А. Зоммерфельд. Пути познания в физике (сборник статей; ответст­венный редак­тор Я. А. Сморо­динский, соста­витель У. И. Франк­фурт). — Москва: «Наука», 1973. 319 стр. Арнольд Зоммерфельд (1868–1951) — один из крупней­ших физиков XX века — внёс сущест­венный вклад во многие об­ласти совре­менной фи­зики (тео­рия атома, теория отно­ситель­ности, дифрак­ция радио­волн и др.). Зоммер­фельд, кроме того, был выдаю­щимся педаго­гом и блестя­щим популя­риза­тором науки. В сборник вошли популярные статьи и речи Зоммер­фельда. Его пе­репис­ка с Эйн­штейном отра­жает инте­рес­нейший период в раз­витии фи­зики (1912–1950). В осо­бом раз­деле поме­щены статьи уче­ников и сотруд­ников Зоммер­фельда, рас­кры­ваю­щих зна­чение его науч­ного твор­чества. Книга рассчитана на широкий круг чита­телей, инте­ресую­щихся исто­рией науки.

СОДЕРЖАНИЕ

Когда я приехал в Гёттинген в 1893 г., то первая лекция Клейна, которую я слушал, была посвящена римановской P-функции. Как и все лекции Клейна, она была проработана и преподнесена с большой гибкостью и блеском. Клейн обладал умением, доступным лишь немногим лекторам, многократно в течение каждого часа делать выводы из сказанного, давая возможность слушателям записать их, не производя в то же время впечатления педантизма и не повторяясь. Это удавалось ему, так как его выводы придавали новую заострённую форму его мыслям. Мыслям, но не расчётам. Расчёты в лекциях Клейна играют весьма второстепенную роль. Это был один из пунктов, в которых его подход близко соприкасался с образом мыслей Римана. Определение функции по её свойствам независимо от её формального представления; формула не как фундамент, но лишь как источник математических знаний! На той лекции мы получили представление о духе теории функций Римана—Клейна на примере гипергеометрической функции. Увлекающий темперамент Клейна, коренящийся в его рейнском происхождении, помогал очень отчётливо ощутить этот математический дух и вместе с тем проникнуться образом мыслей Римана.

Когда Клейн в 1894 г., после смерти Гельмгольца, выступал на его месте с докладом перед общим заседанием Венского научно-исследовательского общества, избранная им тема была связана с Риманом и его ролью в развитии современной математики. В этом докладе он объясняет особенную мощь римановского метода глубоким проникновением в него образа мыслей, свойственного математической физике. «Как в области физики различные явления зависят от выбранных условий, опыта, так Риман характеризует свои функции особыми граничными условиями, которые он на них налагает». «То, что в физике называют изгнанием дальнодействия, объяснением явлений на основе внутренних сил заполняющего всё пространство эфира, в математике означает восстановление функций по их поведению в бесконечно малом, в частности, из дифференциальных уравнений, которым они удовлетворяют». «Риман в математике занимает то же место, которое Фарадей занимает в физике».

Наиболее отчётливо математико-физический подход Римана обнаруживается в его диссертации (1851), посвящённой основам теории функций. В ней излагается теория потенциала в пространстве двух измерений; формула Грина представляется естественной ступенью перед формулой Коши. Дифференциальные соотношения Римана между вещественной и мнимой частью комплексной функции являются уравнениями безвихревого течения несжимаемой жидкости.

То, что здесь было выражено Риманом частично в завуалированной форме, Клейн отчётливо прояснил в 1881 г. в своей лекции и в работе «О римановой теории алгебраических функций и их интегралах», а также в примыкающей к этой теме более подробной лекции о римановых поверхностях. Идею римановой поверхности, введённую Риманом в его диссертации, с указанием (в конце) возможного расширения этого понятия Клейн развивает до представления о замкнутой «поверхности Клейна—Римана». Подобно тому как комплексную плоскость в теории функций удобнее всего заменить поверхностью шара, так и разветвлённую риманову поверхность высшего типа оказывается возможным заменить некоторой замкнутой многосвязной трёхмерной поверхностью без сингулярностей. Эту поверхность можно представить себе в виде равномерного слоя некоторого проводящего материала и рассматривать её как проводник электрического тока. Однозначно определяемая величина потенциала тока на поверхности служит основой для теории алгебраических функций на поверхности и их интегралов. Точки, где потенциал не имеет определённого значения, являются источниками или стоками; это те самые точки, в которых подразумевается присоединение электродов, подводящих к проводнику и отводящих от него электрический ток. Если расположить бесконечное число электродов в сплошной ряд вдоль некоторого разреза этой поверхности, то для потенциала получаются выражения в виде ограниченных интегралов (интегралов первого рода). Интегралы второго и третьего рода появляются в случае точечных электродов, совпадающих или разделённых; функции, однозначные на поверхности — алгебраические функции — могут быть построены из потенциальных функций в качестве предельных случаев.

То, о чём здесь идёт речь, не является, собственно, математической физикой, а скорее физической математикой. Не математика здесь обслуживает интересы и задачи физики, а физика вдохновляет и руководит математическими идеями. Клейн часто и убедительно доказывал своим ученикам, что у физики для этого есть и способности и призвание.

Диссертация Римана поначалу была чуждой современным ему математикам, о ней отзывались как о книге за семью печатями. О том, что она была ближе к физическому, а не к математическому образу мышления, свидетельствует рассказ моего почтенного коллеги Вюльнера из Аахена. Однажды (если я не ошибаюсь, в 60-х годах) он проводил свой летний отпуск в Риги́ вместе с Гельмгольцем и Вейерштрассом. Вейерштрасс взял с собой диссертацию Римана, чтобы в отпуске в спокойной обстановке справиться с этим сложным в его понимании трудом. Гельмгольц же недоумевал, какие сложности могут отыскать у Римана специалисты-математики; для него изложение Римана было исключительно ясным.

Клейну в той же мере, как и Риману, был близок физический способ мышления. Его непосредственный учитель Плюккер был одновременно и математиком и физиком-экспериментатором, а Клейн был его ассистентом в лаборатории. Первая лекция Клейна в должности приват-доцента в Гёттингене была посвящена закону сохранения энергии. Однако взятая им на себя обязанность — издание «Геометрии линий» Плюккера после его смерти — первое время удерживала его от дальнейших шагов в области физики, а когда после выполнения этой работы он собирался энергично заняться физикой, он уже занимал должность ординатора математики в Эрлангене. Несмотря на это, он продолжал внимательно следить за развитием физики. Ранее большинства немецких физиков (исключая, конечно, Гельмгольца) он осознал значение теории Максвелла и ради неё скрестил шпаги со своими лейпцигскими коллегами-физиками. Особенно близко ему было томсоновское интуитивное понимание механики и математики. У меня навсегда останутся в памяти первые беседы, на которые Клейн приглашал меня в начале моего пребывания в Гёттингене. Как истинный «романтик» в науке, он видел главную задачу своей деятельности в том, чтобы привлечь к науке как можно больше молодых сил. Когда я приехал в Гёттинген, у меня имелись различные соображения по поводу трактовки дифференциальных уравнений физики. Он с готовностью обсуждал все мои проекты и указывал их связь с имеющейся математической литературой и с его собственными краткими обзорами. В лекциях по теории потенциала и дифференциальным уравнениям математической физики, которые Клейн читал незадолго до этого и которые в обработанном виде находились в математическом читальном зале, доступные каждому, я нашёл свои планы в значительной степени уже выполненными: в частности, они содержали представление главной характеристической функции для различных дифференциальных уравнений математической физики и распространение метода Грина с теории потенциала на другие разделы физики. Клейн обычно отводил для таких бесед вечерние часы, с 6 до 8 вечера; моя очередь наступала вначале почти еженедельно. К концу каждой беседы стол оказывался завален книгами, в которых он обнаруживал общую связь моей частной проблемы со всей математической литературой. И в течение тех двух лет, когда я был ассистентом у Клейна, и во время последующей совместной нашей работы я также чрезвычайно многим ему обязан. Я постоянно и живо ощущал, что клейновский подход к математике, подчёркнутое обращение к геометрической наглядности в противовес чисто логическому и алгоритмическому подходу является совершенно правильным методом преподавания при изложении вопросов, касающихся различных применений математики в механике и физике. Уже самые его предупреждения против преувеличенной осторожности в вопросах сходимости, его твёрдый оптимизм в отношении достаточности математических средств и возможностей их приспособления к потребностям естественных наук способствовали освобождению того, кто изучал эти применения, от оков школьной скрупулёзности, поддерживая его в творческом научном созидании. В клейновской математике больше наглядности, а не глубоких размышлений и строгого анализа. И математика действительно должна быть именно такой, когда речь идёт о том, чтобы она могла в полной мере продемонстрировать свою мощь в применениях.

Концентрированным отражением лекций Клейна по математической физике являются книги Боше о разложениях в ряды в теории потенциала и Поккельса о колебательных процессах (дифференциальное уравнение в частных производных Δu + k²u = 0). Книга Боше стремится к большей математической общности, и в ней специальные случаи разложений по цилиндрическим и шаровым функциям, широко используемых в физике, рассматриваются в общем виде как ряды функций Ламе; при этом обнаруживается и общая применимость осцилляционной теоремы Клейна.

Книга Поккельса, напротив, посвящена рэлеевской теории звука и может служить превосходным введением в специальные методы математической физики. Она читается так, как если бы была написана самим Клейном, и ясно показывает читателю силу личности Клейна. Поккельс, с его совершенно другим темпераментом, работая вместе с Клейном, полностью подчинялся гипнотической силе его могучей личности.

Развитие науки за последние годы протянуло новую нить между Клейном и математической физикой, и эта нить связана также с великим именем Римана. Уже вскоре после создания специальной теории относительности Клейн выступил в её поддержку (в журнале «Zeitschrift für Mathematik und Physik»), развивая выявленную Минковским взаимосвязь нового физического мировоззрения с клейновской трактовкой неевклидовой геометрии как «проективного задания меры». Когда же в последние годы из специальной выросла общая теория относительности, Клейн рассматривал её как осуществление своей «эрлангенской программы» в самом широком смысле, как применение его старых теоретико-групповых принципов, развитых им ранее применительно к геометрии, для трактовки физического пространственно-временного многообразия, в основе которой лежит общее представление о группе точечных преобразований. Адекватное этой группе задание меры здесь является уже не проективным, а самым общим римановским, соответствующим четырёхмерному многообразию произвольной кривизны. Точка зрения, которая выработалась у Эйнштейна на основе физических постулатов ценой огромных усилий, была в конечном итоге той же самой, которую ещё в 70-х годах разработали молодые математики Клейн и Ли для своей специальной области геометрии и которая позволяла им без всяких затруднений рассматривать задачи в этой области.

Насколько независимыми были взгляды Римана на принципы познания природы, мы можем судить по заключительным словам его доклада, прочитанного при вступлении в должность доцента, — «О гипотезах, лежащих в основе геометрии». Они производят сильное впечатление, когда мы читаем их сегодня, после того как развитие физики открыло нам глаза на эти пророческие предсказания. Анализируя вопрос об основаниях метрических соотношений в пространстве, Риман говорит, что «для дискретного многообразия принцип метрических соотношений содержится уже в понятии этого многообразия; для непрерывного же многообразия он должен быть введен как-то иначе». «Таким образом, либо действительность, лежащая в основе данного многообразия, должна образовывать дискретное многообразие (квантовая теория?), либо основа метрических соотношений должна находиться извне, в воздействии внешних сил связи» (теория тяготения Эйнштейна!).

Клейн изложил все эти сведения в курсе лекций, прочитанных им во время войны для избранного круга слушателей. Первая лекция была посвящена алгебраической теории инвариантов, вторая — теории инвариантов группы Лоренца, третья — инвариантам в общей теории относительности. Эти три лекции в тщательно обработанном виде, с богатыми по содержанию примечаниями, помещены в журнале «Göttinger Nachrichten»; в них Клейн хорошо излагает своё понимание общей теории относительности и отчасти полемизирует с её трактовкой Гильбертом. Темой четвёртой лекции, если меня правильно проинформировали, была теория инвариантов непрерывных преобразований и её значение для общей механики. Эти лекции, кроме того, обладают прелестью его лекций, читанных им в молодые годы: его удивительное умение отчётливо проследить связи между возникновением понятий в математике и в физике легко подводит нас к последним творениям эйнштейновской мысли и свидетельствует о том, что они являются венцом достижений длительного развития математики. Все почитатели этого большого человека и замечательного ума воспримут с радостью и удовлетворением, что он в течение двадцати лет, господствовавший в математике и её многочисленных ответвлениях, сумевший на вершине жизни перебросить мосты в соседние области физики, техники и образования и уже несколько лет назад могший согнуться под тяжестью созданного и задуманного им, сейчас, в семидесятилетнем возрасте, вновь нашёл в себе силы, чтобы с полной ясностью осветить величайшую научную проблему последних лет и связать её с проблемами, занимавшими его в юношеские годы.

1919

[· · ·]

II. Метод комплексного интегрирования

Кто, подобно мне, учился у Зоммерфельда в начале 20-х годов, тот познакомился с методом комплексного интегрирования впервые в квантовой теории при расчёте знаменитых фазовых интегралов ∫ p dq. Применение этого метода здесь фактически напрашивается само собой, поскольку импульс p в общем является двузначной функцией q; положения нулей импульса являются точками ветвления и интегрирование может быть ограничено областью между обоими нулями импульса. Но, конечно, этот метод не может превратить интеграл по эллипсу в более простой. Поэтому для практических применений необходимо было предварительно произвести разложение в степенной ряд по некоторому параметру, например по малому внешнему возмущению. Но если разложение было уже сделано, то и другие способы быстро вели к цели. Мы, студенты, часто задавались вопросом, почему Зоммерфельд придавал такое значение именно комплексному интегрированию. Это предпочтение доходило до того, что старшие товарищи по университету давали такой совет к докторской работе: «Проинтегрируйте в своей диссертации пару раз в комплексной плоскости, и положительная оценка вам обеспечена».

По-настоящему наши сомнения однажды выразил Вольфганг Паули. Он спросил меня: «В какой мере могут подходить для физики аналитические функции? Ведь в физике речь идёт о реальных величинах, а значит, только о действительных функциях. Что, собственно, означает в физике требование гладкости, определяющее аналитический характер функции?» Уже тогда мы после дискуссии пришли в конце концов к выводу, что речь идёт, вероятно, о той характерной черте природы, которую неточно обозначают понятием «причинность». Тот факт, что со времён Ньютона законы природы формулируются в виде дифференциальных уравнений, означает ведь, что берётся взаимная связь между двумя непосредственно соседствующими пространственными или временны́ми точками. У Ньютона взаимная связь считается локальной только во времени; пространственно допускается дальнодействие. В теории Максвелла или в теории относительности взаимодействия локальны в пространстве и во времени, т.е. существует лишь близкодействие в эйнштейновском смысле.

Насколько мне известно, Зоммерфельд не высказал в подобном общем виде связи между требованием аналитичности функций, описывающих физические величины, и эмпирической причинностью. Но в его семинаре очень рано стали рассматриваться проблемы, в которой эта связь ясно узнавалась. Я вспоминаю об одной прошедшей под руководством Зоммерфельда дискуссии по следующему вопросу. Темой семинара был один опыт, в котором световой луч падал на дифракционную решётку. При этом обычно не совсем точно выражались, что в рассеянном свете дифракционная решётка вызывает некоторое фурье-разложение светового луча. Предположим заранее, что световой луч ограничен в пространстве и времени. Фурье-разложение этого луча состоит из неограниченных в пространстве и времени периодических плоских волн. Тогда вопрос был поставлен так: каким образом получается, что дифракционная решётка может испускать рассеянный свет только после падения на неё светового луча? Что физически дело должно было обстоять именно так, в этом, естественно, не было сомнения как раз в силу требования причинности. Но каким образом добивается математика того, что и в рассеянном свете амплитуда равна нулю как раз до критического момента времени? Вычисление было проведено, и при этом опять методом комплексного интегрирования было показано, что всё происходит так, как того требует причинность. Как известно, эти соотношения сыграли в течение последних пятнадцати лет существенную роль в квантовой теории поля и в теории элементарных частиц. Так называемые дисперсионные соотношения используют как раз аналитический характер функций, представляющих рассеянный свет. Они оказались исключительно плодотворными и при анализе результатов экспериментов в физике элементарных частиц.

Но у Зоммерфельда были и другие основания предпочесть комплексное интегрирование. Его особый интерес к решению дифференциальных уравнений в частных производных уже отмечался. Особо важную роль при этом, естественно, играли цилиндрические функции. Точное представление этих функций комплексными интегралами составило тему одной ранней математической работы Зоммерфельда. Здесь он увидел важное преимущество комплексного интегрирования: в определённых граничных случаях — при больших или малых действительных или мнимых значениях независимой переменной или параметра — можно было легко оценить поведение решения, причём путь интегрирования в комплексной плоскости смещался так, что именно в этом граничном случае получалось хорошо сходящееся (или хорошо полусходящееся) разложение. Гибкость комплексного интегрирования проявлялась здесь как весьма хорошо действующее вспомогательное средство для нахождения приближённых формул, и Зоммерфельд настаивал, что приближение можно довести до получения формул, пригодных для сравнения с экспериментом.

Условиями существования, насколько мне известно, Зоммерфельд никогда не занимался. Они его не интересовали, поскольку существовали сами явления; задача заключалась лишь в нахождении такого математического представления, которое сделало бы их понятными. Если математический анализ уравнения показывал, что для него не существует решения, то отсюда следовало лишь, что уравнение было неправильно выбрано.

В качестве примера особого интереса Зоммерфельда к дифференциальным уравнениям математической физики можно упомянуть ещё его работы о волнах в беспроволочной телеграфии. Зоммерфельд исследовал распространение волн, испускаемых колеблющимся диполем, по поверхности земного шара. При этом он упускал, или не учитывал, одно решающее для этой проблемы обстоятельство, именно существование ионосферы, отражающей электромагнитные волны, без которой, по крайней мере в прежние времена, беспроволочная телеграфия была практически невозможна. Но даже после того, как этот физический факт вполне выяснился, Зоммерфельд продолжал интересоваться точным математическим решением этой, как было уже известно, недопустимо упрощённой задачи. Когда я прежде слушал как Зоммерфельд говорил о подобных задачах, то у меня часто возникало впечатление, что его в известной мере захватывало чисто спортивное математическое честолюбие. Раз поставленную задачу ему хотелось точно решить до конца, независимо от того, было ли это важно для физики или нет.

В этой связи идей вспомним об ещё одном важном достижении Зоммерфельда. При рассмотрении задачи о беспроволочном распространении волн по земной поверхности решение получается в виде суперпозиции бесконечного числа собственных решений, каждое из которых принадлежит определённому представлению группы вращения. Следовательно, речь идёт в конце концов о суммировании ряда бесконечного числа сферических функций. Зоммерфельд дал эту задачу своему тогдашнему ученику Лапорту, который воспользовался методом комплексного интегрирования. При численных соотношениях, встречаемых в практических задачах, чтобы получить годный для применения результат, необходимо было просуммировать свыше тысячи членов ряда сферических функций. Вместо этого Лапорт, опираясь на одну работу Ватсона, сумел так изменить путь интегрирования, что существенными остаются лишь вычеты для нескольких полюсов, из которых только один даёт основной вклад. И здесь Зоммерфельд и Лапорт воспользовались большой гибкостью комплексного интегрирования для того, чтобы прийти к хорошим приближенным формулам для практически интересных граничных случаев.

Если перейти от распространения электромагнитных волн на земной поверхности к задаче рассеяния в квантовой механике, например к рассеянию элементарных частиц на заданном потенциале, то указанный Зоммерфельдом путь ведёт к так называемым полюсам Редже. Примерно пять лет назад здесь, в Мюнхене, Редже показал, что с помощью преобразования Зоммерфельда—Ватсона можно прийти к хорошим асимптотическим формулам для больших энергий рассеянных частиц. При этом преобразование Зоммерфельда—Ватсона математически означает, что собственные решения квантовомеханической задачи воспринимаются как аналитические функции квантового числа момента импульса, хотя это квантовое число в физически важных случаях может принимать только целые или полуцелые действительные значения. Тогда все собственные решения, принадлежащие одинаковому потенциалу, но различным целочисленным значениям момента импульса, можно объединить в одно множество, члены которого лежат на одной так называемой траектории Редже. Экспериментально найденные короткоживущие элементарные частицы (резонансы) также можно объединить в группы, которые, по-видимому, соответствуют траектории Редже. Таким образом, получаются достаточно подробные предсказания об аналитическом поведении S-матрицы рассеяния. Необходимо, правда, добавить, что весьма многочисленные работы о полюсах Редже, опубликованные за последние пять лет, показали, насколько сложно действительное аналитическое поведение S-матрицы. При более высокой энергии число возможных процессов или, как ещё говорят, число открытых каналов становится всё больше. Аналитическое поведение S-матрицы должно как-то отразить эту сложную возможность. Следовательно, можно с уверенностью утверждать, что речь не идёт о простых аналитических функциях. Но, конечно, в мою задачу сегодня не входит разбор тонкостей современной теории элементарных частиц. Я хотел лишь показать, насколько важным стал и в современной физике тот метод комплексного интегрирования, которому Зоммерфельд так часто отдавал предпочтение, и насколько плодотворными оказались работы Зоммерфельда именно в этой области.

[· · ·]