Пользуясь (1), можно записать эту формулу в виде выражения для 24-й степени η-функции Дедекинда.

Я пришёл к ней под влиянием письма Винквиста ³ [10], получившего похожее выражение для 10-й степени η. Винквист тоже, между прочим, физик, который плещется на досуге в водах старомодной теории чисел.

Продолжая своим доморощенным способом исследования этих тождеств, я обнаружил существование столь же красивой формулы, как (2), для d-х степеней η в тех случаях, когда d принадлежит следующей последовательности целых чисел:

На самом деле случай d = 3 был открыт Якоби [11], d = 8 Клейном и Фрикке [12], а d = 14, 26 Аткином ⁴. На этом я остановился. Довольно недолго я разглядывал странную последовательность (3). Будучи в то время теоретиком-числовиком, я ничего в ней не увидел. Перегородки в сознании помешали мне заметить, что я неоднократно встречал эти числа в качестве физика. Попадись они мне на глаза в контексте какой-нибудь физической задачи, я бы, наверное, узнал в них размерности конечномерных простых алгебр Ли, если не считать число 26. Почему сюда попало 26 не знаю до сих пор. Остальные числа соответствуют простым алгебрам A₁, A₂, B₂, G₂, A₃, B₃, A₄, D₄, A₅, B₄ и так далее. Например, d = 24 соответствует A₄ и в структуре формулы (2) можно усмотреть систему корней A₄. Так я упустил возможность заметить глубокую связь между модулярными формами и алгебрами Ли только потому, что Дайсон теоретик-числовик не поговорил с Дайсоном физиком.

У этой истории счастливый конец. Неизвестный мне в то время английский математик Ян Макдональд получил эти же формулы, как частный случай более общей теории [3], [84]. Алгебры Ли входили в его теорию с самого начала, а связь с модулярными формами появилась нежданно-негаданно. Так или иначе, Макдональд выявил эту связь и использовал возможность, которую я упустил. Выяснилось также, что Макдональд находился в Институте высших исследований в Принстоне, когда мы оба работали над этой проблемой. Поскольку наши дочери учились в одном классе, мы виделись время от времени в течение всего его годичного пребывания в Принстоне. Но так как он был математиком, а я физиком, мы не говорили о своей работе. То, что мы думали над одним и тем же вопросом, находясь столь близко друг от друга, выяснилось лишь по его возвращении в Оксфорд. Вот упущенная возможность, но не столь драматичная, поскольку Макдональд прекрасно во всём разобрался и без моей помощи. Единственный неясный случай d = 26, остаётся совершенно загадочным ⁵.

3. Уравнения Максвелла. Я слишком увлёкся историей с модулярными формами, которую и привёл-то лишь потому, что сам упустил эту возможность. Теперь вернусь к основной теме: обсуждению упущенных возможностей, важных с точки зрения истории развития математики.

Первым явным признаком разрыва математики и физики было поразительное отсутствие интереса среди математиков к открытию Джеймсом Клерком Максвеллом законов электромагнетизма. Максвелл открыл свои уравнения, описывающие в самых общих предположениях свойства электрических и магнитных полей, в 1861 г. и опубликовал ясное и полное изложение в 1865 г. [13]. Это великое событие в физике XIX столетия означало для теории электричества и магнетизма то же, что и сделанное Ньютоном двумя столетиями ранее для теории гравитации.

Уравнения Максвелла содержали среди прочего объяснения электромагнитной природы света основные принципы передачи электроэнергии и основы радиотехники. Эти приложения теории представляли исключительный интерес для физиков и инженеров. Но помимо физических приложений, уравнения Максвелла обладали принципиально новыми и важными математическими свойствами. Максвелл сформулировал свою теорию, используя математическое понятие нового типа: тензорное поле на четырёхмерном пространстве-времени, удовлетворяющее системе уравнений в частных производных с необычной симметрией.

После опубликования в 1687 г. законов теории тяготения Ньютона математики поняли суть этих законов и создали на их основе мощную математическую теорию аналитической механики. Благодаря трудам Эйлера, Лагранжа и Гамильтона уравнения Ньютона были изучены и поняты во всей их глубине. Вследствие глубокого исследования ньютоновской физики в конечном счёте появились новые разделы чистой математики. Из экстремальных свойств интегралов движения Лагранж извлёк общие принципы вариационного исчисления. Через пятьдесят лет работа Эйлера о движении по геодезическим привела Гаусса к созданию дифференциальной геометрии. Спустя ещё пятьдесят лет обобщение динамики Гамильтона–Якоби способствовало открытию Софусом Ли групп Ли. И, наконец, последним даром ньютоновской физики чистой математике явились работы Пуанкаре по качественному исследованию орбит, в свою очередь приведшие к появлению на свет современной топологии.

Но математики XIX столетия обнаружили плачевную неспособность понять, что столь же великие возможности открыл перед ними Максвелл в 1865 г. Если бы они приняли так же близко к сердцу уравнения Максвелла, как Эйлер уравнения Ньютона, то открыли, среди прочего, специальную теорию относительности Эйнштейна, теорию топологических групп и их линейных представлений и, вероятно, большую часть теории гиперболических уравнений и функционального анализа. Значительная часть физики и математики XX века могла появиться в XIX веке, если бы просто были до конца исследованы математические концепции, к которым естественно приводят уравнения Максвелла.

Имеется множество документов, ясно показывающих, как приняли теорию Максвелла математики того времени. Я приведу две короткие выдержки, чтобы проиллюстрировать различные средства, использованные для привлечения внимания математиков к этой теории. Обе взяты из выступлений президентов Британской Ассоциации, бывшей в то время, как и сейчас, руководящей организацией содействия единству науки в Великобритании. Первая принадлежит самому Максвеллу [14] – выступление 1870 г., посвящённое связи математики и физики.

«Согласно теории электричества, успешно развиваемой в Германии, две заряженные частицы непосредственно взаимодействуют на расстоянии; сила взаимодействия, согласно Веберу, зависит от их относительной скорости, а согласно теории, намеченной Гауссом и развитой Риманом, Лоренцом и Нейманом, эта сила возникает не мгновенно, а с запаздыванием, зависящим от расстояния. Нужно изучить эту теорию, чтобы оценить по достоинству её мощь, позволившую столь выдающимся умам объяснить всевозможные электрические явления. Другая теория электричества, которая мне кажется предпочтительнее, отрицает действие на расстоянии и приписывает электрическое действие натяжению и сжатию всепроникающей среды, напряжения которой принадлежат хорошо известному инженерному типу, а сама среда тождественна той, в которой, как полагают, распространяется свет.»

Читая доклад Максвелла, нельзя не поражаться исключительной скромности, с какой он представляет сделанное девятью годами ранее эпохальное открытие всего лишь как «другую теорию электричества, которая кажется предпочтительней». Как отличается его стиль от стиля Ньютона, написавшего в начале третьей книги своих «Математических начал натуральной философии» [15]: «...Мне остаётся лишь из тех же самых принципов вывести Основы Мироздания». Поскольку сам Максвелл говорил без особого убеждения, неудивительно, что он не побудил математиков забросить свои модные формы и коварианты ради изучения его уравнений.

Вторая цитата взята из выступления оксфордского математика Генри Смита, состоявшегося три года спустя перед той же аудиторией [16]. За несколько месяцев до его выступления, в 1873 г., вышел великий трактат Максвелла об электричестве и магнетизме [17]. «В текущем году профессор Максвелл опубликовал трактат по теории электричества, предлагающий полное математическое обоснование этой науки. Любой математик, пролиставший трактат, не может не прийти к убеждению, что в нём содержатся первые наброски, и даже более, чем первые наброски теории, уже добавившей многое к методам и возможностям чистой математики и, по-видимому, способной оказать этой абстрактной науке со временем услугу не меньшую, чем в своё время оказала астрономия. Электричество теперь, подобно астрономии в прошлом, поставило перед математиками совершенно новую совокупность вопросов, требующую появления абсолютно новых методов их решения... Представляется большой удачей для математиков, что такое обширное поле деятельности в области приложений математики к физике открывается в настоящее время, когда интерес к классической математической астрономии снижается...».

Эти слова показывают, что по крайней мере один математик понял историческое значение вызова, брошенного математикам работой Максвелла. Оценка Смита тем более ценна, так как он был чистым математиком, а его наиболее известные работы относились к аналитической теории чисел. К сожалению, ему было уже 46 лет, слишком много, чтобы стать пионером в новой области. Несомненно, он ограничился тем, что «пролистал страницы этого трактата» и вернулся к своим уютным тернарным формам. Молодые люди, способные увлечься словами о создании новых разделов математики, не услышали его. Герман Минковский и Жак Адамар, призванные осуществить в XX веке часть пророчеств Смита, были в это время мальчиками 9 и 8 лет, Эли Картану было 3 года, Герман Вейль, Жан Лере и Хариш-Чандра еще не появились на свет. Спустя 35 лет, Герману Минковскому было что сказать о возможности, упущенной математиками, выступая перед немецкой научной ассоциацией, соответствующей Британской, через 3 года после создания Эйнштейном специальной теории относительности. Он отметил, что математически открытие Эйнштейна основано на несовместимости двух групп преобразований пространства-времени.

С одной стороны, уравнения ньютоновской механики инвариантны относительно группы G_∞, которую физики теперь называют группой Галилея. Группа G_∞ – шестимерна. Она порождается тремя вращениями в пространстве координат и тремя движениями с постоянной скоростью вида

С другой стороны, уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно группы G_c, которую физики называют группой Лоренца. Группа G_c тоже шестимерна. Она порождается, как и G_∞, тремя вращениями вместе с тремя преобразованиями Лоренца вида

где c – скорость света.

С чисто математической точки зрения G_c устроена проще, чем G_∞. В частности, G_c – вещественная некомпактная форма полупростой алгебры Ли A₁×A₁, тогда как G_∞ не полупроста.

Я приведу выдержку из лекции Минковского 1908 г. [2]. «Группа G_c в пределе c = ∞ превращается в G_∞ – полную группу симметрий ньютоновской механики. Поскольку это так и поскольку группа G_c математически предпочтительнее, чем G_∞, свободное воображение могло бы навести какого-нибудь математика на мысль, что явления природы на самом деле инвариантны не относительно группы G_∞, а относительно группы G_c, где c – конечная и вполне определённая константа, только очень большая в обычных единицах измерения. Такое предвидение было бы невероятным триумфом чистой математики. Ну, что же, хотя математика и оказалась мудра лишь задним числом, она может утешаться и этой мудростью, а её счастливое прошлое и острота зрения, отточенного дальними горизонтами, позволяют ей немедленно уяснить далёкие последствия таких изменений в нашем понимании природы.»

Почему же математики конца XIX века оказались слепы к тем возможностям, которые Смит так ясно предвидел? Этому много причин. Если бы Максвелл писал также ясно и уверенно, как Ньютон, математики, возможно, отнеслись бы к нему более серьезно. Другое основание безразличия математиков связано с тем, что уравнения Максвелла, в общем, не были признаны физиками даже через 20 лет после их опубликования. Пока Герц в 1885 г. не показал существования радиоволн, большинство физиков рассматривало теорию Максвелла как умозрительную гипотезу ⁶. Математики, потерявшие контакт с физикой, не могли составить собственного мнения о значимости теории. Последняя и, может быть, самая важная причина невнимания к работе Максвелла связана с путями развития математики конца XIX столетия. Математики занимались теорией функций комплексных переменных, аналитической теорией чисел, алгебраическими формами и теорией инвариантов. Расцвет этих разделов определил вкусы и эстетические стандарты, к которым нелегко было приспособить новую физику Максвелла.

4. Кинематические группы. Постскриптумом к истории с уравнениями Максвелла может стать ещё одна упущенная чистыми математиками возможность, правда, не столь значительная, как потеря 1873 г. Никто не заметил, что Минковский в лекции 1908 г. не довёл свои аргументы до логического завершения. Он не обратил внимания на инвариантность уравнений Максвелла относительно тривиальной абелевой группы Т₄, – сдвигов координат пространства-времени. Естественная группа инвариантности теории Максвелла – не шестимерная группа Лоренца, а десятимерная группа Пуанкаре Р – полупрямое произведение G_c и Т₄. Соответственно, группа симметрий ньютоновской механики – не шестимерная группа G_∞, а десятимерная группа Галилея G – полупрямое произведение G_∞ и T₄. Ни P, ни G не являются полупростыми группами.

Задним числом легко видеть, что логика Минковского должна была привести кого-нибудь к мысли о существовании простой группы D, вырожденным пределом которой будет P, в точности так же, как у полупростой группы G_c вырожденным пределом является группа G_∞. Это группа де Ситтера D, вещественная некомпактная форма простой алгебры Ли B₂. Следуя аргументам Минковского, математики легко могли бы предположить в 1908 г., что истинной группой инвариантности мира должна быть группа D, а не P. В действительности, D является группой симметрий расширяющейся Вселенной без материи, радиус кривизны которой R есть линейная функция времени. D вырождается в P в пределе плоского пространства lim R → ∞ так же, как G_c вырождается в G_∞ в ньютоновском пределе с → ∞.

Предположим, кто-то в 1908 году был достаточно уверен в себе, чтобы принять эту идею всерьёз. Тогда он смог бы правильно предсказать расширение Вселенной, открытой экспериментально Хабблом спустя 20 лет. Ещё важнее, что это могло бы привести к постулированию кривизны пространства-времени и, следовательно, намного сократить путь к общей теории относительности. К счастью, Эйнштейн сформулировал принцип общей относительности, проделав тяжёлый путь, который ему никто не облегчил. Де Ситтер в действительности открыл свою модель расширяющейся Вселенной через год после овладения теорией Эйнштейна.

Только спустя 60 лет была завершена логика аргументов Минковского. В прекрасной работе, опубликованной в 1968 г., Бакри и Леви-Леблон [19] показали, что при некоторых естественных предположениях существует 8 кинематических групп ⁷. Кинематической они называют группу, которая может служить группой симметрии однородной и изотропной Вселенной в согласии с общими принципами квантовой механики. Среди этих 8 групп только D простая, остальные семь получаются из неё тремя предельными переходами во всевозможных комбинациях. Более точно, пусть f обозначает предел плоского пространства R → ∞, h – ньютоновский предел c → ∞ и s обозначает статический предел c → 0. Все восемь групп тогда можно изобразить вершинами куба (рисунок).

D, P = fD и G = nfD – единственные кинематические группы, соответствующие ортодоксальным физическим мирам. Остальные пять групп, однако, с математической точки зрения ничем не хуже. Наиболее интересная из еретических групп – группа N = nD и C = sfD. N описывает ньютоновскую вселенную в искривлённом пространстве-времени. C описывает Вселенную с абсолютным пространством, в противоположность галилеевой группе G, где абсолютно время. Группу C открыл Леви-Леблон [20] и назвал её группой Кэрролла. В мире Кэрролла у всех тел нулевая скорость, однако они могут иметь ненулевой импульс. Кэрролл был чистым математиком, предвидевшим эту возможность ещё в 1871 г. [21]: «Медленная страна, – сказала Чёрная Королева, – приходится, видишь ли, бежать со всех ног, чтобы оставаться на месте». [Н. М. Демурова считает, что это наиболее часто цитируемая фраза из Кэрролла. – E.G.A.] Но его математические коллеги опять совершили оплошность, не прислушавшись к нему всерьёз.

5. Кватернионы и векторы. В гиббсовской лекции уместно упомянуть упущенную возможность, на которую сам Гиббс указал математикам своего времени. На свет она появилась за 40 лет до того, как Гиббс [22] в 1886 г. привлёк к ней внимание. Прошло ещё 40 лет, прежде чем математики полностью оценили её.

В 1844 г. произошли два примечательных события. Гамильтон [23] опубликовал своё открытие кватернионов, а Грассман [24] издал книгу «Ausdehnungslehre». С запоздалой проницательностью мы видим, что работа Грассмана была более значительным вкладом в математику и содержала элементы многих концепций современной алгебры, включая, как частный случай, векторный анализ. Однако Грассман был простым школьным учителем в Штеттине, в то время как Гамильтон – всемирно известным математиком; одно лишь перечисление его званий и титулов в начале статьи 1844 г. занимало шесть строк. Можно лишь сожалеть, но не приходится удивляться, что кватернионы были провозглашены величайшим открытием, а Грассману пришлось ожидать 23 года, прежде чем его работа получила хоть какое-то признание среди профессиональных математиков. К тому времени, когда работа Грассмана, наконец, получила известность, математики были разделены на кватернионистов и антикватернионистов, и тратили больше сил на полемику за и против кватернионов, чем на попытки понять, как объединить идеи Грассмана и Гамильтона в более общей схеме. Таким образом, физику Гиббсу досталось в удел первому в лекции 1886 г. сопоставить идеи Гамильтона и Грассмана.

Последними словами его лекции были: «Мы начинаем с изучения многообразия алгебр, мы кончим, я думаю, многообразной алгеброй».

Не знаю, сколько чистых математиков слышали или читали лекцию Гиббса. Внимательное изучение лекции помогло бы им заметить, что Гиббсу на самом деле не удалось объединить понятия кватерниона и вектора. Напротив, обсудив параллельно эти два понятия, он показал их явную несопоставимость. Его лекция должна была заставить каждого вдумчивого математика спросить себя: «Чем объяснить, что свойства трёхмерного пространства представляются одинаково хорошо двумя совершенно разными и несовместимыми алгебраическими структурами?». Будь такой вопрос однажды ясно поставлен, наверное, скоро бы нашёлся ответ; и он неизбежно привёл бы к полной теории однозначных и двузначных представлений группы трёхмерных вращений. Векторы образуют простейшее нетривиальное однозначное представление, а кватернионы – простейшее двузначное представление. Кватернионы – прототипы спинорных представлений в современной терминологии. Развитие теории спинорных представлений, фактически начатое Эли Картаном в 1913 г., завершилось в основном в 30-е годы [25] при существенной помощи физиков Паули и Дирака; оно могло бы начаться приблизительно на 40 лет раньше. Невозможно предсказать действие этого ускоренного развития на другие разделы математики, но нетрудно предположить его важность.

6. Общая ковариантность. До сих пор я приводил примеры упущенных математических открытий, всё же сделанных, хотя и с большим запозданием. В этих случаях возможности заведомо существовали, но только в прошлом. Теперь перейду к более трудной задаче – показать ещё открытые возможности наших дней. Здесь нельзя уже быть совершенно уверенным в их реальности, но если они есть, то хороши тем, что существуют сейчас. Прошлые возможности, которые я обсуждал, имели одну общую черту. Во всех примерах мы замечали, что два разнородных или несовместимых математических понятия оказывались тесно связанными в описании некоторой конкретной ситуации. В приведённых четырёх случаях такими парами были соответственно: модулярные функции и алгебры Ли, уравнения поля и динамика частиц, лоренц-инвариантность и галилеева инвариантность, алгебра кватернионов и алгебра Грассмана. Возможности, возникавшие перед математиками, заключались в создании более глубокой схемы, внутри которой эти пары существовали бы в гармоничном единстве. Я использую этот методологический принцип для поиска и поныне открытых возможностей и рассмотрю ситуации, в которых соседство двух несовместимых концепций известно, но не объяснено. Самый кричащий пример несовместимости в современной физике – эйнштейновский принцип общей ковариантности и все современные схемы квантово-механического описания природы. Эйнштейн основывал свою общую теорию относительности [26] на принципе, что Бог не навешивал никаких ярлыков на отдельные точки пространства-времени. Этот принцип требует инвариантности законов физики относительно группы Эйнштейна E, состоящей из взаимно однозначных и дважды дифференцируемых преобразований координат. Используя в полной мере инвариантность относительно группы E, Эйнштейн смог найти точную форму своего закона гравитации, исходя из общих требований математической простоты без каких-либо дополнительных предположений. Он смог также переформулировать всю классическую физику, электромагнетизм и гидродинамику в E-инвариантном виде и, таким образом, однозначно определить взаимодействие материи, излучения и гравитации, оставаясь в рамках классической физики. В физике нет более ясных математически и более удовлетворительных с эстетической точки зрения глав, чем классическая теория Эйнштейна, основанная на E-инвариантности.

С другой стороны, все известные жизнеспособные формализмы квантово-механического описания природы используют значительно меньшую группу инвариантности. Бакри и Леви-Леблон [19] проанализировали самые обширные квантово-механические группы, пригодные к рассмотрению. Практически, все серьёзные квантово-механические теории основаны либо на группе Пуанкаре P, либо на группе Галилея G. Это значит, что класс предпочитаемых инерциальных систем координат постулируется априорно, в явном противоречии с эйнштейновским принципом. Это противоречие внушает особенное беспокойство, поскольку эйнштейновский принцип общей инвариантности обладает притягательными чертами абсолютности. Интуиция физика подсказывает, что если этот принцип справедлив вообще, он, видимо, должен быть справедлив для всей физики, как для квантовой, так и для классической. Трудно понять глубокое проникновение Эйнштейна в тайны природы, если не верить в универсальность этого принципа, положенного им в основу.

Чтобы яснее показать несовместимость принципов, я сосредоточу своё внимание на одной из конкурирующих схем описания квантово-механической вселенной. Я выбрал схему, авторы которой приложили все усилия, чтобы опираться на строгие математические определения и, в то же время, достаточно общую для включения широкого класса физических систем. Эта схема – «Алгебра локальных наблюдаемых» Хаага и Кастлера [27]. Шесть аксиом Хаага и Кастлера таковы:

1. Существование локальных наблюдаемых. Для каждой области B (т.е. открытого множества с компактным замыканием) в 4-мерном пространстве-времени существует C*-алгебра A(B).
2. Изотония. Если B₂ÌB₁, то A(B₂)ÌA(B₁) и у A(B₁) и A(B₂) есть общая единица.
3. Существование квазилокальных наблюдаемых. Объединение всех A(B) есть нормированная *-алгебра, пополнение которой представляет собой C*-алгебру A – алгебру квазилокальных наблюдаемых. Предполагается, что все физически измеримые величины являются элементами A.
4. Пуанкаре-инвариантность. Каждому элементу L группы Пуанкаре соответствует автоморфизм α: A → A, где α(A(B)) = A(LB) для каждой области B.
5. Локальная коммутативность. Если две области B₁ и B₂ полностью взаимно пространственно подобны (т.е. B₂ лежит вне любого светового конуса с вершиной в B₁), то A(B₁) и A(B₂) коммутируют.
6. Примитивность. A допускает точное, алгебраически неприводимое представление.

Эти аксиомы вместе с аксиомами, определяющими C*-алгебру [28], на абстрактном математическом языке выражают все общие установки, которые можно извлечь из физики микромира последних 50 лет. Они описывают очень изящную математическую структуру со свойствами, во многих отношениях соответствующими фактам, полученным экспериментальной физикой. В определённом смысле эти аксиомы представляют наиболее серьёзную попытку точно определить понятия, которые физики выражают словами «наблюдаемость, причинность, локальность, релятивистская инвариантность», постоянно употребляемыми и злоупотребляемыми в повседневной речи.

Если взглянуть более внимательно на эти аксиомы, видно, что 1), 2), 3) и 6) согласуются с эйнштейновским принципом общей ковариантности, а 4) и 5) – нет. Аксиомы 4) и 5) – аксиомы Пуанкаре-инвариантности и локальной коммутативности – требуют включения группы Пуанкаре в структуру пространства-времени. При попытке заменить группу Пуанкаре группой Эйнштейна E, мы не сможем определить пространственно-подобную связь между двумя областями, и аксиома 5) потеряет смысл. Поэтому я предлагаю математикам важную нерешённую задачу – построить математическую структуру, сохраняющую главные черты аксиом Хаага–Кастлера с включением E-инвариантности вместо P-инвариантности.

Я хотел бы предупредить каждого математика, который действительно решится принять мой вызов, что его задача не будет лёгкой. Никакие формальные переформулировки аксиом Хаага–Кастлера не могут быть достаточными. Ведь мы знаем, что Эйнштейн смог построить свою инвариантную классическую теорию в 1916 г., только используя в полной мере риманову дифференциальную геометрию. Ему был необходим метрический тензор, чтобы придать своему пространству-времени структуру, не зависящую от системы координат. Поэтому E-инвариантная аксиома локальной коммутативности, заменяющая аксиому 5), должна по крайней мере содержать определение квантово-механического аналога римановой геометрии. Некоторый аналог метрического тензора надо ввести для придания смысла разделению на пространственно-подобные области. Ответ на мой вызов должен содержать тонкое объединение понятий дифференциальной геометрии, функционального анализа и абстрактной алгебры. С этим предостережением я оставляю Вам эту проблему.

7. Фейнмановские интегралы. ⁸ Мой второй пример ещё открытых возможностей также касается самых фундаментальных аспектов квантовой физики. Двадцать лет назад, ещё до того как стали модными C*-алгебры, Ричард Фейнман [29], [87] дал описание релятивистской квантовой теории в терминах наивной физической картины, которую назвал «суммирование по путям» ⁹. Его описание было лишь качественным подходом к пониманию физических явлений, совершенно не корректным математически. Математическая строгость – последнее, о чём Фейнман когда-либо заботился.

Фейнмановское описание содержит следующие элементы. Пусть H задаётся величиной φ_H(x) – классической векторо-значной функцией φ в каждой точке x пространства-времени. Пространственно-подобная поверхность σ – это поверхность, разделяющая пространство-время на две части, прошлое и будущее, так, что каждые две точки на поверхности σ разделяются пространственно-подобным интервалом.

Состояние ψ_σ на σ – есть комплекснозначный функционал на функциях φ(x) при x, принадлежащем σ. Состояния на σ образуют комплексное линейное пространство D_σ. Динамика мира задаётся лагранжианом L(φ), являющимся действительнозначной функцией от φ и её производных в точке x. Классической локальной наблюдаемой A_B служит комплекснозначный функционал относительно функции φ(x), где x принадлежит ограниченной области B. Квантовая локальная наблюдаемая O(A_B) определяется как комплексная билинейная форма от D_σ и D_τ , где σ и τ – пространственно-подобные поверхности, причём B находится целиком в области будущего относительно σ и в прошлом относительно τ. Классическая наблюдаемая A_B определяет квантовую O(A_B) по следующему правилу:

τ  (χτ ,O(AB )ψσ ) = ∑  χτ*(φH) AB(φH) ψσ (φH) exp ( i ∫  L(φH(x)) d4 x ) , H σ

(6)

∑ обозначает знаменитое «суммирование по путям», предположительно, распространённое на все возможные классические функции φ_H(x), определённые на 4-мерной полоске пространства-времени между σ и τ. Буквальное определение (6) – математически бессмысленно. Важная проблема – найти математический аппарат для придания точного смысла определению (6).

В этой проблеме соприкосновение пары несовместимых математических элементов проявляется следующим образом. С одной стороны, формула (6), если с ней обращаться формально, не пытаясь дать строгое обоснование, даёт всегда правильные ответы. Получаются, например, правильные лагранжевы уравнения поля, которым удовлетворяет квантовая наблюдаемая O(φ(x)), правильные коммутационные соотношения между наблюдаемыми O(A_B) и генераторами группы Пуанкаре, правильные коммутационные соотношения Пайерлса [30] между двумя локальными наблюдаемыми и правильное определение матрицы рассеяния в пределе, когда σ задана в области «абсолютного прошлого», а τ – «абсолютного будущего» при t = –∞ и +∞ соответственно. С другой стороны, существующие теории нормированных векторных пространств накладывают сильные ограничения, которым, кажется, функциональные пространства Фейнмана, безнадёжно не удовлетворяют.

Мы сталкиваемся с положением, неоднократно возникавшим в истории формирования новых математических теорий. Имеется метод, приводящий к правильным выводам, и строгая теория, запрещающая использование этого метода

В соответствии с (6), единичный оператор I связан со специальной билинейной формой:

τ  (χτ , ψσ ) = ∑  χτ*(φH) ψσ (φH) exp ( i ∫  L(φH(x)) d4 x ) , H σ

(7)

отображающей D_τ на двойственное к D_σ пространство D'_σ . Обозначим это отображение через I_τσ и предположим (разумеется, без доказательства), что существует обратное отображение J_τσ пространства D'_σ на D_τ. Квантовая наблюдаемая O(A_B) – также билинейная форма, отображающая D_τ на D'_σ. Поэтому произведение

есть линейное отображение D_τ на себя, т.е. линейный оператор на пространстве состояний. Итак, мы построили линейный оператор Q(A_B), представляющий каждую квантовую локальную наблюдаемую. Сумей мы строго обосновать эту конструкцию, нам удалось бы определить норму ограниченных операторов Q(A_B) и, следовательно, образовать C*-алгебру A(B) из ограниченных локальных наблюдаемых, связанных с областью B. Если начать с лагранжиана L(φ), инвариантного относительно группы Пуанкаре, можно было бы ожидать, что наша C*-алгебра локальных наблюдаемых будет удовлетворять аксиомам Хаага–Кастлера. Мы получили бы тогда полностью конструктивное определение релятивистской квантовой теории поля.

Программа построения P-инвариантной квантовой теории поля с помощью фейнмановских интегралов может быть действительно проведена, когда L – квадратичная функция от φ и её производных. Тогда «суммированию по путям» в (6) можно придать строгий смысл, как комплексному аналогу интеграла Винера [31] ¹⁰. Теория даёт вполне удовлетворительное описание ансамбля квантово-механических частиц, обладающих свойствами дуализма волны-частицы, как это наблюдается в природе. К сожалению, теряется одно важное свойство реальных частиц. В теории с квадратичным лагранжианом частицы не взаимодействуют. Квадратичный случай представляет математический интерес, но физически тривиален.

Большую работу проделали физики, используя модели лагранжианов вида L = L₀ + L₁, где L₀ – квадратичный лагранжиан, а L₁ – малая неквадратичная добавка. В этих моделях всё можно вычислить по теории возмущений разложением по степеням L₁. В каждом конечном порядке по L₁ фейнмановским интегралам можно придать смысл. Эти модели описывают взаимодействующие частицы и приводят к результатам, хорошо воспроизводящим многие свойства реального мира. Трудно поверить в математическую бессмысленность этих моделей, столь удачных в рамках теории возмущений. Однако все попытки придать им строгое математическое обоснование ни к чему не привели. Благоприятные возможности, открытые для математиков в течение 20 лет, остаются открытыми и по сей день. Они состоят в построении схемы, которая легализовала бы использование фейнмановских интегралов, аналогичных (6), с подходящими неквадратичными лагранжианами. Тот, кто это сделает, создаст первую строгую теорию квантованных релятивистских частиц с локальным взаимодействием в 4-мерном пространстве-времени.

До сих пор я обсуждал фейнмановские интегралы лишь в связи с теориями, инвариантными относительно группы Пуанкаре. Но, в отличие от аксиом Хаага–Кастлера, фейнмановские интегралы определяются независимо от группы Пуанкаре. В частности, выбрав в качестве лагранжиана скалярную плотность, формально инвариантную относительно произвольных координатных преобразований, мы должны получить с помощью фейнмановских интегралов E-инвариантную квантовую теорию поля. Приходится признать, что E-инвариантные лагранжианы, вроде лагранжиана эйнштейновской теории тяготения, непривычны и патологичны во многих отношениях. Может оказаться, что даже если будет найден способ строгого определения фейнмановских интегралов в нетривиальных P-инвариантных теориях, E-инвариантные интегралы не поддадутся интерпретации. Поэтому я выделяю в качестве отдельной задачи для математиков, попытаться получить строгое определение фейнмановских интегралов, инвариантных относительно общих координатных преобразований. Удачное решение этой проблемы убило бы сразу двух зайцев: было бы показано существование нетривиальной реализации аксиом квантовой теории поля и совместимость этих аксиом с принципами общей теории относительности.

8. Заключение. Существует несколько других открытых возможностей, заслуживающих более подробного обсуждения при большем запасе времени. Вот одна из них: включить минимаксную теорему фон Неймана [34] в экономике в последовательную аналитическую структуру так же, как Гильберт включил классическую задачу на собственные значения в общую теорию линейных операторов. Другая возможность открывается в вопросе о резонансах в теории планетных орбит; это было предметом гиббсовских лекций 44 года тому назад [35].

Понимание условий существования и устойчивости резонансов – проблема ньютоновской механики со времён Лапласа. Несмотря на героические усилия таких математиков, как Пуанкаре и Юрген Мозер, существование резонансов остаётся загадочным. Численный анализ [36] недавно показал устойчивый резонанс между планетами Нептун и Плутон; это явилось полной неожиданностью для теоретиков.

Несомненно, есть ещё много неиспользуемых возможностей создания новых разделов чистой математики, исходя из старых задач прикладных наук. Но, я думаю, сказанного достаточно, чтобы оценить зерно истины в словах Адамара [37], которыми я начал эту лекцию. Сам Адамар, кстати, поступал согласно своей проповеди.

Примечание при корректуре ¹¹. Несколько человек, прослушавших эту лекцию, сообщили, что τ-функция не такая уж тихая заводь, как я предполагал: τ-функции появляются в современном контексте у Берча [38] и П. Делиня [39].

Новый подход к проблеме определения фейнмановских интегралов в общей теории относительности предложен Фаддеевым [40].

С момента появления лекции Дайсона прошло более шести лет. Некоторые из последних достижений математиков и физиков во многом обязаны их более тесным контактам. Цель этого приложения – кратко осветить некоторые из полученных результатов. Но вначале коснемся современного состояния одной проблемы, затронутой Дайсоном.

I. Модулярные формы и алгебры Ли. Изучение свойств τ-функции Харди назвал «тихой заводью математики». В настоящее время изучение модулярных форм и их преобразований Меллина (в частности, τ(n)-функции) находится в центре внимания математиков многих специальностей благодаря открывшимся новым связям с алгебраической геометрией, теорией представлений и теорией L-функций алгебраических многообразий. Так, весьма общую формулу для коэффициентов модулярных форм, включая τ-функцию, получил Ю. И. Манин [41].

Полное представление о современном состоянии предмета можно получить из шести выпусков лекций по модулярным формам [42] и обзора [43]. Один из наиболее ярких результатов – доказательство Делинем ¹² гипотезы Рамануджана о точной оценке коэффициентов Фурье модулярной параболической формы веса 12 [39].

Гипотеза Рамануджана. Рассмотрим параболическую форму Δ(z)

	∞		∞
(2π)–12Δ(z) = x	∏	(1 – xn)24 =	∑	τn xn,     x = exp(2πiz).
	n=1		n=1

Тогда | τ_p | ≤ 2p^11/2 для всех простых p.

Перейдём теперь к тождествам для степеней η-функции Дедекинда. В работе Макдональда [3] формулы для степеней η(x)-функций были получены с помощью следующей конструкции.

Рассмотрим тождество Г. Вейля для полупростой алгебры Ли:

∑ ε(ω)e–s(ω) = ∏ (1 – e–α). ωÎW(R) α>0

(8)

Здесь R – приведённая система корней α в вещественном векторном пространстве V, dim V = rang P = l, W(R) – группа Вейля системы R, ε(ω) – определитель элемента ω, ωÎW(R), ε(ω) = ±1, s(ω) – сумма положительных корней α таких, что ω^–1α < 0.

Макдональд показал, что аналогом формулы (8) для аффинной системы корней S (определение см. в [3]) будет следующее тождество:

m ∑ ε(ω)e–s(ω) = P(X) ∏ (1 – e–α),     X =  ∏  exp(–ni αi ), ωÎW(S) α>0 i=0

(9)

α_i (i = 1, ..., m) – положительные аффинные корни, обращающиеся в нуль на стенках фиксированной камеры Вейля, n_i – целые положительные взаимно простые числа. Для аффинной системы корней на V

	∞
P(X) =	∏	(1 – Xn)m.
	n=1

Из формулы (9) можно получить выражение в виде степенного ряда для η^d(x), где d = dim P.

Точную формулу в простейшем случае алгебры Ли группы SU(2) (схема корней A₁) см. в [3]. Из формулы (9) вытекает классическое тождество Якоби для θ-функции:

∞ ∞ ∏ (1 – Xn)(1 – Xneα )(1 – Xn–1e–α ) =  ∑ (–1)m Xm(m–1)/2 e–mα. n=1 m=1

(10)

В работе Макдональда оставалось неясным происхождение дополнительных множителей P(X). Как показано в работе [44], формула Макдональда (9) получается из тождества Вейля для бесконечномерной контраградиентной алгебры конечного роста P(A). При этом множители P(X) соответствуют мнимым корням этой алгебры.

Новые тождества для η(x)-функций удалось получить, обобщив тождество Макдональда (9) на супералгебры Ли [44]. Определение супералгебр Ли будет дано в следующем параграфе. В настоящее время обнаружено много других интересных связей между теорией модулярных форм, алгебрами и супералгебрами Ли (см. литературу, приведённую в [44]).

Более тщательное изучение работы Макдональда показывает, что тождество для 26-й степени η(x) не столь уж загадочно. Оно связано с исключительной группой F₄ (dim F₄ = 52), а также с тем фактом, что пространство дуальных корней F₄^V не совпадает с пространством корней F₄. Отсюда вытекают два различных тождества, связанных с алгеброй F₄, – одно для η⁵²(x), а другое для η²⁶(x). Аналогичная ситуация у алгебры G₂ (dim G₂ = 14) – существуют тождества для η¹⁴(x) и η⁷(x); при этом тождества для η²⁶(x) и η⁷(x) значительно сложнее.

II. Суперсимметрии. Прекрасной иллюстрацией к словам Вигнера «о непостижимой эффективности математики в физике» может служить история возникновения теории суперсимметрий.

В физике суперсимметрии возникли в связи с попыткой рассмотрения симметрий, которые бы объединяли частицы с различной статистикой: бозоны – частицы с целым спином и фермионы – частицы с полуцелым спином. Обычные симметрии пространства-времени (связанные с группой Пуанкаре и изотопические симметрии) сохраняют спин и поэтому не обладают такими свойствами.

Физики нашли решение этой задачи, используя несколько различных подходов. Один из них [45] связан со спинорным расширением группы Пуанкаре. Метод, предложенный в работе [46], есть обобщение «суперкалибровочного» преобразования в дуальных моделях. См. также обзоры [47], [48].

В математике суперсимметрии существуют давно. Супералгебры – не что иное, как Z₂-градуированные алгебры, снабжённые дополнительной структурой-коммутатором Якоби. Эта операция согласована с градуировкой. Они давно возникали в теории деформаций и топологии (алгебры Хопфа). В связи с математическими вопросами метода вторичного квантования супералгебры Ли подробно рассмотрены в статье [49].

Другие примеры супералгебр можно найти в [47].

Интересная задача – дать классификацию супералгебр Ли; для физических приложений важен случай, когда чётная часть включает группу Пуанкаре. Наиболее полные результаты получены при классификации полупростых алгебр Ли; чётная часть – полупростая алгебра Ли.

В [50] была дана полная классификация полупростых супералгебр Ли. Она сводится к классификации простых супералгебр Ли, но помимо серий, соответствующих обычной картановской классификации, существует несколько «странных» серий и алгебр, не имеющих классических аналогов.

С точки зрения физических приложений теорию суперсимметрий характеризуют три особенности.

1. Достоинство. Модели с суперсимметрическими лагранжианами обладают свойством «сверхперенормируемости», т.е. число перенормировочных констант, необходимых для устранения расходимостей, значительно меньше, чем в обычных теориях [48].
2. Трудности. Из основных свойств теории поля следует, что частицы, соответствующие одному представлению, находящиеся в одном мультиплете, должны иметь одинаковую массу. В то же время известно, что бозоны и фермионы сильно различаются по массе; поэтому необходимо построить модель, вводящую расщепление по массе, например, с помощью механизма нарушения симметрии [48].
3. Надежды. Наибольшие надежды связаны с попыткой объединить суперсимметрии с калибровочными теориями поля. Активно обсуждается возможность построения теории супергравитации – суперсимметрического обобщения теории Эйнштейна [51].

III. Поля Янга–Миллса. В 1954 г. Янгом и Миллсом была введена теория калибровочного поля с неабелевой группой симметрии SU(2). Поля Янга–Миллса стали фундаментом для построения двух различных теорий: теории сильных взаимодействий и теории слабых и электромагнитных взаимодействий.

Напомним, что к сильно взаимодействующим относятся барионы (например, нейтроны, протоны, сигма-частицы, новые частицы J/ψ и мезоны), а к слабо взаимодействующим – лептоны (электрон, нейтрино). Поля Янга–Миллса оказались существенными для описания обеих теорий. Слабые взаимодействия включают взаимодействия лептонных полей и калибровочных полей – аналогов электромагнитного поля. Более точно, существует единая теория слабого и электромагнитного взаимодействия, включающая хорошо известную квантовую электродинамику. Особенностью этой теории является очень интересный механизм нарушения симметрии лагранжиана [52]. Мы вынуждены ограничиться лишь эскизным описанием математических достижений. Они в основном связаны с попыткой построения теории сильно взаимодействующих частиц. Для построения теории используются уравнения чисто калибровочного янг–миллсовского поля с компактной калибровочной группой G. Особо интересны частные случаи G = SU(2), SU(3). Для определённости выпишем лагранжиан Янга–Миллса для калибровочной группы SU(2).

Лагранжиан L имеет вид:

где F_μν = ∂_μ A_ν – ∂_ν A_μ + [A_μ , A_ν ], A_μ = A_μ^aτ_a, τ_a – матрицы Паули; уравнение движения:

Для перехода к произвольной группе в уравнении (12) вместо базиса τ_a выбирается базис в присоединённом представлении группы G. С геометрической точки зрения поле Янга–Миллса есть аффинная связность на векторном расслоении. База – четырёхмерное пространство-время M⁴, G – структурная группа расслоения, поле F_μν – тензор кривизны связности A_μ. Во многих расчётах оказывается полезным перейти от пространства Минковского M⁴ к евклидову пространству R⁴ (поворот Вика t → it).

Одна из первостепенных задач теории – решение уравнения (12) – представляется исключительно сложной. Усилиями многих математиков и физиков были найдены некоторые классы решений уравнений (12).

Инстантоны.

В работе [53] были найдены решения уравнения (12) в R⁴ со следующими свойствами.

1. Решения имеют конечное действие S.

2. F_μν → 0 при | x | → ∞.

3. Сохраняет величину

4. q = 1.

Здесь F*^μν = ½ε_μνλδF_λδ (на формах это обычная операция *), F* – дуальная форма.

Можно показать, что выполняется неравенство

которое переходит в равенство при

Решение, найденное в [53], удовлетворяет уравнению (15).

Поясним смысл решений (13).

Условие 1-конечности «квазиэнергии» (напомним, что мы рассматриваем евклидову теорию) естественно для существования любой псевдочастицы.

Поля A_μ(x), учитывая асимптотические свойства 2, задают отображение пространства S ³ в калибровочную группу SU(2) = S ³, при этом поля, эквивалентные относительно калибровочного преобразования, принадлежат одному гомотопическому классу. Таким образом, возникает гомотопическая группа π₃(SU(2)) = Z, элементы которой можно представлять первым характеристическим классом Понтрягина p₁ = q.

Решения уравнения (15) и уравнения антидуальности (F_μν = –F*_μν ) обладают нулевым «тензором энергии импульса».

Решения такого типа можно представить как переходы между различными топологическими вакуумами. Голландский физик Хоофт назвал соответствующие «псевдочастицы» инстантонами.

В последнее время были найдены решения уравнения (15) с произвольным значением топологического заряда q. Хороший обзор, содержащий все важнейшие ссылки – [54], физические приложения см. в [55] и [56].

Совсем недавно Атья и Уорд обнаружили, что нахождение решений уравнения дуальности можно свести к следующей алгебро-геометрической задаче [57].

Рассмотрим трёхмерное комплексное проективное пространство CP ³. Используя асимптотические условия и конформность теории, можно рассматривать янг–миллсовские поля как расслоения над сферой S ⁴. Основным результатом работы [57] является следующее соответствие.

Существует взаимно однозначное соответствие между а) самодуальными решениями уравнения Янга–Миллса с группой SU(2) на S ⁴ и б) классами двумерных алгебраических расслоений E над CP ³, удовлетворяющих следующим условиям 1 и 2.

1. На E существует симплектическая структура.
2. Ограничение E на каждую действительную прямую в CP ³ тривиально.

На этом пути можно получить явное описание q-инстантонных решений. Конструкция, сводящая задачу к линейной алгебре, принадлежит В. Г. Дринфельду, Ю. И. Манину, М. Атье и Н. Хитчину [57]-[60]. В этих работах рассмотрены уравнения дуальности с произвольной компактной классической группой. Развивая эту технику, в работах [61], [62] была решена задача о классификации алгебраических расслоений над CP ^N.

Недавняя работа Виттена позволяет надеяться, что на этом пути может быть решено полное уравнение Янга–Миллса [63]. Он сводит классификацию решений уравнения Янга–Миллса к классификации расслоений над прямым произведением CP ³×CP ³, грубо говоря, строя некоторую комбинацию из решения уравнения дуальности и антидуальности. Здесь возникает ряд интереснейших вопросов. Например, построение явных решений в духе работ [57]-[60]. Построение вложения пространства Минковского в комплексное четырёхмерное пространство связано с твисторным преобразованием Пенроуза, являющимся простейшим суперсимметрическим преобразованием конформной группы. Этот вопрос тесно связан с суперсимметрическим обобщением теории Янга–Миллса.

В теории калибровочных полей остаётся много нерешённых фундаментальных проблем, интересных для математиков.

Одна из них, о которой пишет Дайсон, связана с обоснованием фейнмановского метода интегрирования. Эта задача трудна даже в случае нерелятивистской квантовой механики. Для широкого класса потенциалов V(x) (потенциалы V(x), представимые в виде преобразования Фурье комплексной меры) фейнмановский интеграл строго обоснован в работах Альбеверио и Хоэг-Крона [64].

Особенно важна задача обоснования метода континуального интегрирования в теории калибровочных полей, где единственный известный способ квантования – континуальный интеграл. Здесь существует ряд интересных проблем, связанных с нетривиальной топологией функционального пространства полей Янга–Миллса [54], [65]-[67].

Решение классического уравнения Янга–Миллса оказалось тесно связанным с другим интересным направлением современной «физической» математики – теорией нелинейных интегрируемых систем [69], [71], [73]. В частности, методом обратной задачи рассеяния были найдены q-инстантонные решения уравнения дуальности [68].

Нелинейным интегрируемым системам, включающим классическое уравнение Кортевега–де Фриза u_t + uu_x + u_xxx = 0 [70], посвящено несколько подробных обзоров, к которым мы и отсылаем читателя [71]-[76]. В частности, в обзорах [71], [72], [75] подробно обсуждается связь теории нелинейных интегрируемых систем с алгебраической геометрией.

IV. Заключительные замечания. Все рассмотренные примеры обладали одной особенностью – несомненной пользой для математиков от общения с физиками, причём в тех разделах, о которых такой патриот чистой математики, как Ж. Дьёдонне, сказал: «Даже если бы математика насильно была отрезана от всех прочих каналов человеческой деятельности, в ней достало бы на столетия пищи для размышления...» [77].

Подобное общение оказалось полезным и физикам. Я упомяну лишь несколько «деловых» разделов физики, где применение нестандартных математических методов было плодотворным.

1. Топология в физике твёрдого тела. Методы гомотопической топологии использовались при классификации линейных и точечных дефектов в кристаллах, в частности, при классификации нитевидных и слоистых структур в жидких кристаллах, вихрей в сверхтекучем гелии ³He [78], [79], фаз в ³He [80]. Ранее эти методы применялись в теории элементарных частиц (монополи Хоофта–Полякова) [81].

Интересно отметить, что первая физическая работа, где упоминаются гомотопические группы, появилась в 1959 г. – это статья Д. Финкельштейна и Ч. Мизнера по исследованию глобальной структуры пространства-времени [82], но следующие реальные применения возникли лишь через 15 лет. Ещё один пример упущенных возможностей для коллекции Дайсона.

2. Приложения теории многомерных динамических систем к исследованию сингулярностей в уравнениях Эйнштейна и колебательных режимов в газовой динамике, развитых О. И. Богоявленским и С. П. Новиковым [83].

Число примеров можно умножить.

Появление этой работы во многом обязано Ю. И. Манину. Чрезвычайно важными были его советы и предложения по переводу и приложению.

Я благодарен В. И. Арнольду, С. П. Новикову и Л. Д. Фаддееву, ознакомившимся с рукописью и сделавшим важные знамечания.