А.Пайс. Гении науки

Настоящие портреты не являются полными биографиями, как те, что я опубликовал ранее, две биографии Альберта Эйнштейна 1 , 2 и одну Нильса Бора³. Позднее мне предложили написать статью об Эйнштейне в новую датскую энциклопедию, и я принял это предложение. Конечно же, я использовал при её написании мои предыдущие жизнеописания Эйнштейна. [На русском языке выходила книга: А. Пайс, Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. М.: Наука, 1989. — Прим. ред.] Но передо мной стояла задача вместить в 2000 слов то, что ранее занимало свыше 800 печатных страниц. Мне показалось уместным включить в настоящую книгу эту микробиографию, переведённую на английский язык с оригинального датского. Я считаю, что в ней мне удалось передать самую суть личности Эйнштейна. Вы найдёте также и сжатую биографию Бора, это моя вступительная речь на конференции 1998 года в ЮНЕСКО.

Остальные биографии, включённые в эту книгу, — это биографии тех, о ком я упоминал в своих предшествующих книгах об Эйнштейне и Боре, а также в своей автобиографии⁴, но там они выступали лишь в качестве второстепенных героев. Здесь же они представлены, так сказать, по собственному праву. Большую часть того, что я пишу о них, я не рассказывал ранее, но некоторые повторения, конечно же, неизбежны. Некоторые биографии являются расширенными вариантами ранних публикаций, появлявшихся в разных изданиях, примерно половина — написана впервые. Конечно же, я использовал и биографии, написанные другими авторами, за что я выражаю им свою благодарность, но я вовсе не пытался им подражать. Фактически, моя стратегия отличается от большинства из них. Вместо того, чтобы кропотливо выписывать детали, я поставил своей целью достижение более компактного стиля, подчёркивающего лишь основные темы жизни и работы учёных.

Я с радостью выражаю благодарность за помощь и ценные советы всем, кто помог мне собрать материал, я получил истинное удовольствие от общения с вами.

По Фейгенбауму: самому Митчеллу за многочисленные беседы поздними вечерами.

По Йосту: Хильде, его жене; Вальтеру Хунцикеру.

По Паули: Чарльзу Энцу, Хильде Йост, Карлу фон Мейену.

По Вигнеру: Марте Вигнер Аптон, его дочери; Фредерику Зейтцу; Артуру Уайтману.

По Уленбеку: Эльзе, его жене; Окки, его сыну; Юджениусу Мариусу, его брату.

Я очень признателен фонду А. П. Слоуна за финансовую поддержку при подготовке книги.

Спасибо Вам, Жан Майер, за всегда прекрасную помощь в печатании рукописи.

И как всегда, я очень признателен своей дорогой жене Иде за критические замечания и постоянное ободрение.

Библиография и примечания

Митчелл Джей Фейгенбаум

Совсем недавно я вышел около восьми вечера из своей нью-йоркской квартиры на Йорк-авеню, чтобы совершить свою ежедневную прогулку. Я прошёлся, как обычно, по 63-й улице до Центрального парка, погулял немного там, затем пошёл обратно. Я дошёл до угла Первой авеню, когда увидел знакомое лицо и всклокоченную гриву волос. «Что ты здесь делаешь так поздно?» — спросил я. Он объяснил, что у него закончились сигареты, а кроме того, он хотел купить дневной выпуск Нью-Йорк таймс, который любил читать перед сном. Я пожелал ему спокойной ночи и пошёл дальше.

Это был мой хороший друг Митч Фейгенбаум. Мы живём в одном квартале, и наши кабинеты тоже соседствуют в Рокфеллеровском университете. Ближе к вечеру мы, если повезёт, встречаемся там. Этот очерк о его жизни и работе является, в основном, результатом этих вечерних бесед.

Семья

Митч родился 19 декабря 1944 года в Филадельфии. Его родители — Абрахам Джозеф и Милдред, урождённая Шугар — коренные нью-йоркцы. В семье его отца было четверо детей, Абрахам был третьим ребёнком. Его семья родом из Лошитца, неподалёку от Варшавы. Оттуда дед Митча эмигрировал в Соединённые Штаты. Митч считает, что настоящая его фамилия звучит как Фаженбойм. Отец мамы приехал в Штаты из Киева. Фамилия Шугар была выдумана чиновниками Эллис-Айленда [Остров в Нью-Йоркской гавани. Служил сортировочным центром для иммигрантов с 1892 по 1924 годы. Более 24 млн. иммигрантов прошли через этот остров. — Прим. перев.]. Она второй ребёнок в семье, в которой всего было трое детей. У неё есть также две единокровные сестры.

Старший брат Митча Эдвард был ребёнком-вундеркиндом. Очень рано он начал читать. Сейчас он работает системным инженером и живёт с женой и двумя детьми под Вашингтоном, округ Колумбия. (Не следует путать его с известным учёным-компьютерщиком, у которого те же имя и фамилия.) Гленда, младшая сестра Митча работает статистиком в Метрополитен Лайф Иншуэренс Компани [Страховая компания. — Прим. перев.] и живёт в Нью-Джерси с мужем и двумя детьми.

После получения степени магистра по биологии в Нью-Йоркском университете Абрахаму Джозефу предложили университетскую работу в Рочестере, штат Нью-Йорк, с окладом 2000 долларов в год. Его жена посчитала это недостаточным. Вместо этого он стал работать химиком-аналитиком на военной верфи в Филадельфии (США уже вступили во Вторую мировую войну), где он должен был изучать инсектициды, которые могли бы уничтожать тараканов на кораблях, а по выходным дополнительно зарабатывал поставщиком провизии.

В 1947 году — Митчу было два с половиной года — семья вернулась в Нью-Йорк, где они купили двухэтажный дом в Бруклине, сдав один этаж в аренду. Отец в это время работал в должности химика-аналитика при управлении Нью-Йоркского порта. Одной из поставленных перед ним задач было исследовать землю в том месте, где должен был быть построен аэропорт (сейчас: аэропорт им. Кеннеди).

Митчелл называет свою маму «физически и психически сильной женщиной». В 14 лет она поступила в колледж Хантера, но через два года должна была оставить учёбу, чтобы приносить в семью деньги. Она зарабатывала игрой в гандбол, она могла выиграть и у мужчин; а кроме того, она обучала корректирующему чтению. Позднее она подала заявление и получила работу в отделе вязания Ламстонского универмага в испанской части Гарлема. В это время она не знала испанского и не умела вязать, но быстро освоила и то, и другое. Митч характеризует её, главным образом, как воспитателя и педагога. Она играла для него первую роль. Позднее, он переключился в этом отношении на отца. «Я обнаружил, что его образ мышления был более существенным... Я открыл, что он бесконечно честен. Но он не выражал себя полностью, считая, что говорить, в некотором смысле, излишне».

Ранние воспоминания

Митч начал говорить «умеренно поздно. До этого я просто показывал на вещи, оставляя право называть их за братом». Мама пыталась научить Митча читать, но ему это не нравилось. Фактически, он научился читать лишь в школе.

С ранних лет он любил узнавать, «как всё работает», в смысле механики. Он любил разбирать вещи на части, чтобы посмотреть «какие они». С 3 лет он начал слушать музыку. «Для меня это было очень важно». Он вставал к 7 утра, чтобы послушать музыку. В доме было радио. Как оно работает? «Меня осенило, что радио — это удивительная штука, потому что в нём нет фонографических записей и потому что «радиоволны» проходят сквозь стены».

С детства он любил сидеть и размышлять о разных вещах. Он вспомнил как-то, что в возрасте четырёх или пяти лет он позвал на крыльцо маму. «Посмотри на эту тётю. Почему она не падает?» У женщины была большая грудь. С чисто механической точки зрения Митчу было интересно, как она удерживает равновесие.

С раннего детства Митч также очень любил рисовать, особенно портреты. Он обнаружил, что безупречно и мастерски изогнутые линии могут заменить детали. Его рисунки становились всё более абстрактными и похожими на Миро. Митч перестал рисовать в 21 год, объяснив, что «в конце у меня не было ничего нового, что я мог бы выразить; это были просто карикатуры. Я не знал, что ещё рисовать».

Школьные годы

Митч пошёл в школу в возрасте пяти лет — государственная школа PS208 для одарённых детей. Программы в школе были углублёнными. В первом классе преподавался испанский язык, специальность и печатание на машинке (в то время последнее было в диковинку). До середины первого класса Митч очень плохо читал по-английски. После того, как мама пришла в школу и поговорила с учителями, она взялась обучать его чтению дома. В результате через месяц он читал лучше всех в классе.

Митч рассказывал мне, что в первом же классе учитель спросил, кто хочет отсутствовать на время больших еврейских праздников. Митч был в замешательстве. Его друг подтолкнул его поднять руку. «В семье не соблюдались еврейские традиции. Однажды в пасху мама приготовила домашнюю ветчину. Но среди предков мамы были раввины».

По распоряжению властей Митчу вскоре пришлось перейти в школу PS251, там ему было скучно. «Я просто сидел там и смотрел в окно». Его вывели из класса и поставили руководить школьной аудио-видео системой. Будучи во втором классе, он помогал с арифметикой шестиклассникам. Его учителя не были к нему равнодушны. «Некоторые любили меня, некоторые ненавидели».

Что касается одноклассников, он никогда с ними не дрался. Вместо этого, он делал их своими друзьями. В возрасте 8 лет он начал терять интерес к сверстникам. «Родители нравились мне больше, чем дети». С этого времени и в течение долгих лет у него, практически, не было друзей среди сверстников.

В 5 классе мама научила Митчелла основам алгебры. Он по-прежнему не любил читать. «Я ненавидел библиотеки, я и сейчас их ненавижу». Ему, правда, нравилось читать статьи в Британской энциклопедии. Вполне естественно, что чаще всего он не мог их понять. Позднее, когда он уже знал их содержание, он осознал, что эти статьи, возможно, не представляли собой никакой пользы для любого, с каким бы уровнем понимания они ни прочитывались. В то время Митчу, конечно же, приходилось сдавать экзамены, что было для него лёгким делом.

Когда Митчу было 12 лет, у него развилась навязчивая идея по поводу чистоты — он постоянно испытывал желание вымыть руки. Кроме того, всё должно было быть аккуратным. Когда он заводил будильник, то постоянно проверял, не отскочил ли назад тот рычажок, который необходимо было вытащить для завода будильника. Этот период навязчивых идей закончился для него в возрасте 19 лет по причинам, о которых я скажу позднее.

В 12 лет Митчелл перешёл в среднюю школу PS258 в Бруклине. Он учился по специальной программе (СП-класс), которая позволяла пройти программу четырёх лет за три года. Через месяц после начала учёбы учительница алгебры отправила его домой, потому что «я всё время поправлял её». И вновь он делал всё возможное, чтобы не посещать занятия. Снова он возглавил аудио-видео систему, уже более высокого качества, а также крутил кинопроектор. Кроме того, он стал секретарём занятий по физкультуре, что позволяло ему не заниматься физкультурой, и был в команде по шахматам, «в которой я занимал среднюю позицию». Митча учили также французскому языку, который казался ему бесполезным предметом. Позднее, он начал говорить на нём достаточно бегло благодаря поездкам во Францию.

В конце каждого года во всём штате проводился «Regents» — письменный экзамен. Митч получил 100 баллов из 100 по математике и естественным наукам, по другим предметам оценки также были высокими.

В 12 лет Митч самостоятельно учился игре на фортепиано в доме друга. Через полгода его родители купили фортепиано для сестры Митча, после чего Митч занимался с учителем, но только в течение шести месяцев. Когда ему было 15 лет, он снова полгода занимался с учителем, но, главным образом, самостоятельно. Он продолжал играть до 19 лет. В 19 лет Митч уехал из дома и уже не имел доступа к инструменту. Когда в 1987 году он переехал в Нью-Йорк, он купил себе рояль и вновь прошёл исключительно хорошее обучение, но сейчас играет редко.

Следующей школой Митча была Тилденская средняя школа. Это хорошая школа в Бруклине. За два с половиной года он прошёл трёхлетнюю программу. Он нашёл обучение там в основном жалким, а учеников — неинтересными. Он состоял в школьной математической команде, члены этой команды на один день освобождались от школьных занятий. Здесь он вновь приводил в действие школьную аудио-видео систему, был секретарём занятий по физкультуре, а его отметки по годовому письменному экзамену неизменно оставались высокими.

Преддипломные годы в колледже

Митчу исполнилось 16 лет, когда в феврале 1961 года он поступил в Городской колледж Нью-Йорка на Конвент-авеню и 137-й улице в Бронксе. В то время для поступления необходимо было иметь средний школьный балл не ниже 88. Обучение было бесплатным за исключением вступительного взноса в размере пятнадцати долларов. Это был очень хороший колледж. Позднее он уже не был на таком хорошем счету, было решено, что для поступления туда достаточно диплома средней школы, количество баллов не оговаривалось. Митч ездил в колледж автобусом и метро. Тогда билет как в автобусе, так и в метро стоил 15 центов. Дорога в один конец занимала 1 час 45 минут.

Митч выбрал электротехнику, потому что в десять лет выяснил, что инженеры-электрики знают, как работает радио, — этот вопрос, как уже говорилось, очень занимал его в детстве. Кроме того, он узнал, что такой диплом позволял ему найти работу с годовым окладом около 10 000 долларов. Пятилетнюю программу по электротехнике он прошёл за три с половиной года, закончив также все выпускные курсы по математике и физике. Он быстро понял, что секрет радиоволн таит в себе физика. Он прошёл много лабораторных курсов и посещал летнюю школу колледжа для того, чтобы ускорить дело. По интересовавшим его предметам он получал высший балл — «отлично», и имел удовлетворительные отметки по тем предметам, которые его не интересовали. В 1964 году, в возрасте 19 лет, он получил степень бакалавра по электротехнике — magna cum laude [С большой похвалой (лат.); вторая из трёх степеней отличия при выпуске из университета или колледжа. — Прим. перев.]. Одной тысячной не хватило до summa cum laude [Оценка с отличием (лат.). — Прим. перев.], потому что его оценки за лабораторные курсы были средними.

Митч самостоятельно научился делать вычисления ещё за последний школьный год. Это изменило его подход к образованию на всю жизнь. Самообразование вышло на первое место. Ещё до того как он стал выпускником колледжа, он начал самостоятельное исследование под руководством профессора Мансура Явида. Его первая работа была связана с нейронными сетями (называвшимися тогда Adeline) в связи с распознаванием голоса. В это же время его интересовало применение управления с обратной связью к экономическим проблемам. В этой связи в 1963 году он разработал теорию линейного ответного поведения — тема, которая стала повсеместно модной лишь в 1968 году.

Аспирантура

Митчелл подал заявление в Калифорнийский технологический институт, Колумбийский университет, Гарвардский университет, Массачусетский технологический институт (МТИ) и Принстон и был принят везде. Под влиянием опыта друга его брата Митч выбрал МТИ, куда и приехал летом 1964 года. Вскоре после этого он стал членом Американского Физического Общества, сейчас он является членом его совета.

Что касается места жительства, «я постоянно переезжал», проживая в дортуарах для аспирантов, затем в комнатах Кембриджа [Кембридж — пригород Бостона, штат Массачусетс. — Прим. перев.], Бруклина, Белмонта. За те шесть лет, что он провёл в МТИ (включая докторантуру), первые три года он получал финансовую поддержку от ассоциации аспирантов Национальной научной организации, затем стал ассистировать в исследованиях Фрэнсису Лоу [Профессор-ассистент (имеющий учёную степень магистра или бакалавра). — Прим. перев.]. Сначала Митч записался на программу по электротехнике, но к этому времени он уже знал, что для того чтобы понять, как действительно работает радио, нужна физика. Поскольку каждый студент мог сам выбрать курсы и составить собственный учебный план, Митч сосредоточился на физике и математике. Во время первого семестра он подал прошение о зачислении его на отделение физики, которое было удовлетворено в следующем семестре.

С первого семестра Митч проходил курсы по квантовой и классической механике, по теории функций комплексных переменных на отделении математики. Что касается квантовой механики, то он вспоминал, что ему не понравилась теория рассеяния двух тел. Его притягивала идея изучения сложных систем. Ему уже во время первого семестра стало скучно, и он самостоятельно начал изучать общую теорию относительности, прочитал от корки до корки книгу Ландау и Лифшица на эту тему. Эту же тему он предполагал выбрать для своей докторской диссертации. Однако это оказалось невозможным, поскольку «тогда в МТИ не было никого, под чьим руководством можно было бы выполнять эту работу», не было такого руководителя и в других местах в то время. Его беспокоило то, что преподавательский состав МТИ не высказывал большого интереса к фундаментальным проблемам.

За время своего аспирантского года Митч сдал все экзамены на «отлично», но в целом получил лишь «хорошо» по своему курсу электротехники по причине того, что не решал задачи, заданные на занятиях. Ещё до окончания аспирантуры ему предложили стать старшим преподавателем по электротехнике, но он ответил отказом на это предложение.

Что касается его внеучебных интересов: уже во время первого семестра он начал много читать. Его чтение включало философию — например, критику чистого разума Канта, всего Достоевского. Несколько часов в день он проводил также в музыкальной библиотеке, слушая записи и читая партитуры.

Однажды, на двадцатом году жизни, Митч с друзьями отправились к близлежащему Линкольнскому водохранилищу. Пока друзья гуляли, Митч один побрел к музею современного искусства Де Кордова, который находился на соседнем холме. Когда он поднимался на холм, ему пришло откровение. Это был вопрос: «Как ощущения человека — визуальные, слуховые и т.п. — связаны с реальностью ощущаемого?» Он понял, что должен знать гораздо больше о психологии и философии. Это привело его к изучению работ Фрейда — «всех работ». Он, кроме того, начал читать Эрнста Маха, «Начала» Ньютона и труды Галилея. «Я образовывал себя». В 22 года его всерьёз заинтересовала визуальная физиология.

Я уже говорил о том, что с 8 лет у Митча не было друзей среди сверстников. Так было до тех пор, пока на последнем году обучения в Городском колледже Нью-Йорка он не решил, что с этим надо что-то делать. Он стал встречаться со сверстниками, заставляя себя посещать кафетерии и завязывать разговоры, которые, откровенно говоря, его не вдохновляли. Но, тем не менее, он познакомился с несколькими людьми, которые стали его друзьями на всю жизнь. Он получил большое впечатление от чтения Фрейда, но не знал, сможет ли это ему действительно помочь избавиться от навязчивых идей. Но в результате этого чтения он всерьёз занялся самоанализом.

Ещё одним аспектом ранних лет жизни Митча были уже упомянутые здесь навязчивые идеи. Всё это закончилось, когда в возрасте 19 лет он начал целоваться с женщинами. Когда он учился в аспирантуре, у него была первая любовная связь, которая, фактически, была бедствием. Все его подруги — и его две жены — были неамериканского происхождения.

В 1970 году Митчелл получил степень кандидата наук (в МТИ обходились без промежуточной степени магистра). Его консультантом по диссертации был Френсис Лоу, его тема — дисперсионные соотношения. В результате этой работы появилась его первая совместная с Лоу публикация.¹ Пришло время для его посткандидатского исследования, которое продолжалось несколько лет.

Посткандидатские должности

На два года Митчелл уехал в Корнеллский университет. Половину средств он зарабатывал преподаванием, а половина была вручена ему в качестве посткандидатского гранта от Национального научного фонда — всего 10 000 долларов в год. В то время выдавалось лишь 50 таких грантов на всю Америку. Его статус: старший преподаватель. Митчелл серьёзно относился к преподаванию, читая курсы по вариационным методам и современной нерелятивистской квантовой механике. Кроме того, на нём лежала часть ответственности за курс физики для студентов второго курса медицинского колледжа, куда он сумел включить специальную теорию относительности. Несколько лет спустя он опубликовал статью², посвящённую развитию этой теории.

За два года, проведенные в Корнелле, Митч узнал всё, что связано с теоретической физикой частиц. Для него эта область физики не была той, что осветила бы его понимание мира. Тем не менее, он опубликовал три статьи на эту тему^{3 , 4 , 5}. Их содержание указывает на его постоянно возрастающий интерес к сложным системам.

Из всех физиков Корнелла Митчу нравились Эд Солпитер и Пит Каррузерс. Его впечатлял профессионализм Кена Вильсона. Митчеллу очень нравилась его работа по ренормализационной группе и лекции Кена по этой теме. Митч с уважением относился к техническим способностям Бете, но его взгляды на мировые проблемы оставляли меньшее впечатление. За время пребывания в Корнелле Митчел познакомился с Давидом Финкельштейном из Университета Иешива. Его «реальное мышление» по фундаментальным вопросам оказало на Митча сильное влияние.

Когда мы с Митчем вспоминали его Корнеллский период, разговор естественным образом повернулся на его встречи с другими физиками. Он высоко оценивал способности Стива Вайнберга, упоминая, в частности, его работу по алгебре токов. Он несколько раз встречал Фейнмана, до 1981 года никаких существенных обсуждений у них не было, пока Митча не пригласили в Калифорнийский технологический институт и не предложили там должность. Митчелл считает, что Фейнман и Ландау — последние крупные фигуры в физике.

После Корнелла Митч уехал в политехнический институт Виргинии, где Поль Цвайфель получил финансирование на одну посткандидатскую работу. Митч оставался там в 1972–74 годы, вновь имея 10 000 долларов в год. «В институте Виргинии Цвайфель завершил моё образование по хорошим винам — предмет моего интереса в течение многих лет, хотя я и до него немало знал об этом». Первое предложение о работе, которое поступило к нему после окончания аспирантуры, было работать в качестве торгового агента по винам. Он остался специалистом по этому вопросу.

И снова Митчелл преподавал. Среди прочих курсов были банаховы пространства и C^*-алгебра. Второй год работы там отмечен его глубоким интересом к природе времени в дискретной вселенной — влияние разговоров с Финкельштейном. Он много работал по данной теме, но работы эти так и остались неопубликованными. В этом же году он проявил профессиональный интерес к ренормализационной группе.

«Эти двухлетние должности делали серьёзную работу практически невозможной. После года работы начинаешь задумываться о том, куда отправиться дальше».

После Блэксбурга Митч получил своё первое долгосрочное назначение. Каррузерс уехал в Лос-Аламос, где возглавил теоретическое отделение. [Лос-Аламос (штат Нью-Мексико) — центр исследований в области использования атомной энергии и производства ядерного оружия (первые атомные бомбы). — Прим. перев.] Он предложил Митчу должность в штате с годовым окладом 22 500 долларов плюс оплата расходов на поездки. Митч был рад этому предложению, поскольку оно открывало научные перспективы, но о самом месте размышлял долго. В 1974 году он переехал в Лос-Аламос.

В 1976 году, после выздоровления от крайнего истощения сил, связанной с его самой важной работой в жизни, о чём я расскажу позднее, Митч встретил в Лос-Аламосе Корнелию Дробовольски — немку, которая проходила обучение на степень магистра по немецкой литературе. Они поженились в 1978 году. Она привезла на свадьбу двух сыновей, тогда им было 4 года и 8 лет. В 1981 году состоялся развод, хотя мальчиков Митч продолжал считать «своими» сыновьями. Они остались близки ему и до сих пор наведываются к Митчу в Нью-Йорк.

После развода Митч был в отчаянии и замкнулся, отгородившись в Лос-Аламосе от общения. По рекомендации друзей он обратился к психиатру из Сайта Фе — последователю Юнга. Митч консультировался раз в неделю в течение 8 недель. Он отзывался о нём как о мудром и гуманном человеке, который, помимо прочего, помог ему справиться с практической стороной развода. Митч восхищался этим человеком.

В 1986 году он вновь женился, на шведке Гунилле Оман. Она талантливый художник и не менее талантливый писатель. Мы с женой рады, что у нас есть такие милые друзья, как эта пара.

К хаосу ⁶

«Когда я прибыл в Лос-Аламос, Каррузерс решил, что настало время проверить, могут ли идеи Кена Вильсона по ренормализационной группе разрешить вековую проблему турбулентности [сам Вильсон поднял этот вопрос]⁷. И Каррузерс решил также, что я именно тот человек, который ему нужен для осуществления этой работы. Если вкратце изложить результаты этой работы, то оказалось, что идеи не могли — или пока не смогли — решить проблему, но сама работа дала мне замечательные направления для дальнейшей деятельности».⁸ Замечательным направлением явилась теория хаоса, исследование систем, которые не являются хаотическими, но кажутся таковыми. Здесь и в последующем изложении под хаосом я имею в виду то, что точнее будет выражено названием «динамический хаос» — кажущееся хаотическое движение динамической системы, т. е. системы без случайных сил.

Работа Митчелла по этой теме началась в 70-х годах. Это глубокое дополнение к классической физике, к тому времени эта работа уже имела долгую историю. Я вкратце изложу основные пункты. Прежде всего, термин «турбулентность», данный лордом Кельвином⁹ произошёл от французского tourbillon, что означает водоворот. Это название было дано через несколько лет после плодотворных исследований британского физика Осборна Рейнольдса,¹⁰ именем которого названо число, определяющее условия перехода от обычного, ламинарного течения к хаотичному турбулентному потоку по мере возрастания скорости потока.

Анри Пуанкаре был первым, кто в конце XIX века понял, что уравнения движения такой простой системы (извините за выражение), как система, состоящая из Солнца, Земли и Луны, не могут быть строго решены из-за недостатка интегралов движения,^{11 , 12 , 13} что является одной из характеристик хаоса. И ещё: через какое-то время две орбиты данной системы, которые начали движение близко друг от друга, расходятся экспоненциально. Их относительное расстояние возрастает как e^λt; положительное число λ называется показателем Ляпунова (названа так в честь Александра Ляпунова в 1890-х годах). Это было ясно Пуанкаре:

Если бы мы точно знали законы природы и положение вселенной в начальный момент, мы могли бы в точности предсказать положение той же самой вселенной в последующий момент. Но даже если бы это было так и законы природы уже не были для нас тайной, мы бы всё равно знали положение приблизительно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение вселенной с тем же приближением, то это всё, что нам нужно, и мы должны тогда сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так. Может случиться, что маленькие различия в начальных условиях приведут к очень большому отличию в конечных явлениях. Маленькая ошибка в начале приведёт к огромной ошибке в конце. Предсказание становится невозможным.¹⁴

Кстати, использование в этом контексте термина хаос для описания этой ситуации произошло впервые в 1975 году в названии статьи: «Период три означает хаос».¹⁵

Самый простой пример¹⁶ хаотической системы — это бильярд Якова Синая: маленький шар движется внутри квадратного бильярда, в котором помещено круглое препятствие с отражающими стенками. Движение маленького шара детерминистично, но последовательные столкновения с препятствием заставляют соседние траектории расходиться экспоненциально. Грубая оценка показывает, что соответствующий показатель Ляпунова получается λ = v/L, где v — скорость шара, a L — характеристическая длина.

Ещё одно последнее замечание по поводу задач Пуанкаре с системами из трёх тел. Он обнаружил, что точные решения невозможны, но, конечно же, траектории можно рассчитать численно с высокой точностью — по крайней мере, в течение какого-то времени. Однако на вопрос о поведении этих трёх тел в течение долговременного периода ответа быть не может. До сегодняшнего дня мы не знаем даже того, стабильна ли Солнечная система. Лучшая числовая информация настоящего времени показывает, что она не стабильна. Хотя, конечно же, она кажется таковой, если рассматриваемый временной период краток. Но мы не можем (пока) дать точный ответ на вопрос: могут ли планеты уйти из Солнечной системы?

Во времена Пуанкаре не было компьютеров. Если бы они тогда были, он бы смог проследить движение системы из трёх тел в течение гораздо большего промежутка времени, хотя так и не смог бы ответить на вопрос об уходе планет.

Как бы там ни было, начиная с 60-х годов компьютеры сыграли решающую роль в нашем продвижении в понимании явления хаоса.

Однажды, зимой 1961 года, исследователь-метеоролог Эдвард Нортон Лоренц работал в своём кабинете Массачусетского технологического института. Он, как обычно, заносил данные о погоде в свой компьютер Royal McBee LGP-30, который, конечно, не идёт ни в какое сравнение с современными компьютерами. Он делал распечатку параметров, направления воздушных потоков, давления воздуха, температурные данные и т.п. Это была «игрушечная погода» — он использовал простые, упрощённые, чисто детерминистические уравнения (сейчас известные как уравнения Лоренца), которые имитируют настоящие погодные условия Земли. В этот день он хотел проверить один результат, полученный раньше, поэтому ещё раз внес первоначальные данные, а затем вышел, чтобы выпить чашечку кофе. Когда он вернулся, он увидел совершенно неожиданный результат. По его словам:

Во время вычислений мы решили проверить одно из решений более детально: мы выбрали некоторые промежуточные условия, распечатанные компьютером, и задали данные условия в качестве новых исходных условий. Когда через час мы вернулись к компьютеру, который к тому времени смоделировал два месяца «погоды», мы обнаружили, что полученные данные абсолютно не согласуются с прежними. Сначала мы решили, что всё дело в сбое компьютерной программы, — это было в порядке вещей, но потом мы поняли, что эти два решения не исходят из тождественных условий. Вычисления были внутренне осуществлены с точностью примерно до шести десятичных знаков, но распечатанный вариант содержал только три, так что новые начальные условия состояли из старых условий плюс маленькие отклонения. Эти отклонения увеличивались квазиэкспоненциально, удваиваясь через каждые четыре смоделированных дня, так что после вывода двухмесячной модели решения пошли совершенно в разных направлениях.¹⁷

Лоренц здесь выводит количественную зависимость от начальных условий — чувствительность к отклонениям. Об этом всё предвидящий Пуанкаре писал следующее:

Почему метеорологам так трудно предсказывать погоду с большой точностью?... Мы видим, что большие волнения обычно возникают в тех районах, где атмосфера находится в неустойчивом состоянии. Метеорологи хорошо видят, что равновесие атмосферы неустойчиво и что если где-то возникнет циклон, то они не могут точно сказать, где (именно) он возникнет. Десятая доля градуса вверх или вниз от любой данной точки и циклон разразится здесь, а не там, где он бы произвёл своё разрушительное воздействие, если бы не было этой разницы в десятую долю градуса... Здесь мы вновь находим тот же самый контраст между незначительной причиной и значительным следствием, которое иногда является ужасной катастрофой.¹⁴

Эта ситуация сейчас хорошо известна, её называют «эффектом бабочки»: такое незначительное событие, как порхание бабочки над Киото, может привести к ужасной буре над Чикаго. Следовательно, как сказал Лоренц: «Точного долговременного предсказания погоды, кажется, не существует»¹⁸ (курсив Пайса).

«Через много лет физики будут обмениваться мечтательными взглядами при разговоре о работе Лоренца¹⁸ — о прекрасном чуде научной работы... В ней содержалось всё богатство хаоса... К тому времени о ней говорили как о древнем манускрипте, сохраняющем в себе тайны вечности».¹⁹ Более всего у меня вызывает уважение понимание Лоренцом того факта, что увиденное им не было сбоем в работе компьютера, а чём-то абсолютно новым. Есть и ещё новшества в его работе; например, там даётся первое описание²⁰ бесконечно запутанной абстракции, сейчас называемой странным аттрактором.²¹

Работа Лоренца¹⁹ отмечает начало новой эры в науке, количественное изучение хаоса, которое отрицается немногими, но многими принимается как евангелие. Писали, что «хаос предвещает будущее так, что никто его не опровергнет».²² Интуицию в хаосе продолжают развивать с помощью компьютеров; они стали экспериментальным инструментом математика par excellence [По преимуществу (фр.). — Прим. перев.]. «К сердцу хаоса есть математический доступ».²³

К настоящему моменту хаос вездесущ. Стартовав в метеорологии, теория хаоса стала применяться в изучении турбулентности, астрономии и космологии, лазерной оптике, акустике, физике плазмы, физике ускорителей, химических реакциях. Кроме того, в биологии популяций и эпидемиологии (при учёте данных о нью-йоркской эпидемии кори,²⁴ в основном, об относительном количестве населения, заражённом за какое-то время), в теории познания (биты информации, которую можно запомнить за данный отрезок времени), распространении слухов (количество людей, которые услышали ту или иную новость через заданный отрезок времени), в потоке движения автомобилей, в отношении между количеством товара и ценой на фондовой бирже.²⁵ Всё это привело к сотрудничеству физики с другими отраслями науки. Произошёл взрыв публикаций на тему хаоса, между 1963 и 1983 годами появилось около 1000 работ. В конце 80-х годов появилось более 2000 материалов на сопутствующие темы.²⁶ В 1977 году состоялась первая конференция по хаосу. Сейчас уже много конференций и научных журналов посвящены исключительно данной тематике.

Прежде чем я перейду к описанию того вклада, который Фейгенбаум внёс в теорию хаоса, необходимо отметить ещё один последний пункт — бифуркации. Впервые о них говорилось в лекциях великого Пуанкаре²⁷ в Сорбонне в 1900 году в курсе описания движения цилиндрических столбов жидкостей. В то время он использовал выражение echange des stabilites для того, что сейчас называют бифуркациями. Меня поразил тот факт, что Пуанкаре в литературе по бифуркациям вообще не упоминается. [Не знаю, по каким источникам Пайс сделал такой глобальный вывод, но он ошибается — взять хотя бы переводные книги: Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и её приложения, М.: Мир, 1980 (J. E. Marsden, M. McCracken, The Hopf bifurcation and its applications, Springer, New York, 1976) и Ж. Йосс, Д. Джозеф. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций, М.: Мир, 1983 (G. Iooss, D. Joseph, Elementary stability and bifurcation theory, Springer, New York, 1980). Во второй, кстати, говорится, что термин «бифуркация» (abzweigung на немецком) первым ввёл Якоби в 1834 году, а у Пуанкаре он впервые появился в 1885 году. — E.G.A.]

Современная эра широкого осознания физических и биологических исследований в бифуркации началась в 70-х годах со статьи «Простые математические модели с очень сложной динамикой»,²⁸ написанной сэром Робертом Маккреди Мэйем, тогда — профессором биологии в Принстоне, который позднее стал руководителем научных изысканий этого университета, а сейчас является главным научным советником в Британском правительстве. Работа содержала «евангельскую мольбу... не только исследования, но и повседневный мир политики и экономики стали бы богаче, если бы больше людей осознало... те дикие вещи, которые могут творить простые нелинейные уравнения». (Как мы увидим, когда Мэй писал свою статью, эта задача уже была решена.)

Специальностью Мэя была биология популяций, в частности экологическая проблема: как ведут себя популяции с течением времени. Эта же задача стояла ещё, по меньшей мере, перед Томасом Мальтусом, постулировавшим сценарий, в котором популяции обнаруживают необузданный рост, вследствие чего он боялся, что им не хватит пищи. В математическом выражении это выглядит так: пусть x_n обозначает популяцию в n-й год, а x_n+1 — то же самое ещё через год. Затем, как предполагает Мальтус, x_n+1 = rx_n, где r — это скорость роста.

известное как нелинейное логистическое разностное уравнение. На языке нелинейной динамики f (x) называется отображением. Здесь «популяция» рассматривается как значение между 0 и 1. Нуль означает вымирание, а единица — максимальную по численности популяцию. Это уравнение изучалось и до Мэя, но Мэй первым оценил всё богатство информации, которое содержит это простое по виду уравнение.

Читатель может воспользоваться карманным калькулятором, чтобы ему легче было следить за теми изменениями, которые происходят при увеличении параметра роста.

При r < 1 популяции стремятся к нулю. Например, если x₁ = 0.4 и r = 0.5, то x₂ = 0.12, x₃ = 0.053, ...

При r > 4 все популяции стремятся к минус бесконечности. Например, если x₁ = 4 и r = 5, то x₂ = 1.2, x₃ = –1.2, x₄ = –13.2, ...

При 1 < r < 3 поведение популяции приобретает колебательный характер. Например, для x₁ = 0.02 и r = 2.7 популяция то увеличивается, то уменьшается, асимптотически стремясь при этом к значению 0.6296.

Но настоящее волнение начинается, когда значение r находится в пределах между 3 и 4. Пример: x₁ = 0.4, r = 3.1. Численность популяции в первые 8 лет выглядит следующим образом:

Читать это следует так: первый ряд, второй ряд и т.д. Так, в первый год популяция составляет 0.4, во второй — 0.744, в третий — 0.590. Появляется бифуркация! Популяция колеблется между двумя значениями, чередуясь через год. Другие (начальные) значения для x₁ ведут к тому же двухгодичному циклу.

Теперь снова начнём с x₁ = 0.4, но поднимем r до 3.5. Мы получим:

вновь читаем в том же порядке — первый ряд, второй ряд и т.д. Мы видим бифуркацию удвоения периода! Двухгодичный цикл стал теперь четырёхгодичным. Дальнейший подъём r ведёт к 8, 16, 32, ... бифуркациям. Интервалы между последовательными бифуркациями с ростом r монотонно убывают таким образом, что при r = 3.5699... период достигает бесконечности. При более высоких значениях r поведение становится беспорядочным, апериодичным. Мы достигли режима хаоса.

В 1973 году было высказано предположение,²⁹ что поведение, описанное для логистического разностного уравнения, качественно сохраняется для всех f (x), имеющих максимум (в x = 0.5 для логистического случая) и монотонно спадающих по обе стороны от него.

Внутри режима хаоса можно найти бесконечное число всё уменьшающихся областей значений r, для которых система вновь становится периодичной.³⁰ Поведение этого логистического уравнения, которое, на первый взгляд, выглядит таким элементарным, в высшей степени удивительно.

Числа Фейгенбаума

Коллегам Митчелла в Лос-Аламосе вскоре стало ясно, что с ним стоит поговорить, когда они заходят в тупик в своей работе (сам Митчелл всегда говорил очень быстро). Они знали, что практически всё своё время он проводил в глубоких размышлениях, но никаких научных статей не писал. Основные задачи, над которыми он размышлял, касались больших сложных систем. Он пытался понять, насколько удовлетворительно их описывает физика (если она это вообще делает).

К августу 1975 года, как сказал мне сам Митч, у него появился первый результат, достигнутый при помощи его первого программируемого калькулятора, HP-65, который он получил в декабре 1974 года в качестве поощрения за то, что вошёл в состав сотрудников Лос-Аламоса. В тот август после долгого размышления и анализа он обнаружил следующее. Пусть r_n — значение параметра, при котором появляется n-я бифуркация, и пусть Δ_n = r_n+1 – r_n. Тогда с ростом n последовательность Δ_n асимптотически сходится к геометрической прогрессии.³¹

При n = 4 уже было ясно, что Δ_n обладает геометрической сходимостью, и было заметно, что отношение последовательных значений Δ_n/Δ_n+1 быстро приближается к 5. При n = 7 величина этого отношения получалась с тремя знаками после десятичной точки и оставалась неизменной при дальнейшем увеличении n. Нахождение последующих знаков уже было за пределами машинной точности, но само отношение Δ_n/Δ_n+1 сходилось к 4.669... Это было любопытным и необычным фактом... Что же обеспечивало геометрическую сходимость в этих нетривиальных вычислениях? ... Я был так поражён, что провёл полдня в попытках понять, не является ли число 4.669 какой-либо простой комбинацией известных чисел и т.п., но ничего для себя так и не прояснил... Первую неделю октября я провёл в Калифорнийском технологическом ..., [и там] даже растерялся, вдруг вспомнив о том, что сказал мне Стайн. Он сказал, что удвоение периода было одинаковым для всего, что выглядело как горб. Я вдруг вспомнил, что в работе MSS,²⁹ которую я просматривал почти год назад, уравнение x_n+1 = r sin πx_n обнаруживало поведение, идентичное (1). В тот же день, когда я вернулся домой, я решил проверить, действительно ли для sin πx имеет место удвоение периода. Это действительно было так, но при скорости вычислений в 1 секунду на одно значение тригонометрической функции ожидание было мучительным. Я вспомнил о существовании лёгкого способа догадаться о следующем значении и к n = 4 вновь понял, что и здесь присутствует геометрическая сходимость. Я попытался найти отношение Δ_n/Δ_n+1, и новый полученный результат, 4.662, уже выглядел знакомым. Быстро перерыв содержимое ящика своего стола, я нашёл листок с результатом 4.669 для логистического разностного уравнения и почувствовал сильнейшее волнение, ни на секунду не сомневаясь в том, что натолкнулся на частичку божественного.

Я немедленно позвонил Стайну. Нет, он не знал, что точки удвоения сходятся в геометрической прогрессии, и в высшей степени скептически отнесся к идее о существовании универсальной количественной закономерности. Я отправился к нему в кабинет, чтобы показать оба числа, на что он со сдерживаемым раздражением ответил, что у меня нет никакого права высказывать подобные предположения, основываясь всего лишь на трёх совпадающих цифрах. Вот если у меня будет двенадцать цифр, это его убедит.

Тем не менее, этим же вечером я позвонил родителям (22 октября) и сказал им, что открыл нечто действительно выдающееся и что когда я разберусь с этим окончательно, то стану известным человеком.

Один из моих коллег, который считался экспертом в компьютерах, дал мне руководство пользователя ФОРТРАНом [Язык программирования. — Прим. перев.] и на следующее утро сказал, что поможет с получением доступа к серьёзному компьютеру Лос-Аламоса. Несколько часов его инструктажа на тему, как пользоваться системой, удобный редактор и лёгкий способ получения значений привели к выдающемуся результату. Я сам к концу дня получил 4.6692. И это не было моим пределом, просто для этой машины точность 10^–5 — это всё, что можно было сделать. Так что на следующий день уже другой компьютерный гуру давал мне ценные указания, как использовать компьютер CDC с 29-разрядной арифметикой двойной точности. И, наконец, назавтра, через 4 дня после нашей последней встречи, я торжествующе вошёл в кабинет Стайна с результатом 4.66920166..., до 11 цифр совпадающим для четырёх различных задач. На этот раз он согласился, достал свой «словарь» чисел — упорядоченный список десятичных чисел на несколько сотен страниц с их значениями. До цифры «9» там даже близко не было ничего похожего.

Вот таков рассказ о том, как родилось число, которое я назвал δ. И я знал, что это был действительно тот единственный ключ, которым открывался целый мир.³²

Его значение до двенадцатого десятичного знака:

Следующий шаг в этот новый мир Митчелл сделал в 1976 году, когда он сформулировал решающую идею о том, что теория может быть сформулирована на языке функциональных уравнений и что не только δ, но вся динамика хаоса должна быть в количественном отношении универсальной. «Это было большим сокровищем».³³ Первый результат в этом направлении касается величин E_n разделения между двумя ветвями n-й бифуркации относительно максимума. Он нашёл, что асимптотически при переходе от одного удвоения к следующему это разделение стремится к значению a:

Число a — это «ещё одна универсальная постоянная и эта постоянная для фактической динамики!»³⁴

«После исключительно напряжённой аналитической работы за компьютером, каждый день по 22 часа в сутки, пока в середине марта мне не потребовалась медицинская помощь» — он жил, практически, на кофе и сигаретах, — Митчелл вывел своё функциональное уравнение, которое «оправдало надежду на то, что динамика..., когда её поведение является достаточно сложным, знает как работать независимо от деталей».³⁴ Он завершил поиск своей «универсальной функции», назвав это достижение «самым выдающимся открытием в моей жизни».³⁴

Аналитическая часть работы состояла в нахождении функционального уравнения для универсальной функции; числовые данные — в нахождении значения a, которое (до 12 десятичных знаков) приняло вид:

Поиск числовых данных до первых трёх десятичных знаков был осуществлен на его HP-65. Затем ему пришлось обратиться к «полномасштабному мощному вычислению».³⁴

Когда работа была завершена, доктор прописал умеренную дозу валиума и продолжительный отпуск.

Параметры δ и a (параметр удвоения периода и параметр разделения) сейчас известны как числа Фейгенбаума. Насколько я знаю, это единственные безразмерные числа, которые названы в честь человека в XX веке. Митчелл вычислил их первые 100 десятичных знаков, другие, возможно, ушли дальше. Неизвестно, являются ли эти числа трансцендентными. Было бы в высшей степени удивительно, если бы это было не так.

Для универсальной функции Фейгенбаума явный вид неизвестен, но известно, что она является аналитической функцией в некоторой области. Все результаты относительно этой функции были получены комбинацией аналитики и значительного количества численных расчётов. В работе,³⁵ опубликованной в 1992 году (!), говорится: «Некоторых из нас уже давно интересует вопрос, насколько обоснованны эти открытия и какие методики из динамики необходимо применить или изобрести для получения доказательства» (курсив Пайса) и даётся ответ на эти вопросы. Я не буду пытаться передать идею и детали доказательства, потому что, честно говоря, и сам не смог уследить за ходом рассуждений! Даже Митчелл называет эту работу «математикой исключительно тяжёлого типа». Вместо этого, я отсылаю читателя непосредственно к работам Фейгенбаума; первая,³⁶ эвристическая, завершённая в апреле 1976 года, была опубликована в 1978 году. Затем она была дополнена в приложенном послесловии. В нём признавался плодотворный вклад Предрага Квитанови в мае 1976 года, который был решающим для специальной статьи,³⁷ опубликованной в 1979 году. Далее следует письмо,³⁸ написанное в 1979 году, затем его полная версия³⁹ в 1980 году, которая распространила эту работу на произвольное число измерений, устанавливая таким образом первый контакт с реальным миром. Фейгенбаум также опубликовал научно-популярную версию этой работы.⁴⁰

Удачей Митча было то, что он начал эту работу с карманного калькулятора. Это дало ему время для размышлений и предположений,

Я знаю, что до меня никто не открывал δ. Насколько я сейчас могу судить, если бы не моё образование, заставившее меня избегать компьютеров, если бы вычисления и поиск «значения» чисел не доставляли мне такое удовольствие... и если бы HP-65 не был таким мучительно медленным, я бы тоже никогда не открыл δ. Это sine gua non [Необходимое условие (лат.). — Прим. перев.] неожиданно проявляющего поведения. Но как это увидеть, если не знаешь, как это выглядит? В конце концов, роль судьбы и удачи оказывается всегда очень важной.⁴¹

Примечания

Библиография и примечания

Джон фон Нейман

Детство

В родной Венгрии — он родился в Будапеште 28 декабря 1903 года — он был известен в официальных кругах как Нейман Янош Лайош Маргиттский. Друзья называли его Янчи. В 1913 году его отец, юрист и управляющий банка, получил от императора Австро-Венгрии Франца-Иосифа дворянский титул Маргиттский за вклад в развитие венгерской экономики. (Маргитта — это название венгерского городка.) У него было два младших брата — Микаэль и Николас. Родом он был из семьи, не соблюдающих традиций евреев, хотя все мальчики прошли бар-мицву — еврейский ритуал посвящения в мужчины, который мальчики проходят в возрасте 13-ти лет. Позднее семья приняла католицизм. Но Станислав Улам, ставший другом фон Неймана, написал, что, повзрослев, Янчи «никогда не скрывал своего еврейского происхождения. Фактически, он очень гордился рождением в 1948 году государства Израиль».¹

В Америке — с 1938 года он был гражданином США — он стал известен как Джон фон Нейман. Друзья называли его Джонни.

Образование Янчи началось с домашних уроков по древнееврейскому письму и литературе, которые давал ему приходивший на дом раввин. В детстве он всё время читал популярное издание общей истории,² состоявшее из 44 томов. С ранних лет он также развил способность быстро считать в уме, этот талант остался с ним на всю жизнь.

В десять лет он был зачислен в Agostai Hitvallash Evangelikus Fogimnazium, лютеранскую гимназию для мальчиков. В учебный план гимназии входили восемь лет изучения латыни и четыре года изучения греческого языка. Мальчик усердно занимался не только классическими языками — они с отцом часто шутили друг с другом на классическом греческом, — он также преуспевал в английском и, в конце концов, стал бегло говорить по-немецки, по-французски и по-итальянски.

Самым значительным событием в эти годы стало то, что в гимназии один из учителей математики разглядел в мальчике удивительные способности к этому предмету и договорился с Микаелем Фекете, молодым математиком из Будапештского университета, о частных уроках для Неймана.³ Домашние уроки с Фекете регулярно продолжались все восемь лет гимназии и привели Неймана к публикации его первой работы по математике в сотрудничестве с Фекете.⁴

В школе фон Нейман впервые познакомился с Юджином Вигнером, который был на год старше. Вигнер потом вспоминал: «Я никогда не считал, что хорошо знал фон Неймана в гимназии. Наверное, никто не мог этим похвастаться; он всегда держался чуть в стороне. Он любил свою маму и доверялся ей, и вряд ли доверял другим. Его братья восхищались им, но они не были близки... Он принимал участие во всех проделках своего класса, но если можно так выразиться, не от всей души, а лишь для того, чтобы не выделяться».⁵ Позднее их знакомство, тем не менее, перешло в тесную дружбу.

Гимназические табели успеваемости⁶ Янчи дают представление о сильных и слабых сторонах мальчика. Все его отметки — A («отлично»), кроме черчения, письма и музыки — B («хорошо») и физкультуры — C («удовлетворительно»). Что касается физкультуры:

В детстве у [фон Неймана] не было влечения к занятиям физкультурой или спортом. И даже позднее, когда он вёл машину, выглядевшую спортивной, на максимальной скорости, для которой такая машина и была предназначена, он сам вовсе не обретал «спортивной наружности». Но он как-то заявил, что однажды учился ездить на велосипеде... В подростковом возрасте он был неуклюжим и вряд ли подходил на роль «лидера». Но позднее в его манерах совсем не было неуклюжести, он производил впечатление человека весьма собранного и уверенного в себе. Он был обходителен, мог быть весёлым и общительным... Он всегда совершенно естественно вёл себя как человек, с детства привыкший к материальному комфорту.⁷

Школьные годы Янчи были прерваны, когда через месяц после коммунистического восстания Бела Куна его семья уехала из Будапешта в Венецию, где у них было своё место. Они вернулись через два месяца после того, как режим Куна был свергнут (он длился 130 дней). Чистосердечные антикоммунистические настроения фон Неймана берут начало именно здесь, в этом эпизоде из его жизни. По его собственным словам: «Россия традиционно является врагом Венгрии... Я думаю, в венграх вы чаще обнаружите эмоциональный страх и неприязнь по отношению к России».⁸ Что касается фон Неймана, то более точным словом, выражающим его отношение к России, будет слово «ненависть», а не «неприязнь».

Следующий венгерский режим, во главе которого стоял адмирал Миклош Хорти, отличился тем, что при нём, впервые после Первой мировой войны, был легализован антисемитизм. Хорти первым из современных диктаторов ввёл в антисемитизм расовый принцип, провозгласив евреев отдельной расой, а не особой религией. Он учредил ограниченное антиеврейское законодательство, включив в него введение numerus clausus в университетах: не более пяти процентов студентов могли быть евреями. Семье фон Неймана не было причинено большого беспокойства, но перемена в Венгрии, должно быть, укрепила отвращение Янчи к политическому экстремизму.

Университетские годы

В 1921 году фон Нейман закончил общеобразовательную школу и был зачислен в университет Будапешта, который он посещал лишь в конце каждого семестра, сдавая экзамены. С 1921 по 1923 годы большую часть времени он проводил в Берлинском университете, где, в числе других, слушал лекции Эйнштейна по статистической механике. Там же он встретил своего прежнего знакомого по школе Юджина Вигнера.⁹

В 1923 году Янчи был зачислен в Eidgenossische Technische Hochschule (Федеральный технологический институт) в Цюрихе, где, по настоянию отца, изучал химическое машиностроение. К тому времени он уже принимал активное участие в математических исследованиях и встречался с Германом Вейлем, одним из ведущих математиков того времени, и Джорджем Пойа, одним из величайших преподавателей математики. Когда Вейлю пришлось уехать на короткое время, он попросил фон Неймана заменить его, читая лекции по его курсам.¹⁰ В 1925 году Нейман получил учёную степень по химическому машиностроению в Федеральном институте. 12 марта 1926 года он, в 22 года, получил докторскую степень summa cum laude по математике и, в качестве второстепенных предметов, по экспериментальной физике и химии в университете Будапешта. Его докторская диссертация рассматривает аксиоматизацию теории множеств. До 1928 года она не публиковалась.¹¹

Академический 1926–27 год фон Нейман провёл в университете Гёттингена в качестве Рокфеллеровского стипендиата. Рекомендуя его на получение этой стипендии, математик Рихард Курант писал: «Мистер фон Нейман, несмотря на свою молодость, совершенно исключительная личность... Он уже является автором очень продуктивной работы..., и на его дальнейшее развитие во многих местах возлагаются большие надежды».¹² В 1927 году он был назначен приват-доцентом в Берлинском университете, самый молодой в истории университета. Следующие несколько лет он путешествовал между Гёттингеном и Берлином. Первую половину учебного года 1929–30 он был приват-доцентом в Гамбурге. В феврале 1930 года он впервые приехал в Принстон, чтобы прочитать ряд лекций по математической физике.

Научные вклады: европейский период

Чтобы подготовиться к обзору работ фон Неймана за годы его жизни в Европе (с 1923 по 1930 годы), я взял собрание его работ, в котором шесть томов, около 150 работ, всего 3 631 страница.¹³ Здесь и далее мой обзор краток, по причине того, что я, физик, не настолько владею математикой, чтобы вдаваться в подробности его работ. Кто-то может спросить, почему я осмеливаюсь включить в этот сборник эссе, посвящённое прославленному математику, если я недостаточно компетентен, чтобы судить о его основной заявке на прославление — его математических трудах. Я отвечу, что мы с Джонни были друзьями, — как позднее поймёт читатель, — и что здесь я, главным образом, стремлюсь рассказать о нём как о человеке, а не как об учёном.

На труды фон Неймана тех лет, всего около 40 работ, большое влияние оказал Давид Гильберт из Гёттингена, главной целью которого в то время было аксиоматизировать всё, что есть под солнцем.

Одна группа работ фон Неймана, написанная в 1920-е годы и посвящённая теории множеств и логическим основаниям математики, включает строгое определение порядковых (трансфинитных) чисел,¹⁴ новый набор аксиом для теории множеств, сейчас известной как теория фон Неймана–Гёделя–Бернайса,¹⁵ вклад в теорию доказательства Гильберта,¹⁶ которая получила развитие через пять лет;¹⁷ и по необходимым и достаточным условиям для избежания логических парадоксов, которые грозили разрушить основы математики.¹⁸

Фон Нейман перестал заниматься исследованиями по логическим основаниям математики после 1931 года, когда Курт Гёдель опубликовал свою теорему о неполноте, которая утверждала, что существуют истинные высказывания, недоказуемые в рамках существующей системы аксиом.¹⁹ Это произошло как раз тогда, когда усилия фон Неймана были направлены на попытки доказать как раз обратное теореме Гёделя, и безуспешно! Фон Нейман говорил, что колоссальный результат Гёделя делает его величайшим логиком со времён Аристотеля. «К чувству его глубокого восхищения Гёделем примешивалось чувство разочарования от того, что он сам не додумался до идеи о неполноте».²⁰ Многие годы Гёдель был сотрудником Института перспективных исследований, но не мог добиться звания профессора (профессором он стал лишь в 1953 году). Это заставило Джонни (к тому времени уже давно ставшего профессором) заметить: «Как вообще кого-то из нас можно назвать профессором, когда сам Гёдель не является таковым?»²⁰

Вторая группа статей фон Неймана в 1920-х годах вновь отмечена влиянием Гильберта. Она начинается с сотрудничества с Гильбертом и его ассистентом Лотаром Нордгеймом, в котором они использовали (я думаю, впервые) так называемые гильбертовы пространства (векторные пространства с бесконечным числом измерений), чтобы усовершенствовать математические принципы, лежащие в основе матричной механики Гейзенберга,²¹ — работа, получившая дальнейшее развитие в ряде других работ по связанным с этой темой вопросам.²² Более подробная версия этих статей содержится в книге фон Неймана по математическим основам квантовой механики.²³ В этой книге есть также его теория измерений, в которой он приводит доводы в пользу того, что индетерминизм является свойственной квантовой механике чертой, в отличие от мнения, что введение скрытых параметров позволит достичь какой-то детерминистской теории. Отклики на эту работу были разными. Например: «Его формальное определение физического состояния как точки в гильбертовом пространстве было с такой готовностью подхвачено физиками, как будто со времен сотворения мира это был самый очевидный факт».⁷ И ещё: «Математический характер этого описания делает его гораздо более привлекательным для математиков, чем для физиков [включая настоящего автора], которые не нашли ему существенного применения».²⁴ Фон Нейман и Нильс Бор имели по этому поводу интересную дискуссию во время встречи в Варшаве в 1938 году.²⁵ Из личных наблюдений я знаю, что они относились друг к другу с большим уважением.

Физикам будет приятно узнать, что в свои европейский период работы фон Нейман занимался и решением чисто физических задач. Эта работа включает ряд статей, написанных совместно с Вигнером,²⁶ и, что представляет самый большой интерес, написанную в 1928 году статью по теории электрона Дирака, которой тогда было всего несколько месяцев. Каждый физик знает, что, используя билинейные формы, построенные из четырёхкомпонентных спинорных волновых функций Дирака, можно получить пять основных ковариантных величин (скалярную, четырёхвекторную, тензорную, псевдочетырёхвекторную и псевдоскалярную), но не многие осознают, что первым это сделал фон Нейман.²⁷ Он отмечал в своей работе: «Чтобы величина с четырьмя компонентами (спинор) не являлась 4-вектором, ещё никогда не случалось в теории относительности!»

Фон Нейману принадлежит научный вклад и в совершенно другую область физики, а именно, эргодическую теорему,²⁸ которая повлияла на последующие исследования по динамическим системам и статистической механике. Когда, незадолго до своей смерти, он отвечал на анкету Национальной академии наук США, то на вопрос, какие три работы он считает своими главными достижениями, он назвал теорию операторов в гильбертовом пространстве, математические основы квантовой теории и эргодическую теорему.²⁹ Важно отметить, что он начал исследование всех этих тем в европейский период работы, ещё до своего тридцатилетия.

Но и это ещё не всё, чем он начал заниматься в этот период. В 1928 году он написал свою первую и основную работу по теории игр,³⁰ «в основе которой, главным образом, лежал анализ вариантов игры в покер».³¹ Он втиснул эту работу между трудами по логике и физике. Она имеет уютное название: Zur Theorie der Gesellschaftsspiele (К теории увеселительных игр) и, в короткой сноске, в ней проводится аналогия с некоторыми проблемами в экономике. Центральный результат фон Неймана, послуживший основой для всей последующей работы по теории игр, — это теорема о минимаксе. В ней утверждается, что для любой игры, в которой участвуют два человека, а сумма проигрыша и выигрыша равняется нулю (игра, в которой мои выигрыши (проигрыши) равняются твоим проигрышам (выигрышам)), существует оптимальная стратегия, выраженная через уникальную величину — «минимакс» игры, представляющую минимальный выигрыш и максимальный проигрыш, который может ожидать каждый игрок.

О его первой попытке в экономике, представленной на коллоквиуме в Вене в 1937 году,³² один историк эконометрики сказал в 1983 году: «Единственная, самая значительная, статья в математической экономике».³³ Тогда, вместе с Оскаром Моргенштерном, Джонни написал книгу³⁴ о теории игр и её применении ко многим экономическим задачам (таким, как обмен товарами между п сторонами, монополиями, олигополиями и свободная торговля). Этот научный труд был опубликован в 1944 году издательством Принстонского университета. Приняв решение издать книгу, издательство было готово к тому, что эта публикация не окупит себя, но на финансовые издержки всё же следует пойти ради распространения знания. Однако, в действительности книгу пришлось переиздавать в 1947, а затем в 1953 годах.⁷ Одобрительная статья на первой странице Нью-Йорк таймс в марте 1946 года сделала книгу бестселлером по академическим меркам.^35 , 36

Моргенштерна однажды спросили, как учёный, не работающий в основном направлении экономической мысли, мог сделать такой оригинальный, новаторский и убедительный вклад. Он ответил, что Джонни обладал удивительной способностью отбора мыслей тех, с кем вёл разговоры «о том, о сём». Как только он замечал идею, представляющую математический интерес, достаточный, чтобы потратить на него время, он устремлялся к этому вопросу как управляемая ракета.³⁷

После выхода книги Джонни опубликовал ещё с полдюжины работ по играм и состоянию экономики.³⁸

Принстонский период

Первое назначение Джонни в США в качестве временного преподавателя по квантовой теории в Принстоне пришлось на учебный семестр февраль-июнь 1930 года. Ему была назначена стипендия в 3000 долларов и 1000 долларов на транспортные расходы. Это приглашение было организовано Освальдом Вебленом, принстонским профессором и выдающимся математиком. «Он очень любил Джонни и считал его почти что своим сыном».³⁹ Джон отправился в Америку на комфортабельном лайнере Bremen вместе с Мариэттой Кёвеши, своей молодой супругой. Их бракосочетание состоялось 1 января 1930 года в Будапеште. Они знали друг друга с детства. Мариэтта была стройной, элегантной и жизнерадостной женщиной. Родом она была из состоятельной семьи.

Вигнер, приехавший в Америку по такому же приглашению почти одновременно с Джонни, сказал: «В первый же день Джонни влюбился в Америку. Он подумал: вот здравомыслящие люди, которые при разговоре не обмениваются традиционными, ничего не значащими фразами. До определённой степени его притягивал в Америке больший, чем в Европе, материализм».⁴⁰ Через много лет сам фон Нейман так объяснял причины своего приезда в Америку:

Должен сказать, что главной причиной послужило отчасти то, что условия в Венгрии были довольно ограниченными. Кроме того, я считал, что дело, которым я занимаюсь, имело более широкие перспективы в Америке, и в значительной степени, потому что образовательные учреждения Америки нравились мне больше. И, наконец, я ожидал начала Второй мировой войны, и я предчувствовал, что Венгрия будет на стороне нацистов, а я не хотел умирать на этой стороне.⁴¹

Но вплоть до 1938 года он почти каждый год приезжает на родину.

С 1930 по 1933 годы Джонни полгода преподавал в Принстоне и полгода — в Берлине. Его курсы лекций привлекали большие аудитории. В эти годы он проводил со студентами больше времени, чем когда-либо в дальнейшем. Мариэтта устраивала открытые вечеринки в доме, который они арендовали. Так начались принстонские вечера фон Неймана, которые стали знаменитыми и грандиозными после того, как они купили дом на Весткот-роуд, ставший домом для Джонни на всю оставшуюся жизнь.

В 1931 году он купил свой первый автомобиль. «Джонни много ездил, но никогда не получал права. Он сдал экзамен... и потерялся на дорогах Америки... Он мчался по середине любой дороги».⁴²

Самое важное академическое назначение фон Неймана вновь было организовано Вебленом. Веблен и Эйнштейн стали первыми профессорами в Институте перспективных исследований в Принстоне, юридический статус которого был оформлен в мае 1932 года. В январе 1933 года Джонни предложили стать там профессором с ежегодным доходом 10 000 долларов. Он принял предложение, получившее действительную силу с 1 апреля 1933 года.⁴³ Следующий сентябрь он начал самым молодым профессором в Принстоне в то время, и до конца своей жизни сохранял эту должность.

В 1935 году появилась на свет Марина, единственный ребёнок Джонни. «Отцовство вскружило Джонни голову».⁴⁴ В 1956 году Марина вышла замуж и стала миссис Роберт Уитман. Она была не только хорошей женой и матерью, но и известным профессором экономики.

Джон и Мариэтта развелись по взаимному согласию в 1937 году. Она позднее вышла замуж за Хорнера Купера, ставшего после Второй мировой войны директором отдела оснащения оборудованием в Брукхевенской национальной лаборатории. Я несколько раз встречал там Мариэтту, она по-прежнему оставалась жизнерадостной и элегантной женщиной. Джонни, между тем, получил американское гражданство и 18 декабря 1938 года женился на Кларе («Клари») Дан, которая тоже была венгеркой. Я знал Клари много лет, она была моим хорошим другом. Она научила меня единственной венгерской фразе, которую я знаю: «Minden Kicsi segít, mondta az egér, és belipisilt a tengerbe», перевод с моего родного голландского: «Помогает каждая капля, — сказала мышь и помочилась в море».

Когда фон Нейман приехал в США, его работы по математике уже принесли ему международную известность. Его работа в области чистой математики продолжалась до 1940 года, «когда он, казалось, на головокружительной скорости продвигается сразу по всем фронтам логики и анализа, не говоря о математической физике».⁴⁵ В 1945 году война внесла изменения в сферу его деятельности.

Продолжаю свой поверхностный обзор работ Джонни. В 1930-е годы в сотрудничестве с Ф. Дж. Мюрреем, он написал ряд знаменитых работ по некоммутативным алгебрам, которым он дал неясное название «кольца операторов». Эти алгебры известны также как W^*-алгебры, а позднее они получили название «алгебры фон Неймана».⁴⁶ Ответвлением этих исследований были «непрерывные геометрии» Джонни (которые являются обобщением проективной геометрии).⁴⁷

Другой важной математической работой фон Неймана в этот период была работа, написанная в результате открытия в 1933 году его соотечественником Альфредом Хааром групповой инвариантной меры, называемой теперь мерой Хаара.⁴⁸ Джонни показал,⁴⁹ что результаты, полученные Хааром, позволяют частично решить одну из проблем Гильберта, поставленных в 1900 году. Он опубликовал ещё несколько статей по инвариантной мере Хаара⁵⁰ и её применении к теории почти периодических функций.⁵¹ «Его огорчила ранняя смерть Хаара».⁵²

В 1936 году в Принстон на двухлетний срок приехал Алан Тьюринг. Его первая опубликованная работа была развитием идей по логике, высказанных в работе Джонни и Гёделя. Фон Нейман, возможно, уже встречался с ним, когда читал лекции в Кембридже, в Англии. В Принстоне Тьюринг опубликовал свою плодотворную работу на тему, которую сейчас мы называем универсальной машиной Тьюринга.⁵³ Эта работа оказала глубокое влияние на развитие математики и математической логики и заложила основу современного компьютерного программирования. В 1938 году Джонни, проявивший глубокий интерес к работе Тьюринга, предложил ему должность своего ассистента в Институте. Тьюринг отказался, предпочитая вернуться к своим коллегам в Кембридж. Он стал искусным британским дешифровщиком немецких военных шифров.

Фон Нейман и Вторая мировая война

Давая свидетельские показания перед Специальным комитетом по атомной энергии Сената 31 января 1946 года, Джонни подвёл итог своему участию в решении военных вопросов таким образом:

Я математик и математический физик. Я являюсь членом Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. Я связан с правительственной работой по военным вопросам почти десять лет: в качестве консультанта Баллистической исследовательской лаборатории Департамента Американской артиллерии с 1937 года, в качестве члена его Научного совещательного комитета с 1940 года, и члена различных подразделений Национального исследовательского комитета по обороне с 1941 года; я был консультантом в Департаменте морской артиллерии с 1942 года. Я был связан с Манхеттенским проектом с 1943 года в качестве консультанта лаборатории Лос-Аламоса, и значительную часть 1943–1945 годов провёл там.⁵⁴

Я могу добавить, что и позднее Джонни был, главным образом, связан с обороной: Лаборатория морской артиллерии (1947–1955), Группа определения систем вооружений (1950–1955), председатель Консультативного комитета ВВС США по баллистическим ракетам (1951–1957), Комитет по атомной энергии — генеральный консультативный комитет США (1952–1954), член Комитета по атомной энергии (1955–1957).⁵⁵ О нём говорили, что для Пентагона он представляет такое же значение, как целая армейская дивизия.

Безусловно, война нанесла урон чистым исследованиям фон Неймана. «В 1941 году работа, связанная с войной, занимала почти четверть его времени... К 1943 году на это были направлены почти все его усилия, и всё же он с трудом но находил в своём плотном графике место для консультаций разным правительственным организациям».⁵⁶ Он сам писал: «Я занялся прикладной наукой через военную службу... И, естественно, полностью отошёл от чисто теоретических исследований».⁵⁷ Ну, не совсем «полностью». В рассматриваемый нами период он опубликовал работы по статистике гравитационного поля, возникающего из случайного распределения звёзд,⁵⁸ по общей теории относительности⁵⁹ и гидродинамике.

Почему в более поздние годы Джонни так привлекала военная деятельность? Я думаю, что его близкий друг и почитатель С. Улам точно отразил причину:

По-видимому, ему нравились генералы и адмиралы, и он был с ними в хороших отношениях... Я думаю, что причиной этого было ... его восхищение людьми, обладавшими властью. Это довольно распространённое явление для тех, кто проводит жизнь в размышлениях. В любом случае, было ясно, что он восхищался теми, кто мог оказать влияние на ход событий. Кроме того, будучи человеком доброжелательным, он втайне восхищался людьми или организациями, которые могли быть жёсткими и даже безжалостными. Он высоко ценил тех, кто на совещаниях и встречах мог так представить свою точку зрения, что оказывал влияние на мысли других; он даже завидовал таким людям.⁶⁰

Война привела фон Неймана в Вашингтон на последние несколько месяцев 1942 года, а первую половину 1943 года он провёл в Англии. После этого он практически постоянно переезжал от одного проекта к другому в США. Среди тем его научных изысканий, связанных с военной наукой, были боевые действия с использованием подрывных средств и противодействие им, взаимодействие и отражение взрывных волн, ударных волн (с тех пор было опубликовано много работ по этим темам⁶¹), и, наверное, самой важной была его работа по разработке метода, использующего взрыв, направленный вовнутрь, для детонирования атомных бомб с помощью «фигурных зарядов», обычных взрывчатых веществ, помещённых вокруг расщепляющегося вещества в такой конфигурации, что их детонация рождает единообразную ударную волну, сжимающую расщепляющееся ядро до критического состояния.

Многие из этих задач включали в себя математические задачи, которые невозможно решить точно. Например, при рассмотрении гидродинамики внутренних взрывов и обычных взрывов необходимо было обратиться к экспериментам или численным методам. Естественно, вырос интерес Джонни к применению и возможным результатам применения самых быстрых и совершенных компьютеров. Это привело его в 1944 году к проекту ENIAC (Электронный Численный Интегратор и Компьютер) в университет Пенсильвании. Тогда это была техническая новинка, которую многие сейчас считают первым современным компьютером. Впервые он услышал об этом проекте от математика Германа Голдстайна, который был тогда командиром батареи в армейской артиллерии (сейчас, когда я пишу эти строки, он является руководителем Американского философского общества). Позднее он стал близким другом фон Неймана и начал сотрудничать с ним. ENIAC был завершён к июню 1946 года.

Особенный интерес вызывали у Джонни те задачи, для решения которых память ENIAC'а была недостаточна. Например, решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В июне 1945 года он завершил черновой вариант доклада объёмом в 100 страниц, самые значительные части которого были его собственным творением, по логистике машины нового поколения EDVAC (Электронный Дискретный Переменный Компьютер). Тираж его был ограничен.

К этому времени фон Нейман уже планировал создание собственного компьютера.

Личные воспоминания. Джониак

В первый раз я приехал в Принстон в конце сентября 1946 года, чтобы в течение года преподавать в Институте перспективных исследований. В следующем месяце я читал лекцию по квантовой теории поля. У меня была отличная аудитория: фон Нейман, который привёл с собой гостя, Альфреда Норта Уайтхеда, известного математика из Гарварда, а также Бор, Дирак и Герман Вейль. Это была моя первая встреча с фон Нейманом.

В жизни я встречал людей более великих, чем Джонни, но никто не был таким выдающимся. Он блистал не только в области математики; он бегло говорил на многих языках и был замечательным знатоком истории. Я вскоре заметил его необыкновенную абсолютную память. Голдстайн вспоминает о том же:

Насколько я могу судить, фон Нейман мог один раз прочитать книгу или статью, после чего дословно её цитировал. Более того, он не задумываясь мог сделать это через много лет после чтения. Он мог, также не задумываясь, перевести её с языка оригинала на английский язык. Однажды, когда выдался удобный случай, я спросил его, как начинается диккенсовская Повесть о двух городах. Без всяких пауз он начал цитировать первую главу и говорил в течение десяти или пятнадцати минут, пока я не попросил его остановиться. В другой раз я был свидетелем того, как он читал лекцию по материалу, написанному в Германии 20 лет назад. Он даже использовал те же буквы и символы, что были у него в оригинале. На немецком он говорил как коренной немец, и казалось, что его идеи рождались на немецком языке, а затем с молниеносной скоростью переводились на английский язык. Часто я видел, как он пишет, время от времени спрашивая, как будет по-английски то или иное немецкое слово.⁶²

Джонни мог также процитировать огромное количество лимериков, шуточных стихотворений. Он научил меня одному, это был единственный когда-либо услышанный мной лимерик на французском языке:

На следующий день я пришёл к нему с английским переводом:

У меня был ещё и немецкий перевод, основанный на рифмах Glaube (вера) и Taube (голубь).

Джонни научил меня и своей любимой игре в слова: находить значение предложения относительно слова nebbish. На идише слово nebbish означает что-то вроде «Как жаль...». Игра состоит в том, чтобы найти отношение количества слов во фразе к количеству раз, когда можно вставить слово nebbish так, чтобы значение предложения расширилось. Его любимым примером с максимальным значением, равным единице, было: cogito nebbish, ergo nebbish, sum nebbish. [Cogito ergo sum (лат.) — мыслю — следовательно, существую. — Прим. перев.]

Такое беззаботное общение началось сразу после того, как я обосновался в Принстоне. Нас с самого начала потянуло друг к другу, потому что мы оба любили шутить. Он был в этом мастером, да и я умел это делать неплохо. Но вскоре между нами начались более серьёзные беседы. Так началась дружба, продолжавшаяся до самой смерти Джонни. И мне приятно вспомнить, что именно он предложил факультету 21 апреля 1947 года предоставить мне пятилетнее членство в Институте. Это предложение было принято.

Меня часто приглашали на знаменитые вечера фон Неймана. Из всего этого общения я получил своё представление о том, что за человек был фон Нейман.

Внешне он был пухленьким. Клари сказала: «Он любит сладости и богатые калориями блюда, предпочтительно с хорошим питательным соусом на сливках. Он любит мексиканскую кухню... Когда он временно жил в Лос-Аламосе, то ездил обедать в свой любимый мексиканский ресторан, находившийся за 120 миль от Лос-Аламоса... Он мог посчитать всё, кроме калорий». У него была большая голова с большими живыми карими глазами и походка вразвалочку. Его костюмы всегда безукоризненно на нём сидели. Это было одним из выражений его пристрастия к довольно роскошному образу жизни. Он иногда цитировал одного из своих богатых дядей: «Недостаточно быть богатым, надо ещё иметь деньги в Швейцарии». В общем, его физическая внешность была, скорее, добродушной и мягкой, но и за ней трудно было до конца скрыть огромную энергию и упорство. Он никогда не курил, а пил очень мало. Но на своих вечерах любил играть лёгкое опьянение, чтобы гости свободнее себя чувствовали. Его манеры были вежливыми и космополитанскими. Но если «его не интересовало, что происходило вокруг него, он засыпал».⁶³ О нём говорили, что он не человек, а полубог, который «в совершенстве изучил людей и мог мастерски подражать им».⁶⁴

Фон Нейман работал очень много, а спать мог очень мало. «Каждый день он начинал работать ещё до завтрака. И даже во время званых вечеров в своём доме он мог вдруг оставить гостей, отлучиться где-нибудь на полчаса, чтобы записать что-то, пришедшее ему на ум... Он, вероятно, не мог быть очень внимательным, «нормальным» мужем. Это, возможно, частично объясняло его не слишком гладкую семейную жизнь».⁶⁵

Но Джонни, тем не менее, разбирался в женщинах, я имею в виду, любил красивых женщин. При встрече с женщиной он всегда смотрел на её ноги и фигуру. «Столы секретарш в Лос-Аламосе были открытыми спереди. Некоторые из них прикрепляли картонку, чтобы закрыться, потому что, как они говорили, Джонни имел привычку наклониться и, бормоча что-то, уставиться на их ноги».⁶⁶

У фон Неймана была удивительная способность мысленно производить очень сложные вычисления. Мы можем убедиться в этом на примере эпизода, рассказанного Голдстайном.

Однажды один известный математик зашёл ко мне в кабинет, чтобы поговорить об одной задаче, которая доставляла ему много хлопот. После долгого и бесплодного обсуждения он сказал, что лучше пойдёт домой и вечером рассмотрит несколько её частных случаев на своём настольном калькуляторе. На следующий день он пришёл на работу очень усталым и невыспавшимся и с триумфом заявил, что проработал до 4.30 утра и исследовал пять случаев всё увеличивающейся сложности.

Через какое-то время ко мне неожиданно зашёл вернувшийся из консультационной поездки Нейман и спросил, как у нас идут дела. Я привёл своего коллегу, чтобы он рассказал возникшую у него проблему фон Нейману. Фон Нейман предложил рассмотреть несколько частных случаев. Мы согласились, осмотрительно воздержавшись от того, чтобы рассказать ему об утренних расчётах. Он уставился в потолок и через пять минут четыре из пяти утренних результатов были уже готовы! После того, как в течение минуты он размышлял над пятым, самым трудным случаем, мой коллега внезапно вслух объявил окончательный результат. Фон Неймана это сильно смутило, после чего он быстро вернулся к вычислениям, которые производил в ещё более быстром темпе. Ещё через минуту он сказал: «Да, это верно». Затем мой коллега убежал, а фон Нейман ещё около получаса усердно размышлял, силясь понять, как кто-то мог найти лучший способ справиться с задачей. Наконец я рассказал ему о том, как было дело, и к нему вернулась его самоуверенность.⁶⁷

Джонни очень интересовали текущие политические события, но в политике наши мнения резко расходились. Помню, однажды мы оба присутствовали на одной вечеринке, где разговор зашёл об отношениях Америки и Советского Союза. Это было где-то в 1947 или 1948 году, в любом случае до того, как Советы создали свою атомную бомбу. Я был поражён, услышав мнение Джонни о том, что лучшее, что можно сделать, это сразу уничтожить Советскую власть с помощью атомных бомб, и понял, что, как и другие венгерские физики, Джонни был непримиримым антикоммунистом.

Фон Нейман был одним из тех немногих математиков, с которым я мог говорить на темы физики. Мы, физики, используем математику в качестве инструмента и относимся к ней с уважением. Математики не всегда так же относятся к физике. Физики знают, что именно это делает наш обмен мнениями с математиками трудным, если вообще возможным. Но этого нельзя было сказать про Джонни. И это, кстати, объясняет, почему во время войны его так высоко ценили в качестве консультанта в Лос-Аламосе, в лаборатории по созданию атомной бомбы.

Возвращаюсь к собственному опыту общения с Джонни. Однажды я пришёл к нему с одной математической задачей, которая возникла в процессе моей работы и которую я никак не мог решить. Он выслушал, сказал, что тоже не знает ответа, но подумает над этим. Через две недели (когда я сам выяснил, как это сделать) я получил письмо от него, написанное на восьми страницах, отправленное из Лос-Аламоса. В нём было решение...

Когда я впервые встретил фон Неймана, работа над его проектом по созданию электронного компьютера только что началась.

Компьютеры имеют долгую историю. Их почтенный возраст насчитывает 5000 лет и возвращает нас к счётам. Я ограничусь — поскольку моё знание этой области истории недостаточно — упоминанием о том, что автоматические устройства появились уже в XVII веке и ассоциировались с такими известными именами, как Блез Паскаль и Готфрид Лейбниц, который первым сконструировал машину, способную автоматически складывать, вычитать, умножать и делить. В XIX веке Чарльз Бэббидж создал первый автоматический цифровой компьютер. Самый ранний прототип современного цифрового компьютера, использующего электронику, был сконструирован незадолго до Второй мировой войны. (Цифровой компьютер получает информацию в виде комбинаций единиц и нулей, двоичных цифр, коротко, «битов».) К этому последнему классу принадлежат также ENIAC и EDVAC, о которых я упоминал ранее, и так называемый Проект Электронного Компьютера Института перспективных исследований, ставший широко известным как Джониак.

Архивные документы⁶⁸ показывают, что уже в июне 1945 года фон Нейман предложил Институту создать более быстрый и гибкий компьютер, чем существовавшие в то время. В октябре это предложение было одобрено.⁶⁹ [История тех событий не так однозначна, как её трактует Пайс. Вот небольшой отрывок из книги «Знакомьтесь: компьютер» (М.: Мир, 1989). — E.G.A.]

С самого начала войны сотрудники Лаборатории баллистических исследований министерства обороны США, расположенной в районе Абердинского полигона, штат Мэриленд, трудились над созданием баллистических таблиц, столь необходимых артиллеристам на полях сражений. Значение этих таблиц трудно переоценить. С их помощью артиллеристы могли делать поправки при наводке орудия с учётом расстояния до цели, её высоты над уровнем моря, а также метеорологических условий — ветра и температуры воздуха. Однако для построения таблиц требовались очень длинные и утомительные вычисления — для расчёта лишь одной траектории приходилось выполнять минимум 750 операций умножения, а каждая таблица включала не менее 2000 траекторий. Правда, дифференциальный анализатор позволил несколько ускорить расчёты, но это устройство давало лишь приближённые результаты, для уточнения которых привлекались затем десятки людей, работавших с обычными настольными калькуляторами.

Война разрасталась, военные разработки требовали ускорения, лаборатория не справлялась с работой и в конце концов вынуждена была обратиться за помощью. В расположенном неподалеку Высшем техническом училище Пенсильванского университета был создан вспомогательный вычислительный центр. Училище располагало дифференциальным анализатором, однако двое сотрудников вычислительного центра, Джон У. Мочли и Дж. Преспер Эккерт, вознамерились придумать кое-что получше.

Мочли, физик, увлекавшийся метеорологией, давно мечтал о создании устройства, которое позволило бы применить статистические методы для прогнозирования погоды. Перед войной он смастерил несколько простых цифровых счётных устройств на электронных лампах. Возможно, интерес к электронным вычислительным машинам возник у него под влиянием идей Джона Атанасоффа, работавшего в штате Айова. В июне 1941 года Мочли в течение пяти дней гостил у Атанасоффа, наблюдая, как тот вместе со своим помощником Клиффордом Берри трудился над прототипом компьютера, содержащим около 300 электронных ламп.

Существенным или нет оказалось влияние Атанасоффа — позже этот вопрос стал предметом судебной тяжбы, — но вдохновил Мочли на эту работу Прес Эккерт. Моложе Мочли на 12 лет Эккерт был поистине виртуозом в технике. В возрасте восьми лет он построил миниатюрный приёмник. Как вспоминал позднее Мочли, Эккерт убедил его, что «мечты о компьютере можно осуществить на практике».

В августе 1942 года Мочли написал нечто вроде заявки на пяти страничках, где вкратце изложил их совместное с Эккертом предложение о создании быстродействующего компьютера на электронных лампах. Заявка затерялась в инстанциях. Однако через несколько месяцев лейтенант Герман Голдстайн, прикомандированный к училищу военный представитель, случайно услышал об этой идее. В то время армия крайне нуждалась в новых баллистических таблицах. Артиллеристы сообщали из Северной Африки, что из-за очень мягкого грунта орудия далеко откатываются при отдаче и снаряды не достигают цели.

Голдстайн, до войны преподававший математику в Мичиганском университете, сразу же оценил значение предлагаемого проекта компьютера и начал хлопотать от имени военного командования, чтобы проект приняли к разработке. Наконец, 9 апреля 1943 года — в день, когда Эккерту исполнилось 24 года, — армия заключила с училищем контракт на 400 000 долларов, предусматривающий создание компьютера «Эниак».

Группа специалистов, работавшая над этим проектом, в конечном счёте выросла до 50 человек. Мочли был главным консультантом проекта, Эккерт — главным конструктором. Разные по своему характеру и привычкам эти два человека прекрасно дополняли друг друга. Быстрый и общительный Мочли генерировал идеи, а сдержанный, хладнокровный и осторожный Эккерт подвергал эти идеи строгому анализу, желая убедиться, что они действенны. «Он обладал потрясающей способностью переводить всё на практический уровень, пользуясь простыми техническими средствами, — так охарактеризовал Эккерта один из членов группы. — Прес был не тем человеком, который мог бы потеряться в тысяче уравнений».

Конструкция машины выглядела фантастически сложной — предполагалось, что она будет содержать 17 468 ламп. Такое обилие ламп отчасти объяснялось тем, что «Эниак» должен был работать с десятичными числами. Мочли предпочитал десятичную систему счисления, ибо хотел, чтобы «машина была понятна человеку». Однако столь большое количество ламп, которые, перегреваясь, выходили из строя, приводило к частым поломкам. При 17 тысяч ламп, одновременно работающих с частотой 100 тысяч имп./с, ежесекундно возникало 1,7 млрд. ситуаций, в которых хотя бы одна из ламп могла не сработать. Эккерт разрешил эту проблему, позаимствовав приём, который широко использовался при эксплуатации больших электроорганов в концертных залах: на лампы стали подавать несколько меньшее напряжение, и количество аварий снизилось до одной-двух в неделю.

Эккерт разработал также программу строгого контроля исправности аппаратуры. Каждый из более чем 100 тысяч электронных компонентов 30-тонной машины подвергался тщательной проверке, затем все они аккуратно расставлялись по местам и запаивались, а иногда и перепаивались не раз. Эта работа потребовала большого напряжения сил всех членов группы, включая Мочли, её «мозговой центр».

В конце 1945 года, когда «Эниак» был наконец собран и готов к проведению первого официального испытания, война, нуждам которой он был призван служить, окончилась. [...]

Не успел «Эниак» вступить в эксплуатацию, как Мочли и Эккерт уже работали по заказу военных над новым компьютером. Главным недостатком компьютера «Эниак» были трудности, возникавшие при изменении вводимых в него инструкций, т.е. программы. Объёма внутренней памяти машины едва хватало для хранения числовых данных, используемых в расчётах. Это означало, что программы приходилось буквально «впаивать» в сложные электронные схемы машины. Если требовалось перейти от вычислений баллистических таблиц к расчёту параметров аэродинамической трубы, то приходилось бегать по комнате, подсоединяя и отсоединяя сотни контактов, как на ручном телефонном коммутаторе. В зависимости от сложности программы такая работа занимала от нескольких часов до двух дней. Это было достаточно веским аргументом, чтобы отказаться от попыток использовать «Эниак» в качестве универсального компьютера.

Следующая модель — машина «Эдвак» (EDVAC, от Electronic Discrete Automatic Variable Computer — электронный дискретный переменный компьютер) — была уже более гибкой. Её более вместительная внутренняя память содержала не только данные, но и программу. Инструкции теперь не «впаивались» в схемы аппаратуры, а записывались электронным способом в специальных устройствах, о которых Эккерт узнал, работая над созданием радара: это — заполненные ртутью трубки, называемые линиями задержки. Кристаллы, помещённые в трубку, генерировали импульсы, которые, распространяясь по трубке, сохраняли информацию, как ущелье «хранит» эхо. Существенно и то, что «Эдвак» кодировал данные уже не в десятичной системе, а в двоичной, что позволило значительно сократить количество электронных ламп.

В конце 1944 года, когда Мочли и Эккерт трудились над машиной «Эдвак», способной хранить программы в памяти, на помощь им был направлен консультант. Джону фон Нейману, который в 41 год уже обрёл известность как блестящий математик, суждено было оказать огромное влияние на развитие вычислительной техники в послевоенные годы.

Родом из Венгрии, сын преуспевающего будапештского банкира, фон Нейман был продуктом той интеллектуальной среды, из которой вышли такие выдающиеся физики, как Эдвард Теллер, Лео Сциллард, Деннис Габор и Юджин Вигнер. Джонни (так звали фон Неймана его знакомые) выделялся среди них своими феноменальными способностями. В шесть лет он перебрасывался с отцом остротами на древнегреческом, а в восемь освоил основы высшей математики. В возрасте 20–30 лет, занимаясь преподавательской работой в Германии, он внёс значительный вклад в развитие квантовой механики — краеугольного камня ядерной физики, и разработал теорию игр — метод анализа взаимоотношений между людьми, который нашёл широкое применение в различных областях, от экономики до военной стратегии. На протяжении всей жизни он любил поражать друзей и учеников своей способностью производить в уме сложные вычисления. Он делал это быстрее всех, вооружённых бумагой, карандашом и справочниками. Когда же фон Нейману приходилось писать на доске, он заполнял её формулами, а потом стирал их настолько быстро, что однажды кто-то из его коллег, понаблюдав за очередным объяснением, пошутил: «Понятно. Это доказательство методом стирания».

Вигнер, школьный товарищ фон Неймана, лауреат Нобелевской премии, говорил, что его ум — это «совершенный инструмент, шестерёнки которого подогнаны друг к другу с точностью до тысячных долей сантиметра». Это интеллектуальное совершенство было сдобрено изрядной долей добродушной и весьма привлекательной эксцентричности. Обладая фотографической памятью, фон Нейман не мог, например, разыскать бокалы в доме, где прожил 17 лет. В поездках он порой так глубоко задумывался о математических проблемах, что забывал, куда и зачем должен ехать, и тогда приходилось звонить на работу за уточнениями.

Фон Нейман был не чужд тщеславия во всех его проявлениях. Одевался он, скорее, как банкир с Уолл-стрит, а не профессор, и всегда старался поддерживать знакомство с сильными мира сего. Он любил красивых женщин, вкусную, изысканную еду и очень увлекался всевозможными устройствами и механизмами, особенно автомобилями, которые разбивал примерно раз в год. Но больше всего — разумеется, помимо работы — он любил устраивать роскошные приёмы у себя дома в Принстоне (штат Нью-Джерси), где работал в Институте перспективных исследований. На таких приёмах он всегда старался быть в центре внимания, поражая гостей рассказами о европейских королевских фамилиях, цитатами из давно прочитанных книг или фривольными стишками из своей знаменитой «коллекции».

Фон Нейман настолько легко и непринуждённо чувствовал себя в любой обстановке, как на работе, так и в обществе, без всяких усилий переключаясь от математических теорий к компонентам вычислительной техники, что некоторые коллеги считали его «учёным среди учёных», своего рода «новым человеком», что, собственно, и означала его фамилия в переводе с немецкого. Теллер как-то в шутку сказал, что он «один из немногих математиков, способных снизойти до уровня физика». Сам же фон Нейман не без юмора объяснял свою мобильность тем, что он родом из Будапешта: «Только человек, родившийся в Будапеште, может, войдя во вращающиеся двери после вас, выйти из них первым».

Интерес фон Неймана к компьютерам в какой-то степени связан с его участием в сверхсекретном Манхеттенском проекте по созданию атомной бомбы, который разрабатывался в Лос-Аламосе, штат Нью-Мексико. Там фон Нейман математически доказал осуществимость взрывного способа детонации атомной бомбы. Теперь он размышлял о значительно более мощном оружии — водородной бомбе, создание которой требовало очень сложных расчётов.

Однако фон Нейман понимал, что компьютер — это нечто большее, чем простой калькулятор, что — по крайней мере потенциально — он представляет собой универсальный инструмент для научных исследований. В июне 1945 года, меньше чем через год после того, как он присоединился к группе Мочли и Эккерта, фон Нейман подготовил отчёт на 101 странице, в котором обобщил планы работы над машиной «Эдвак». Этот отчёт, озаглавленный «Предварительный доклад о машине "Эдвак"» представлял собой прекрасное описание не только самой машины, но и её логических свойств. На Германа Голдстайна, военного представителя, предложившего фон Нейману принять участие в проекте, доклад произвёл очень сильное впечатление; прежде всего это было связано с тем, что фон Нейман, отвлёкшись от радиоламп и электрических схем, сумел обрисовать формальную, логическую организацию компьютера. Размножив доклад, Голдстайн разослал его учёным как США, так и Великобритании.

Благодаря этому «Предварительный доклад» фон Неймана стал первой работой по цифровым электронным компьютерам, с которой познакомились широкие круги научной общественности. Доклад передавали из рук в руки, из лаборатории в лабораторию, из университета в университет, из одной страны в другую. Эта работа обратила на себя особое внимание, поскольку фон Нейман пользовался широкой известностью в учёном мире. С того момента компьютер был признан объектом, представлявшим научный интерес. В самом деле, и по сей день учёные иногда называют компьютер «машина фон Неймана».

В своём докладе Джон фон Нейман выделил и детально описал пять ключевых компонентов того, что ныне называют «архитектурой фон Неймана» современного компьютера. Чтобы компьютер был и эффективным, и универсальным инструментом, он должен включать следующие структуры: центральное арифметико-логическое устройство, центральное устройство управления, «дирижирующее» операциями, запоминающее устройство, или память, а также устройство ввода-вывода информации. Фон Нейман отмечал, что эта система должна работать с двоичными числами, быть электронным, а не механическим устройством и выполнять операции последовательно, одну за другой.

Принципы, сформулированные фон Нейманом, стали общепринятыми только потому, что широко применялись всё время; они были положены в основу как больших ЭВМ первых поколений, так и более поздних мини- и микро-ЭВМ.

Читатели «Предварительного доклада» были склонны полагать, что все содержащиеся в нём идеи, в частности принципиально важное решение хранить программы в памяти компьютера, исходили от самого фон Неймана. Мало кто знал, что Мочли и Эккерт говорили о программах, записанных в памяти, по крайней мере за полгода до появления фон Неймана в их рабочей группе; большинству неведомо было и то, что Алан Тьюринг, описывая свою гипотетическую универсальную машину ещё в 1936 году, наделил её внутренней памятью. (В действительности фон Нейман читал классическую работу Тьюринга и лично познакомился с её автором, когда тот незадолго до войны посетил Принстон.)

Увидев, сколько шума наделал фон Нейман и его «Предварительный доклад», Мочли и Эккерт были глубоко возмущены. В своё время по соображениям секретности они не смогли опубликовать никаких сообщений о своём изобретении. И вдруг Голдстайн, нарушив секретность, предоставил трибуну человеку, который только-только присоединился к проекту. Эккерт настолько возненавидел Голдстайна, что и три десятилетия спустя избегал оставаться с ним в одной комнате. И дело было не только в честолюбии. Мочли и Эккерт предвидели, что их изобретение найдёт широкое коммерческое применение, и опасались, что публикация доклада фон Неймана помешает им получить патент.

И действительно, споры о том, кому должны принадлежать авторские права на «Эдвак» и «Эниак», привели в конце концов к распаду рабочей группы, работавшей над созданием этих компьютеров. Администрация настаивала на том, чтобы члены группы были лишены права индивидуально извлекать финансовые выгоды из этих разработок. Фон Нейман согласился с этим решением (хотя позже всё-таки пытался, правда, безуспешно, получить патент на работы, связанные с компьютером «Эдвак»). Мочли и Эккерт возражали против решения администрации. 31 марта 1946 года, через 6 недель после торжественного «открытия» компьютера «Эниак», они отвергли ультиматум администрации училища с требованием отказаться от авторских прав, связанных с работой над проектом.

Покинув Высшее техническое училище, Джон Мочли и Преспер Эккерт организовали в Филадельфии собственную компанию, разместившись в помещении бывшего танцевального клуба. Они задались целью создать универсальный компьютер для широкого коммерческого применения. Машина «Юнивак» (UNIVAC, от Universal Automatic Computer — универсальный автоматический компьютер) представляла собой электронное устройство с хранимыми в памяти программами, которые вводились туда уже не на перфокартах, а на магнитной ленте; это обеспечивало высокую скорость чтения и записи информации. В 1950 году примерно за год до того, как первый «Юнивак» вступил в эксплуатацию в Бюро переписи населения США, партнёры оказались в тяжёлом финансовом положении и вынуждены были продать свою компанию фирме «Ремингтон Рэнд», долгое время специализирующейся на производстве электробритв и табуляторов на перфокартах. Ни Мочли, ни Эккерт не извлекли сколько-нибудь существенных благ из того значительного вклада, который они внесли в разработку электронных компьютеров. За десятилетие работы в этой области каждый из них получил примерно 300 000 долларов от продажи своей компании и за патенты на компьютер «Эниак». Но самое неприятное событие произошло в 1973 году, когда федеральный суд признал их авторские права недействительными. Суд постановил, что Мочли и Эккерт не изобрели электронный цифровой компьютер, а заимствовали его идею у Джона Атанасоффа; при этом в качестве доказательства суд ссылался на пятидневный визит Мочли в штат Айову в 1941 году (Атанасофф же так и не построил ни одной действующей модели своего компьютера, хотя в годы войны служил инженером в морской артиллерии.) Мочли решительно отрицал влияние Атанасоффа, и обида на совершённую по отношению к нему несправедливость не покидала его до самой смерти. Он умер в 1980 году.

В мае 1946 года Джонни предложил разместить его в отдельном здании поблизости от Института. На факультетском совещании, проходившем в этом месяце, Карл-Людвиг Зигель, другой выдающийся профессор математики, работающий в Институте, заметил — его слова широко известны,⁷⁰ — что он не видит необходимости в таком компьютере. Он сказал, что когда ему нужен логарифм, он даже не заглядывает в таблицы, а вычисляет его самостоятельно.

Средства на создание такого компьютера в те годы найти было несложно, потому что научно-технологические предприятия финансировались охотно. Попечители Института заложили в смету на его создание 100 000 долларов.⁷¹ Большие средства пришли также со стороны Министерства морских исследований, армейской артиллерии и Радио Корпорации Америки (сейчас RCA), которые незадолго до этого основали свои отделы недалеко от Принстона. Были приглашены специалисты по различным аспектам программы: машиностроение, логическое проектирование и программирование, математика и метеорология. Голдстайн был назначен вторым в руководстве всем проектом.

Проект был завершён лишь через шесть лет. На это потребовалось в два раза больше времени, чем предполагалось. Официальное празднество по случаю завершения проекта состоялось лишь 10 июня 1952 года.⁷² За официальным торжеством последовал большой вечер у фон Неймана (на котором я был). Для этого вечера Клари заказала глазированную модель компьютера. Но к тому времени машина уже использовалась в течение какого-то времени. Первым большим испытанием была задача, связанная с термоядерными процессами, предложенная для решения в 1951 году. Она требовала сотен часов вычислений. Считалось, что этот компьютер станет мощным инструментом для исследования фундаментальных проблем в динамической метеорологии и впервые сделает возможным прямой штурм задач, ставящих целью предсказание погоды численными методами. Джонни сказал про них, что эти задачи были слишком сложными, чтобы решать их на обратной стороне конверта.

Основные идеи создания Джониака были разработаны в ряде работ фон Неймана и Голдстайна, опубликованных в 1946–1948 годах.⁷³ Внутри использовалась двоичная арифметика, чтобы использовать преимущества бинарной природы основных элементов. Было использовано несколько технических новинок, самой значительной из которых являлся принцип хранения программ в виде последовательности команд, записанных в цифровых кодах. Позднее эти идеи, конечно же, получили развитие и были усовершенствованы, но более современные устройства всё ещё основываются на новаторских концепциях Принстона.⁷⁴

Когда машина была уже почти готова, Джонни однажды сказал: «Я не знаю, насколько полезной в действительности она будет. Но, в любом случае, мы сможем заслужить уважение Тибета, закодировав «Om Mane Padme Hum» [О, ты, цветок лотоса] сто миллионов раз в час. Это намного превзойдёт возможности любого молитвенного колеса».⁷⁵ В действительности, компьютер оказался гораздо более полезным, помогая в решении задач в разных отраслях науки — в чистой математике, статистике, астрофизике, динамике жидкостей и газов, атомной и ядерной физике и численной метеорологии.⁷⁶ Подробно об этом можно прочитать в двух отличных монографиях.^3 , 10

После ряда успешных численных экспериментов в 1953 году была разработана модель для предсказания зарождения ураганов, после чего руководство этим проектом взяли на себя гражданские и военные структуры правительства, и персонал, который был связан с этим проектом, оставил Институт в 1956 году. В 1957 компьютер был передан Принстонскому университету, где использовался ещё 3 года, после чего был разобран на части. Части компьютера находятся теперь в Музее американской истории, округ Колумбия. Его главный переключатель можно найти в офисе кампуса Microsoft, здание 9, в Редмонде, штат Вашингтон.⁷⁷

Это подходящее место для того, чтобы эта машина покоилась с миром. Какой она была? Что могла делать? Её вес составлял около 1000 фунтов [Около 450 кг. — Прим. перев.], занимала 36 кубических футов [Чуть больше 1 м³. — Прим. перев.], ей требовалось 28 киловатт энергии. 15 тонн кондиционирующих веществ охлаждали воздух, нагреваемый 300 электронными лампами (которые в те дни использовались также в радиоприёмниках). Она могла выполнять несколько тысяч операций по умножению или делению в секунду и примерно в 20 раз больше сложений. Её главным новшеством было то, что это был первый компьютер, способный сохранять программы внутри.

Что произошло с тех пор? Полупроводниковые триоды, сменившие радиолампы, были открыты уже в 1948 году, но появились на рынке лишь в 1959 году. В конце 60-х годов им на смену пришли чипы. Последовавшие за этим — возможно, самые революционные — достижения в области технологии нашего века сделали компьютеры быстрее, меньше и дешевле. Например, у моего молодого коллеги, чей кабинет находится через несколько кабинетов от меня, на столе стоит компьютер, который стоит меньше 10 000 долларов и способен выполнить 85 миллионов команд в секунду.

Завершая свой отчёт о научных вкладах Джонни в области математики, физики и технологии, мне бы хотелось ответить на вопрос, а как сам Джонни относился к своим открытиям. Лучшим ответом будет, если я процитирую его верного друга Улама, с чьим мнением я склонен согласиться, насколько я могу об этом судить:

Фон Нейман — выдающийся математик, работающий быстро и плодотворно. Его научные интересы простираются далеко за пределы математики. Он знал о своём техническом даровании; в высшей степени поразительной была его виртуозность в сложных рассуждениях и интуиция. И всё же ему недоставало абсолютной уверенности в себе... Мне очень трудно это понять... Я чувствовал, что с его стороны присутствовала доля сомнения относительно своей работы... И лишь когда он время от времени совершал какое-нибудь гениальное открытие или находил элегантный технический приём или новый подход к решению задачи, он преображался, чувствуя вдохновение, и становился выше своих внутренних сомнений... Он был мастером своей методики, но немного и её рабом... У него была привычка рассматривать направление наименьшего сопротивления. Естественно, с его мощной способностью мыслить он легко преодолевал те мелкие препятствия, которые встречались ему на этом пути. Но если с самого начала ему встречались трудности, он не пытался разбить лбом стену..., а переключался на решение другой задачи. В целом, если говорить о рабочих привычках Джонни, то я бы сказал, что в работе он был больше реалистом, чем оптимистом.⁷⁸

Последние годы

Дело Оппенгеймера

Осенью 1947 года Роберт Оппенгеймер принял руководство Институтом перспективных исследований после долгого и изнурительного процесса отбора кандидатов. Ещё за полтора года до этого Веблен написал своему знакомому: «Фон Нейман не так благосклонно относится к Оппенгеймеру, как я, хотя он восхищается им как учёным».⁷⁹ Чувствуется некоторая противоречивость и смешанность чувств в мнении Джонни об Оппенгеймере, которого он знает уже давно. «Я думаю, что наша первая встреча с д-ром Оппенгеймером произошла в Гёттингене в 1926 году... Мы вновь встретились в 1943 году, тогда он сказал, что хотел бы пригласить меня присоединиться к одному проекту, о котором сейчас не может говорить подробно (Лос-Аламос, конечно же)... Наша дружба продолжается, практически, с 1943 года».⁸⁰

Голдстайн:

[Директор Института] Оппенгеймер всегда был твёрд в своей позиции поддержки компьютерного проекта... Он оценил всю важность этого проекта... Он и фон Нейман никогда не были близкими друзьями, но они очень ценили и глубоко уважали друг друга... фон Нейман однажды сказал мне, что вся затея с Лос-Аламосом была бы невозможна без Оппенгеймера... У Оппенгеймера и фон Неймана всегда были почти противоположные взгляды на вопрос о супербомбе, или термоядерной (водородной) бомбе, но фон Нейман ни разу, ни на секунду не усомнился в честности или лояльности Оппенгеймера.⁸¹

Вновь видна определённая противоречивость в мнении, что подводит нас к делу Оппенгеймера.

С 12 апреля по 6 мая 1954 года в Вашингтоне, округ Колумбия, перед специально избранным советом безопасности состоялись слушания по делу Оппенгеймера, целью которых было определить, является ли Оппенгеймер благонадёжным. Сорок свидетелей давали показания под присягой, среди них был и Джонни. Ниже следует выдержка из записи его показаний,⁸⁰ которые занимают пятнадцать страниц.

В.	Относительно доклада Генерального совещательного комитета 1949 года... согласны ли Вы с рапортом и его рекомендациями? [В этом докладе Генерального совещательного комитета Комиссии по атомной энергии США, председателем которого был Оппенгеймер, рекомендовалось не создавать водородную бомбу. — Прим. перев.]
О.	Нет. Я был сторонником ускоренной программы... Моя точка зрения по этому вопросу достаточно жёсткая, и это было известно.
В.	Как Вы думаете, эти рекомендации Генерального совещательного комитета, в частности д-ра Оппенгеймера, были даны чистосердечно [Без мысли об измене. — Прим. перев.]?
О.	Да. Я в этом не сомневаюсь.
В.	Есть ли у Вас мнение о преданности д-ра Оппенгеймера в отношении США, его честности?
О.	Я не сомневаюсь ни в его преданности, ни в его честности.
В.	Ваше мнение можно считать вполне ясным и твёрдым?
О.	Да. Да.

После вердикта, в котором Оппенгеймер всё же признавался неблагонадёжным, было опубликовано специальное заявление для прессы, подписанное всеми профессорами Института, в котором они выражали ему свою высокую оценку его преданности и благонадёжности.⁸² И я очень хорошо помню, что фон Нейман был единственным, кто сначала отказался поставить свою подпись, хотя, в конце концов, сделал это. Здесь противоречивость Джонни выражается больше всего — очень положительное свидетельство об Оппенгеймере как об учёном и администраторе, но сдержанное мнение об Оппенгеймере как о человеке.⁸³ Я так и не пришёл к твёрдому мнению относительно причины отношения Джонни, но не думаю, что оно полностью объясняется их различным отношением к атомному оружию. Я не могу избавиться от мысли о том, что сдержанность со стороны Оппенгеймера объясняется частично завистью, потому что фон Нейман был намного талантливее, чем он сам.

Автоматы

В послевоенные годы фон Неймана всё больше интересовал вопрос об информации как научном понятии. Несомненно, это явилось следствием работы с электронными компьютерами и привело его к изучению естественных и искусственных автоматических систем (начиная с центральной нервной системы и заканчивая компьютерами), обработка информации для которых является частью механизма саморегуляции.⁸⁴ Он приступил к изучению одного из самых сложных вопросов в области, лежащей на стыке логики, теории связи и информации и физиологии: «Как сконструировать машины, которые будут воспроизводить самих себя?» Его мысли на эту тему сосредоточены, главным образом, в лекциях, в частности, в его Силлименовских лекциях в Йельском университете, которые он читал в марте 1953 года. Эти лекции были опубликованы после смерти фон Неймана и до сих пор читаются с большим интересом. Особенный интерес представляют его работы^85 , 86 о том, как создать надёжные машины, используя ненадёжные компоненты.

Размышления

Лишь в последние годы своей жизни Джонни выступал перед широкой аудиторией. Мне бы хотелось, чтобы он делал это чаще. Его публичные лекции демонстрируют убедительность и изящный стиль. Далее я привожу несколько примеров.

В 1954 году он выступал перед бывшими выпускниками Принстона, собравшимися на конференцию. Темой его лекции была роль математики в науках и обществе,⁸⁷ он поднимал вопросы о том, какую пользу представляет математика, насколько значительна эта польза, следует ли заниматься наукой per se [Ради науки (лат.). — Прим. перев.], или с целью её практического использования в обществе. И кроме того, какова роль математики среди других наук.

Когда математик говорит, что теорию можно непосредственно применять, он имеет в виду, что её можно применять в теоретической физике..., после чего он вновь вынужден признать, что способность проникновения в сущность какого-то вопроса, его понимание в теоретической физике полезно лишь тогда, когда этому находится применение в экспериментальной физике. После этого вы должны сказать, что понятие в экспериментальной физике, согласно общепринятому критерию, полезно, если оно полезно для машиностроения...

Большинство [математических понятий] было разработано безотносительно к их коэффициенту полезности и часто без всякого намёка на их применение в будущем... Большая часть математики, ставшая полезной, развивалась без всякого стремления сделать её полезной... Так обстоит дело со всей наукой. Успехи были достигнуты, главным образом, благодаря... отказу от того, что приносит выгоду. Наука развивалась, руководствуясь исключительно критерием интеллектуального изящества. Полагаясь на этот закон, можно было двигаться вперед гораздо быстрее, чем следуя строго утилитарному курсу. Принцип laissez faire [Позволить сделать (фр.). — Прим. перев.] приводил к необычным и замечательным результатам.

Ещё четыре научно-популярных статьи датированы 1955 годом. Тема первой — «Метод в физических науках».⁸⁸ Фон Нейман начинает с тезиса: «Наука не пытается объяснить, она, главным образом, создаёт модели..., математические конструкции, которые, как ожидается, должны работать... и которые должны быть достаточно простыми». В качестве примера он приводит теорию Ньютона, подтверждённую в области, охватывающей примерно 30 порядков (степеней числа 10) на шкале длины. Наше физическое знание простирается ещё на 10 порядков, после чего Ньютон терпит неудачу, а моделями, которые помогают нам двигаться дальше, являются теория относительности и квантовая теория. Но даже в этих моделях остаются «области, которые ещё недостаточно объяснены, или, ещё не являются в достаточной мере теоретическими и контролируемыми... мы сталкиваемся здесь с серьёзными трудностями». Это область самых маленьких вещей, изучаемых человеком (фундаментальных частиц). Джонни написал эти мудрые слова более полувека назад, а трудности, о которых он говорит, и поныне остаются нерешёнными.

В своей второй статье 1955 года, напечатанной в журнале Fortune Magazine⁸⁹ и озаглавленной «Способны ли мы пережить технологию?», фон Нейман пытается предсказать, с какими проблемами столкнётся наш мир через 25 лет. «Для того уровня взрывоопасности, которого человеческие изобретения достигнут к 1980 году, мир будет в опасной степени мал, a его политические единицы — в опасной степени нестабильны... Темпы технологической революции всё ускоряются..., и возрастание нестабильности — следствие этого». Он имел в виду не только страхи перед применением атомного оружия, которые были очень сильны в 1955 году. «Те ужасные возможности ядерной войны, которые очевидны в настоящее время, могут уступить место ещё более ужасным. После того как станет возможным контролировать климатические условия в глобальном масштабе, все наши настоящие угрозы покажутся, возможно, не такими серьёзными. Сейчас становится возможным вести новый вид войны, климатическую войну, в которой одна из сторон может неблагоприятным образом изменить климатические условия на территории противника». Я нахожу эту статью особенно интересной, потому что она показывает, что даже такой мудрый человек, как фон Нейман, не был способен предсказать отдалённое будущее мира на протяжении медленного течения его века.

В следующей статье «Влияние атомной энергии на физическую и химическую науки»⁹⁰ он высказывает свои наблюдения о том, о чём немногие из нас думали раньше, если замечали это вообще: «Если бы человек и его технология появились на сцене на несколько миллиардов лет раньше, то выделение урана-235 (которое явилось решающим для создания бомб) было бы более лёгким процессом. Если бы человек появился, скажем, на десять миллиардов лет позже, то концентрация урана-235 была бы такой низкой, что сделала бы его, практически, непригодным к использованию». Почему? Да потому, что уран-235 радиоактивно нестабилен и распадается быстрее, чем более распространённый уран-238. Интересная мысль. Джонни размышляет также о новых социальных обязанностях учёного. «Он должен знать кое-что из истории, юриспруденции, экономики, мнение правительства и общественное мнение».

В своей последней научно-популярной статье 1955 года «Защита в атомной войне»⁹¹ фон Нейман пишет: «Будет недостаточно знать, что у противника лишь 50 возможных приёмов и что мы можем противостоять каждому. Мы должны быть способны противостоять им почти в тот самый момент, когда эти приёмы применяются... Это возвращает нас к самому мощному оружию — гибкому и подвижному типу человеческого разума».

Член Комиссии по атомной энергии

В 1954 году фон Неймана пригласили стать членом КАЭ, Комиссии по атомной энергии США, по предложению Льюиса Штрауса, председателя этой комиссии. Президент Эйзенхауэр поддержал назначение, возможно, пытаясь наладить отношения с научным сообществом после бесславных слушаний дела о неблагонадёжности Оппенгеймера.

Реакция Джонни на это назначение была очень сдержанной из-за последствий дела Оппенгеймера. Он знал, что большинство учёных не одобряло действия адмирала Штрауса. Некоторым из более либерально настроенных членов научного сообщества не нравились прагматичные и довольно промилитаристские взгляды Джонни. Не одобряли они и его работу по атомной энергии... Но он был польщён и гордился тем, что, несмотря на то, что он был иностранцем, ему доверили высокий правительственный пост, находясь на котором он мог оказывать большое влияние на развитие многих направлений технологии и науки. Он знал, что эта деятельность может иметь большое национальное значение... Кроме того, в характере Джонни проглядывала тевтонская черта. Чиновники производили на него большое впечатление.⁹²

Его пятилетнее назначение было одобрено Конгрессом, и 15 марта 1955 года он принял клятву члена КАЭ. Моей реакцией на его согласие стать членом КАЭ было замешательство и беспокойство. Разве он не был непосредственным свидетелем того, что желание вступить в коридоры светской власти поглотило Оппенгеймера? Джонни взял отпуск в Принстонском институте и переехал с женой в Джорджтаун, где они сняли маленький жёлтый каркасный дом. Его новая должность потребовала от него определённых финансовых жертв, поскольку ему пришлось отказаться от нескольких выгодных консультационных контрактов.

Клари рассказала немного о новом образе жизни.

В течение дня он работает в Комиссии. Ночью к нему приходят учёные из тех многих отраслей науки, которые его интересуют. Сон — это тоже часть его работы. Он спокойно ложится спать с нерешённой проблемой, а затем просыпается в три часа ночи с готовым ответом. Он подходит к телефону и звонит своим сотрудникам. Одним из его требований к сотрудникам является готовность быть разбуженным посреди ночи. После этого Джонни работает до утра, а затем отправляется в офис Комиссии такой же бодрый, как жаворонок на рассвете.⁶³

Каждый месяц он проводил в Вашингтоне несколько недель, в течение которых проходили заседания КАЭ, а остаток месяца находился в национальных лабораториях.

Конец

Через пять месяцев после назначения его членом КАЭ произошла катастрофа. У Джонни появились сильные боли в левом плече и после операции, проведённой в Главной массачусетской больнице в Бостоне, из его ключицы удалили маленькую раковую опухоль. Вскоре он оправился от операции и приехал в Лос-Аламос, как оказалось, в последний раз. Удалённая опухоль была второй стадии, рак начал быстро распространяться, и Джонни становилось всё хуже. Но он продолжал работать. Некоторые из совещаний Комитета проводились теперь у него дома, а позднее — в отеле Вуднер, куда фон Нейман переехал, чтобы быть ближе к больнице Уолтера Рида, где он проходил лечение.⁹³

Последнее появление фон Неймана на публике состоялось в начале 1956 года, когда, сидя в инвалидном кресле, он получил «Президентскую медаль Свободы» [Высшая награда США для гражданских лиц. — Прим. перев.] от президента Эйзенхауэра — второй раз президент лично воздавал ему почести. До этого, в 1947 году, Трумэн вручил ему медаль «За заслуги». [Ею награждаются гражданские лица, в том числе иностранцы; соответствует воинской медали «За выдающиеся заслуги». — Прим. перев.] В 1956 году он получил также Премию Энрико Ферми от Комиссии по атомной энергии США.

В апреле 1956 года Джонни был доставлен в больницу Уолтера Рида, где и оставался до конца жизни. Эйзенхауэр, который был о нём высокого мнения, организовал для него особую палату и приставил к нему полковника ВВС Винсента Форда и восемь военнослужащих.⁹⁴ [Угу... «Фон Нейман был настолько глубоко посвящён в различные секретные проекты, что во время пребывания в 1957 году в вашингтонском госпитале Уолтера Рида командование ВВС США поручило уход за ним специальному медицинскому персоналу из служб безопасности. Разум этого блестящего учёного, в 54 года умиравшего от саркомы, начал сдавать от невыносимых болей, и Пентагон побаивался, что в бреду он может выболтать какую-нибудь военную тайну» (цитата из книги «Знакомьтесь: компьютер», М.: Мир, 1989). — E.G.A.]

Станислав Улам рассказал мне следующую историю о том, как он навещал фон Неймана в госпитале:

Поднявшись на нужный этаж, я по ошибке ушёл в другую сторону больничного коридора. Я вошёл в прихожую палаты, где сидели двое военных. Они посмотрели на меня удивленно и вопрошающе. Я сказал, что пришёл навестить своего друга, и их лица приняли недоверчивое выражение. Когда же я добавил «доктора фон Неймана», они заулыбались и указали мне правильную палату. Как оказалось, я зашёл в президентскую палату, где в тот момент лежал после сердечного приступа президент Эйзенхауэр. Добравшись, наконец, до палаты Джонни, я рассказал ему об этом. Его это развеселило. Он нашёл забавным, находиться в месте, симметрично противоположном местоположению президента Соединённых Штатов.⁹⁵

Льюис Штраус вспоминал:

До последнего момента он оставался членом КАЭ и председателем важного совещательного Комитета министерства обороны. В один из драматических моментов незадолго до его смерти в больнице Уолтера Рида у его постели собрались министр обороны США и его заместители, министры сухопутных войск, ВМФ и ВВС, а также все начальники военных штабов, чтобы послушать его последние слова совета и мудрости.⁹⁶

Юджин Вигнер написал:

Когда фон Нейман понял, что он неизлечимо болен, логика заставила его прийти к выводу, что он перестанет существовать и, следовательно, мыслить. Такое заключение, весь смысл которого непостижим для человеческого рассудка, ужаснуло его. Тяжело было видеть, как ум его, по мере того как исчезали все надежды, терпел одно поражение за другим в борьбе с судьбой, казавшейся ему хотя и неизбежной, но тем не менее совершенно неприемлемой.⁹⁷

Чтобы обрести душевное равновесие, Джонни обратился к католическому священнику отцу Ансельму Стритматтеру, начавшему регулярно посещать его с весны 1956 года. Когда позднее я услышал об этом, то был поражён. Сколько я помню Джонни, он всегда был агностиком. Насколько я понимаю, это обращение к церкви не согласовывалось с его отношением к религии на протяжении всей его жизни.

8 февраля 1957 года Джонни умер в больнице, ему было 53 года.

Было солнечное, но морозное февральское утро, когда я отправился на кладбище на Уитерспун-стрит в Принстоне на похороны Джонни, на которых состоялась короткая католическая церемония. Отец Стритматтер произнес короткую молитву, за которой последовала короткое благодарственное слово адмирала Штрауса. После похорон я отправился к нему домой, чтобы выразить своё сочувствие Клари.

Я не встречал Джонни после того, как он уехал из Принстона в Вашингтон, а Клари увидел только в день похорон. Лишь много позднее я узнал о её дальнейшей судьбе. Через несколько лет она снова вышла замуж, за Карла Экарта, профессора физики в Сан-Диего. 10 ноября 1963 года во время прилива она вышла за город, вошла в воды Тихого океана и покончила жизнь самоубийством.⁹⁸ Она похоронена в Принстоне возле могилы Джонни. Бедная дорогая Клари. Ей слишком не хватало вдохновения жизни, которое она чувствовала рядом с Джонни, всегда разговаривая с ним по-венгерски. Вот что она сказала об их жизни вместе:

Он сложный человек, и жить с таким человеком сложно, но эта жизнь вознаградила меня в высшей степени... Мне нравится, как мы жили. Мы не отличаемся от других, у нас тоже были личные проблемы, но мы недолго их обсуждали, предпочитая переходить к более приятным вещам. Я его дека, другие тоже помогали ему звучать, но мне довелось делать это постоянно, и это само очарование...

Если мы принимаем какое-то большое решение, он подходит к этому основательно. Затем он теряет к этому интерес... Он никогда не прикасался к молотку или отвёртке; он ничего не делает по дому... Ему нравятся пробки на дорогах, потому что они представляют собой задачу... Он будет крутиться и маневрировать по заполненной автомобилями улице, а когда ему удаётся вырваться, он приходит в восторг, потому что сделал вычисления правильно...

Мы редко ходим в театр. Мы обычно ходили в кино, но бросили это занятие несколько лет назад. Джонни обычно радостно сидел, пока показывали обзор новостей, а когда начинался фильм, засыпал. Когда после фильма я задавала ему вопросы о просмотренной картине, он бодро сочинял сюжет, чтобы доказать, что был внимателен. Это тоже были очень хорошие сюжеты, но они не имели ничего общего с тем, что происходило на экране.

Однажды фон Нейман выехал на своей машине из Принстона в Нью-Йорк. Через некоторое время я услышала телефонный звонок. Это фон Нейман звонил из Нью-Брунсвика, чтобы узнать, а зачем, собственно, он туда отправился... Он забывает о том, что относится к внешней стороне жизни как о чём-то несущественном...

Я хожу с ним в магазин покупать ему одежду, потому что если он отправится туда один, то по доброте душевной купит всё, что продавец попросит его купить.

У нас есть большая собака по кличке Инверс. Джонни время от времени выгуливает собаку. При этом у него слегка изумлённый вид, потому что он обнаружил, что делает это.

Он никогда не относится к детям свысока, разговаривая с ними серьёзно и без сантиментов, но на их уровне, поэтому они считают его одним из них. Они даже подшучивают над ним, подстраивая то, что они никогда не посмели бы подстроить другому взрослому человеку.⁶³

После смерти фон Неймана его репутация и слава постоянно растут. Его фантастический интеллект, широта интересов и занятий стали почти легендарными. Во время его жизни среди чистых математиков находились такие, которые преуменьшали его заслуги, защищая девственную чистоту математики. Они утверждали, что он из тех математиков, которые математике не принадлежат, временами резко критикуя его «внешние интересы»: от физики до теории игр и технологии. Я не разделяю их взгляды, хотя в области политики наши с ним интересы тоже резко расходились, начиная с его ранней точки зрения на войну до согласия работать в Комиссии по атомной энергии. Но эти разногласия не мешают мне испытывать дружеские чувства к Джонни и вспоминать о нём с теплом и любовью.

Оглавление
О биографах	9
Нильс Бор, человек и его наука	15
Макс Борн	45
Поль Дирак: аспекты его жизни и работы	67
Альберт Эйнштейн	103
Митчелл Джей Фейгенбаум	111
Рес Йост	139
Оскар Клейн	159
Хендрик Энтони Крамерс	191
Тзундао Ли и Чженьин Янг	221
Джон фон Нейман	235
Вольфганг Эрнст Паули	267
Исидор Айзек Раби	331
Роберт Сербер	353
Джордж Юджин Уленбек	363
Виктор Вайскопф	409
Юджин Вигнер	415
Именной указатель	442

0.400		0.744
0.590		0.770
0.549		0.777
0.539		0.770

0.4000	0.8400	0.4704	0.8719
0.3908	0.8332	0.4862	0.8743
0.3846	0.8284	0.4976	0.8750
0.3829	0.8270	0.4976	0.8750
0.3829	0.8270	0.5008	0.8750
0.3828	0.8269	0.5009	0.8750
0.3828	0.8269	0.5009	0.8750 и т.д.,

δ =	lim	Δ_n Δ_n+1	= 4.66920166910...,
	n → ∞

a =	lim	E_n E_n+1	,
	n → ∞

1.	A. Pais, The Subtle of Lord, Oxford University Press, Oxford and New York, 1982. Переведена по крайней мере на 10 языков; подробную библиографию можно найти в книге: A. Pais, A Tale of Two Continents, Princeton University Press and Oxford University Press, 1997; ch. 31, refs. 15–24. назад к тексту
2.	A. Pais, Einstein Lived Here, Oxford University Press, 1994. Translations: Einstein woonde hier, Bert Bakker, Amsterdam, 1995; Einstein boede her, Rhodes, Copenhagen, 1995; Einstein è vissuto qui, Boringhieri, Turin, 1995; Ich vertraue auf Intuition, Spektrum, Heidelberg, 1995; Einstein viveu aqui, Gradiva, Lisbon, 1996. назад к тексту
3.	A. Pais, Niels Bohr's Times, Oxford University Press, 1991. Translations: II Danese tranquillo, Boringhieri, Torino, 1993; Niels Bohr og hans tid, Spektrum, Copenhagen, 1994. назад к тексту
4.	A. Pais, A Tale of Two Continents, Princeton University Press and Oxford University Press, 1997. назад к тексту

1.	М. Feigenbaum and F. E. Low, Phys. Rev. D4, 3738, 1971. назад к тексту
2.	M. Feigenbaum and D. Mermin, Amer. J. Phys. 56 (1), 1988. назад к тексту
3.	M. Feigenbaum, J. Math. Phys. 17, 614, 1976. назад к тексту
4.	F. Cooper and M. Feigenbaum, Phys. Rev. D14, 583, 1976. назад к тексту
5.	M. Feigenbaum and L. Sertorio, Il Nuovo Cimento 43A, 31, 1978. назад к тексту
6.	По этому предмету я извлек очень много полезного из замечательной книги Chaos, by J. Gleick, Viking Press, New York, 1987. назад к тексту
7.	K. Wilson and J. Kogut, Phys. Reports 12C, 76, 1974. назад к тексту
8.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, p. 1829. назад к тексту
9.	H. Rouse and S. Ince, History of Hydraulics, Dover, New York, 1957; p. 212. назад к тексту
10.	O. Reynolds, Phil. Trans. Royal Soc. 174, 935, 1886; а также O. Reynolds, Phil. Trans. Royal Soc. 186, 123, 1895. назад к тексту
11.	H. Poincaré, Acta Math. 13, 1, 1890. назад к тексту
12.	E. T. Whittaker, A Treatise on Analytical Dynamics, Cambridge University Press, 1927; ch. 14. [Есть русский перевод: Э. Т. Уиттекер. Аналитическая динамика, М.–Л.: ОНТИ, 1937.] назад к тексту
13.	E. T. Whittaker, A Treatise on Analytical Dynamics, Cambridge University Press, 1927; p. 397. назад к тексту
14.	H. Poincaré, La science et la methode, Paris, 1908; на англ.: The Foundations of Science (transl. G. Halsted), Science Press, Lancaster, 1946; p. 397. [Есть русский перевод: А. Пуанкаре. Наука и метод, в кн. О науке, М.: Наука, 1983; с. 283.] назад к тексту
15.	J. Yorke and T. Y. Li, Amer. Math. Monthly 82, 985, 1975. назад к тексту
16.	N. G. van Kampen, Nederl. Tÿdschrift Natuurk. 20, 321, 1982. назад к тексту
17.	Exploring Chaos (ed. N. Hall), Norton, New York, 1993; p. 96. назад к тексту
18.	E. Lorenz, in Global Analysis (ed. J. Marsden), Springer, New York, 1979; p. 55. назад к тексту
19.	Первая публикация: E. Lorenz, J. Atmospherical Sci. 20, 130, 1963. назад к тексту
20.	J. Gleick, Chaos, Viking Press, New York, 1987; p. 30. назад к тексту
21.	См. рис.2 в статье E. Lorenz, in Global Analysis (ed. J. Marsden), Springer, New York, 1979. назад к тексту
22.	Название предложено D. Ruelle and F. Takens, Comm. Math. Phys. 20, 167, 1971. назад к тексту
23.	J. Gleick, Chaos, Viking Press, New York, 1987; p. 39. назад к тексту
24.	J. Gleick, Chaos, Viking Press, New York, 1987; p. 79. назад к тексту
25.	Exploring Chaos (ed. N. Hall), Norton, New York, 1993; p. 174. назад к тексту
26.	См. список литературы в книгах: Hao Bai-Lin, Chaos, World Scientific, Singapore, 1984, и Hao Bai-Lin, Chaos II, World Scientific, Singapore, 1990. назад к тексту
27.	H. Poincaré, Figures d'équilibre d'une masse fluide, Gauthier-Villars, Paris, 1902. [Есть русский перевод: А. Пуанкаре. Фигуры равновесия жидкой массы, Ижевск: НИЦ «РХД», 2000.] назад к тексту
28.	R. M. May, Nature 261, 459, 1976. назад к тексту
29.	N. Metropolis, M. Stein, and P. Stein, J. Combinatorial Theory A15, 25,1973. назад к тексту
30.	J. Gleick, Chaos, Viking Press, New York, 1987; pp. 1–4. назад к тексту
31.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, pp. 1840–1842. назад к тексту
32.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, pp. 1842–1844. назад к тексту
33.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, p. 1845. назад к тексту
34.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, p. 1846. назад к тексту
35.	D. Sullivan, 'Bounds, quadratic differentials, and renormalization conjectures,' Proc. Amer. Math. Soc. Symposium, American Mathematical Society, 1992; vol. 2, p. 417. назад к тексту
36.	M. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25, 1978. назад к тексту
37.	M. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 21, 669, 1979. назад к тексту
38.	M. Feigenbaum, Phys. Lett. 74A, 375, 1980. назад к тексту
39.	M. Feigenbaum, Comm. Math. Phys. 11, 65, 1980. назад к тексту
40.	M. Feigenbaum, Los Alamos Science 1, 4, 1980 [Есть русский перевод: М. Фейгенбаум, Универсальность в поведении нелинейных систем, УФН, 1983, т. 141, вып. 2, с. 343–374.]; Physica 7D, 16, 1983. назад к тексту
41.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, p. 1844. назад к тексту
42.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, p. 1850. назад к тексту
43.	M. Feigenbaum, et al, Physica D3, 468, 1981; et al, Physica D5, 370, 1982; J. Stat. Phys. 46, 5, 1987; 52, 527, 1988; Nonlinearity 1, 577, 1988. назад к тексту
44.	Hammond Atlas of the World, Hammond Inc., Maplewood, NJ, 1992; p. 9. назад к тексту
45.	M. Feigenbaum, in Towards the Harnessing of Chaos (ed. M. Yamaguti), Elsevier, New York, 1994; p. 1; and in Trends and Perspectives in Applied Mathematics (ed. L. Sirovich), Springer, New York, 1994; p. 55. назад к тексту
46.	P. Cvitanovic, Universality in Chaos, Hilger, Bristol, 1984. назад к тексту
47.	A. Libchaber and J. Maurer, J. de Physique 40, L419, 1979; а также J. de Physique C3, 51, 1980. назад к тексту
48.	A. Libchaber and J. Maurer, in Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities (ed. T. Riste), Plenum, New York, 1982; p. 259. назад к тексту
49.	J. Gleick, Chaos, Viking Press, New York, 1987; p. 6. назад к тексту
50.	M. Feigenbaum, in Twentieth Century Physics (eds. L. Brown, A. Pais, and Sir Brian Pippard), American Institute of Physics Press, New York, 1995; vol. 3, p. 1823. назад к тексту

1.	S. Ulam, Adventures of a Mathematician, University of California Press, 1979; p. 79. [Есть русский перевод: С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 73.] назад к тексту
2.	W. Oncken, Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen, Grote, Berlin, 1884. назад к тексту
3.	H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 167. назад к тексту
4.	M. Fekete and J. von Neumann, Jahresbericht, Deutsche Math. Vereinigung, 31, 125, 1922. назад к тексту
5.	A. Szanton, The Recollections of Eugene P. Wigner, Plenum Press, New York, 1992; p. 57. назад к тексту
6.	Копия находится в архиве Института перспективных исследований в Принстоне. назад к тексту
7.	S. Bochner, Biogr. Mem. Nat. Acad. Sci. 32, 438, 1958. назад к тексту
8.	J. von Neumann, in 'In the matter of J. Robert Oppenheimer,' transcript of the hearing before a personnel security board, MIT Press, Cambridge, MA, 1971; p. 654. назад к тексту
9.	О связях и сотрудничестве фон Неймана и Вигнера рассказано в эссе о Вигнере в этой книге. назад к тексту
10.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 7. назад к тексту
11.	J. von Neumann, Math. Zeitschr. 27, 669, 1928. назад к тексту
12.	C. Reid, Courant in Göttingen and New York, Springer, New York, 1976; p. 336. назад к тексту
13.	John von Neumann, Collected Works (ed. A. H. Taul), Pergamon Press, New York, 1961–1963. Все ссылки на статьи фон Неймана я делал по этому изданию, где, в свою очередь, можно найти ссылки на оригинальные публикации. назад к тексту
14.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 3. назад к тексту
15.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 4. назад к тексту
16.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 12. назад к тексту
17.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 16; см. также vol. 1, NN 13–15. назад к тексту
18.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 21. назад к тексту
19.	K. Gödel, Monatschr. für Math. und Phys. 38, 173, 1931. назад к тексту
20.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 74. назад к тексту
21.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 7. назад к тексту
22.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, NN 9–11, 25; vol. 2, NN 1, 2, 5; vol. 3, N 2. назад к тексту
23.	J. von Neumann, Die mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, New York, 1932; reprinted in Dover Publications, 1943; на англ.: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (transl. R. Т. Beyer), Princeton University Press, 1955. [Есть русский перевод: И. (Дж.) фон Нейман. Математические основы квантовой механики, М.: Наука, 1964.] назад к тексту
24.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 11. назад к тексту
25.	J. von Neumann, in Les Nouvelles théories de la physique, Institut international de cooperation intellectuelle, 1939; p. 46. назад к тексту
26.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, NN 18–20, 23, 24; см. также vol. 2, N 21. назад к тексту
27.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 17. назад к тексту
28.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 1, N 25; vol. 2, NN 12–14. назад к тексту
29.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; p. 24. назад к тексту
30.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 1; на англ.: in Contributions to the Theory of Games, Princeton University Press, 1959; p. 13. назад к тексту
31.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 15. назад к тексту
32.	J. von Neumann, Erg. ernes Math. Coll. (ed. K. Menger) 8, 73, 1937. назад к тексту
33.	E. R. Weintraub, J. of Econ. Literature 21, 1, 1983. назад к тексту
34.	J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1944. [Есть русский перевод: Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение, М.: Наука, 1970.] назад к тексту
35.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 16. назад к тексту
36.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; ch. 11 (подробности о роли работы фон Неймана по экономике). назад к тексту
37.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; p. 256. назад к тексту
38.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, NN 3–7, 11. назад к тексту
39.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 68. назад к тексту
40.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; p. 158. назад к тексту
41.	J. von Neumann, at the confirmation hearings for membership of the Atomic Energy Commission, March 8, 1955. назад к тексту
42.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; p. 161. назад к тексту
43.	Minutes of the Executive Committee, Institute for Advanced Study, January 28, 1933, институтские архивы. назад к тексту
44.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; p. 172. назад к тексту
45.	J. Dieudonné, Dictionary of Scientific Biography, Scribner's, New York, 1976; vol. 14, p. 89. назад к тексту
46.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 3, NN 2, 3, 5. назад к тексту
47.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 3, NN 4, 7; vol. 4, N 8. назад к тексту
48.	В работе Хаара было показано, что любая локально компактная группа обладает инвариантной мерой, приписывающей положительное число каждому оператору. назад к тексту
49.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 2, N 19. назад к тексту
50.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 2, N 22; vol. 4, N 6. назад к тексту
51.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 2, N 23; vol. 4, N 1. назад к тексту
52.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; p. 183. назад к тексту
53.	A. Turing, Proc. London Math. Soc. 42, 230, 1937. назад к тексту
54.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 37. назад к тексту
55.	H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 178. назад к тексту
56.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 25. назад к тексту
57.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 26. назад к тексту
58.	J. von Neumann and S. Chandrasekhar. In J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, NN 12,13, and NN 14–18. назад к тексту
59.	J. von Neumann and E. Fermi. In J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 31. назад к тексту
60.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 203–204. назад к тексту
61.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, NN 19, 20, 22–25, 27–29. назад к тексту
62.	H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 167. назад к тексту
63.	S. Grafton, Interview with Klari, Good Housekeeping, September 1956, p. 80. назад к тексту
64.	H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 176. назад к тексту
65.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 72–73. назад к тексту
66.	N. Macrae, John von Neumann, Pantheon, New York, 1992; p. 153. назад к тексту
67.	H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 181. назад к тексту
68.	Minutes of the School of Mathematics, June 2, 1945. назад к тексту
69.	Minutes of the School of Mathematics, October 19, 1945. назад к тексту
70.	Minutes of the School of Mathematics, May 14, 1946. назад к тексту
71.	H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 245. назад к тексту
72.	New York Herald Tribune, June 11, 1952. назад к тексту
73.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 5, NN 1–5. Остальные работы в пятом томе посвящены компьютерным исследованиям. назад к тексту
74.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 91 (список компьютеров, построенных с использованием IAS дизайна). назад к тексту
75.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 202. назад к тексту
76.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 156–157 (таблицы приложений IAS компьютеров). назад к тексту
77.	K. Auletta, The New Yorker, May 12, 1997. назад к тексту
78.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 70–72. назад к тексту
79.	O. Veblen, письмо к L. Strauss, April 12, 1946, цитируется по B. Stern, 'A history of the Institute for Advanced Study, 1930–1950,' неопубликованный документ из институтских архивов. назад к тексту
80.	J. von Neumann, testimony in 'In the matter of J. Robert Oppenheimer,' p. 643ff., US Government Printing Office, Washington, 1954; reprinted by MIT Press, Cambridge, MA, 1970. назад к тексту
81.	H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 317–318. назад к тексту
82.	Подробное описание см. в кн.: A. Pais, R. P. Crease, J.Robert Oppenheimer: a life, Oxford University Press, 2006. назад к тексту
83.	Полный текст см. в A. Pais, Physics Today 20, October 1967, p. 35. назад к тексту
84.	J. von Neumann, The Computer and the Brain, Yale University Press, 1958. [Есть русский перевод: Дж. фон Нейман, Вычислительная машина и мозг, в сб. Кибернетический сб., 1960, № 1, с. 11–60.] назад к тексту
85.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 5, N 10. назад к тексту
86.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; ch. 8; H. Goldstine, The Computer, Princeton University Press, 1980; p. 271ff. См. также J. von Neumann in Theory of Self-reproducing Automata (ed. A. Burks), University of Illinois Press, 1960. [Есть русский перевод: Дж. фон Нейман. Теория самовоспроизводящихся автоматов, М.: Мир, 1971.] назад к тексту
87.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 35. назад к тексту
88.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 36. назад к тексту
89.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 38. назад к тексту
90.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 39. назад к тексту
91.	J. von Neumann, Collected Works, vol. 6, N 40. назад к тексту
92.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 208. назад к тексту
93.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 212. назад к тексту
94.	W. Asprey, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990; p. 335. назад к тексту
95.	С. Улам, Приключения математика, Ижевск: НИЦ «РХД», 2001; с. 212–213. назад к тексту
96.	L. Strauss, Men and Decisions, Doubleday, New York, 1962; p. 236. назад к тексту
97.	E. Wigner, Yearbook of the American Philosophical Society, 1957, p. 149; перепечатано в Symmetries and Reflections, Indiana University Press, 1967; p. 257. [Есть русский перевод: Е. Вигнер, Джон фон Нейман, в кн. Этюды о симметрии, М.: Мир, 1971. См. также статью М. И. Монастырского о фон Неймане, опубликованную в УФН в 2004 году. — E.G.A.] назад к тексту
98.	The New York Times, November 12, 1963. назад к тексту

О биографах

Библиография и примечания

Митчелл Джей Фейгенбаум

Семья

Ранние воспоминания

Школьные годы

Преддипломные годы в колледже

Аспирантура

Посткандидатские должности

К хаосу 6

Числа Фейгенбаума

Примечания

Библиография и примечания

Джон фон Нейман

Детство

Университетские годы

Научные вклады: европейский период

Принстонский период

Фон Нейман и Вторая мировая война

Личные воспоминания. Джониак

Последние годы

Дело Оппенгеймера

Автоматы

Размышления

Член Комиссии по атомной энергии

Конец

Библиография и примечания

К хаосу ⁶