Л.Морделл. Размышления математика

Мысли о творчестве больших мастеров, высказанные ими самими, всегда представляют интерес. Они вводят нас в рабочую лабораторию автора, показывают, как формировались его научные вкусы, что побудило его заняться той или иной областью науки. Часто они содержат — пусть иногда спорные — суждения о разных аспектах его специальности, месте и роли избранной им проблематики, новых тенденциях в развитии, оценки деятельности его коллег и т.п. К сожалению, такого рода мемуарная литература, особенно доступная широкому кругу читателей, в области математических, наук весьма скудна. Поэтому следует приветствовать перевод «Размышлений» одного из крупных английских математиков современности профессора Л. Морделла, который в течение многих лет работал в Манчестерском университете, а затем был приглашён в Кембридж на главную математическую кафедру Великобритании, которую ранее занимал Харди.

«Размышления» Морделла интересны ещё и потому, что они, с одной стороны, ярко характеризуют судьбу «чистого» математика в капиталистических странах, где — в особенности в Великобритании — фундаментальным исследованиям, не связанным с прикладными вопросами, долгое время не придавалось большого значения. (Харди был как раз первым английским математиком, которому удалось в двадцатых годах нашего столетия добиться полного признания важности современных математических исследований в английских университетах.) С другой стороны, автор «Размышлений» объективно оценивает тот большой вклад, который сделали советские математики в развитие теоретической и абстрактной математики (в частности, теории чисел). Брошюра была издана Морделлом в 1959 году, и поэтому в некоторых своих научных утверждениях она несколько устарела, что, однако, не снижает её ценности для читателей, не являющихся специалистами в данных областях математики. Вместе с тем она содержит прогнозы, не утратившие своей актуальности и по сей день, например, относительно роли электронных вычислительных машин в прогрессе математических наук.

Морделл занимает несколько особое место среди математиков середины двадцатого века. Его отличают сравнительно редкая оригинальность мышления, пристрастие к трудным, долгое время не поддававшимся решению проблемам, исключительное упорство в поисках решения, а также пристальный интерес к задачам элементарной математики. Многим читателям будет небезынтересно ознакомиться с одним примером этой последней стороны деятельности Морделла.

Ещё в 1905 году Несбиттом (сравнительно мало известным английским математиком) было сформулировано в виде задачи неравенство (впоследствии перешедшее во многие элементарные задачники):

для всех x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0. Это неравенство легко доказывается многими способами. В дальнейшем возник на первый взгляд нетрудный вопрос об обобщении этого неравенства на n>3 чисел:

для всех x_k ≥ 0, k = 1, 2, ..., n. Однако многочисленные и длительные попытки доказать это неравенство (несколько неточно называемое циклическим неравенством Диананды — математика из Сингапура) не привели к успеху. Только в 1958 году именно Морделлу удалось весьма изящно доказать его для n=4, 5 и 6, чем был сделан первый шаг в решении этой труднейшей задачи. Отметим, что теперь известна справедливость неравенства для n=7, 8, 9 и 10 (доказательства весьма сложны) и то, что оно неверно для n=14, 16, 18, 20, 22, 24 и для n ≥ 26. Под вопросом справедливость неравенства остаётся только для n = 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23 и 25. Известно также, что оно верно для всех n, если x₁, x₂, ..., x_n образуют монотонную последовательность. В 1969 году советский школьник Володя Дринфельд доказал, что в общем случае

«Размышления» Морделла — интересный человеческий документ нашей эпохи, изобилующий свежими мыслями о математике как науке и как профессии, искренне написанный учёным, объективно оценивающим состояние этой науки во всём мире и свою роль в ней. Несомненно, «Размышления» найдут благодарных читателей среди нашей молодёжи и всех тех, кто интересуется историей науки вообще и математики в особенности.

Введение

В основу этой небольшой книжки положено содержание послеполуденного доклада, с которым в январе 1955 года я имел честь выступить перед членами Канадского королевского общества в Торонто. Это общество объединяет не только учёных, и моя задача была довольно затруднительной, поскольку среди присутствующих находились, наверное, только два или три математика. Трудно подготовить доклад для математической аудитории, требующей, чтобы он был хорошо понятным, но в то же время достаточно содержательным. Но насколько труднее заинтересовать аудиторию, состоящую из нематематиков!

И вот о чём я подумал, получив приглашение. Я, по существу, уже «бывший» математик, Почётный Профессор, то есть профессор Кембриджа в отставке, которому представилась возможность ещё два года работать в должности приглашённого профессора в Торонто. По общепринятым у математиков оценкам мою карьеру нельзя назвать неудачной. Мои работы оказали определённое влияние на некоторые разделы современной математики, и моё общение — как личное, так и через публикации — со многими математиками, особенно с молодыми, помогало им развить свои способности. Кроме того, я читал лекции в восьмидесяти университетах, институтах и на конгрессах Великобритании, большей части Европы, Индии, Пакистана, Канады, США, Западной Африки, Судана и Уганды. Поэтому есть основания надеяться, что некоторые мои идеи, взгляды и мнения, касающиеся математики и математиков, могут иметь какой-то интерес,

Доклад вызвал значительную дискуссию, видимо, потому, что многие идеи, в нём содержавшиеся, оказались созвучными идеям, важным для исследователей других областей. Возможно, эти идеи давно уже созрели в умах этих исследователей и просто необходим был случай для окончательного их оформления. Что так бывает, я знаю по себе. Беседа всегда помогала мне в кристаллизации мыслей, и я использовал свой доклад, чтобы придать им должную форму и привести их в систему.

Впоследствии я выступал с этим докладом на математическом отделении университета в Торонто, на неофициальной встрече во время Канадского математического конгресса, в университете Мак-Гилла, на Математическом обществе Глазго, на Математическом обществе Манчестера, в Абердинском университете, в университетских колледжах Уганды и Нигерии и в Кембриджском университетском клубе философии науки. Часто выражались пожелании, чтобы я опубликовал доклад, и теперь я рад это сделать. Я прибавил ещё несколько разделов, включая раздел о функциях компьютеров; желательность осветить эту тему выявилась в ходе дискуссии в Торонто. Я добавил несколько других замечаний, а также ряд математических деталей. Думаю, что изменения не оказались столь серьёзными, чтобы сделать книжку недоступной для нематематиков.

I. Что такое математика?

Прежде всего, что такое математика? Многие математики, логики и философы давали определения, которые, на мой взгляд, не могут быть удовлетворительными, особенно для тех, кто неспециалист в математике. Я не буду пытаться сделать это лучше. Достаточно трудно определить даже какую-нибудь одну отрасль математики. Термин «геометрия» знаком всем, но далеко не всем известно его значение. Это слово, особенно в прежние времена, часто употреблялось многими как синоним математики, и о геометре говорилось в том же смысле, в каком мы говорим о математике. Выдающийся геометр Принстонского университета, профессор Веблен определил геометрию как именно ту часть математики, которая должна называться геометрией по мнению большинства специалистов (т.е. название устанавливается большинством голосов. — Ред.). В наше время многие математики рассматривают геометрию как ветвь алгебры. Но само понятие «алгебра» подверглось сильному изменению в течение последнего столетия. Многие годы существовала дисциплина, известная под названием «алгебра», по поводу содержания которой не возникало сомнений. Затем она поглотила значительную часть теории инвариантов и теории групп и сделалась «высшей алгеброй» или просто «алгеброй». Значительное её развитие в течение последних тридцати пяти лет привело к возникновению термина «абстрактная» алгебра или «современная» алгебра. И никто сейчас не может предсказать, как долго она будет оставаться «современной» или «абстрактной».

Так что же такое математика? Она имеет так много различных аспектов, что дать ей определение так же трудно, как сформулировать критерий для отнесения живого организма к животным или растениям. Иногда нельзя с уверенностью сказать, принадлежат ли данные теоремы и их вывод к математике или они относятся к логике. Пожалуй, будет понятнее и полезнее всего, если я скажу, что математика, вероятно, начинается там, где возникает понятие числа обычно в явной, но иногда и в неявной форме, а в некоторых случаях в столь скрытой, что его можно обнаружить, только как следует подумав. Понятие числа может возникнуть по-разному, например, при счёте, как средство количественных оценок материальных объектов, как абстракция всевозможных измерений, как понятие, связанное с явлениями природы. Так, геометрия имеет своим истоком проблемы, возникшие при измерении земельных участков. Естественная любознательность человека пробудила в нём желание иметь надёжный логический фундамент под эмпирическими результатами, которые были ему хорошо известны. Дальнейшие размышления на эту тему привели к зарождению древнегреческой геометрии.

Ещё до этого человек научился думать о числах вне связи с теми предметами, от которых они произошли. Я не буду пытаться дать определение натуральных чисел 1, 2, 3 и т.д., а просто повторю фразу Кронекера, который сказал: «Бог создал натуральные числа. Всё остальное — дело рук человека». Для этого человеку нужны были пытливость, способность к наблюдению и экспериментированию, сила разума и логика. Некоторые свойства натуральных чисел были изучены уже на самой ранней стадии. Евклид в своей IX книге рассматривает свойства чётных и нечётных чисел, устанавливая, например, что сумма двух чётных и двух нечётных чисел есть число чётное. Но даже чисто практические проблемы заставляли изучать дальнейшие свойства чисел. Возьмите знаменитый результат Пифагора, связывающий длины сторон прямоугольного треугольника. В самом простом случае стороны треугольника относятся как 3:4:5, и это — очень полезный результат для построения прямого угла. Неизбежно возник вопрос — существуют ли другие прямоугольные треугольники с целыми сторонами, и вскоре был обнаружен треугольник с соотношением 5 : 12 : 13. Далее мы приходим к проблеме отыскания целых чисел x, y, z, таких, чтобы выполнялось равенство x² + y² = z². Элементарными средствами можно показать, что решение проблемы даётся соотношениями:

где a и b — любые целые числа; отсюда можно извлечь сколько угодно решений. Но теперь, конечно, возникает следующий вопрос: все ли целочисленные решения, удовлетворяющие условию, что x, y и z не содержат общего множителя, а y — чётно, охватываются нашими формулами? Это настоящая математическая проблема, решение которой связано с арифметическими свойствами чисел, и хотя древние греки знали эти свойства, но они не решили задачу. Приоритет здесь принадлежит, по-видимому, неизвестному арабскому математику, написавшему манускрипт, датированный 972 годом нашей эры. Возникли и другие вопросы, касающиеся квадратов и кубов, и на многие из них можно было дать ответы уже с помощью тех элементарных методов, которые были тогда известны. Много результатов было получено в четвёртом веке нашей эры Диофантом, написавшим на эту тему целую книгу. Под диофантовым уравнением понимается теперь уравнение f (x, y) = 0, если нас интересуют его рациональные решения — либо целые, либо дробные. Проблема этого уравнения имеет многовековую историю, и только в нашем столетии были получены наиболее существенные результаты, к ней относящиеся.

Я хочу раз и навсегда подчеркнуть, что термин «математика» употребляется в данной книжке в том смысле, какой в Великобритании вкладывают обычно в термин «чистая математика», противопоставляемой прикладной математике, натуральной философии и теоретической физике; соответственно употребляется и термин «математик». Основной наш интерес будет связан с результатами, теоремами, методами и доказательствами некоторых положений, а не с практическими приложениями их или с рассмотрением явлений внешнего мира. Иногда бывает полезным, удобным и более наглядным выражать математическую проблему в терминах материальных объектов. Но даже когда исследуются материальные процессы, многие люди больше всего интересуются математической стороной дела; такие люди должны быть отнесены к математикам. Хорошо известно, что как раз такой интерес ведёт к фундаментальному развитию чистой математики. Других больше всего интересует материальный мир; они рассматривают математику как исключительно ценное и мощное средство исследования. Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики — помощь другим наукам.

Стало уже общепринятым утверждение, что быстрее всего развиваются те науки, фундаментальные результаты которых могут быть сформулированы математически. Используя математические методы, выводят важнейшие следствия, которые иным способом вряд ли можно было бы получить. Одно это, не говоря уже о других аспектах, оправдывает претензии математики на титул Королевы наук.

II. Становление математика

Как становятся математиком? Возможностей заинтересоваться математикой существует, вероятно, больше, чем любой другой наукой, и многие выдающиеся математики проявляли несомненные признаки математического гения в самом раннем возрасте. В начальной школе все дети учат арифметику. Это, конечно, простая форма математики, но в ней скрыты большие возможности. Например, сложение целых чисел может подсказать проблему об отыскании суммы ряда 1+2+3+... . Гаусс, один из величайших математиков мира, будучи ребёнком, открыл метод отыскания этой суммы, который, действительно, употребляется при суммировании арифметической прогрессии. Далее, такие известные всем понятия, как линия, треугольник и квадрат, таят в себе возможности геометрических открытий. Говорят, Паскаль в двенадцатилетнем возрасте самостоятельно открыл часть геометрии Евклида,

Математика, обычно изучаемая в средних школах США и Канады, а именно алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия, иногда оказывает стимулирующее действие на способных учеников. Но в большинстве случаев интерес к математике у студентов этих двух стран проявляется не раньше второго-третьего года обучения в колледже.

В британских школах второй ступени давно уже для способных к математике учеников практикуется преподавание аналитической геометрии и анализа. Более того, такие ученики обычно получают хорошую математическую практику, готовясь ко вступительным экзаменам. К тому времени, когда они поступают в университет, их влечение к математике и желание работать в этой области бывают уже довольно ярко выраженными.

Небезынтересно напомнить, что Исаак Ньютон, поступая в 1661 году в девятнадцатилетнем возрасте в Тринити-колледж, почти не знал математики, кроме, разве, арифметики.

Иногда учебники математики, даже весьма старые, попавшись случайно на глаза школьнику, могут заразить его желанием изучить предмет подробнее. Воображение индийского математика Рамануджана было разбужено чтением наиболее трудных глав «Тригонометрии» Лони. Мой интерес к алгебре пробудился в тринадцать или четырнадцать лет, когда я нашёл в знаменитом букинистическом магазине в Филадельфии старый американский учебник алгебры — вероятно, это был «Полный курс алгебры» Фиклина, вышедший в 1875 году. Необъяснимо, почему книга может так привлечь ребёнка, произвести на него такое сильное впечатление и оказать воздействие на его развитие. Его увлечение возрастает, когда ему удаётся понять содержание книги, несмотря на все трудности, и успех окрыляет его на дальнейшие попытки. Часто он быстро решает задачу, которая требует у его школьных друзей много времени и усилий или вообще не поддаётся им. Он начинает понимать красоту математики всё больше и больше, его интерес растёт, и вскоре ему открывается огромное разнообразие математики. Дальше он уже не может противостоять своему влечению и делает математику своим главным занятием.

Его решение крепнет после успешной сдачи экзаменов. Однако некоторые великие математики, например Галуа и Эрмит, не блистали на экзаменах. А совсем недавно доказательство догадки об аппроксимации алгебраических чисел, которое искали многие сильнейшие математики мира, было дано человеком, чья зачётная книжка Кембриджа была отнюдь не столь прекрасной, как можно было бы предположить по его выдающемуся результату. Видимо, для успешной сдачи экзаменов нужны некоторые качества, каковыми может и не обладать прирождённый математический талант.

С другой стороны, по прекрасным экзаменационным оценкам не всегда можно предсказать блестящее математическое будущее. Бывает, что тот, кто подавал большие надежды в школе и в колледже, оказывается беспомощным, когда перед ним встают серьёзные и творческие проблемы. Некоторые при этом осознают, что математика — не их стихия. Так, в прошлом целый ряд студентов Кембриджского университета, чьи работы были удостоены особого отличия, в дальнейшем, если судить по важности их работ, не сделали в математике чего-либо стоящего.

Но никто не пойдёт далеко в математике и не станет настоящим математиком, если не обладает некоторыми необходимыми качествами. В нём должны жить Вера, Надежда и Любопытство, и самое важное из этих качеств — Любопытство. Он должен постоянно спрашивать себя — почему, как и когда, и это должно быть главной пружиной, которая двигает им. Он должен верить в свои способности, в свою силу и надеяться на успех. Он никогда не должен отчаиваться, а должен всегда идти вперёд и не позволять себе предаваться надолго унынию. Никто больше его не нуждается в пословице: «если сразу не удалось, пытайся, пытайся, пытайся ещё».

Мы уже говорили, что ребёнок, начав изучать математику в школе, может серьёзно увлечься ей. Поэтому не удивительно, что математики часто созревают как исследователи гораздо раньше, чем представители других наук, и делают великие открытия в возрасте до двадцати лет или не достигнув тридцати. Говорят, что в этом возрасте они делают свои лучшие работы, и поэтому математику называют «забавой молодых». Действительно, многим математикам в молодые годы удавалось вносить большой вклад в математику и решать проблемы, которые долго не поддавались более старым математикам. Можно привести много ярких примеров такого рода. Следовательно, можно ожидать, что математики по сравнению с другими учёными получают более раннее признание. Это так и есть, и подтверждается средним возрастом, в котором математик получает профессорское звание или выбирается в Королевское общество.

Харди в своей «Исповеди математика», говоря о возрасте, в котором математик делает свою лучшую работу, пишет, что он не знает ни одного примера крупной математической работы, принадлежащего человеку старше пятидесяти лет. Многое зависит от определения термина «крупная работа». Но я могу сказать, что уже после пятидесяти лет, в 1940 году, я сделал открытие, которое многие молодые математики охотно бы записали на свой счёт. Около двухсот лет назад Лагранж нашёл наилучшую возможную оценку для минимума значения определённой бинарной квадратичной формы ax² + bxy + cy² для целых значений x и y, не равных одновременно нулю. Соответствующий результат для неопределённой формы был получен А. Марковым в 1879 году. Для бинарной кубической формы ax³ + bx²y + cxy² + dy³ частичные и неполные результаты были найдены около 1858 года Эйзенштейном, Арндтом и Эрмитом. В течение восьмидесяти лет эти результаты были последним словом в этой области, поскольку не видно было путей для их улучшения. Казалось, что математики охладели к этой проблеме. Тем не менее в 1940 году я заинтересовался ею и сумел получить результат, наилучший из всех возможных. Доказательство потребовало использования новых методов, и они оказались пригодными для более широких приложений. Обнаружились новые возможности и стали доступными для исследования проблемы, к которым, казалось, не было никаких подступов. Всё это явилось мощным стимулом и знаменовало начало нового большого продвижения в «геометрии чисел», осуществлённого Малером, Дэвенпортом, К. А. Роджерсом и другими. В прошлом, практически все работы касались выпуклых областей, а теперь были получены результаты для невыпуклых областей, что очень расширило наши знания. Вероятно, здесь можно провести аналогию с тем положением, которое создалось, когда математики, ранее изучавшие сходящиеся ряды, нашли средства анализа расходящихся рядов.

III. Трудности изучения математики

Некоторые математические утверждения, такие, например, как 2+2=4, 2×2=4, считаются очень легко доказуемыми или вовсе не нуждающимися в доказательстве. Многие не понимают, что для них оказалось бы чрезвычайно трудным дать удовлетворительное доказательство этих утверждений. Они не сознают, что фактически они пренебрегают определениями тех терминов, которые постоянно употребляют, а также теми предположениями, которые можно брать за исходные.

Вообще говоря, студенты, как и всякий случайный человек, считают математику очень трудным предметом, что бы ни означало для них слово «трудный», и многие люди жалуются на то, что они совершенно не способны к математике. Хотя в этой науке есть много вещей, часто пустяковых и лёгких для понимания, я, выступая как математик-профессионал, посвятивший математике большую часть своей жизни, могу засвидетельствовать, что любой аспект математического творчества изобилует трудностями — будь то изучение результатов, полученных другими, будь то решение проблем, поставленных другими или самим, будь то исследование нового.

Изучение математики осложняется многими факторами. Чтобы следить за математическими аргументами, даже если они коротки, обычно требуется огромная концентрация внимания. Но часто вывод требует длинного доказательства, содержащего много промежуточных результатов. С трудом продираясь через эту чащу, причём не видя никакой связи с окончательной формулировкой теоремы в этих результатах, а часто и забывая их, читатель начинает постепенно переутомляться массой деталей. Требуется большое усилие, чтобы уловить основную идею вывода и увидеть всё доказательство в целом.

Но даже когда доказательство закончено, возникает чувство неудовлетворённости, хотя с точки зрения логики всё обстояло безукоризненно, — подобное чувство появляется при чтении доказательств Евклида. Читатель ощущает какие-то пропуски. Аргументы могут быть представлены в таком виде, что остаётся неясным, зачем нужно доказательство, на чём оно основано и почему оно удалось.

Значительные трудности наблюдаются при изучении наиболее разработанных областей математики. Многие важнейшие, жизненно необходимые работы, сделанные за последние пятьдесят лет, основаны на новых идеях, а новые идеи всегда исключительно трудны для восприятия. Когда знакомишься с ними впервые, они кажутся настолько странными, неуловимыми и далёкими от привычного нам образа мышления, что чувствуешь себя совершенно растерянным. Всё, что в этом случае можно сделать, — это читать и перечитывать, и постепенно смутные очертания, которые казались полностью лишёнными реальности и даже содержания, начинают принимать более определённую форму, странность исчезает благодаря многократному соприкосновению, и, наконец, мы оказываемся способными заметить в новой идее то главное, что в ней есть, её значение и её силу и даже её великую простоту, вложенную во множество аргументов.

Доказательство может потребовать знания нескольких областей математики, и читая соответствующую литературу, мы постепенно отступаем всё дальше и дальше назад, пока не начинаем терять из виду первоначальную цель и впадать в отчаяние. Это может случиться даже с математиком, открывшим новые и фундаментальные идеи. Дальнейшее развитие другими полученного им результата может потребовать знания таких разделов, которыми он сам пренебрегал или считал далёкими от его научных интересов. Тогда он должен удовлетворяться лишь взглядом с птичьего полёта на обетованную землю, открытую им для других.

Я сам признаюсь во многих безуспешных попытках полностью понять или освоить вещи, имеющие для меня особый интерес. Мой ум иногда оказывался неспособным воспринять их. В них было слишком много нитей, которые я никак не мог связать воедино.

IV. Трудности, возникающие из-за неудачного преподнесения материала

Этот раздел достоин того, чтобы его выделить, поскольку невозможно переоценить трудности, создаваемые для читателя неудачным преподнесением материала. Не так-то легко изложить аргументы в простой, логически ясной форме с акцентированием важных пунктов. Иногда определение с самого начала оказывается недостаточно чётким, и приходится гадать, что оно на самом деле означает. Многие авторы не представляют, насколько необходимо и важно не жалеть никаких усилий на то, чтобы помочь читателю понять, о чём идёт речь. В доказательствах Евклида посылка и следствие приведены для каждого утверждения, и можно ясно видеть, что если A влечёт B, а B влечёт C, то A влечёт C. Если же мы просто заявим, что A влечёт C, то не всегда будет легко восстановить промежуточный шаг B. Он бывает достаточно ясен для автора, но читатель рискует запутаться. Немудро поступают те авторы, которые слишком многое предлагают принять на веру. Однако, с другой стороны, следует избегать ненужных избыточных деталей, и очень нелегко найти здесь правильное соотношение. Иногда доказывают слабый результат с помощью утомительных подробных выкладок, тогда как доказательство должно быть очевидным для каждого читателя. В иных случаях без всякого объяснения приводятся требующие проверки утверждения, убедиться в правильности которых читатель может лишь приложив большие усилия.

Читатель стремится мыслить экономно и сводить к минимуму усилия, необходимые для постижения предмета. Далеко не каждый рассматривает чтение как разновидность исследования. Читателю обычно хочется, чтобы все трудности были заранее сглажены так, чтобы ему можно было легко следить за аргументацией, затрачивая наименьшие усилия.

В дополнение к трудностям понимания существуют и другие факторы, легче устранимые, которые вызывают умственное утомление. Они могут вызываться используемой системой обозначений, содержащей странные и малоизвестные символы, или если символ начинают использовать много времени спустя после того, как он был определён, то есть когда его значение уже полностью забыто. Нелегко удерживать в памяти сразу большое количество символов — их обилие мешает ясному восприятию сути дела. Не следует приводить новые определения, которые не являются необходимыми и легко могут быть опущены. Формулы могут быть напечатаны таким образом, что их смысл трудно понять. Значительные трудности возникают при попытках читателя понять общий смысл длинного уравнения или тождества, содержащего много членов с верхними и нижними индексами, каждый из которых требует внимательного рассматривания для определения его значения. Иногда длинное равенство может быть различными способами преобразовано. Каждое последующее равенство по необходимости должно внимательно проверяться читателем для выяснения, чем последующее равенство отличается от предыдущего, так как автор умолчал, что он делал. Вообще, всегда полезно, если автор относится к читателю доверительно. Предположим, он хочет исключить из нескольких уравнений какие-то неизвестные. Если он скажет об этом, читатель легко поймёт значение преобразований или используемых подстановок. Если же это будет сделано без комментариев, читатель будет долго раздумывать, пока смысл выкладок не прояснится из дальнейшего.

V. Как работает математик?

Как работают математики? Существует большое разнообразие условий, при которых они могут работать, и приёмов, которые ими используются. Некоторые математики требуют полной тишины, другие спокойно относятся к шуму и к факторам, отрывающим от работы. Одни способны работать много часов подряд, другие устают после часа или двух занятий. Некоторые предпочитают трудиться в определённые часы, а другие считают это для себя невозможным. Не каждому легко сконцентрироваться в определённое время суток, особенно если для этого нет настроения. Мозг отказывается функционировать, и невозможно тогда ни думать, ни делать что-либо.

Мыслят математики совершенно по-разному. Некоторые не могут этого делать без бумаги и карандаша. Их мышление не только значительно стимулируется наличием этих предметов, но и часто вообще невозможно без них. Свободные размышления, конечно, при этом не исключаются, но после них карандаш и бумага бывают необходимы. Другие математики умеют своим внутренним взором охватывать длинные цепи логического вывода и громоздких вычислений и видеть их с полной отчётливостью. Часто стимулирующим фактором является беседа с другим математиком, и именно таким методом было сделано немало совместных работ. Некоторые считают очень полезным чтение лекций или проведение семинаров. Общение с коллегами и со студентами нередко давало мне плодотворные идеи, но я не написал ни одной совместной работы; я могу работать только в одиночестве в тиши кабинета, а это исключает соавторство.

Интуиция, прозрение или как бы это ни называлось — важный элемент исследования. Когда сталкиваешься с увлекательной проблемой и углубляешься в неё, случается, что, встретившись с трудностями, вдруг проникаешься верой, что существует путь, ведущий к их преодолению, и этот путь на самом деле отыскивается. Наверное, именно так случалось, когда были сделаны лучшие математические открытия. Новая идея, однако, может быть только началом, и потребуются дальнейшие усилия и эксперименты. Математическое экспериментирование подобно экспериментированию в естественных науках. Исследование может оказаться утомительным и влекущим множество безуспешных попыток; в этом случае начинаются отчаянное барахтанье и блуждания в разные стороны, Однако это нельзя расценивать как бесполезную трату энергии и времени, поскольку здесь проверяется много различных путей и может быть найден наиболее правильный из них. Так постепенно возникают новые результаты и доказывается новая теорема. Нелишне напомнить, что для того, чтобы доказать, что A=B, бывает полезным доказать сначала, что X=Y.

Иногда испытываешь ощущение, что копаешь ценную руду, что в ней что-то содержится, хотя и не знаешь точно — что это и где оно. Тогда начинаешь кидаться туда и сюда без всякой видимой пользы, но каждый такой поиск может дать неожиданный эффект и помочь обнаружить самородок такой величины, о котором нельзя было и мечтать.

Многие математики и психологи отводят большую роль подсознанию. В математическом творчестве часто сталкиваешься с препятствиями, о которые разбиваются все твои усилия. В этих случаях рекомендуется на время отставить проблему. Когда возвращаешься к ней после перерыва, она может быть решена почти без малейших усилий. Она падает к твоим ногам, как созревшее яблоко.

Вспоминаю, что когда я занимался очень трудной проблемой нахождения минимума значения кубической формы от двух переменных, то я натолкнулся на такие препятствия, которые показались мне сначала непреодолимыми. Но, размышляя над предметом несколько позже, во время воскресного отдыха, я одолел их столь легко, что не мог понять, почему они причинили мне так много огорчений.

VI. Истоки проблем

Как математик разыскивает проблемы, которыми он начинает заниматься? Мы знаем, что числа и фигуры при нормальном любопытстве развитого человека представляют собой обильный источник их. В разное время так возникали многие знаменитые проблемы, например трисекция угла или квадратура круга в евклидовой геометрии, которые нужно было разрешить, пользуясь лишь циркулем и линейкой. Вплоть до девятнадцатого века не удавалось доказать, что эти построения невозможны, хотя их безуспешно искали сотни выдающихся математиков со времён древних греков. Последняя теорема Ферма — а именно: что если n — целое число, большее двух, то не существует двух положительных n-х степеней, сумма которых есть тоже n-ая степень, — представляет собой другой пример проблемы, не получившей пока общего решения, несмотря на трёхсотлетние усилия. К счастью, стремление решить эту проблему привело Куммера, Дедекинда и других к великим открытиям в теории чисел. Требуется много времени, чтобы разобраться в проблеме, поставленной ещё в древние времена. Довольно неожиданно, также всего около двухсот лет назад, Гольдбах высказал предположение, что всякое чётное число, превосходящее двойку, есть сумма двух простых чисел, и это предположение до сих пор не доказано, хотя его справедливость установлена для всех чётных чисел вплоть до 200 000. Но эти знаменитые проблемы — не такие вещи, на которые целесообразно тратить время. Шансы на успех тут слишком малы, поэтому математики обращают своё внимание на что-нибудь менее безнадёжное.

Проблема может прийти на ум во время чтения статьи или книги, во время лекции. Доказательство может показаться слишком длинным, довольно сложным или непрямым, трудным для понимания. Пытаясь разобраться в нём или найти более короткое доказательство, мы можем заметить, что основная идея является частным случаем более общей идеи; можем установить также, что идея пригодна для дальнейших неожиданных приложений. Иногда наши усилия могут привести к другой проблеме, большего значения, чем породившая её. Часто беседа, просьба помочь со стороны нематематика, научный доклад или проведение семинара могут привести впоследствии к чему-то стоящему. Отличительная черта хорошего математика состоит в том, что он всегда сумеет найти проблему и всегда обычно занят решением одной из них.

Иная формулировка проблемы и её положений может иметь огромное значение. Они часто приводят к возникновению множества других проблем и содействуют дальнейшему развитию... Но существует и обратный путь: дано решение — в чём же сама проблема? Когда идея или метод открыты, всегда стоит подумать о возможности дальнейших её приложений, даже в тех областях, которые кажутся весьма отдалёнными от области, в которой идея родилась. Так, например, когда я нашёл метод оценки числа решений некоторых уравнений с двумя неизвестными, его осмысление показало, что он может быть применён совсем неожиданно к оценке экспоненциальных сумм.

Несмотря на то что математика всепроникающа, границы, отделяющие известное от неизвестного, находятся совсем рядом, и препятствия, составленные из нерешённых проблем, может видеть каждый. Легко, например, доказать, что всякое натуральное число есть сумма не более пяти кубов целых чисел, но не доказано, что достаточно четырёх кубов. Последнюю проблему чрезвычайно трудно исследовать, не говоря уж об её доказательстве, поэтому о ней написано очень немного статей.

Проблемы и продвижения в математике могут появляться самыми неожиданными путями, скажем, из повседневных вопросов. Сейчас, например, когда так популярен футбол, каждый уверен, что он представляет себе, что такое шанс, вероятность, средняя величина и, конечно, перестановки. Хорошо известно, что теория вероятностей — столь важная и быстро развивающаяся часть математики — родилась из вопросов, поставленных перед Паскалем его другом; два равноценных игрока хотят прекратить игру раньше срока; в какой пропорции они должны разделить банк, если известен счёт каждого и ставка игры?

Даже наша обыденная жизнь, скажем, необходимость для большинства из нас ездить на работу на автобусе, может поставить перед нами математические проблемы того или иного плана. Если интервалы движения автобуса в среднем равны десяти минутам, то каждый понимает, что среднее время ожидания будет пять минут. Но представьте, что вы стоите на углу, где можно сесть на автобусы двух различных маршрутов, оба следующие с интервалам в десять минут независимо друг от друга. Сколько в среднем придётся ждать в этом случае? Ответ здесь требует уже большего, чем интуиция и здравый смысл, так как вопрос принадлежит к разряду математических. Его решение дано в приложении.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Среднее время ожидания 3 минуты 20 секунд. Действительно, пусть в момент, когда начинается ожидание, два автобуса находятся соответственно на расстоянии x и y минут езды от угла, где все значения x и y между 0 и 10 равновероятны. Время ожидания в минутах есть min(x, y), то есть наименьшее из значений x, y или любое из этих значений, если они равны между собой. Тогда E — среднее время ожидания — определяется с помощью двойных интегралов:

10 10 10 10

E · ∫ ∫ dx dy = ∫ ∫ min(x, y) dx dy.

0 0 0 0

Из-за симметрии правая часть есть

10 10 10

2 ∫ ∫ x dx dy = 2 ∫ x(10 – x) dx = 10³
3
,

0 x 0

поэтому

E = 10
3
.

Если имеется n автобусов, среднее время ожидания будет 10/(n+1). Здесь понадобится уже n-кратный интеграл, который даст для E следующее:

10 10 10

10ⁿE = ∫ ∫ ... ∫ min(x₁, x₂, ..., x_n) dx₁ dx₂ ... dx_n =

0 0 0

10 10 10 10

= n ∫ ∫ ... ∫ x₁ dx₁ dx₂ ... dx_n = n ∫ x(10 – x)^n–1 dx.

0 x₁ x₁ 0

Поэтому

1 1

E = 10n ∫ x(1 – x)^n–1 dx = 10 ∫ (1 – x)ⁿ dx = 10
n + 1
.

0 0

VII. Решение проблем

Как мы решаем или «создаём» проблемы? Бывает, что знание предмета — и в этом состоит одно из преимуществ знакомства с литературой — помогает сразу увидеть, как нужно действовать. Такие проблемы можно отнести к лёгким. Конечно, знанием специального предмета обладает не каждый. Так, например, моё знание теории модулярных функций позволило мне без особого труда доказать догадку Рамануджана об τ-функции, в то, время как многим другим доказать её было чрезвычайно трудно.

Не существует критерия для определения того, является ли данная проблема лёгкой или нет, хотя, с другой стороны, её характер иногда ясно говорит о том, что она должна быть трудной. Мы можем просидеть над задачей долгое время и наконец найти простое и элементарное решение, которое можно было бы написать в течение пяти минут, если бы наши мысли с самого начала приняли верное направление. Как Шерлок Холмс, мы можем тогда сказать: «Элементарно, мой дорогой Ватсон». Такую проблему или подобную ей с этого момента мы считаем лёгкой, по крайней мере до тех пор, пока не забыли метод её решения.

Очень многие проблемы, считавшиеся когда-то труднейшими, сейчас не считаются такими. Это изменение оценки часто можно объяснить развитием наших знаний, делающим некоторые проблемы частным случаем более общих проблем, а также продолжающимся развитием техники вычислений, благодаря которой исчезают трудности, так долго причинявшие беспокойства. Скажем, отыскание длины кривой или площади криволинейной фигуры в течение нескольких веков было чрезвычайно трудной задачей, а теперь является просто упражнением в курсе анализа.

Конечно, очень важно помнить, что между важностью проблемы и её трудностью нет прямой связи. Можно назвать сколько угодно трудных проблем, которые не имеют большого значения для математической науки.

Имеется много проблем, классических и других, которые математикам очень бы хотелось решить, но которые до сего дня противостоят всем их атакам. Часто бывает полезным в таких случаях начать думать над любой другой проблемой, имеющей хотя бы отдалённую связь с первоначальной, и посмотреть, нельзя ли приспособить или модифицировать принятые там методы. Именно так в 1932 году мне удалось получить новые результаты, относящиеся к экспоненциальным суммам, — меня навело на мысль внимательное изучение некоторых работ Гаусса. Его метод, хотя и не приложимый к моей проблеме, вдохновил меня на поиски, и я пришёл к новой идее.

Часто исследователь не может добиться в решении проблемы ни малейшего успеха, но старается изо всех сил и приступает к ней снова и снова. И хотя он должен чувствовать себя в положении человека, бьющегося головой о кирпичную стену, он не должен терять терпения. Он просто обязан быть упорным. Он ловит себя на том, что не может оставить проблему, но не может в то же время оставаться прикованным к ней, как мотылёк, приворожённый светом лампы, а должен вырваться из этого плена. Проблема поглощает его мысли независимо от его желания и всплывает в сознании в самые неожиданные моменты. Он может вспомнить о ней во время прогулки, в автомобиле или в поезде, в постели, проснувшись среди ночи или утром (я лично испытывал это на себе несколько раз). Иногда продуктивными оказываются случайные мысли, возникающие во время разговора или при чтении не относящихся к делу книг. Удастся ли при этом добиться успеха или нет — это иное дело, но даже отрицательный результат может вознаградить за затраченные усилия.

Когда же появляется новая идея и отыскивается желанный метод, доказательство может быть настолько громоздко, что возникает необходимость упростить его. Часто это бывает очень трудным делом, требующим оригинального решения. Как правило, простые и ясные доказательства — результат значительных усилий.

Решая проблему, математик молчаливо предполагает, что нынешнее состояние науки позволяет в принципе найти решение. Однако он часто жестоко ошибается. Точно так же, как создание самолёта вряд ли было возможным до изобретения двигателя внутреннего сгорания, точно так же в математике проблемы часто выдвигались на несколько столетий раньше, чем изобретались средства, с помощью которых они могут быть решены. Это иллюстрируется следующим примером. Рациональные решения уравнения x² + y² = 1 даются параметрическими выражениями

Если придавать параметру t рациональные значения, мы можем получить сколько угодно решений нашего уравнения (в пределе — все решения). Но подобное простое выражение решений невозможно для уравнения x³ + y³ = 1, которое арабские математики долго и безуспешно пытались решить. Они не могли знать, что в этом случае необходимо использовать теорию эллиптических функций, которая была открыта только в девятнадцатом столетии.

VIII. Использование компьютеров для решения проблем

До сих пор мы говорили о внутренних трудностях решения математических проблем. Возникает вопрос: не окажутся ли полезными внешние средства, которые способен предложить наш век — век механизмов и электронно-вычислительных машин. ЭВМ, или компьютеры, конечно, играют сейчас колоссальную роль, и публика иногда склонна полагать, что они могут вообще вытеснить математиков. Поэтому хотелось бы сказать несколько слов о той помощи, которую компьютеры способны оказать в решении математических проблем. Всё, на что математик может рассчитывать, имея дело с компьютерами, — это быстрота или чрезвычайная быстрота вычислений, связанных с той задачей, которую он ставит перед машиной. Он может также пробовать новые методы, которые без компьютера было бы непосильно применять или которые потребовали бы колоссального времени. Никто не стал бы тратить годы труда на проверку метода, не относящегося к сверхважным проблемам. Но вряд ли нужно напоминать, что машина не обладает умом и делает только то, что поручает ей программист (если это поручение таково, что машина по своим возможностям годится для его исполнения). Компьютер можно сравнить с джином Волшебной лампы, выполняющим в мгновение ока невероятно трудные задания, но становящимся чрезвычайно опасным при неразумном использовании.

Компьютеры могут оказать большую пользу, особенно в теории чисел. По программе, разработанной математиком, машина в состоянии очень быстро определить, является ли данное число простым. Она легко отыщет для нас целые решения неопределённого уравнения и сведёт их в таблицу. Эти данные могут натолкнуть математика на новую идею, ведущую, в свою очередь, к очень полезным результатам. Однажды, например, я попросил доктора Миллера из Кембриджской математической лаборатории использовать компьютер для разыскания целых решений уравнения x³ + y³ + z³ = 3, отличных от очевидного решения (1, 1, 1) и решения (4, 4, –5). Ему и мистеру Вулету не доставило особого труда получить таблицу решений даже для более общего уравнения x³ + y³ + z³ = k для –100 ≤ k ≤ 100 и х, y, z вплоть до 3164, причём для случая k=3 новых решений по сравнению с тривиальным, а также известным ранее (4, 4, –5) не нашлось. Зато они заметили, что в таблице содержится необычайно много решений для k=1, и некоторые из них не охватываются параметрическим решением

дающим сколько угодно численных решений при подстановке вместо t чисел 1, 2, 3, ... Их заинтересовало — почему так получается? Разумеется, ни одна машина не смогла бы ответить на такой вопрос. Размышляя над странным фактом, я нашёл объяснение, содержащееся в новой теореме, а именно в теореме о том, что если a, b и c — данные целые числа, то уравнение ax³ + ay³ + bz³ = bc³ имеет бесчисленное множество целых решений, отличных от получаемых при x+y=0, z=c. Вероятно, прошло бы много времени, пока был бы получен этот результат, если бы не компьютер. Этот пример показывает, в каком направлении может идти использование компьютеров в математическом исследовании.

IX. Роль памяти в математике

Широко распространено заблуждение, будто память не играет роли в математическом доказательстве, поскольку в нём каждый последующий шаг строго логически вытекает из предыдущего, и всё построение оказывается внутренне неизбежным. Пуанкаре, например, говорил, что память не нужна ему при размышлении над трудными математическими доказательствами, поскольку он руководствуется общим направлением аргументации. Это, вероятно, справедливо в простых случаях, а также если математику известны все этапы доказательства и он очень хорошо знаком со всеми понятиями, включёнными в него. Но в таких случаях необходимо, чтобы математик находился, как говорят спортсмены, в хорошей форме, был тренированным. Только тогда он сможет пробежать свою сотню ярдов менее чем за десять секунд. Во многих математических доказательствах, даже недлинных, очень трудно запомнить уже первый шаг, да и странно было бы ожидать иного — ведь этот шаг, возможно, потребовал у первооткрывателя огромных усилий и объединения множества различных идей.

Плохая память усугубляет трудности в математике, особенно когда забываются предыдущие рассуждения. Как и многие другие математики, я обладаю плохой памятью и не могу вспомнить многие из собственных результатов, уже не говоря о том, что не могу получить их заново. Но бывает, что основная идея настолько проста, что её просто невозможно забыть. К счастью, математическое исследование требует в каждый момент не всех сведений, а лишь вполне определённых, относящихся к данной проблеме. А когда исследование закончено, достаточно записать его результат и оно уже не забудется. Так, Кейли, первым занимавший сэдлеровскую кафедру чистой математики в Кембридже, писал в своей книге об эллиптических функциях, что соображения, о которых он совершенно ничего не помнит, подсказали ему замену переменных, которая обеспечила успех в доказательстве. С другой стороны, хорошая память очень помогает в исследовании, но если она слишком хороша, то человек, обладающий такой памятью, никогда не будет повторять безуспешные попытки, а именно такое повторение иногда приводит к освещению старых фактов в новом свете.

Можно привести сколько угодно примеров того, как математики не могли вспомнить, каким путём они пришли к своим результатам или доказательствам. Иногда они даже забывают о собственном авторстве и долго проверяют чужой результат, хотя прежде получали его сами. Но имеются и более поразительные примеры забывчивости. Один выдающийся профессор Кемфордского (или Оксбриджского?) университета опубликовал статью, после чего его известили, что и результат и его доказательство уже были найдены прежде. Убедившись, что это так, профессор обнаружил, что сам был рецензентом более ранней статьи. Упомяну ещё об одной своей статье, которая была написана четверть века назад и оттиск которой был послан мной знаменитому европейскому математику. Десять лет спустя этот математик опубликовал почти идентичную работу. Тогда я послал ему ещё один свой оттиск, выражая надежду, что он найдёт его интересным. Он мне ответил, что действительно нашёл мою работу интересной!

X. Математические ошибки и заблуждения

Большинство людей довольно рано убеждаются, что в таких арифметических действиях, как сложение, умножение, деление и т.д., всегда возникает много ошибок. Математики, не будучи застрахованными от таких ошибок, делают ещё много других — неправильно пишут уравнения, пропускают члены в скобках или злоупотребляют знаками неравенства. Иногда эти огрехи не мешают доказательству теоремы, поскольку они не меняют фундаментальную идею доказательства, не искажают его идею. Но случается и так, что единственная ошибка может стать роковой — особенно когда доказательство основано на численном результате. Но и здесь может уцелеть что-нибудь ценное, особенно когда используются новые идеи и методы.

Ошибки имеют множество других причин. Распространёнными причинами являются увлечённость, возбуждение, сопутствующее открытию, или поспешность в опубликовании результатов (последнее хорошо было известно Сильвестру по собственному опыту). Полагаясь на память, неверно цитируют чужой результат и портят доказательство. Чужие работы иногда имеют незамеченные серьёзные изъяны, и опасность возникает тогда, когда эти результаты используются для других доказательств.

Логические ловушки всех сортов так и подстерегают недостаточно осторожного математика. Простейшая из них — предположение, что константа является целым числом, в то время как она не обязана быть таковой. Более серьёзная логическая ошибка — использование теоремы без проверки того, выполнены ли условия, при которых она является справедливой. Ещё одна ошибка — принятие на веру некоторого положения, кажущегося очевидным, без исследования возможных исключений. Скажем, кажется вполне разумным предположить, что n уравнений с n неизвестными имеют хотя бы одно решение, но в особых случаях, как оказывается, такого решения не существует. Далеко не всегда очевидно количество параметров, входящих в решение. Даже в тех случаях, когда опыт подсказывает, что решение зависит от произвольного параметра, не всегда следует утверждать, что все частные решения можно получить, придавая определённые значения параметру. Ведя логические рассуждения, нетрудно упустить из виду некоторые особые случаи, например, такие, когда значение параметра есть нуль и когда доказательство станет неполным или вообще неверным. Опасность усугубляется тем обстоятельством, что бывает трудно держать в памяти сразу все частные случаи, а пропуск хотя бы одного из них может привести к серьёзным ошибкам. Многие математики на своих ошибках убеждались, насколько трудно провести длинное доказательство с абсолютной строгостью. История даёт много примеров «доказательств», в которых со временем были найдены серьёзные погрешности. Исправление этих недостатков иногда приводило к плодотворным открытиям.

Строгость доказательства может зависеть от весьма тонкого логического рассуждения, которое на первый взгляд кажется ненужным. Какой, например, шок испытали математики, когда Вейерштрасс доказал ложность интуитивно «несомненной» посылки, что всякая непрерывная кривая имеет в каждой точке касательную! Или как неожиданно трудным оказалось доказать, что всякая замкнутая кривая разбивает плоскость на две части — внешнюю и внутреннюю. Это доказательство было сделано впервые Жорданом, и оно весьма сложно.

Доказательство может оказаться ложным и тогда, например, когда результат, правильный для одной или двух переменных, без критического анализа переносится на случай трёх переменных. Куммер вначале предполагал, что основная теорема арифметики — «каждое целое число единственным образом раскладывается на простые сомножители» — остаётся справедливой для алгебраических целых чисел, содержащих корни из единицы. Порой становится даже удивительно, до чего математик может оказаться слепым и не замечать грубейших просчётов. Эйлер использовал некую теорему несмотря на то, что сам же рядом с ней привёл пример, её опровергающий.

Нередко случается, что математик твёрдо уверен в открытии, тогда как на самом деле никакого открытия он не сделал. Я думаю, что именно это произошло с Ферма, сделавшим два знаменитых утверждения. Ферма, которого называют отцом теории чисел, в письме к Френе сообщил, что он нашёл «удивительно изящный» метод исследования положительных целых решений уравнения y² + 2 = x³ и установил, что имеется единственное решение y=5, x=3. Это правильно. Но теперь мы настолько глубоко изучили проблему, что нам трудно поверить, будто Ферма удалось доказать своё утверждение достаточно строго. Он, наверняка, не умел исследовать общее уравнение y² + k = x³. Кроме того, Ферма заявил, что нашёл удивительное доказательство теоремы, которую сейчас называют «Последней теоремой Ферма». Я полагаю, что он ошибался и строгого доказательства теоремы не дал, хотя она проверена для огромного количества значений. Однако такая проверка не является доказательством, и значительная сумма денег, которую получит первый, кто решит эту проблему, до сих пор не востребована.

Ошибки могут быть просто обескураживающими. Особенно от них страдал Пуанкаре. Однажды он был награждён Шведской академией наук золотой медалью за работу по динамике. Однако после её опубликования оказалось, что она содержит серьёзную ошибку. Пуанкаре сумел быстро разобраться в ней и напечатал уже исправленную статью. Но и первый вариант работы, несомненно, был достоин медали. Тираж первоначальной публикации был уничтожен, однако несколько экземпляров уцелели. Однажды в лавке букиниста я видел редкий экземпляр, содержащий ошибку, который был оценён в сумму что-то около 40 или 50 фунтов стерлингов.

XI. Элемент везения в математике

Можно считать, что везение является важным элементом в математической карьере. Это, конечно, так, но не следует и переоценивать роль удачи. Иногда приходится слышать о «счастливом» математике. Но одним из свойств хорошего математика является способность, так сказать, расположить к себе фортуну. Это означает, что такой математик умеет раньше других заметить удобный случай. Он быстро оценивает ситуацию; его знания, изобретательский талант, интуиция, его упорство и решимость открывают перед ним возможности, которые долгое время не были замечены другими. Многие важнейшие открытия были сделаны именно так, особенно в областях, которые доступны каждому.

Вероятно, я был исключительно удачлив, когда сумел доказать мою теорему о конечном базисе рациональных точек кубической кривой. Несколько раньше я показал, что если a, b, c, d — данные целые числа, то уравнение y² = ax³ + bx² + cx + d имеет только конечное число целых решений, если правая часть не содержит квадрата линейной функции. Я пытался обобщить результат, и, наконец, мне удалось сделать это. Вскоре я обнаружил, что в выводе была ошибка, и почти полгода я пытался её устранить, но всё напрасно. Размышляя над этим, я внезапно понял, что нашёл метод решения действительно выдающейся проблемы из области диофантовых уравнений — нашёл то, что и не думал искать.

Пусть f (x, y) = 0 — общее кубическое уравнение с рациональными коэффициентами. Мы не знаем общего метода нахождения его рациональных решений, или, скажем иначе, рациональных точек на кривой f (x, y) = 0. Но предположим, что мы нашли методом подбора некоторые рациональные точки, скажем P₁ и P₂. Уже три столетия назад был известен так называемый «метод касательных и секущих», позволяющий по данным двум рациональным точкам построить другие рациональные точки. Так, касательная к кривой в точке P₁ может пересечь кривую в какой-то другой рациональной точке P₁₁, вообще говоря, отличной от P₁. Касательная, построенная в точке P₁₁, в общем случае определит новую рациональную точку P₁₁₁₁. Аналогично, прямая, проходящая через точки P₁ и P₂, пересечёт кривую в третьей рациональной точке P₁₂. Продолжая этот процесс для точек P₁, P₂ и тех новых точек, которые получились у нас таким путём, мы можем надеяться получить бесчисленное множество рациональных точек кривой. В 1902 году Пуанкаре предположил, что все рациональные точки кривой могут быть получены с помощью такой процедуры из конечного числа первоначальных точек P₁, P₂, .., P_r. Возможно, это предположение подсознательно принималось математиками в течение многих лет, но явно оно было сформулировано лишь в 1902 году. Я считаю своей большой удачей, что мне удалось доказать его, хотя я сначала и не подозревал, что располагаю доказательством.

Удача может сыграть большую роль в начальной стадии математической карьеры. Очень многое зависит от тех людей, с которыми молодой математик вступает в контакт. Хорошо, если он сразу найдёт учителя, который заинтересует его специальным разделом математики, и эта область в дальнейшем станет главным делом его жизни. Полезно также попасть в круг людей, объединённых общими научными интересами. Под влиянием живой и насыщенной идеями атмосферы такого кружка молодой человек может развиться в настоящего исследователя. Но такие стимуляторы не являются необходимыми. Помню, что когда я посетил в 1928 году вскоре после его постройки знаменитый Гёттингенский математический институт, располагающий огромной библиотекой, то увидел там немало математиков, которые предпочитали работать в мансарде. Даже библиотека, оказывается, не является абсолютно необходимым условием математического творчества, особенно когда математику посчастливится встретить книгу, которая пробудит его интерес и определит направление его будущей работы. Вероятно, настоящий математик даже в невыгодных условиях может найти возможности для творческого развития. Удивительный пример такого рода — замечательный индийский математик Рамануджан, которому даже не удалось закончить школу. Несмотря на это, его талант был впоследствии оценён по достоинству. Он получил возможность поехать в Кембридж и работал несколько лет с Харди (моим предшественником по сэдлеровской кафедре чистой математики). Рамануджан оправдал возлагаемые на него надежды и стал самым крупным математиком Индии.

Хотя, несомненно, хорошая математическая работа рано или поздно будет признана, всё же небезразлично, когда именно такое признание придёт. Работа может почти сразу вызвать интерес выдающихся математиков, имеющих достаточный авторитет и влияние, чтобы привлечь к работе внимание широкой математической общественности. В этом случае заслуги начинающего математика вскоре становятся широко известными и он быстро делает научную карьеру. С другой стороны, признание может значительно запоздать из-за того, что исследователь излагает свои результаты в настолько непривлекательной форме или в невразумительной манере, что читатель не может его понять. Тогда работа выглядит для широкого круга читателей странной, и никто не удосуживается разобраться в ней как следует. Значительно реже автор настолько опережает своё время, что остаётся непонятым современниками, — так случилось с первооткрывателями неевклидовой геометрии.

XII. Приоритет в математике

Человеку свойственна вполне извинительная слабость: он любит быть первым в каком-либо деле. Математикам также не чужда эта слабость. Мы интересуемся нерешёнными проблемами во многом из-за того, что нам хочется решить их прежде других. Но часто бывает так, что математики, работающие над той же проблемой в разных концах мира, получают более или менее одновременно те же результаты или даже то же доказательство. Случается и так, что автор в своей работе, малопонятной по форме или напечатанной в малодоступном журнале, на много лет опережает открытия других. Совсем недавно выдающийся математик переоткрыл теорему, доказанную Коши 125 лет назад.

Иногда даже полезно, чтобы математик не был знаком с работами предшественников. Тогда он может работать над давно решённой проблемой и найти новые её стороны и дать более интересные решения, ведущие к важным результатам. Чешский математик доктор Коринек доказал в 1926 году формулу, которая была дана Эйзенштейном без доказательства в 1851 году и которая не охватывалась доказательствами, данными мной в 1916 году и А. Марковым в 1894 году. Марков опередил меня, но его работа была напечатана в недоступном мне русском журнале, изданном очень малым тиражом. Как курьёз отмечу, что основная идея доказательства пришла мне в голову во время прогулки по Оксфордской улице в Лондоне в мае 1916 года.

Случаи опережения могут на первый взгляд показаться странными, но при некотором размышлении становится ясным, что куда более странным было бы их отсутствие. Существуют проблемы, которые в течение многих лет занимают всех, кто работает в данной области, и совсем не удивительно, что иногда решение находят несколько человек. Надо учесть, что результаты, «носящиеся в воздухе», могут быть получены совершенно разными путями. Главное — чтобы назрело время для их получения. Проблема может привлекать многих, и несколько плодотворных результатов может появляться одновременно. Важная проблема представления числа как суммы квадратов привлекала внимание математиков более ста лет и до сих пор интересует их. Сорок лет назад над ней работал Рамануджан, а также я, но наши подходы были различными. Имеются некоторые интегралы, не известные Рамануджану, но использованные мной, поэтому моё решение для Рамануджана выглядело бы как изложенным на иностранном языке.

Никто не может монополизировать какую-либо область математики. Когда математик получает новые результаты и оповещает о них через лекции или публикации, они становятся объектом всеобщей критики, и его достижения сразу же делаются общественным достоянием. Они могут быть использованы кем угодно и как угодно для получения новых результатов. Но всегда следует иметь в виду, что первооткрыватель также мог заниматься этими проблемами и высокое чувство справедливости требует установления за ним приоритета в доказательстве результатов.

Если результаты сообщены в личной беседе или в письме, они должны рассматриваться как конфиденциальные, не подлежащие оглашению. Тем не менее нет оснований считать, что те, кто оповещён о них таким образом, не должны думать над их развитием или учитывать их в своих работах. Однако, опубликование в этих случаях должно задерживаться до тех пор, пока не утвердится законный приоритет.

Весьма существен для нашего тщеславия вопрос: «чьё имя будет носить такая-то теорема?» Казалось бы, есть все основания считать, что она должна носить имя своего первооткрывателя или, если результат значительно улучшен другим математиком, носить двойное имя. Когда же результат есть плод сотрудничества многих авторов, названия теорем получаются весьма громоздкими. Но история не всегда бывает справедлива к первооткрывателям. Так называемая формула Кардано для корней кубического уравнения была открыта в действительности Тарталья, чьи заслуги в течение столетий игнорировались. Результат следует называть именем более позднего автора лишь в исключительных случаях, когда на это есть веские причины. Индийскому математику Рамануджану в этом отношении повезло, так как многие названные его именем результаты были до него получены другими.

Довольно щепетильные вопросы приоритета могут возникнуть в тех случаях, когда кого-то просят отрецензировать работу для опубликования в журнале. Рецензент обычно работает в той же области и сразу может заметить, что он во многом опередил автора. Но для него нелёгкое дело взять на себя ответственность и решить, кому же на самом деле принадлежит приоритет. Не к лицу известному математику «отбивать хлеб» у более молодого коллеги. Известно, что Эйлер специально придержал рукопись своего вариационного исчисления, чтобы Лагранж, который прислал ему статью на эту же тему, смог сделать публикацию первым.

Наконец, встаёт проблема деления славы между учителем и учеником, особенно когда ученик его — студент. Вправе ли руководитель ставить своё имя рядом с именем молодого исследователя? Иногда для пользы дела нужно входить в соавторство, но в других случаях лучше от него отказаться.

XIII. Эстетическая сторона в математике

Математика так бесконечно разнообразна, что может вызвать отзвук в разных сферах нашей души и у самых разных людей. Её формы, методы и способы рассуждения могут быть самыми различными; краткими и развёрнутыми, простыми и сложными, абстрактными и конкретными. Можно рассуждать с помощью арифметики, геометрии, логики и даже философии — эта широта составляет огромную привлекательность математики.

Эстетические аспекты математики издавна привлекают внимание. Многие великие математики прошлого употребляли самые патетические выражения, восхищаясь красотой математики, вечной истинностью и кристальной ясностью её доказательств; в других науках и областях знания такие выражения употребляются значительно реже. Иногда доказательство выглядит настолько точно соответствующим проблеме, что о нём можно говорить только как о прекрасном, изящном, красивом, даже волшебном — как о математической поэме. Что же мы имеем в виду, употребляя такие выражения, что мы связываем с этими словами? Укажу на некоторые особенности, которые, конечно, не всегда необходимы и отсутствие которых не всегда портит красоту. Понятно, что нам хочется иметь доказательство с малым количеством вычислений. Далее, основная идея доказательства должна быть достаточно простой и точно отвечающей цели доказательства. Красиво, когда приложения результата являются неожиданными. Нечего говорить о том, что доказательство должно иметь существенное значение для математики в целом. В некоторых случаях оно может быть таким, которое безуспешно искали много лет.

Математик иногда испытывает большую радость от сознания, что давняя проблема наконец разрешена. Ему чрезвычайно приятно сознание, что его прекрасное творение достойно может быть возложено на алтарь Королевы наук. Он испытывает в этом случае такое же чувство удовлетворения и счастья, как и художник, музыкант или скульптор, создавший оригинальное произведение. Тот, кто не испытал такого чувства, не может быть назван настоящим математиком. Он должен любить своё создание как настоящий творец и испытывать отчаяние, если созданное им теряется, не дойдя до публики. Я знаю много случаев, когда во время последней мировой войны математики помещали свои работы в надёжные хранилища, чтобы они не погибли и не были забыты миром.

Немало вопросов возникает по поводу роли эстетического чувства для математика; это самое ценное, что в нём имеется, что есть в математике. Чтобы развить его как следует, нельзя чрезмерно увлекаться чтением чужих работ, даже если они были написаны выдающимися авторами. Такое чтение, если особенно ему предаётся молодой начинающий математик, может подавить инициативу, лишить чувства свежести и направить по тому пути, который на самом деле не является продуктивным. Аналогичные проблемы встают при выборе материала для чтения в наше время, когда имеется огромное обилие работ. Многие статьи оказываются поверхностными и эфемерными, и было бы большой ошибкой ограничивать кого-нибудь такой диетой. По-настоящему ценные работы всегда сохраняют своё значение.

Эстетический вкус проявляется в выборе характера проблемы. Многие из проблем по пользе и плодотворности можно сравнить с кроссвордами или шахматными этюдами. Они могут быть подходящими для того, чтобы убить время, но они не служат великой цели и никуда не ведут. Вкус математика виден и в сущности доказательства. Те решения дают пищу уму, которые в большей мере опираются на идеи, а не на вычисления. Иногда бывает просто поразительно, насколько простой может быть идея и насколько важные следствия из неё вытекают. Даже не верится, что можно получить так много из так малого. Но, конечно, что действительно важно в первую очередь — это найти хотя бы какое-нибудь решение. После можно уже искать «хорошее решение», то есть находить простой и естественный путь для такого решения. Отметим ещё раз, что чем проще он, тем больше времени и сил требуется, чтобы найти его.

Всем нам нравится видеть свои работы опубликованными, но вкус проявляется в отборе того, что мы считаем достойным публикаций. Иногда содержание работы является маловажным или даже сомнительным по своей ценности. В других случаях появляются статьи, посвящённые ненужным обобщениям и наполненные утомительными выкладками, смысл которых очень трудно понять. Порой результат излагается настолько отвлечённо, что остаётся только скелет идеи без всяких признаков жизни. Наконец, авторы ухитряются иногда делать так много повторений и заострять внимание на столь второстепенных деталях, что читать их статьи — сплошное мучение.

XIV. Математические школы

В некоторых институтах и университетах можно видеть математика в окружении большого числа учеников и молодых исследователей, которые работают в той же области и сотрудничают с ним, придавая ещё больший блеск ореолу его славы. Почему так получается? Дело в том, что молодой математик нуждается в контакте с живой современной математикой и в стимулирующей атмосфере. Ему нужны достойные внимания проблемы, советы и постоянная помощь в работе. Он убеждается на опыте, что очень нелегко облечь доказательство в простую логическую форму и найти убедительные аргументы. Поэтому для него очень важно, чтобы опытный человек прочёл его рукопись и сделал критические замечания. Иногда у него есть много что сказать, но нет умения говорить. Самый замечательный совет по этому поводу дал профессор Пойя — и я часто повторяю его моим студентам — «если вы хотите сказать две вещи, говорите их по очереди».

Студенты и не только студенты, как часто отмечают, с интересом приступают к решению проблемы, которую кто-то не может решить и передаёт им. Если руководитель студента был достаточно удачлив, чтобы открыть новый метод или новую точку зрения, сразу же возникает бездна проблем, нуждающихся в решении. Будет ли он сам заниматься ими — дело его темперамента. Некоторые учёные любят доводить всё до конца сами, не оставляя и крох своим ученикам, и ученики от них уходят. Но если руководитель склонен оставлять развитие идей другим, то студенты обязательно будут собираться вокруг него. Бывает, что математик, отличающийся больше эрудицией, чем оригинальными идеями, становится центром хорошей школы. Достигается это созданием в таком кружке творческой математической атмосферы.

Очень важно, чтобы глава школы проявлял горячий искренний интерес к работам своих студентов и даже к их жизни. Его миссия связана с большой ответственностью. Тот, кто направляет ученика, может испытывать чувство раскаяния, если видит, что задал молодому человеку неверный курс. Но эта миссия и приятна. Не раз я бывал удивлён и восхищён работами своих учеников, иногда не получавших от меня ничего, кроме постановки задачи. Я видел, как их знания, способности и силы растут и как они постепенно становятся самостоятельными исследователями. Часто я получал огромную пользу от бывших учеников и приходил, в результате общения с ними, к новым идеям, которые не могли бы появиться при иных условиях.

XV. Национальные аспекты математики

Математика есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связях с другими сферами деятельности человека. Следовательно, можно ожидать, что в математике не существует национальных границ и что в этой науке все ценности, красоты и идеи измеряются одинаковыми мерами. Это и в самом деле было так, пока немецкие нацисты не ввели идеологические критерии оценки значимости математических результатов. Конечно, если какой-либо математик сделал важную работу, то не пройдёт много времени, как о ней узнают всюду, и может случиться так, что она окажется ценным вкладом в науку. Например, методы, найденные кембриджскими математиками Харди и Литтлвудом, касающиеся аддитивных аспектов теории чисел, были использованы Эдмундом Ландау в Гёттингене и особенно И. М. Виноградовым в Ленинграде, который получил эпохальные результаты в этой области. Благодаря такому интернациональному характеру математического творчества многие математики считают полезным и даже необходимым читать статьи на нескольких языках. В добавление к немецкому и французскому, которыми большинство свободно владеют, сейчас для геометров стал полезным итальянский, а для тех, кто интересуется теорией чисел, с некоторых пор стал необходим русский язык.

В настоящее время молодые математики имеют широкие возможности учиться в других странах. Это изменяет весь характер распространения знаний и в ближайшем будущем может привести к унификации математической техники. Если математическая работа не вызывает отзвука за рубежом, это означает, что она или малозначительна, или посвящена таким прикладным проблемам, которые имеют значение только для данной страны. Иногда национальные особенности мышления и темперамента бывают очень полезными в определённых областях математики. Пример — итальянская школа геометрии, существующая уже много лет. Другой пример — бурное развитие теории решёток в США.

Возможно, что определённое пристрастие к проблематике в отдельных странах — уже прошедший этап. Например, теория чисел начала развиваться интенсивно одновременно в Германии, Франции, России, Норвегии, Швеции и Британии. Значительные работы в области математики были сделаны в США учёными других стран. Может быть, будет уместным отметить, что мой вклад в теорию чисел, включая результат о конечном базисе кубической кривой, был сделан мною тогда, когда я был ещё американским подданным, живущим в Англии. Все страны придают большое значение культурному обмену с другими странами, с которыми такой обмен возможен. Математики присоединяются к этому мнению чуть ли не первыми. Универсальность математики, способы её рассуждений, интернациональный характер обозначений и огромная приложимость её результатов делают возможным общение математиков всего мира. Отдельные ветви математики, разумеется, понятны только специалистам и поэтому интересуют лишь узкий круг людей. Другие её разделы, особенно теория чисел, характеризуются такой простотой формулировок и важностью следствий, что делаются интересными для всех, и даже неспециалисты с удовольствием читают работы из этих разделов.

XVI. Что за человек математик?

Мы могли бы начать с этого вопроса: что можно сказать о математике? Не очень легко сказать что-нибудь большее, кроме того, что это человек, изучающий или создающий математику, и что ему удалось добиться некоторого успеха в этой области. Многие думают, что математик — это тот, кто умеет быстро считать. Но в истории мы находим множество примеров, когда выдающиеся математики были неспособны выполнять в уме даже простейшие арифметические операции.

В оценке математика участвуют разные критерии. Они сильно зависят от возраста. В школе и университете критерием служат экзаменационные оценки, но даже и в столь ранней стадии иногда делаются такие блестящие работы, что становятся необходимыми другие стандарты и меры.

Как оценивать более зрелого математика или математика, который уже опубликовал важные работы и стал хорошо известным? Он может проявить себя многими способами. Он может быть широко эрудированным преподавателем, автором значительного труда, быть прекрасным наставником молодёжи. Он может принимать участие и в административной деятельности в университетах, обществах, на конгрессах, и эта деятельность может быть неоценимой для развития математики. И всё же настоящей проверкой его калибра служит вопрос: насколько жизненно и важно то, что он сделал? Какие он создал новые идеи и ввёл новые методы? Какую роль он сыграл в становлении и развитии математического знания? Как влиял он на формирование математических интересов своего поколения?

Задавая себе эти вопросы, каждый из нас видит, как мало он сделал для развития математики, и тем легче опознать нам истинных математических гениев, которые появляются изредка и возвышаются над всеми нами, как башни. Мы удивляемся и поражаемся их оригинальностью, их блеском. Их замечательные работы привлекают нас по разным причинам. Они могут быть необычайно красивыми, важными или плодотворными по тем следствиям, которые из них вытекают, по обилию света, который они бросают на области, до этого погружённые во мрак. Мы можем только преклоняться в этих случаях перед неизмеримостью и неистощимостью человеческого ума. Когда мы осознаём пропасть, отделяющую нас от таких гениев, нам служит утешением то, что и более скромные заслуги заслуживают одобрения и остаются в людской памяти. Не следует унывать из-за того, что ты сделал лишь небольшой вклад, — хоть мало, но своё! Во всяком случае ты принимал участие — пусть небольшое — в развитии своей любимой науки.

К несчастью, то тут, то там появляется кто-то, кто слишком опережает своё поколение. Изложение его результатов бывает, возможно, не очень ясным, выкладки оказываются слишком трудными, и важность работы остаётся неоценённой. Работа может быть не замечена и забыта, и открытие делается вторично в более подходящее время. Как пример, здесь можно напомнить о работах Бойяи, связанных с неевклидовой геометрией.

XVII. Итоги

Всем известно, как трудно сделать что-нибудь стоящее, поэтому я считаю себя счастливым, что мне удалось получить ряд важных результатов в решении действительно трудных проблем. Но тщеславие отступает на задний план, когда думаешь о том, сколько проблем ты пытался вновь и вновь решать, но так и не смог. Ясно, что никто не может претендовать на монополию в математических способностях или на создание прекрасного в математике. В беге не всегда одерживает победу быстрейший, а в борьбе — сильнейший.

Вся моя жизнь в математике была связана с тяжёлым трудом. Я всегда знал, что нет королевского пути к математическим знаниям или к математическим открытиям. Но этот труд стоит того, чтобы его предпринимать. Для меня не существует большей радости, чем преодолевать препятствия и добиваться результата, и, вероятно, каждый чувствует себя счастливее, когда делает работу, которая ему нравится. Я часто испытывал чувство восхищения и удивления красотой математики. Не могу придумать более подходящей аналогии, чем восхождение на вершины гор. Огромные усилия тут неизбежны. Но как прекрасно, проложив новый путь, который казался столь трудным, любоваться с вершины раскинувшимся перед тобой пейзажем и наслаждаться его красотой. В зрелом возрасте, оглядываясь назад и размышляя над математикой с новых точек зрения, иногда удивляешься собственным старым результатам и почти не веришь, что они принадлежат тебе. Они представляются тебе самостоятельными сущностями, не зависимыми от их автора. Иногда даже приятно наблюдать так свои работы, совершенно забывая о собственном авторстве.

Я полностью удовлетворён своей математической карьерой и не желал бы для себя никакой другой судьбы. Некоторые математики, удалившись на покой или даже несколько раньше, кажется, утрачивают интерес к вещам, которые их занимали много лет; наиболее разительным примером здесь является сэр Исаак Ньютон. Необъяснимо, как они могут так полностью порывать с интересами своей предыдущей жизни. Что же касается меня, то я был бы рад продолжать делать математические открытия. Но я буду удовлетворён и если просто сохраню любовь к математике и смогу по достоинству оценивать работы, сделанные другими.

It is customary for the fellows of St. John's College, Cambridge, to dine privately on December 27, the birthday of St. John, the Evangelist. The Master proposes a toast to those fellows who have attained the age of eighty since the preceding December 27, and asks each of them to give a talk. As I became eighty on January 28, 1968, it was my turn to do so.

I started off by saying that this was a really great occasion in my life and that I was very grateful to our College for making it possible. I said that it was not an easy matter to make an appropriate speech on such an occasion. Fortunately it was not too difficult for me to do so, as I have recently been reading a book by the well-known and popular American author Dale Carnegie, entitled How to Stop Worrying and Start Living. In this, he makes the cogent remark that no man is so happy as when he is talking about himself. He says nothing about the feelings of his listeners.

There are two reasons why I propose to make myself thoroughly and unashamedly happy by talking about myself. The first is that on several occasions, both in England and America, I have been told that I am a legendary character. As it occurs to me that most legendary characters, for example King Arthur, are dead, I wish to show that I have actually existed and am very much alive, and so I shall give some account of the subject so that there will be no doubt about the matter.

The second reason is that there have been many stories, mostly apocryphal, as to how I, a natural born American, came to study at St. John's College. The reason is a very simple and natural one. I do not mean to be boastful or vainglorious, and I wish to apologize if I seem so and to crave your indulgence. Though one has ups and downs, I have on the whole been very fortunate, and many people, far cleverer than I, have not been so lucky.

I was born in Philadelphia on January 28, 1888, and as a child went to what are called the public schools, that is, the state schools. From the age of 6 to 10, one went to the Primary School, from age 10 to 14 to the Grammar School as it was called, and from age 14 to 18 to the High School. In the Grammar School, I think I was good at arithmetic, but certainly was not in later life. One of my classmates there, now Professor F. C. Dietz, is Professor Emeritus of History at the University of Illinois at Urbana; I saw him in December last when I lectured there. I mentioned this to Professor P. Bateman, who is head of the Mathematical Department there, and he countered by saying that one of his early classmates had been electrocuted for murder.

But talking about crime reminds me that in a visit to Professor J. Hadamard in Paris while I was Professor at Manchester, I said I had once given a lecture at Strangeways Prison, Manchester. One reason for doing so was that one cannot leave a prison at a time one wishes to. He said to me that as editor of a mathematical journal, he received rather good papers from some one unknown to him, so he invited him to dinner. His correspondent wrote that owing to circumstances beyond his control, he could not accept the invitation, but he invited Hadamard to visit him. Hadamard did so and found to his great surprise that his author was confined to a criminal lunatic asylum. Apparently he was quite sane except for the murder of his aunts. His name was A. Bloch, and he was a very good mathematician.

The Central High School, as it was called, was a well-known and comparatively old school. It is best described by saying that it corresponded to a good English grammar school except that it did not specialize in any subjects. The courses, however, in both arts and science were adequate for admission into any University. At the time I entered it, new buildings had been erected, and these were formally opened by President Theodore Roosevelt.

I don't think there was much mathematical background in our family. It is true that my father, who was a Hebrew scholar, had written a learned monograph, On the origin of letters and numerals according to the Sefer Yetzirah, but this had no influence on me.

Professor Winston Thomas, Professor Emeritus of Hebrew here, who dined in John's last week, reminded me that I was one of a committee at Manchester University that had interviewed him for the chair of Hebrew there. He said that I asked him if he knew the booklet, and he said no.

About the age of 14 before entering High School, I came across some old algebra books in the 5 and 10 cent counters of Leary's famous bookstore in Philadelphia, and for some strange reason the subject appealed to me.

One of these books was A Treatise on Algebra by C. W. Hackley, who was professor 1843-61 at what was then called Columbia College, New York. It is of interest that Sylvester was one of the candidates for the chair. My copy is the third edition, dated 1849 (the first was in 1846). It was really a good book, though not rigorous, and contained a great deal of material including the theory of equations, series, and a chapter on the theory of numbers. It, like the old algebras of those days, had a chapter on Diophantine analysis, a subject I found most attractive. It is not without interest that in later years much of my best research deals with this. In fact I have just written a book on the subject which appeared in 1969.

I began, however, to read more modern books, such as the algebras by Hall and Knight, Charles Smith, and Chrystal; the trigonometry by Hobson, and the coordinate geometry by Loney and Charles Smith. My father wished to get some idea of what progress I was making and got in touch with a Professor I. J. Schwatt at the University of Pennsylvania. He was the author of a book on college algebra and also one on operations with series. He very kindly agreed to give me a test paper on algebra which I took. I seemed to have impressed him, for he wrote on January 24, 1904 when I was 16 years old:

"From the examination I have given your son in algebra, I am led to believe that he possesses more than ordinary ability for the study of the subject. I should not be surprised if with proper training he should turn out to be a man who will advance the science of mathematics."

All I remember about the examination is that there was a question on Sturm's theorem about equations, which I could not do then and cannot do now. Reading Schwatt's remarks now objectively, I do not think there was sufficient evidence for his statement; I think he was too flattering. Many British school boys would have been far cleverer than I. However, his prophecy seems to have been fulfilled, and also in another material way which no one could have forseen.

The examples in the books I read were taken from scholarship examinations in Cambridge and the Mathematical Tripos. I naturally became rather curious about Cambridge and made inquiries. I got the Scholarship papers for some recent years and worked upon the questions. I finally conceived what I can only describe as a thoroughly mad and crazy idea of going to Cambridge and trying for a scholarship. I had no idea of the necessary standards, I was self-taught mathematically and had never participated in a competitive examination. A judge, whom my father knew and to whom he spoke about my plans, said: "The damn fool. Are not the American Universities good enough for him?" I think his appellation was justified.

From my point of view, the fact that one could specialize in mathematics and not do a great many subjects, as in American Universities, was a strong factor in favor of Cambridge.

Anyhow, my people had confidence in me and agreed to allow me to enter for a scholarship. There were two major groups, the Trinity group and the John's group. I selected the John's group because I thought there were more Colleges in its group, and so my chances of getting something would be better.

I went to Cambridge and sat for the scholarship examination in December 1906. I did not think I had done too badly, but of course I had no idea how I had done compared with other candidates. On Saturday, December 15, 1906, I wrote to my father as follows: "On the Friday, I went to see Mr. Bushe-Fox, the college tutor. As soon as he saw me, he shook hands with me and congratulated me. I asked him what it was. He said I had done very well, that I had done better than any of the 100 or so competitors, and that I was way ahead of the second man. I certainly did feel fine and let out a yell."

So as I have said in the beginning of my talk, there was a very simple explanation of why I went to Cambridge. A Simon Muhr scholarship from my school helped me.

After I arrived in Cambridge, in October, 1907, I had to pass the Little Go. The subjects of the examination were Greek and Latin, an English set book, elementary algebra and geometry (for all of which my High School training was adequate), and also Paler's evidences of Christianity. However, one could substitute Jevon's Logic for this, as I did.

Undergraduates lived like real gentlemen in my time. A gyp and a bedder were always on hand to lay a fire, set and clear the table for breakfast, lunch, and tea, prepare one's bath in a round tub, trim the lamp, etc. There was a boots to polish one's shoes and to deal with baggage. The College kitchen was open all day and would even bring tea to a punt in the backs.

Money really meant something solid in those days, A shave in a first class establishment cost 6d, but only 4d in the ordinary ones. Tobacco had gone up from 5½d an ounce to 7d, whiskey (not that I drank any) was 3/6 a bottle, a half day excursion to London cost 3s 9d. Dinner in hall was 2s 1d, the 1d being for the serviette.

I did not participate in any athletic activities; perhaps it would have done me good to have done so. In this connection, one does not know what the future has in store for one. Believe it or not, I became a rock climber in a mild sort of way. This was very strange, for the first hill that I went up in the Lake District was Helm Crag, and this seemed to me about 50 degrees beyond the perpendicular. But in 1925, I went for what I thought was a walking holiday in Scotland with the now eminent Sir Robert Robinson. We came to a mountain, Buchaille Etive in Glencoe, and after walking up a little distance he said, "We now put on the rope." We did the North Wall Chasm climb, and this I enjoyed very much.

So for diving: at the age of 28, I had the greatest difficulty in mustering up enough courage to dive from a 5 ft board. But when I was at Manchester, where they had a modern swimming pool, I was looked upon as a great man, not for so trivial a reason as being an F.R.S., but because I used to dive off a five-meter board.

In those days John's provided the mathematical courses for its students. There was Mr. Webb, a very successful coach, who lectured in applied mathematics. He was a good teacher and an amusing personality. He used to say, "pp > jj" (plodding patience is greater than jumping genius). He could be very sarcastic, and would say to a student, "Write all you know on this piece of paper"—something about an inch square.

There was Dr. Bromwich, who had just come back to Cambridge from Galway. He had just written his book on infinite series of which he was very proud. Finally, Dr. Baker was the director of studies.

Dr. Baker was my supervisor. He was a geometer and tried to make me one, but did not succeed. He sent me in my first term to Richmond's lectures on higher plane curves, and to Forsyth's on differential geometry. I soon dropped them; I don't think he approved of me—I did not go to many lectures. I remember going to one of his, and he stood behind me and commented upon the fact that I wrote slantingly up the page. I thought, but did not say, that it was none of his business. I found him perhaps distant or unsympathetic. I should have been more fortunate if Hardy had been my director of studies. He would have known how to deal with a self-educated mathematician, who rather unwisely did not appreciate the advantages of lectures. He would have taught me worldly wisdom and the ways of the world as well as mathematics from a modern point of view. This would have been very important as the older books which I had first come across were lacking in rigor.

There was a great deal of discussion about the Mathematical Tripos in those days, and proposals were put forward for reforming it. The examination papers still contained a question based on Newton's methods of more than two centuries ago. Great emphasis was placed on being able to do all kinds of tricky questions, and no doubt this was useful for developing one's powers. It was perhaps not sufficiently realized that one of the most important things a mathematician could do was to advance the science of mathematics by producing new and important results. Hardy, my predecessor in the Sadleirian chair, took an active part in the reform. As a result of his efforts, the year 1909 was the last year for which there was an order of merit for the Mathematical Tripos. The first person was called the Senior Wrangler, and the speculation as to who he would be reminded one of the Derby. The tripos could be taken after two or three years, and I took my examination after two years. I was considered a strong candidate, but I blotted my copy book and was only third wrangler. I think I could have done better.

The Senior Wrangler was P. J. Daniell, who became Professor at Sheffield. The second one was E. H. Neville, who became Professor at Reading, and I was third and became Professor at Manchester and Cambridge. There were three bracketed fourth: E. H. Berwick, Professor at Bangor, Sir Charles Darwin, Professor at Edinburgh and Master of Christ's College, and G. Livens, Professor at Cardiff. I am the only survivor of this group, so according to the laws of statistical averages, I should live to a ripe old age.

After the Tripos, the real mathematicians took Part 3 of the Tripos. There was usually a fourth year spent on research. It was then that I took up the study of number theory in earnest. There was then no Ph.D. degree; it came in only after the First World War, so the present day mathematicians are much more learned than we were. There were two Smith Prizes in those days for which B.A.'s could compete. Neville got the first one, and I the second for an essay on The Diophantine equation y² = x³ + k, a topic which has played a prominent part in my research even in the very latest years. I might mention that my Cambridge inaugural lecture, "A Chapter in the Theory of Numbers," dealt with this topic.

I continued my studies, staying on in Cambridge, and wrote another paper entitled, Indeterminate equations of the 3rd and 4th degrees. I was very unfortunate with this paper. It was rejected by the London Mathematical Society; I really don't know why. Perhaps they did not approve of my style, but it was a really important paper and has played a prominent part in the progress of number theory even in the present day.

I hope you will bear with me if I mention one of my results. I had proved that the integer solutions of the equation y² = ax³ + bx² + cx + d could be found from the representations of unity by binary quartics. Neither I nor the referees were aware that in 1909 Thue had proved there could be only a finite number of representations. This meant that the cubic had only a finite number of solutions, a really important result. Some years later, Professor C. L. Siegel, one of the world's foremost mathematicians, generalized this result and communicated his results to me. I asked him whether he would not object to this being published by the London Mathematical Society. He did not reply and so I took it for granted that he did not object. Proof sheets were sent to him, and he was then very annoyed because the mathematicians of Frankfort had agreed not to publish anything for a few years. However, he agreed to let it appear anonymously as due to X. When I saw him a few years ago, he said it need no longer be anonymous.

Later in 1928 at the International Mathematical Congress held at Strasburg, L. E. Dickson, the eminent authority on number theory, included some of my results in one of three topics which he discussed. In very recent years, Dr. Baker of Trinity College has used my results to find a bound for all the solutions, an outstanding accomplishment which one would have hardly thought possible.

Number theory was little studied in Britain in those days. There were only Professor G. B. Mathews at Bangor, who wrote a book on number theory, and J. H. Grace of Peterhouse, who wrote a few papers on the subject. Anyhow, my work did not seem to have been appreciated.

I submitted this work and others for a fellowship, but was unsuccessful. My tutor, Mr. Bushe-Fox, said I had not played my cards very well. A geometer, a protégé of Baker, was elected. I don't think he produced very much afterwards.

I stayed on a few years doing research and some private tutoring. In 1912, an International Mathematical Congress was held in Cambridge, and I attended it. I am fully aware of the implications of the story I am going to tell. I went into the buffet room where all the distinguished mathematicians were gathered, and I thought to myself, "What an odd looking lot they are." I have no doubt that History repeats itself.

About 1912, I applied for a post at University College, Reading. The salary at such small places was 120 pounds per annum. At larger places, e.g., University College and Kings College, London, the salary was 150 pounds. Three of us were interviewed, and Professor Bowley, a statistician who was head of the department, appointed a Scotch football player. It is the irony of fate that many years afterwards, I was on the selection Committee of the Royal Society when he was a Candidate. I did not hold his choice against him.

In 1913, I was appointed a lecturer at Birkbeck College in London. There I stayed some seven years, except for some 23 years during the war in the statistical department of the Ministry of Munitions. I had during all this time continued my studies and researches, and I began to gain recognition. As my stature increased, my thoughts turned to professorships, and around 1919 and 1920, I applied unsuccessfully for two. In 1920, I decided that a change of scene would be welcome, and I applied for a lectureship at the Manchester College of Technology. In the interview, they said that it seemed that London was running after me for a chair. Not quite, I said, I was doing the running. I was appointed, but did not expect to stay for more than two or three years.

I became a professor at Manchester University in 1923 and a Fellow of the Royal Society in 1924. I was very fortunate in having as my colleague Professor S. Chapman, with whom I became very friendly and from whom I learned a great deal about worldly matters and how to run a department. Fortune was kind to me, and in later years I gathered around myself some brilliant young mathematicians as members of my staff or research students. There were Professor H. Davenport, F.R.S., now at Cambridge (but who recently died), Professor K. Mahler, F.R.S., Professor at Manchester, Canberra, and Ohio State University, and Dr. P. Erdös, Professor at the Hungarian Academy of Science, all of whom have acquired world wide reputations.

Professor Erdös and I recently had a little competition about the number of universities at which we had lectured. I with 170 was slightly ahead of him, but of course he will soon overtake me.

It is not often that such a brilliant young trio could be found anywhere. We had also Professor B. Segre, an Italian emigré, now President of the Lincei Academy at Rome, and H. Heilbronn, F.R.S., Professor at Bristol and Toronto. It is not surprising that mathematics flourished and that the Manchester School became well known. As a result, I shone with a great deal of reflected glory.

In 1945, I was elected to the Sadleirian Chair of Pure Mathematics here in Cambridge, in succession to Professor Hardy. When I was asked if I was glad to leave Manchester, I said I was sorry to leave Manchester and glad to go to Cambridge. I could not help recalling that Berwick, who was at Leeds and appointed to a chair at Bangor, said at a meeting how glad he was to leave Leeds.

I was very fortunate again at Cambridge in having some very bright students. This was perhaps the beginning of the new number theory school here, now one of the best in the world under the leadership of (the late) Professor Davenport and Professor Cassels, both of whom I am proud to say were my former students.

During my eight years as Sadleirian Professor, I did much lecturing abroad, though I took only one term off. It was after retiring in 1953 that I really did a lot of travelling. In fact I have been Visiting Professor for either a term or a year at some twelve Universities, namely, Chicago, Pennsylvania, Colorado, Arizona, Notre Dame, Illinois, Catholic University at Washington—all in the U.S.A., and at Toronto, Mt. Allison, and Waterloo in Canada, and Ghana and Nigeria in West Africa. I have now lectured at some 190 Universities and institutions, including practically all the important Universities in the U.S.A. and in all the countries of Europe except Russia, Bulgaria, Portugal, and Greece, and at some seven Universities in India, Khartoum, Uganda, and West Africa.

It is difficult to escape hearing me lecture, and at many Universities I meet people who have heard me lecture elsewhere. [In a lecture at the University of North Carolina, there were four people, one of whom had heard me lecture in Calcutta, another in Berlin, a third in Toronto, and a fourth in Chicago. Yesterday, March 4, 1969, I was introduced to the American speaker, Professor M. Davis, at the number theory seminar. I said I thought I had not met him before. Oh no, he said, he met me at a lecture I gave at New York University.] I usually lecture upon my recent research. Number theory has the great advantage that it is not difficult to give some idea of the subject to a general mathematical audience.

It is customary in most after-dinner talks to introduce some irrelevant stories. I have a large stack of stories, but as these arose in the course of my travels, it will not be out of place here if I give a few.

In 1923, I attended a meeting of the American Mathematical Society held at Vassar College in New York State. Some one called Rainich from the University of Michigan at Ann Arbor, gave a talk upon the class number of quadratic fields, a subject in which I was then very much interested. I noticed that he made no reference to a rather pretty paper written by one Rabinowitz from Odessa and published in Crelle's journal. I commented upon this. He blushed and stammered and said, "I am Rabinowitz." He had moved to the U.S.A. and changed his name. This story is known all over the U.S.A. Occasionally some one from Ann Arbor dines at John's and I ask them if they know Rainich. Yes, they say, there is a funny story about him. "Stop," I say, "let me tell you the story."

During the Second World War, we had a country cottage at Chinley, about 20 miles from Manchester, where I was then Professor. My wife and I were coming home one week-end by train. We entered a compartment, and my wife sat diagonally opposite from me. In front of me was a youth and beside me a middle-aged man. Presently I noticed that the youth was reading a book entitled Teach Yourself Trigonometry. Hello, I thought, we are in the same profession. So I asked him whether it was an interesting subject. He did not reply, maintaining a stony silence. Obviously this was an important war secret, and Hitler was not going to get any information from him. Five minutes later I tried again and asked him whether it was a difficult subject. Again no reply, and so I tried no further. When we came to our local station, I got out, and my wife continued into town. She told me afterwards what took place. The other man turned to the youth and said, "You were very rude. Why did you not answer the gentleman?" The reply was, "What does he think he knows about mathematics?"

In 1953, when I was visiting Professor at Toronto, I went with my wife to buy a pair of socks. By the time I left, she and the salesman persuaded me to buy an overcoat. When I related this to a doctor friend, he said he knew a far better salesman. A woman, whose husband had died, went to buy a suit of clothes to bury him in. The salesman persuaded her to buy a suit with two pairs of trousers.

In 1958, I was Visiting Professor at the University of Colorado at Boulder. One day the phone rang, and a woman's voice said "I am Ann Lee and I want to give you a chance of winning 45 dollars." I said, "Oh." She then asked me, "What was the oldest dance in the world?" I said, "This is a difficult question and I don't know." She then asked me, "Where does the tango come from?" I said, "South America." "Good," she said, "you have answered the question, you are now entitled to 45 dollars of free dancing lessons." You may think for a moment what reply you would make to this, but I would get top marks. I asked her, "Who was the first President of the U.S.A.?" "George Washington," she said. "Good," I replied, "you have won your 45 dollars back again." This story is known all over the U.S.A.

In the course of one's travels, a great many unlikely coincidences arise. Perhaps the most surprising one occurred when I was going from the States to visit my son, who was dean of the Faculty of Engineering at McGill in Montreal. We had to change planes at Syracuse in New York State. Presently my wife said there was someone walking around and looking at me as if he knew me. The next time he passed by I said to him, "Excuse me, am I supposed to know you?" He said no, but that he had often seen me at Manchester University, that he was going to Montreal, and that my son, who had met him in Barbados, was going to meet him.

Some years ago, I attended a meeting of the Mathematical Association of America held at the U.S. Air Force Academy at Colorado Springs. In walking around, I noticed some one with a great deal of brass about him, and I said to him, "Are you a mathematician or only a general?" He said, "Only a general." I am only a mathematician, but I have taken seriously to heart Bacon's dictum that every man is a debtor to his profession. I have tried to be of help to mathematicians and in fact have learned much from them. In a modest way, I have tried to advance the science of mathematics in a manner Professor Schwatt never thought of when he said I would do so. As I have lectured in so many places, I have thought I should give others the opportunity of doing so, and so I have endowed an annual lecture in Pure Mathematics in this University. I had suggested that the first talk should be given by Professor Davenport on Number theory in Great Britain, but his death prevented this.

There is an old adage: Oats and beans and barley grow, but neither you nor I nor anybody else knows what makes oats and beans and barley grow. Neither you nor I nor anybody else knows what makes a mathematician tick. It is not a question of cleverness. As I have already said, I know many mathematicians who are far abler and cleverer than I am, but they have not been so lucky. An illustration may be given by considering two miners. One may be an expert geologist, but he does not find the golden nuggets that the ignorant miner does.

In some ways, a mathematician is not responsible for his activities. One sometimes feels there is an inner self occasionally communicating with the outer man. This view is supported by the statements made by H. Poincaré and J. Hadamard about their researches. I remember once walking down St. Andrews Street some three weeks after writing a paper. Though I had never given the matter any thought since then, it suddenly occurred to me that a point in my proof needed looking into.

I am very grateful to my inner self for his valuable help in the solution of some important and difficult problems that I could not have done otherwise.

I commenced this talk by saying a toast had been drunk to me by the Master and Fellows of St. John's College. I might conclude by reciting one sent to me by Professor L. Moser. Of him, it was said that he was writing a book and taking so long about it that his publishers became very much worried and went to see him. He said he was very sorry about the delay, but he was afraid that the book might have to be a posthumous one. Well, he was told, please hurry up with it.

Moser's toast was as follows:

Here's a toast to L. J. Mordell,
young in spirit, most active as well,
He'll never grow weary,
of his love, number theory,
The results he obtains are just swell.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие		3
Введение		5
I.	Что такое математика?	6
II.	Становление математика	9
III.	Трудности изучения математики	11
IV.	Трудности, возникающие из-за неудачного преподнесения материала	13
V.	Как работает математик?	14
VI.	Истоки проблем	15
VII.	Решение проблем	17
VIII.	Использование компьютеров для решения проблем	19
IX.	Роль памяти в математике	19
X.	Математические ошибки и заблуждения	21
XI.	Элемент везения в математике	22
XII.	Приоритет в математике	24
XIII.	Эстетическая сторона в математике	26
XIV.	Математические школы	27
XV.	Национальные аспекты математики	28
XVI.	Что за человек математик?	29
XVII.	Итоги	30
Reminiscences of an octogenarian mathematician		—

Предисловие