифференциальных уравнений. История этих трёх проблем одинакова. После длинных и тщетных усилий свести эти проблемы к более простым геометры уступили, наконец, необходимости изучения проблем самих по себе и были вознаграждены. Долгое время надеялись, что удастся решить все уравнения в радикалах. От этого пришлось отказаться, и сегодня алгебраические функции нам столь же хорошо известны, как и радикалы, к которым их желали привести. Точно так же и интегралы от алгебраических дифференциалов, которые долго пытались привести к логарифмическим или тригонометрическим функциям, выражаются сегодня посредством новых трансцендентностей. Примерно то же должно было произойти и с дифференциальными уравнениями. Число уравнений, интегрируемых в квадратурах, крайне ограничено и, постольку поскольку не решались изучать свойства интегралов самих по себе, вся эта аналитическая область оставалась всего лишь обширной terra incognita, которая казалась навсегда запретной для геометра».

Коши, Фукс, Врио и Буке, С.В. Ковалевская проникли в эту ранее не исследованную область. Они установили, что если отказаться от изучения поведения интегралов дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, в целом, т.е. при всех значениях независимой переменной, сосредоточить усилия на исследовании локальных свойств, т.е. свойств в малом, в окрестности данной точки, то эти свойства будут существенно отличаться в зависимости от того, будет ли выбранная точка обычной или особой.

Пуанкаре существенно дополнил и расширил результаты своих предшественников, показал, при каких условиях решение в окрестности неособой точки может быть разложено не только по степеням независимой переменной, но и по степеням начальных данных или малого параметра, каким образом эти ряды могут оставаться сходящимися при произвольных значениях независимой переменной.

Но сколь ни важны результаты, полученные Пуанкаре относительно поведения решений дифференциальных уравнений в окрестности обычной точки, свои главные усилия он сосредоточил на выяснении того, что происходит в окрестности особой точки.

Подводя итог этим своим исследованиям, Пуанкаре писал в «Аналитическом резюме» [3, с. 583–584]:

«Изучение интегралов дифференциальных уравнений в окрестности данной точки, какова бы ни была его польза с точки зрения числовых вычислений, может рассматриваться лишь как первый шаг. Эти разложения, которые справедливы только в очень ограниченной области, ...не могут рассматриваться как истинное интегрирование. Поэтому их следует принять лишь как отправную точку в более глубоком изучении интегралов дифференциальных уравнений, где мы были бы намерены выйти из ограниченных областей, где мы были систематически подготовлены исследовать интегралы по всей плоскости. Но это изучение может проводиться с двух разных точек зрения. Можно задаться целью выразить интегралы посредством разложений, справедливых всегда и более не ограниченных какой-либо частной областью. При этом приходят к введению в науку новых трансцендентностей; и это введение необходимо, так как старые известные функции позволяют интегрировать лишь небольшое число дифференциальных уравнений. Однако этот способ интегрирования, который даёт нам знание свойств уравнения с точки зрения теории функций, один не достаточен, если мы желаем применять дифференциальные уравнения к вопросам механики или физики. Наши разложения не показали бы нам, по крайней мере без значительного труда, будет ли, например, функция постоянно возрастать или колебаться между определёнными пределами, или она будет возрастать сверх всякого предела. Другими словами, если функцию рассматривать с точки зрения определения плоской кривой, мы ничего не узнаем об общей форме этой кривой. В некоторых приложениях все эти проблемы имеют такую же важность, как и вычисления, и они составляют новую проблему, которую нам приходится решать».

Мы видим, что слабое место локального рассмотрения основной арены, на которой развёртываются события, подвластные классическому анализу, указано Пуанкаре ясно и определённо. Для перехода от рассмотрения в малом к рассмотрению в целом необходимы топологические и теоретико-групповые соображения, и Пуанкаре использует эти соображения, создав топологию и применяя группы Ли.

С волшебной лёгкостью он переходит от одной области математики к другой, используя технику, наиболее адекватную решаемой задаче, попутно внося в применяемый метод существенные усовершенствования и с щедростью гения разбрасывая новые идеи. Именно Пуанкаре ввёл понятие универсальной обёртывающей алгебры. Именно ему принадлежит так называемый метод продолжения, суть которого состоит в погружении решаемой задачи в однопараметрическое семейство задач, зависящих от вспомогательного параметра, и в выяснении разрешимости задачи в зависимости от значений этого вспомогательного параметра. Пуанкаре одним из первых стал использовать неподвижную точку и принцип сжатых отображений для доказательства существования решений нелинейных задач и построения эффективных итерационных процедур.

Логика исследования, приведшая в своё время геометров к необходимости исследования дифференциального уравнения самого по себе, без сведения к более простым проинтегрированным ранее, привела Пуанкаре к следующему шагу: к исследованию кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Так началась славная история качественной теории дифференциальных уравнений. Вот как рассказывает об этом сам Пуанкаре в «Аналитическом резюме» [3, с. 595–597]:

«Даже когда придут к тому, чтобы то, что было мною сделано для линейных уравнений, проделать для произвольного уравнения, т.е. найти разложения интегралов, справедливые во всей плоскости, это ещё не будет основанием для отказа от результатов, которые можно получить другими методами, так как может случиться, что эти методы откроют нам частности, которые разложения не представляли бы нам сразу с очевидностью. Это соображение побудило меня встать на новую точку зрения, и я не мог бы найти лучшего способа дать о ней представление, чем воспроизвести то, что писал в момент, когда начинал эти исследования. ...Итак, необходимо изучать функции, определённые дифференциальными уравнениями, сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям, так же, как это сделано для алгебраических функций, которые пытались сводить к радикалам и которые изучают теперь прямо, и так же, как это сделано для интегралов от алгебраических дифференциалов, которые долго пытались выразить в конечных терминах. Исследовать, каковы свойства дифференциальных уравнений, является, таким образом, вопросом, имеющим самый большой интерес. По этому пути уже сделали первый шаг, изучив функцию в окрестности одной точки плоскости. Сегодня речь идёт о том, чтобы идти дальше и изучать эту функцию на всём протяжении плоскости. В этом исследовании отправной точкой нам будет служить, разумеется, то, что уже известно об изучаемой функции в некоторой области плоскости. Полное изучение функции состоит из двух частей: 1) качественной (так сказать), или геометрического изучения кривой, определяемой функцией; 2) количественной, или вычисления значений функции. ...Именно с качественной стороны должна начинаться теория всякой функции, и вот почему в первую очередь возникает следующая задача: построить кривые, определяемые дифференциальными уравнениями. ...Это качественное исследование и само по себе будет иметь первостепенный интерес. Различные и чрезвычайно важные вопросы анализа и механики могут быть сведены к нему. ...Таково широкое поле для открытий, которое лежит перед геометрами. Я не притязал на то, чтобы пройти его всё, но хотел, по крайней мере, перейти его границы и ограничил себя одним очень частным случаем, тем, который естественно представляется с самого начала, т.е. изучением дифференциальных уравнений первого порядка первой степени».

Обобщив и специализировав результаты Брио и Бука, а также свои собственные, Пуанкаре обнаружил существование особых точек четырёх видов (сёдел, узлов, фокусов и центров — все названия принадлежат ему), изучил их расположение на плоскости, ввёл понятия цикла без контакта и предельного цикла. Тем самым им было выковано оружие, которое через много лет было обнаружено в математическом арсенале учеником Л.И. Мандельштама — А.А. Андроновым — и стало математическим образом, адекватным автоколебаниям.

Обнаружение сложных — хаотических и стохастических — режимов в детерминированной динамической системе также связано с именем Пуанкаре. Занимаясь изучением так называемой ограниченной задачи трёх тел, он открыл существование особых фазовых кривых, отвечающих неустойчивым движениям. Именно они являются тем механизмом, который хаотизирует, запутывает траектории динамической системы. В знаменитых «Новых методах небесной механики» Пуанкаре так описывал гомоклиническую структуру [4, с. 339]:

«Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми — устойчивая и неустойчивая инвариантные кривые, проходящие через седловую особую точку, — и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двояко­асимптоти­ческому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решётки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; но ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь самоё себя, но она должна навиваться на самоё себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трёх тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся».

Открытие сложных хаотических режимов позволило не только понять природу неинтегрируемости задач динамики, но и постичь ограниченность так называемого ньютоновского детерминизма, по-новому взглянуть на природу случайного. Экспоненциальное разбегание первоначально близких траекторий, вынужденных оставаться в ограниченной части фазового пространства, приводит к их перепутыванию, т.е. в конечном счёте к хаотизации. В одной из своих работ по философии науки («Наука и метод») Пуанкаре говорит о природе случайного так [3, с. 323]:

«...Совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая. ...Иногда большая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное».

Пуанкаре принадлежит в числе прочих ещё одно важное открытие: непрерывный (более того, дифференцируемый) поток в фазовом пространстве, например, в окрестности периодической траектории, можно изучать с помощью дискретного отображения, индуцируемого этим потоком на версальном сечении (так называемом сечении Пуанкаре). Тем самым Пуанкаре одним из первых восстановил справедливость, уравняв в правах дискретное отображение сечения в себя и непрерывное (гладкое) отображение фазового пространства в себя. Развернувшиеся впоследствии острые споры о том, что первично — дискретное или непрерывное, несколько напоминают споры остро- и тупоконечников: в природе непрерывность встречается наряду с дискретностью, и при выборе средства для решения той или иной задачи следует скорее заботиться об его адекватности, нежели отдавать предпочтение определённому подходу только потому, что он дискретен или непрерывен.

С именем Пуанкаре связан и метод нормальных форм, позволяющий избавляться от «лишних» (нерезонансных) членов в правой части уравнений с помощью формальных обратимых замен переменных (существующие теоремы о сходимости рядов, задающих замены, в приложениях, как правило, не используются). Нормальные формы позволяют не только упрощать решаемые уравнения, но и строить разумные базовые модели. Обычно модель выбирается с таким расчётом, чтобы она воспроизводила с большей или меньшей точностью некое множество режимов. Однако при построении модели обычно делаются многочисленные неконтролируемые предположения, не позволяющие в конце анализа однозначно ответить на вопрос, какое отношение к исходным физическим моделям имеет выбранная базовая модель. Приведение к нормальной форме означает разбиение множества исходных моделей на классы эквивалентности с последующим выбором по одному представителю от каждого класса. При таком подходе ничто не мешает после изучения режимов, допускаемых базовой моделью, вернуться к исходной модели без какой бы то ни было потери информации.

В несметных сокровищах наследия Пуанкаре можно найти и многие другие важные понятия и теории, созданные на правах «первооткрывателей» теми, кто либо никогда не читал трудов Пуанкаре, либо делал это недостаточно внимательно. В частности, из его работ нетрудно извлечь достаточно подробно проработанные контуры теории бифуркаций, или, как предпочитал называть их сам Пуанкаре, «смен устойчивости».

«К сожалению, — замечает В.И. Арнольд [5, с. 232–233], — бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для математиков, воспитанных на теории множеств. (Пуанкаре сказал бы: «Петя вымыл руки» там, где современный математик напишет просто: «Существует t₁ < 0 такое, что образ точки t₁ при естественном отображении t → Петя (t) принадлежит множеству грязноруких, и такое t₂ Î (t₁, 0], что образ точки t₂ при том же отображении принадлежит дополнению вышеупомянутого множества».) Видимо, поэтому многие его идеи остались незамеченными ближайшими к нему поколениями. Исключение составляют, пожалуй, лишь Биркгоф и его ученики Морс и Уитни. Том в докладе о работах Смейла на Математическом конгрессе в 1966 г. в Москве назвал его чуть ли не единственным математиком, прочитавшим Пуанкаре и Биркгофа».

Что же касается «наивных» определений Пуанкаре, то попытки обобщения их, как правило, не приводят к новым объектам.

И всё же, несмотря на известное высокомерие потомков, труды Пуанкаре не встали мёртвым грузом на верхних полках библиотек. Как показала, в частности, конференция по математическому наследию Анри Пуанкаре, состоявшаяся с 7 по 10 апреля 1980 г. в университете штата Индиана, идеи Пуанкаре питают современную математику в гораздо большей мере, чем это может показаться непросвещённому узкому специалисту.

Жизнь другого главного действующего лица нашего повествования, Леонида Исааковича Мандельштама (1879–1944), по словам его ближайшего сотрудника Н.Д. Папалекси [2, с. 5], «не отличалась внешним блеском. Он никогда не добивался внешних почестей, не стремился играть какой-либо роли, ему совершенно чужды были честолюбие и славолюбие. Но тем полнее и богаче была его внутренняя жизнь. Это была прекрасная жизнь истинного учёного и глубокого мыслителя, искателя научной истины, человека исключительного душевного благородства».

Влияние научных идей Л.И. Мандельштама на современную физику в целом и, в особенности, на нелинейную динамику неоспоримо. Отчасти оно прослежено в обзоре [6], посвящённом 100-летию выдающегося учёного. Полученные им результаты по праву считаются классическими. Они вошли в учебники, стали достоянием истории науки и, что гораздо важнее, предметом пристального внимания со стороны тех, кто принимает непосредственное участие в создании нелинейной динамики на её современном этапе.

Не менее важной, чем собственные научные результаты, была выдвинутая Л.И. Мандельштамом идея выработки нелинейного физического мышления — «создания наглядных физических представлений, имеющих в своей основе адекватные нелинейным физическим объектам математические представления и понятия» [2, с. 107].

Непревзойдённый знаток и ценитель линейной теории, Л.И. Мандельштам с присущей ему тонкой физической интуицией и особой, чисто «мандельштамовской» ясностью мышления раньше и лучше других осознал ограниченность линейной теории с её принципом суперпозиции, теоремами существования и единственности решений. Менее всего склонный принимать новое только потому, что это новое, бережно, чтобы не сказать консервативно, относившийся к старому (в данном случае — к линейной теории), Л.И. Мандельштам видел, сколь широк круг физических явлений, не допускающих описания в рамках линейной идеализации, сколь ненадёжной становится «линейная психология», способная скорее вводить в заблуждение, чем служить надёжной путеводной нитью исследователю.

Высказанная Л.И. Мандельштамом идея не осталась благим пожеланием. Она была воплощена в плоть и кровь его учениками. Выступая 22 декабря 1944 г. на совместном заседании Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и Академии наук СССР, посвящённом памяти Л.И. Мандельштама, А.А. Андронов сказал [2, с. 120]:

«Я перечислю некоторые нелинейные понятия, либо получившие точный физический и математический смысл, либо впервые выдвинутые в этот с 1927 г. период времени. Я начну с фазового пространства, которое... перестало быть только математической абстракцией и приобрело высокую степень физической наглядности не только потому, что физики с ним свыклись, но и потому, что оказалось возможным приблизить его к нашим органам чувств, наблюдая систематически фазовые траектории на экране осциллографа. ...Если говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жёсткое возбуждение автоколебаний, затягивание и т.д., получили теперь твёрдую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия, как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д., были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории. Не все достижения этих лет в направлении выработки нелинейного мышления принадлежат Л.И. Мандельштаму или лицам, так или иначе с ним связанным. Но именно Л.И. Мандельштам вызвал к жизни это новое, опирающееся, с одной стороны, на настоящую математику, с другой стороны — на тонкий радиофизический эксперимент, научное направление в теории нелинейных колебаний».

С тех пор набор «первичных» нелинейных физических понятий, опирающихся на прочную математическую основу, существенно пополнился. Солитон, различные типы отдельных бифуркаций, цепочки бифуркаций, катастрофы, перемежаемость, диссипативные структуры и т.д. — таков далеко не исчерпывающий их перечень. Естественно спросить: как мог один человек подняться до столь высокого, чтобы не сказать пророческого, предвидения? Ответ на этот вопрос, как нам кажется, дал И.Е. Тамм [2, с. 131–132], словами которого нам бы хотелось закончить нашу лекцию:

«Одна из основных особенностей дарования Л.И. [Мандельштама], сообщавшая ему особую силу, заключалась, как мне кажется, в редчайшем сочетании в одном человеке ума конкретного, геометрически пластичного и ума абстрактного, логически аналитического. С одной стороны, способность единым взглядом охватить сложное многообразие разнородных явлений, с предельной чёткостью усмотреть в них черты сходства и различия и воссоздать всё существенное в простой и наглядной модели, с другой стороны, острый интерес к конкретной индивидуальности физического явления, порождавший те чувства непосредственного наслаждения, которые испытывал Л.И. при экспериментировании. В этом истоки и необычайного искусства Л.И. в постановке экспериментов, и его исключительно плодотворной деятельности в области технической физики. И вот с этими свойствами ума «широкого» и «английского», по терминологии Дюгема, в Л.И. сочеталась необычайная сила и тонкость абстрактной логической мысли и необычайная глубина анализа принципиальных основ физической теории, восходящего к основным категориям мышления».

В начале было Слово

Слова «фрактал», «фрактальная размерность», «фрактальность» появились в научной литературе сравнительно недавно и не успели ещё войти в большинство словарей, справочников и энциклопедий. Придумал слово «фрактал» (от латинского «фрактус» —дробный, нецелый) наш современник, математик Бенуа Мандельброт, сумевший открыть совсем рядом с нами поистине удивительный мир, по-новому (или, по крайней мере, несколько иначе) взглянув на многие, казалось бы, хорошо знакомые предметы и явления.

Мандельброт обратил внимание на то, что при всей своей очевидности ускользало от его предшественников, хотя встречалось на каждом шагу и буквально «лежало на поверхности»: контуры, поверхности и объёмы окружающих нас предметов не так ровны, гладки и совершенны, как принято думать. В действительности они неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюра.

В арсенале современной математики Мандельброт нашёл удобную количественную меру неидеальности объектов — извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объёма. Её предложили два математика — Феликс Хаусдорф (1868–1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891–1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей (размерность Хаусдорфа–Безиковича).

Ф. Хаусдорф

А.С. Безикович

Как и всякая новая количественная характеристика, размерность Хаусдорфа–Безиковича должна была пройти проверку на разумность и блестяще её выдержала. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и известная задолго до неё так называемая топологическая размерность (иначе говоря, была равна нулю для точки, единице — для гладкой плавной линии, двум — для фигуры и поверхности, трём — для тела и пространства). Но, совпадая со старой, топологической, размерностью на идеальных объектах, новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Так, отрезок прямой, отрезок синусоиды и самый причудливый меандр неразличимы с точки зрения топологической размерности — все они имеют топологическую размерность, равную единице, тогда как их размерность Хаусдорфа–Безиковича различна и позволяет числом измерять степень извилистости.

Но самое необычное (правильнее было бы сказать — непривычное) в размерности Хаусдорфа–Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка) размерность Хаусдорфа–Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией, если только они не сопровождаются разрывом или склеиванием каких-то точек. При этом, увеличивая своё значение, размерность Хаусдорфа–Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на её месте» топологическая размерность. Нет, размерность Хаусдорфа–Безиковича — и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным — принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,02 для слегка извилистой линии, 1,15 — для более извилистой, 1,53 — для очень извилистой и т.д.

Именно для того, чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа–Безиковича принимать дробные, нецелые значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав её фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа–Безиковича, но и любая другая) — это размерность, способная принимать не обязательно целые значения, фрактал — объект с фрактальной размерностью, а фрактальность — свойство объекта быть фракталом или размерности быть фрактальной.

Дробная размерность?! Немало найдётся таких, кто с негодованием скажет, что «это уж слишком», что ни о чём таком не слыхивали ни они сами, ни их отцы и деды. Такого рода аргументы, более эмоциональные, нежели убедительные, свидетельствуют лишь о незнании работ Хаусдорфа и Безиковича. Иное дело — ссылка на то, что отцы и деды не слыхивали о фрактальной размерности; при всей синонимичности дробного и фрактального, термин «фрактальный» появился лишь в работах Бенуа Мандельброта и заведомо не был известен людям старшего поколения. Тем же, кто станет возражать против «нелепой» (разумеется, только с их точки зрения) дробной размерности, ссылаясь на невозможность придать ей наглядный смысл, мы скажем: во-первых, никто не присягал на целочисленность любой размерности только на том основании, что наша добрая знакомая — топологическая размерность — принимает целые значения, и, во-вторых, фрактальная размерность уже доказала свою полезность. Что же касается наглядности, то представить себе фрактальную кривую, то есть кривую с фрактальной размерностью Хаусдорфа–Безиковича, настолько извилистую, что она уже не классическая линия, но ещё не плоская фигура, всё же легче, чем представить себе наглядно какие-нибудь средние статистические показатели. В отличие от некоторых арифметических задач, где целочисленность ответа предопределена далеко не всегда явно формулируемым требованием (вспомним хотя бы «два землекопа и две трети» из знаменитого стихотворения С.Я. Маршака), среднее число детей в семьях, проживающих в какой-нибудь местности, вполне может оказаться, например, равным 1,9. Между тем никому не приходит в голову возражать против дробных («фрактальных») среднестатистических показателей на том основании, будто они лишены наглядности.

Действующие лица

По досадной традиции, неизвестно кем и когда установленной, современные науки в большинстве учебников принято излагать как некую безликую и вневременную совокупность более или менее согласованных определений, понятий, идей и методов. Понять внутреннюю логику развития науки, движущие пружины развития и необходимость введения того или иного понятия из такого рода текстов практически невозможно.

Попытаемся хотя бы немного нарушить эту прискорбную традицию.

Создатель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в Варшаве. В 1936 году семья Мандельбротов переехала в Париж, где Бенуа окончил Политехническую школу (1947).

Учёную степень магистра наук (по аэрокосмическим наукам) защитил в Калтехе — Калифорнийском технологическом институте в Пасадене (1948), а высшую учёную степень доктора философии (по математике) — в Парижском университете (1952). До окончательного переезда в США (1958) Бенуа Мандельброт был приглашённым профессором в университетах Принстона, Женевы и Парижа. С 1974 года Мандельброт состоит членом совета по научным исследованиям фирмы IBM, а с 1984 года — профессором математики Гарвардского университета.

Помимо многочисленных статей перу Бенуа Мандельброта принадлежат три ставшие ныне классическими монографии о фракталах и их роли в математике, естественных и социальных науках: «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» (1955), «Фракталы: форма, случайность и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1982).

Число публикаций о фракталах, фрактальной геометрии и фрактальной физике (влиянии фрактальной структуры среды на протекающие в ней процессы и свойства фрактальных объектов) возрастает во всём мире экспоненциально. Столь большой и неослабевающий интерес объясняется не столько своеобразной модой и новизной, но и принципиально новыми возможностями, которые фрактальность открывает перед современными науками о природе и обществе. Формулу своего открытия сам Мандельброт выразил в следующих поэтических строках (1984):

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин кроется в её неспособности описывать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не окружности, древесная кора не гладкая, и молния — далеко не прямая... Природа демонстрирует нам не просто более высокий, а совершенно иной уровень сложности. Число различных масштабов длины бесконечно, какую бы цель мы ни преследовали при их описании.

Существование таких структур бросает нам вызов, ставя перед необходимостью заняться изучением тех форм, которые Евклид оставил в стороне как лишённые какой бы то ни было правильности, — исследованием морфологии аморфного. Математики уклонились от этого вызова и всё более уходили от природы, измышляя теории, не имеющие ни малейшего отношения к тому, что доступно нашему созерцанию, и нашим ощущениям».

Исаак Ньютон заметил однажды, что если ему и удалось что-нибудь свершить в науке, то лишь потому, что он стоял на плечах гигантов. Бенуа Мандельброт неоднократно подчёркивал заслуги своих предшественников Хаусдорфа и Безиковича в создании понятия дробной размерности, ставшего краеугольным камнем всей фрактальной науки.

Феликс Хаусдорф родился в немецком городе Бреслау (ныне польском городе Вроцлаве) в 1868 году. Окончил в 1891 году Лейпцигский университет. Под псевдонимом Поль Монгре выпустил несколько беллетристических произведений. Профессор Лейпцигского (1902–1910), Боннского (1910–1913, 1921–1931) и Грейфсвальдского (1913–1921) университетов. В 1935 году Хаусдорф был отстранён нацистами от преподавательской деятельности как «неариец». В 1942 году, опасаясь репрессий со стороны гестапо, Хаусдорф вместе с женой и её сестрой покончил жизнь самоубийством.

Хаусдорфу принадлежит множество важных и глубоких результатов в топологии, теории непрерывных групп, математическом анализе и других разделах математики. Он внёс существенный вклад в разрешение кризиса в основаниях математики (Мандельброт датирует кризис периодом 1875–1925 годов), написав замечательную монографию «Основы теории множеств» (1914). Дробная размерность Хаусдорфа — лишь одна из искорок его блестящего таланта.

Другим предтечей теории фракталов был Абрам Самойлович Безикович. Он родился в 1891 году в России. В 1912 году окончил Петербургский университет и с 1917 года был профессором Пермского университета.

Научное творчество и преподавательскую деятельность Безиковича отличали особое изящество и глубина результатов, как правило, тонких и весьма нетривиальных. Примером тому может служить решённая (опровергнутая) Безиковичем проблема японского математика Какейя, которую можно сформулировать так: не выводя из плоскости единичный отрезок АВ, совместить его с ним же самим в перевёрнутом виде (так, чтобы конец В в новом положении совпал с концом А в исходном, а конец А в новом положении совпал с концом В в исходном), следя за тем, чтобы отрезок АВ при этом замёл наименьшую площадь.

Перевернуть отрезок АВ можно, например, двумя способами. Во-первых, повернуть АВ на 180 градусов вокруг точки А и сдвинуть на единичное расстояние, чтобы совместить с исходным отрезком. При этом единичный отрезок АВ заметёт полукруг радиусом 1 и площадью π/2. Во-вторых, отрезок АВ можно повернуть на 180 градусов вокруг его середины. При этом единичный отрезок АВ заметёт круг радиусом 1/2 и площадью π/4. А нельзя ли перевернуть отрезок АВ так, чтобы он замёл ещё меньшую площадь? Какейя ответил на этот вопрос утвердительно, предложив способ переворачивания, при котором единичный отрезок АВ заметает внутренность гипоциклоиды с тремя точками возврата (заострениями) площадью π/8 и высказал гипотезу, что эта площадь минимальна.

В разгар гражданской войны (1919) Безикович сумел опровергнуть гипотезу Какейя, доказав, что единичный отрезок можно перевернуть так, чтобы он замёл сколь угодно малую площадь!

О силе полученного результата и впечатлении, которое он произвёл на математическое сообщество, можно косвенно судить по тому, что его автор в 1920 году был избран профессором Петроградского университета. Сам Безикович, пронёсший через всю жизнь любовь к трудным и красивым («олимпиадным») задачам, называл себя экспертом по математической «патологии»: стоило ему заподозрить, что какая-то гипотеза неверна, как он не успокаивался до тех пор, пока ему не удавалось построить контрпример.

В начале двадцатых годов Безикович был удостоен Рокфеллеровской стипендии, дававшей ему возможность поработать в лучших зарубежных математических центрах, но неоднократные обращения к властям за разрешением на выезд неизменно наталкивались на отказ. И тогда мало-помалу созрел план покинуть Россию нелегально. К Безиковичу (события происходили в 1924 году) должны были присоединиться А.А. Фридман — автор знаменитого нестационарного, то есть зависящего от времени, решения уравнений Эйнштейна — и математик Я.Д. Тамаркин. В последний момент из-за болезни А.А. Фридман вынужден был остаться.

Из Латвии, куда беглецы с риском для жизни переправились по ещё не окрепшему льду пограничной реки, Безикович отправился в Копенгаген, где на средства Рокфеллеровской стипендии смог поработать вместе с Гаральдом Бором, братом великого физика Нильса Бора, над теорией почти периодических функций. Именно в эту теорию и в теорию дробных размерностей Безикович внёс свой наиболее существенный вклад.

После Копенгагена Безикович в течение нескольких месяцев работал в Оксфорде с Г.Г. Харди, а с 1927 года обосновался в Кембридже, где с 1930 года и до конца жизни (Безикович скончался в 1970 году) состоял членом знаменитого Тринити-колледжа (колледжа Св. Троицы).

И Хаусдорф, и Безикович были бы немало удивлены, если бы узнали, какой интерес вызвали у потомков их работы по дробным размерностям.

И опять, и опять, и опять...

Среди множества необычных объектов, построенных математиками в конце XIX — начале XX века при пересмотре оснований математики, многие оказались фракталами, то есть объектами с дробной, или фрактальной, размерностью Хаусдорфа–Безиковича. Все они очень красивы и часто носят поэтические названия: канторовская пыль, кривая Пеано, снежинка фон Коха, ковёр Серпинского и т.д. И все они обладают одним очень важным свойством, которое роднит их с самой обыкновенной прямой. Это свойство называется самоподобием: все эти фигуры подобны любому своему фрагменту.

Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок «настоящей» геометрической прямой, «длины без ширины», как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента: прямая во всех своих частях устроена одинаково, подобна самой себе, но это её замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, её «прямолинейностью».

Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами — самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны.

Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.

Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т.д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.

Даже простейшие из фракталов — геометрически самоподобные фракталы — обладают непривычными свойствами. Например, снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь. Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (математик сказал бы, что снежинка фон Коха нигде не дифференцируема).

Не менее необычна и увлекательна физика фракталов. Фрактальные среды обладают настолько сложной геометрией, что многие процессы протекают в них не так, как в обычных сплошных средах, о чём мы расскажем чуть ниже.

Фрактальные свойства — не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжёлые заболевания на ранней стадии, когда больному ещё можно помочь.

Барабан, натянутый на гладкий или фрактальный контур, звучит по-разному, и это различие можно использовать для диагностики характера контура и определения его фрактальной размерности.

Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и лётчикам штормовые предупреждения.

Такого рода применений фракталов уже сейчас существует великое множество, и число их всё увеличивается. Об одном неожиданном применении и не менее неожиданном примере природного статистически самоподобного фрактала мы хотим рассказать несколько подробнее, тем более что это даёт нам возможность обратить внимание на одно чрезвычайно важное обстоятельство, которое обычно упускают из виду или замалчивают, — роль наблюдателя и разрешающей способности приборов при определении размерности.

Велика ли протяжённость береговой линии Великобритании?

При разборе архива выдающегося специалиста по гидродинамике Луиса Фрая Ричардсона среди его бумаг были обнаружены черновики удивительного исследования. Несколько перефразируя слова Льюиса Кэрролла, можно сказать, что при переходе от географии к мелким камешкам он обнаружил неограниченное увеличение протяжённости береговой линии. Контуры доброй старой Англии вели себя совсем не так, как полагалось бы евклидовой кривой. Но если береговая линия Великобритании не кривая, то что это? Теперь ответ известен: фрактал.

Публикуя данные Ричардсона, Мандельброт привёл свои оценки фрактальной размерности Хаусдорфа–Безиковича для нескольких береговых линий. Они колебались от почти единицы для сравнительно гладкого (взгляните на любую карту!) южного побережья Африки до 1,3 — для западного побережья Великобритании и рекордной отметки 1,52 — для изрезанного фьордами побережья Норвегии.

С точки зрения мухи

Вопрос о том, является ли данный предмет гладким или фрактальным, сам по себе лишён смысла. Ответ на подобный вопрос зависит от остроты зрения наблюдателя или от разрешающей способности прибора, которым он пользуется, то есть от того, насколько мелкие детали различает наблюдатель. Гладкая поверхность высочайшего класса обработки при соответствующем увеличении будет выглядеть, как горный ландшафт, подвергшийся интенсивной бомбардировке метеоритами.

Относительно и само понятие размерности. Бенуа Мандельброт иллюстрирует это следующим примером.

Клубок шерсти кажется мухе с большого расстояния точкой (топологическая размерность 0). Подлетев поближе, муха видит «большую точку» — диск (топологическая размерность 2). С ещё более близкого расстояния муха видит, что перед ней шар (топологическая размерность 3). Во всех случаях все неровности сглаживаются из-за большого расстояния, и размерность Хаусдорфа–Безиковича совпадает с топологической размерностью. Подлетев совсем близко, муха видит перед собой клубок гладких ниток, то есть хитрым образом сложенную пространственную кривую (топологическая размерность 1). И лишь сев на клубок, муха видит пушинки, обрамляющие нить, то есть ощущает фрактальность шерстяной нити.

Какова же «истинная» размерность клубка шерсти? Да её просто не существует: всё зависит от точки зрения наблюдателя, разрешающей способности его глаз или прибора.

Муравей в лабиринте

Появление фракталов позволило (точнее, по-видимому, позволило) разрешить ещё одну загадку, издавна мучившую физиков: почему в большинстве эмпирических формул, в изобилии встречающихся в любом инженерном справочнике, показатели степеней в различных зависимостях такие «некрасивые», то есть выражаются необъяснимо странными, с точки зрения традиционной физики, дробными числами типа 1,1378... или 2,9315...? Ответ, по-видимому, надлежит искать в том, что при разрешениях, достижимых в технике, в игру вступает фрактальность среды, поверхности и т.д., не принимавшаяся во внимание физиками, но вполне ощутимая на эмпирическом уровне для инженеров.

Мы уже упоминали о том, что физика фрактальной среды иногда сильно отличается от физики сплошной среды. Приведём лишь один пример.

Средний квадрат расстояния, на которое удаляется от исходной точки случайно блуждающая частица (математическая модель совершенно пьяного гуляки, делающего очередной шаг с равной вероятностью в любую сторону), пропорционален времени, если речь идёт об обычной, сплошной среде. В фрактальной среде это не так. Даже на глаз, без всяких расчётов, видно, что случайно блуждающая частица будет удаляться от места старта медленнее, так как далеко не все направления для неё доступны: извилистый канал выбирает из множества ранее доступных направлений лишь малое подмножество разрешённых направлений. Средний квадрат расстояния для фрактальной среды оказывается пропорциональным некоторой дробной степени времени, показатель которой связан с фрактальной размерностью среды.

Это, в частности, означает, что диффузия в фрактальной среде происходит не так, как в обычной, сплошной среде. Множество препятствий (узких мест, крутых поворотов и тупиков) затрудняют продвижение частиц и замедляют диффузию. Лауреат Нобелевской премии де Жён сравнил частицу, блуждающую в фрактальной среде, с муравьём в лабиринте. Трудно приходится муравью. Отсюда и дробные показатели в различных зависимостях.

Замедление диффузии в фракталах столь существенно, что она перестаёт удовлетворять классическому закону Фика и — как следствие — уравнению диффузии. Не спасает положение и попытка ввести переменный коэффициент диффузии, зависящий от концентрации частиц. Возникает новое, интегро-дифференциальное уравнение, содержащее новый необычный объект — производную (по времени) дробного порядка, связанного с фрактальной размерностью среды. Ситуация несколько напоминает финал поэмы Льюиса Кэрролла «Охота на Снарка», где одно невиданное чудовище — Снарк — оказывается другим невиданным чудовищем — Буджумом. Впрочем, причудливость фрактальной геометрии в какой-то мере подготавливает нас к тому, что и физика происходящих в фрактальной среде процессов, в частности диффузии, должна описываться необычными средствами.

Эстетика фракталов

Многие фракталы обладают эстетической привлекательностью. Более того, они просто неотразимы. Во многих странах мира демонстрировалась выставка, созданная в содружестве с художниками бременскими м... (нет, не музыкантами!) математиками Рихтером и Пейтгеном. На ней экспонировалось около полутораста художественных изображений фракталов. Весь мир обошли компьютерные «лунные» пейзажи, выполненные на основе фрактальных множеств Бенуа Мандельбротом и его сотрудниками.

Звуковая палитра современных композиторов может быть значительно расширена за счёт звучания электронных инструментов с различными фрактальными характеристиками.

Наконец, нельзя не упомянуть и об изящной словесности, ибо ей явно недостаёт свежей фрактальной струи. Какие захватывающие приключения ожидают Тезея в закоулках фрактального лабиринта, где за каждым поворотом его может поджидать роковая встреча с Минотавром! Какой длины должна была бы быть в среднем спасительная нить Ариадны, чтобы Тезей мог благополучно выбраться из лабиринта? Смог бы Том Сойер вывести Бекки Тэтчер из подземных фрактальных пещер, и сколько времени ему для этого потребовалось бы? Фракталы позволяют по-новому взглянуть и даже отчасти реабилитировать героев некоторых детских сказок, пользовавшихся репутацией отъявленных плутов и мошенников. Вспомним хотя бы сказку «Новое платье короля» Ганса Христиана Андерсена. Если бы портные сшили новое платье короля из фрактальной ткани, на изготовление которой пошло бесконечное количество шёлка, бархата и золота, то и тогда король вполне мог бы казаться голым. Произнёсший знаменитую фразу ребёнок изрёк бы очевидную истину, ложность которой стала бы ясна только при более основательном знакомстве с теорией фракталов (чего ни в коем случае нельзя предполагать и тем более требовать от невинного малютки).

Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике, литературе и искусстве.

Эпилог

Наше краткое повествование об одном из чудес современной науки — фракталах — подходит к концу. Как всегда, когда речь заходит о науке, мы ставим не точку, а многоточие — наука продолжает жить и созидать новое знание.

Но прежде чем попрощаться с читателем и поблагодарить его за терпение, нам бы хотелось предостеречь от одной чрезвычайно распространённой и чрезвычайно соблазнительной ошибки.

С появлением фракталов со всей очевидностью стала ясна ограниченность описания природы с помощью гладких кривых, поверхностей и гиперповерхностей. Окружающий нас мир гораздо разнообразнее, и в нём оказалось немало объектов, допускающих фрактальное описание и не укладывающихся в жёсткие рамки евклидовых линий и поверхностей.

Не следует забывать, однако, о том, что и фракталы — не более чем упрощённая модель реальности, применимая к достаточно широкому, но всё же ограниченному кругу предметов и явлений, и не претендует и не может претендовать на роль своеобразного универсального ключа к описанию природы. Как сказал Дж.Б.С. Холдейн, «мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать».

1. Предыстория

На стыке XIX и XX веков научное сообщество пребывало в радужном настроении — и не без основания: казалось, ещё несколько штрихов, и картина мира будет построена. Классическая наука к концу XIX века по праву могла гордиться своими достижениями. Со времён Ньютона мир, который древние разделяли на подлунную и надлунную сферы, стал единым, в нём действовали единые познаваемые (и, как полагали представители естественнонаучных и философских кругов, в значительной мере познанные) законы.

Подведение итогов превратилось в гордую демонстрацию блестящих достижений классического естествознания и точных наук и стало удобным поводом для определения перспектив. Так, на II Международном конгрессе математиков в августе 1900 года в Париже Давид Гильберт в своём докладе сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, математика XIX века завещала решить математике XX века. Как показали последующие события, Гильберт не ошибся в определении «точек роста» математики: решение каждой из 23 проблем Гильберта становилось заметным шагом в развитии математической науки и было заметным продвижением. Не менее проницательным оказался и патриарх физики XIX века Уильям Томсон (с 1802 г. лорд Кельвин). В своих «Балтиморских лекциях» он прозорливо указал на два «тёмных облачка» на блистающем небосводе классической физики. Из одного «тёмного облачка» вскоре выросла специальная теория относительности Эйнштейна, из другого — квантовая механика. Но существовало ещё одно «тёмное облачко», укрывшееся от проницательного взгляда лорда Кельвина за горизонтом — нелинейная динамика. В 1884 г. Анри Пуанкаре опубликовал серию работ под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», заложив математические основы ещё одного направления в неклассическом естествознании — нелинейной динамики.

Благостные иллюзии о познанности мира средствами классического естествознания развеялись довольно скоро: в декабре 1900 г. в своём докладе на Берлинском заседании Немецкого физического союза Макс Планк выдвинул дерзкую гипотезу квантов, согласно которой электромагнитная энергия могла поглощаться и излучаться не сколь угодно малыми, а конечными порциями — квантами, величина которых пропорциональна частоте излучения. Гипотеза квантов позволила Планку решить давно стоявшую в физике острую проблему получения единой кривой распространения энергии в спектре излучения чёрного тела. (Об остроте проблемы можно судить хотя бы потому, что она получила название «ультрафиолетовой катастрофы».) И хотя у самого Планка квант ещё не был физической сущностью, а гипотеза квантов носила характер чисто математического приёма, позволившего проинтерполировать две известные ранее ветви кривой распределения энергии в спектре электромагнитного излучения, введение гипотезы квантов позволило Планку устранить ультрафиолетовую катастрофу. Физической сущностью квант стал в 1905 г., когда Эйнштейн понял, что электромагнитное излучение не только поглощается и испускается, но и распространяется квантами. На представлении о физически реальном кванте Эйнштейн построил свою знаменитую теорию фотоэлектрического эффекта, за которую в 1921 г. был удостоен Нобелевской премии по физике. «Полнокровная» квантовая теория была создана в конце 1920-х годов усилиями Зоммерфельда, Гейзенберга, Паули, Шрёдингера, Борна и других исследователей.

Свою неклассическую специальную теорию относительности Эйнштейн опубликовал в 1905 г. в работе «К электродинамике движущихся сред».

Если квантовая теория порывала с неявно содержавшейся в классической физике гипотезой о безграничной делимости энергии, то специальная теория относительности заставила отказаться от ньютоновского абсолютного пространства и абсолютного времени, влила новое содержание в понятие синхронизма событий и слила существовавшие ранее в отрыве одно от другого понятия пространства и времени в единый четырёхмерный континуум «пространство — время».

Третья, скрытая за горизонтом «тучка» в полной мере проявила себя в 1930-е годы, когда насущные потребности развития техники, в частности радиофизики, вынудили физиков перейти от линейного приближения к нелинейным моделям. Первое время казалось, что такой переход не сопряжён со столь коренной ломкой классических представлений, как создание квантовой теории или специальной теории относительности. Область линейных явлений была столь привычна, столь хорошо «обжита», оборудована хорошо разработанным математическим аппаратом, над созданием которого не одно столетие трудились самые блестящие умы, что покидать её без особой надобности физикам очень не хотелось. Высказывались робкие надежды, что нелинейность, возможно, удастся преодолеть с помощью введения в линейные модели (в основном дифференциальные уравнения) небольших добавочных членов. Высказывались также опасения (вызванные трудностью решения малоизвестных тогда нелинейных дифференциальных уравнений), что создать нелинейную теорию, сравнимую по широте охвата явлений и универсальности с линейными теориями, вряд ли удастся, и нелинейные теории сведутся к коллекционированию того или иного набора частных решаемых случаев моделей нелинейных явлений. Много позднее эти опасения были наголову разбиты (вспомним хотя бы «солитонистику», универсальности Фейгенбаума, цепочки Тоды и многие другие нелинейные модели, не уступающие по ширине охвата явлений линейным моделям и к тому же точно решаемые). Первым, кто понял бесперспективность «линейного подхода» к нелинейным явлениям и правильно оценил необходимость изучения нелинейных явлений как таковых, без сведения их к линейному приближению, слегка «подпорченному» малым дополнительным членом, стал академик Леонид Исаакович Мандельштам, сформулировавший программу воспитания (или выработки) у физиков нелинейной интуиции — «нелинейного мышления» — на основе арсенала идей и образов первично нелинейных не сводимых к малым добавочным членам в линейных математических моделях. Л.И. Мандельштам, его коллега академик Николай Дмитриевич Папалекси, ученики и последователи А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин, С.М. Рытов и другие во многом осуществили программу создания «нелинейного мышления». Разработанная ими теория нелинейных колебаний стала предтечей синергетики и позволила понять и проанализировать многие явления различной природы, объяснение и тем более предсказание которых было не по силам линейной теории.

2. История

В истории культуры термин «синергия» — совместное, согласованное действие нескольких начал — встречалось и раньше. Так, у средневековых теологов можно встретить упоминание о «синергии» — единении или слиянии человека и Бога в молитве. У физиолога Шеррингтона мы встречаем термин «синергия», означающий слаженную работу сгибающих и разгибающих мышц.

Термин «синергетика» как название нового междисциплинарного направления научных исследований был введён Германом Хакеном в курсе лекций, прочитанных им в 1969 г. в университете Штутгарта. Научное сообщество встретило появление синергетики без особого энтузиазма, более того, градом незаслуженных упрёков, необоснованных обвинений. В чём только ни упрекали новое направление научных исследований его противники и (не всегда добросовестные) критики: они утверждали, будто синергетика — денотат пустого понятия и не имеет ни собственного предмета исследования, ни присущего только ей метода исследования, будто она излишне математизирована и представляет собой одну из разновидностей физикализма, будто синергетика лишена непременного отличительного атрибута науки — прогностической силы, и развивается не интенсивно, а экстенсивно.

Но вот минули три десятилетия, наполненные неустанными трудами проф. Г. Хакена, его сотрудников, учеников, единомышленников и даже, как ни парадоксально, некоторых противников, упорно не желающих признавать синергетику, но обогативших её новыми идеями, понятиями и методами, и со всей очевидностью выяснилось, что все опасения, сомнения и упрёки в адрес синергетики несостоятельны.

3. Что такое синергетика?

Современная синергетика стала признанными междисциплинарным направлением научных исследований. Она занимается изучением сложных систем, состоящих из многих элементов, частей, компонентов, подсистем, взаимодействующих между собой сложным (нелинейным) образом.

Свой выбор термина «синергетика» проф. Г. Хакен объясняет следующим образом:

«Я выбрал слово «синергетика» потому, что за многими дисциплинами в науке закреплены греческие термины. Я искал такое слово, которое выражало бы совместную деятельность, общую энергию что-то сделать, так как системы самоорганизуются, и поэтому может показаться, что они стремятся порождать новые структуры. Я обратился тогда за советом к моему школьному другу Гансу Кристофу Вольфу, который хорошо разбирался в греческом, и мы с ним обсудили различные понятия. Я преследовал цель привести в движение новую область науки, которая занимается вышеуказанными проблемами. Уже тогда я видел, что существует поразительное сходство между совершенно различными явлениями, например между излучениями лазера и социологическими процессами или эволюцией, и что это должно быть только вершиной айсберга. Правда, в то время я не подозревал, что эта область может оказать влияние на столь многие и отдалённые области исследования, как, например, психология и философия» [1, с. 53].

В отличие от других научных направлений, обычно возникавших на стыке двух наук (например, физической химии, химической физики и даже астроботаники), когда одна наука давала новому направлению предмет, а другая — метод исследования, синергетика опирается, так сказать, на «внутренние точки» наук— на сходство математических моделей, описывающих процессы, происходящие в системах совершенно различной природы; в силу этого синергетика наряду с познанием нового — когнитивной функцией, присущей истинной науке, выполняет, причём весьма естественно, не менее важную коммуникативную функцию, осуществляя «перевод» понятий одной области науки на язык понятий, возможно, весьма далёкой от неё совершенно другой области науки. В этом смысле синергетику, как уже упоминалось выше, с полным основанием можно считать истинной преемницей теории колебаний, которая занимается изучением колебательных процессов в системах различной природы — по словам Л.И. Мандельштама, «говорит на интернациональном языке науки».

Разумеется, изучением сложных систем занимается не только синергетика, но используемые синергетикой идеи и методы делают синергетический подход уникальным, причём не только в концептуальном, но и в операциональном плане. В книге «Принцип работы головного мозга» в разделе 1.2 «Цели синергетики» Герман Хакен так характеризует специфичность синергетического подхода. «Сложные системы состоят из большого числа отдельных частей, элементов или подсистем, нередко сложным образом взаимодействующих между собой. Один классический рецепт, позволяющий «справиться» с такими системами, принадлежит Декарту. Он предложил разлагать сложную систему на всё более мелкие детали до тех пор, пока не будет достигнут уровень, на котором эти детали, или части, станут понятными. Нетрудно видеть, что такого подхода придерживается молекулярная биология. С другой стороны, взаимодействию на макроскопическом уровне присуще наличие качественно новых свойств и особенностей. Не подлежит сомнению, что в нашем понимании взаимосвязей между микроскопическим и макроскопическим уровнями всё ещё остаётся огромный разрыв. Цель синергетики состоит в том, чтобы преодолеть его. Вместе с тем, как будет показано, в большинстве случаев структуры создаются не какой-то организующей рукой, а самими системами, действующими без всякого воздействия извне. В рамках подхода, который можно было бы назвать декартовым, существует ещё одна трудность. Для описания отдельных частей необходимо огромное количество информации, обработать которое никто не в состоянии. Это вынуждает нас создавать адекватные методы сжатия информации. Простым примером того, как достигается такая цель, может служить наше ощущение температуры. Как известно, газ, например воздух, состоит из мириад молекул, движения каждой из которых в отдельности мы не замечаем. Вместо этого мы каким-то образом интегрируем по их движению и ощущаем только некоторую температуру. Аналогично этому в большинстве случаев отдельные слова означают целые классы, категории объектов или сложные действия.

Можно ли развить общую теорию, которая позволит адекватно сжимать информацию совершенно автоматически? Как будет показано в дальнейшем, такое сжатие информации происходит в тех случаях, когда система качественно изменяет своё макроскопическое состояние. В неорганическом мире существует ряд таких резких изменений, называемых фазовыми переходами. Примерами таких переходов могут служить замерзание, когда вода (жидкость) переходит в твёрдое состояние (лёд), возникновение намагниченного состояния или наступление сверхпроводимости. Как мы увидим из дальнейшего, аналогичные качественные изменения, хотя и на гораздо более высоком уровне сложности, в изобилии встречаются в биологии» [2, с. 14–15].

Бич всех направлений, занимающихся изучением сложных систем, состоящих из большого числа взаимодействующих частей, — обилие информации, подлежащей обработке для получения детального описания поведения системы. Чтобы уменьшить объём информации до сколько-нибудь приемлемого объёма, прибегают к так называемому «сжатию информации», которое, как правило, сопровождается её частичной потерей. Например, в кинетической теории газов вместо отслеживания траектории отдельных частиц переходят к усреднённым характеристикам, например, вместо импульса, передаваемого частицами стенке сосуда, предпочитают говорить о давлении, создаваемом газом. Синергетический подход осуществляется путём перехода от многочисленных параметров состояния к гораздо менее многочисленным параметрам порядка в силу так называемого принципа подчинения. Такое сжатие информации обратимо: после решения задачи от параметров порядка обратным преобразованием можно вернуться к исходным параметрам состояния.

Синергетический подход позволяет не только переформулировать в новых терминах известные истины и факты, т.е. по существу объяснить специалистам, работающим в различных областях науки, что они «говорят прозой», но и способствует новому, порой неожиданному пониманию старого материала. Например, проведённый Г. Хакеном и физиологом Келсо анализ моторной деятельности животных и человека выявил ранее неизвестные факты, а проведённый А. Баблоянц и его сотрудниками анализ хаотической электрической активности головного мозга спящего человека позволил совершить неожиданное открытие: выяснилось, что число управляющих параметров столь сложного состояния удивительно мало.

Несмотря на зрелый по человеческим меркам возраст, синергетическое направление всё ещё продолжает формироваться, обогащаясь новыми идеями и методами [3, 4, 5, 6].

4. Перспективы

Французскому географу Буржелю синергетика помогла в решении проблем урбанистики, греческому специалисту по средствам связи Джону (Иоаннису) Николису — в создании новой концепции передачи информации, социологу А.П. Назаретяну — в разработке модели антропогенных кризисов.

Выше мы уже упоминали о коммуникативной функции синергетики. Синергетика Г. Хакена — это язык, на котором естественно и удобно описывать эволюцию и жизнь систем различной природы, в частности, специфическое явление самоорганизации — спонтанное явление более сложных, чем существовавшие ранее структур, а концептуальный аппарат синергетики позволяет прослеживать все перипетии эволюции сложных систем, наблюдая за ними «сверху вниз», холистически — от целого (системы) к деталям, а не «снизу вверх», от деталей и частностей к целому, как это принято при редукционистском (декартовском) подходе. Обратимое сжатие информации — отличительная черта синергетического подхода — позволяет, минуя детали, описывать и понимать эмержентные свойства и самоорганизацию сложной системы, что особенно важно при изучении столь сложных систем, как человек, его нервная система, в частности головной мозг, способный к самопознанию, и различные — культурные, социальные, экономические и т.д. сообщества, где далеко не все детали известны и понятны.

В интервью с проф. Г. Хакеном по случаю тридцатилетия синергетики [1], ему был задан вопрос: «Ещё в своих книгах 70-х годов Вы указывали на далеко идущие и широкомасштабные возможности применения синергетики, включая применение к пониманию сугубо человеческих социальных процессов. Было ли в ходе развития синергетики что-нибудь неожиданное для Вас? Возможно, обнаружились новые возможности применения, которые Вы первоначально не предполагали?»

Ответ Г. Хакена гласил: «Хотя синергетика возникла в рамках естественных наук, мне всегда представлялось, что её важнейшие приложения будут касаться специфических человеческих и социальных процессов. Причём для меня уже неоднократно возникали сюрпризы в развитии синергетики. Например, интересные эксперименты по исследованию движения пальцев, проведённые Келсо, которые удалось очень хорошо объяснить с помощью понятий синергетики [3]. Ещё одним неожиданным приложением стал синергетический компьютер [3, с. 286–315]. Оба новых понятия синергетики могут применяться в информатике» [1, с. 59].

И далее: «Какие области применения Вы рассматриваете как наиболее перспективные и многообещающие? Какие проблемы остаются ещё открытыми для исследования?»

Проф. Г. Хакен: «Очень важной областью является, на мой взгляд, медицина, где проводятся увлекательные фундаментальные исследования. На первый план для меня выступают исследования головного мозга: мы изучаем МЭГ (магнитоэнцефалограммы) и ЭЭГ (электроэнцефалограммы), применяя методы анализа нового типа, и я очень рад, что эти методы всё более совершенствуются, а также заменяются новыми».

Для дальнейшего исследования существует, несомненно, огромное число проблем, и я бы не взялся перечислить их здесь все. К ним относятся, например, развитие новых компьютеров, которые работают по синергетическим принципам, более скрупулёзное исследование экономических процессов, которые являются в высшей степени сложными и одновременно кооперативными, т.е. синергетическими, и многие другие проблемы» [1, с. 59–60].

5. Угроза расширительного понимания синергетики

Сейчас, когда поубавилось число скептиков, сомневающихся в наличии у синергетики своего предмета исследования, своего метода исследования и прогностической силы, над этим перспективным междисциплинарным направлением научных исследований нависла новая угроза чрезмерно расширительного толкования её терминов и понятий, приводящего к размыванию основ синергетики и появлению иллюзорных представлений как о своего рода панацее. Наш труд, по крайней мере в его трети, предназначен для того, чтобы избавить тех, кто видит в синергетике ключ к решению всех проблем современной науки, от несбыточных иллюзорных надежд, вернуть их на твёрдую основу реальных возможностей предложенного Г. Хакеном междисциплинарного подхода и придать синергетическим идеям и понятиям их первоначальный естественнонаучный смысл.

6. Тезаурус: основные понятия синергетики

Л.И. Мандельштам предостерегал от введения строгих определений на раннем этапе развития теории. По его словам, вводить строгие определения — всё равно, что заворачивать новорождённого младенца в колючую проволоку. Приводимые ниже определения не претендуют на математическую строгость. Это скорее пояснения, позволяющие понять суть понятия и правильно использовать соответствующий термин.

1. Динамическая система — система любой природы, состояние которой эволюционирует во времени.
2. Параметры (переменные) состояния — параметры (переменные), набор значений которых однозначно определяет состояние системы.
3. Управляющие параметры — те из параметров состояния, изменение которых позволяет изменять состояния системы (управлять состоянием).
4. Параметры порядка — функции параметров состояния, значения которых, как и значения самих параметров порядка, определяют состояние системы.
5. Принцип подчинения — принцип утверждающий, что существуют функции параметров состояния (параметры порядка), которые, как и сами параметры состояния, определяют состояние системы.

   Число параметров порядка, как правило, много меньше числа параметров состояния. Переход от параметров состояния к параметрам порядка позволяет осуществлять сжатие информации о системе.

6. Круговая причинность — принцип, утверждающий, что существуют функции, обратные тем, которые задают параметры порядка в зависимости от значений параметров состояния. Круговая причинность делает сжатие информации (см. п. 5) в синергетике обратимым.
7. Линейная система — система, удовлетворяющая принципу суперпозиции состояний, если в системе существуют режимы u₁ и u₂, то существует и режим αu₁ + βu₂ — произвольная линейная комбинация (суперпозиция) состояний u₁ и u₂.
8. Теорема единственности — теорема, доказанная для линейных систем: при данных начальных или краевых условиях в системе существует только один режим.
9. Нелинейная система — система, воздействующая на себя; состояние на выходе системы служит её начальным состоянием. Связь выхода системы с её входом называется обратной связью. Для нелинейных систем — систем с обратной связью — принцип суперпозиции не выполняется.
10. Устойчивость (по Ляпунову) — система называется устойчивой по Ляпунову, если режимы, мало отличающиеся (на ε) в начальный момент времени отличаются на конечную величину (ε) в любой последующий момент времени.
11. Эффект бабочки — присущая нелинейным системам чувствительная зависимость от начальных условий (неустойчивость по Ляпунову), режимы, мало отличающиеся в начальный момент времени, в последующем экспоненциально быстро расходятся. (Название эффекта заимствовано из рассказа «И грянет гром» Брэдбери.)
12. Горизонт событий (предсказуемость) — временной интервал, на протяжении которого поведение динамической системы предсказуемо, т.е. детерминировано.
13. Случайность — строго математического определения случайности не существует даже для последовательности нулей и единиц.

    Случайность по фон Мизесу — по мере продвижения по последовательности доля нулей и единиц стремится к 1/2.

    Случайность по А.Н. Колмогорову — последовательность сложно устроена, если её описание не проще самой последовательности. Случайность по Колмогорову эквивалентна сложноустроенности.

    Случайность по Мартин-Лёфу — последовательность нулей и единиц случайна, если она типична, т.е. не содержит никаких «особых примет» — не принадлежит малому множеству последовательностей с особыми примерами.

14. Хаос детерминированный — сложный режим, возникающий в нелинейной динамической системе вследствие её внутренней неустойчивости — система действует не как усилитель внешнего шума, а как генератор хаотического режима.
15. Меры хаоса — числовые характеристики, позволяющие (по различным критериям) сравнивать хаотические режимы динамических систем, выяснять, какой из двух хаотических режимов хаотичнее.
16. Самоорганизация — спонтанное (без воздействия извне) возникновение в динамической системе более сложных по сравнению с ранее существовавшими структур или состояний. Иногда синергетику называют теорией самоорганизации.

7. Возникновение и эволюция понятия «самоорганизация»

Понятие «самоорганизация» возникло в 1970-х годах — первоначально как собирательное название многочисленных явлений, наблюдавшихся в сложных системах, изучением которых занимается синергетика. Осознание центральной роли самоорганизации в круге проблем, изучаемых синергетикой, равно как и понимание того, что и как происходит в системе при возникновении новых пространственных, временных и пространственно-временных структур, пришло позже. Первоначально исследователи ограничивались «комплектованием зоопарка»— составлением более или менее подробных перечней явлений самоорганизации в системах различной природы. И лишь по завершении периода «первоначального накопления» синергетику стали называть направлением, занимающимся изучением самоорганизации [2].

На начальном этапе внимание исследователей было почти всецело сосредоточено на том обстоятельстве, что самоорганизация, как о том свидетельствует само название этого явления, происходит без какого бы то ни было воздействия извне. Предыдущее состояние системы утрачивает устойчивость, и вместо него появляется («самоорганизуется») новое, первоначально устойчивое состояние, которое в ходе дальнейшей эволюции также может потерять устойчивость и, в свою очередь, уступить место новому состоянию. Важная особенность самоорганизации — сжатие информации — оставалась незамеченной. Между тем сжатие информации при самоорганизации происходит весьма специфическим образом. Множество параметров состояния отходит на задний план, уступая место гораздо более малочисленным параметрам порядка, характеризующим самообразовавшиеся новые структуры. Можно сказать, что самоорганизация основополагающих принципов синергетики — принцип подчинения.

Анализ обширного эмпирического материала позволил сделать неожиданное открытие — обнаружить своего рода «структурный базис» эволюции — набор простейших структур, или паттернов, из которых по определённым сценариям система синтезирует более сложные структуры. Это открытие оказалось тем более неожиданным, что самоорганизующиеся системы нелинейные, и принцип суперпозиции — принципиальная отличительная особенность линейных систем — в них не действует.

Разумеется, этим неожиданности, подстерегавшие исследователей нелинейных систем, не исчерпывались. Выяснилось, что вопреки традиционным представлениям о хаосе как о синониме беспорядка хаос может обладать тонкой и сложной организацией.

8. Фракталы

Ярким примером хаоса, наделённого тонкой структурой, могут служить самоподобные и самоаффинные объекты, получившие с лёгкой руки Бенуа Мандельброта название фракталы и мультифракталы.

В трёх своих книгах «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (изд-во «Фламмарион», 1975), «Фракталы: форма, случай и размерность» (изд-во «Фримен», 1977), «Фрактальная геометрия природы» (изд-во «Фримен», 1977), Бенуа Мандельброт предложил изумлённому научному миру, по существу, новую неевклидову геометрию — неевклидову не в смысле отказа от аксиомы о параллельности, принятой в традиционной евклидовой геометрии, а замены её другой аксиомой, как это было сделано в геометрии Н.И. Лобачевского и Я. Бойяи, а в смысле отказа от незримо присутствовавшего в «Началах» Евклида требования гладкости; геометрии — в соответствии с определением геометрии как науки об инвариантах группы преобразований, данным в 1872 г. в «Эрлангенской программе» Феликса Клейна, — фрактальная геометрия занимается изучением объектов, инвариантных относительно самоаффинных и самоподобных преобразований, образующих группы.

Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, изъеденных причудливыми ходами, порами, трещинами и отверстиями, извилистых и т.п. объектов, бывших до этого своего рода математическими критериями. По молчаливому уговору, ранее такие объекты исключались из рассмотрения в пользу более «благообразных» усреднённых, сглаженных отполированных объектов. Между тем именно такие неправильные объекты составляют большинство объектов, встречающихся в природе. Гордые слова Галилея «Философия записана в этой огромнейшей книге Природы, которая всегда открыта перед нами (я говорю о Вселенной), но понять написанное невозможно, пока не изучишь язык и не распознаешь письмена, которыми она написана. А написана она на математическом языке, и письменами её являются треугольники, круги и другие геометрические фигуры...», из его сочинения «Пробирных дел мастер» ныне надлежит трактовать так: «...треугольники, круги, фракталы и другие геометрические фигуры...»

Сам Бенуа Мандельброт охарактеризовал созданную им теорию как морфологию бесформенного: «Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не окружности, древесная кора — не гладкая, молния распространяется не по прямой.

В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько нерегулярны и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом — термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, — природа обладает не просто большой сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно велико». Сверхсложная геометрия фрактальных сред накладывает свой отпечаток на разыгрывающиеся в них процессы. На фракталах по-новому, чем в традиционных сплошных средах, происходит диффузия, протекают химические реакции, происходит рассеяние акустических и электромагнитных волн. Но фракталы с их самоподобной и самоаффинной структурой служат регулярными моделями случайных (хаотических) сред — своего рода аналогом вполне интегрируемых систем классической механики. (Хотя вполне интегрируемые системы являются скорее исключениями, чем правилом, все учебники аналитической динамики заполнены именно вполне интегрируемыми системами: рассмотрение их позволяет развить интуицию, столь необходимую для анализа общих, не вполне интегрируемых систем. Фракталы с их тонкой самоаффинной и самоподобной структурой позволяют развить интуицию, необходимую для работы со случайными средами.)

9. Специфические особенности синергетики

В интервью по случаю тридцатилетия созданного им междисциплинарного направления Г. Хакен так охарактеризовал специфические особенности синергетики [1]:

1. Исследуемые системы состоят из нескольких или многих одинаковых или разнородных частей, которые находятся во взаимодействии друг с другом.
2. Эти системы нелинейны.
3. При рассмотрении физических, химических и биологических систем речь идёт об открытых системах, далёких от теплового равновесия.
4. Эти системы подвержены внутренним и внешним колебаниям.
5. Системы могут быть нестандартными.
6. В системах происходят качественные изменения.
7. В этих системах обнаруживаются эмержентные новые качества.
8. Возникают пространственные, временные, пространственно-временные или функциональные структуры.
9. Структуры могут быть упорядоченными или хаотическими.
10. Во многих случаях возможна математизация.

10. Сложное поведение простых систем

Заголовок этого раздела по существу представляет собой «формулу открытия», совершённого в русле синергетических исследований и развеявшего долго державшийся миф о том, что сложное поведение якобы является исключительной прерогативой сложных систем. Обилие элементов, частей или деталей в сложных системах означает, что для их описания требуется огромное количество информации, нередко превышающее объём памяти и возможности её обработки. Возникает неполнота описания и, как следствие, непредсказуемость (и, следовательно, сложность) поведения системы.

На мифе (или добросовестном заблуждении?) о монополии сложных систем на сложное поведение зиждились попытки отождествить сложность системы с числом её элементов — мощностью системы как множества. Несостоятельность такого понимания сложности была убедительно продемонстрирована теорией само­воспроиз­водящихся автоматов фон Неймана. В его книге [7], реконструированной Берксом по отрывочным записям лекций фон Неймана (Беркс совершил научный подвиг, сравнимый с реконструкцией давно вымерших животных по крохотной детали их скелета, выполненной Кювье), первоначально была описана система, способная к сложному поведению — самовоспроизведению, которая состояла из более чем 200 деталей, но позднее был построен пример самовоспроизводящегося автомата, состоявшего из на порядок меньшего числа деталей.

Сложность — одно из тех интуитивно ясных, но упорно не поддающихся формализации понятий, которые играют важную роль в концептуальном аппарате синергетики. В эпоху Ньютона полагали, будто детерминированность поведения динамической системы исключает возможность сложности. Радость от обретения возможности описания величин не статичных, а изменяющихся во времени (по терминологии Ньютона — флюксий), их производных (по терминологии Ньютона — флюент) и возможности восстановления флюксий по известному соотношению между флюентами, т.е. с помощью решения дифференциальных уравнений, была столь велика, что самая мысль о сложном поведении флюксий казалось кощунственной. Ньютоновская вселенная функционировала наподобие хорошо отлаженного часового механизма, и сложность (тем более хаотичность), казалось, напрочь исключалась из репертуара возможных вариантов поведения динамических систем. Наиболее яркая формулировка ньютоновского детерминизма принадлежит Лапласу и известна под названием «демона Лапласа». Суть её сводится к следующему: «Состояние системы Природы в настоящий момент есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и если мы представим себе разум («демон»), который в данное мгновенье постиг все связи между объектами Вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия этих объектов в любое время в прошлом или в будущем» (1776).

Прозрение пришло много позднее — в конце XIX века. В работе на соискание премии короля Норвегии Оскара Анри Пуанкаре установил причину неинтегрируемости знаменитой проблемы трёх тел — сложное поведение сепаратрис гиперболических особых точек: «Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми [устойчивым и неустойчивым многообразиями седловой особой точки] и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двояко-асимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решётки, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна пересекать самоё себя, но она должна навиваться на самоё себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети.

Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трёх тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся» [8].

На смену старому, ньютоновскому, пониманию детерминизма пришло новое понимание, не исключающее сложное, хаотическое поведение динамических систем и проводившее такой физико-математический оксиморон как «детерминистический или динамический хаос».

В «жизни» динамической системы регулярная динамика не отделена непроницаемой стеной от сложных режимов — от хаоса. Между регулярной динамикой и хаосом существуют переходы, происходящие по тем или иным сценариям. Первоначально устойчивое состояние динамической системы претерпевает бифуркацию — теряет устойчивость и сменяется новым состоянием, которое первоначально устойчиво, но при изменении параметров состояния в дальнейшем также может потерять устойчивость, т.е. претерпеть новую бифуркацию и уступить место новому состоянию. Серия бифуркаций, претерпеваемых динамической системой на пути от регулярной динамики к хаосу, называется сценарием перехода к хаосу.

Отправным пунктом в исследовании проблем перехода к хаосу по общему признанию принято считать работу Ландау [9] «К теории турбулентности» (1944). В ней Л.Д. Ландау рассмотрел возникновение турбулентности при увеличении числа Рейнольдса (основного управляющего параметра в задачах гидродинамики). По сценарию, предложенному Ландау, первичное течение теряет устойчивость относительно колебательного возмущения, воздействующего на течение с некоторой частотой, возникшее осциллирующее вторичное течение, в свою очередь, теряет устойчивость при воздействии на него другого колебательного возмущения с другой частотой. В итоге после многочисленных бифуркаций, которые сопровождаются возникновением всё новых и новых частот, образующих иррациональные отношения, возникает сложный динамический режим — турбулентность.

Хотя Л.Д. Ландау рассматривал гидродинамическую задачу, нарисованная им картина носит столь общий характер, что её с равным основанием можно отнести ко всем динамическим диссипативным системам. Позднее (1948) аналогичные представления были развиты Эбергардом Хопфом в работе «Математический пример, демонстрирующий особенности турбулентности» [10]. Такую картину турбулентности принято называть сценарием Ландау–Хопфа.

В 1963 году американский метеоролог Эдвард Лоренц опубликовал статью «Детерминированное непериодическое течение», в которой изложил результаты численного решения системы трёх нелинейных дифференциальных уравнений», моделирующих динамику жидкости в подогреваемом снизу слое [11]. Основной акцент в анализе полученных результатов Лоренц сделал на взаимосвязи между сложной динамикой и присущей системе неустойчивостью траекторий. Именно в этой работе Лоренц ввёл термин «эффект бабочки».

В 1971 году, опираясь на достижения математического аппарата синергетики —так называемой нелинейной динамики, Давид Рюэль и Флорис Такенс в 1971 г. опубликовали работу «О природе турбулентности» [12]. В ней они подвергли критике сценарий Ландау–Хопфа, указав на то, что уже после 3–4 бифуркаций динамика может стать турбулентной, в частности, у системы может возникнуть характерный для случайного процесса сплошной спектр. Рюэль и Такенс связывали это обстоятельство с возникновением в фазовом пространстве «странного аттрактора» и неустойчивостью траекторий на странном аттракторе. Разумеется, работа Рюэля и Такенса, историческое значение которой отчасти определялось предложенным ими ключевым термином «странный аттрактор», также оказалась уязвимой для критики. Многие вопросы, возникающие в связи с предложенным ими сценарием перехода к турбулентности, пока остаются открытыми.

Особо подчеркнём, что работы Ландау, Хопфа, Рюэля и Такенса, посвящённые гидродинамическим системам, в действительности носят общий характер, и их результаты и выводы распространяются на все динамические диссипативные системы.

Изучение динамического хаоса привлекло внимание исследователей к важному классу математических моделей, в силу исторических причин не пользовавшихся должным вниманием, — к дискретным отображениям, задаваемым рекуррентными соотношениями. К традиционным математическим моделям — дифференциальным уравнениям — дискретные отображения относятся, как часы с дискретной индикацией времени (в роли показаний таких часов выступает индекс, нумерующий последовательные приближения) к часам с непрерывной индикацией времени: зависимость решения дифференциального уравнения непрерывна и (в классических случаях) даже дифференцируема.

При всей своей (во многом кажущейся) примитивности дискретные отображения служат удобными моделями для изучения и демонстрации многих синергетических эффектов и явлений, позволяющих исследователям понять, что происходит в более сложных ситуациях. Динамический хаос возникает уже в простейших нелинейных дискретных отображениях, например, в кусочно-линейных (треугольное отображение или отображение «зуб пилы») и квадратичных (логистическом отображении, или отображении Ферхюльста). Кроме того, на дискретные отображения не распространяется теорема Пуанкаре–Бендиксона, доказанная для дифференциальных уравнений и ограничивающая возможные варианты двумерных динамических систем (недаром А.А. Андронов, стремясь избавиться от ограничительных пут теоремы Пуанкаре–Бендиксона, провозгласил лозунг: «Выйти из плоскости!», честь реализовать который выпала в 1963 г. Эдварду Лоренцу): двумерные дискретные отображения отличаются несравненно бо́льшим разнообразием режимов по сравнению с двумерными динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями.

Над соотношением простого и сложного размышляют многие современные исследователи. Так, лауреат Нобелевской премии Илья Романович Пригожин и его сотрудник Грегуар Николис видят элементы сложного поведения в «неравновесности, обратных связях, переходных явлениях, эволюции», или более подробно: это — «возникновение бифуркационных переходов вдали от равновесия и при наличии подходящих нелинейностей, нарушение симметрии выше точки бифуркации, а также образование и поддержание корреляций макроскопического масштаба» [13, с. 53, 96].

По мнению Джона (Иоанниса) Николиса, сложность связана с субординации уровней, иерархическим принципом построения и, кроме того, с необходимостью должна рассматриваться в эволюционном аспекте» [14].

Один из основателей института в Санта-Фе (1984), ставшего признанным центром по изучению сложного, Мюррей Гелл-Манн в своей книге «Кварк и ягуар» [15] стремится показать, что мир кварков имеет, как ни странно, много общего с миром блуждающего в ночи ягуара. Два полюса — простое и сложное — взаимосвязаны. «Кварк символизирует фундаментальные физические законы, которые управляют универсумом и всем веществом в нём... Ягуар символизирует сложность окружающего нас мира, в особенности то, как мир проявляет себя в сложных адаптивных системах...».

Гелл-Манн предложил новый термин «plectics», который, по его мнению, удачно выражает взаимоотношения простого и сложного во всём их многообразии. Этот термин имеет греческое происхождение и семантически связан с «искусством переплетения», «составления», «усложнения».

Таким образом, в современной теории сложности происходит переход «from complexity to perplexity».

По мнению президента Немецкого общества по изучению сложных систем и нелинейной динамики К. Майнцера (почётным президентом этого Общества избран профессор Герман Хакен), описание сложного невозможно без представления о нелинейности и современных нелинейных моделей (т.е. без «нелинейного мышления» в смысле Л.И. Мандельштама).

«Стоит ещё раз подчеркнуть, — пишет Майнцер, — что линейное мышление может быть опасным в нелинейной сложности реальности... Наши врачи и психологи должны научиться рассматривать людей как сложных нелинейных существ, обладающих умом и телом. Линейное мышление может терпеть неудачу в установлении правильных диагнозов... Мы должны помнить, что в политике и истории многокаузальность может вести к догматизму, отсутствию толерантности и фанатизму... Подход к изучению сложных систем порождает новые следствия в эпистемологии и этике. Он даёт шанс предотвратить хаос в сложном нелинейном мире и использовать креативные возможности синергетических эффектов» [16].

11. Самоорганизация и сложность

Г.Г. Малинецкий и А.Б. Потапов предложили дифференцировать понятие «сложность». По их мнению, «термин "сложность" имеет двоякий смысл. С одной стороны, его можно понимать как сложность устройства, т.е. наличие в некоторой системе большого числа элементов и/или нетривиальных связей между ними. А с другой стороны, речь может идти о сложности внешних проявлений системы безотносительно её внутреннего устройства, т.е. в нетривиальном поведении. Хотя эти две "сложности" во многом взаимосвязаны, они не эквивалентны, и мы будем употреблять понятие "сложность" только во втором из упомянутых значений, если не оговорено обратное» [17, с. 287].

На математическом уровне сложность неразрывно связана с нелинейностью описания, поскольку к линейным системам применим принцип суперпозиции, позволяющей независимо рассматривать различные действующие факторы, части системы и т.п., что гарантирует её простоту.

На физическом уровне описание, как правило, возможно лишь в статистических терминах, как то: плотность вероятности, коррекция, ляпуновские показатели, математическое ожидание, дисперсия и т.п. Это происходит в силу характерного для многих нелинейных систем хаотического поведения, ограничивающего возможности детерминированного описания, либо в силу очень большого числа составляющих систему элементов, делающего такое описание практически бесполезным.

На философском уровне наиболее существенным является осознание того обстоятельства, что чем более изощрён и специфичен механизм некоторого явления, тем реже оно должно реализовываться. А поскольку практически всё сколько-нибудь важное или интересное в природе так или иначе связано со сложностью, то лежащие в её основе механизмы должны быть просты и универсальны» [17, с. 287–288].

Мы неоднократно использовали термин «система». Настала пора уточнить его. Существует термодинамическая классификация систем, связанная с детализацией энергетического обмена и обмена веществом между системой и окружающей средой. Согласно этой классификации системы подразделяются на открытые (обменивающиеся энергией и, возможно, веществом с окружающей средой) и закрытые (нет обмена веществом). Последние, в свою очередь, подразделяются на изолированные (нет и обмена энергией), адиабатически изолированные (нет теплообмена, но возможно изменение объёма при совершении работы) и замкнутые (возможен теплообмен при постоянстве объёма).

Как показали эксперименты и весь опыт синергетических исследований, во многих открытых нелинейных системах вдали от равновесия происходит самоорганизация. При этом обычно возникают либо пространственно неоднородные стационарные (т.е. не изменяющиеся со временем) образования, которые И.Р. Пригожин предложил называть диссипативными структурами [18], либо возникают периодические или непериодические колебания, которые по предложению Р.В. Хохлова стали называть автоволновыми процессами [19].

В основе образования диссипативных структур и возникновения автоволновых процессов лежит явление самоорганизации, т.е. выделение из большого, иногда бесконечно большого числа переменных (параметров состояния), описывающих систему, небольшого числа величин (называемых параметрами порядка), к которым по истечении достаточно продолжительного промежутка времени подстраиваются остальные степени свободы системы. Параметры порядка не обязательно должны совпадать с какими-то параметрами состояния. Они могут быть новыми, возникшими в ходе самоорганизации, т.е. эмержентными.

По мнению Г.Г. Малинецкого и А.Б. Потапова [17], в настоящее время на смену эре диссипативных структур и автоволновых процессов в синергетике приходит эра самоорганизованной критичности, поставщиками идей которой становятся нейронаука, теория риска, биология, психология, теоретическая история (Big History) и другие области, связанные с анализом сложных систем.

12. Тезаурус-2 (продолжение)

Ни Тезаурус-1, ни Тезаурус-2, ни теоретико-множественное объединение любого конечного числа тезаурусов, содержащих конечное число терминов, не может исчерпывающим образом охватить все понятия и термины синергетики. Сознавая это, мы тем не менее представляем в помощь читателю-гуманитарию по необходимости ограниченный набор терминов, понимание которых важно для чтения литературы по синергетике, нелинейной динамике и другим разделам нелинейной науки.

1. Аттрактор — притягивающее множество в фазовом пространстве.
2. Бассейн — область притяжения аттрактора — та часть фазового пространства, из которой траектории стремятся к аттрактору.
3. Гетероклиническая структура — структура, образованная пересечением устойчивого и неустойчивого многообразий двух различных седловых особых точек.
4. Гомоклиническая структура (гомоклиника) — структура, образованная пересечением устойчивого и неустойчивого многообразий одной и той же седловой точки.
5. Гомоклинический хаос — сложное (хаотическое) поведение динамической системы, обусловленное спецификой геометрии гомоклинической структуры. Наиболее подробно исследован в работах Л.П. Шильникова и его учеников и сотрудников.
6. Стрела времени — однонаправленность времени. Термин «стрела времени» предложен в 1928 году Эддингтоном в его книге — «The Nature of the Physical World» («Природа физического мира») — Ann Arbor: University of Michigan Press, 1958. Наиболее глубоко различные аспекты стрелы времени — от физических до философских — исследованы в трудах И.Р. Пригожина и его сотрудников (см, например, [20]).
7. Бифуркация:

   а) потеря устойчивости предыдущим режимом динамической системы и смена его (обычно двумя) новыми первоначально устойчивыми режимами;

   б) точка, в которой происходит бифуркация в смысле п. а).

8. H-теорема Больцмана — теорема, согласно которой при временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия системы возрастает и остаётся неизменной при достижении равновесного состояния. (H от английского heat — тепло.)

   Энтропия является мерой неопределённости (хаотичности). По теореме Больцмана при временной эволюции к равновесному состоянию степень хаотичности монотонно возрастает и достигает максимального значения в равновесном состоянии.

9. S-теорема Ю.Л. Климонтовича — критерий относительности упорядоченности открытых систем. (S от английского слова self-organization — самоорганизация.)
10. КАМ-теория — предложенная в 1950-х годах А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом и Юргеном Мозером теория, описывающая регулярное и хаотическое поведение динамических систем.
11. Реакция Белоусова–Жаботинского — колебательная химическая реакция в гомогенной системе, открытая Б.П. Белоусовым в 1951 г.; A.M. Жаботинский выяснил кинетику реакции, построил её математическую модель и уточнил первоначальную гипотезу Б.П. Белоусова. Реакция Белоусова–Жаботинского породила мощную волну исследований гомогенных химических и биохимических исследований, лёгших в основу теории биологических часов.
12. Система Тьюринга — математическая модель, состоящая из системы двух дифференциальных уравнений, описывающих реакцию между двумя гипотетическими веществами-морфогенами и диффузию продуктов этой реакции. По мысли Алана Тьюринга, такая модель призвана была объяснить периодичность в строении некоторых животных, например кольчатых червей, и растений.

    Модель Тьюринга породила множество аналогов, созданных для описания периодических твердотельных структур и химических реакций. Названия таких моделей строились по единому образцу: название географического пункта, где работают создатели модели, плюс окончание слова осциллятор, например, орегонатор (модель, созданная в университете штата Орегон) или брюсселятор (модель, созданная школой И.Р. Пригожина в Международных институтах химии и физики Сольвэ в Брюсселе).

13. Брюсселятор — частный случай модели Тьюринга — одно дифференциальное уравнение диффузии с кубическим нелинейным членом, описывающим химическую реакцию, происходящую при тройном столкновении молекул реагирующих веществ, — событии гораздо более редком, чем парное столкновение. Выбор кубической нелинейности, аналогичной нелинейности в предложенной Гейзенбергом теории ферромагнетизма, обусловил успешное применение брюсселятора для описания динамики различных физических систем, но создал определённые трудности при подыскании удовлетворяющей модели химической реакции. Такой реакцией оказалась реакция Чепмена — образование молекул озона O₃ в верхних слоях атмосферы.

13. Отказ от описания на уровне траекторий

Каждая из двух «тучек» на горизонте классической науки, о которых упомянул в своих «Балтиморских лекциях» Уильям Томпсон (лорд Кельвин), разрастаясь, превратилась в новую неклассическую науку. Рождение каждой из этих наук повлекло за собой отказ от каких-то классических представлений: квантовая механика — отказ от представления о безграничной делимости энергии (по Планку, электромагнитная энергия могла поглощаться и излучаться только конечными порциями — квантами, а Эйнштейн понял, что электромагнитная энергия может и распространяться только квантами), специальная теория относительности (СТО) — отказ от представления о бесконечной скорости распространения сигнала (согласно СТО, ни один сигнал не может распространяться быстрее света).

Естественно возникает вопрос: к отказу от какого классического представления привело рождение нелинейной науки и, в частности, синергетики? Такое представление действительно есть в классике. Это представление о траектории как о геометрической линии, т.е. по Евклиду, «длина без ширины». Физически описание поведения динамической системы на языке траекторий означало бы, что у нас имеется прибор со столь высокой разрешающей способностью, что он позволяет нам «видеть» геометрическую линию. Разумеется, в действительности разрешающая способность любого прибора конечна, а это означает, что мы можем «видеть» не индивидуальную траекторию, а только целый пучок индивидуальных траекторий, находящихся в трубке, поперечное сечение которой определяется разрешающей способностью прибора. Все траектории внутри пучка для нас неразличимы. Имеет смысл говорить лишь о некотором вероятностном распределении траекторий внутри пучка, причём, по терминологии И.Р. Пригожина и И. Стенгерс, это вероятностное распределение несводимо, т.е. траектории внутри пучка невозможно индивидуализировать, — от распределения вероятностей невозможно перейти к отдельным траекториям, распределение вероятностей несводимо.

Несводимые вероятностные распределения коренным образом изменяют описание динамических систем и даже понимание физических законов.

Вот что говорят об этом И.Р. Пригожин и И. Стенгерс: «Традиционно существовали две формулировки физических законов: одна — в терминах траекторий или волновых функций, другая — в терминах статистических ансамблей. Но такая статистическая формулировка не была несводимой. Она была вполне применима к отдельным траекториям или волновым функциям. Иначе говоря, при статистическом подходе не появлялись новые динамические свойства. В результате необратимое приближение к равновесию традиционно было принято связывать с приближённостью, «крупнозернистостью» описания, а стрелу времени приписывать неполноте нашего знания. Предложенная нами несводимая формулировка порывает с этой ситуацией. Необратимость и вероятность становятся объективными свойствами. Они выражают то обстоятельство, что наблюдаемый нами физический мир не может быть сведён к отдельным траекториям или отдельным волновым функциям. Переход от ньютоновского описания в терминах траекторий или шрёдингеровского описания в терминах волновых функций к описанию в терминах ансамблей не влечёт за собой потери информации. Наоборот, такой подход позволяет включить новые существенные свойства в фундаментальное описание неустойчивых хаотических систем. Свойства диссипативных систем перестают быть только феноменологическими, а становятся свойствами, не сводимыми к тем или иным особенностям отдельных траекторий или волновых функций.

Но существуют классические системы, устойчивые и обратимые во времени. Как мы теперь понимаем, они соответствуют предельным ситуациям, исключительным случаям. В квантовой механике ситуация ещё более сложная, так как нарушение симметрии во времени явно признаётся необходимым для наблюдения квантового мира, т.е. для перехода от амплитуд вероятности к вероятности. В нашей формулировке законов природы характерные (представляющие) ситуации принадлежат к классу неустойчивых хаотических систем, которые мы отождествили с существованием несводимых вероятностных представлений. Это новое определение динамического хаоса включает в себя его обычное определение (в простых ситуациях, например в случае дискретных отображений, оба определения эквивалентны) и допускает обобщение на более сложные ситуации, соответствующие подавляющему большинству случаев, представляющих физический интерес» [20, с. 253–254].

14. Что такое нелинейная динамика?

Итак, мы познакомились с важным разделом нелинейной физики — синергетикой, её основными понятиями и узнали, какое место она занимает в системе современных наук. Богатая свежими физическими и философскими идеями, синергетика использует новый математический аппарат — нелинейную динамику, которая также отличается от классического математического анализа Ньютона и Лейбница. В этом разделе мы постараемся, не вдаваясь в детали, помочь читателю составить общее представление о нелинейной динамике.

Нелинейная динамика — раздел современной математики, который занимается исследованием нелинейных динамических систем.

Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.п.), состояние которых определяется набором величин, называемых параметрами состояния, или динамическими переменными, такими, что их значения в любой последующий момент времени по определённому правилу получаются из их значений в начальный момент времени. Это правило осуществляет оператор эволюции.

Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные модели — чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.

Дать точное определение того, что составляет предмет нелинейной динамики, ничуть не легче, чем определить, что составляет предмет теории колебаний. Перефразируя Л.И. Мандельштама («Лекции по теории колебаний»), можно сказать, что «было бы бесплодным педантизмом стараться «точно» определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности».

Следует подчеркнуть, что нелинейной называется теория, в частности нелинейная теория динамических систем, или нелинейная динамика, использующая нелинейные математические модели. Но нелинейная теория не обязательно ограничивается изучением нелинейных явлений или закономерностей.

Мир нелинейных закономерностей, или функций, так же как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствует изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и переходит характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя другого класса нелинейных функций. Геометрический образ нелинейной функции — кривая на плоскости, искривлённая поверхность или гиперповерхность в пространстве трёх или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придаётся приращение. Почти полным «безразличием» к изменению одних и повышенной, острой чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции поразительно контрастируют с линейными функциями. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения, в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придаётся приращение. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром линейных и нелинейных явлений и зависимостей.

Что же касается границы между линейными и нелинейными теориями, то её принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой — линейный или нелинейный — математический аппарат, какие — линейные или нелинейные — математические модели она использует.

Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной теории» — принцип суперпозиции — позволяет физику конструировать любое состояние из определённого набора частных состояний, образуя их линейные комбинации, или суперпозиции.

Физики, делавшие первые, ещё неуверенные шаги в области нелинейного, где всё было «не так», всё или по крайней мере многое противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали несбыточную надежду, что милый их сердцу привычный математический аппарат путём различного рода ухищрений (малых добавочных членов) удастся приспособить к решению новых нелинейных задач. Тех, кто питал такие надежды, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных включений. «Искусственная линеаризация» оказывалась малоэффективной и «большей частью ничему не научила, а иногда бывала прямо вредной» (Л.И. Мандельштам).

Особенностью нелинейной теории было не только отсутствие принципа суперпозиции, но и наличие обратной связи: система воздействовала на самоё себя.

Неправильное перенесение линейного опыта и линейной интуиции на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.A.M. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь обманчивыми показаниями ставшего ненадёжным компаса линейной теории, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов.

Ещё на дальних подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой был вынужден становиться на путь своего рода «математического старательства» и приниматься решать нелинейные задачи «поштучно», используя их специфические индивидуальные особенности и полагаясь больше на удачу — пресловутый старательский «фарт». «Тот путь, конечно, сам по себе правилен, — писал Л.И. Мандельштам в предисловии к знаменитой (и многострадальной) «Теории колебаний» А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина. — Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие своё значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути».

Но не говоря уже о том, что фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведёт к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам её части, и, что ещё важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития».

Выделенные курсивом слова «нелинейных колебаний» не умаляют общности утверждения. Их вполне можно заменить словами «нелинейной физики», ведь они принадлежат Л.И. Мандельштаму.

Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведённой до положения учёной хранительницы обширного собрания разрозненных решённых задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы — линейной физики. Необходимо создать «нелинейную культуру, включающую надёжный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах» (А.А. Андронов).

Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный физик — наш соотечественник академик Леонид Исаакович Мандельштам.

Поведение любой сложной системы, тем более такой крайне необычной, как Льюис Кэрролл, особенно интересно вблизи её особых точек.

Начнём рассмотрение, естественно, с t = 0, т.е. с момента рождения, хотя надо сразу оговориться, что вблизи этой точки, да и далее, никакого Льюиса Кэрролла не существовало, а был Charles Lutwidge Dodgson — Чарлз Латуидж Доджсон, родившийся 27 января 1832 года в небольшой английской деревушке Дарсбери (графство Чешир). Тот, которого звали Льюис Кэрролл, родился гораздо позднее — 1 марта 1856 года, а установить дату его кончины невозможно, поскольку он стал бессмертным...

Обстоятельства появления на свет Льюиса Кэрролла таковы. Когда у Чарлза Латуиджа появилась необходимость в литературном псевдониме, то первые два варианта он составил в виде анаграммы из букв своих имён Charles и Lutwidge: «Edgar Cuthwellis» и «Edgar U.С. Westhill», — но они были забракованы издателем. Тогда Чарлз перевёл оба своих имени на латынь: «Carolus Ludovicus» — и, переставив местами, нашёл им другие аналоги среди английских имён. Так получился Louis (Lewis) Carroll.

Теперь их стало двое, очень родных и совсем непохожих: скучный педант — и неистощимый фантазёр; никому не известный профессор математики в университете — и знаменитый сказочник; автор учёного трактата по логике, достопочтенный член оксфордского колледжа

Церкви Христовой (Christ Church) — и создатель особого жанра «лепых нелепиц»¹. Один из них жил в тихом провинциальном Оксфорде, другой — в волшебной Стране Чудес. Они были неразлучны, хотя всячески отрицали, что знают друг друга («Мистер Доджсон не претендует на авторство каких-либо книг, не подписанных его фамилией»). Но самое удивительное, что эта двойственность составляла суть одного человека. Вспомним, что, когда Алиса встретилась в Зазеркалье с Твидлдумом и Твидлди, она «не знала, что ей делать: пожать руку сначала одному, а потом другому? А вдруг второй обидится? Тут её осенило: она протянула им обе руки сразу».

Фантазия сказочника и скептицизм учёного были неразделимы у нашего героя с детства. Так, узнав, что земляные черви не сражаются друг с другом, он подумал: «Быть может, это потому, что у них нет оружия?» Он вооружил их соломенными пиками и только после этого (а они опять не сражались!) поверил в их кроткий нрав.

Через всю жизнь Кэрролл пронёс любовь к необычайным экспериментам в области языка и удивительное умение подмечать малейшие ошибки, противоречия, парадоксы в рассуждениях, встречающихся в повседневной жизни. Об этом прозорливо писал отцу двенадцати летнего Чарлза мистер Тэйт — директор Ричмондской школы, в которой учился будущий автор «Алисы»:

«Он... только что превосходно сдал экзамен по математике, продемонстрировав при этом органически присущую ему любовь к точным рассуждениям... В то же время он нередко сводит к нулю все представления Вергилия или Овидия о силлабическом стихосложении. Кроме того, он остроумно заменяет обычные окончания существительных и глаголов, описанные в наших учебниках грамматики, более точными аналогиями или более удобными рифмами своего собственного изобретения».

В самом деле, баллада «Jabberwocky» Льюиса Кэрролла (в переводе Т.Л. Щепкиной-Куперник²) ничуть не хуже знаменитой «глокой куздры» академика Л.В. Щербы:

«Было супно. Кругтелся, винтясь по земле,

Склипких козей царапистый рой.

Тихо мисиков стайка грустела во мгле,

Зеленавки хрущали порой»...

Если изобразить спектрограмму интересов Льюиса Кэрролла, то она будет содержать три пика, причём все они при ближайшем рассмотрении имеют тонкую структуру (рис. 1).

Рис. 1

Про первый из них читатели «Химии и жизни» знают из статьи К.В. Вендровского «Фотограф из Зазеркалья» (1983, № 8). Добавлю только, что наиболее известные портреты художника Ренкина и физика Фарадея принадлежат Кэрроллу.

Обратимся ко второму пику. Да, Льюис Кэрролл всерьёз увлекался логикой. Надо сказать, что чтение учебника по логике — не лёгкая прогулка. Так, из него мы узнаём, что силлогизмом называется особый приём рассуждения, при котором «из двух категорических суждений (посылок), имеющих субъектно-предикатную структуру, связанных общими средними терминами и содержащих утверждения о присущности или неприсущности предиката субъекту, с необходимостью следует третье суждение, называемое заключением». Затем обычно следует пример силлогизма:

«Все люди смертны.

Кай — человек.

Кай смертен».

Подобный стиль, несомненно, способен многих отпугнуть от этой науки. Но, по Кэрроллу, нет худа без добра: сложная терминология может оказаться «необычайно полезной, если кому-нибудь из ваших приятелей придёт в голову поинтересоваться, не приходилось ли вам когда-либо изучать логику. Не забудьте в своём ответе употребить известные вам из учебника формулировки, и ваш приятель, став не только мудрее, но и печальней, удалится потрясённый».

Он написал книжки «Логическая игра» (для детей), «Символическая логика» (для взрослых), придумал замечательные парадоксы под названиями «Что черепаха сказала Ахиллу» и «Аллен, Браун и Карр». На протяжении вот уже ста лет авторы трактатов по логике оживляют свой предмет, открыто цитируя (или тайно похищая) примеры, которые изобрёл непревзойдённый мастер логической эксцентриады Льюис Кэрролл. Вот некоторые из них:

«Все философы рассуждают логично.

Человек, не умеющий рассуждать логично, всегда упрям.

Некоторые упрямые люди не философы».

«Ни одному лысому созданию расчёска не нужна.

Ни у одной ящерицы нет волос.

Ни одной ящерице расчёска не нужна».

«Ничто разумное никогда не ставило меня в тупик.

Логика ставит меня в тупик.

Логика не разумна».

Чушь? Нелепость? Нет, серьёзная вещь, облачённая в шутовской наряд, силлогизмы под маской «силлигизмов» (неологизм Льюиса Кэрролла, образованный от английского silly— «глупый»). Как тут не вспомнить слова Осипа Мандельштама, что «логика есть царство неожиданности»?

Самый процесс решения логических задач Кэрролл сумел превратить в интеллектуальную забаву, в игру на специально расчерченной доске с фишками двух цветов. «Чтобы играть в эту игру, — поясняет он, — необходимо иметь 9 фишек — 4 красные и 5 чёрных. Кроме того, необходимо иметь по крайней мере одного играющего. Мне не известна ни одна игра, в которой число участников было бы меньше».

Теперь осталось рассмотреть третий, последний большой пик на спектрограмме. Конечно, все читали — или в подлиннике, или в переводе (а их есть несколько) — «Алису в Стране Чудес» и «Алису в Зазеркалье». Поэтому расскажу о менее известной стороне его литературной деятельности. Но прежде давайте взглянем на график перемещений Льюиса Кэрролла в пространстве.

В целом мировую линию Кэрролла вряд ли можно назвать богатой взлётами: его бренная оболочка своим монотонным (чтобы не сказать унылым) существованием как бы компенсировала те удивительные приключения, которые переживал его дух. В тихом провинциальном Оксфорде он провёл большую часть своей жизни, лишь изредка покидая его, чтобы посетить выставку картин или интересный спектакль в Лондоне, провести рождественские каникулы в кругу своих многочисленных сестёр. И лишь однажды, в 1867 году, привычный ритм жизни был нарушен: вместе со своим коллегой преподобным Лиддоном (известным богословом, впоследствии настоятелем собора Св. Павла в Лондоне) Льюис Кэрролл отправился в Россию — на графике виден пик, соответствующий этому событию и похожий на известную математикам дельта-функцию (рис. 2).

Рис. 2

Цель поездки была далеко не тривиальна — большой любитель парадоксов, Кэрролл и здесь остался верен себе. Специалисты-кэрролловеды долгое время пытались разгадать, что побудило двух англичан отправиться за тридевять земель в неизведанную Россию. Усилиями библиофила A.M. Рушайло и библиографа В.В. Лобанова эту тайну удалось раскрыть: оказывается, преподобные Лиддон и Доджсон отправились на празднование юбилея архипасторского служения (с 1817 г.) митрополита Московского Филарета. Вот какой они выбрали маршрут: Оксфорд—Лондон—Дувр—Кале—Брюссель—Кёльн—Берлин—Данциг—Кёнигсберг и, наконец, Петербург. Затем поездка по России и обратный путь: Петербург—Кронштадт—Варшава—Бреслау—Дрезден—Лейпциг—Эмс—Париж—Кале—Дувр...

Итогом этого «паломничества» стали дорожные заметки «Дневник путешествия в Россию в 1867 году». Первая продолжительная остановка — в Берлине — навела Льюиса Кэрролла на такие размышления (перевод автора настоящей статьи):

«...Мне кажется, что архитектура Берлина основана на двух принципах. Если на крыше дома найдётся удобное местечко, туда необходимо поставить фигуру человека. Лучше всего, если он будет стоять на одной ноге. Если свободное место есть на земле, то на нём надлежит расставить по кругу бюсты на пьедесталах так, чтобы они смотрели друг на друга и как бы совещались о чём-то между собой, или воздвигнуть гигантскую фигуру человека, убивающего, намеревающегося убить или убившего (предпочтение отдаётся настоящему времени) какое-нибудь живое существо. Чем больше шипов у этого существа, тем лучше. Наиболее подходящим считается дракон, но если скульптору изобразить его не под силу, то можно ограничиться львом или свиньёй. «Принцип умерщвления живых тварей» проведён всюду с такой неукоснительной последовательностью, что некоторые районы Берлина выглядят как гигантская бойня доисторических животных».

Среди их попутчиков оказался англичанин мистер Мюр, совладелец известной фирмы «Мюр и Мерилиз», проживший в Петербурге 15 лет и возвращавшийся в Россию после поездки в Париж и Лондон. Он дал нашим путешественникам советы о том, что стоит посмотреть в Петербурге, и поделился своими соображениями о трудностях русского языка:

«В качестве примера необычайно длинных слов, встречающихся в русском языке, наш спутник привёл слово «защищающихся», которое, если его записать английскими буквами, выглядит так: zashtsheeshtshayoushtsheekhsya».

В Петербурге Льюис Кэрролл, по его словам, открыл немало удивительного:

«Неподалёку от Адмиралтейства стоит великолепная конная статуя Петра Великого... Лошадь поднялась на дыбы, а у её задней ноги извивается змея, на которую, как мне кажется, лошадь наступила. Если бы этот памятник был воздвигнут в Берлине, то Пётр, несомненно, был бы самым деятельным образом вовлечён в убийство чудовища. Здесь же он не обращает на змею никакого внимания: «правило умерщвления» в России не действует. Мы обнаружили также две гигантские фигуры львов, бывших до такой степени трогательно ручными, что каждый из них, как котёнок, катил перед собой большой шар».

После Петербурга последовали Москва, затем знаменитая Нижегородская ярмарка, опять Москва, Троице-Сергиева лавра. И снова звучит голос наблюдателя-парадоксалиста:

«Во второй половине дня мы посетили дворец митрополита и были представлены епископом Леонидом главе Русской Православной Церкви митрополиту Филарету. Митрополит мог говорить только по-русски, поэтому беседа между ним и Лиддоном (весьма интересная и продолжавшаяся более часа) велась чрезвычайно оригинальным способом. Митрополит произносил фразу по-русски, епископ переводил её на английский язык, затем Лиддон отвечал по-французски, а епископ переводил его ответ на русский язык для митрополита. Таким образом, разговор двух людей вёлся на трёх языках!»

Переезжая из города в город, Кэрролл оставался всё тем же чудаком, находясь как бы в центре магического круга и расцвечивая необычайными узорами своего восприятия то, что ускользало от внимания всех остальных людей. Выражаясь языком Королевы из Зазеркалья, можно сказать, что «его бега хватало только на то, чтобы оставаться на прежнем месте; чтобы попасть в другое место, нужно было бежать вдвое быстрее». В нелинейном мире это нормально.

Льюис Кэрролл был крайне педантичен и консервативен (в том числе и в методах обучения — он преподавал классическую геометрию «по Евклиду»). Дав обет безбрачия, что требовалось для принятия духовного сана, обязательного для членов колледжа Крайст Чёрч, он тратил всё своё душевное тепло на детей. С ними автор «Алисы» всегда чувствовал себя в Стране Чудес, с ними ему было легко и хорошо. И это несмотря на то, что он страдал болезненной застенчивостью и, кроме того, заикался. Именно дети служили для него неиссякаемым источником вдохновения, для них он выдумывал разные истории и задачи, например такую: «Кошка съедает мышку за 1 минуту, за сколько минут кошка съест 6106 мышек?» (Ответ: Не скоро, скорее мышки съедят кошку.)

Одной из своих юных приятельниц Эдит Рике (эта девушка стала впоследствии вычислителем в обсерватории) Кэрролл посвятил книжку «История с узелками». Для детей он написал сказку «Охота на Снарка» (to snark — рычать, Snark — «рычун»)³, в подзаголовке которой стоит «Агония в пяти приступах»: несколько героев охотятся на Снарка, некое несуществующее чудовище, но в конце выясняется, что они охотятся не на Снарка, а на Буджума — другое несуществующее чудовище. (Кстати, сейчас это словечко вошло в лексикон физиков — буджумом называют топологический дефект векторного поля, характеризующего, скажем, поток сверхтекучей жидкости.) Парадоксы, парадоксы...

Замкнутый и чопорный со взрослыми, Кэрролл писал детям письма-сказки, письма-поэмы. Впрочем, Винни Пух легко распознал бы в некоторых из них письма-«ворчалки», письма-«дразнилки» и т.д. В письме к одной девочке от 30 ноября 1879 г. Льюис Кэрролл писал: «...Я был очень занят — мне пришлось отправлять пачки, почти полные тележки писем. Это занятие настолько утомило меня, что я стал ложиться спать через минуту после того, как вставал, а иногда даже за минуту до того, как вставал! Слышала ли ты, чтобы кто-нибудь уставал до такой степени?»

Софистика? А может быть, просто нелинейная логика? Во всяком случае, у него были все основания для усталости: журналы, куда Кэрролл заносил краткое содержание любого полученного или отправленного им письма, содержали почти сто тысяч таких рефератов.

Надеюсь, теперь всем ясно, что стилистические особенности и пространственно-временные характеристики жизни и творчества Льюиса Кэрролла позволяют рассматривать его как нелинейную и неравновесную систему с чётко выраженными аттракторами в области парадоксов, абсурда и любви к детям. Нужно подчеркнуть, что переходы из области притяжения одного аттрактора к другому не сопровождаются у него катастрофами и бифуркациями, а происходят плавно.

Много ещё можно было бы рассказывать о не укладывающемся в обычную логику явлении по имени Льюис Кэрролл, но, остановившись, мы всегда вправе повторить за Шехерезадой: «Эта история — ничто по сравнению с той, которую мы расскажем в следующий раз».

Завтрак, обед, чай. В худшем случае первый завтрак, второй завтрак, обед, полдник, ужин и стакан чего-нибудь горячего перед сном. Как мы заботимся о пище для нашего счастливого тела! Кто из нас уделяет столько внимания своему разуму? В чём причина такого различия? Неужели тело гораздо важнее разума?

Отнюдь нет! Но от того, достаточно ли пищи получает тело, зависит жизнь, в то время как наше существование вполне может продолжаться на уровне животных (ибо слово «люди» здесь вряд ли уместно), даже если наш разум находится в состоянии крайнего истощения и мы полностью забываем о его нуждах. Именно поэтому Природа позаботилась, чтобы мы не могли всерьёз пренебречь потребностями нашего тела: ужасные последствия нашего легкомыслия — неприятные ощущения и боли — тут же напомнят нам о наших обязанностях. Кроме того, заботу о некоторых жизненно важных функциях Природа берёт на себя, не оставляя нам ни малейшего выбора. Если бы мы обрели возможность управлять собственным пищеварением или кровообращением, для многих из нас это закончилось бы весьма плачевно.

— Боже мой! — воскликнул бы кто-нибудь. — Утром я забыл завести своё сердце. Подумать только! Вот уже три часа, как оно остановилось!

— Сегодня я не могу пойти с вами на прогулку, — заметил бы один из наших друзей. — Мне нужно переварить, по крайней мере, одиннадцать обедов. Они остались с прошлой недели, когда я был очень занят, и мой врач заявил, что снимет с себя всякую ответственность, если я вздумаю и дальше откладывать эти обеды!

Итак, последствия пренебрежительного отношения к телу нам нетрудно представить и ощутить. Для некоторых из нас было бы неплохо, если бы наш разум стал таким же видимым и осязаемым, как и тело, чтобы его можно было, например, показать врачу и дать пощупать пульс.

— Любопытно, что это вы проделывали со своим разумом в последнее время. Хватало ли ему пищи? Он очень беден, и пульс у него сильно замедленный.

— Должен признаться, доктор, что последнее время мой ум получал пищу не слишком регулярно, а вчера я обкормил его леденцами.

— Леденцами? А что это за леденцы?

— Множество головоломок, сэр!

— Я так и думал. Имейте в виду: если вы и впредь станете позволять себе такие шутки, то рискуете окончательно испортить зубы своему разуму и заболеть умственным расстройством. В ближайшие несколько дней вам нужно соблюдать строжайшую диету и исключить из пищи для вашего ума всё, кроме самого лёгкого чтения! Будьте осторожны! И ни в коем случае не читайте романов!

Учитывая тот обширный печальный опыт, который многие из нас приобрели при выборе дозировки пищи для тела, я считаю уместным попытаться переделать некоторые правила рационального питания тела и соответствующие правила питания ума.

Во-первых, мы должны заботиться о том, чтобы наш ум получал пищу надлежащего сорта. Мы очень скоро начинаем понимать, что из пищи хорошо и что плохо для нашего тела, и без особого труда отказываемся от куска соблазнительного пудинга или пирога, который связан в нашей памяти с ужасным приступом желудка. Одно лишь название опасного яства неудержимо вызывает в памяти настойку ревеня и магнезию. Но чтобы убедить нас в несъедобности какой-то части излюбленного нами чтения, нужно несравненно больше уроков. Вновь и вновь мы употребляем в пищу заведомо не пригодный для этого роман, вслед за чем непременно следует обычная полоса дурных настроений, нежелание работать, безразличие, т.е. наш ум находится в состоянии кошмара.

Во-вторых, мы должны тщательно следить, чтобы наш разум получал съедобную пищу в надлежащем количестве. Умственное переедание, или чтение слишком большого количества литературы, — опасное пристрастие, приводящее к ослаблению усваивать пищу и в некоторых случаях к потере аппетита. Все мы знаем, что хлеб — вкусная и здоровая пища, но кому из нас пришло бы в голову съесть за один присест два или три каравая? Однажды мне довелось услышать, как врач сказал своему пациенту, единственная болезнь которого сводилась к перееданию и отсутствию физических упражнений:

— Самым ранним симптомом переедания является гипертрофированное развитие жировой ткани.

Не сомневаюсь, что звучные длинные термины послужили мощной опорой несчастному, изнемогавшему под всё возраставшим грузом жира.

Интересно, существует ли в природе такая вещь, как Разжиревший Ум? Мне кажется, что один или два раза я встречал нечто подобное: умы, которые не могли выдержать в разговоре даже лёгкой пробежки самой медленной трусцой, которые были неспособны даже ради спасения собственной жизни преодолеть небольшую логическую преграду, вечно увязали (причём весьма быстро) в любом необычном рассуждении, короче говоря, не были способны ни на что другое, кроме беспомощного блуждания по свету.

В-третьих, даже если пища доброкачественная, а порции её умеренны, то всё равно не следует поглощать слишком много различных видов пищи за один раз. Дайте жаждущему кварту пива, или кварту сидра, или даже кварту холодного чая, и он, вероятнее всего, возблагодарит вас (хотя в последнем случае его благодарность будет звучать не столь горячо, как в предыдущих!). Но каковы, по вашему мнению, будут его чувства, если вы предложите ему поднос, на котором будут стоять кружечка пива, кружечка сидра, кружечка холодного чая, кружечка горячего чая, кружечка кофе, какао и соответствующие сосуды с молоком, водой, разбавленным бренди и сывороткой, полученной при сбивании масла? Общее количество жидкости может быть по-прежнему равно одной кварте, но разве для того, кто изнемогает от жажды на сенокосе, это одно и то же?

Когда мы установим, какая пища, в каком количестве и ассортименте больше всего подходит для нашего ума, нам останется проследить, чтобы между последовательными приёмами пищи соблюдались надлежащие интервалы. Чтобы пища полностью усваивалась, проглатывать её нужно не торопясь, лишь после того, как мы тщательно разжуём её. Оба эти замечания, относящиеся к пище телесной, в равной степени применимы и к пище духовной.

Начнём с замечания относительно интервалов между приёмами пищи. Для ума они столь же необходимы, как и для тела. Единственное различие в том, что телу требуются три или четыре часа передышки, прежде чем оно будет готово к очередному приёму пищи, а уму во многих случаях достаточно трёх или четырёх минут. Я убеждён, что интервал между двумя последовательными приёмами духовной пищи в действительности гораздо короче, чем принято думать. По собственному опыту, я рекомендовал бы всем, кому приходилось проводить по несколько часов сряду за размышлениями на одну и ту же тему, испробовать на себе действие таких перерывов. Можно устраивать их, например, после каждого часа и отрываться от предмета размышлений лишь на пять минут, тщательно следя, чтобы в течение этих пяти минут разум был полностью «отключён» и полностью занят размышлениями о других вещах. Удивительно, какой сильный импульс и какую гибкость вновь обретает разум после такого кратковременного отдыха.

Теперь о пережёвывании пищи. Применительно к духовной пище оно означает просто обдумывание того, что мы читаем. Для этого требуется гораздо большее напряжение ума, чем при пассивном восприятии произведения того или иного автора. Напряжение это столь велико, что, по словам Кольриджа, разум часто «с негодованием отказывается» подвергать себя такому испытанию. Вообще мы слишком склонны пренебрегать этим напряжением и продолжаем нагромождать свежую пищу на поглощённые ранее и ещё не переваренные массы до тех пор, пока наш несчастный разум не отказывается полностью погребённым под этим нескончаемым потоком. Но чем больше усилие, тем ценнее (в этом можно не сомневаться) достигаемый им эффект. Один час сосредоточенного размышления на какую-нибудь тему (для подобного занятия вполне подходит, ничуть не уступая другим возможностям, пешая прогулка в одиночестве) стоит двух или трёх часов чтения. Не следует упускать из виду и другого правила, необходимого для полного усвоения прочитанных книг. Я имею в виду мысленное упорядочение всего прочитанного и «распределение его по рубрикам», что позволяет в нужном случае с лёгкостью находить интересующее нас место. Сэм Слик сообщает нам, что он за свою жизнь выучил несколько языков, но «не смог удержать их в уме рассортированными по полочкам». В подобное состояние впадают многие умы, торопливо пробегающие книгу за книгой, не дожидаясь, пока их содержание будет усвоено или классифицировано «по рубрикам». Несчастливому владельцу такого ума очень трудно бывает оправдывать лестную характеристику, которую ему дают его друзья: «Очень начитанный человек. О чём его ни спросите, всё знает. Его невозможно застать врасплох».

Вы обращаетесь к весьма начитанному человеку и задаёте ему вопрос, например из английской истории (разумеется, он незадолго до разговора прочитал Маколея). Эрудит добродушно улыбается, делая вид, будто ему известно всё, о чём вы спрашиваете, и ныряет в дебри своего разума за ответом. Выныривает он с горстью многообещающих фактов, но при проверке выясняется, что все они относятся «не к тому» столетию и их можно безболезненно отправить туда, откуда их извлекли. Забросив сеть ещё раз, весьма начитанный человек вылавливает факт, который гораздо ближе к истине, но, к сожалению, вместе с этим полезным фактом память эрудита извергает кучу других вещей: некий факт из политической экономии, правило из области арифметики, возраст детей его брата, стихотворение Грея «Элегия», — и нужный факт оказывается безнадёжно затерянным среди этого хлама. Между тем все с нетерпением ожидают ответа эрудита, и, поскольку тишина становится всё более напряжённой, он, заикаясь, выдавливает, наконец, из себя полуответ, далеко не столь ясный и полный, как ответ, который бы дал на интересующий вас вопрос обыкновенный школьник. И всё это происходит лишь из-за того, что весьма начитанный человек не рассортировал свои знания, не связал их соответствующим образом и не навесил на эти «связки» ярлыки.

Сумеете ли вы распознать несчастную жертву неправильного умственного питания, если вам доведётся с ней встретиться? Взгляните, как она бродит вокруг стола в читальном зале, со скукой пробуя одно блюдо за другим (т.е. прошу прощения, одну книгу за другой), ни на чём не останавливая своего выбора. Вот объект наблюдения «откусил» кусочек романа. Тьфу! Всю прошлую неделю несчастный питался только этим романом, и вкус этого произведения ему опротивел. Зачем он взял в рот ломтик науки. Результат вы можете предсказать заранее. Так и есть! Этот ломтик оказался ему не по зубам. И так на протяжении всего скучного обхода библиотечных столов, который он (безуспешно) совершал вчера и столь же безуспешно будет совершать завтра.

Мистер Оливер Уэнделл Холмс в своей весьма занимательной книге «Профессор за чайным столом» приводит следующее правило для распознавания возраста (молод человек или стар): «Решающий опыт сводится к следующему. Предложите интересующей вас персоне (проверяемой на молодость) за десять минут до обеда огромную булочку. Если указанная персона с готовностью примет и проглотит булочку, то её молодость можно считать установленной». Мистер Холмс сообщает также, что человек, «если он молод, способен съесть что угодно в любое время дня и ночи».

Предположим, что вы хотите узнать, хорошим ли умственным аппетитом обладает некое человеческое существо. Дайте ему в руки краткий, хорошо написанный, но отнюдь не увлекательный трактат на какую-нибудь популярную тему, т.е. своего рода булочку для ума. Если трактат прочитан с неподдельным интересом и сосредоточенным вниманием, а читатель по прочтении может ответить на любой вопрос, относящийся к содержанию книги, то его ум работает превосходно. Если же ваш подопечный через несколько минут вежливо отложит предложенную его вниманию книгу в сторону или немного погодя заметит: «Я не могу читать таких глупых книг! Нет ли у вас второго тома «Загадочного убийства?» — то вы с полным основанием можете считать, что с умственным пищеварением у этого читателя не всё обстоит благополучно.

Если из этой статьи вы извлекли для себя какие-нибудь полезные сведения по важному вопросу: как следует читать, и если к тому же она убедила вас, что «читать, делать заметки, изучать и глубоко усваивать» хорошие книги, которые попадают вам в руки, не только необходимо, но и полезно, то цель настоящей статьи полностью достигнута.

Научные и научно-популярные статьи

1. Данилов Ю.А. Групповые свойства уравнений Максвелла и Навье–Стокса. М., препринт ИАЭ-1452. 1967, 15 с.
2. Данилов Ю.А. Групповые свойства уравнения Дирака. М., препринт ИАЭ-1736. 1968, 16 с.
3. Danilov Yu.A., Kuznetsov G.I., Smorodinsky Ya.A. Study of analytical properties of pentagon Feynman graph by homological method. Дубна, препринт ОИЯИ E2-4717. 1969, 21 с.
4. Данилов Ю.А. О нелинейных обобщениях уравнения Дирака, допускающих конформную группу // ТМФ. 1970. Т. 2, № 3. С. 297–301.
5. Данилов Ю.А. Групповая классификация нелинейностей и неоднородностей в уравнениях типа Кортевега–де Фриза. М., препринт ИАЭ-2003. 1970, 16 с.
6. Данилов Ю.А., Смородинский Я.А. Кеплер и современная физика // Вестник Академии наук СССР. 1971. № 11. С. 117–123.
7. Данилов Ю.А., Смородинский Я.А. Кеплер и современная физика // Природа. 1971. № 12. С. 59–63.
8. Danilov Yu.A., Smorodinsky Ya.A. Kepler and modern Physics // In: Vistas in astronomy. Pergamon Press, 1971-1972. P. 699–707.
9. Данилов Ю.А., Смородинский Я.А. Иоганн Кеплер: от «Мистерии» до «Германии» // УФН. 1973. Т. 109, Вып. 1. С. 175–209.
10. Данилов Ю.А. Кэрролл Л. История с узелками (задачи для больших и маленьких) (пер. с англ) // Пионер. 1973. № 1. С. 72–75; № 3. С. 62–63.
11. Данилов Ю.А. Логика в стране чудес // Знание – сила. 1973. № 12. С. 26–29.
12. Данилов Ю.А. Первое издание трудов Академии наук // Природа. 1974. № 1. С. 116–119.
13. Данилов Ю.А. Как вы справились с домашним заданием? // Знание – сила. 1974. № 5. С. 47.
14. Данилов Ю.А. Льюис Кэрролл в России // Знание – сила. 1974. № 9. С. 44–47.
15. Данилов Ю.А. Тот, кто выдумал «Алису» // Комсомольская правда, 21 сентября 1974 г., № 220 (15115). С. 4.
16. Данилов Ю.А. Марбургская школа по основам квантовой механики и упорядоченным линейным пространствам // УФН. 1975. Т. 116, вып. 1, С. 175.
17. Данилов Ю.А. Льюис Кэрролл и его «Восемь или девять мудрых слов о том, как писать письма» // Знание – сила. 1975. № 2. С. 46–48.
18. Данилов Ю.А. Кэрролл Л. Пища для ума (пер. с англ.) // Природа. 1975. № 5. С. 125–128.
19. Данилов Ю.А. Их было семеро. Кросс-намбер // Квант. 1976. № 5. С. 80–81.
20. Данилов Ю.А. Галилей: образец научной прозы. Сказка как аргумент в научном споре // Природа. 1976. № 8. С. 158–159.
21. Данилов Ю.А. Возлюбив искусство числительное // Знание – сила. 1976. № 9. С. 47–48.
22. Данилов Ю.А. Головоломки художника Громова // Квант. 1977. № 2. С. 39–42.
23. Данилов Ю.А. Групповые свойства уравнения Буссинеска. М., препринт ИАЭ-2928. 1977, 6 с.
24. Данилов Ю.А. О линейных «донорах» решений нелинейных уравнений // В сб. «Математические методы в прикладных задачах». Труды МВТУ. 1977. № 256. С. 151–157.
25. Данилов Ю.А. О преобразованиях, допускаемых синусным уравнением Гордона и его многомерными обобщениями. М., препринт ИАЭ-2927. 1977, 11 с.
26. Данилов Ю.А. Стомахион // Квант. 1978. № 8. С. 50–53.
27. Данилов Ю.А., Смородинский Я.А. Физик читает Кэрролла // Кэрролл Л. Приключения Алисы. Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Зазеркалье. М.: Наука, 1978. С. 266–274.
28. Данилов Ю.А. Льюис Кэрролл и его письма к детям // Природа. 1979. № 7. С. 124–128.
29. Данилов Ю.А. Групповые свойства уравнения Кортевега–де Фриза–Бюргерса. М., препринт ИАЭ-3132. 1979. 7 с.
30. Данилов Ю.А. Гороскоп Иоганна Кеплера // Природа. 1980. № 1. С. 120–121.
31. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И., Смородинский Я.А. Скрытые и геометрические симметрии в квантовой механике (солитоноподобные решения линейных уравнений) // В сб. «Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля». III Международный семинар. Протвино, 1980. Т. 2. С. 300–314.
32. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И., Смородинский Я.А. О симметрии классических и волновых уравнений // ЯФ. 1980. Т. 32, вып. 6 (12). С. 1547–1552.
33. Данилов Ю.А. Групповая классификация уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова. М., препринт ИАЭ-3305/1. 1980. 17 с.
34. Данилов Ю.А. Групповой анализ системы Тьюринга и её аналогов. М., препринт ИАЭ-3287/1. 1980, 11 с.
35. Данилов Ю.А. Иоганн Кеплер и его «Гармония мира» // В сб. «Узоры симметрии». М.: Мир, 1980. С. 256–269.
36. Данилов Ю.А. Построение оптимальной системы подалгебр произвольной конечномерной алгебры Ли // В сб. «Теоретико-групповые методы в физике». Т. 2. Труды Международных семинаров, Звенигород, 28–30 ноября 1979 г. М.: Наука, 1980. С. 339–341.
37. Берман B.C., Данилов Ю.А. О групповых свойствах обобщённого уравнения Ландау–Гинзбурга // ДАН СССР. 1981. Т. 258, вып. 1. С. 67–70.
38. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И., Меньшиков Л.И. Нерасплывающиеся волновые пакеты в уравнении Клейна–Гордона // ЯФ. 1981. Т. 34, вып. 5 (11). С. 1413–1417.
39. Данилов Ю.А. Забытое старое // В мире книг. 1981. № 6. С. 20–21.
40. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. Топология в физике. Тексты лекций. М.: МИФИ, 1981. 26 с.
41. Данилов Ю.А. Теоретико-групповой подход к анализу диссипативных структур // Тезисы докладов Международного симпозиума «Синергетика и кооперативные явления в твёрдых телах и макромолекулах». Таллин, 27 сентября – 1 октября 1982 г. Таллин, 1982. С. 45.
42. Данилов Ю.А. Нелинейность // Знание – сила. 1982. № 11. С. 34–36.
43. Данилов Ю.А. Теоретико-групповые свойства математических моделей в биологии // В сб. «Математическая биология развития». М.: Наука, 1982. С. 5–15.
44. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И., Смородинский Я.А. Иерархия уравнений в свете их симметрии (теоретико-групповая классификация уравнений классической и квантовой физики) // VIII Всесоюзная конференция по физике электронных и атомных столкновений (VIII ВКЭАС). Ленинград, 26 сентября – 2 октября 1981 г. Л.: 1982. С. 167–168.
45. Данилов Ю.А. Математик фон Нейман и его «Математик» // Природа. 1983. № 2. С. 86–87.
46. Данилов Ю.А. Великие мгновения в истории математики (рецензия) // Новые книги за рубежом. 1983. № 8. С. 7.
47. Данилов Ю.А. Предельные циклы в химической кинетике // В сб. «Нестандартные процессы в катализе». Материалы II Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1983. С. 65–67.
48. Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // В сб. «Нелинейные волны. Самоорганизация». М.: Наука, 1983. С. 30–43.
49. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. Нелинейные уравнения и дифференциальные инварианты. Теоретико-групповые методы в физике // Труды Международного семинара, Звенигород, 24–26 ноября 1982 г. М.: Наука, 1983. Т. 2. С. 450–452.
50. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. Построение оптимальной системы подалгебр конечномерной алгебры Ли. М., препринт ИАЭ-3753/1. 1983, 12 с.
51. Данилов Ю.А., Петвиашвили В.И. Солитоны в плазме // В сб. «Итоги науки и техники. Физика плазмы». М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 4. С. 5–47.
52. Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. О некоторых точных решениях уравнений Янга–Миллса // В сб. «Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля». VII семинар. ИФВЭ. Протвино, июль 1984 г. Т. 2. С. 38–43.
53. Danilov Yu.A., Kuznetsov G.I. Nonlinear equations and differential invariants // Proceedings of the Second Zvenigorod Seminar on Group Theoretical Methods in Physics. Zvenigorod, USSR, 24–26 November 1982. Harwood Academic Publishers Chur, London, Paris, N.Y., 1985.
54. Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Синергетика: идеи, методы, надежды // УМН. 1985. Т. 40, вып. 2 (242). С. 215.
55. Danilov Yu.A. On a method of finding exact solutions of equations of mathematical physics // In: Group Theoretical Methods in Physics. Proceedings of the Third Yurmala Seminar. Yurmala, USSR, 22–24 May 1985.
56. Данилов Ю.А. Краткий чешско-русский словарь математической статистики // Приложение в кн.: Ликеш И., Лягя Й. Основные таблицы математической статистики. М.: Финансы и статистика, 1985.
57. Данилов Ю.А. Регуляторные и стохастические режимы в цепочках нелинейных осцилляторов // III Международный семинар «Теоретико-групповые методы в физике», 1985.
58. Данилов Ю.А. Об одном методе нахождения точных решений уравнений математической физики // В сб. «Теоретико-групповые методы в физике». Труды третьего семинара. Юрмала, 22–24 мая 1985 (Отв. ред. М.А. Марков). М.: Наука, 1986. Т. 2. С. 355–360.
59. Данилов Ю.А., Климонтович Ю.Л. Сложные системы — операционные подходы в нейробиологии, физике и вычислительных устройствах (рецензия на кн. Complex Systems. Operational Approaches in Neurobiology, Physics and Computers (Ed. by H. Haken). Berlin: Springer, 1985.) // Новые книги за рубежом. 1987. № 1. С. 6–11.
60. Данилов Ю.А. Рецензия на кн. Р. Рюкера «Четвёртое измерение» // Новые книги за рубежом. 1987. Серия А, № 2. С. 6–7.
61. Данилов Ю.А. Исаак Ньютон и Эдмонд Галлей. К 300-летию «Математических начал натуральной философии» И. Ньютона // Газета «Советский физик», 15 апреля 1987 г.
62. Данилов Ю.А., Сафонов В.Л. Использование свойств равномерной аппроксимации функций в тригонометрическом базисе для расчёта интегралов, сумм и для обработки экспериментальных данных. М., препринт ИАЭ-4381/1. М.: ЦНИИ­Атоминформ, 1987. 12 с.
63. Данилов Ю.А., Сафонов В.Л. К теории сверхпроводимости в двойникованных структурах // Сверхпроводимость: физика, химия, техника. Сентябрь 1988. Вып. 4. С. 76–78.
64. Danilov Yu.A., Safonov V.L. Phenomenological theory of localized superconductivity in systems with twinning // Physica. 1988. № 153–155. P. 683–684.
65. Данилов Ю.А. Вероятность. С. 261. // Физическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1988.
66. Данилов Ю.А. Модели полностью развитого хаоса // 2-я Дальневосточная школа-семинар «Физика-химия твёрдого тела». Благовещенск, 1988. Т. 1. С. 211–212.
67. Данилов Ю.А. Нормальные формы Пуанкаре–Дюлака и сложные динамические режимы в системах связанных осцилляторов. М., препринт ИАЭ-4564/1. М.: ЦНИИ­Атоминформ, 1988. 8 с.
68. Данилов Ю.А. Портрет Ньютона в реалистической манере (рецензия на кн. В. Кравцова «Ньютон») // Природа. 1989. № 6. С. 123–124.
69. Данилов Ю.А., Братковский А.М., Кузнецов Г.И. Квазикристаллы // Физика металлов и металловедения. 1989. Т. 68, № 6. С. 1045–1096.
70. Danilov Yu.A. Nonlinear Dynamics: Poincaré and Mandelstam // In: Nonlinear Waves. 1. Dynamics and evolution. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, N.Y., 1989. P. 2–13.
71. Данилов Ю.А. Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам // В сб. «Нелинейные волны. Динамика и эволюция». М.: Наука, 1989. С. 5–15.
72. Данилов Ю.А. От мозаик Пенроуза до надёжных шифров и возвращение доктора Матрикса (рецензия) // Новые книги за рубежом. 1989. С. 20–21.
73. Данилов Ю.А. Спор о природе комет 1618–1619 гг. // В сб. «Исследования по истории физики и механики». М.: Наука, 1989. С. 26–38.
74. Данилов Ю.А., Климонтович Ю.Л. Синергетика в астрофизике, химии, биологии, экологии, медицине, экономике и социологии (рецензия) // Новые книги за рубежом. 1990. № 6. С. 54–56.
75. Данилов Ю.А. Льюис Кэрролл и его задачи // Квант. 1990. № 10. С. 37–39.
76. Данилов Ю.А. Джон фон Нейман. М.: Знание, 1990. Серия «Математика, кибернетика». 46 с.
77. Данилов Ю.А. Последний семинар // В сб. «Воспоминания об академике М.А. Леонтовиче». М.: Наука, 1990. С. 260–262.
78. Данилов Ю.А. Уравнение Кадомцева–Петвиашвили. С. 229; Метод Кирхгофа. С. 369–379; Преобразование Лежандра. С. 580. // Физическая энциклопедия. Т. 2. М.: Советская энциклопедия, 1990.
79. Данилов Ю.А. Приглашение на Хофштадтера // Знание – сила. 1991. № 9. С. 1–12.
80. Danilov Yu.A. Symmetry of Nonlinear Equations, their Solutions and Equivalence Problem // In: Symmetry methods in physics. Obninsk, 1991. P. 115–117.
81. Данилов Ю.А. Научная фантастика и фантастическая наука. Предисловие к книге «Неувязка со временем». М.: Наука, 1991.
82. Данилов Ю.А. Предисловие к кн. Л. Кэрролл «Логическая игра». М.: Наука, 1991. С. 3–6.
83. Данилов Ю.А., Морозов А.В. Некоторые фундаментальные нелинейные модели математической физики // В сб. «Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии». Обнинск, 1991. С. 128–133.
84. Danilov Yu.A. Classic writings from the history of science. Plutarch: Concerning the face which appears in the orb of the moon // Quantum. 1992. March/April. P. 42–47.
85. Danilov Yu.A. A wrinkle in reality. Lobachevsky: New elements of geometry with a complete theory of parallels // Quantum. 1992. July/August. P. 44–48.
86. Danilov Yu.A. The «assayer» weighs the facts // Quantum. 1992. November/December. P. 43–45.
87. Данилов Ю.А. Уравнение Пенлеве // Физическая энциклопедия. Т. 3. М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. С. 553.
88. Данилов Ю.А. Ньютон и Бентли // ВИЕТ (Вопросы истории естествознания и техники). 1993. № 1. С. 30–32.
89. Danilov Yu.A. The problem book of Anania of Shirak // Quantum. 1993. March/April. P. 42–48.
90. Данилов Ю.А. Весёлая логика абсурда // «Первое сентября» 29 апреля 1993 г.
91. Данилов Ю.А. Фрактальность // Знание – сила, 1993, № 5. С. 94–100.
92. Danilov Yu.A. An act of Divine Providence // Quantum. 1993. May/June. P. 41–43.
93. Данилов Ю.А. Для тех, кто не был на лекции // Природа. 1993. № 12. С. 24–25.
94. Данилов Ю.А. На далёких Гёделевых островах // Знание – сила. 1994. № 1. С. 112–117.
95. Danilov Yu.A. A princess of mathematics // Quantum. 1994. January/February. P. 37–43.
96. Данилов Ю.А. Рубрика «Волшебный фонарь» // Знание – сила. 1994. № 9. (квазикристаллы)
97. Danilov Yu.A. A mathematical handbook with no figures // Quantum. 1994. May/June. P. 42–45.
98. Danilov Yu.A. The most profit with the least effort // Quantum. 1994. September/October. P. 35–40.
99. Danilov Yu.A. Stochastic properties of classical orthogonal polynomials. Symmetry methods in physics // In: Memory of professor Ya.A. Smorodinsky. Dubna, 1994, VI.
100. Данилов Ю.А. К читателю серии «Занимательная наука» // Перельман Я.И. Живая математика, Математические рассказы и головоломки. М.: Изд-во Русанова, 1994 (Synopsis. Аннотация, IV страница).
101. Данилов Ю.А. К читателям серии «Знания. Наука» // Перельман Я.И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел. М.: Изд-во Русанова, 1994.
102. Данилов Ю.А. Разделение переменных // Физическая энциклопедия. Т. 4. М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. С. 239.
103. Данилов Ю.А., Рожков А.В., Сафонов В.Л. О возможности геометрического описания квазичастиц в анизотропных средах. М., препринт ИАЭ-5776/1. М.: Российский научный центр «Курчатовский институт», 1994.
104. Danilov Yu.A. Mathematische Grundlaender Chaostheotie // Bronstein-Semendjaew, Musiol-Muhlic. Taschenbuch der matematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1995. S. 17.
105. Данилов Ю.А. Льюис Кэрролл как нелинейное явление // Прикладная нелинейная динамика (Саратов). 1996. № 1. С. 119–125.
106. Данилов Ю.А. Подпись к портрету А.Д. Сахарова // Вопросы истории естествознания и техники. 1996. № 2.
107. Danilov Yu.A., Rozhkov A.V., Safonov V.L. Possibility of geometric description of quasiparticles in solids // International J. of Modern Phys. B. 1996. Vol. 10, № 7. P. 777–791.
108. Danilov Yu.A. Harmonie und Astrologie bei Kepler // In: Wissenschaftliche und Au erwissenschaftliche. Denkformen-Moskau, 1996. P. 261–273.
109. Данилов Ю.А. Астрологический «Тетрабиблос» // В сб. «Знание за пределами науки». М.: Республика, 1996. С. 131–133.
110. Данилов Ю.А. Гармония и астрология в трудах Кеплера // В сб. «Научные и вненаучные формы мышления». М., 1996. С. 266–278. (Институт философии РАН. Центр по изучению немецкой философии и социологии.)
111. Данилов Ю.А. Красота фракталов // Московский синергетический форум. М., 1996. С. 183–187.
112. Данилов Ю.А. Последний семинар // В сб. «Воспоминания об академике М.А. Леонтовиче». М.: Физматлит. 1996. С. 406–408.
113. Данилов Ю.А. Предисловие к публикации доклада президента Будапештского клуба Vivos voco // ВИЕТ. 1997. № 4. С. 80–81.
114. Данилов Ю.А. Льюис Кэрролл как нелинейное явление // Химия и жизнь. 1997. № 5. С. 11–14.
115. Аршинов В.И., Данилов Ю.А., Дарасенко В.В. Методология сетевого мышления: феномен самоорганизации // В сб. «Онтология и эпистемология синергетики». М.: ИФ РАН, 1997. С. 101–117.
116. Данилов Ю.А. Красота фракталов // II International Conference «Nonlinear World: Mathematics and Art». M., 1997. P. 70–72.
117. Данилов Ю.А. О книге и её авторе // Перельман Я.И. Весёлые задачи. Двести головоломок для юных математиков. М.: Изд-во Русанова, Пилигрим, 1997. С. 277–278.
118. Данилов Ю.А. О книге и её авторе // Успенский Л. Слово о словах. М.: Изд-во Русанова, Пилигрим, 1997. С. 409–410.
119. Данилов Ю.А. Роль и место синергетики в современной науке // там же. С. 5–11.
120. Данилов Ю.А. Синергетический подход к изучению языка: возможности, ограничения и опасности // Философия науки, вып. 3. М.: ИФ РАН, 1997. С. 213–216.
121. Данилов Ю.А. Фрактальный подход при изучении физики неупорядоченных сред // В сб. «Синергетика и образование». М.: Гнозис, 1997. С. 41–46.
122. Данилов Ю.А. Признание в любви на казённом бланке // В сб. «Исаак Константинович Кикоин: Воспоминания современников». Изд. 2-е. М.: Наука, 1998.
123. Данилов Ю.А. Мы будем знать! // Знание – сила. 1998. № 1. С. 54 (перевод доклада Давида Гильберта «Познание природы и логика». С. 55–62).
124. Данилов Ю.А. Наш друг Льюис Кэрролл // Знание – сила. 1998. № 1. С. 99–101.
125. Данилов Ю.А. В поисках гармонии мира. Космографическая тайна // Химия и жизнь. 1998. № 11.
126. Данилов Ю.А. В поисках гармонии мира. В храме музы Урании // Химия и жизнь. 1998. № 12. С. 44–47.
127. Данилов Ю.А. Рубрика «Волшебный фонарь». Математика в картинках // Знание – сила. 1998. № 1–12 (графики многочленов, варианты последовательности расположения точек пересечения, модель космического динамомеханизма, половинка фуллерона, разрешённые волны, процессы в одномерной среде, линейные и кольцевые цепочки, железный шарик, подвешенный между полюсами магнита, солитоны, фигуры Хладни).
128. Данилов Ю.А. В поисках гармонии мира // Химия и жизнь. 1999. № 1. С. 27–29.
129. Данилов Ю.А. Что такое занимательная наука // Семья и школа. 1999. № 3. С. 48–49.
130. Данилов Ю.А. Игры с кубом. Платоновых вызывающе мало // Семья и школа. 1999. № 4. С. 46–47.
131. Данилов Ю.А. Корона Гиерона. Почти по Артуру Конан Дойлу // Семья и школа. 1999. № 5–6. С. 64–65.
132. Данилов Ю.А. Не верь глазам своим // Семья и школа. 1999. № 7–8. С. 65–67.
133. Данилов Ю.А. Соло для часов // Семья и школа. 1999. № 9. С. 44–45.
134. Данилов Ю.А. Под стук колёс // Семья и школа. 1999. № 10. С. 48–49.
135. Данилов Ю.А. Новый наряд короля // Семья и школа. 1999. № 11–12. С. 48–49.
136. Данилов Ю.А. Рубрика «Волшебный фонарь». Математика в картинках // Знание – сила. 1999. № 1–12 (закон Бернулли, формы капли на раскалённой поверхности, встречная проходка туннеля, о квадратуре круга, квадрат в квадрате, циклоидальный маятник, пустота в пустоте).
137. Данилов Ю.А. Рубрика «Что нам 9-ка?»: 1209 год. Кембридж. № 2–3. С. 126–127; 1609 год. У колыбели новорождённой. № 2–3. С. 126–127; Наш Пушкин. № 5–6. С. 129; 1749 год. Цепь соображений, выражающая порядок идей. № 5–6. С. 127–128; Начало пути. № 7–8. С. 126–127; Из чего состоят звёзды? № 9–10. С. 127–128; Философский камень Резерфорда. № 11–12. С. 126–127 // Знание – сила. 1999.
138. Danilov Yu.A., Preobrazhensky V.B., Grebenkin A.P., Shabanov S.Yu. // Synthetic Metals. 1999. Vol. 103. P. 2608–2609.
139. Данилов Ю.А. Случайные фракталы и их применение для моделирования реальных сред и процессов // В сб. «Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах». Материалы докладов международного научно-технического семинара. М.: МЭИ, 1999. С. 5–14.
140. Данилов Ю.А. Вольфганг Паули, Иоганн Кеплер и Карл-Густав Юнг // В сб. «Исследования по истории физики и механики». М.: Наука, 2000. С. 24–32.
141. Данилов Ю.А. Красота фракталов // В сб. «Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов». М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 183–187.
142. Данилов Ю.А. Неэйнштейновская диффузия // В сб. «Шумовые и деграционные процессы в полупроводниковых приборах». Материалы международного научно-технического семинара. М.: МЭИ, 2000. С. 16–19.
143. Данилов Ю.А. Математические начала натуральной философии. С. 133–140; Джеймс Клерк Максвелл. С. 140–146; Русские переводы «Начал» (доп. очерк). С. 139; Неожиданная находка. С. 139; Генри Кавендиш (совм. с Ю. Строгановым). С. 145; Конгрессы, конференции и съезды. С. 185; Как физики познают мир. С. 289–294; Открытие с помощью компьютера. С. 291; Принципы физики. С. 292. // Энциклопедия для детей. Т. 16. Физика. Ч. 1. М.: Аванта+, 2000.
144. Данилов Ю.А. Синергетика: в поисках языка междисциплинарного общения // Философские исследования. 2000. Вып. 1 (26). С. 27–29.
145. Данилов Ю.А. Новогодняя сказка почти по Гансу Христиану Андерсену // Семья и школа. 2000. № 1. С. 46–47.
146. Данилов Ю.А. Жизнь и открытия Майкла Фарадея. С. 39–44; Уильям Гильберт. С. 15; Бенджамин Франклин. С. 18; Роберт Эндрюс Милликен. С. 24; Густав Роберт Кирхгоф. С. 27; Алессандро Вольта. С. 31; Ханс Кристиан Эрстед. С. 33; Пётр Николаевич Лебедев. С. 54; Николай Алексеевич Умов. С. 56; Сэр Исаак Ньютон «Оптика, или Трактат об отражениях, преломлениях и цветах света». С. 60; Томас Юнг. С. 61; Джон Арчибальд Уилер. С. 132; Стивен Уильям Хокинг. С. 148; Юлиус Роберт Молдер. С. 185; Джеймс Прескотт Джоуль. С. 186; Герман Людвиг Фердинанд фон Гельмгольц. С. 188; Рудольф Клаузиус. С. 191; Уильям Томсон Гиббс. С. 208; Людвиг Больцман. С. 210; Макс Планк. С. 216; Луи де Бройль. С. 229; Эрвин Шрёдингер. С. 231; Вернер Гейзенберг. С. 235; Арнольд Зоммерфельд. «Строение атома и спектры». С. 238; Вольфганг Паули. С. 239; Н.Г. Басов, A.M. Прохоров и Ч. Таунс. С. 247; Яков Ильич Френкель. С. 282; Антуан Анри Беккерель. С. 290; Пьер и Мария Кюри. С. 290; Эффект Черенкова–Вавилова. С. 292; Андрей Дмитриевич Сахаров. С. 296; Ричард Фейнман. С. 316; Энрико Ферми. С. 339; Абдус Салам. С. 341; Стивен Вайнберг. С. 342; Вездесущая нелинейность. С. 358–361; Фазовое пространство. С. 378; Леонид Исаакович Мандельштам. С. 380; Николай Николаевич Боголюбов (совместно с В. Шелестом). С. 390–391; Что такое синергетика. С. 397–400. // Энциклопедия для детей. Т. 16. Физика. Ч. 2. М.: Аванта+, 2000, 432 с.
147. Данилов Ю.А. О треугольниках и квадратах // Семья и школа. 2000. № 2. С. 44–45.
148. Данилов Ю.А. Необыкновенная арифметика // Семья и школа. 2000. № 3. С. 44–45.
149. Данилов Ю.А. Перестановки без остановки // Семья и школа. 2000. № 4. С. 46–47.
150. Данилов Ю.А. Братцы-кролики // Семья и школа. 2000. № 5–6. С. 60–61.
151. Данилов Ю.А. Чистая доска (Tabula rasa) // Семья и школа. 2000. № 7–8. С. 60–61.
152. Данилов Ю.А. Штрихи к двойному портрету // Семья и школа. 2000. № 9. С. 48.
153. Данилов Ю.А. Синергетический подход к изучению языка // Синергетика. 2001. № 3.
154. Данилов Ю.А. Возникновение и эволюция понятия «самоорганизация» // Синергетика. 2001. № 4. С. 80–83.
155. Preobrazhensky V.B., Grebenkin A.P., Danilov Yu.A., Shabanov S.Yu. Dynamics of charge density waves in Q1D conductors: an approach on broad-band noise analysis // Synthetic Metals. 2001. № 121. P. 1303–1304.
156. Данилов Ю.А. Человекомерные аспекты синергетики // ИФ РАН, 2001.
157. Данилов Ю.А. Герман Хакен о синергетике // В сб. «Синергетическая парадигма». М.: Прогресс-Традиция, 2002. С. 22–26.
158. Данилов Ю.А. Синергетика — внутри и вокруг человека // В сб. «Философия науки». М.: ИФ РАН, 2002. С. 89–90.
159. Preobrazhensky V.B., Grebenkin A.P., Danilov Yu.A., Shabanov S.Yu. Time domain of charge wave motion in Q1D conductors // Synthetic Metals. 2003. № 135–136. P. 697–698.
160. Данилов Ю.А. Илья Романович Пригожин // В сб. «Синергетическая парадигма». М.: Прогресс-Традиция, 2004. С. 19–23.
161. Данилов Ю.А. Синергетика лицом к человеку // В сб. «Причудливый мир науки». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. С. 62–64.
162. Данилов Ю.А. Синергетика — наука о самоорганизации // там же. С. 65–71.
163. Данилов Ю.А. Сложность // там же. С. 72–75.
164. Данилов Ю.А. Джеймс Клерк Максвелл // там же. С. 118–128.
165. Данилов Ю.А. Майкл Фарадей // там же. С. 129–137.
166. Данилов Ю.А. Гармония и астрология в трудах Кеплера // там же. С. 138–149.
167. Данилов Ю.А. Поэт неравновесной термодинамики // Химия и жизнь. 2004. № 1. С. 28–29.
168. Данилов Ю.А. Беседа с читателями (архив Ю.А).
169. Данилов Ю.А. Игра и логика (архив Ю.А.)
170. Данилов Ю.А. Льюис Кэрролл глазами своих критиков (архив Ю.А.).
171. Данилов Ю.А. Перевод с санскрита на средневековую латынь (архив Ю.А.).
172. Данилов Ю.А. Синергетика (архив Ю.А.).
173. Данилов Ю.А. (ученик 135-й школы Москвы). Личинка стрекозы, улитки и физика // Пионерская правда, 25 сентября 1951 г., № 97 (3476). С. 3.

Статьи в изданиях:

• Радость познания. Популярная энциклопедия в 4 т. Т. 1, Наука и Вселенная. Введение в математику. М.: Мир, 1983.
• Педагогический энциклопедический словарь. М.: Научное издательство БРЭ, 2002.

Составление книг

1. Гарднер М. Математические новеллы. М.: Мир, 1974.
2. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. М.: Мир, 1974.
3. Эббот Д., Бюргер Д. Флатландия. Сферландия. М.: Мир, 1976.
4. Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly». М.: Мир, 1976.
5. Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Мир, 1979.
6. Физика за рубежом'82. М.: Мир 1982.
7. Гарднер М. Математический цветник. М.: Мир, 1983.
8. Физика за рубежом'83. М.: Мир, 1983.
9. Синергетика (Под ред. Б.Б. Кадомцева). М.: Мир, 1984.
10. Гарднер М. А ну-ка догадайся! М.: Мир, 1984.
11. Физика за рубежом'84. Сер. Б (преподавание). М.: Мир, 1984.
12. Физика за рубежом'84. Сер. А (исследования). М.: Мир, 1984.
13. Физика за рубежом'85. Сер. А (исследования). М.: Мир, 1985.
14. Физика за рубежом'86. Сер. А (исследования). М.: Мир, 1986.
15. Физика за рубежом'86. Сер. Б (преподавание). М.: Мир, 1986.
16. Галилео Галилей. Пробирных дел мастер. М.: Наука, 1987.
17. Кирхгоф Г.Р. Избранные труды. М.: Наука, 1988.
18. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.
19. Гейзенберг В. Избранные труды. М.: УРСС, 2001.

Редактирование книг

1. Хофман Б., Дюкас Э. Альберт Эйнштейн — творец и бунтарь. М.: Прогресс, 1983. (Общая редакция Ю.А. Данилова, Б.Г. Кузнецова.)
2. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.
3. Перельман Я.И. Знаете ли вы физику? Изд. 3-е, дополненное. М.: Наука, 1992.
4. Арто Антонен. Театр и его двойник. М.: Мартис, 1993.
5. Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М.: Изд-во Русанова, 1994.
6. Он между нами жил... Воспоминания о Сахарове. М.: Практика, 1996.
7. Перельман Я.И. Весёлые задачи. Двести головоломок для юных математиков. М.: Изд-во Русанова, Пилигрим, 1997.
8. Успенский Э. Слово о словах. М.: Изд-во Русанова, 1997.
9. Морозов А.А., Драгунов Т.Н., Бойкова С.А., Малышева О.В. Инвариантные множества динамических систем в Windows. Серия «R&С Dyn». Т. 3. М.: УРСС, 1998.
10. Картан Э. Интегральные инварианты. М.: УРСС, 1998.
11. Козлов В.В. Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана. Серия «Б-ка журнала «Регулярная и хаотическая динамика». Т. 1. М.: УРСС, 1998.

Переводы научных статей

1. Нейман Дж. фон. Общая и логическая теория автоматов // В сб. «Тьюринг А. Может ли машина мыслить?» М.: Физматгиз, 1960 (с англ.).
2. Гейзенберг В. Квантовая механика и беседа с Эйнштейном // Природа. 1972. № 5. С. 84–89 (с нем.).
3. Галилей Г. Притча о человеке, пытавшемся познать многообразие природы // Природа. 1976. № 8. С. 159–160 (с итал.).
4. Кеплер И. Человеку этому на роду написано // Природа. 1980. № 1. С. 121–128 (с лат.).
5. Переписка А. Эйнштейна и М. Бессо. 1903–1955. // В сб. «Эйнштейновский сборник. 1977». М.: Наука, 1980. С. 5–72 (с нем.).
6. Нейман Дж. фон. Математик // Природа. 1983. № 2. С. 88–95 (с англ.).
7. Минковский Г. Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах // В сб. «Эйнштейновский сборник. 1978–1979». М.: Наука, 1983. С. 5–63 (с нем.).
8. Минковский Г. Вывод основных уравнений для электромагнитных процессов в движущихся телах с точки зрения теории электронов // там же. С. 64–91 (с нем.).
9. Хокинг С.У. Евклидова квантовая теория гравитации // В сб. «Геометрические идеи в физике». М.: Мир, 1983 (с англ.).
10. Форд Дж. Случаен ли исход бросания монеты? // В сб. «Физика за рубежом. Сер. А (исследования)». М.: Мир, 1984. С. 186–209 (с англ.).
11. Стадлер У. Неадекватность обычной формулировки законов Ньютона для некоторых задач механики материальной точки // В сб. «Физика за рубежом. Сер. Б (преподавание)». М.: Мир, 1984. С. 7–19 (с англ.).
12. Гутфройнд Г., Литтл У. Физическое доказательство малой теоремы Ферма // там же. С. 95–99 (с англ.).
13. Вейнсток Р. Разоблачение вековой легенды: «Математические начала натуральной философии» Ньютона и орбиты при движении в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния // там же. С. 178–207 (с англ.).
14. Биркенмайер К. Палеомагнитная летопись Земли // В сб. «Наука и человечество». М.: Знание, 1984. С. 119–129 (с польск.).
15. Ланиус К. Глюоны — переносчики ядерных сил // там же. С. 157–171 (с англ.).
16. Видаль К. Динамические неустойчивости, наблюдаемые в системе Белоусова–Жаботинского // В сб. «Синергетика». М.: Мир, 1984. С. 109–125 (с англ.).
17. Гроссман С. Динамика флуктуаций вблизи химических неустойчивостей // там же. С. 126–138 (с англ.).
18. Смоэс М. Химические волны в колебательной системе Жаботинского. Переход от временно́й организации к пространственно-временно́й // там же. С. 139–163 (с англ.).
19. Гиббон Дж. Дисперсионные неустойчивости в нелинейных системах: вещественные и комплексные уравнения Лоренца // там же. С. 164–179 (с англ.).
20. Ресслер О. Хаос и турбулентность // там же. С. 180–189 (с англ.).
21. Тихо Браге. Автобиография // В сб. «Историко-астрономические исследования». М.: Наука, 1984. Вып. 17. С. 377–396 (с англ., датского).
22. Лоренц Г.А. К теории гравитации Эйнштейна // В сб. «Эйнштейновский сборник. 1980–1981». М.: Наука, 1985. С. 169–190 (с англ.).
23. Леви-Чивита Т. Об аналитическом выражении для тензора гравитации в теории Эйнштейна // там же. С. 191–203 (с итал.).
24. Шрёдингер Э. Компоненты энергии гравитационного поля // там же. С. 204–210 (с нем.).
25. Бауэр Г. О компонентах энергии гравитационного поля // там же. С. 211–216 (с нем.).
26. Нордстром Г. Об энергии гравитационного поля в теории Эйнштейна // там же. С. 217–225 (с англ.).
27. Клейн Ф. Об интегральной форме законов сохранения и теории пространственно замкнутого мира // там же. С. 226–254 (с нем.).
28. Розенфельд Л. О гравитационных действиях света // там же. С. 255–266 (с нем.).
29. Шиллинг М. Колокола-маятники, колокола мира и нецерковные колокола в ГДР // В сб. «Колокола. История и современность». М.: Наука, 1985. С. 294–302 (с нем.).
30. Запрещённая симметрия пятого порядка может свидетельствовать о существовании квази­кристаллической фазы // В сб. «Физика за рубежом. Сер. А (исследования)». М.: Мир, 1986. С. 228–239 (с англ.).
31. Изображение с высоким разрешением протопланетного диска, обращающегося вокруг звезды // там же. С. 240–249 (с англ.).
32. Сообщение Ливерморской группы о создании лазера в области мягкого рентгена // там же. С. 250–259 (с англ.).
33. Хеллиуэлл Т., Конковский Д. Парадоксы и непарадоксы причинности: классические сверхсветовые сигналы и квантовые измерения // В сб. «Физика за рубежом. Сер. Б (преподавание)». М.: Мир, 1986. С. 193–220 (с англ.).
34. Задачи // там же. С. 221–229 (с англ.)
35. Из переписки Эдмонда Галлея // В сб. «Историко-астрономические исследования». М.: Наука, 1986. Вып. XVIII. С. 41–59 (с англ.).
36. Вигнер Е. Тридцать лет знакомства с Эйнштейном // В сб. «Эйнштейновский сборник. 1982–1983». М.: Наука, 1986. С. 149–169 (с англ.).
37. Хофман Б., Баргман В., Бергман П., Штраус Э. Работая вместе с Эйнштейном // там же. С. 170–195 (с англ.).
38. Лоренц Г.А. Определение потенциалов в общей теории относительности с некоторыми замечаниями по поводу измерения длин и интервалов времени и о теориях Вейля и Эддингтона // там же. С. 237–258 (с англ.).
39. Шрёдингер Э. Специальная теория относительности и квантовая механика // там же. С. 259–270 (с нем.).
40. Осборн М. Квантово-теоретические ограничения на общую теорию относительности // там же. С. 271–284 (с англ.).
41. Салекер Г., Вигнер Е. Квантовые ограничения на измерение пространственно-временных расстояний // там же. С. 285–301 (с англ.).
42. Ранфт Й. Горизонты научного поиска («Летопись науки», раздел «Физика») // В сб. «Наука и человечество». М.: Знание, 1986. С. 313–315 (с англ.).
43. Айхлер Э. Всемирный форум по ономастике // там же. С. 398–399 (с нем.).
44. Леви Б.Г. Новый глобальный фрактальный формализм описывает различные сценарии перехода к хаосу // В сб. «Физика за рубежом. Сер. А (исследования)». М.: Мир, 1987. С. 263–270 (с англ.).
45. Гарднер М. Нульсторонний профессор (из сб. «Трудная задача». М.: Мир, 1982) // Квант. 1988. № 6. С. 37–39; 42–43 (с англ.).
46. Гарднер М. Остров пяти красок (из сб. «Трудная задача». М.: Мир, 1982) // Квант. 1988. № 7. С. 50–56; 60 (с англ.).
47. Пригожин И. Новое открытие времени // Вопросы истории естествознания и техники. 1989. № 1. С. 3–16 (перевод с англ. Н.В. Вдовиченко и И.И. Неретина, под ред. Ю.А. Данилова).
48. Гарднер М. Нульсторонний профессор // В сб. «Стрела времени». М.: Правда, 1989. С. 65–88 (с англ.).
49. Кунерт Ф. О центре Банаха // В сб. «Наука и человечество». М.: Знание, 1990. С. 335–338 (с нем.).
50. Хирш Д., Мэтьюз У. Водородная бомба: кто же выдал её секрет? // УФН. 1991. Т. 161, № 5. С. 153–169 (с англ. под ред. Ю. Владимирова).
51. Гарднер М. Нульсторонний профессор. Остров пяти красок // В сб. «Неувязка со временем». М.: Наука, 1991 (с англ.).
52. Маккин Э. Неприятности с СИМом // В сб. «Неувязка со временем». М.: Наука, 1991 (с англ.).
53. Килер К. Доллар Джона Джонса // В сб. «Неувязка со временем». М.: Наука, 1991 (с англ.).
54. Кларк А. Неувязка со временем // В сб. «Неувязка со временем». М.: Наука, 1991 (с англ.).
55. Эллиотт Б. Последний иллюзионист // В сб. «Неувязка со временем». М.: Наука, 1991 (с англ.).
56. Коутс Р. Закон // В сб. «Неувязка со временем». М.: Наука, 1991 (с англ.).
57. Ньютон И. Четыре письма сэра Исаака Ньютона доктору Бентли, содержащие некоторые аргументы доказательства существования Бога // Вопросы истории естествознания и техники. 1993. № 1. С. 33–45 (с англ.).
58. Нееман Ю. Счастливый случай, наука и общество. Эволюционный подход // Путь. 1993. № 4. С. 70–90 (с англ.).
59. Нееман Ю. Астрономия в Сардинии // там же. С. 91–100 (с англ.).
60. Пригожин И., Стенгерс И. Из кн.: «Время, хаос и квант» // Химия и жизнь. 1993. № 9. С. 8–12 (с англ.).
61. Пригожин И., Стенгерс И. Из кн.: «Время, хаос и квант» // Химия и жизнь. 1993. № 10 (с англ.).
62. Пригожин И., Стенгерс И. Из кн.: «Время, хаос и квант» // Химия и жизнь. 1993. № 11. С. 18–33 (с англ.).
63. Хоффман Р. Хирон в лесах Калифорнии // Вопросы истории естествознания и техники. 1994. № 2. С. 171–172 (с англ.).
64. Птолемей К. «Тетрабиблос», или «Математический трактат» в четырёх книгах (фрагмент астрологической энциклопедии II века н.э.) // В сб. «Историко-астрономические исследования. На рубежах познания Вселенной. 1992». М.: ТОО «Янус», 1994. С. 371–392 (с древнегреч.).
65. Пригожин И. Эта медаль — награда нашей школе // Природа. 1996. № 6. С. 134–135 (с франц.).
66. Птолемей К. Математический трактат, или Четверокнижие // В сб. «Знание за пределами науки». М.: Республика, 1996. С. 92–131 (с древнегреч.).
67. Ласло Э. Пути, ведущие в грядущее тысячелетие. Проблемы и перспективы // Вопросы истории естествознания и техники. 1997. № 4. С. 82–105 (с англ.).
68. Пригожин И. Постижение реальности // Природа. 1998. № 6. С. 4–11 (с англ.).
69. Гильберт Д. О представлении определённых форм в виде суммы квадратов форм (1888) // Избранные труды. М.: Факториал, 1998. Т. 1. С. 331–338 (с нем.).
70. Гильберт Д. О тернарных определённых формах (1893) // там же. С. 339–356 (с нем.).
71. Гильберт Д. Об уравнении девятой степени (1927) // там же. С. 357–363 (с нем.).
72. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление (1918) // там же. С. 409–465 (с нем.).
73. Гильберт Д. О принципе Дирихле (1901) // Избранные труды. М.: Факториал, 1998. Т. 2. С. 13–34 (с нем.).
74. Гильберт Д. Основы общей теории линейных интегральных уравнений (1912, 1923) // там же. С. 68–364 (с нем.).
75. Гильберт Д. Основание физики (второе сообщение) (1924) // там же. С. 379–398 (с нем.).
76. Парацельс Т. Об оккультной философии // В сб. «Герметизм, магия, натурфилософия в европейской культуре XIII–XIX вв.» М.: Канон+, ОИ «Реабилитация», 1999. С. 128–167 (с нем.).
77. Ди Джон. Иероглифическая монада // там же. С. 168–216 (с англ.).
78. Кеплер И. О более достоверных основаниях астрологии // там же. С. 217–259 (с лат.).
79. Эйнштейн А. Религия и наука // Йоханнес Виккерт. «Альберт Эйнштейн сам о себе». Челябинск: Урал-Ltd, 1999. С. 281–286 (с нем.).
80. Эйнштейн А. Мотивы научного исследования // там же. С. 286–290 (с нем.).
81. Эйнштейн А. Наука и цивилизация // там же. С. 290–293 (с нем.).
82. Эйнштейн А. Свобода и наука // там же. С. 294–297 (с нем.).
83. Эйнштейн А. Моё кредо // там же. С. 297–299 (с нем.).
84. Эйнштейн А. О радио // там же. С. 299–300 (с нем.).
85. Эйнштейн А. Наука и счастье // там же. С. 301–302 (с нем.).
86. Эйнштейн А. Наука и Бог // там же. С. 302–307 (с нем.).
87. Эйнштейн А. О науке // там же. С. 307–310 (с нем.).
88. Эйнштейн А. Разное // там же. С. 310–331 (с нем.).
89. Янч Э. Самоорганизующаяся Вселенная. Введение и обзор: рождение парадигмы из метафлуктуации // Общественные науки и современность. 1999. № 1. С. 143–158 (с англ.).
90. Спир Ф. Структура Большой истории. От Большого взрыва до современности // Общественные науки и современность. 1999. № 5. С. 153–165 (с англ.).
91. Ласло Э. Современные мифы. Экология и жизнь // Лето. 2000. № 2 (14). С. 6–9 (с англ.).
92. Хакен Г. Основные понятия синергетики // В сб. «Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов». М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 28–55 (с англ.).
93. Майнцер К. Сложность и самоорганизация. Возникновение новой науки и культуры на рубеже века // там же. С. 56–79 (с нем.).
94. Ласло Э. Основания трансдисциплинарной единой теории // там же. С. 326–333 (с англ.).
95. Морен Э. Необходимость реформы мышления // там же. С. 334–342 (с франц.).
96. Николис Дж.С. Хаотическая динамика лингвистических процессов и образование паттернов в поведении человека. Новая парадигма селективной передачи информации // там же. С. 426–433 (с англ.).
97. Беньямин В. О некоторых мотивах у Бодлера // В сб. «Озарение». М.: Мартис, 2000. С. 68–210 (с нем. и франц.).
98. Беньямин В. Озарение. М.: Мартис, 2000 (с франц.).
99. Няпинен Л. Программа Ильи Пригожина перестройки традиционной физики и вытекающие из неё заключения для понимания социальных проблем // В сб. «Синергетическая парадигма». М.: Прогресс-Традиция, 2004. С. 24–51 (с англ.).
100. Дирак П. Эффект комптоновского рассеяния на свободных электронах в звёздной атмосфере (архив Ю.А.).
101. Дирак П. Бейкеровская лекция. Физическая интерпретация квантовой механики (архив Ю.А.). [Наверно, всё же «квантовой электродинамики» (по крайней мере, именно так значится в четырехтомнике трудов Дирака, который в 2003–2006 гг. выпустило издательство «Наука». Кстати, любопытно, почему редактор этого издания А.Д. Суханов не воспользовался переводами Данилова, ведь Ю.Г. Рудой и В.И. Санюк, которые участвовали в подготовке ПСС (полного собрания сочинений) Дирака, наверняка были в курсе, что есть даниловский вариант? — E.G.A.]
102. Дирак П. Теория электрона и электромагнитного поля (архив Ю.А.).

Переводы книг
(Книги, отмеченные *, переводились совместно с другими переводчиками)

1. Тьюринг А. Может ли машина мыслить? М.: Физматгиз, 1960 (с англ.).
2. Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966 (с англ.).
3. Андерсон Э. Ударные волны в магнитной гидродинамике. М.: Атомиздат, 1968 (с англ.).
4. * Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968 (с англ.).
5. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971 (с англ.).
6. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971 (с англ.).
7. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972 (с англ.).
8. Кэрролл Л. История с узелками. М.: Мир, 1972 (с англ.).
9. * Рыбка Э., Рыбка П. Коперник. Человек и мысль. М.: Мир, 1973 (с польск.).
10. Гарднер М. Математические новеллы. М.: Мир, 1974 (с англ.).
11. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. М.: Мир, 1974 (с польск.).
12. Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. М.: Мир, 1975 (с венг.).
13. Паули В. Физические очерки. М.: Наука, 1975 (с англ. и нем.).
14. * Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике. М.: Мир, 1975 (с англ.).
15. Кюршак Й., Нейкомм Д., Хайош Д. Шурани Я. Венгерские математические олимпиады. М.: Мир, 1976 (с венг.).
16. Эбботт Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. М.: Мир, 1976 (с англ. и голл.).
17. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976 (с англ.).
18. Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. М.: Мир, 1977 (с англ.).
19. Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly». М.: Мир, 1977 (с англ.).
20. Страшевич С, Бровин Е. Польские математические олимпиады. М.: Мир, 1978 (с польск.).
21. Бизам Д., Герцег Я. Многоцветная логика. М.: Мир, 1978 (с венг.).
22. Зонн В. Галактики и квазары. М.: Мир, 1978 (с польск.).
23. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М.: Мир, 1979 (с англ.).
24. Римлер Ю. Экономические методы анализа развития. М.: Статистика, 1979 (с венг.).
25. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир, 1979 (с англ.).
26. * Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Мир, 1979 (с англ.).
27. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980 (с венг.).
28. Узоры симметрии. М.: Мир, 1980 (с англ.).
29. Гильде В., Альтрихтер 3. С микрокалькулятором в руках. М.: Мир, 1980 (с нем.).
30. Кройль Г. Что умеет мой микрокалькулятор? М.: Мир, 1981 (с нем.).
31. Парницкий Г. Основы статистической информатики. М.: Финансы и статистика, 1981 (с венг.).
32. Смаллиан P.M. Как же называется эта книга? М.: Мир, 1981 (с англ.).
33. Варга Б., Димень Ю., Лопариц Э. Язык. Музыка. Математика. М.: Мир, 1981 (с венг.).
34. Гарднер М. Есть идея! М.: Мир, 1982 (с англ.).
35. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. М.: Наука, 1982 (с лат.).
36. Трудная задача. М.: Мир, 1982 (с англ.).
37. Бикел П,, Доксам К. Математическая статистика. Вып. 1–2. М.: Финансы и статистика, 1983 (с англ.).
38. Геометрические идеи в физике. М.: Мир, 1983 (с англ.).
39. Фаркаш X. Странствия в мире животных. М.: Знание, 1983 (с венг.).
40. Гарднер М. Математический цветник. М.: Мир, 1983 (с англ.).
41. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.: Мир, 1984 (с англ.).
42. Синергетика. Сб. статей. М.: Мир, 1984 (с англ.).
43. Детари Л., Карцаги В. Биоритмы. М.: Мир, 1984 (с венг.).
44. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! М.: Мир, 1984 (с англ.).
45. Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. М.: Финансы и статистика, 1985 (с чешск.).
46. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985 (с англ.).
47. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985 (с англ.).
48. Леман И. Увлекательная математика. М.: Знание, 1985 (с нем.).
49. * Сахал Д. Технический прогресс: концепции, модели, оценки. М.: Финансы и статистика, 1985 (с англ.).
50. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986 (с англ.).
51. Штегена Л. Века и географические карты. М.: Знание, 1987 (с венг.).
52. Смаллиан P.M. Алиса в стране Смекалки. М.: Мир, 1987 (с англ.).
53. * Хорстэмке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987 (с англ.).
54. Галилей Г. Пробирных дел мастер. М.: Наука, 1987 (с лат. и итал.).
55. Этюды о персональных компьютерах. М.: Знание, 1988 (с венг.).
56. Тильде В., Альтрихтер 3. С микрокалькулятором повсюду. М.: Мир. 1988 (с нем.).
57. * Кирхгоф Г.Р. Избранные труды. М.: Наука, 1988 (с нем.).
58. Фракталы в физике. М.: Мир, 1988 (с англ.).
59. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир. 1988 (с англ.).
60. Благуш П. Факторный анализ с обобщениями. М.: Финансы и статистика, 1989 (с чешск.).
61. Джанколи Д. Физика. В 2-х т. М.: Мир, 1989 (с англ.).
62. * Дэвис П. Суперсила. Поиск единой теории. М.: Мир, 1989 (с англ.).
63. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М.: Мир, 1989 (с англ.).
64. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989 (с нем. и англ.).
65. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990 (с англ.).
66. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. М.: Мир, 1990 (с англ.).
67. Гарднер М. Путешествие во времени. М.: Мир, 1990 (с англ.).
68. Кэрролл Л. Логическая игра. М.: Наука, 1991 (с англ.).
69. Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.: Мир, 1991 (с англ.).
70. Неувязка со временем. М.: Мир, 1991 (с англ.).
71. * Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991 (с англ.).
72. * Гётце В. Фазовые переходы жидкость–стекло. М.: Наука, 1992 (с англ.).
73. Гротц К., Клапдор-Клайнгротхаус Г.В. Слабое взаимодействие в физике ядра, частиц и астрофизике. М.: Мир, 1992 (с нем.).
74. Гамов Г. Приключения мистера Томпкинса. М.: Бюро «Квантум», 1993 (с англ.).
75. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам. М.: Мир, 1993 (с англ.).
76. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Прогресс, 1994 (с англ.).
77. Гамильтон У.Р. Избранные труды. Оптика. М.: Наука, 1994 (с англ.).
78. Мэй Дж. Изгнание в плиоцен. Многоцветная Земля. М.: Армада, 1995 (с англ.).
79. Бистри Ст. Чудесные сечения. М.: Дорлинг Киндерсли, 1995 (с англ.).
80. Наглядный словарь. Вселенная. М.: Дорлинг Киндерсли, 1997 (с англ.).
81. Томсон Дж. Секретные дела Холмса. М.: Армада, 1997 (с англ.).
82. * Гильберт Д. Избранные труды. М.: Факториал, 1998 (с нем.).
83. Виккерт Й. Альберт Эйнштейн сам о себе. Челябинск: Урал-Ltd, 1999 (с нем.).
84. Пригожин И. Конец определённости. Ижевск, 1999 (с англ.).
85. Гамов Г., Ичас М. Мистер Томпкинс внутри самого себя. Ижевск, 1999 (с англ.).
86. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск, 1999 (с франц.).
87. Гамов Г., Стерн М. Занимательная математика. Ижевск, 1999 (с англ.).
88. Гланц Ст. Медико-биологическая статистика. М.: Практика, 1999 (с англ.).
89. Кэрролл Л. Письма к детям. М.: Эксмо-пресс, 1999 (с англ).
90. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦНМО, 2000 (с англ.).
91. Харди Г. Апология математика. Ижевск, РХД, 2000 (с англ.).
92. Берже П., Помо И., Видаль К. О детерминистическом подходе к турбулентности. М.: Меркурий-пресс, 2000 (с франц.).
93. Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции. М.: УРСС, 2001 (с нем.).
94. Хакен Г. Принципы работы головного мозга. М.: Per Se., 2001 (с англ.).
95. * Гейзенберг В. Избранные труды. М.: УРСС, 2001 (с англ. и нем.).
96. Матурана Умберто Р., Варела Франсиско X. Древо познания: Биологические корни человеческого понимания. М.: Прогресс-Традиция, 2001 (с англ.).
97. Хоффман Р. Такой одинаковый и разный мир. М.: Мир, 2001 (с англ.).
98. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. М.: Мир, 2002 (с англ., совместно с В. Белым).
99. Альберт Эйнштейн. Без формул (Под ред. К.А. Кедрова). М.: Мысль, 2003 (с нем.).
100. Тирринг В. Дифференциально-геометрические и операторно-алгебраические методы математической физики. Т. 1–4. Киев: Timpani, 1997–2003 (с нем.).
101. Ласло Э. Макросдвиг. М.: Тайдекс Ко, 2004 (с англ.).
102. Гамов Г. Мистер Томпкинс в новой биологии. М.: УРСС, 2003 (с англ.).
103. Гамов Г. Мистер Томпкинс исследует атом. М.: УРСС, 2003 (с англ.).
104. Гамов Г. Мистер Томпкинс в стране чудес. М.: УРСС, 2003 (с англ.).
105. * Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. Киев: Timpani, 2004 (с нем.).
106. Мазья В., Шапошникова Т. Жак Адамар. Универсальный математик. М.: МЦНМО, 2007 (с англ.).
107. Питер Хит. Алиса глазами философов (с англ.: Н.М. Демурова — сказки, Ю.А. Данилов — философские комментарии, Ю. Ващенко — иллюстрации) (архив Ю.А.).

Аршинов Владимир Иванович — доктор философских наук, зав. лаб. Института философии РАН.

Войскунский Александр Евгеньевич — кандидат психологических наук, старший научный сотрудник МГУ им. Ломоносова.

Гридасова Людмила Герасимовна — главный экономист РНЦ «Курчатовский институт».

Гурия Георгий Теодорович — доктор физ-мат. наук, зав. лаб. Гематологического центра РАМИ, профессор МГУ им. Ломоносова.

Данилов Михаил Александрович — кандидат медицинских наук.

Демурова Нина Михайловна — доктор филологических наук, профессор Университета Российской академии образования (УРАО), литературовед и переводчик.

Кирсанов Владимир Семёнович — доктор физ-мат. наук, ведущий научный сотрудник Института истории естествознания и техники РАН.

Киященко Лариса Павловна — доктор философских наук, ведущий научный сотрудник Института философии РАН.

Коган Юрий Тихонович — кандидат техн. наук, доцент МВТУ им. Баумана.

Ланда Полина Соломоновна — доктор физ-мат. наук, профессор МГУ им. Ломоносова.

Москалёв Игорь Константинович — кандидат философских наук, научный сотрудник Российской академии государственной службы.

Морозов Юрий Сергеевич — заслуженный учитель России.

Пойзнер Борис Николаевич — кандидат физ-мат. наук, доцент кафедры квантовой электроники и фотоники радиофизического факультета Томского государственного университета.

Рудой Юрий Григорьевич — доктор физ-мат. наук, профессор, зам. главного редактора Физической энциклопедии.

Санюк Владимир Иванович — доктор физ-мат. наук, профессор кафедры теоретической физики РУДН.

Сафонов Владимир Изральевич — доктор физ-мат. наук, работал в ИАЭ им. И.В. Курчатова.

Свирский Яков Иосифович — доктор философских наук, ведущий научный сотрудник Института философии РАН.

Тарасенко Владислав Валерьевич — кандидат философских наук, старший научный сотрудник Института философии РАН.

Тищенко Павел Дмитриевич — доктор философских наук, ведущий научный сотрудник Института философии РАН.

Троценко Николай Михайлович— кандидат химических наук, ведущий научный сотрудник РНЦ «Курчатовский институт».

Трубецков Дмитрий Иванович — член-корр. РАН, доктор физ-мат. наук, профессор Саратовского государственного университета.

Шадтина Агнесса Григорьевна — вдова Ю.А. Данилова.