В МИРЕ НАУКИ Scientific American · Издание на русском языке № 2 · ФЕВРАЛЬ 1984 · С. 50–62

Квантовая гравитация



В квантовой теории гравитации сама геометрия пространства-времени должна беспрерывно флуктуировать, так что может стереться даже различие между прошлым и будущим

БРАЙС С. ДЕ ВИТТ

По-видимому, среди фундаментальных сил природы гравитация отличается особым статусом. Другие силы, например электромагнитные, действуют в пространстве-времени, которое служит простым вместилищем физических событий, декорацией, на фоне которой они происходят. Совершенно иной характер имеет гравитация. Она не является силой, действующей на пассивном фоне пространства и времени; скорее, она представляет собой искажение самого пространства-времени. Гравитационное поле — это «кривизна» пространства-времени. Таковы представления о гравитации, установленные А. Эйнштейном в результате тяжелейшей, как он сам говорил, работы в его жизни.

Качественные различия между гравитацией и другими силами становятся ещё более ясными, если попытаться сформулировать теорию гравитации, согласующуюся с основами квантовой механики. Квантовый мир никогда не находится в состоянии покоя. Например, в квантовой теории электромагнетизма значения электромагнитных полей беспрерывно флуктуируют. Во Вселенной, подчиняющейся законам квантовой гравитации, кривизна пространства-времени и даже сама его структура тоже должны будут флуктуировать. Возможно, что последовательность каких-то событий в мире и самый смысл понятий прошедшего и будущего окажутся подверженными изменениям.

Можно возразить, что если бы такие явления существовали, то наверняка уже давно были бы обнаружены. Однако квантовомеханические эффекты гравитации должны проявляться только в исключительно малых масштабах; впервые на такие масштабы обратил внимание М. Планк. В 1899 году он ввёл свою знаменитую постоянную, называемую квантом действия и обозначаемую ħ. Планк пытался объяснить спектр излучения абсолютно чёрного тела, т.е. светового излучения, испускаемого горячей замкнутой полостью через небольшое отверстие. Он отметил, что его константа вместе со скоростью света (c) и ньютоновской гравитационной постоянной (G) образуют абсолютную систему единиц. Эти единицы служат естественными масштабами для квантовой теории гравитации ¹.

Планковские единицы никак не связаны с обычными физическими представлениями. Например, единица длины составляет 1,6·10^–33 см. Это на 21 порядок меньше диаметра атомных ядер. Грубо говоря, соотношение планковской длины и размера ядер такое же, как и соотношение размеров человека и диаметра нашей Галактики. Ещё более фантастично выглядит планковская единица времени: 5,4·10^–44 с. Для исследования этих пространственно-временных масштабов с помощью экспериментальных установок, сооружённых на основе современной технологии, необходим ускоритель элементарных частиц размером с Галактику!

В этой области науки из экспериментов нельзя получить окончательных выводов, поэтому квантовая теория гравитации имеет в какой-то степени спекулятивный характер, что необычно для физики. Однако по своей сути эта теория консервативна. В ней используются хорошо проверенные теории для того, чтобы получить из них строгие логические выводы. Если отбросить частности, то главная цель квантовой гравитации — соединение в одну теорию трёх компонент: специальной теории относительности, эйнштейновской теории гравитации и квантовой механики. Такой синтез ещё не удалось полностью осуществить, однако на этом пути мы узнали много нового. Более того, развитие реалистической теории квантовой гравитации указало на единственный пока путь к пониманию Большого взрыва и окончательной судьбы чёрных дыр, т.е. начала и далёкого будущего Вселенной.

Из всех составных частей квантовой гравитации специальная теория относительности исторически появилась первой. В этой теории пространство и время объединяются на основе экспериментально проверенного постулата о независимости скорости света для разных наблюдателей, движущихся в пустом пространстве, свободном от внешних сил. Следствия этого постулата, введённого Эйнштейном в 1905 году, можно описать с помощью пространственно-временны́х диаграмм, на которых кривые линии изображают положение объектов в пространстве в зависимости от времени. Эти кривые называют мировыми линиями объектов.

Для упрощения я не буду учитывать два пространственных измерения. Тогда мировая линия может быть изображена на двумерном графике, где пространственная ось направлена горизонтально, а временна́я вертикально. Вертикальная прямая на таком графике представляет собой мировую линию объекта, который покоится в выбранной для измерений системе отсчёта, а наклонная прямая — мировую линию объекта, движущегося в этой системе отсчёта с постоянной скоростью. Кривая мировая линия описывает движение объекта, испытывающего ускорение.

Рис. 1. Световой конус, который выделяет области Вселенной, достижимые из данной точки пространства-времени, в квантовой теории гравитации трудно определить. Конус (a) — поверхность в четырёхмерном пространстве-времени, но здесь он изображён двумерным: изъято одно пространственное измерение. Если гравитационное поле проквантовано, то форма конуса может сильно флуктуировать на коротких расстояниях (б). На самом деле флуктуации непосредственно различить невозможно; вместо этого световой конус будет «выглядеть размытым». В результате на вопрос, смогут ли какие-то две точки пространства-времени быть соединены сигналом, движущимся медленнее света, можно будет дать только вероятностный ответ (в).

Любая точка на пространственно-временно́й диаграмме определяет положение объекта в пространстве в данный момент времени; она называется событием. Пространственное расстояние между двумя событиями зависит от выбранной системы отсчёта, это же справедливо для временно́го интервала между ними. Само понятие одновременности зависит от системы отсчёта. Если два события можно соединить горизонтальной линией, то они одновременны в данной системе отсчёта, но не в других системах.

Для установления связи между системами отсчёта, движущимися относительно друг друга, надо ввести общую единицу измерения пространственных расстояний и временны́х интервалов. Множителем для пересчёта служит скорость света, связывающая данное расстояние с временем, необходимым свету для его преодоления. Я выберу метры в качестве единиц измерения пространственных и временных интервалов. В такой системе единиц один метр времени равняется примерно 3⅓ наносекунды (1 нс = 10^–9 с).

Если пространство и время измеряются в одинаковых единицах, то мировая линия фотона (кванта света) наклонена под углом 45°. Мировая линия любого материального объекта отклонена от вертикали на угол, меньший 45°. Это просто иная формулировка утверждения, что скорость любого объекта всегда меньше скорости света. Если мировая линия какого-то объекта или сигнала отклонится от вертикальной оси больше, чем на 45°, то с точки зрения некоторых наблюдателей этот объект или сигнал будет двигаться во времени в обратном направлении. Создав излучатель сверхсветовых сигналов, можно было бы передать информацию в своё собственное прошлое, что нарушило бы принцип причинности. Такие сигналы в специальной теории относительности объявлены «вне закона».

Рассмотрим два события на мировой линии наблюдателя, движущегося без ускорения. Предположим, что в некоторой системе отсчёта эти события разделены четырьмя метрами пространства и пятью метрами времени. Тогда наш наблюдатель движется в этой системе отсчёта со скоростью, составляющей 4/5 скорости света. В другой системе его скорость будет иной, и изменяются соответствующие пространственные и временны́е расстояния. Есть, однако, величина, которая одинакова во всех системах отсчёта. Эту инвариантную величину называют «собственным временем» между двумя событиями; она равна временному интервалу, измеренному по часам, которые наш наблюдатель взял с собой.

В выбранной системе отсчёта мировая линия между событиями представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с основанием 4 м и высотой 5 м. «Собственное время» равно «длине» этой гипотенузы, но вычисленной необычным образом, с помощью «псевдопифагоровой» теоремы. Сначала возводят в квадрат катеты треугольника — так же, как и в обычной теореме Пифагора. Однако квадрат гипотенузы в специальной теории относительности равен не сумме, а разности квадратов катетов.

Рис. 2. Мировая линия изображает путь в пространстве и во времени. Здесь изображены две мировые линии, демонстрирующие один из вариантов эйнштейновского парадокса близнецов. «Наклонная» мировая линия того из близнецов, который испытывает ускорение в точке поворота при возвращении из путешествия, кажется более длинной, но этот близнец зарегистрирует более короткое «собственное время». Действительно, прямая линия соответствует самому длинному интервалу между двумя точками на пространственно-временно́й диаграмме. На рисунке показаны времена отправления и прибытия сигналов, которыми обмениваются близнецы.

В нашем примере собственное время равно трём метрам. Оно и останется равным трём метрам в системе отсчёта любого наблюдателя, движущегося без ускорения. Именно инвариантность собственного времени позволяет объединить пространство и время в одно реально существующее пространство-время. Геометрия пространства-времени, основанная на «псевдопифагоровой» теореме, не является евклидовой, но во многом ей аналогична. В геометрии Евклида среди множества путей, соединяющих две точки, можно выбрать один экстремальный — прямую линию. То же верно и для геометрии пространства-времени. Однако в евклидовой геометрии этот экстремум всегда является минимумом (прямая — кратчайшее расстояние между точками), в то время как в пространстве-времени — это всегда максимум, если две точки могут быть соединены мировой линией, не содержащей сверхсветовых сигналов.

В 1854 году немецкий математик Б. Риман обобщил евклидову геометрию на случай искривлённых пространств. Двумерные искривлённые пространства изучались со времён античности. Они назывались искривлёнными поверхностями и обычно рассматривались с позиций трёхмерного евклидова пространства, в котором они помещены. Риман показал, что искривлённые пространства могут иметь любое число измерений и что для их изучения нет необходимости считать, что они находятся в евклидовом пространстве высшей размерности.

Риман указал также, что физическое пространство, в котором мы существуем, может оказаться искривлённым. По его мнению, этот вопрос может быть решён только экспериментально. Как же можно, хотя бы в принципе, выполнить подобный эксперимент? Говорят, что евклидово пространство плоское. Параллельные прямые в плоском пространстве образуют однородную прямоугольную сетку. Таково свойство плоского пространства. Что же произойдёт, если попытаться нарисовать такую же сетку на поверхности Земли, считая, что она плоская?

Результат можно увидеть с самолета, если лететь в ясный день над обработанными полями Великих равнин. Дороги, проходящие с запада на восток и с севера на юг, поделили всю землю на одинаковые участки (скажем, площадью в одну квадратную милю). Восточно-западные дороги часто представляют собой практически прямые линии, простирающиеся на многие мили. Но северо-южные дороги выглядят иначе. Следуя взглядом вдоль такой дороги, через каждые несколько миль можно встретить неожиданный изгиб на восток или на запад. Эти изгибы появились из-за кривизны земной поверхности. Если их не делать, дороги, ведущие на север, будут сходиться и участки, которые они разделяют, будут иметь площадь меньше квадратной мили.

В трёхмерном случае можно представить себе сооружение гигантской решётчатой конструкции (вроде строительных лесов), в которой рёбра сходятся точно под углами 90° и 180°. Если пространство плоское, то сооружение таких лесов не вызовет трудностей. Если же пространство искривлено, то рано или поздно понадобится использовать рёбра разной длины, удлиняя или укорачивая некоторые из них, чтобы подогнать друг к другу.

К геометрии специальной теории относительности можно применить такое же обобщение, какое Риман применил к евклидовой геометрии; оно было выполнено между 1912 и 1915 годами А. Эйнштейном с помощью математика М. Гроссмана. Результатом явилась теория искривлённого пространства-времени. В руках Эйнштейна она превратилась в теорию гравитации. В специальной теории относительности пространство-время считалось плоским, т.е. подразумевалось отсутствие гравитационных полей. В искривлённом пространстве-времени есть гравитационное поле; в действительности «кривизна» и «гравитационное поле» — просто синонимы.

Поскольку теория гравитационного поля Эйнштейна является обобщением специальной теории относительности, он назвал её общей теорией относительности. Это название применено неправильно. Общая теория относительности на самом деле менее «относительна», чем специальная теория. Плоское пространство-время лишено характерных особенностей, оно однородно и изотропно, и это обстоятельство гарантирует строгую относительность положений и скоростей. Но как только в пространстве-времени появятся «бугорки», или локальные области с кривизной, то положения и скорости приобретают абсолютный характер: их можно определять по отношению к этим «бугоркам». Пространство-время перестаёт быть просто пассивной ареной действия для физики, оно само приобретает физические свойства.

В теории Эйнштейна кривизна создаётся материей. В принципе соотношение между количеством материи и степенью кривизны простое, но расчёты достаточно сложны. Чтобы описать кривизну в данной точке, надо узнать значения в этой точке двадцати функций пространственно-временны́х координат. Десять из этих функций соответствуют той части кривизны, которая свободно распространяется в форме гравитационных волн, т.е. в виде «ряби» кривизны. Оставшиеся десять функций определяются распределением масс, энергии, импульса, углового момента и внутренних напряжений в веществе, а также ньютоновской гравитационной постоянной G.

Постоянная G очень мала, если принять во внимание значения плотности масс, встречающиеся в земных условиях. Требуется очень много масс, чтобы заметно изогнуть пространство-время. Обратную величину 1/G можно рассматривать как меру «жёсткости» пространства-времени. С точки зрения повседневного опыта пространство-время очень жёсткое. Вся масса Земли создаёт пространственно-временную кривизну, которая составляет лишь одну миллиардную кривизны земной поверхности.

В теории Эйнштейна тело, свободно падающее или свободно вращающееся по орбите, следует в своём движении по мировой линии, называемой геодезической. Геодезическая, соединяющая две пространственно-временны́е точки, является мировой линией экстремальной длины; это обобщение понятия прямой линии. Если мысленно поместить искривлённое пространство-время в плоское пространство высшей размерности, то геодезическая будет кривой линией.

Влияние кривизны на движение тела часто иллюстрируют моделью, в которой мяч катится по искривлённой резиновой поверхности. Эта модель вводит в заблуждение, поскольку может воспроизвести только пространственную кривизну. В реальной жизни мы вынуждены оставаться в четырёхмерной Вселенной, в нашем обычном пространстве-времени. Более того, мы не можем избежать движения в этой Вселенной, так как неустанно несёмся вперёд во времени. Время — это ключевой элемент. Оказывается, что, хотя пространство и искривляется в гравитационном поле, гораздо более важно искривление времени. Причина этого кроется в большом значении скорости света, которая связывает масштабы пространства и времени.

Вблизи Земли кривизна пространства настолько мала, что не может быть обнаружена путём статических измерений. Но при нашей безудержной гонке за временем кривизна в динамических ситуациях становится заметной, подобно тому как бугорок на автостраде может быть незаметен для пешехода, но станет опасным для мчащегося автомобиля. Несмотря на то, что околоземное пространство можно считать с высокой степенью точности плоским, мы в состоянии обнаружить кривизну пространства-времеии при простом броске мяча в воздух. Если мяч находится в полете 2 с, то он опишет дугу высотой 5 м. За эти же 2 с свет проходит расстояние 600 000 км. Если представить, что дугу высотой 5 м удлиняют по горизонтали до размеров 600 000 км, то кривизна получившейся дуги будет соответствовать кривизне пространства-времени.

Рис. 3. Кривизна пространства-времени проявляется как гравитационное поле в присутствии масс. Если подбросить мяч вверх на 5 м (слева), то он будет находиться в полете 2 с. Его движение вверх и затем вниз является проявлением кривизны пространства-времени вблизи земной поверхности. Кривизну траектории мяча легко наблюдать, но в действительности она очень мала, если пространство и время измерены в одинаковых единицах. Например, секунды можно превратить в метры простым умножением на скорость света, т.е. на 300 млн. м в секунду. Если это сделать, то траектория становится сильно пологой дугой, высота которой всего 5 м, а длина 600 млн. м (справа). На рисунке высота траектории увеличена.

Введение Риманом идеи относительно искривлённых пространств способствовали исследованиям в другой обширной области математики — топологии. Было известно, что безграничные двумерные поверхности могут существовать в бесконечном множестве вариантов, которые не приводятся друг к другу непрерывной деформацией поверхности; простой пример этого — сфера и тор. Риман указал, что то же справедливо для искривлённых пространств высшей размерности, и предпринял первые шаги их классификации.

Искривлённое пространство-время (более точно, его модели) также может относиться к одному из многих топологических типов. С точки зрения соответствия реальной Вселенной некоторые модели должны быть отвергнуты, поскольку они ведут к парадоксам, связанным с причинностью, или в них невозможно сформулировать известные законы физики. Но всё же остается ещё огромное число возможностей.

Знаменитую модель Вселенной предложил в 1922 году советский математик А. А. Фридман. В специальной теории относительности пространство-время не только плоское, но и бесконечное как во времени, так и в пространстве. В модели Фридмана любое трёхмерное пространственное сечение пространства-времени имеет конечный объём и топологию трёхмерной сферы. Трёхмерная сфера — это пространство, которое можно вложить в четырёхмерное евклидово пространство так, что все его точки будут находиться на данном расстоянии от заданной точки. С тех пор как Э. Хаббл открыл в 20-х годах расширение Вселенной, модель Фридмана стала любимицей космологов. Вместе с эйнштейновской теорией гравитации модель Фридмана предсказывает Большой взрыв в начальный момент расширения Вселенной, когда давление было бесконечно велико. Далее следует расширение, скорость которого медленно уменьшается из-за взаимного гравитационного притяжения всей материи во Вселенной.

В пространстве-времени Фридмана любая замкнутая кривая может быть непрерывным образом стянута в точку. О таком пространстве-времени говорят, что оно односвязно. Реальная Вселенная такого свойства может и не иметь. По-видимому, модель Фридмана очень хорошо описывает области пространства, находящиеся в пределах нескольких миллиардов световых лет от Галактики, однако вся Вселенная недоступна нашему наблюдению.

Простым примером многосвязной вселенной является вселенная, структура которой в заданном пространственном направлении повторяется ad infinitum (до бесконечности) подобно рисунку на обоях. Каждая галактика в такой вселенной является членом бесконечного ряда идентичных галактик, разделённых некоторым фиксированным (и с необходимостью огромным) расстоянием. Если члены этого ряда галактик действительно абсолютно идентичны, то встаёт вопрос, следует ли их вообще рассматривать как разные галактики. Более экономно представлять весь ряд как одну галактику. Тогда путешествие от одного члена ряда к другому означает возвращение путешественника в начальную точку. Траектория такого путешествия является замкнутой кривой, которую нельзя стянуть в точку. Она подобна замкнутой кривой на поверхности цилиндра, которая один раз охватывает цилиндр. Такая повторяющаяся вселенная называется цилиндрической.

Другим примером многосвязной структуры является модель «ручек»², предложенная в 1957 году Дж. Уилером (теперь он работает в Техасском университете в Остине). Здесь многосвязность проявляется на гораздо меньшем расстоянии, чем в предыдущем случае. Двумерную «ручку» можно построить, если в двумерной поверхности прорезать два круглых отверстия и гладко соединить края разрезов (см. рис. 4). В трёхмерном пространстве процедура остается той же, но её труднее представить наглядно.

Рис. 4. «Ручка» в пространстве-времени представляет собой гипотетическое образование, которое может изменить топологию Вселенной. «Ручку» на плоскости можно создать, если прорезать два отверстия и вытянуть их края в трубки, которые затем соединяются. На первоначальной плоскости любая замкнутая кривая может быть стянута в точку (показано цветом). Однако кривая, проходящая сквозь «ручку», не может быть стянута. «Ручка» в трёхмерном пространстве не имеет принципиального отличия от «ручки» в четырёхмерном пространстве-времени.

Так как в первоначальном пространстве две дырки могут находиться на большом расстоянии друг от друга и всё же соединяться через «горловину», такая «ручка» стала в научной фантастике излюбленным устройством для перемещений из одного места пространства в другое быстрее света: надо только «проколоть» в пространстве две дырки, соединить их и «проползти» через горловину. К сожалению, даже если удастся построить такой «дырокол» (что представляется весьма сомнительным), система не будет работать. Если геометрия пространства-времени подчиняется уравнениям Эйнштейна, то «ручка» должна быть динамическим объектом. Как оказалось, дырки, которые она соединяет, с необходимостью должны быть чёрными дырами, из которых нет возврата. Что же случится с путешественником? Горловина сожмётся, и всё, что находится внутри, спрессуется до бесконечно большой плотности, прежде чем достигнет выхода.

Рис. 5. Удалённые области Вселенной в принципе могут быть соединены с помощью «ручки». Можно предположить, что это позволяет обмениваться сигналами, распространяющимися быстрее света, но в действительности такая схема не будет работать. На рисунке вверху слева расстояние между дырками во «внешнем мире» сравнимо с расстоянием через «горловину». Для «ручки», изображённой слева внизу, внешнее расстояние гораздо больше. На нижних рисунках слева и в середине пространство представлено искривлённой плоскостью, но таков её вид с позиций наблюдателя, находящегося в пространстве более высокой размерности. Для наблюдателя, находящегося на плоскости, она будет казаться действительно примерно плоской. Какова бы ни была длина «горловины», пройти через неё невозможно. Причина заключается в том, что «ручка» всегда соединяет две чёрные дыры. «Горловина утончается», как изображено на рисунках в середине, и всё, что туда попало, будет сжато до бесконечной плотности, прежде чем достигнет противоположного конца. Флуктуирующая топология, характерная для пространства-времени в некоторых вариантах квантовой теории гравитации, приводит к серьёзным принципиальным трудностям. На рисунке справа даны изображения «ручки», которая постепенно становилась тоньше и наконец исчезла, оставив после себя два «выроста». Если такой процесс возможен, то возможен и обратный процесс. Иными словами, «выросты» могут слиться в новую «ручку». Такое событие представляется вероятным, когда «выросты» находятся близко, и невозможным, если они удалены друг от друга. Однако представление о том, что находится «близко» или «далеко», связано с вложением поверхности в пространство высшей размерности. Для наблюдателя, находящегося на самой поверхности, оба случая, изображённые на рисунках справа, должны быть неразличимы.

Квантовая механика, третья составная часть квантовой теории гравитации, была создана в 1925 году В. Гейзенбергом и Э. Шрёдингером, но в её первоначальной формулировке не принималась во внимание теория относительности. Тем не менее ей сразу же сопутствовал блестящий успех, так как давно ждали своего объяснения многочисленные экспериментальные наблюдения, в которых доминировали именно квантовые эффекты, а релятивистские эффекты играли малую или вообще ничтожную роль. Было известно, однако, что в некоторых атомах электроны достигают таких скоростей, которыми уже нельзя пренебрегать даже по сравнению со скоростью света. Поэтому начало поисков релятивистской квантовой теории не заставило себя ждать.

К середине 30-х годов было полностью осознано, что соединение квантовой механики с теорией относительности приводит к некоторым совершенно новым фактам. Следующие два из них наиболее фундаментальны. Во-первых, каждая частица ассоциируется с некоторым типом поля, а каждое поле — с целым классом неразличимых частиц. Электромагнетизм и гравитация не могли уже рассматриваться как единственные фундаментальные поля в природе. Во-вторых, есть два типа частиц, различающихся значениями спинового углового момента. Частицы с полуцелым спином ½ħ, 1½ħ и т.п. подчиняются принципу запрета (никакие две частицы не могут быть в одинаковом квантовом состоянии). Частицы с целым спином 0, ħ, 2ħ и т.д. более «общительны» и могут собираться в группы с произвольным числом частиц.

Эти удивительные следствия соединения специальной теории относительности и квантовой механики неоднократно подтверждались за последние 50 лет. Квантовая теория в сочетании с релятивизмом произвели на свет теорию, которая величественнее простой суммы её частей. Синергический, взаимно усиливающий, эффект выражен даже ещё больше, когда в теорию включается гравитация.

В классической физике пустое плоское пространство-время называют вакуумом. Классический вакуум не имеет физических свойств. В квантовой физике название «вакуум» даётся гораздо более сложному объекту со сложной структурой. Эта структура является следствием существования неисчезающих свободных полей, т.е. полей, далёких от своих источников.

Свободное электромагнитное поле математически эквивалентно бесконечному набору гармонических осцилляторов, которые можно представить как пружинки с массами на концах. В вакууме каждый осциллятор находится в основном состоянии (в состоянии с минимальной энергией). Классический (не квантовомеханический) осциллятор в своём основном состоянии покоится в некоторой определённой точке, соответствующей минимуму потенциальной энергии. Но это невозможно для квантового осциллятора. Если бы квантовый осциллятор находился в определённой точке, то его положение было бы известно с бесконечной точностью. По принципу неопределённости осциллятор должен был бы тогда иметь бесконечно большой импульс и бесконечную энергию, что невозможно. В основном состоянии квантового осциллятора точно не определены ни его положение, ни импульс. И то и другое подвержены случайным флуктуациям. В квантовом вакууме флуктуирует электромагнитное поле (и любые другие поля).

Несмотря на то что флуктуации поля в вакууме случайны, они относятся к специальному классу флуктуаций. А именно, подчиняются принципу относительности в том смысле, что «выглядят» одинаково для любого наблюдателя, движущегося с произвольной скоростью, но без ускорения. Как можно показать, из этого свойства следует, что среднее значение поля равно нулю и что величины флуктуаций растут с уменьшением их длины волны. Окончательный результат состоит в том, что наблюдатель не сможет использовать квантовые флуктуации для определения своей скорости относительно вакуума.

Однако флуктуации можно использовать для определения ускорения. В 1976 году это показал У. Унру из Университета провинции Британская Колумбия (Ванкувер, Канада). Результат Унру состоял в том, что гипотетический детектор частиц, испытывающий постоянное ускорение, должен реагировать на вакуумные флуктуации так, как если бы он покоился в газовой среде (следовательно, не в вакууме) с температурой, пропорциональной ускорению. Неускоряемый детектор вообще не должен реагировать на квантовые флуктуации.

Возможность подобной связи между температурой и ускорением привела к переосмыслению термина «вакуум» и пониманию того факта, что существуют различные виды вакуума. Один из простейших нестандартных вакуумов может быть порождён повторением в квантовомеханическом варианте мысленного эксперимента, впервые предложенного Эйнштейном. Представим замкнутую кабину лифта, свободно дрейфующую в пустом пространстве. Некий «игривый дух» начинает «тянуть» кабину так, что она приходит в состояние движения с постоянным ускорением в направлении своего потолка. Предположим также, что стены кабины сделаны из идеального проводника, непроницаемого для электромагнитного излучения, а из кабины полностью откачан воздух, так что в ней не содержится никаких частиц. Эйнштейн придумал это воображаемое место действия для иллюстрации эквивалентности гравитации и ускорения, однако анализ мысленного эксперимента с современных позиций показывает, что здесь следует ожидать некоторых чисто квантовых эффектов.

Начнём с того, что в момент, когда возникает ускорение, пол кабины испускает электромагнитную волну, которая распространяется к потолку и затем, отражаясь, мечется туда-сюда. (Чтобы показать, почему испускается волна, необходим детальный математический анализ свойств ускоряемого электрического проводника.) Эффект аналогичен рождению акустической волны давления в наполненной воздухом кабине. Если допустить на некоторое время возможность диссипации излучения в стенках кабины, то электромагнитная волна превратится в газ фотонов с тепловым спектром энергий, т.е. появится излучение абсолютно чёрного тела, характерное для некоторой температуры.

Теперь кабина содержит разреженный газ фотонов. Чтобы избавиться от них, можно использовать холодильник с радиатором, выведенным наружу. Это потребует определённых затрат энергии, которая подводится от внешнего источника. В результате, после того как будут откачаны все фотоны, образуется новый вакуум. Новый вакуум слегка отличен от стандартного вакуума снаружи кабины. Разница состоит в следующем. Во-первых, детектор Унру, который вместе с кабиной лифта участвует в ускоренном движении, должен был бы реагировать на флуктуации поля в стандартном вакууме, находящемся снаружи; однако он не обнаружит никакой реакции на новый вакуум внутри. Во-вторых, два вакуума различаются содержанием энергии.

Чтобы вычислить энергию вакуума, надо прежде разрешить некоторые фундаментальные вопросы квантовой теории поля. Я отмечал выше, что свободное поле эквивалентно набору гармонических осцилляторов. Флуктуации в основном состоянии создают у вакуумного поля некоторую остаточную энергию, известную под названием энергии нулевых колебаний. Поскольку в единице объёма сосредоточено бесконечное число осцилляторов поля, плотность энергии вакуума, по-видимому, также должна быть бесконечной.

Бесконечное значение плотности энергии вакуума представляет собой серьёзную проблему. Однако теоретикам удалось изобрести ряд технических средств для её устранения. Эти средства — часть общей программы, называемой теорией перенормировок, которая дает рецепт борьбы с различными бесконечностями, возникающими в квантовой теории поля. Какие бы средства ни применялись, они должны быть универсальными в том смысле, что не должны специально создаваться для конкретной физической ситуации, а могут использоваться во всех случаях. Они также должны привести к исчезающей плотности энергии для стандартного вакуума. Последнее требование существенно для согласованности с теорией Эйнштейна, поскольку стандартный вакуум является квантовым эквивалентом пустого плоского пространства-времени. Если в нём сосредоточена какая-то энергия, то пространство-время не будет плоским.

Как правило, различные подходы к теории перенормировок дают одинаковые результаты для одних и тех же задач. Это внушает веру в их справедливость. Если применить эти подходы к вакуумам внутри и снаружи кабины лифта, они приведут к нулевому значению плотности энергии снаружи и отрицательному значению плотности энергии внутри лифта. Сюрпризом является отрицательная энергия вакуума. Что может быть меньше, чем ничего? Однако немного размышлений, и становится ясной разумность отрицательного значения. Внутри кабины надо поместить тепловые фотоны, чтобы детектор Унру реагировал так же, как и детектор в стандартном вакууме снаружи. Добавление фотонов приведёт к тому, что вместе с их энергией полная энергия внутри кабины станет равной нулю, т.е. такой же, как и для вакуума снаружи.

Следует подчеркнуть, что такие причудливые эффекты довольно трудно обнаружить. Ускорения, встречающиеся в повседневной жизни, и даже в случае высокоскоростных механизмов, слишком малы, чтобы отрицательная энергия вакуума могла быть зарегистрирована в опытах. Однако имеется один случай, когда отрицательная энергия вакуума наблюдалась, хотя и косвенным образом. Речь идёт об эффекте, предсказанном в 1948 году X. Казимиром из исследовательской лаборатории фирмы "Philips" в Нидерландах. Две параллельные отполированные незаряженные металлические пластинки помещаются в вакууме очень близко друг к другу. Обнаружено, что они слабо притягиваются благодаря силе, происхождение которой связано с отрицательной плотностью энергии вакуума между пластинками.

Рис. 6. Ускоряемая кабина лифта — аппарат для мысленного эксперимента, который поясняет природу вакуума в квантовой механике и влияние на него ускорения или гравитационного поля. Предполагается, что кабина пуста и изолирована, так что первоначально внутри и снаружи имеется абсолютный вакуум. Когда кабина ускоряется, её пол испускает электромагнитную волну и лифт наполняется разреженным газом квантов электромагнитного излучения — фотонов (слева). Холодильник, подключенный к какому-то внешнему источнику энергии, «выкачивает» фотоны (в середине). Когда все фотоны удалены, детекторы фотонов измеряют энергию вакуума внутри и снаружи (справа). Поскольку наружный прибор ускоряется сквозь вакуум, он реагирует на квантовомеханические флуктуации полей, которыми пространство пронизано даже в отсутствие частиц. Внутренний детектор покоится по отношению к лифту и «не чувствует» флуктуаций. Отсюда следует, что вакуумы внутри и снаружи кабины неэквивалентны. Если положить, что энергия «стандартного» вакуума снаружи равна нулю, то вакуум внутри кабины должен иметь отрицательную энергию. Чтобы восстановить нулевое значение энергии вакуума внутри лифта, надо вернуть удалённые фотоны. Гравитационное поле также может породить вакуум с отрицательной энергией.

Если пространство-время искривлено, то вакуум становится ещё более сложным. Кривизна влияет на пространственное распределение флуктуаций квантовых полей и, подобно ускорению, способна индуцировать отрицательную энергию вакуума. Поскольку кривизна может меняться от точки к точке, энергия вакуума тоже может изменяться, будучи положительной в одних местах и отрицательной — в других.

В любой самосогласованной теории энергия должна сохраняться. Предположим, что возрастание кривизны приводит к росту плотности энергии вакуума. Само существование флуктуаций квантовых полей означает тогда, что для искривления пространства-времени необходима энергия. Таким образом, пространство-время сопротивляется искривлению в точности так же, как в теории Эйнштейна.

В 1967 году А. Д. Сахаров предположил, что гравитация может быть чисто квантовым явлением, возникающим вследствие энергии вакуума. Он предположил также, что ньютоновская постоянная G, или, что то же, жёсткость пространства-времени может быть вычислена из первых принципов теории. Такое предложение встретилось с рядом трудностей. Во-первых, требовалось, чтобы гравитацию как фундаментальное поле сменило некое «калибровочное поле великого объединения», порождённое известными элементарными частицами. Чтобы по-прежнему получалась абсолютная шкала единиц, надо ввести некоторую фундаментальную массу. Следовательно, одна фундаментальная постоянная просто заменится другой.

Во-вторых, что, по-видимому, более важно, вычисленная зависимость энергии вакуума от кривизны, как оказалось, ведёт к более сложной теории гравитации, чем теория Эйнштейна. Энергия вакуума зависит от числа и вида выбранных элементарных полей и метода перенормировки: выяснилось, что энергия может даже убывать с ростом кривизны. Такая обратная связь означала бы, что плоское пространство-время нестабильно и должно стремиться сморщиться, как слива при высушивании. Далее будем считать гравитационное поле фундаментальным.

Истинный вакуум определяется как состояние теплового равновесия при температуре, равной абсолютному нулю. В квантовой гравитации такой вакуум может существовать только в случае, когда кривизна не зависит от времени. Если это не так, то в вакууме могут спонтанно появляться частицы (в результате чего вакуум, конечно, перестанет быть вакуумом).

Механизм рождения частиц можно опять-таки объяснить на языке модели гармонических осцилляторов. Когда изменяется кривизна пространства-времени, меняются и физические свойства осцилляторов поля. Предположим, что обычный осциллятор первоначально находится в основном состоянии и подвержен нулевым колебаниям. Если изменить одну из его характеристик, например величину массы или жёсткость пружины, то нулевые колебания должны сами приспособиться к этим изменениям. После этого существует конечная вероятность обнаружить осциллятор не в основном, а в возбуждённом состоянии. Такое явление аналогично возрастанию колебаний фортепианной струны при увеличении её натяжения; эффект известен под названием параметрического возбуждения. В квантовой теории поля аналогом параметрического возбуждения является рождение частиц.

Частицы, генерируемые изменениями кривизны во времени, появляются случайным образом. Невозможно точно предсказать, когда и где родится данная частица. Однако можно рассчитать статистическое распределение энергии и импульса частиц. Рождение частиц наиболее обильно там, где больше кривизна и где она быстрее всего меняется. Возможно, самое обильное рождение частиц происходило во времена Большого взрыва, когда оно могло быть основным эффектом, определяющим динамику Вселенной на ранних стадиях её развития. И совсем не кажется неправдоподобным, что рождённые тогда частицы ответственны за всю существующую во Вселенной материю!

Попытки рассчитать рождение частиц в Большом взрыве были впервые предприняты примерно 10 лет назад независимо советским академиком Я. Б. Зельдовичем и Л. Паркером из Висконсинского университета в Милуоки. С тех пор этими вопросами занимались многие учёные. Хотя некоторые результаты выглядят многообещающими, ни один из них нельзя назвать точным. Более того, остается неразрешённым главный вопрос: что выбирается в качестве начального квантового состояния в момент Большого взрыва? Здесь физики могут взять на себя роль бога. Ни одно из сделанных до сих пор предложений не представляется безупречным.

Другое явление во Вселенной, когда кривизна может быстро изменяться, это коллапс звезды в чёрную дыру. Здесь квантовомеханические вычисления независимо от начальных условий привели к настоящему сюрпризу. В 1974 году С. Хокинг из Кембриджского университета показал, что изменение кривизны вблизи коллапсирующей чёрной дыры порождает поток излучённых частиц. Этот поток равномерен и продолжается долго после того, как чёрная дыра станет геометрически стационарной. Он может продолжаться из-за замедления времени в огромном гравитационном поле вблизи поверхности горизонта чёрной дыры, когда внешнему наблюдателю кажется, что все процессы замирают. Частицы, рождённые вблизи горизонта, медлят с путешествием во внешний мир.

Хотя задержка в испускании означает, что есть огромное число частиц, «толпящихся» около горизонта и ждущих своей «очереди» перед вылетом, полная плотность энергии в этой области всё же отрицательна и довольно мала. Положительная энергия частиц в большей части скомпенсирована огромной отрицательной энергией вакуума, которая имелась бы в отсутствие этих частиц (например, если чёрная дыра существовала всегда и никогда не была рождена в гравитационном коллапсе).

Можно показать, что испускание частиц статистически не коррелируется и что их энергетический спектр имеет характер теплового. Излучение Хокинга подобно излучению чёрного тела, что, быть может, является его основным свойством. Это позволяет приписать чёрной дыре как температуру, так и энтропию. Энтропия, являющаяся мерой термодинамического беспорядка в системе, оказывается пропорциональной площади поверхности горизонта. Она огромна для чёрной дыры с массой порядка массы звёзд: на 19 порядков больше энтропии звезды, из которой возникла чёрная дыра. С другой стороны, температура обратно пропорциональна массе и в нашем примере должна быть на 11 порядков меньше температуры звезды-прародительницы.

Поскольку количество излучения, испускаемого объектом, зависит от его температуры, излучение Хокинга от астрофизических чёрных дыр совершенно ничтожно. Оно становится важным лишь для чёрных «мини-дыр» с массой, меньшей 10¹⁰ граммов. Единственная мыслимая причина образования чёрных мини-дыр — это огромное давление в процессе Большого взрыва. Возможно, что тогда происходило их множественное рождение. В таком случае они должны вносить значительный вклад в энтропию Вселенной.

Энергия частицы, рождённой вследствие изменения кривизны во времени, не черпается из ничего. Она взята из самого пространства-времени. В свою очередь частица действует на пространство-время. Предпринимались различные попытки рассчитать эту «обратную реакцию» в случае Большого взрыва, чтобы определить её влияние на динамику ранней Вселенной. В частности, может ли обратная реакция подавить (скомпенсировать) бесконечно большую начальную плотность материи, требуемую классической теорией Эйнштейна. Бесконечная плотность является барьером для всех дальнейших исследований. Если бы можно было заменить её просто огромной плотностью, то возник бы вопрос: что происходило во Вселенной перед Большим взрывом?

В 60-х годах Р. Пенроуз из Оксфордского университета и С. Хокинг показали, что классическая теория Эйнштейна неполна. Она предсказывает появление в прошлом или будущем бесконечных плотностей и бесконечной кривизны при ряде физически приемлемых условий. Теория, приводящая к бесконечным значениям физически наблюдаемых величин, не в состоянии предсказать их поведение за этими точками. Поскольку физики верят в познаваемость природы, они считают, что такую теорию следует изменить, чтобы включить более широкий класс явлений. В настоящее время консервативный взгляд заключается в следующем: включение квантовых эффектов является единственно приемлемым средством, способным избавить теорию Эйнштейна от некоторой ограниченности.

Вычисления обратного влияния рождённых частиц на процесс Большого взрыва производились методами численного моделирования на компьютерах. Пока они дали неопределённые результаты. Одна из трудностей состояла в проблеме выбора (в качестве исходных данных для компьютера) достоверного значения общей плотности энергии рожденных частиц и квантового вакуума, в который они помещены.

Эффект обратного действия особенно важен для чёрных дыр. Излучение Хокинга «похищает» у чёрной дыры и температуру, и энтропию. Соответственно уменьшается масса чёрной дыры. Скорость уменьшения массы сначала невелика, но резко увеличивается по мере роста температуры. В конце концов скорость изменений становится столь большой, что нарушаются приближения, при которых рассчитывалось излучение Хокинга. Что происходит потом — неизвестно. Хокинг думает, что его приближение останется качественно справедливым, так что чёрная дыра прекратит своё существование в эффектной вспышке, после которой в причинной структуре пространства-времени останется «голая сингулярность».

Любая сингулярность (голая она или нет) означает несостоятельность теории. Если Хокинг прав, то неполна не только теория Эйнштейна, но и квантовая теория тоже. Дело в том, что любой частице, родившейся вне поверхности горизонта соответствует другая частица, рождающаяся внутри. Эти две частицы скоррелированы в том смысле, что наблюдатель мог бы обнаружить «интерференцию вероятности», если бы он был в состоянии сообщаться с обеими частицами одновременно. Хокинг предположил, что внутренние частицы сдавливаются до бесконечной плотности и прекращают своё существование. В этот момент нарушается стандартная вероятностная интерпретация квантовой механики: вероятность исчезает в столкновении с бесконечностью.

Альтернативное и столь же правдоподобное предположение заключается в том, что сами рамки квантовой теории поля, которые воздвигаются вокруг теории Эйнштейна, не дают вероятности и информации потеряться в коллапсе. Вполне возможно, что эффект обратной реакции становится настолько большим, что может помешать возникновению бесконечностей. Горизонт скорее математическая конструкция, нежели физическая. Его может и не существовать вовсе в качестве абсолютного одностороннего барьера. Материя, коллапсирующая до образования чёрной дыры, может быть в конце концов полностью учтена, частица за частицей. Несомненно, что должны существовать огромные плотности внутри чёрной дыры и финальный всплеск излучения Хокинга. Однако давление, которому подвергаются ядерные частицы, может превратить их в фотоны и другие безмассовые частицы, которые в состоянии ускользнуть, унеся небольшую оставшуюся энергию и все квантовые корреляции. Эти конечные продукты не должны уносить с собой первоначальную энтропию чёрной дыры, поскольку вся она уже «похищена» излучением Хокинга.

Теперь я подошёл к более трудным разделам квантовой теории гравитации. Когда квантовые эффекты, например рождение частиц или энергия вакуума, оказывают обратное действие на кривизну пространства-времени, сама кривизна становится квантовым объектом. Самосогласованность теории требует квантования гравитационного поля. Для длин волн, больших планковской длины, флуктуации квантованного гравитационного поля малы. Их можно аккуратно учесть, рассматривая как малые возмущения на классическом фоне. Возмущения можно проанализировать, как если бы они были независимыми полями. Они вносят свою долю и в энергию вакуума, и в рождение частиц.

При планковских длинах волн и энергиях ситуация невероятно усложняется. Частицы, ассоциируемые со слабым гравитационным полем, называют гравитонами; они не имеют массы, а их спиновый угловой момент равен 2ħ. Маловероятно, что когда-нибудь непосредственно удастся зарегистрировать отдельный гравитон. Обычное вещество, даже если взять целую галактику, почти абсолютно прозрачно для гравитонов. Только при планковских энергиях они могут заметно взаимодействовать с веществом. Но при таких энергиях гравитоны способны породить планковскую кривизну в геометрии фона. Тогда поле, с которым ассоциируются гравитоны, не может считаться слабым, а при таких условиях плохо определено само понятие «частица».

При больших длинах волн энергия, которую несёт гравитон, искажает геометрию фона. При более коротких длинах волн она искажает волны, ассоциируемые с самим гравитоном. Это является следствием нелинейности теории Эйнштейна: когда накладываются два гравитационных поля, результирующее поле не является суммой своих компонент. Все нетривиальные теории поля нелинейны. Для борьбы с нелинейностями в некоторых из них можно применять методы последовательных приближений, называемые теорией возмущений (такое название происходит из небесной механики). Суть метода — в уточнении первоначального приближения построением последовательности прогрессивно уменьшающихся поправок. Применение теории возмущений к квантованным полям приводит к появлению бесконечностей, которые можно устранить перенормировкой.

В случае квантовой гравитации теория возмущений не работает, причём по двум причинам. Во-первых, при планковских энергиях последовательные члены ряда теории возмущений (т.е. последовательные поправки) все сравнимы по величине. Оборвать ряд на каком-то конечном числе членов не означает здесь получить хорошее приближение; вместо этого надо просуммировать весь бесконечный ряд. Во-вторых, отдельные члены ряда не могут быть согласованно перенормированы. В каждом приближении появляются новые виды бесконечностей, которые не имеют аналогов в обычной квантовой теории поля. Они возникают, потому что при квантовании гравитационного поля квантуется само пространство-время. В обычной квантовой теории поля пространство-время является фиксированным фоном. В квантовой гравитации этот фон не только влияет на квантовые флуктуации, но и участвует в них.

Узкотехническим ответом на эти трудности явились некоторые попытки просуммировать определённые бесконечные подмножества ряда теории возмущений. Результаты, в особенности полное сокращение всех бесконечностей, обнадёживают и в то же время вызывают сомнения. К этим результатам надо относиться осторожно, так как при их получении были введены различные приближения, а ряд теории возмущений никогда не был просуммирован полностью. Тем не менее эти результаты использовались для расчёта улучшенных оценок эффекта обратного влияния на Большой взрыв.

В более общем случае следует ожидать появления других проблем, решить которые нельзя даже суммированием ряда в целом. Причинная структура квантованного пространства-времени не определена и подвержена флуктуациям. На планковских расстояниях стирается само различие между прошлым и будущим. Можно ожидать, что станут возможными процессы, запрещённые в классической теории Эйнштейна, включая путешествия на планковские расстояния со сверхсветовой скоростью. Это может быть явлением, аналогичным туннелированию в атомных системах, когда электрон просачивается сквозь энергетический барьер, на который он не может «взобраться». Совершенно неизвестно, как рассчитать вероятность таких процессов в квантовой гравитации. Во многих случаях даже неясно, как надо правильно поставить вопросы и какие именно. Не существует экспериментов, которые указали бы нам правильный путь. Поэтому всё ещё можно позволить себе пуститься в полёты фантазии.

Одна из излюбленных фантазий, к которой неоднократно обращаются в литературе по квантовой гравитации, — это флуктуирующая топология. Основная идея, предложенная Уилером в 1957 году, выглядит следующим образом. Вакуумные флуктуации гравитационного поля, равно как и флуктуации всех других полей, растут по величине при более коротких длинах волн. Если экстраполировать результаты, полученные в приближении слабого поля, на область планковских размеров, то флуктуации кривизны станут настолько интенсивными, что смогут, как представляется, «прорезать» дыры в пространстве-времени и изменить его топологию. Вакуум, по Уилеру, находится в состоянии нескончаемого беспорядка, когда постоянно рождаются и исчезают «ручки» и более сложные топологические образования. Размеры этих образований порядка планковских, так что беспорядок можно «увидеть» только на планковском уровне. При более грубом разрешении пространство-время кажется гладким.

Рис. 7. Квантовый вакуум, как его представил в 1957 году Дж. Уилер, становится всё более хаотичным, если рассматривать его на всё более малых расстояниях в пространстве. В масштабах атомных ядер (вверху) пространство выглядит очень гладким. На расстояниях порядка 10–30 см начинают проявляться некоторые неровности (в середине). На расстояниях, примерно в 1000 раз меньших, т.е. в масштабах планковской длины (внизу), кривизна и топология пространства сильно флуктуируют.

Однако можно выдвинуть возражение: любое топологическое изменение с необходимостью сопровождается появлением сингулярности в причинной структуре пространства-времени, так что такой подход сталкивается с той же трудностью, которая следует из взглядов Хокинга на распад чёрных дыр. Однако предположим, что точка зрения Уилера правильна. Вот один из первых вопросов, которые следовало бы тогда задать: каков вклад топологических флуктуаций в энергию вакуума и как они влияют на сопротивление пространства-времени искривлению (хотя бы в грубом приближении)? До сих пор никто убедительно на этот вопрос не ответил в первую очередь из-за того, что не построено сколько-нибудь последовательной картины самого процесса топологического перехода.

Чтобы иметь возможность оценить, какого рода препятствия встают на пути построения такой картины, рассмотрим процесс, представленный на рис. 5. Слева и в середине на рисунке — два представления одного и того же события: «ручка» стала настолько тонкой, что от неё остались два «выроста» на односвязном пространстве. В одном изображении пространство показано плоским, в другом — искривлённым.

Теперь рассмотрим обратный процесс: образование «ручки». Если существует конечная вероятность того, что «ручка» всё утончается и наконец просто исчезает, то имеется и конечная вероятность её образования. Здесь возникает новая трудность. Если рассмотреть нашу иллюстрацию в обратном по времени направлении, мы увидим, что она изображает два «выроста», которые спонтанно образовались в квантовом вакууме. Для одного из представлений кажется приемлемой возможность соединения двух «выростов» в «ручку». Для другого это, по-видимому, невероятно. Тем не менее физическая ситуация в обоих случаях одна и та же. Образование «ручки» в одном из случаев кажется вполне вероятным, так как «выросты» находятся близко друг к другу. Однако «близость» не является внутренним свойством данного расположения в пространстве, как следует из двух рассмотренных случаев. Понятие «близости» требует существования пространства высшей размерности, в которое вложено пространство-время. Более того, пространство высшей размерности должно обладать соответствующими физическими свойствами, чтобы «выросты» могли передать друг другу «ощущение близости». Но тогда пространство-время больше не является Вселенной. Вселенная теперь — это нечто большее. Если оставаться верным представлениям, что свойства пространства-времени должны быть его внутренними характеристиками, а не результатом чего-то, находящегося извне, то согласованной картины топологических переходов, по-видимому, невозможно построить.

Другая трудность при рассмотрении топологических флуктуаций заключается в том, что они могут нарушить макроскопическую размерность пространства. Если «ручки» в состоянии спонтанно образовываться, то они сами могут породить другие «ручки» и так ad infinitum. Пространство может развернуться в структуру, которая остаётся трёхмерной на планковском уровне, но будет иметь четыре или больше измерений на больших масштабах. Знакомый пример такого процесса — образование пены, которая целиком построена из двумерных поверхностей, но имеет трёхмерную структуру (см. рис. 8).

Рис. 8. Размерность пространства находится под вопросом из-за того, что пространство-время может иметь сложную топологию. Изображённая поверхность двумерна, но её топологические связи таковы, что она кажется трёхмерным объектом. Возможно, что трёхмерное пространство, если рассматривать его на микроскопическом уровне, имеет на самом деле меньшее число измерений, но топологически составлено из переплетений.

Из-за подобных трудностей некоторые физики предположили, что общепринятое описание пространства-времени как гладкого континуума перестаёт быть правильным на планковском уровне и должно быть заменено чем-либо другим. Из чего складывается это «другое» — никогда не было достаточно ясно. Принимая во внимание успех общепринятого описания на расстояниях, простирающихся более чем на 40 порядков (или даже на 60 порядков, если считать, что такое описание становится неверным только при планковских расстояниях), можно предположить, что оно справедливо на всех масштабах и что топологических переходов просто не существует. Это будет столь же разумным предположением.

Даже если топология пространства не меняется, она не обязана быть простой даже на микроскопическом уровне. Возможно, что с самого начала пространство имеет «пенистую» структуру. В этом случае его кажущаяся размерность может отличаться от истинной размерности — быть больше или меньше её.

Последняя возможность была предложена в теории, выдвинутой Т. Калуцой в 1921 году и О. Клейном в 1926 году. В теории Калуцы–Клейна пространство четырёхмерно, а пространство-время — пятимерно. Причина, по которой пространство кажется трёхмерным, состоит в том, что одно из его измерений цилиндрическое, как во Вселенной, обсуждавшейся выше. Имеется, однако, существенное отличие от прежнего случая: окружность Вселенной в цилиндрическом направлении теперь не миллиарды световых лет, а несколько (возможно, 10 или 100) планковских единиц длины. В результате наблюдатель, который пытается проникнуть в четвёртое пространственное измерение, почти мгновенно вернётся назад в исходную точку. В действительности даже не имеет смысла говорить о такой попытке, поскольку атомы, из которых создан наблюдатель, гораздо больше, чем окружность цилиндра. Четвёртое измерение как таковое просто ненаблюдаемо.

Тем не менее оно может проявить себя другим путём: как свет! Калуца и Клейн показали, что если пятимерное пространство-время описать с помощью точно таких же математических методов, какими описывается четырёхмерное пространство-время в теории Эйнштейна, то их теория эквивалентна теории электромагнетизма Максвелла и теории гравитации Эйнштейна. Компоненты электромагнитного поля неявно содержатся в уравнении для кривизны пространства-времени. Таким образом, Калуца и Клейн изобрели первую успешную объединённую теорию поля; в их теории дано геометрическое объяснение электромагнитного излучения.

В некотором смысле теория Калуцы–Клейна была слишком успешна. Хотя она и объединила теории Максвелла и Эйнштейна, она не предсказывала ничего нового и поэтому не могла подвергнуться испытанию наряду с другими теориями. Причина заключалась в том, что Калуца и Клейн вводили ограничения на способы, которыми пространству-времени позволено искривиться в дополнительном измерении. Если устранить эти ограничения, теория должна была предсказывать новые эффекты, но, по-видимому, эти эффекты не соответствовали реальности. Поэтому эта теория рассматривалась просто как красивая диковинка и на долгие годы была положена под сукно.

О ней вспомнили в 60-е годы. Стало ясно, что новые калибровочные теории, популярность которых росла, могут быть переформулированы в стиле теории Калуцы–Клейна, когда пространство обладает не одним, а сразу несколькими дополнительными микроскопическими измерениями. Создалось впечатление, что вся физика может получить объяснение в терминах геометрии. В результате возник вопрос: что произойдёт, если снять ограничения на кривизну в замкнутых измерениях.

Одним из возможных следствий является предсказание флуктуации кривизны в дополнительных измерениях; эти флуктуации проявляются как массивные частицы. Если длина окружности в дополнительных замкнутых измерениях порядка 10 планковских единиц, то массы этих частиц имеют величину, грубо говоря, порядка одной десятой планковской массы, т.е. около 10^–6 г. Поскольку для рождения таких тяжёлых частиц необходима огромная энергия, они почти никогда и не рождаются. Поэтому для повседневной практики не имеет особого значения, налагаются ограничения на флуктуации кривизны или не налагаются. Проблемы остаются. Главная из них в том, что большие значения кривизны в дополнительных измерениях приводят к очень высокой плотности энергии в классическом вакууме. Наблюдения исключают большие значения энергии вакуума.

Рис. 9. Дополнительные пространственные измерения, помимо известных трёх, могут существовать, если они имеют «замкнутый» характер (компактифицируются). Например, четвёртое пространственное измерение может быть свёрнуто в цилиндр с окружностью порядка 10–32 см. На рисунке гипотетическое «замкнутое» измерение «не свёрнуто» и представляется вертикальной осью на пространственно-временно́й диаграмме. Поэтому путь частицы имеет циклическую компоненту: каждый раз, когда частица достигает максимального значения координаты в замкнутом измерении, она оказывается снова в точке с начальной координатой в этом измерении. Наблюдаемый путь — это проекция истинного пути на пространство-время макроскопических измерений. Если путь является геодезической, он может выглядеть как путь заряженной частицы, движущейся в электрическом поле. Теория такого типа была предложена в 20-е годы Т. Калуцой и О. Клейном, которые показали, что она может объяснить и гравитацию, и электромагнетизм. В последнее время возрождается интерес к подобным теориям.

Модели Калуцы–Клейна никогда не привлекали пристального внимания и их роль в физике всё ещё не ясна. Однако в последние два или три года их снова стали тщательно исследовать на этот раз в связи с замечательным обобщением теории Эйнштейна, известным под названием супергравитации. Супергравитация изобретена в 1976 году Д. Фридманом, П. ван Ньювенхёйзеном и С. Феррарой и (в улучшенном варианте) С. Дезером и Б. Зумино.

Одно из несоответствий моделей Калуцы–Клейна реальности состоит в том, что они предсказывают существование частиц только с целым спином 0, ħ и 2ħ, причём даже эти частицы должны быть либо безмассовыми, либо сверхтяжёлыми. В ней не нашлось места для частиц обычного вещества, большинство из которых имеют спиновый угловой момент ½ħ. Оказалось, что если теория Эйнштейна заменена на супергравитацию, а пространство-время рассматривается по типу модели Калуцы–Клейна, то достигается истинное объединение всех спинов.

В «супермодели» Калуцы–Клейна, которая сейчас наиболее популярна, к размерности пространства-времени добавляется семь дополнительных измерений. Эти измерения имеют топологию семимерной сферы, т.е. пространства, которое само по себе имеет очень интересные свойства. Получающаяся теория необычно сложна и богата по содержанию; она устанавливает существование огромных мультиплетов частиц. Массы этих частиц по-прежнему либо равны нулю, либо чрезвычайно велики. Возможно, что «нарушение» симметрии семимерной сферы приведёт к появлению у некоторых частиц более реалистических значений масс. Выстояла и большая энергия классического вакуума, но она может сократиться с отрицательной энергией квантового вакуума. Пока ещё неизвестно, увенчается ли успехом такая стратегия исправления теории. В действительности понадобится ещё много труда, чтобы точно выяснить все следствия теории.

Если бы Эйнштейн мог увидеть, что произошло с его теорией, он был бы, конечно, удивлён и, я полагаю, обрадован. Он был бы доволен, что после стольких лет сомнений физики, наконец, пришли к его точке зрения, что математически красивые теории заслуживают изучения, даже если в данный момент ещё не ясно, имеют ли они отношение к физической реальности. Он был бы рад тому, что физики осмеливаются надеяться на достижимость объединённых теорий поля. И особенно он был бы удовлетворён, обнаружив, что его старая мечта — объяснить всю физику в терминах геометрии как будто бы сбывается.

Но главным образом он был бы удивлён. Удивлён тому, что квантовая теория всё ещё стоит в основе всего нетронутой и непоколебимой, обогащая теорию поля и в свою очередь обогащаясь ею. Эйнштейн никогда не верил, что квантовая теория выражает окончательную истину. Сам он так и не смирился с индетерминизмом, который внесла теория квантов, и полагал, что когда-нибудь её заменит некая нелинейная теория поля. Случилось совершенно обратное. Квантовая теория поглотила и изменила теорию Эйнштейна.