1
ПЕРВЫЕ ШАГИ
НА МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПОПРИЩЕ
«Я математик» вторая часть моей автобиографии. В первой части, озаглавленной «Бывший вундеркинд», я писал о нашей семье, о моих отношениях с отцом и о своей странной жизни
Чтобы связать воедино множество разрозненных фактов, лучше всего начать с
Я не собираюсь возвращаться к своему детству, чтобы объяснить происхождение этих странностей об этом достаточно написано в первой книге, но о своей юности я
В детстве и ранней молодости самое сильное влияние оказывал на меня отец. Небольшого роста, живой, энергичный и темпераментный, Лео Винер легко увлекался, одинаково бурно выражая восторг и негодование; ученым он стал скорее в силу особенностей характера, чем благодаря
Проведя двадцать лет в непосредственной близости с таким человеком и сознавая себя плотью от плоти его и костью от кости его, я, естественно, оказался вылепленным совсем по иному образцу, чем остальные мои сверстники.
Наукой я начал заниматься отчасти потому, что этого хотел отец, но в такой же степени и потому, что испытывал к научной деятельности глубокое внутреннее призвание. С раннего детства окружающий мир непрестанно возбуждал мое любопытство, и я настойчиво пытался проникнуть в сущность того, что видел и слышал. Мне было около четырех лет, когда я научился читать, и почти с этого самого времени я начал увлекаться научной литературой самого различного характера. К семи годам у меня за плечами был уже опыт чтения таких книг, как естественная история Дарвина и Кингзли 1, работы Шарко, Жане и других сотрудников Сальпетриер 2. Это собрание книг по самым различным научным вопросам, состоящее из томов разного формата, отпечатанных одинаково мелким неряшливым шрифтом, хорошо известно под названием «Библиотеки Гумбольдта».
Необузданность моей любознательности могла сравниться только с упорным стремлением отца упорядочить мое образование. Сам я занимался тем, что доставляло мне удовольствие, отец же учил меня языкам древним и современным и математике. Нельзя сказать, что эти предметы совсем меня не интересовали, но я занимался ими от случая к случаю, а при этих условиях нечего было и думать удовлетворить отца, который требовал не только точных знаний, но и безусловного умения применять их. Его суровая педантичность причиняла мне много страданий, и только убеждение, что он человек глубоко честный и
Необычно усложненный курс обучения, который я проходил дома, естественно, превращал меня в отшельника и развивал то наивное отношение ко всем вопросам, не связанным с наукой, которое невольно вызывало у окружающих чувство раздражения и антипатии. Я проводил немало времени с детьми, но никогда не пользовался особым расположением товарищей. Когда я в 9 лет поступил в среднюю школу 3, у меня, наконец, появилось несколько друзей, но не среди соучеников, а из ребят моего возраста.
Особое положение, которое я занимал среди детей, подчеркивала еще тяжелая близорукость я видел настолько плохо, что одно время врачи опасались полной потери зрения. Этот недостаток никак не сказывался на моем общем физическом самочувствии, но лишал меня возможности принимать участие в обычных забавах, которыми увлекались мои сверстники. Неуклюжий от природы, я чувствовал себя еще более беспомощным
Из-за постоянного одиночества, на которое я был обречен благодаря избранной отцом системе воспитания, из меня получился нелюдимый и неуклюжий подросток с весьма неустойчивой психикой. Я то преисполнялся невероятным самомнением и страшно гордился своими талантами, то под влиянием резких замечаний отца проникался сознанием собственного ничтожества и впадал в мрачное уныние при мысли о терниях и ухабах, которые ожидали меня на бесконечно долгом пути, заранее предопределенном моей из ряда вон выходящей образованностью. А тут еще постоянная отцовская агрессивность,
Я вырос в еврейской семье. Мои родители единодушно стояли за ассимиляцию и стремились, чтобы наш образ жизни ничем не отличался от образа жизни окружающих нас американцев, но относились они к своему еврейству
Детей в нашей семье воспитывали не только в полном неведении своего происхождения, но сознательно создавали о нем ложное представление. Мы, однако, не могли не заметить, что среди окружающих нас людей
Однако теми успехами, которых я достиг на жизненном поприще, и в том числе научными, я, конечно, обязан некоторым особенностям своего воспитания. Отцовская независимость повлияла и на склад моего характера и на мои привычки. Но гораздо важнее оказалось другое. Самую сильную сторону отца составляли не столько его исключительные умственные способности, сколько удивительная готовность совершенствовать свои знания ценой непрерывного упорного труда. На моих глазах он довел себя до полного изнеможения, переведя с русского языка на английский двадцатичетырехтомное собрание сочинений Толстого за два года, труд, воистину достойный Геркулеса! Естественно, что от других он ожидал того же, на что был способен сам. Поэтому с тех пор, как я вышел из младенческого возраста, я не помню такого времени, когда бы я мог жить спокойно, радуясь достигнутым успехам.
После окончания школы я поступил в
После защиты докторской диссертации Гарвардский университет предоставил мне стипендию для путешествия за границу. Я использовал ее, чтобы побывать в Англии в Кембридже, а потом в Германии в Гёттингене. Хотя мне и раньше случалось уезжать из дома, только во время этой поездки я почувствовал, что волен жить по своему усмотрению, и вкусил радость свободного труда.
В Кембридже моим главным учителем и наставником был Бертран Рассел. Под его руководством я изучал математическую логику и множество других гораздо более общих вопросов, касающихся философии математики и философии науки вообще. Рассел, который в то время впрочем, и сейчас тоже больше всего напоминал сумасшедшего шляпочника 6, блестяще читал лекции, посвященные главным образом недавно созданной теории относительности Эйнштейна. Вместе с небольшой группой студентов, собиравшейся у него дома, я изучал его работы по математической логике и, кроме того, слушал несколько рекомендованных им математических курсов. Самыми интересными из них оказались лекции по высшей математике, которые читал Г. Г. Харди, ставший впоследствии профессором в Оксфорде и Кембридже и оказавшийся, быть может, самой значительной фигурой из английских математиков этого поколения.
В Гарварде я защищал докторскую диссертацию по философии математики. Рассел убедил меня, что нельзя заниматься философией математики, не познакомившись более серьезно с самой математикой.
Я обратился к Харди и обнаружил, что он не только идеальный учитель, но и ученый, которого каждый молодой честолюбивый математик смело мог избрать образцом для подражания. Я впервые увидел его у Рассела, когда приезжал в Кембридж с отцом, который по своей обычной рассеянности бросил меня там на произвол судьбы. Тогда мы оба приняли Харди за студента, и только позднее я узнал, что этот робкий юноша, упорно стремившийся оставаться в тени, великолепный спортсмен и высший авторитет во всех играх с мячом. В зрелые годы Харди стал типичным кембриджским профессором: невероятно сухопарый, вечно в невыутюженных брюках и мятой куртке, добрый, готовый каждому прийти на помощь, но ревниво оберегающий свою независимость и панически боящийся женщин таким он остался у меня в памяти.
Лекции Харди доставляли мне истинное наслаждение. Я и раньше делал попытки проникнуть в область высшей математики, но каждый раз у меня оставалось чувство неудовлетворенности. Я постоянно ощущал, что в ряде доказательств имеются
Понятие интеграла Лебега не относится к тем, которые легко можно объяснить неспециалисту, но, поскольку оно очень важно для дальнейшего содержания этой книги, я все же постараюсь если не изложить его во всей полноте, то хотя бы дать представление о том, что это такое. Каждому ясно, что значит измерить длину отрезка прямой линии или площадь, ограниченную окружностью или
Измерение объемов (или площадей, или длин) сложных областей неправильного строения совершенно необходимо для теории вероятностей и математической статистики; что касается меня, то уже в те далекие годы перед первой мировой войной мне казалось, что этим двум тесно связанным между собой разделам в дальнейшем предстоит завоевать многие области физики. Эти дисциплины были расположены на «ничьей земле» между физикой и математикой. Как раз в таких промежуточных областях, лежащих на стыке нескольких наук, я сделал свои самые крупные открытия;
На самом деле теория вероятностей и математическая статистика в
При изучении теории интеграла Лебега последовательно переходят от меры (т.е. длины) изолированных интервалов к мере более сложных множеств, состоящих из бесконечной последовательности интервалов, и далее к мере еще более сложных множеств, которые (так же как и совокупность точек, не принадлежащих к нашему множеству) можно сколь угодно точно приблизить такой последовательностью интервалов. Аккуратное изложение этой теории требует знания высшей математики, но не содержит никаких особенно длинных математических преобразований или запутанных логических построений. Для нас здесь существенно только то, что Лебег сумел разумным образом распространить понятие длины (т.е. меры) со случая отдельного интервала на случай наиболее сложных точечных множеств, для которых это понятие оказывается еще имеющим смысл.
Харди умер несколько лет тому назад 7; его более молодой коллега и неизменный товарищ по работе Дж. И. Литлвуд, с которым мне тоже приходилось работать, еще жив. В то время, о котором я сейчас рассказываю, Литлвуд казался просто одним из многих блестящих молодых людей; позднее, познакомившись с ним поближе, я узнал, что он замечательный альпинист и еще более замечательный математик. Небольшого роста, плотный, мускулистый, как и пристало настоящему спортсмену, Литлвуд и в математике и в альпинизме отличался неистощимым запасом сил и безупречным мастерством.
За долгие годы творческого содружества роли Харди и Литлвуда определились вполне четко: оригинальность замыслов и ясность мысли шли от Харди, непреклонное упорство и неустанная энергия от Литлвуда. Интересно, что из них двоих Литлвуд был гораздо менее заметен, чем Харди. Однажды произошел такой случай. Литлвуд приехал в Гёттинген к Эдмунду Ландау. Увидев его, этот баловень судьбы и математики со свойственной ему непосредственностью воскликнул: «Так, значит, Вы на самом деле существуете! А
Немного позднее, в этом же академическом году, Ландау и Давид Гильберт стали моими учителями; это произошло весной 1914 года, когда я перед самым началом первой мировой войны перебрался в Гёттинген.
Ландау родился в богатой еврейской семье, где многие поколения мужчин занимались банковским делом. В детстве он тоже был
Второй мой учитель, Гильберт, был человеком совсем другого склада. Спокойный, похожий на крестьянина, уроженец Восточной Пруссии, он отличался неподдельной скромностью, хотя хорошо сознавал свои силы. Про сына, не обладавшего выдающимися математическими способностями, он любил говорить: «Математические способности сын унаследовал от матери, все остальное от меня».
Гильберт брался за решение сложнейших проблем во всех областях современной математики и каждый раз добивался блистательных успехов. Он как будто олицетворял собой лучшие традиции великих гениев прошлого. В моих глазах он был как раз таким ученым, которым я хотел бы стать сам: необычайно острое абстрактное мышление сочеталось у него с поразительным умением не отрываться от конкретного физического смысла проблемы.
За время пребывания в Кембридже Рассел не только показал мне настоящее значение математики, но и убедил в необходимости связи математики с физикой. По его инициативе я начал изучать замечательные достижения Резерфорда и других ученых в области электронной теории строения материи. Я не добился никаких особенных успехов, но получил по крайней мере возможность заблаговременно познакомиться с той самой теорией строения атомного ядра, которая в наше время привела к получению искусственных химических элементов и созданию атомной бомбы. Сейчас эти области науки вызывают в мире не меньший интерес, чем теория относительности Эйнштейна, кстати, впервые оценить ее значение мне тоже помог Рассел. Научная атмосфера Гёттингена, где я продолжал занятия, начатые в Кембридже, еще больше убедила меня в правильности отношения Рассела к физике.
На лето я возвратился в
Для Америки война началась на несколько лет позже, чем для Европы, но я думал о ней неотступно с августа 1914 года. Теперешнее поколение, выросшее в обстановке кризиса и связанных с ним неурядиц, вряд ли может себе представить, каким страшным потрясением явилась война для моих современников. Воспитанные с детства в убеждении, что затянувшееся викторианское благополучие является естественным состоянием человечества, мы верили, что в результате медленной, но неизбежной эволюции постепенно создадутся еще более благоприятные условия существования. Даже сейчас, сорок лет спустя, нам трудно себе представить, что та длинная цепь катастроф, через которые мы прошли, и есть нормальная человеческая жизнь. Мне кажется, что у каждого из нас время от времени появляется тайная мечта проснуться б одно прекрасное утро и снова вернуться к размеренной, спокойной жизни начала столетия.
В это тяжелое время я беспорядочно хватался за множество дел научных и ненаучных. Подсознательно я все время ждал, что война
Математикой я тогда занимался много, но безуспешно. Мне хотелось использовать полученные у Рассола навыки абстрактного мышления в области топологии своеобразной математической дисциплины, имеющей дело с узлами и другими геометрическими образованиями, характеризующимися своими общими свойствами, которые сохраняются при любой сколь угодно значительной деформации пространства, если только в процессе этой деформации не возникает никаких новых разрывов и не совмещаются никакие две ранее отделенные друг от друга точки. Топология включает в себя изучение таких объектов, как, например, известный односторонний лист Мёбиуса, который можно получить, вырезав полоску бумаги и склеив концы после поворота одного из них на 180°. С помощью такой ленты можно показать эффектный фокус, предложив
Через несколько лет после того, как я начал заниматься этими вопросами, топология стала модным разделом математики, особенно в Америке, где возникла большая топологическая школа, возглавляемая Освальдом Вебленом и Дж. У. Александером. Однако моя работа так медленно двигалась вперед, что к этому времени я уже совершенно в ней разочаровался и то ли уничтожил, то ли потерял рукопись, над которой трудился в Колумбийском университете.
19151916 академический год я провел в Гарвардском университете в качестве преподавателя-стажера. В уставе Гарвардского университета есть странный пункт, позволяющий каждому защитившему в университете диссертацию на степень доктора наук прочесть курс лекций по собственному выбору. Воспользовавшись этой привилегией, я избрал своей темой работы Альфреда Норта Уайтхеда. Мои лекции были посвящены строгому логическому построению обоснований математики. Уайтхед наглядно показал, что, используя логические конструкции в качестве определений, легко добиться того, чтобы некоторые математические понятия с самого начала обладали свойствами, которые представители школы постулационистов вынуждены выводить из весьма искусственных формальных предпосылок. Так, например, Уайтхед предлагал рассматривать точку плоскости как совокупность всевозможных площадок, о которых, пользуясь более обычным математическим языком, можно говорить, что они содержат эту точку. Однако, читая лекции, я очень скоро столкнулся с серьезными логическими затруднениями, на которые немедленно обратил внимание профессор Дж. Д. Биркгоф. Мне еще не раз придется упоминать его имя, поэтому я хочу сказать о нем несколько слов.
Этот голландец из штата Мичиган был первым значительным американским математиком, не учившимся нигде, кроме Соединенных Штатов. В свое время он написал блестящую диссертацию по некоторым вопросам динамики, связанным с небесной механикой областью прикладной математики, которой во Франции уделял особое внимание Анри Пуанкаре. С тех пор Биркгоф преисполнился решимости не только стать, но и надолго остаться первым среди американских ученых, работающих в тех классических разделах математики, которые объединяются под названием анализа и по существу представляют собой развитие исследований Ньютона по дифференциальному и интегральному исчислению и математической физике.
Высокий, худой, с неправильными чертами лица и плотно сжатым ртом убежденного кальвиниста, Биркгоф не заблуждался относительно своих на самом деле замечательных способностей. Как я потом узнал, он очень неприязненно относился к возможным соперникам и особенно резко проявлял свои чувства, когда речь шла о евреях. Биркгоф считал, что пресловутая ранняя зрелость евреев дает им лишний шанс на получение работы и облегчает борьбу, которую ведут все молодые математики в начале своей карьеры. Ему казалось, что это особенно несправедливо потому, что впечатление, которое производят евреи, как правило, обманчиво и со временем обнаруживается, что они недостаточно выносливы. Вначале, пока я был еще зеленым юнцом, Биркгоф, естественно, не обращал на меня серьезного внимания, но как только я оперился и добился некоторых успехов, он начал проявлять ко мне острую антипатию и как к еврею и что было еще важнее как к возможному сопернику.
В тот момент, когда я впервые почувствовал его неприязнь, мне трудно было понять, почему я и то, что меня непосредственно окружает, вызывает в нем такую враждебность. Меня действительно никто не назвал бы привлекательным молодым человеком, и сначала я думал, что дело только в этом. Честно говоря, трудно было ожидать, что из меня получится
Я знал об этом хотя бы потому, что до меня не раз доходили слухи о ссорах отца с товарищами по работе, что, впрочем, казалось мне совершенно обычным явлением. Правда, я не подозревал, что его вообще считали человеком в высшей степени непокладистым. Дело в том, что на людей, не склонных к бурным эмоциям, необузданный темперамент отца часто производил неприятное впечатление, а многочисленные недоразумения, которые при этом возникали, создали ему славу задиры, которую он заслуживал лишь отчасти. Много лет спустя я узнал, что враждебность Биркгофа в значительной степени объяснялась его полным непониманием характера отца и отвращением, которое вызывала у него привычка Лео Винера непрерывно хвастаться своим необыкновенным сыном.
Следующий учебный год я провел в университете штата Мэн. Я получил это место через бюро по найму преподавателей и чувствовал себя униженным
Конец академического года совпал со вступлением Соединенных Штатов в войну. Расставшись с университетом, я сделал несколько попыток попасть в армию, но
Расставшись через короткий срок с энциклопедией, я д целой кучей других военных и штатских математиков взялся за работу на испытательном полигоне в Абердине в штате Мэриленд. Наша задача состояла в том, чтобы составить таблицу стрельбы артиллерийских орудий.;
В Абердине я пробыл больше полугода, сначала как штатский, потом как солдат. В роли военного мне пришлось солоно. Бывшие вундеркинды, очевидно, совершенно не годятся для военной службы. Во всяком случае, я то и дело оказывался повинным в грубых проступках, и, хотя всем было ясно, что мной не руководит злая воля, я производил явно неблагоприятное впечатление. Сойтись со своими товарищами я не сумел, и необходимость жить в бараках приводила меня в отчаяние. В феврале 1919 года во снисхождение к моей неспособности меня уволили из армии.
Несколько месяцев я перебивался литературной поденщиной для газет, а потом написал две работы по алгебре. Сами по себе они были неплохи, но лежали очень уж в стороне от основных научных проблем, занимавших в то время ученых. Тем не менее именно после их опубликования профессор В. Ф. Осгуд из Гарвардского университета помог мне получить должность ассистента 12 на кафедре математики Массачусетского технологического института.
Осгуд был другом моего отца, и
Осгуд написал несколько своих книг
В свое время я, наверное, недостаточно поблагодарил профессора Осгуда. Позаботившись, чтобы Массачусетский технологический институт, или МТИ, как его обычно называют, пригласил меня на работу, он действительно оказал мне большую услугу. У меня, однако, были некоторые основания не слишком высоко ценить этот акт милосердия. Прежде всего, Осгуд никогда
Новые товарищи по работе встретили меня, в общем, дружелюбно, а в лице К. Л. Э. Мура я нашел горячего защитника и верного союзника. Мур обладал замечательным даром заражать окружающих своей любовью к математике; благодаря этой способности он многим помог достичь того высокого уровня в науке, который для него самого был невозможен. Вот почему мне хочется засвидетельствовать здесь свое уважение этому большому, нескладному, комичному человеку и выразить восхищение его самоотверженностью, честностью и добротой.
Первые годы работы в МТИ я продолжал жить вместе с родными. Моя младшая сестра Берта занималась химией сначала в
В этот период моей жизни я усиленно пытался завязать
Институт был для меня местом отдохновения от домашнего гнета. Несмотря на тяжелую нагрузку больше двадцати часов в неделю, я находил время не только на то, чтобы изучать работы других, но и творить самому.. Целый день с девяти утра до пяти вечера я просиживал в институте, но даже при этих условиях откуда только молодость берет силы! у меня не было большей радости, чем провести воскресенье (суббота считалась рабочим днем) в пустой аудитории, зная, что здесь меня никто не потревожит. Сейчас пятая часть того, что я тогда делал, оказалась бы мне не под силу.
Что же касается моих досугов, то, кроме кино и посещения старого
К этому времени мой постоянно углублявшийся интерес к физическим аспектам математики начал приобретать некоторую определенность. Здания МТИ, построенные на берегу
Одному из своих старших товарищей по кафедре, Хенри Бэйярду Филлипсу, я особенно признателен за то, что он помог мне оценить значение физики для математики. Этот высокий, худощавый уроженец Каролины 15, лишенный каких бы то ни было признаков возраста, вырос в то тяжелое время, когда никто еще не успел забыть гражданскую войну 16. Он до сих пор продолжает заниматься наукой и, не изменив своих принципов,
Уиллард Гиббс, один из величайших американских ученых, фактически создал новую научную дисциплину, лежащую в промежуточной области между физикой и математикой. Вся его бедная событиями жизнь протекала в стенах Иельского университета, где он и умер в 1903 году, не добившись известности даже среди студентов и товарищей по работе.
Гиббс сделал много интересного и в физике и в математике, но меня прежде всего интересовали его основные работы, относящиеся к статистической механике. Именно эти работы во многом определили мой собственный путь ученого.
Дело в том, что традиционный взгляд на физику, идущий от великого Ньютона, неразрывно связан с детерминистскими представлениями, согласно которым точное знание состояния всей вселенной или любой ее замкнутой части в
При решении этого вопроса ученый вынужден рассматривать вместо
Идеи Гиббса не случайно произвели на меня такое сильное впечатление. Как раз перед моим первым учебным семестром в МТИ
Примером задачи, в которой «возможные состояния^ естественно представляются точками, является задача о распределении попадании в мишень в случае, когда по мишени делается несколько выстрелов и нужно заранее указать вероятную кучность пулевых отверстий. С другой стороны, в задаче о разлетающихся из улья пчелах или, еще лучше, о блуждании пьяного человека, выбирающего направление каждого своего шага без всякой связи с предыдущим, приходится говорить о вероятностях различных путей. Предположим, например, что наш пьяница находится в центре квадратного поля заданных размеров; как в таком случае рассчитать, сколько в среднем понадобится ему времени, чтобы выбраться с этого поля?
Эта задача о вероятностном расчете процессов, содержащих беспорядочные колебания, имеет большую и содержательную историю. Начало XX века сопровождалось существенными изменениями в математике, отражающими новые, более сложные представления о внешнем мире. В XIX столетии основной интерес математики сосредоточивался на изучении точечных объектов и величин, зависящих от переменных, значения которых также являлись точками. Новые концепции, возникшие в начале нашего века, ставили своей целью заменить точки траекториями точек, т.е. кривыми.
Любопытно, что корни этого нового подхода к математике можно найти еще в XIX и даже в XVIII столетиях я имею сейчас в виду те разделы математики, которые касались так называемого вариационного исчисления. В первоначальном дифференциальном исчислении Ньютона и Лейбница рассматривались задачи на максимум и минимум, в которых искомый максимум или минимум имел характер вершины холма или дна чаши (немного более сложный, но родственный характер имеет также перевал в горном хребте). Что же касается вариационного исчисления, то здесь рассматриваются значительно более сложные задачи, типа задачи нахождения самого быстрого пути от одной точки до другой в области, в которой возможная скорость передвижения меняется от точки к точке. Иными словами, в этом случае также решаются задачи на максимум или минимум, но ответом является уже не точка, а кривая.
Таким образом, истоки «математики кривых» относятся к весьма удаленному от нас периоду, однако полное развитие эта математика получила совсем недавно, Мир кривых гораздо разнообразнее и богаче мира точек, но только математики XX столетия сумели овладеть его богатством.
Под влиянием бесед с Барнетом весь первый год пребывания в Массачусетском технологическом институте я потратил на поиски возможностей распространения понятия интеграла Лебега на случаи более сложные, чем те, которыми занимался сам Лебег. На эту тему уже имелась одна работа. Ее сделал молодой француз Гато, погибший на войне. К сожалению, он не охватил всего вопроса в целом, и, когда я попробовал продолжить его исследования, у меня создалось впечатление, что они ведут меня в неверном направлении.
Английский ученый П. Дж. Даниел, преподававший тогда в Институте Рапса в Хьюстоне (Техас), тоже написал несколько статей, имевших отношение к интересующей меня задаче. Его работы понравились мне гораздо больше, чем статья Гато, и я решил взять их за основу. Однако Даниел не рассматривал специально пространства кривых, и моя попытка применить его методы к этим новым объектам сперва показалась мне самому надуманной и малоинтересной.
В то время я с жадностью набрасывался на различные научные журналы и в том числе просматривал «Труды Лондонского математического общества» («Proceedings of the London Mathematical society»). Там я наткнулся на статью Дж. Тэйлора впоследствии сэра Джеффри Тэйлора 18, посвященную теории турбулентности. Вопросы турбулентности имеют первостепенное значение для аэродинамики и авиации, и сэр Джеффри в течение многих лет считался столпом британской науки в этой области. Статья Тэйлора близко соприкасалась с тем, что меня интересовало, так как в случае турбулентного движения траекториями частиц воздуха являются очень сложные кривые и окончательные результаты его статьи включают в себя понятие «осреднения», представляющее собой не что иное, как некоторый способ интегрирования по всей совокупности таких кривых.
Позднее, во время своих неоднократных поездок в Англию, я довольно хорошо познакомился с Тэйлором. Это любопытный образец типично английского ученого-профессионала с глубокими знаниями, который держит себя в науке как любитель. Тэйлор известный яхтсмен, у него наружность человека, проводящего большую часть жизни на свежем воздухе, самым замечательным своим достижением он считает изобретение нового типа якоря для яхт.
Познакомившись со статьей Тэйлора, я более серьезно задумался о возможности физической теории, оперирующей с понятием осреднения по множеству кривых. Проблема турбулентности была слишком сложной, чтобы немедленно приступить к атаке, но имелась другая родственная проблема, которая оказалась вполне подходящей для анализа, относящегося именно к той области, которую я для себя выбрал. Это была проблема броуновского движения, явившаяся предметом моей первой важной математической работы.
Чтобы понять, что такое броуновское движение, представим себе сперва игру в пушбол 19 на поле, кишащем игроками. Некоторые из них толкают мяч в одну сторону, некоторые в другую, и в результате большинство толчков гасят друг друга. Однако равновесие шара под действием противоположно направленных ударов будет все же лишь приближенным, так как не все толчки точно компенсируют друг друга. Поэтому шар будет
Рассмотрим теперь молекулы жидкости или газа. Эти молекулы не находятся в покое, но совершают случайные, беспорядочные движения, подобные движению людей в густой толпе. Движение это будет тем более интенсивным, чем выше температура. Предположим, далее, что в жидкость помещен крохотный шарик, который отдельные молекулы толкают точно так же, как толпа игроков толкает мяч при игре в пушбол. Если наш шарик будет совсем уж крошечным, то мы его просто не сможем увидеть, а если он будет слишком большим, то столкновения молекул с ним будут в среднем весьма точно уравновешивать друг друга, так что они не вызовут никакого движения. Существует, однако, промежуточная область размеров, при которых наш шарик является достаточно большим, чтобы его можно было увидеть в микроскоп, и достаточно малым, чтобы толчки молекул вызвали его непрекращающееся беспорядочное движение. Это движение, отражающее непрекращающееся беспорядочное перемещение молекул, называется броуновским движением. Оно было обнаружено вскоре после изобретения микроскопа, причем оказалось, что такое движение присуще всем без исключения достаточно малым частицам, наблюдаемым с помощью этого прибора.
Таким образом, броуновское движение дает нам ситуацию, в которой частицы описывают кривые, принадлежащие к некоторому статистическому множеству кривых. Тем самым оно представляло собой идеальный объект для применения моих идей о лебеговом интегрировании в пространстве кривых, обладающий также тем преимуществом, что объект этот был физически реальным и тесно связанным с идеями Гиббса. И действительно, применив здесь свои соображения, относящиеся к общей теории интегрирования, я добился значительного успеха.
Само по себе броуновское движение вовсе не было совсем неисследованной областью физики. Но в фундаментальных работах Эйнштейна и Смолуховского, посвященных этой проблеме, изучалось или поведение некоторой частицы в
В этом последнем направлении почти ничего не было известно, если не считать глубокого замечания французского физика Перрена, отметившего в своей книге «Атомы» 20, что крайне нерегулярные траектории частиц, совершающих броуновское движение, заставляют вспомнить непрерывные нигде не дифференцируемые кривые математиков. В этом замечании говорится о непрерывности, поскольку частицы не совершают никаких мгновенных скачков, и о недифференцируемости, поскольку кажется, что ни в какой момент времени эти частицы не обладают точно определенным направлением движения.
В случае физического броуновского движения частицы, разумеется, не во все моменты времени сталкиваются с молекулами за каждым столкновением следует
К моему удивлению и удовольствию, я убедился, что при таком понимании броуновского движения его формальная теория может быть доведена до высокой степени совершенства и изящества. В рамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что, за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории броуновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми.
Мне кажется, что в статьях, написанных мной по этому вопросу, впервые было раскрыто нечто совершенно новое возможность комбинирования лебеговой техники интегрирования с физическими идеями Гиббса. Тем не менее статьи не содержали решения некоторых важных проблем, нужного для формального оправдания результатов Гиббса; такое решение лишь позже было получено в терминах, использующих понятие интеграла Лебега, Бернардом Купменом, Дж. фон Нейманом и Дж. Биркгофом. Но это произошло лишь в
В период, когда я опубликовал свои первые статьи о броуновском движении, появились также исследования еще одного явления, которое также можно было бы описать в соответствии с моими работами. Это новое явление получило название дробового эффекта, и касалось оно прохождения электрического тока, состоящего из дискретного потока электронов, через электронную лампу. Такой дискретный поток нельзя создать без того, чтобы в отдельные моменты времени проходящие электроны не сбивались бы в плотную кучу, а в другие шли более редко. Эти нерегулярности, которые и составляют суть дробового эффекта, сами по себе очень малы, но они могут быть усилены и сделаны вполне заметными при помощи ламповых усилителей. Поэтому такой «ламповый шум», или «проводниковый шум», является серьезным препятствием при использовании электрических цепей с большим усилением.
В 1920 году очень редко встречались электрические цепи с усилением, при котором дробовой эффект начинал играть
Дробовой эффект не только очень близок по природе к броуновскому движению (оба они являются результатом дискретности основных элементов физического мира), но и описывается математически той же самой теорией. Так случилось, что мои работы по броуновскому движению через двадцать лет после опубликования оказались весьма полезны для инженеров-электриков. Однако при своем появлении и потом еще в течение долгого времени этот труд казался мертворожденным младенцем. Я долго собирался с духом, прежде чем за него приняться, и, наконец, летом в Страсбурге об этом лете я буду рассказывать в следующей главе написал первую статью. Математики тогда едва обратили на нее внимание.
К сожалению, прием, который ожидает в научном мире ту или иную работу, зависит не только от ценности ее содержания. Подчас гораздо более важным оказывается совсем другое. Например, то, какой интерес она представляет для ведущих специалистов соответствующей области. Непосредственно после первой мировой войны самыми большими математиками в Америке были Веблен и Биркгоф. Веблен занимался главным образом топологией одним из специальных разделов математики, о котором я уже говорил. Он считал своей миссией убедить всех, что эта абстрактная область представляет собой новую американскую математику; что же касается европейской науки, занимавшейся главным образом анализом, выросшим из дифференциального и интегрального исчислений, то, по его мнению, она отжила свой век и уже не может дать миру ничего интересного. Веблен действительно является создателем интересного и значительного отдела математики, но его беспокойство по поводу печального состояния анализа оказалось по меньшей мере преждевременным. Как бы то ни было, я чувствовал себя слишком тесно связанным со старыми традициями, чтобы принять новую веру.
Биркгоф, наоборот, занимался анализом. Как я уже говорил, он считался признанным вождем американских аналитиков и был полон решимости сохранить это положение. Но Биркгоф был убежден, что анализ ограничивается теми разделами динамики, которые разрабатывал Пуанкаре и над которыми успешно трудился он сам; все, что выходило за пределы этой области, он безапелляционно относил к разряду малосущественных «специальных проблем».
Поскольку затронутые мной вопросы оказались вне круга интересов ведущих американских математиков, мои работы получили признание лишь много лет спустя, когда выросло новое поколение ученых и когда потребности промышленности и нужды новой мировой войны наглядно показали, что задачи, которыми я занимался, действительно заслуживают внимания.
В Европе мне оказали более радушный прием, чем на родине: Морис Фреше я проводил вместе с ним лето 1920 года очень благосклонно отнесся к моей работе, которая во многих отношениях была ему близка; его младший коллега Поль Леви начал исследования в области, смежной со моей, Тэйлор в Англии живо заинтересовался моими идеями.
Харди, мой старый учитель, конечно, не мог не проявить снисходительности к работе своего бывшего ученика. Он горячо одобрил то, что я сделал, и это было мне особенно приятно, так как в то время я совсем не был избалован знаками внимания. Но при всем этом и в Европе и в Соединенных Штатах ко мне относились просто как к молодому человеку со средними способностями, и уж во всяком случае никто не считал меня восходящей звездой молодого поколения ученых.
Тем не менее, как это часто бывает, я сам был полностью убежден в значительности моих новых идей, тем более, что они довольно быстро складывались в некую стройную систему, подчиняющуюся своим маленьким, но вполне определенным закономерностям. Основа безусловно была верна. Я настолько твердо в это верил, что уже тогда ничуть не удивился бы, скажи мне
Жалкое зрелище являет собой человеческая жизнь, в которой короткий расцвет сменяется бесконечной вереницей тусклых, однообразных дней. Если математик хочет избежать этой участи, если он хочет, чтобы его карьера ученого не оказалась медленным спуском вниз, он должен использовать пору расцвета своих творческих сил на поиски такой неизвестной области науки или таких новых задач, которые, обладая достаточным внутренним содержанием и достаточной реальной ценностью, обеспечат ему возможность плодотворно работать в избранном направлении на протяжении всей жизни. Я вытянул счастливый жребий: проблемы, волновавшие меня в юности, так же как большинство вопросов, которые я поднял, начиная свою научную деятельность, до сих пор не утратили остроты; именно поэтому в шестьдесят лет мне нужны все оставшиеся у меня силы, чтобы справиться с требованиями, которые ежеминутно предъявляет мне жизнь.
Пусть только никто не подумает, что первый же успех сделал из меня героя в глазах родных. Отец радовался моему прилежанию и тому, что я в состоянии выполнить работу, доставляющую удовольствие по крайней мере мне самому; но, хотя я довольно громко выражал свои восторги, в то время они еще не находили отклика в стенах Гарвардского университета, а сам отец уже перестал
1. | Кингзли Джон Стерлинг |
2. | Шарко Жан Мартен |
3. | В Америке 7-8-летние дети обычно поступают в начальную школу с восьмилетним курсом обучения, а затем в среднюю, где занимаются еще 4 года. Таким образом, поступая в среднюю школу в возрасте 9 лет, Винер оказался в одном классе с 15-16-летними подростками. назад к тексту |
4. | Первая ученая степень, присуждаемая обычно по окончании колледжа. назад к тексту |
5. | Самая высокая научная степень, присуждаемая университетами по представлении диссертационной работы. назад к тексту |
6. | Один из персонажей знаменитой детской книги английского математика и писателя Льюиса Кэрролла |
7. | Книга Винера вышла в Америке в 1956 г.; Харди умер в 1947 г. назад к тексту |
8. | Один из восточных штатов США. назад к тексту |
9. | Беттери-парк расположен в южной части Манхеттена. назад к тексту |
10. | Один из крупнейших трестов электропромышленности, имеющий предприятия во многих городах США; Линн город в штате Нью-Йорк. назад к тексту |
11. | Административный центр штата Нью-Йорк. назад к тексту |
12. | В американских высших учебных заведениях существует четыре преподавательские должности для лиц, имеющих ученую степень: самая младшая instructor, затем assistant professor, associate professor и самая старшая full professor или просто professor, которым в СССР приблизительно соответствуют должности ассистента, старшего преподавателя, доцента и профессора. назад к тексту |
13. | Тайного советника (нем.). назад к тексту |
14. | Дюйм и ярд линейные меры длины, принятые в Великобритании и США. Дюйм равен приблизительно |
15. | Северная и Южная Каролина штаты на юго-востоке США. назад к тексту |
16. | Война между северными и южными штатами |
17. | Город в штате Огайо. назад к тексту |
18. | В Англии существует обычай присуждать дворянские звания за выдающиеся заслуги (в том числе и научные); при этом награжденный получает право именоваться «сэр» с обязательным прибавлением имени, например: «сэр Джеффри Тэйлор» или просто «сэр Джеффри» (вместо обычного «мистер Тэйлор»). назад к тексту |
19. | Игра, при которой игроки каждой из двух команд пытаются толкнуть огромный надутый шар так, чтобы в конце концов загнать его в ворота противника. назад к тексту |
20. | Перрен Жан Батист |