Я не собирался выкладывать эту статью (комбинаторика в излагаемом варианте не относится к моим интересам) и привожу сей отрывок только как добавку к статьям Дайсона и Фукса. – E.G.A.
Енс Карстен Янцен
СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ И КОМБИНАТОРИКОЙ
[· · ·]
Подставляя вместо переменных подходящие многочлены от одной переменной X, можно получать различные тождества для функции Эйлера:
∞
φ(X) =
∏
(1 – X n).
n=1
Эйлер исследовал эту функцию в связи с найденной им формулой
φ(X) =
ì
1 +
∞
p(n)X n
ü
–1
,
∑
î
þ
n=1
где p(n) – количество разбиений числа n. Комбинируя эту формулу с первым из указанных ниже тождеств, можно получить итерационную формулу для p(n), с помощью которой майор П. Макмэгон вычислил значения p(n) для n ≤ 200. Из его (опубликованной Харди и Рамануджаном) таблицы и заимствовано указанное выше значение p(200).
С помощью упомянутых выше подстановок получаются (в так называемом случае «первого порядка») следующие тождества для φ(X):
φ(X)
=∑
(–1)kX(3k² + k)/2
(Эйлер),
φ3(X)
=∑
(4k + 1)X2k² + k
(Якоби),
φ2(X)
φ(X 2)
=∑
(–1)kXk²
(Гаусс),
φ2(X 2)
φ(X)
=∑
X2k² + k
(Гаусс),
φ5(X 2)
φ2(X)
=∑
(–1)k(3k + 1)X3k² + 2k
(Гордон),
φ5(X)
φ2(X 2)
=∑
(6k + 1)X(3k² + k)/2
(Гордон),
φ(X 2) φ2(X 3)
φ(X) φ(X 6)
=∑
X(3k² + k)/2,
φ(X) φ(X 6)
φ(X 2) φ(X 3)
=∑
(–1)kX3k² + 2k,
φ2(X) φ(X 6)
φ(X 2) φ(X 3)
=∑
(
k + 1
3
)
X(k² + k)/2,
φ2(X 2) φ(–X 3)
φ(–X) φ(X 6)
=∑
(
k + 1
3
)
Xk².
Суммирование везде ведётся по целым k; в двух последних формулах
(
n
3
)
– это символ Лежандра, т.е. –1, 0 или 1, смотря по тому, с чем сравнимо число n по модулю 3. В скобках справа приведены фамилии математиков, впервые обнаруживших формулу. Подстановку, приводящую к тождеству Якоби, указал Макдональд, а подстановку, с помощью которой получается первое тождество Гаусса, – Дж. Леповски. Подстановки для всех остальных случаев нашёл В. Г. Кац.
Я надеюсь, эти примеры убедили вас, что теория представлений может подарить комбинаторике не только проблемы, но и интересные результаты.
Литература
ПО КОМБИНАТОРИКЕ:
C. Schensted, Longest increasing and decreasing sequences. Canad. J. Math. 13 (1961), 179–192.
M. P. Schützenberger. Quelques remarques sur une construction de Schensted. Math. Scand. 12 (1963), 117–128.
C. Greene. An extension of Schensted's theorem. Advances in Math. 14 (1974), 254–265.
Combinatoire et Représentation du Groupe Symétrique (ed. D. Foata). Springer, Lecture Notes in Math. 579, Berlin – Heidelberg – New York, 1977.
ПО ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ:
G. Frobenius. Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. Sitzungsber. Preuss. Akad. Berlin, 1900, стр.516 и далее. [См. также: Г. Фробениус. «Теория характеров и представлений групп». Харьков, 1937. – Перев.]
I. Schur. Über eine Klasse von Matrices, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Diss. Berlin, 1901.
D. E. Littlewood, A. R. Richardson. Group characters and algebra. Phil. Trans. Roy. Soc. A, 233 (1934), 99–141.
G. de B. Robinson. On the representations of the symmetric group. Amer. J. Math. 60 (1938), 745–760.
H. Weyl. The Classical Groups. Princeton, 1946. [Имеется перевод: Г. Вейль. «Классические группы, их инварианты и представления». М., ИЛ, 1947.]
D. E. Littlewood. The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, 2nd ed. Oxford, 1950.
J. S. Frame, G. de B. Robinson, R. M. Thrall. The hook graphs of the symmetric group. Canad. J. Math. 6 (1954), 316–324.
G. D. James. The Representation Theory of the Symmetric Groups. Springer, Lecture Notes in Math. 682, Berlin – Heidelberg – New York, 1978.
ПО ТОЖДЕСТВАМ ДЛЯ φ(x):
L. Euler. Observationes analyticae variae de combinationibus, 1741–1743, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 13 (1751), 64–93 (= Opera Omnia, Serie 1, Band 2, Leipzig – Berlin, 1915, 163–193).
L. Euler. Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum, 1754–1755, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1760), 75–83 (= Opera Omnia, там же, 309–398).
C. F. Gauss. Summatio quarundam serierum singularum, 1808, Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores 1 1811 (= Werke, Band 2, Göttingen, 1876, 9–45).
C. F. Gauss. Zur Theorie der transscendenten Funktionen gehörig, по-видимому около 1808; впервые опубликовано в: Werke, Band 3, Göttingen, 1876, 436–445.
C. G. Jacobi. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Regensburg, 1829 (= Ges. Werke, Band 1, Berlin, 1881, 49– 239).
P. Bachmann. Die analytische Zahlentheorie. Leipzig, 1894.
G. H. Hardy, S. Ramanujan. Asymptotic formulae in combinatory analysis. Proc. London Math. Soc. (2) 17 (1918), 75–115.
G. H. Hardy, E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. 5th ed. Oxford, 1979.
B. Gordon. A combinatorial generalization of the Rogers–Ramanujan identities. Amer. J. Math. 83 (1961), 393–399.
G. E. Andrews. The Theory of Partitions. Reading, Mass., 1976. [Имеется перевод: Г. Эндрюс. «Теория разбиений». М., Наука, 1982.]
ПО ТОЖДЕСТВАМ МАКДОНАЛЬДА:
I. G. Macdonald. Affine root systems and Dedekind's η-function. Invent. Math. 15 (1972), 91–143.
В. Г. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли и η-функция Дедекинда. Функциональный анализ и его прилож., 8 (1974), с.68–70.
R. V. Moody. Macdonald identities and Euclidean Lie algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1975), 43–52.
J. Lepowsky. Macdonald-type identities. Advances in Math. 27 (1978), 230–234.
J. Lepowsky. Generalized Verma modules, loop space cohomology and Macdonald-type identities. Ann. Scient. ec. Norm. Sup. (4) 12 (1979), 169–234.
V. G. Kac. Infinite dimensional algebras, Dedekind's η-function, classical Möbius function and the very strange formula. Advances in Math. 30 (1978), 85–136.
