Этот HTML-файл является урезанной версией оригинальной публикации и предназначен исключительно для поисковых машин. Здесь отсутствует большинство картинок и формул. Полностью статья выложена в DjVu-формате. — E.G.A.

Открытие теории универсальности восходит к двум источникам. Во-первых, в 1971 году Н. Метрополис, М. Стайн и П. Стайн (теоретический отдел Лос-Аламосской лаборатории) открыли любопытное свойство итераций: при изменении параметра характер поведения итераций изменяется способом, не зависящим от конкретного вида итерируемой функции. В частности, у большого класса функций при увеличении параметра происходит разрушение прежде устойчивого цикла и замена его циклом с удвоенным периодом. Это удвоение периода продолжается до бесконечности, и возникает хаотическое поведение.

Во-вторых, в начале 70-х годов был популяризирован, в основном Рюэлем, раздел математики, называемый теорией динамических систем, в котором вводилось понятие «странного аттрактора». Основные задачи, которые решались, были следующими: 1) как причинное уравнение (например, гидродинамические уравнения Навье–Стокса) может иметь решения с чисто статистическими свойствами и 2) как теоретически предсказывать статистические свойства. Это направление исследований объединилось с итерационными идеями: стало ясно, что предельные бесконечные «циклы» итерационных систем могут быть использованы для объяснения турбулентности. Я решил изучать итерации функций после лекции С. Смейла — одного из создателей теории динамических систем, в Аспене летом 1975 года.

Моя первая попытка понять проблему заключалась в исследовании сложных свойств квадратичного преобразования

Изучение прояснило механизм удвоения периода и привело к уравнениям совершенно другого типа для определения значения λ, при которых происходит удвоение периода. Новые уравнения были сложными, хотя приближённое решение казалось возможным. Соответственно, когда я вернулся из Аспена, я численно определил значения некоторых параметров. В то время я никогда не пользовался большим компьютером, всё, что у меня было, — это карманный программируемый калькулятор. Но такие машинки считают очень медленно. Определённое значение параметра находится итерациями (методом Ньютона), причём каждый последующий шаг требует 2ⁿ итераций функции. Для 64-цикла это занимает 1 минуту на каждый шаг метода Ньютона. В то же время при увеличении n становится всё сложнее определить положение требуемого решения. Однако я сразу же понял, что λ_n сходятся геометрически. Это позволило мне предсказывать каждое следующее решение с возрастающей при увеличении n точностью. После этого для получения необходимого значения требовался лишь один шаг метода Ньютона. Насколько мне известно, это наблюдение о геометрической сходимости не было никем сделано по той простой причине, что решения всегда получались автоматически на больших и быстрых компьютерах!

То, что имеется геометрическая сходимость, было уже неожиданностью. Я заинтересовался этим по двум причинам. Во-первых, это позволило углубить моё понимание проблемы. Во-вторых, поскольку скорость сходимости есть число, инвариантное относительно гладких преобразований, оно представляет математический интерес. Соответственно, я истратил часть дня на попытки выразить скорость сходимости 4,669 через известные мне математические константы. Дело не увенчалось успехом, если не считать того, что число хорошо запомнилось.

В этот момент П. Стайн напомнил мне, что удвоение периода не есть уникальное свойство квадратичного отображения. Им обладает, например,

Однако моя теория существенно основывалась на том, что нелинейность является просто квадратичной, а не трансцендентной. Соответственно мой интерес к проблеме упал.

Приблизительно через месяц я решил численно определить значения λ в трансцендентном случае. Эта задача решалась гораздо медленнее, чем предыдущая. Снова стало очевидно, что значения λ сходятся геометрически и, что было совершенной неожиданностью, скорость сходимости выражалась тем же числом 4,669, так хорошо мне запомнившимся в ходе неудачных попыток подгонки.

Вспомним, что в работе Н. Метрополиса, М. Стайна и П. Стайна было показано, что качественные особенности не зависят от конкретной итерационной схемы. Теперь я узнал, что точные количественные особенности также не зависят от конкретного вида функции. Это открытие полностью переворачивало обычный взгляд на вещи. Обычно полагают, что сходные итерационные схемы могут иметь качественно подобное поведение, но что количественные предсказания зависят от конкретного вида функций. Теория универсальности показывает, что качественно сходные итерации имеют одинаковое количественное поведение. Например, система дифференциальных уравнений задаёт определённое отображение. Вывод конкретного аналитического вида этого отображения находится обычно далеко за пределами возможностей современных математических методов. Если, однако, отображение испытывает удвоение периода, теория универсальности даёт точные количественные предсказания, независимо от конкретного вида отображения. В частности, теперь экспериментально установлено, что некоторые жидкостные потоки переходят в турбулентное состояние через удвоение периода (субгармонические бифуркации). Одного этого достаточно для применимости теории универсальности. И действительно, она правильно предсказывает путь перехода к турбулентности, не обращаясь к лежащим в основе уравнениям Навье–Стокса.

В природе происходят процессы двух типов: сложные, или хаотические, и простые, или упорядоченные. Задачей технологии является создание устройств второго типа: отдельные части механизма, совершающие отдельные упорядоченные действия, объединяются в единое целое для выполнения некоторой общей задачи. Так устроены, например, автомобили, самолёты, радиоприёмники и часы. Все они собраны из отдельных простых частей, каждая из которых, по идее, отвечает за одну какую-нибудь функцию механизма. Важными технологическими проблемами являются также учёт и сведение к минимуму влияния неупорядоченных процессов, например сложных атмосферных явлений, вихрей в турбулентном потоке, шумов в электронной схеме и т.д. Ниже пойдёт речь именно о таких сложных явлениях.

Поведение шумового сигнала нерегулярно и трудно предсказуемо. Если, однако, проанализировать достаточно длинную запись такого сигнала, может обнаружиться, что его амплитуда находится в определённом узком диапазоне определённую долю времени. Если анализ другой записи сигнала обнаружит такую же долю времени, мы сможем описать шум статистически. Это значит, что хотя и нельзя предсказать, какова будет следующая амплитуда, но вполне возможно оценить вероятность достижения сигналом каких-то определённых значений. За последние сто лет утвердился именно статистический подход к неупорядоченным процессам. Поэтому исследование их заключается в определении вероятностей и, исходя из вероятностей, того, что нас в данном случае интересует, например какое влияние оказывает турбулентность воздуха на лобовое сопротивление самолёта.

Мы знаем, что детерминированные и простые закономерности могут вести себя статистическим (или случайным) образом. Так, в современных компьютерах имеются симулирующие хаотический процесс «генераторы случайных чисел». Такие генераторы просто передвигают запятую в рациональном числе с достаточно длинным периодом. Соответственно, можно предсказать, каким будет n-е полученное число. И всё же последовательность полученных таким образом чисел производит впечатление настолько неупорядоченной и случайной, что все статистические тесты подтвердят случайное происхождение этих чисел. Это явление обозначается термином «псевдослучайность». Мы рассмотрим в данной работе, не являются ли псевдослучайными различные хаотические природные процессы (вопреки сложившемуся, но ошибочному мнению, что это не поддаётся проверке). То, что некоторые очень простые алгоритмы для получения случайных чисел ведут себя полностью аналогично естественным случайным процессам, представляется совершенно замечательным. Например, сейчас имеется убедительное доказательство того, что при помощи простой схемы, описанной в этой статье, можно объяснить, каким образом ламинарный поток жидкости становится турбулентным. Этот же метод пригоден для рассмотрения других естественнонаучных проблем: изменений в популяции от поколения к поколению, шумов в разнообразных механических, электрических и химических осцилляторах. Так же можно исследовать и различные гамильтоновы системы, описывающиеся классической механикой, например Солнечную систему.

Все указанные процессы имеют следующую общую черту: по мере изменения какого-то внешнего параметра (например, температуры) поведение системы меняется от простого к хаотическому. Говоря точнее, имеется определённый диапазон значений внешнего параметра, в котором поведение системы упорядочено и периодично (т.е. самовоспроизводится в каждый период времени T). Вне этого диапазона процесс перестаёт воспроизводиться через T секунд; этого времени почти достаточно, но, в действительности, требуются два интервала T, чтобы процесс воспроизвёлся, т.е. период удваивается и становится равным 2T. Эта новая периодичность сохраняется внутри некоего нового диапазона значений параметра, пока не будет достигнуто новое критическое значение, после чего поведение только почти воспроизводится через 2T секунд, на самом деле для этого требуется уже 4T секунд. Процесс последовательного удвоения периода продолжается дальше (причём интервал значений параметра, при котором период равен 2ⁿT, с ростом n уменьшается), пока при определённом значении параметра период не станет бесконечным, а поведение системы перестанет быть периодическим. Следовательно, удвоение периода — это характерная черта перехода системы от простого периодического к сложному непериодическому движению. Удвоение периода наблюдается во всех упомянутых выше процессах. В пределе хаотического непериодического движения имеется единственное и поэтому универсальное решение, общее для всех систем, испытывающих удвоение периода. Это обстоятельство имеет замечательные следствия. Пусть Λ_n — значение параметра (для каждой конкретной системы), при котором период удваивается в n-й раз. Тогда оказывается, что при больших n значение Λ_n геометрически сходится к Λ_∞ (при котором движение становится апериодическим). Это означает, что при больших n

где значение δ (скорости перехода к хаотическому движению) фиксировано. Иначе говоря, если

то δ_n быстро приближается к постоянной величине δ. (Как правило, δ_n совпадает с δ с точностью до нескольких значащих цифр уже после небольшого числа удвоений периода.) Совершенно замечательным (помимо того, что всегда наблюдается геометрическая сходимость) представляется то, что у всех систем, испытывающих удвоение периода, значение δ одинаково и равно универсальному числу

Именно такой является скорость перехода к беспорядку осцилляторов, популяций, жидкостей и вообще всех систем, испытывающих удвоение периода! Универсальность теории такова, что большинство измеримых параметров любой из таких систем в пределе хаотического движения может быть определено без помощи специальных, описывающих данную систему уравнений, т.е. если система переходит к хаотическому поведению путём удвоения периода (качественная характеристика), её количественные характеристики становятся полностью заданными. Этот вывод подобен следствиям современной теории фазовых переходов, в которой несколько качественных характеристик системы, совершающей фазовый переход, особенно размерность, определяют универсальные критические экспоненты. Действительно, на формальном уровне эти теории идентичны в том смысле, что обе они являются теориями неподвижной точки, а число δ, например, можно рассматривать как критическую экспоненту. Соответственно, для того чтобы разобраться в общем случае, достаточно рассмотреть простейшую (из обладающих таким поведением) систему.

Генератор случайных чисел — это пример простой итерационной схемы, обладающей сложным поведением. Каждое следующее псевдослучайное число вычисляется путём некоторой операции над предыдущим псевдослучайным числом. Другими словами, для получения последовательности таких чисел каждый раз вычисляется некоторая функция. Пусть  f  является этой функцией, а х₀ — первым числом. Тогда последовательность псевдослучайных чисел имеет вид x₀, x₁, ..., x_n, ..., где

Говорят, что она образована путём функциональной итерации. n-й элемент последовательности равен

где n — общее число вычислений функции  f . (Здесь  f ⁿ(x) не есть n-я степень  f , это — n-я итерация  f .) Отметим следующее свойство итераций:

поскольку каждое из выражений означает просто m+n-кратное вычисление функции  f . Очевидно, что

Удобно обозначить функциональную итерацию специальным символом, o, так что

Теперь  f  в (5) является определённой и вычислимой функцией, поэтому, в принципе, x_n функционально зависит от x₀.

Если функция  f  является линейной, например

где a — постоянная, то

и

есть решение рекуррентного соотношения типа (4), которое в данном случае имеет вид

Если |a|<1, то x_n геометрически сходится к нулю (со скоростью 1/a). Этот пример является выделенным, поскольку линейность функции  f  позволяет точно вычислить функцию  f ⁿ.

Для того чтобы образовать последовательность псевдослучайных чисел, мы должны выбрать нелинейную функцию  f . Возьмём в качестве  f 

Тогда  f ⁿ является многочленом от x степени 2ⁿ. С ростом n этот многочлен быстро становится очень громоздким. Более того, его коэффициенты являются многочленами степени 2^n–1 от a, при больших n их очень трудно вычислять. Даже при x₀ = 0 величина x_n является многочленом степени 2^n–1 от a. Эти многочлены нетривиальны, что очевидно хотя бы из того, что для определённых значений a последовательность чисел, начинающихся с любого из интервала (a–a², a), имеет все математические свойства последовательности случайных чисел. Для иллюстрации на рис. 1 показаны последовательные итерации аналогичной, но двумерной функции

Как и в (4), по начальной паре координат (x₀, y₀), применяя (14), можно вычислить следующую пару (x₁, y₁), затем (x₂, y₂) и т.д. Для некоторых начальных точек все итерации попадают на кривую в форме эллипса, в то время как для других распределены «усреднённо» по некоторой области. Представляется очевидным, что столь разнообразные типы поведения, показанные на рис. 1, не описываются какой-либо точной формулой, т.е. хотя итерируемая функция (14) легко выписывается, нельзя получить n-ю итерацию в виде простой функции (x₀, y₀). Другими словами, если многократно итерировать простейшую нелинейную функцию, можно получить весьма сложное поведение. Причём, поскольку повторно вычисляется одна и та же функция, можно ожидать появления всего нескольких типов самосогласованного поведения, определяемых не конкретным видом итерируемой функции, а самим фактом её многократного вычисления. Такие самосогласованные типы поведения возникают в пределе бесконечного удвоения периода и имеют отчётливую структуру, которая может быть a priori определена среди сложных конфигураций, показанных на рис. 1.

Рассмотрим теперь свойства функции (13). Нас интересует поведение системы после большого числа итераций. Как мы уже знаем, многократные итерации  f  быстро становятся очень сложными. В одном случае этого не происходит — если первая итерация x₀ в точности равна x₀. Разумеется, это условие выполняется не для всех точек x, а выделяет не меняющиеся точки x₀, называемые неподвижными точками функции  f . Итерационная последовательность для таких точек имеет вид x₀, x₀, ..., x₀, ..., поведение системы статично или может рассматриваться как периодическое с периодом 1.

Неподвижные точки (13) легко определить. Для удобства мы будем использовать несколько другой вид (13), получаемый сдвигом и некоторыми переопределениями:

При любых λ точка x=0 является неподвижной. В самом деле, функция (15) имеет две неподвижные точки, являющиеся решениями уравнения

и равные

Функция (15) при x=½ достигает максимального значения, равного λ. Кроме того, если λ>0 и x лежит в интервале (0, 1), то  f (x) положительна. Поэтому, если 0≤λ≤1, то любая итерация точки 0<x<1 также лежит в интервале (0, 1). Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим только значения x и λ, лежащие между 0 и 1. Из (16) следует, что, в отличие от случая 0≤λ<¼, когда имеется только одна неподвижная точка x^*=0, при ¼≤λ≤1 обе неподвижных точки принадлежат рассматриваемому интервалу. Например, если положить λ=½ и начать с неподвижной точки x₀^*=½ (т.е. положить x₀=½), то x₁ = x₂ = ... = ½. Аналогично, если x=0, то x₁ = x₂ = ... = 0, проблема вычисления n-й итерации решается тривиально.

Что произойдёт, если мы выберем x₀ не равным неподвижной точке?

[· · ·]

[· · ·]

[· · ·]

[· · ·]

[· · ·]

До сих пор мы обсуждали одномерные отображения, прототипом которых являлась функция (15). Отображение (14) — пример двумерной итерации — обладает специальным свойством сохранения площади. Обобщая (14), получим отображение

при |b|<1 являющееся сжимающим. Отображение (61) интересно тем, что имеет так называемый странный аттрактор. Такой аттрактор (как и выше) образуется при повторном наложении кривой самой на себя (рис. 12), в результате чего две очень близко расположенные друг от друга начальные точки находятся очень далеко друг от друга, если измерять расстояние вдоль аттрактора (по которому они, собственно, и движутся при итерациях). Это приводит к тому, что после нескольких итераций они будут расположены далеко друг от друга как вдоль аттрактора, так и в реальном пространстве. Этот общий механизм приводит к тому, что поведение системы очень сильно зависит от начальных условий и имеет полностью статистический характер: малейшие различия в начальных условиях быстро нарастают, а так как начальные условия не известны с бесконечной точностью, всё имеющееся знание быстро превращается в полное незнание. И оказывается, что (61) переходит к ранним стадиям статистического поведения через удвоение периода. Более того, число δ из (3) снова является скоростью перехода к хаотическому режиму, а число α из (31) — скоростью, с которой уменьшается расстояние между соседними точками аттрактора. И вообще, одномерная теория объясняет всё поведение (61) в начале хаотического режима.

Рис. 12. Показаны точки, лежащие на «странном аттракторе» уравнения (62).

Размерность, в действительности, не имеет значения. Эта же теория с этими же числами и всем прочим применима для итераций в N-мерном пространстве, лишь бы система испытывала удвоение периода. Где бы ни происходило бесконечное удвоение периода, основную роль играют свойства функционального произведения. Соответственно модификация уравнения (29) содержит функциональное произведение функций, зависящих от N переменных. Если рассматриваемое отображение в N-мерном пространстве является сжимающим (при диссипативном процессе), то, вообще говоря, имеется направление наиболее медленного сжатия, и после нескольких итераций процесс становится эффективно одномерным. Другими словами, одномерное решение уравнения (29) всегда есть решение его N-мерного аналога. Оно представляет собой соответствующую неподвижную точку N-мерного уравнения, если итерируемая функция является сжимающей.

Следующее обобщение касается систем дифференциальных уравнений. Прототипом для их рассмотрения служит уравнение Дюффинга — неавтономный ангармонический осциллятор с затуханием:

Период вынуждающей силы, равный 1, определяет естественный временной интервал. На рис. 13,a показан аттрактор с периодом 1, обычно называемый предельным циклом. Он является аттрактором, так как к нему притягиваются решения (62) из некоторой области начальных условий. Его период равен 1, так как траектория системы описывает одну и ту же кривую в течение каждого периода вынуждающей силы. На рис. 13,b и c показаны аттракторы с периодом 2 и 4, возникающие при последовательном уменьшении коэффициента трения k в (62). Значения параметра k=λ₀, λ₁, λ₂, ... есть коэффициенты трения, при которых соответствующие 2ⁿ-циклы являются наиболее устойчивыми (по аналогии с одномерной функциональной итерацией). И действительно, осциллятор испытывает (по крайней мере, численно!) бесконечную последовательность удвоений периода. При k=λ₅ значение δ₃ (см. (2)) равно 4,69.

x' x   x' x   x' x a b c

Рис. 13. a) Наиболее устойчивый 1-цикл уравнения (62) на фазовой плоскости (x, x'); b) наиболее устойчивый 2-цикл этого же уравнения (отметьте, что он состоит из двух смещённых друг относительно друга копий рис.13,a); c) наиболее устойчивый 4-цикл (отметьте, что между смещенными копиями рис.13,b большое или малое расстояние).

Чем это объясняется? Давайте вместо того, чтобы рассматривать всю траекторию, показанную на рис. 13, будем следить за положением точки на траектории через интервал времени, равный одному периоду вынуждающей силы. Тогда 1-цикл даёт только одну точку, 2-цикл — две и т.д. Такое стробоскопическое отображение (с интервалом в 1 период), связывающее положение точки на траектории (x, x') в данный момент с положением через один период, вследствие дифференциального уравнения является гладкой и обратимой двумерной функцией. Качественно оно подобно отображению (61). При существующем уровне развития теории мало что можно сказать об аналитическом виде стробоскопического отображения. Однако, поскольку наша теория является универсальной, знание его точной формы и не является необходимым. Мы по-прежнему можем получить полное количественное описание поведения уравнения (62) на пороге хаотического движения. Предположим, что мы измерили точную форму траектории после нескольких удвоений периода. Тогда, аккуратно используя универсальную теорию для определения расстояния между элементами цикла, можно вычислить форму траектории во всей области возникновения хаотического режима при дальнейшем уменьшении трения.

Рассмотрим подробнее, как работает наша теория.

[· · ·]

Существующее объяснение развития турбулентности основывается на теории Ландау 1944 года. Объяснение состоит в том, что система становится турбулентной вследствие последовательности неустойчивостей, в результате каждой из которых развивается периодическое во времени движение с новой степенью свободы (вследствие независимости фазы). Частоты движений возрастают от неустойчивости к неустойчивости и являются несоизмеримыми. Поскольку получающееся в результате движение есть суперпозиция этих мод, оно является квазипериодическим.

Из экспериментов, однако, следует, что предположение о квазипериодичности неверно. Напротив, чтобы в результате получился наблюдаемый экспериментально шум с быстрым спадом корреляций, спектр должен быть непрерывным (шум должен быть широкополосным) вплоть до нулевой частоты. Этот недостаток теории можно устранить, если предположить, что при развитии турбулентности образуются последовательные субгармоники. Если общая идея последовательных неустойчивостей сохраняется, новые моды не имеют независимой фазы. Причём для получения требуемого спектра необходимо возбудить только малое число мод (в настоящее время вопрос о числе принимающих участие в переходе мод экспериментально не исследован). При этом знания фаз малого числа амплитуд на ранней стадии процесса удвоения периода достаточно для определения фаз в переходном режиме. Здесь важно то, что полностью детерминированная система может иметь и имеет полностью статистические свойства. Привлечение специальной статистической гипотезы не обязательно (и, вообще говоря, не совместимо с динамикой системы).

Полное теоретическое описание развития турбулентности требует расчёта последовательных неустойчивостей. Обычно для этого используется теория возмущений. Начинаем с установившегося решения и добавляем малое зависящее от времени возмущение. Уравнения гидродинамики линеаризуются вблизи установившегося решения, и исследуется устойчивость возмущения. К настоящему времени аналитически вычислена только первая неустойчивость. Если нам известно значение параметра (например, число Рэлея), при котором возникает эта первая переменная во времени неустойчивость, мы должны определить точное решение, которое возникает в нелинейном режиме после развития неустойчивости. К этому решению добавляем новое зависящее от времени возмущение, снова линеаризуем уравнения (теперь уже вблизи найденного переменного во времени неаналитического решения) с тем, чтобы найти новую неустойчивость. Этот второй этап задачи к настоящему времени решён только численно. Такой процесс, в принципе, может быть повторен снова и снова, пока не будет получено решение, хорошо описывающее турбулентный поток. На каждом следующем этапе трудности вычислений неизмеримо возрастают.

Однако именно в этом месте теория универсальности решает проблему. Она применима после того, как возникло достаточное для достижения асимптотического режима число неустойчивостей. Поскольку двух неустойчивостей уже достаточно для приближённого описания, необходимо всего несколько параметров для каждой моды, чтобы теория завершила бесконечный каскад более сложных неустойчивостей.

Почему применима наша теория? Уравнения гидродинамики являются системой полевых уравнений. При помощи разложения Фурье их можно привести к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку жидкость вязкая, имеется некоторый минимальный пространственный масштаб возмущений. Поэтому реально получившаяся система дифференциальных нелинейных уравнений является конечной. Число уравнений в ней несущественно. Теория универсальности является общей для всех систем уравнений с диссипацией. Поэтому представляется возможным, что поток испытывает удвоение периода. Если это происходит, теория применима. Однако доказательство того, что данный поток (или вообще любой поток) испытывает удвоение периода, пока вне наших возможностей. Всё, что мы можем делать, — экспериментировать.

На рис. 17 показан экспериментально измеренный спектр конвективной ячейки жидкого гелия в начальной стадии турбулентности. Система испытывает четыре или пять экспериментально различимых удвоения периода; спектральные компоненты каждого семейства нечётных субгармоник помечены номером соответствующего удвоения периода. Штриховые линии представляют собой грубые интерполяции для амплитуды компонент с n=3 и n=4, вычисленные по уровню с n=2 (считается, что субгармоники с n=2 достигли своего асимптотического положения). Так как информации мало и она чисто амплитудная, интерполяции по необходимости плохие. Кроме того, амплитуды более высоких нечётных субгармоник не известны и это не позволяет построить сколько-нибудь приемлемую интерполяцию для правой части рисунка. Соответственно, для самой грубой проверки правая амплитуда не учитывалась, а осцилляции были сглажены путём усреднения. Экспериментальные результаты –8,3 дБ и –8,4 дБ находятся в неожиданно хорошем согласии с теоретическим значением 8,2 дБ!

Рис. 17. Экспериментальный спектр конвектирующей жидкости при переходе к турбулентности.

Исходя из этого хорошего согласия с экспериментом и того, что в системе происходит большое число удвоений периода, мы можем считать доказанным, что поток переходит к турбулентности в соответствии с нашей теорией. Конечно, самым убедительным доказательством было бы экспериментальное определение величины α. (Достигнутое в настоящее время разрешение для этого недостаточно.) Если, однако, обратить наши аргументы, мы придём к выводу, что согласие в пределах нескольких процентов при определении 8,2 дБ означает экспериментальное определение α с такой же точностью. Итак, данный метод позволил провести теоретическое рассмотрение поведения динамической системы там, где это невозможно сделать, исходя из уравнений Навье–Стокса. И вообще, закон скейлинга (65) применим к истинным уравнениям, какими бы они ни были.