1141 Кб
 

 

В.  И.  Арнольд. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук — первые шаги мате­мати­чес­кого анализа и тео­рии катаст­роф, от эволь­вент до квази­кристал­лов — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1989. — 96 с. — ISBN 5-02-013935-1.

В книге, написанной на основе лекции для студен­тов, посвя­щённой трёхсот­летию «Мате­мати­ческих начал нату­раль­ной фило­софии» Нью­тона, расска­зыва­ется о рож­дении совре­мен­ной мате­ма­тики и тео­рети­ческой физики в трудах вели­ких учёных XVII века. Неко­торые идеи Гюй­генса и Нью­тона опере­дили своё время на несколь­ко столе­тий и полу­чили раз­витие только в послед­ние годы. Об этих идеях, вклю­чая не­сколько новых резуль­татов, также расска­зано в книге.

Для студентов и преподавателей вузов, учителей мате­матики сред­ней школы и исто­риков науки.
 




ОГЛАВЛЕНИЕ
 

Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук

5
 

Глава 1. Закон всемирного тяготения

7
§ 1. 

Ньютон и Гук

7
§ 2. 

Задача о падении тел

11
§ 3. 

Закон обратных квадратов

16
§ 4. 

Principia

18
§ 5. 

Притяжение сфер

20
§ 6. 

Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит?

23
 

Глава 2. Математический анализ

25
§ 7. 

Анализ как теория степенных рядов

25
§ 8. 

Многоугольники Ньютона

26
§ 9. 

Барроу

28
§ 10. 

Ряды Тейлора

32
§ 11. 

Лейбниц

33
§ 12. 

Дискуссия об изобретении анализа

37
 

Глава 3. От эвольвент до квазикристаллов

39
§ 13. 

Эвольвенты Гюйгенса

39
§ 14. 

Волновые фронты Гюйгенса

42
§ 15. 

Эвольвенты и икосаэдр

43
§ 16. 

Икосаэдр и квазикристаллы

47
 

Глава 4. Небесная механика

52
§ 17. 

Ньютон после Principia

52
§ 18. 

Натуральная философия Ньютона

53
§ 19. 

Триумфы небесной механики

54
§ 20. 

Теорема Лапласа об устойчивости

55
§ 21. 

Падает ли Луна на Землю?

56
§ 22. 

Задача трёх тел

57
§ 23. 

Закон Тициуса–Боде и малые планеты

59
§ 24. 

Люки и резонансы

60
 

Глава 5. Второй закон Кеплера и топология абелевых интегралов

65
§ 25. 

Теорема Ньютона о трансцендентности интегралов

65
§ 26. 

Глобальная и локальная алгебраичность

67
§ 27. 

Теорема Ньютона о локальной неалгебраичности

69
§ 28. 

Аналитичность гладких алгебраических кривых

70
§ 29. 

Алгебраичность локально алгебраически квадрируемых овалов

71
§ 30. 

Алгебраически неквадрируемые кривые с особенностями

72
§ 31. 

Доказательство Ньютона и современная математика

74
 

Добавление 1. Доказательство эллиптичности орбит

75

Добавление 2. Лемма XXVIII из Principia Ньютона

79

Примечания

  84



Настоящая книжка представляет собой расширенный вариант доклада, прочитанного 25 февраля 1986 года при открытии студенческого лектория Московского математического общества. Автор благодарен А. Ю. Вайнтробу, предоставившему свою запись этого доклада, а также В. Л. Гинзбургу и А. П. Юшкевичу за полезные замечания. Доклад дополнен материалами статей «Триста лет математического естествознания» (Природа, 1987, № 8, с. 5–15) и «Второй закон Кеплера и топология абелевых интегралов» (Квант, 1987, № 12, с. 17–21).



ГЮЙГЕНС И БАРРОУ, НЬЮТОН И ГУК

В 1987 году исполнилось 300 лет «Математическим началам натуральной философии» Ньютона — книге, заложившей основы всей современной теоретической физики. С этой книги, собственно говоря, и начинается теоретическая физика. Почти тогда же и там же начался математический анализ. Первая публикация по анализу относится к 1684 году, и принадлежит она не Ньютону, так и не опубликовавшему своих открытий в этой области, а Лейбницу.

Говоря о содержании «Математических начал натуральной философии», стоит посмотреть, как была написана эта книга, из чего она возникла, какие задачи решались, когда создавался анализ, для чего он создавался, почему он так называется, откуда взялись его основные понятия, например, почему в анализе мы говорим о функциях и т.д.

Все эти вопросы относятся к ньютоновской эпохе конца XVII века, когда работала целая плеяда блестящих математиков. Последующее развитие математики совершенно затмило их достижения, поэтому грандиозные открытия тех времён сейчас издалека кажутся нам меньшими, чем они были на самом деле. Среди этих математиков, кроме всем известных Декарта, Паскаля и Ферма, предшествовавших Ньютону и Лейбницу, и работавшего немного позже Иоганна Бернулли, необходимо назвать Барроу, непосредственного предшественника и учителя Ньютона, и Гюйгенса, который решал те же самые задачи, что и Ньютон с Лейбницем, но обычно несколько опережая их и безо всякого анализа.

Математические открытия Гюйгенса постигла странная судьба. Большинство из них вошло в анализ не при его жизни, а значительно позднее, и в основном благодаря трудам других математиков (например, Гамильтона, работавшего более чем 100 лет спустя). Теперь эти результаты входят в науку под видом симплектической геометрии, вариационного исчисления, оптимального управления, теории особенностей, теории катастроф, ... Про некоторые из них мы узнаём только сейчас. Например, недавно выяснилось (доклад Беннекена1 на семинаре Бурбаки), что в первом учебнике анализа, написанном Лопиталем по лекциям Иоганна Бернулли, содержится изображение многообразия нерегулярных орбит группы Кокстера H3 (порождённой отражениями в плоскостях симметрии икосаэдра). Это изображение появляется там не в связи с группой симметрии икосаэдра, а в качестве результата исследований эвольвент плоских кривых с точкой перегиба, исследований очень близких к Гюйгенсу (и, возможно, даже им проделанных, хотя первая публикация, по-видимому, принадлежит Лопиталю). Картинки, появившиеся в недавних работах о связи икосаэдра с особенностями эволют и эвольвент, и, надо сказать, полученные современными математиками не без труда и даже с помощью ЭВМ, как оказалось, были известны уже в те времена.

К эвольвентам мы ещё вернёмся, а пока я расскажу об истории книги Ньютона «Математические начала натуральной философии» и о содержании основной части этой книги. По существу, эта книга была написана для решения одной-единственной задачи. И хотя в ней содержатся, разумеется, и так называемые три закона Ньютона и большое количество другого материала, но всё это было написано практически менее чем за год только для того, чтобы изложить решение одной задачи, а именно задачи о движении в поле силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до притягивающего центра.

Первая часть рассказа — это история о том, откуда взялась эта задача, почему Ньютон стал ею заниматься и что он, собственно говоря, по этому поводу доказал. Это история о Ньютоне и Гуке.


Глава 1
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

§ 1. Ньютон и Гук

Имя Ньютона и его огромные заслуги и перед математикой, и перед физикой всем хорошо известны. Он родился в 1642 году, в год смерти Галилея, а умер в 1727 году. Работы Ньютона в области теории тяготения стали знамениты в континентальной Европе благодаря Вольтеру, который в последние годы жизни Ньютона посетил Англию и распропагандировал закон всемирного тяготения, произведший на него большое впечатление. Вольтер же поведал миру и о знаменитом яблоке, о котором ему рассказала племянница Ньютона Катерина Бартон2.

Роберт Гук — старший современник Ньютона — известен гораздо меньше. Он родился в 1635 году, а умер в 1703 году. Гук был небогатым человеком и начал свою деятельность в качестве ассистента у Бойля (который теперь всем известен благодаря открытому Гуком закону Бойля–Мариотта3), т.е., попросту говоря, лаборантом. Впоследствии Гук стал работать в только что образованном Королевском обществе (т.е. английской академии наук) в должности куратора. Обязанности куратора Королевского общества были весьма нелёгкими. Согласно контракту, он должен был на каждом заседании Общества (а они происходили еженедельно, кроме времени летних каникул) демонстрировать три или четыре опыта, доказывающих новые законы природы.

На посту куратора Гук находился в течение сорока лет и всё это время тщательнейшим образом исполнял свои обязанности. Разумеется, в контракт не входило условие, что все демонстрируемые законы должны быть изобретены им самим. Ему разрешалось читать книги, переписываться с другими учёными, интересоваться их открытиями. Требовалось только проверять, справедливы ли их утверждения, и убеждать членов Королевского общества в том, что такой-то закон надёжно установлен. Для этого необходимо было этот закон экспериментально доказать, продемонстрировав соответствующий опыт. В этом и состояла служебная деятельность Гука.

Гук по обязанности интересовался всеми естественнонаучными открытиями других, но и самому ему тоже приходилось делать открытия. К концу жизни он насчитывал 500 открытых им законов. Надо сказать, что эти столь многочисленные открытия Гука составляют основу современной науки. Очень многие из них более или менее параллельно были открыты другими учёными, поэтому очень часто сейчас законы, открытые Гуком, известны, но приписываются другим людям. В итоге закон упругости (сила пропорциональна удлинению) носит имя Гука, а остальные его открытия носят другие имена. Гук, например, открыл клеточную структуру растений. Он усовершенствовал микроскоп и первым наблюдал, что растения состоят из клеток. Он разглядывал в микроскоп различные предметы и всё, что видел, зарисовывал. Ясно, что, глядя в микроскоп на новые вещи, он немедленно делал новые открытия. Гук сам лично гравировал картинки, которые видел в микроскоп, и даже издал на основе этого книгу «Микрография», приведшую позднее Левенгука к его знаменитым биологическим открытиям.

В те времена легко было совершать фундаментальные открытия, и все их помногу и совершали. Гюйгенс, к примеру, усовершенствовал телескоп, посмотрел на Сатурн и открыл его кольцо, а Гук обнаружил Красное пятно на Юпитере. Тогда открытия не были необычными событиями, они не регистрировались, не патентовались, как сейчас, они были чем-то совершенно повседневным. (Так дело обстояло не только в области естествознания. Математические открытия в то время сыпались тоже как из рога изобилия4.)

Но у Гука никогда не было достаточно времени, чтобы остановиться на каком-нибудь своём открытии и подробно его развить, так как на следующей неделе ему нужно было демонстрировать новые законы. Поэтому при всём многообразии достижений Гука его открытия выглядели несколько незавершёнными, и иногда он в спешке делал утверждения, которые не мог аккуратно и строго математически обосновать.

Одним из открытий, на которые Гук претендовал, было открытие волновой природы света. (Что свет — это волны, примерно одновременно с Гуком утверждал также и Гюйгенс.) Гук в своих выводах основывался на изучении цветов тонких плёнок (мыльных пузырей, например). Он считал, что интерференция света в мыльных плёнках доказывает его волновую природу. В связи с этим Гук впервые столкнулся с Ньютоном.

Ньютон тоже занимался проблемой света. Он разложил белый свет на радужные составляющие, определил цвета солнечного спектра и заложил тем самым основы современной спектроскопии — науки в значительной степени волновой. Тем не менее Ньютон придерживался другой теории и считал, что свет состоит из движущихся частиц. Звук — это волны, потому что звук может огибать препятствия (его можно слышать, даже если источник скрыт за холмом, так что холм, по существу, не является препятствием для звука), а свет препятствий не огибает, из-за холма его не увидишь — какие же это волны?


Рис. 1. Образование колец Ньютона

Надо сказать, правда, что, несмотря на утверждение, что свет — это частицы, Ньютон был первым, кто измерил длину световой волны. Сделал он это так. Если на стекло положить линзу и освещать сверху (рис. 1), то длины путей световых лучей, встречающихся в одной точке, будут различны и, в зависимости от того, целому или нецелому числу длин волн равна разность, лучи будут усиливать друг друга или гаситься. Поэтому, глядя на стекло сверху, можно увидеть кольца, состоящие из точек равной освещённости (эти кольца называются кольцами Ньютона, но открыл их Гук). Важно, что толщина воздушного клина между линзой и стеклом пропорциональна квадрату расстояния до точки касания. Благодаря этому радиусы колец оказываются пропорциональными корню квадратному из произведения длины волны на радиус кривизны линзы. Вследствие этого радиусы колец не так малы, как длина волны, и кольца можно наблюдать. Измерив эти кольца, можно найти длину волны света, что Ньютон и сделал. Но как же он вычислил длину волны, если в волновую природу света не верил? Дело в специфике ньютоновской теории света. Он считал, что световые частицы летят в пространстве не равномерно, а во время движения испытывают периодические приступы (припадки — fits — нечто вроде современных представлений о внутренних степенях свободы частиц). Таким образом он измерял расстояние между положениями частицы при двух соседних приступах.

Итак, между Ньютоном и Гуком возникли разногласия. Может быть, их удалось бы обойти, если бы не отягчающее обстоятельство. Ньютон жил в Кембридже, а Гук — в Лондоне, и переписку они вели в основном через секретаря Королевского общества Ольденбурга. Характер у Ольденбурга был, судя по всему, не очень хороший, и большое удовольствие ему доставляло сталкивать людей между собой. В результате и вследствие различия взглядов на природу света отношения между Ньютоном и Гуком совершенно испортились. Но через некоторое время Ольденбург умер (мы ещё к нему вернёмся, когда будем говорить об анализе), и Гук написал Ньютону примирительное письмо. Вот с этого-то письма Гука от 24 ноября 1679 года и начинается, в сущности, история закона всемирного тяготения5.

Смысл примирительного письма Гука Ньютону — предложение совместной работы. Гук признаёт замечательные достижения Ньютона и предлагает совместно обсуждать и экспериментально проверять всевозможные идеи и теории. Гук предлагает Ньютону, в частности, высказать свои соображения о нескольких своих гипотезах и обещает не обижаться на критику, с тем чтобы, забросив старые раздоры, совместно взяться за исследование природы. В этом же письме Гук сообщает Ньютону о последних физических и математических новостях. Одна из новостей — это поступившая из континентальной Европы очередная теория планетных движений. Согласно этой теории считалось, что в космосе постоянно бушуют вихри, увлекающие за собой планеты, поддерживающие их и заставляющие вследствие этого их вращаться вокруг Солнца. Другая теория — это гипотеза Гука о притяжении. В этом письме он не говорит о ней подробно, а только спрашивает, что думает Ньютон об этой гипотезе. Ещё одна гипотеза Гука — это закон колебаний упругих тел. В этом же письме Гук сообщает о новых измерениях дуги меридиана (и, следовательно, радиуса Земли) французской экспедицией Пикара.

Ньютон ответил очень быстро — через четыре дня. Это замечательное письмо Ньютона от 28 ноября 1679 года начинается с признания Ньютона, что он распрощался с философией и давно уже занимается другими делами. По-видимому, сказывается возраст (Ньютону уже 37 лет, а это тот возраст, когда заниматься математикой да и философией вообще становится затруднительно). «Я ничего не слышал, — пишет Ньютон, — о Ваших гипотезах о движении планет, несомненно хорошо известных учёному миру... Моя страсть к философии утихла, и я думаю о ней не больше, чем торговец о чужой торговле или крестьянин об ученьи.»

Словом «философия» в то время называли все точные науки в целом. Физика тогда называлась натуральной философией. А другие дела, о которых пишет Ньютон, заключались, судя по всему, в увлечении алхимией. (Её он, по-видимому, к философии не причислял, хотя цель этой науки состояла в отыскании философского камня.) У Ньютона была большая химическая (или, если угодно, алхимическая) лаборатория, и он, интенсивно поработав в возрасте 20–30 лет в области математики и физики и сделав там действительно очень много, теперь занимался в основном получением золота. Он собирал в большом количестве алхимические рецепты, сохранившиеся ещё от средневековья, и намеревался изготовить золото в соответствии с содержащимися в них указаниями. Усилия, затраченные им на это, значительно превосходили те, что пошли на создание его математических и физических работ, но ни к какому полезному результату они не привели. Сам Ньютон, правда, в этом порой не был уверен. Рассказывают, что в его тетрадях (а он подробнейшим образом записывал свои опыты, записывая, что с чем сливал, и какие при этом получались результаты, для того, чтобы, получив случайно золото, этот процесс воспроизвести) встречается запись, в которой после подробного описания произведённых действий так сообщается о результате: «Вонь ужасная. Видимо я близок к цели.»


§ 2. Задача о падении тел

Вернёмся к письму Ньютона. Он пишет далее, что, хоть и решил в таком почтенном возрасте не соперничать с более молодыми умами, он может предложить одну задачу, которая представляется ему достойной такого тонкого экспериментатора, как Гук. Эта задача — проверка учения Коперника. Как утверждает Коперник, Земля движется вокруг Солнца, а кроме того, вращается вокруг собственной оси. Ньютон предлагает проверить экспериментально второе утверждение. Действительно, согласно галилееву принципу инваринтности, равномерно прямолинейное движение само по себе обнаружить невозможно, а вот вращение, в принципе, всё-таки можно наблюдать. Поэтому, говорит Ньютон, чтобы убедить неверящих в теорию Коперника (признанную католической церковью, например, только в 1937 году), стоит попробовать проверить её опытным путём. По-видимому, Ньютон первым поставил задачу об экспериментальном доказательстве вращения Земли. Более того, предлагая эту задачу Гуку, Ньютон указал способ, в принципе позволяющий это сделать.

Предложение Ньютона состоит в следующем. Если Земля вращается, то предметы, свободно падающие с большой высоты, будут отклоняться от вертикали. Поэтому достаточно измерить отклонение падения тяжёлых шаров от вертикального направления (устанавливаемого при помощи отвеса), чтобы обнаружить вращение Земли.


Рис. 2. Траектория в невращающемся
пространстве

В самом деле, рассуждает Ньютон в этом письме, представим себе, что мы смотрим на Землю с Северного полюса и видим экватор и гору или, лучше, башню, с которой бросаются свободно падающие шары, покоящиеся в начальный момент относительно башни (рис. 2). Предположим, что Коперник прав, и Земля вращается с запада на восток. Невежда подумает, пишет далее Ньютон, что тогда, пока шар будет падать, Земля под ним повернётся на восток и шар упадёт западнее того места, над которым он находился первоначально.

Но такое мнение, часто выдвигаемое в качестве возражения против теории Коперника, совершенно неправильно. Ошибка состоит в том, что у шара в момент броска была ненулевая начальная скорость относительно «неподвижной» системы отсчёта, направленная на восток. Более того, шар находился над Землёй, поэтому эта скорость была больше, чем скорость точек на поверхности Земли. Но скорость шара в горизонтальном направлении не будет меняться во время его падения, так что он пройдёт в восточном направлении больший путь, чем точка поверхности, над которой он находился. Таким образом, шар должен упасть не западнее, а восточнее этой точки.

Если бросать шары не на экваторе, а на нашей широте, то эффект будет несколько меньше, но тем не менее, говорит Ньютон, обнаружить его было бы возможно. Конечно, эффект этот очень мал, поэтому Ньютон советует сделать следующее. Под точкой бросания строго по отвесу надо натянуть в направлении с севера на юг тонкую проволоку и бросать возможно более тяжёлые шары, подвешивая их на нити и пережигая её, чтобы избежать нежелательных начальных толчков. Тогда, если бросить шар достаточно много раз и подсчитать, сколько раз шар, ударившись о проволоку, отлетел на восток, а сколько раз — на запад, можно будет, сравнив эти два числа, определить, наблюдается ли тонкий эффект отклонения на восток, или нет.


Рис. 3. Траектория внутри Земли
по Ньютону

В своём замечательном письме Гуку Ньютон затронул ещё один вопрос. Он писал, что было бы очень интересно узнать, как двигался бы шар после достижения поверхности, если бы в Земле была шахта (т.е. шар свободно бы проходил сквозь Землю, не встречая сопротивления). Ньютон считает, что тогда шар бы описал спираль, и для наглядности приводит эту спираль в письме (рис. 3).

Гук прочитал письмо Ньютона на заседании Королевского общества 4 декабря 1679 года. Это вызвало бурную дискуссию, в которой приняли участие многие учёные. Все стали оживлённо обсуждать, действительно ли можно наблюдать описанное Ньютоном явление и в какую сторону должны отклоняться шары. Например, королевский астроном Флемстид выступил, как зафиксировано в протоколах Общества, с заявлением, что эффект этот давно уже известен в артиллерии. А именно, по мнению Флемстида, ядро падает обратно в жерло при угле возвышения 87° (видимо, поэтому даже сейчас, ограничители зенитных орудий не позволяют поднять ствол вверх на угол больше 87°). Это, по мнению Флемстида, свидетельствует о вращении Земли, ибо иначе опасный угол был бы 90°. Иными словами, Флемстид предложил несколько видоизменить предложение Ньютона. Вместо того чтобы бросать шары вниз, Флемстид предложил стрелять пушечными ядрами вертикально вверх и смотреть, будут ли они падать обратно.

Гук выступил на следующем заседании 11 декабря, сделав несколько критических замечаний по поводу рассуждений Ньютона, на что Ньютон, не переносивший ни малейшей критики, ответил 13 декабря длинным письмом, содержащим пространное обсуждение вопроса и ясно показавшим, что в это время Ньютон ещё не знал, как на самом деле должна выглядеть траектория шара.

Во-первых, Гук сделал следующее замечание. Необходимо учитывать, что направление вертикали — направление к центру Земли — меняется при движении шара, поэтому сила тяжести в различных точках траектории направлена по-разному. Это приводит к тому, что движущийся к востоку шар будет испытывать влияние, отклоняющее его обратно на запад. Так что, хотя шар всё-таки упадёт восточнее точки отвеса, результирующее отклонение будет меньше того, которое предсказывал Ньютон.

Если мы, вооружившись нашими современными знаниями, аккуратно проделаем все вычисления, то увидим, что истинный эффект составляет 2/3 того отклонения, что должно было бы получиться у Ньютона6. Таким образом, сдвиг к востоку за счёт разности в расстояниях до центра Земли и сдвиг к западу, вызванный различием в направлении силы тяжести, — величины одного порядка, так что качественное рассуждение Ньютона вообще неверно. Ведь имей эти два эффекта — отклонение к востоку и отклонение к западу — несколько другое отношение, — и качественная картина была бы другой.

Во-вторых, Гук справедливо замечает, что в северном полушарии шар будет отклоняться не только к востоку, но также и к югу. Более того, он утверждает (по непонятной причине), что в наших широтах отклонение на юг будет даже больше, чем на восток.

Наконец, третье замечание Гука относится к траектории движения шара внутри Земли. Он говорит, что спираль, нарисованная Ньютоном, вызывает у него сомнения. По его мнению, внутри будет происходить приблизительно то же, что при колебании маятника на верёвке, и если шар будет свободно двигаться внутри Земли не испытывая сопротивления, то его траектория будет замкнутой и напоминающей эллипс (рис. 4), а спираль может получиться лишь с учётом сопротивления воздуха. Но и в этом случае спираль получится совсем не такая, как у Ньютона, — не делающая один виток, а медленно закручивающаяся, с большим количеством оборотов (рис. 5).


Рис. 4. Траектория внутри Земли по Гуку

Рис. 5. Учёт сопротивления воздуха по Гуку

Действительно, если мы при помощи современных наших методов решим эту задачу, то увидим, что внутри Земли действует уже не закон всемирного тяготения, а закон Гука — сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию до центра Земли. Поэтому внутри траектория шара будет такой же, как при упругих колебаниях (или как у маятника), т.е. эллиптической.

Покритиковав Ньютона, Гук теоретическими рассуждениями не ограничился и решил всё-таки произвести экспериментальную проверку. О её результатах он доложил. Обществу 18 декабря. Он организовал опыты несколько иначе и бросал шары не на проволоку, а на вощёную доску, расположенную под слоем воды, который должен был ослаблять силу удара. На доске была нанесена сеточка из тонких линий с центром под точкой подвеса для того, чтобы можно было по следу шара определить отклонение не только на запад или восток, но и в направлении север–юг. Шары бросались в соборе с высоты около 9 м при тщательно закрытых дверях и окнах, чтобы предохранить шар от вредного воздействия сквозняков. Если как следует всё подсчитать, учтя турбулентность, то станет ясно, что при такой маленькой высоте никакого эффекта наблюдаться не может (теоретическое отклонение — 0,3 мм).

Но Гук был очень искусным экспериментатором. С тех пор ни у кого больше этот опыт не получался, но у Гука он «получился». Королевскому обществу Гук сообщил, что шар при трёх испытаниях каждый раз отклонялся на юго-восток не менее чем на четверть дюйма. По-видимому, он не совсем владел статистическим анализом, и число испытаний было недостаточно велико. Кроме того, он, скорее всего, не проверил полученное отклонение по соответствующему уровню значимости и признал явление установленным, хотя ничего ещё толком доказано не было. В начале 1680 года Гук повторил свои эксперименты и снова «успешно». Об их результатах он сообщил Ньютону в письме, посланном 6 января.


§ 3. Закон обратных квадратов

Помимо рассказа об экспериментах, в этом письме Гука содержатся такие важные слова: «Я предполагаю, что притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния до центра, соответственно предположению Кеплера о зависимости скорости от расстояния. Галлей, вернувшись с острова св. Елены, рассказал мне, что маятник качается медленнее на вершине горы, чем у подножья, и не мог понять причины. Я сказал ему, что он решил давно занимавший меня вопрос об убывании тяготения с удалением от центра... Говоря о падении внутри Земли, я не думаю что закон притяжения будет таким же до самого центра Земли, но, напротив, я считаю, что, чем ближе тело будет к центру, тем слабее будет притяжение, возможно, подобно тому, как это происходит с маятником или телом внутри вогнутой поверхности, где сила уменьшается по мере приближения к нижней точке... Притяжение на значительных расстояниях [от небесных тел] можно вычислять по указанной пропорции [обратных квадратов] как притяжение самим центром.»

Этот закон обратных квадратов и есть, по-видимому, та теория тяготения Гука, мнение Ньютона о которой он спрашивает в первом письме, и его, по мнению Гука, необходимо учитывать исследуя падение тела как снаружи Земли, так и внутри. Правда, внутри, пишет Гук, закон, конечно же, будет другим, так как пройденные телом слои будут тянуть его в разные стороны. Поэтому закон движения внутри будет, по-видимому, похожим на тот, что наблюдается при упругих колебаниях. Далее Гук писал, что он, исследуя эти силовые законы, пытался определить формы орбит, по которым должны были бы двигаться тела. И у него получилось, что внутри Земли орбиты будут примерно такими же, как при колебаниях маятника, а снаружи, когда есть только один притягивающий центр, тело будет двигаться по кривой, которую он назвал эксцентрическим эллиптоидом.

Скорее всего, дело обстояло так. Гук, не имея необходимого математического аппарата, не сумел точно решить уравнений движения, получающихся из закона обратных квадратов, и, чтобы найти орбиты, численно, графически или на аналоговой машине вроде упомянутой им вогнутой поверхности эти уравнения проинтегрировал. Известно, что такая машина у Гука была: он исследовал характер движения при различных законах притяжения, моделируя притяжение действием поверхности на скользящий по ней груз. (Заметим, что всё это происходило за шесть лет до того, как была написана книга Ньютона и сформулированы общие законы механики. По нашим современным представлениям в то время ещё механики не было. Тем не менее в эти домеханические времена Гук находит приближённые решения уравнений движения для закона обратных квадратов, а Гюйгенс формулирует закон сохранения энергии. Правда, Гюйгенс привёл его не в самом общем виде, но и в его формулировке7 закон был применим в нашем случае и позволял понять, что при отсутствии сопротивления воздуха орбиты камня внутри Земли должны быть замкнутыми.) Проинтегрировав уравнения движения, Гук нарисовал орбиты и увидел, что они похожи на эллипсы. Отсюда и возникло слово эллиптоид. Назвать их эллипсами ему не позволила научная честность, так как доказать эллиптичность он не смог. Сделать это Гук предложил Ньютону, сказав, что он не сомневается, что Ньютон с его превосходными методами справится с этой задачей и убедится также и в том, что первый закон Кеплера (утверждающий, что планеты движутся по эллипсам) тоже следует из закона обратных квадратов.

Отправив Ньютону письмо с таким предложением, Гук перешёл к следующим открытиям, так как времени заниматься математическими подробностями у него не было. Ньютон же замолчал и больше никогда ничего Гуку не писал (за исключением одного случая, когда он переслал Гуку просьбу одного итальянского врача, желающего сотрудничать с Королевским обществом, и, пользуясь случаем, поблагодарил за сведения об экспериментах с падающими шарами), о переписке с ним нигде не упоминал (хотя письма хранил) и о том, что Гук поставил перед ним задачу о тяготении, никому не говорил.

Но за задачу эту Ньютон взялся, исследовал закон движения, убедился, что действительно получаются эллиптические орбиты, доказал, что, и обратно, из закона Кеплера об эллиптичности орбит следует закон обратных квадратов. (Доказательства приведены на стр.75–79.) Для того, чтобы всё это как следует оформить и изложить в доступном виде, ему потребовалось сформулировать основные принципы, относящиеся к общим понятиям, таким как масса, сила, ускорение. Так появились знаменитые «три закона Ньютона», на которые сам Ньютон, правда, не претендовал (первый закон — это всем давно и хорошо известный закон инерции Галилея, а остальные два никак не могли быть открыты позже чем, скажем, закон упругости Гука или формула Гюйгенса для центробежной силы). А вот в связи с законом всемирного тяготения Ньютон повёл себя весьма неаккуратно.


§ 4. Principia

По инициативе астронома Галлея (1656—1742) Ньютон написал работу с подробным изложением своих результатов под названием «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» («Математические начала натуральной философии») и прислал её Королевскому обществу 28 апреля 1686 года. В рукописи Гук не был упомянут ни разу. Галлею, который был другом обоих, это не понравилось, и он убедил Ньютона вставить ссылку на Гука. Ньютон поддался на уговоры, но сделал это в весьма оригинальной форме. Он написал, что именно закон обратных квадратов соответствует третьему закону Кеплера, «как утверждали независимо Рен, Гук и Галлей». И Рен и Галлей — люди, разумеется, не случайные. Рен — архитектор, один из основателей Королевского общества, занимавшийся вместе с Гуком восстановлением Лондона после великого пожара 1666 года, — принимал активное участие в дискуссии по вопросам движения тел. Галлей, предсказавший впоследствии возвращение носящей его имя кометы, приложил много усилий к тому, чтобы заставить Ньютона написать эту книгу, а его опыты с часами на острове св. Елены послужили для экспериментального подтверждения закона тяготения. Так что, поместив Гука между ними, Ньютон не только принизил его роль, но и лишил его поддержки друзей в начавшемся вскоре приоритетном споре.

Здесь уместно сказать несколько слов о материальном положении наших героев. Гук был беден и жил на жалование, которое выплачивало ему Королевское общество. Кроме того, он подрабатывал, используя свои обширные познания в области механики при проведении огромных восстановительных работ после лондонского пожара. Этот архитектурный заработок и помог ему в конце концов создать себе некоторое благополучие. Ньютон на кафедре в Кембридже получал значительно больше, и примерно такой же доход приносила ему унаследованная им ферма, которую он сдавал в аренду и где росла знаменитая яблоня. Несмотря на то что Ньютон был довольно обеспеченным человеком, тратиться на издание книги ему не хотелось, и он прислал Principia в Королевское общество, которое постановило издать их на свои деньги. Но денег у Общества не было, поэтому рукопись лежала до тех пор, пока Галлей (а он был сыном богатого мыловара) не издал её за свой счёт. Галлей взял на себя все заботы по изданию книги, он даже сам читал корректуры, и Ньютон в переписке того времени называл её «Ваша книга»...

В этой переписке с Галлеем Ньютон, отвечая на просьбу упомянуть Гука, написал замечательную фразу, раскрывающую его мнение о различии между математиками и физиками. Себя Ньютон считал математиком, а Гука считал физиком. Вот как он описывает разницу в подходах математика и физика к естествознанию.

«Математики, которые всё открывают, всё устанавливают и всё доказывают, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих. Другой же, который ничего не может доказать, а только на всё претендует и всё хватает на лету, уносит всю славу как своих предшественников, так и своих последователей... И вот я должен признать теперь, что я всё получил от него, а что я сам всего только подсчитал, доказал и выполнил всю работу вьючного животного по изобретениям этого великого человека».

Надо сказать, что все открытия, содержащиеся в Principia, Ньютон сделал не пользуясь анализом, хотя им к тому времени владел. Всё, что требовалось, он доказал при помощи более или менее эквивалентных анализу прямых геометрических элементарных рассуждений (а не переводя аналитические выкладки на геометрический язык) — ему это было легче.


§ 5. Притяжение сфер

Посмотрим, в качестве примера рассуждений Ньютона, как он доказывал, что на камень внутри Земли внешние слои не действуют, т.е. что поле тяжести внутри однородной сферы равно нулю. Раньше этот факт изучался в школе, но теперь он из программы выпал, поэтому это замечательное доказательство, возможно, известно не всем.


Рис. 6. Притяжение шарового слоя по Ньютону

Рассмотрим внутри шара, ограниченного бесконечно тонким шаровым слоем, точку P (рис. 6), возьмём маленький телесный угол с вершиной в P и докажем, что силы, с которыми на помещённое в точке Р тело действуют два бесконечно малых объёма, высекаемых этим углом из шарового слоя, уравновешиваются. (Сейчас, преподавая анализ, не очень-то любят говорить о бесконечно малых величинах, из-за чего современные студенты не вполне владеют этим языком. Между тем им всё-таки владеть надо.) Эти два объёма представляют собой бесконечно малые призмы (их образующие, конечно, слегка расходятся, но величиной этого раствора можно пренебречь, так как ошибка будет бесконечно малой более высокого порядка), объёмы которых можно вычислять по формуле V = lS, где l длина бокового ребра, a S площадь поперечного сечения. Но рёбра у наших призм равны как отрезки, высекаемые на прямой парой концентрических окружностей, а поперечные сечения относятся как квадраты расстояний до Р. Таким образом, эти два объёма тянут тело в точке Р в разные стороны с одинаковыми силами. Точно так же уравновешиваются и все другие влияния, поэтому равнодействующая всех сил равна нулю.

Этот образчик ньютоновского рассуждения показывает, как можно было решать задачи из теории потенциала без анализа, не зная ни теории гармонических функций, ни фундаментального решения уравнения Лапласа, ни потенциалов простого и двойного слоя. Подобные рассуждения, предшествовавшие возникновению анализа, часто встречались в работах тех времён и оказывались чрезвычайно мощными. Вот пример задачи, которую люди вроде Барроу, Ньютона, Гюйгенса решили бы за считанные минуты8 и которую современные математики быстро решить, по-моему, не способны (во всяком случае, я ещё не видел математика, который быстро бы с ней справился): вычислить

 lim   sin tg x – tg sin x

arcsin arctg x – arctg arcsin x

 .
x → 0 

Ньютон доказал также, что однородный шар (или шаровой слой) притягивает точки внешней области так же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре. Доказательство Ньютона элементарно, но не просто (как не просто в лоб посчитать соответствующий интеграл). Приведённое ниже современное доказательство (восходящее к Лапласу), к сожалению, выходит за рамки преподаваемых в школе (и, как это ни странно, на механико-математическом факультете МГУ) наук.

Рассмотрим поле скоростей несжимаемой жидкости, заполняющей всё пространство и сферически-симметрично растекающейся по радиусам от находящегося в начале координат источника. Скорость такого течения обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника.

Действительно, вследствие несжимаемости, через каждую сферу с центром в источнике за единицу времени протекает одинаковый поток жидкости (столько, сколько производит источник). Вследствие сферической симметрии течения, этот поток равен произведению площади сферы на величину скорости протекания через неё. Но площадь сферы прямо пропорциональна квадрату радиуса. Значит, чтобы поток не зависел от радиуса, величина скорости должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника,

Итак, закон убывания скорости сферически-симметричного течения несжимаемой жидкости с расстоянием от центра такой же, как закон убывания силы тяготения. (Отсюда видно, как выглядит естественный аналог поля тяготения в n-мерном пространстве: сила должна убывать обратно пропорционально (n–1)-й степени расстояния.)

Мы доказали, что поле силы притяжения материальной точкой обладает следующим замечательным свойством несжимаемости: если считать его полем скоростей течения, то величина потока через границу любой ограниченной области, не содержащей притягивающую точку, равна нулю: сколько втекает, столько и вытекает.

Оказывается, при любом распределении масс поле силы притяжения этими массами вне этих масс обладает таким же свойством несжимаемости. Действительно, при сложении полей скоростей величины их потоков через любую поверхность складываются. Поэтому при сложении полей скоростей двух течений несжимаемой жидкости вновь получится поле скоростей несжимаемой жидкости: поток суммарного поля через границу области равен нулю, если равны нулю потоки складываемых полей. Итак, суммарная сила притяжения несколькими массами обладает свойством несжимаемости (в области вне притягивающих масс).

В частности, рассмотрим поле силы притяжения однородным шаром (или шаровым слоем). Во внешней области это поле совпадает с полем скоростей несжимаемой жидкости (как только что доказано). Оно сферически-симметрично. Но единственное сферически симметричное поле скоростей несжимаемой жидкости обратно пропорционально квадрату расстояния до центра. Значит, шар (или слой) притягивает внешние точки так же, как некоторая масса, помещённая в центр. Что масса в центре должна совпадать с полной массой шара (или слоя), видно из сравнения потоков через сферы, охватывающие исследуемый шар.

Теорема о том, что слой не притягивает внутренние точки, также следует из этого рассуждения. (Задача. Вычислить среднее значение функции 1/r по сфере (xa)2 + (yb)2 + (zc)2 = R2 и функции ln 1/r по окружности (xa)2 + (yb)2 = R2.) [Обе теоремы Ньютона (о притяжении сферическими слоями внутренних и внешних точек) распространяются и на притяжение слоями между гомотетичными эллипсоидами (роль центра играет при этом любой конфокальный эллипсоид, меньший изучаемого). Эллипсоиды можно даже заменить алгебраическими поверхностями любой степени9. Важно лишь, чтобы поверхность была гиперболической (пересекала каждую прямую, выходящую из некоторой точки, столько раз, какова степень уравнения поверхности).]


§ 6. Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит?

В заключение рассказа о законе всемирного тяготения стоит сказать несколько слов о дискуссии, которая развернулась вокруг него в самые последние годы в физических журналах. В прошлом такая дискуссия была бы невозможной, но теперь ситуация изменилась благодаря тому, что дух современной математики проник и в ряды физиков, нанеся им, как это сейчас станет ясно, некоторый ущерб. Они начали сомневаться в таких вопросах, о которых раньше никто бы и разговаривать всерьёз не стал. В этой дискуссии приняло участие большое число физиков (отчёт о ней можно прочесть в одном из выпущенных недавно сборников «Физика за рубежом»10, а тема спора формулировалась следующим образом: доказал ли Ньютон, что из закона всемирного тяготения следует первый закон Кеплера?

В действительности, речь идёт вот о чём. Для траектории движущегося под действием силы тяжести тела законы Ньютона дают дифференциальное уравнение

·· r = –  kr

r3

 .

Вместо того чтобы решать его по всем правилам науки, Ньютон в своей книге предъявил много решений этого уравнения и проверил, что для любого начального условия среди них имеется удовлеворяющее ему решение. Иными словами, для любой точки и вектора в пространстве во множестве найденных Ньютоном орбит найдётся такая, которая в начальный момент проходит через эту точку и имеет там данный вектор скорости. При этом, если начальная скорость тела не слишком велика, то орбита получается эллиптической. Но кто сказал, спрашивают искушённые в математических тонкостях физики, что не существует какой-нибудь другой траектории, удовлетворяющей тем же самым начальным условиям, по которой тело движется, соблюдая закон всемирного тяготения, но совершенно иначе? Математики знают, что отсутствие такой другой траектории называется теоремой единственности. Таким образом, чтобы выводить из закона всемирного тяготения, что тела движутся так, а не иначе, Ньютону надо было не только предъявить много решений дифференциального уравнения, но и доказать для него теорему единственности. Доказывает он её? Нет. Ну, тогда и пользоваться этим законом для описания действительности тоже, вообще говоря, нельзя, пока не доказана теорема единственности. Кто это сделал первым? Иоганн Бернулли. Значит, это он, а не Ньютон, вывел закон Кеплера из закона всемирного тяготения, ему и должна принадлежать вся слава. Вот как говорят физики, участвовавшие в дискуссии, повторяя давно сказанное математиками (например, в книге А. Винтнера 1941 года).

На самом деле весь этот спор основан на глубоком заблуждении. Современные математики действительно различают теоремы существования и теоремы единственности для дифференциальных уравнений и даже приводят примеры уравнений, для которых теорема существования выполнена, а теорема единственности нет11. Так что возможны различные неприятности, и, если бы уравнение Ньютона было неприятным, действительно нельзя было бы делать никаких выводов. Ошибочная точка зрения происходит из-за неоправданного расширения класса рассматриваемых функций. Дело в том, что в современной математике понятия функция, векторное поле, дифференциальное уравнение приобрели иной смысл по сравнению с классической математикой. Говоря о функции, мы можем иметь в виду довольно скверный объект — нечто один раз дифференцируемое или даже ни разу, при этом мы должны задумываться о содержащем его функциональном классе и т.д. А во времена Ньютона под словом функция понимали только очень хорошие вещи. Иногда это были многочлены, иногда рациональные функции, но во всяком случае все они были аналитическими в своей области определения и разлагались в ряды Тейлора. В этом случае теорема единственности никакой проблемы не представляет, и о ней тогда просто никто не думал.

Но в действительности у Ньютона всё доказано и по более строгим меркам. Верна такая теорема.

Пусть имеется дифференциальное уравнение

·х = v(tx)

и пусть для любого начального условия a предъявлено решение x(ta) с x(0, a) = a, причём это решение гладким (т.е. бесконечно дифференцируемым) образом зависит от a. Тогда для этого уравнения верна теорема единственности.

Теорема эта доказывается очень легко. Из существования гладко зависящего от начальных данных решения следует, что существует (локальный) диффеоморфизм, который выпрямляет исходное поле направлений, приводя его к стандартному виду поля горизонтальных направлений (наше решение и даёт этот диффеоморфизм: (ta) ← (tx(t,a)) ). А для выпрямленного поля теорема единственности, очевидно, выполнена, так как уравнение принимает вид a = 0.

Таким образом, из существования решения единственность, вообще говоря, не следует, но всё будет в порядке, если предъявленное решение гладко зависит от начального условия.

Посмотрим, что было у Ньютона. Он для каждого начального условия предъявил решение, описал его, и из этого описания сразу становилось ясно, что указанное решение гладким образом зависит от начального условия. Итак, сомнений в единственности нет, и Ньютон правильно доказал первый закон Кеплера.

Можно, конечно, возразить, что Ньютон не знал этой теоремы. Действительно, он её не формулировал в таком виде, как это сейчас сделали бы мы. Но по существу он её наверняка знал, так же как и многие другие приложения теории возмущений, — математический анализ Ньютона в значительной мере и есть далеко развитая теория возмущений.

Ньютон заметил, что законы природы выражаются изобретёнными им дифференциальными уравнениями. Отдельные, и порой очень важные, дифференциальные уравнения рассматривались и даже решались и раньше, но именно Ньютону они обязаны своим превращением в самостоятельный и очень мощный математический инструмент.

[· · ·]

ПРИМЕЧАНИЯ

1. 

Bennequin  D. Caustique mistique // Seminaire Bourbaki.— Novembre 1984. — № 637. — P. 1–37.

2. 

Злой Вольтер писал, что Ньютон обязан своей карьерой «не исчислению бесконечно-малых и гравитации, а красоте своей племянницы». [Карцев весьма аргументированно опровергает эту сплетню. E.G.A.]

Любимая племянница Ньютона, в семье которой он провёл последние двенадцать лет своей жизни, К. Бартон славилась не только красотой, но и умом. Биографы Ньютона сообщают, что она долгое время была домо­прави­тельницей ученика Ньютона, графа Монтегю Галифакса, поэта и крупнейшего государственного деятеля, члена регентского совета Англии, первого лорда казначейства и основателя Английского банка. После его смерти в 1715 году К. Бартон унаследовала от него значительное состояние. Ньютон же обязан лорду Галифаксу должностью смотрителя монетного двора. См. More  Т. L. Isaac Newton. A Biography. — New York, London: Charles Scribners sons, 1934. — 676 p.

3. 

Закон этот называют также законом Бойля. Бойль, действительно, первым опубликовал его в 1660 году в своей книге, но со ссылкой на Гука, как на автора закона, не претендуя даже на соавторство.

4. 

Однако уже в 1781 году Лагранж писал Даламберу о современной ему математике: «...я думаю также, что шахта становится слишком глубока и что её придётся рано или поздно бросить, если не будут открыты новые рудоносные жилы. Физика и химия представляют ныне сокровища гораздо более блестящие и легко эксплуатируемые, таким образом, по-видимому, все всецело обратились в эту сторону, и возможно, что места по геометрии в академии наук сделаются когда-нибудь тем, чем являются в настоящее время кафедры арабского языка в университетах».

5. 

Впоследствии, в 1694 году, Ньютон писал, что он открыл закон всемирного тяготения уже в 1665 или в 1666 году. Ещё позже, в 1714 году, Ньютон датирует свой вывод эллиптичности орбит из закона обратных квадратов «1676 или 1677 годом». Однако ни в переписке 1679 года с Гуком, ни раньше, Ньютон о своих открытиях в этой области не упоминал: он их не публиковал и никому о них не рассказывал. Ньютон объясняет это тем, что из-за неверного значения радиуса Земли, принятого им, вычисленные ускорения камня и Луны недостаточно точно укладывались в закон обратных квадратов. Первая публикация Гука о силе тяготения как возможной причине эллиптичности орбит относится к 1666 году.

6. 

Рассуждение Ньютона, как нетрудно видеть, даёт отклонение ω√2h³/g при падении с высоты h на экваторе (g ускорение силы тяжести, ω — угловая скорость Земли). Расчёт с учётом силы Кориолиса, дающий в полтора раза меньшее отклонение, приведён, например, на с. 90 учебника: Арнольд  В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984. — 272 с.

7. 

Гюйгенс рассматривал системы сталкивающихся и расходящихся шаров, соединённых нитями или стержнями или катающихся в желобах, и доказывал, что центр тяжести системы никогда не подымется выше своего начального положения, если предоставить систему самой себе, отпустив шары без начальной скорости.

8. 

Если графики несовпадающих аналитических функций  f  и g касаются прямой y=x в нуле (см. рис.), то отношения |AB|/|BC| и |BC|/|ED| стремятся к единице, когда A стремится к нулю. Поэтому искомый предел отношения |AB|/|D'E'| равен единице.

9. 

См. п. 5 в § 7 гл. 6 на с. 481 в книге: Курант  Р., Гильберт  Д. Методы математической физики. Т. 2. — М.: Гостехиздат, 1945. — 620 с. См. также:

  • Арнольд  В. И. О ньютоновском притяжении скоплений пылевидных частиц // УМН. — 1982. — Т. 37, вып. 4. — С. 125;
  • Арнольд  В. И. О ньютоновском потенциале гиперболических слоёв // Труды Тбилисского университета. — 1982. — Т. 232–233.С. 23–28;
  • Гивенталь  А. Б. Полиномиальность электростатических потенциалов // УМН. — 1984. — Т. 39, вып. 5. — С. 253–254;
  • Арнольд  В. И. Магнитные аналоги теорем Ньютона и Айвори // УМН. — 1983. — Т. 38, вып. 5. — С. 145–146;
  • Вайнштейн  А. Д., Шапиро  Б. 3. Многомерные аналоги теорем Ньютона и Айвори // Функц. анализ и его приложения. — 1985. — Т. 19, вып. 1. — С. 20–24.

Семейство конфокальных поверхностей второго порядка в n-мерном евклидовом пространстве определяется как семейство поверхностей, двойственных к поверхностям евклидова пучка квадрик (A–λExx) = 1 с параметром λ. При n=2 конфокальные «поверхности» — это эллипсы и гиперболы с общими фокусами.

10. 

Вейнсток  Р. Разоблачение вековой легенды: «Математические начала натуральной философии» Ньютона и орбиты при движении в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния // «Физика за рубежом. 1984». Серия Б. — М.: Мир, 1984. — С. 178–207 (Weinstосk  R. // Amer. J. of Physics. — July 1982. — P. 610).

11. 

Например, уравнение ·х = x2/3 имеет решения x(t) = 0 и x(t) = t3/27 с общим начальным условием x(0) = 0.



Hosted by uCoz