ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО ИНДИЙСКОГО МАТЕМАТИКА С. РАМАНУДЖАНА

В. И. Левин

• Предисловие.
• Период жизни Рамануджана от рождения до пятого класса школы.
• Знакомство с книгой Карра.
• Вопрос о религиозности Рамануджана.
• Окончание школы, записные книжки Рамануджана, знакомство с Рамачандра Рао.
• Первые публикации Рамануджана, письмо к Харди.
• Последующая переписка с Харди, отъезд в Англию.
• Кембриджский период жизни Рамануджана.
• Болезнь, возвращение в Индию, последнее письмо к Харди, смерть Рамануджана.
• Математическая литература, доступная Рамануджану в Индии.
• Краткий обзор результатов Рамануджана.
  1. Приближённые формулы для функции π(x).
  2. Задача подсчёта целочисленных точек в треугольнике.
  3. Результаты, связанные с функцией числа разбиений p(n).
• Работа с Харди по нахождению точной формулы для p(n).
• Некоторые формулы Рамануджана.
  4. Формулы, содержащие цепные дроби.
  5. Ряды.
  6. Интегралы.
  7. Задачи, опубликованные в Journal of the Indian Mathematical Society.
• Послесловие.
• Литература.

Немногим более 40 лет назад на 33-м году оборвалась жизнь Рамануджана – одного из замечательнейших математиков современности, который по силе своего таланта и трагичности своей судьбы может быть поставлен в один ряд с Эваристом Галуа и Нильсом Хенриком Абелем.

Сриниваса Рамануджан Айенгар был первым из индийских математиков современности, получивших известность за пределами своей страны.

Сейчас в республике Индия работает много известных математиков, быстро восстанавливающих в области точных наук былую славу древней индийской культуры.

Но в то время, когда Рамануджан учился и начинал свой творческий путь, в угнетённой тяжким колониальным гнётом Индии не было национальной математической школы. Более того, в Индии начала XX в. негде было получить подготовку к научной деятельности на уровне, соответствующем состоянию тогдашней европейской математики.

Изучение работ Рамануджана представляет большой интерес для любого математика в силу редкой самобытности его результатов и методов и исключительной виртуозности владения аналитическим аппаратом, значительную часть которого Рамануджану пришлось изобретать самому. В свете полученных им результатов особенно поразительным является тот факт, что до последних лет своей жизни он даже не подозревал о существовании теории аналитических функций с её мощнейшим аппаратом. Один из крупнейших английских математиков Годфри Гарольд Харди (1877–1947), которому Рамануджан обязан, как мы увидим, весьма многим, писал, что сила Рамануджана как аналитика особенно ярко проявляется в том, что он работал, не зная теоремы Коши и теоремы о вычетах, причём совершенно не ощущал необходимости в этих теоремах при вычислении интегралов и суммировании рядов.

Основная сила Рамануджана состояла в исключительной глубине аналитической интуиции, умении, граничившем с волшебством, поставить и обобщить математический эксперимент и совершенно виртуозном владении формальными выкладками. Рамануджана можно назвать математическим Паганини с той лишь оговоркой, что Паганини с детства заставляли до изнеможения упражняться в игре на скрипке, тогда как никто никогда не требовал от Рамануджана, чтобы он занимался математикой. Более того, Рамануджан до 27 лет вообще не общался ни с кем, кто мог бы руководить его первыми научными исследованиями и оценить их значение.

По мнению Харди, Рамануджан занял бы одно из самых первых мест в истории математики, если бы он родился не в конце XIX в. в захолустном селении южной Индии, а на 100–150 лет раньше в одной из развитых европейских стран.

Это сказано, правда, не совсем удачно. Для расцвета дарования Рамануджана не обязательно было родиться в эпоху господства идей и методов формально-аналитического направления Эйлера–Якоби. Его аналитический гений мог бы ярко раскрыться и в XX в. в освобождённой Индии. Если бы Рамануджан получил нормальное математическое образование, то он и в современных условиях несомненно обогатил бы науку многими результатами высшего класса.

С. Рамануджан (1887–1920)

1. Рамануджан родился 22 декабря 1887 г. в селении Эрод на юге Индии. Его родители принадлежали к привилегированной касте браминов, но жили бедно и ничем не отличались от окружавших их мелких служащих, торговцев и крестьян. Отец Рамануджана был бухгалтером в маленькой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасской провинции. Имеются сведения о том, что мать Рамануджана была незаурядной волевой женщиной; однако она находилась в плену узких кастовых и религиозных предрассудков и её влияние на столь одарённого сына с точки зрения его научного развития нельзя признать благотворным.

Рамануджан воспитывался в атмосфере легко понятной враждебности ко всему европейскому и в особенности к английскому, причём в окружавшей его среде протест против колониального гнета выражался в строгом соблюдении национальных обычаев, старого уклада жизни и в ограничении традиционной браминской системой воспитания и образования. Естественно, что в отношении математического развития это ставило юного Рамануджана в очень тяжёлые условия, наложившие сильный отпечаток на всю его научную карьеру. Следует также отметить, что британская администрация со своей стороны не прилагала особых усилий к выявлению народных талантов ни в какой области науки и искусства. Таким образом, самобытный гений Рамануджана в течение большей части его короткой жизни оставался предоставленным самому себе.

Когда ему шел пятый год, Рамануджан, как и все мальчики-брамины, был отдан в двухлетнюю школу, по окончании которой он поступил в начальную школу при городской средней школе Кумбаконама, где протекала вся его дальнейшая школьная жизнь. В 1897 г. он окончил начальную школу и занял первое место по результатам стипендиальных экзаменов в районном центре Танджоре, что дало ему право дальнейшего обучения в средней школе за половинную плату. Примерно к этому же времени относятся первые воспоминания о нём его сверстников и старших товарищей. В этих воспоминаниях он рисуется как тихий задумчивый мальчик, редко участвующий в играх и шалостях своих одноклассников.

Воспитанный в мистических традициях брахманизма, Рамануджан уже во втором классе средней школы (что соответствует примерно пятому классу нашей школы) задавал старшим товарищам и учителям вопрос о «высшей истине» в математике, так как привык считать, что в каждой области человеческой деятельности существует некая мистическая «высшая истина», первоначало вещей, управляющая данной областью и содержащая в себе всё, что может быть в ней известно. Говорят, что в ответ он получал указания на теорему Пифагора, или на проценты и учёт векселей.

Уже в четвёртом классе средней школы Рамануджан самостоятельно изучил полный курс тригонометрии по двухтомному руководству Лони (Loney), которое он одолжил у знакомого студента Мадрасского университета. Этот студент, как рассказывают, был поражён знаниями школьника по тригонометрии и часто обращался к Рамануджану за помощью в решении задач. В пятом классе Рамануджан самостоятельно открыл формулы Эйлера, выражающие синус и косинус через показательную функцию мнимого аргумента, но, узнав, что они уже известны, спрятал свои записи на чердаке дома. Это было его первое столкновение с западной математикой, из которого он понял, что учебник Лони содержит далеко не все известные математические факты. Однако бедность кумбаконамской библиотеки и плохое знание английского языка сильно затрудняли математическое развитие молодого Рамануджана.

2. Только в 1903 г., когда Рамануджан был в шестом классе, ему удалось при помощи одного знакомого получить единственную книгу по высшей математике, имевшуюся в Кумбаконаме. Это была книга Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики» ¹, изданная в двух томах в Лондоне в 1880–1886 гг. Книга Карра содержит 6165 теорем и формул, большинство которых приводится без доказательств и выводов; конспективные доказательства намечены только для небольшого числа важнейших теорем. Благодаря связи с именем Рамануджана эта книга, подобная тысяче других книг, была впоследствии подвергнута тщательному анализу. Шубридж Карр окончил Кембриджский университет и подвизался в Лондоне в качестве частного преподавателя математики. Он издал свой сборник в помощь своим ученикам-студентам. По отзыву Харди, книга Карра, которую нельзя назвать выдающейся, всё же имела несомненные достоинства, и прежде всего систематичность подбора теорем и корректность их формулировок. Наряду с главами, посвящёнными элементарной алгебре, тригонометрии и аналитической геометрии, она содержала также главы по дифференциальному и интегральному исчислению, причём формальная сторона интегрального исчисления – в соответствии, по-видимому, с личными вкусами автора – была непропорционально подробно изложена и доведена до весьма сложных формул. Харди ([1], стр.2-3, см. также [2], стр.138) писал: «...Рамануджан сделал эту книгу знаменитой, и нет никакого сомнения в том, что она глубоко повлияла на него и явилась отправным пунктом его карьеры. Такая книга должна была иметь некоторые достоинства; и действительно, книга Карра... не является просто третьесортным учебником, а представляет собой книгу, написанную со знанием дела и с любовью к предмету...». Несколькими строками ниже Харди дал следующую заключительную оценку книги Карра: «В целом, если рассматривать её как пособие для мальчика с таким дарованием, книга Карра совсем не плоха, и восприятие Рамануджаном материала было изумительным».

В составленном Харди в 1921 г. некрологе [4] (или [6], стр.XX-XXXVI) цитируется следующая выдержка из письма одного школьного товарища Рамануджана: «Он (Рамануджан) брал книгу Карра из библиотеки колледжа и с удовольствием выводил содержащиеся в ней формулы... Уже тогда он рассказывал товарищам о своих математических открытиях... Он обладал исключительной памятью и с легкостью цитировал полный список санскритских корней (atmanepada и parasmepada); он знал громадное число знаков в разложениях √2, π, e и других чисел в десятичные дроби...».

В краткой (и единственной по сей день) биографии Рамануджана, принадлежащей преподавателю (а впоследствии директору) Кумбаконамского колледжа Сешу Айару и высокому правительственному чиновнику Мадрасской провинции Рамачандра Рао ², этот важный период жизни Рамануджана описывается так ([6], стр.XII): «Перед Рамануджаном открылся новый мир, по которому он бродил в восхищении. Книга Карра по-настоящему пробудила дремавшие в нём силы. Он с жадностью принялся за вывод приведенных в ней формул и доказательства теорем. Так как он при этом не мог пользоваться никакими другими книгами, то каждое найденное им доказательство являлось для него самостоятельным исследованием. Сначала он обратился к методам построения магических квадратов. Затем его внимание привлекла к себе геометрия; пытаясь решить задачу о квадратуре круга, он нашёл исключительно хорошую приближённую формулу для длины окружности, по которой длина земного экватора может быть вычислена с точностью до нескольких футов (1-2 метров) ³. Вскоре он разочаровался в геометрии и, занявшись алгеброй, открыл несколько новых рядов. Рамануджан любил говорить, что формулы ему внушает во сне богиня Намаккаль. Интересно отметить, что он действительно часто, вставая по утрам с кровати, тут же записывал готовые формулы, после чего быстро проверял их; впрочем, строгие доказательства не всегда ему удавались. Все эти результаты он заносил в записную книжку, которую имел обыкновение показывать математикам, интересовавшимся его работой».

По поводу этого свидетельства индийских биографов Рамануджана Харди ([1], стр.4, а также [2] стр.139) писал: «Я умышленно процитировал эти последние фразы, но не потому, что придаю им большое значение – я так же мало заинтересован в богине Намаккаль, как и Вы, – а потому, что мы теперь подходим к тяжелой и трагической части карьеры Рамануджана, и должны, насколько это нам возможно, попытаться понять его психологию и уяснить себе окружавшую его атмосферу».

3. Сешу Айар и Рамачандра Рао знали молодого Рамануджана лично и располагали многими местными сведениями от людей, общавшихся с Рамануджаном. Поэтому их рассказ о нём содержит много ценного фактического материала, но он окрашен их собственными этико-философскими воззрениями и симпатиями к религиозным учениям индуизма. С другой стороны, с 1914 по 1919 г. Харди почти ежедневно встречался с Рамануджаном и беседовал с ним на всевозможные темы. В первой главе своих лекций о Рамануджане Харди [1] (см. также [2]) кратко касается основных этапов жизни Рамануджана и даёт свою оценку Рамануджану как человеку. При этом Харди иногда резко расходится с Сешу Айаром и Рамачандра Рао, в частности по вопросу о религиозности Рамануджана. Харди не утверждает, что Рамануджан был убеждённым атеистом, но цитирует высказывания самого Рамануджана, свидетельствующие о его равнодушии к вопросам религии; однако Рамануджан соблюдал многочисленные условности индуистского ритуала, чтобы не огорчить своих религиозных родных и друзей. В частности, он был всю жизнь вегетарианцем, и даже в последние два года своей жизни, когда вегетарианская диета тяжело сказывалась на его здоровье (он умер от туберкулёза), не отказался от неё.

4. Шестой класс был последним классом средней школы. В 16 лет Рамануджан по окончании школы выдержал приёмные испытания в Мадрасский университет и в январе 1904 г. приступил к занятиям на первом курсе Кумбаконамского колледжа, входившего в состав Мадрасского университета. За свои первые успехи он получил специальную стипендию, предназначавшуюся для особо успевающих по английскому языку и математике. Однако вскоре его учебные дела в колледже пошли всё хуже и хуже, так как он отдавал всё время собственным математическим исследованиям, результаты которых он регулярно заносил в свои, ставшие впоследствии знаменитыми, записные книжки (они были полностью изданы в Индии только в 1957 г.; см. [5]). Он перестал выполнять задания, пропускал много занятий и в конце концов был оставлен на первом курсе. В жизни Рамануджана началась полоса неудач, длившаяся почти 10 лет. В течение 1905 г. он бродил по центральной Индии в районах, лежащих к северу от его родных мест, затем вернулся в Кумбаконам, пытался продолжить учёбу в колледже, но не был допущен к занятиям, уехал в Мадрас, поступил там в 1906 г. в университет, но заболел и вновь вернулся домой в Кумбаконам. В 1907 г. он сделал попытку сдать экзамены за первые два курса университета экстерном, но провалился. После этого до 1909 г. он не имел определённых занятий, если не считать того, что всё это время он неустанно занимался математикой, исписывая всё новые и новые страницы своих записных книжек. В 1909 г. Рамануджан женился и начал поиски работы. В 1910 г. он обратился по поводу своего устройства к индийскому математику Рамасвами Айару, основателю Индийского математического общества. Рамасвами Айар, просмотрев записные книжки Рамануджана, убедился в том, что имеет дело с человеком необычных способностей, хотя всей силы таланта Рамануджана он никак не подозревал. Он направил Рамануджана к Сешу Айару, который тогда был преподавателем Кумбаконамского колледжа и знал Рамануджана ещё как студента. Сешу Айар устроил Рамануджана на временную работу, но через несколько месяцев Рамануджан вновь остался без работы. Наконец, в декабре 1910 г. Рамануджану немного улыбнулось счастье: он был представлен влиятельному сановнику Рамачандра Рао, который сыграл важную роль в жизни Рамануджана. Однако улучшение положения Рамануджана заставило себя ждать еще три года, когда Рамануджану был, наконец, подсказан самый важный шаг в его жизни: письмо к Харди в Кембридж.

Рамачандра Рао был математиком только в том смысле, что имел университетское математическое образование; его административная деятельность не давала ему возможности творчески заниматься математикой. Но он был первым, кто распознал математический гений Рамануджана и, не задумываясь, употребил всё свое влияние для облегчения жизни и обеспечения научной карьеры Рамануджана. Небезынтересно привести его собственное описание первой встречи с Рамануджаном ([6], стр.XIII-XIV). «Несколько лет тому назад мой племянник, совершенно не знакомый с математикой, обратился ко мне со словами: «Дядя, у меня был посетитель, говоривший что-то о математике; я его не понял; может быть, Вы выслушаете его и установите, есть ли какой-нибудь смысл в том, что он говорит?» И вот, в самодовольном сознании своей математической мудрости, я разрешил Рамануджану предстать передо мной.. В комнату вошел юноша, довольно полный, низкого роста, небритый и в несколько растерзанном виде, держа в руке потрёпанную записную книжку; во всём его облике замечательными были только глаза – казалось, что они светились. Он был невыразимо беден. Он убежал из Кумбаконама в Мадрас, чтобы найти досуг для занятий математикой. Он ничего другого не хотел, не искал ни признания, ни почестей. Он искал досуга, т. е. просил, чтобы его обеспечили простейшей пищей без затраты сил с его стороны, чтобы он мог продолжать свои мечтания. Он открыл свою записную книжку и начал объяснять некоторые свои открытия. Я сразу же увидел, что имею дело с чем-то необычным; я недостаточно много знал, чтобы понять его. Я попросил его прийти еще раз, и он пришёл. Во второй раз он понял, что я мало знаю, и показал мне несколько более простых результатов. Но и эти результаты далеко выходили за пределы известных мне книг, и я уже не сомневался в том, что он – замечательный математик. Потом, шаг за шагом, он рассказал мне про эллиптические интегралы и гипергеометрические ряды и, наконец, посвятил меня в свою теорию расходящихся рядов, которая ещё не была объявлена миру ⁴. Я был покорён и спросил его, что же он хочет от меня. Он ответил, что он просит немного денег, чтобы существовать и заниматься своими исследованиями».

Рамачандра Рао сначала помогал Рамануджану из личных средств, а затем, видя, что Рамануджан тяготится таким положением, устроил его на работу в управление почт Мадраса с окладом 30 рупий в месяц. В почтовом ведомстве он работал с февраля 1912 г. по май 1913 г., когда его судьба, наконец, окончательно определилась благодаря вмешательству Харди.

5. В 1911 г. в «Журнале Индийского математического общества» ⁵ появились в печати первые задачи Рамануджана, сообщённые Сешу Айаром. Первая собственная статья Рамануджана появилась несколько позже в том же году [6]. К 1912 г. установилась репутация Рамануджана как математика, во всяком случае на его родине. О нём знали уже некоторые работавшие в Индии англичане, в частности профессор Мадрасского высшего технического училища Гриффитс и директор Мадрасского почтового ведомства сэр Фрэнсис Спринг. Однако при рассмотрении этого периода жизни Рамануджана всё же создается впечатление, что окружавшие его люди при всём хорошем отношении к нему по-прежнему не имели представления о правильной подготовке Рамануджана к научной работе в области математики и считали, что для него сделано всё, на что он имел право рассчитывать.

К началу 1913 г. близкие к Рамануджану индийские математики настойчиво рекомендовали ему вынести свои результаты из записных книжек на более компетентный и строгий суд: послать их в центр математической мысли Британской империи – Кембриджский университет.

До начала XX в. Кембриджский университет не принадлежал к числу крупнейших мировых математических центров. Но в начале XX в. молодые математики Харди и Литлвуд подняли уровень математических исследований и математического образования в Кембридже. Благодаря своей энергии и исключительной научной продуктивности, Харди уже в молодые годы стал известным учёным, возглавившим крупную математическую школу. Харди был всего на 10 лет старше Рамануджана, но он имел возможность приобщиться ко всей тысячелетней мировой математической культуре, тогда как Рамануджан имел в своём распоряжении только пару старых элементарных учебников и могучий математический гений.

Своё первое письмо к Харди Рамануджан написал 16 января 1913 г. Вот это замечательное письмо (см.[6] стр.XXIII или [4]):

Дорогой сэр,

разрешите мне сказать о себе, что я – чиновник бухгалтерии Мадрасского управления почт с окладом всего лишь в 20 фунтов стерлингов в год. Мне сейчас около 23 лет. Я не имею университетского образования, но я закончил школу. После окончания школы я всё своё свободное время занимался математикой. Я не следовал регулярной системе обучения, по которой занимаются в университетах, а избрал свою дорогу. Особенно усердно я занимался расходящимися рядами, и результаты, которые я получил, местные математики называют «поразительными». Так же как в элементарной математике мы придаём степени aⁿ при отрицательном и дробном показателе n такое значение, чтобы оставались в силе все законы, справедливые при целом положительном n, мои исследования были устремлены к тому, чтобы придать смысл эйлерову интегралу второго рода для всех значений n. Мои друзья, окончившие университет, говорят мне, что

∞
∫	xn – 1e–xdx = Γ(n)
0

справедливо только для положительных n. Они утверждают, что это интегральное соотношение неверно, когда n отрицательно. Предполагая, что оно верно для положительных n, а также, что определяющее равенство nΓ(n) = Γ(n + 1) справедливо всегда, я придаю смысл этим интегралам и утверждаю, что при этих условиях интеграл верен и для всех отрицательных и дробных значений n. На этом основаны все мои исследования, и я развил эти рассуждения до такой степени, что местные математики не в состоянии следовать за мной в моих более высоких полётах. Не так давно мне встретилась Ваша книга «Порядки бесконечности» ⁶, в которой я на стр.36 нашёл утверждение, что до сих пор ещё не найдено определённого выражения для числа простых чисел, меньших данного числа. Я нашёл выражение, которое даёт очень хорошее приближение к истинному результату, так как ошибка ничтожно мала. Я прошу Вас просмотреть прилагаемые материалы. Я беден и не могу сам их опубликовать, но если Вы найдёте среди них что-либо ценное, то прошу Вас это опубликовать. Я не сообщаю Вам ни моих выкладок, ни полученных окончательных выражений, а только намечаю пути, по которым я шёл. Так как я очень неопытен, я буду высоко ценить любой совет, который Вы мне соблаговолите дать. С просьбой извинить меня за доставленные хлопоты, я остаюсь, дорогой сэр, искрение Ваш С. Рамануджан.

Самый текст письма, как видно, весьма наивен как в стилистическом, так и в математическом отношении, но «прилагаемые материалы» поразили Харди. По поводу этого первого и дальнейших писем Рамануджана Харди заметил (см.[6] стр.XXII-XXIII или [4]): «...письма очевидным образом написаны не самим Рамануджаном, а по его просьбе каким-нибудь местным грамотеем, но – что самое важное – математические формулы в них несомненно принадлежали Рамануджану и только ему одному».

От реакции Харди на первое письмо Рамануджана зависела вся дальнейшая судьба последнего. Поэтому приведём свидетельство самого Харди о том впечатлении, которое произвели на него первые письма Рамануджана.

Харди ([1], стр.7-8 или [2], стр.143-144) выделяет в качестве наиболее представительных для раннего творчества Рамануджана следующие 15 результатов из примерно 120, содержавшихся в письмах: ⁷

1 –  3! (1! 2!)3  x2 +  6! (2! 4!)3  x4 – ... = ( 1 +  x (1!)3  +  x2 (2!)3  + ... ) ( 1 –  x (1!)3  +  x2 (2!)3  – ... ) ,

(1)

Если αβ = π², то

∞   ∞ α–1/4 ( 1 + 4α ò xe– αx² e2πx – 1  dx )  = β–1/4 ( 1 + 4β ò xe– βx² e2πx – 1  dx ) .   0   0

(7)

Если

u =

x  1 +

x5 1 +

x10 1 +

x15 1 + ...

,

v =

x1/5 1 +

x  1 +

x2 1 +

x3 1 + ...

то

v5 = u 1 – 2u + 4u2 – 3u3 + u4 1 + 3u + 4u2 + 2u3 + u4 .

(10)

Если

F(t) = 1 +

(

1 2

)

2

t +

(

1·3 2·4

)

2

t2 + ...

и F (1 – k²) = √210 F (k²), то

Коэффициент при xⁿ в (1 – 2x + 2x⁴ – 2x⁹ + ...)^–1 равен целому числу, ближайшему к

1 4n ( ch(π√n) –  sh(π√n) π√n ) .

(14)

Число чисел, заключённых между A и x, которые либо сами являются квадратами, либо представимы в виде суммы двух квадратов, равно

x   K ò dt √ln t  + Θ(x),   A

(15)

где K = 0,764..., а Θ(x) очень малó по сравнению с интегралом.

«Попытайтесь представить себе, – пишет Харди (см.[1], стр.9 или [2], стр.144), – первую реакцию математика-профессионала, получившего такое письмо от неизвестного индийского клерка. Сначала я спросил себя, нет ли среди этих формул знакомых мне результатов. Я сам доказывал нечто аналогичное формуле (7), и формула (8) имела более или менее знакомый вид. Фактически формула (8) оказалась классической; она встречается у Лапласа, но впервые её доказал Якоби; формула (9) также уже известна из работы Роджерса 1907 г. Далее я подумал, что как эксперт в интегральном исчислении смогу без труда доказать такие формулы, как (5) и (6), и действительно доказал их, но с гораздо большим трудом, чем ожидал. Вообще интегральные формулы оказались всё же наименее импонирующими. Я нашёл формулы (1)-(4), содержащие ряды, значительно более интригующими, и вскоре мне стало ясно, что в распоряжении Рамануджана должны были быть какие-то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает. Формула (2) известна из теории полиномов Лежандра и принадлежит Бауэру, но остальные три гораздо глубже, чем они выглядят. Теоремы, нужные для их доказательства, сейчас уже известны; они содержатся в книге Бэйли о гипергеометрических функциях. Формулы (10)-(13) представляют собой результаты совершенно другого класса, и сразу видно, что они трудны и чрезвычайно глубоки. Специалист в теории эллиптических функций сразу обнаружит, что формула (13) должна как-то выводиться при помощи «комплексного умножения», но формулы (10)-(12) поставили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высшего класса. Они должны быть верными, так как если бы они были неверны, то ни у кого не хватило бы воображения их изобрести ⁸. Наконец, я решил для себя (надо помнить, что я в то время ничего не знал о Рамануджане и должен был учитывать все возможности), что автор этого письма является абсолютно честным человеком, так как великие математики встречаются всё же чаще, чем жулики или лжеучёные, обладающие такой математической изобретательностью». Теоретико-числовые утверждения (14) и (15) Рамануджана оказались неверными. По их поводу Харди писал ([1], стр.9 или [2], стр.144-145): «Последние две формулы занимают особое место, потому что они неверны; они показывают пределы интуиции Рамануджана, но это не мешает им быть ещё одним свидетельством его исключительной силы. Функция в формуле (14) является приближённым значением коэффициента, но совсем не столь точным, как это представлял себе Рамануджан; однако это ошибочное утверждение Рамануджана оказалось одним из самых плодотворных его утверждений, так как оно привело нас в конце концов к нашей совместной работе над проблемой «partitio numerorum». Формула (15), наконец, хотя и не содержит фактической ошибки, понималась Рамануджаном неверно ⁹. Интеграл является не лучшей аппроксимацией, чем более простая функция Kx/√ln x...». В другом месте ([6], стр.XXV; см. также [4]) о формуле (15) Харди писал: «Главный член Kx/√ln x был впервые получен Эдмундом Ландау в 1908 г. Рамануджан не располагал тем мощнейшим аппаратом, который применялся Ландау. Рамануджан никогда не видел ни одной французской или немецкой книги, его знания английского языка была столь незначительны, что он не смог даже сдать элементарного экзамена. Достаточно удивительным является уже то, что он вообще мог ставить такие задачи, для решения которых потребовались усилия лучших математиков Европы в течение столетия, и которые по сей день не получили полного разрешения».

6. В завязавшейся между Рамануджаном и Харди переписке перед последним всё больше и больше раскрывался самобытный талант Рамануджана. В одном из последующих писем от 27 февраля 1913 г. Рамануджан писал ([6], стр.XXVII или [4]):

«В Вас я нашёл друга, который с вниманием и пониманием относится к моим трудам. Это является стимулом для меня продолжить мои исследования... Во многих местах Вашего письма я нахожу указания на то, что требуются строгие доказательства, и Вы просите меня сообщить мои методы доказательств... Вот что я хочу Вам сказать: проверьте мои результаты, и если они совпадают с Вашими, то Вы должны по крайней мере согласиться с тем, что в моих основных рассуждениях имеется какое-то зерно истины... Чтобы сохранить мой мозг, мне нужна пища, и это является моей первой заботой. Одного Вашего письма с положительной оценкой моей работы будет достаточно для назначения мне стипендии от университета или от правительства...» В этом же письме мы находим следующее характерное место: «...Я сообщил ему ¹⁰, что по моей теории сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... равна –1/12. Если бы я сообщил этот результат сразу Вам, то Вы указали бы мне на сумасшедший дом как место, где мне надлежит быть...».

Харди подозревал, что Рамануджан не хочет сообщить ему, английскому математику, свои методы и основные формулы. Поэтому он написал Рамануджану, что тот может ему всё сообщить без опасения, что Харди использует его методы. В письме от 17 апреля 1913 г. Рамануджан в ответ пишет ([6], стр.XXIX или [4]): «...Ваше последнее письмо причинило мне боль... Я нисколько не опасаюсь того, что мои методы будут использованы другими. Напротив, я работаю моими методами уже 8 лет и не нашёл никого, кто бы понимал и оценил их. Как я уже писал в моём последнем письме, я нашёл в Вас внимательного и понимающего друга и готов передать в Ваше полное распоряжение те немногие результаты, которыми я располагаю. Только в силу новизны моих методов я не решаюсь даже сейчас сообщить Вам мой путь вывода тех формул, которые я Вам сообщил в моих предыдущих письмах...».

В результате этой переписки Харди предпринял энергичные шаги по обеспечению Рамануджана стипендией и пригласил его приехать в Кембридж. Приглашение было передано Рамануджану через секретаря организации индийских студентов в Лондоне, но, хотя все финансовые вопросы благополучно разрешались, Рамануджан категорически отказался покинуть Индию; основную роль здесь сыграли кастовые предрассудки; особенно противилась поездке Рамануджана в Европу его мать. Оставалось только хлопотать о стипендии Рамануджану в самой Индии. Наряду с представлением Харди, к ректору Мадрасского университета по этому вопросу обратился также генеральный директор индийских обсерваторий Дж. Т. Уокер, который в своём ходатайстве, между прочим, писал ([6], стр.XXV): «...Имею честь обратить Ваше внимание на С. Рамануджана, клерка Мадрасского управления почт. Я с ним не знаком, но вчера мне в присутствии сэра Фрэнсиса Спринга показали его работы. Как мне сообщили, ему 22 года. Его работы произвели на меня сильное впечатление – они вполне сравнимы с работами членов Кембриджского университета... Я совершенно убеждён в том, что университет поступит разумно, если предоставит С. Рамануджану возможность заниматься математикой, не заботясь о заработке, хотя бы в течение нескольких лет...». В результате Мадрасский университет с 1 мая 1913 г. предоставил Рамануджану специальную стипендию в 75 рупий в месяц сроком на 2 года. Как отметил Харди, с этого дня Рамануджан стал математиком-профессионалом.

Переписка не удовлетворяла Харди, и он продолжал настойчиво добиваться приезда Рамануджана в Кембридж как в интересах самого Рамануджана, за научную деятельность которого он себя чувствовал в известной мере ответственным, так и в интересах математики. Письменные увещевания Харди оставались безрезультатными, влияние матери на Рамануджана, по-видимому, перевешивало и мнение Харди, и советы многих научных друзей Рамануджана. Положение не изменилось до конца 1913 г. Но в самом начале 1914 г. в Мадрас по приглашению университета для чтения лекций прибыл один из кембриджских доцентов, ученик Харди, Э. Г. Нэвил (род. в 1889 г., впоследствии профессор университета). Нэвил имел поручение от Харди предпринять ещё одну попытку вывезти Рамануджана в Англию. По приезде в Мадрас Нэвил обратился в университет с меморандумом, в котором, в частности, писал: «Открытие гения Рамануджана обещает стать самым замечательным событием в математике нашего времени... Нельзя переоценить важности дальнейшего математического образования Рамануджана в одном из центров мировой науки, где он мог бы ознакомиться с более тонкими методами современной математики и работать под руководством учёных, знающих всё, что известно в данной области, и формулирующих те проблемы, в которых надо продолжать исследования... Я не вижу оснований сомневаться в том, что Рамануджан извлечёт максимальную пользу из общения с выдающимися западными математиками. В этом случае ¹¹ его имя станет одним из величайших в истории математики, а Мадрасский университет и город Мадрас будут гордиться тем, что способствовали его переходу от неизвестности к славе....». Вопрос о необходимости поездки Рамануджана в Кембридж широко и упорно дебатировался в кругах мадрасской интеллигенции, так что его мать, наконец, сдалась. Однажды утром она заявила, что во сне богиня приказала ей не противиться более отъезду сына и что она видела его сидящим в кругу европейцев в большом зале. Рамануджан получил от университета стипендию в 250 фунтов стерлингов в год на 2 года ¹², оплату проезда в Англию и обратно, дорожные расходы и пр. Выделив из своей стипендии 60 рупий в месяц для матери, Рамануджан отбыл в Кембридж 17 марта 1914 г. В апреле он уже был зачислен в колледж Св.Троицы, где стипендия была увеличена ещё на 60 фунтов стерлингов.

7. Первые месяцы пребывания Рамануджана в Кембридже были посвящены восполнению основных пробелов в его математических знаниях. Харди, Литлвуд и другие кембриджские математики были изумлены как глубиной его знаний в одних вопросах, так и его полной неосведомлённостью в других. Вспоминая начало кембриджской карьеры Рамануджана, Харди писал ([6], стр.XXX или [4]): «Перед нами был человек, который мог оперировать с модулярными уравнениями и теоремами комплексного умножения неслыханно высоких порядков, чьё мастерство в области цепных дробей, во всяком случае с формальной стороны, было непревзойденным, человек, самостоятельно открывший функциональное уравнение дзета-функции и главные члены асимптотики многих важнейших теоретико-числовых функций; в то же время он ничего не слышал о двояко-периодических функциях, не знал о существовании теоремы Коши и, вообще, имел только самое слабое представление о том, что такое функция комплексного переменного. Его понимание сущности математического доказательства было более чем туманным; он пришёл ко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивных соображений и логических рассуждений...». Предлагать такому человеку приступить к систематическому изучению основ математики было невозможно, но в одинаковой мере было невозможно, по выражению Харди, «дать ему шагать по жизни, думая, что все корни дзета-функции вещественны». В конце концов обучение Рамануджана пошло по пути собеседований и семинаров, где знания Рамануджана быстро пополнялись в процессе обсуждения нерешённых проблем и творческой работы. Через некоторое время Рамануджан прилично знал теорию функций и аналитическую теорию чисел. «Правда, он уже не стал, – говорит Харди ([6], стр.XXXI или [4]), – математиком новой школы, о чём, быть может, и не стоит сожалеть, но он научился понимать, когда теорема доказана и когда она не доказана, а поток его оригинальных математических идей продолжал изливаться без малейших признаков истощения».

Война, разразившаяся осенью 1914 г., помешала продолжению образования Рамануджана. Литлвуд, который вместе с Харди вёл основную работу с Рамануджаном, был мобилизован, а, как сказал Харди, одного учителя для такого ученика было мало. Научная жизнь в Кембридже замерла, нарушились международные связи. Только на втором этаже внутреннего корпуса колледжа Св.Троицы, на стене которого висела под стеклом старая надпись «Посетителей просят не шуметь, так как это мешает занятиям достопочтенного сэра Исаака Ньютона», в квартире Харди продолжались ежедневные занятия с Рамануджаном.

Рамануджан упорно занимался математикой и только одной математикой. Он не проявлял ни малейшего интереса ни к каким другим областям, кроме как к анализу и теории чисел, ни тем более к другим точным наукам, политике, философии, литературе, спорту, которыми интересовался Харди. С камина в кабинете Харди на этих двух математиков безмолвно смотрели портреты Маркса, Эйнштейна и Хоббса (знаменитый английский игрок в крикет). В тех редких случаях, когда Харди удавалось вызвать Рамануджана на разговор на нематематические темы, Харди находил в нём довольно интересного собеседника. Про эти немногие минуты Харди писал ([1], стр.5; см. также [2], стр.140): «...я хочу совершенно определённо заявить, что когда Рамануджан жил в Кембридже в хороших условиях и был здоров, он, несмотря на некоторые свои странности, был таким же нормальным и разумным человеком, как все другие кембриджские учёные, собиравшиеся за ужином в профессорской столовой. Не следует воздевать руки к небу и восклицать: «перед нами что-то непонятное, какое-то олицетворение извечной мудрости Востока!». Я не верю в извечную мудрость Востока, картина, которую я хочу нарисовать перед Вами, – это портрет человека, который имел свои особенности, как все выдающиеся люди, но в обществе которого Вы могли получить интеллектуальное удовольствие, с которым Вы могли за чашкой чая беседовать о политике или математике, короче, портрет не восточного чуда или одухотворённого идиота, а портрет умного человека, который, кроме того, был ещё великим математиком».

Основная часть опубликованных работ Рамануджана была написана им в Кембридже самостоятельно или в соавторстве с Харди. Многие из этих работ Харди писал сам или подвергал английский текст Рамануджана редакционной переработке. Деятельное участие в их совместных занятиях принял также по возвращении с фронта Литлвуд.

8. Весной 1917 г. Рамануджан заболел и должен был лечь в Кембриджский госпиталь, где его регулярно посещали Харди и другие кембриджские математики. Большую часть остального времени пребывания в Англии ему пришлось провести в больницах Лондона, куда он был вскоре переведён. Сначала его болезнь не вызывала особых опасений, но постепенно сырой английский климат, условия военного и послевоенного времени, а также недоверие Рамануджана к английским врачам и настойчивое соблюдение им неподходящей диеты окончательно подорвали его здоровье. Он имел от рождения слабые лёгкие, и его болезнь перешла в открытую форму туберкулёза. Рамануджану очень хотелось вернуться домой, в Индию, но отъезд задерживался в течение двух лет в связи с его болезненным состоянием и трудностями морского сообщения (воздушного сообщения, конечно, ещё не существовало). Хотя в это время Рамануджан уже не мог так интенсивно заниматься математикой, как в первые три года его пребывания в Англии, он продолжал работать в больницах и санаториях.

После длительного отдыха осенью 1918 г. в одном из санаториев Уэльса на юго-западном побережье Англии его здоровье, как казалось, несколько улучшилось, и он с новой энергией взялся за работу. 26 ноября 1918 г. он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным этих почестей.

В начале 1919 г. здоровье Рамануджана настолько поправилось, что лучшие медицинские силы Англии считали его вне опасности, и он решил хотя бы на время вернуться в Мадрас, университет которого также приглашал его на работу. По-видимому, это была роковая ошибка, так как возможно, что оставаясь в Европе, он бы окончательно излечился. Но желание увидеться с родными и посетить родину после долгой разлуки взяло верх. Распрощавшись с Харди и своими кембриджскими друзьями, он в январе 1919 г. отправился в Индию. Что он был при этом полон самых радужных надежд, видно из письма, которое он отправил ректору Мадрасского университета незадолго до своего отъезда ([6], стр.XIX):

Сэр,

Имею честь подтвердить получение Вашего письма от 9 декабря 1918 г. и выразить благодарность за оказываемую мне поддержку и предложенную честь.

Я считаю, однако, что оклад, установленный мне по прибытии в Индию, которое, как я надеюсь, произойдёт в самое ближайшее время, слишком велик по моим потребностям. Я думаю, что после оплаты моих расходов в Англии и помощи моим родителям в размере 50 фунтов стерлингов в год останется слишком большая сумма, часть которой я хотел бы использовать для благотворительных целей, таких, как снижение школьной платы за обучение бедных детей и сирот и как приобретение книг для школьных библиотек. Необходимые для этого шаги можно будет, конечно, предпринять после моего возвращения.

Я сожалею, что вследствие моей болезни я не мог за последние два года достаточно много заниматься математикой. Надеюсь, что скоро я буду в состоянии сделать больше и тем самым оправдать ту помощь, которую я получал.

Я остаюсь, сэр,

После отъезда Рамануджана Харди с нетерпением ждал от него вестей. Однако Рамануджан молчал в течение почти целого года. Наконец, в начале 1920 г. в Кембридж пришло последнее письмо Рамануджана ([6], стр.XXI или [4]):

Я очень прошу меня извинить, что до сих пор не написал Вам ни одного письма... Я недавно открыл очень интересные функции, которые я называю «симулирующими» («mock») тета-функциями. В отличие от «псевдо»-φ-функций (которые частично изучались проф. Роджерсом в его интересной работе), они входят в математику так же красиво, как обычные φ-функции. Посылаю вам с этим письмом несколько примеров...

Симулирующие φ-функции

φ(q) = 1 +

q  1 + q2

+

q4 (1 + q2)(1 + q4)

+

q9 (1 + q2)(1 + q4)(1 + q6)

+ ... ,

ψ(q) =

q  1 – q

+

q4 (1 – q)(1 – q3)

+

q9 (1 – q)(1 – q3)(1 – q5)

+ ... .

Симулирующие φ-функции 5-го порядка

f(q) = 1 +

q  1 + q

+

q4 (1 + q)(1 + q2)

+

q9 (1 + q)(1 + q2)(1 + q3)

+ ... .

Симулирующие φ-функции 7-го порядка

1 +

q  1 – q2

+

q4 (1 – q2)(1 – q4)

+

q9 (1 – q2)(1 – q4)(1 – q6)

+ ... ». (см.[10])

В этом письме Рамануджан почти не сообщал о своём здоровье, и Харди решил, что оно находится в приличном состоянии. В действительности же Рамануджан прибыл в Мадрас 2 апреля 1919 г. в очень плохом состоянии. По-видимому, утомительная дорога окончательно подорвала его слабые силы. Он настолько исхудал, что друзья и родные с трудом узнали его. Рамануджан провёл три месяца в Мадрасе, а затем отправился отдыхать в деревню, недалеко от селения Эрод, где он родился. Затем его перевезли в Кумбаконам, где он провёл свою юность и впервые познакомился с математикой. Его силы быстро угасали, но он не хотел лечиться и лихорадочно работал над своим последним детищем – симулирующими тета-функциями. В январе 1920 г. под давлением друзей н врачей он переехал обратно в Мадрас, где ему оказывалась лучшая в городе медицинская помощь. Но спасти его было уже нельзя. 26 апреля 1920 г. Рамануджан умер в Чэтпуте – одном из предместий Мадраса.

К исполнению своих обязанностей профессора Мадрасского университета он фактически так и не приступил.

9. Весть о смерти Рамануджана была в Кембридже полной неожиданностью. Вскоре под руководством Харди началась интенсивная работа над научным наследством Рамануджана, начиная от самых ранних записей в его записных книжках и кончая симулирующими тета-функциями. Его записные книжки были от руки переписаны друзьями в Индии и присланы в Кембридж профессору Дж. Н. Ватсону, который взял на себя задачу их исчерпывающего анализа и занимался этим на протяжении нескольких лет (см. [9]).

Надо заметить, что, несмотря на пятилетнее общение с Рамануджаном, Харди так и не успел многого узнать от Рамануджана относительно его ранних результатов, путей, по которым он к ним пришёл, источника его знаний по некоторым вопросам, которые не освещены в книге Карра, и т.д. Конечно, впоследствии Харди очень сожалел об этом, но не мог себе поставить этого в вину, поскольку, как он говорил, было столько новых и животрепещущих вопросов, требующих неотложного обсуждения с Рамануджаном, что возврат к старым задачам всё откладывался и откладывался. Кроме того, Харди надеялся вновь встретиться с Рамануджаном, так как никто не мог ожидать столь быстрой его смерти.

Таким образом, многое в трудах Рамануджана так и осталось исторической загадкой.

Харди, в частности, предпринял специальное исследование доступной Рамануджану в Индии математической литературы и оценку вероятности знакомства с ней Рамануджана ([1], стр.42-44). При этом Харди пришёл к заключению, что в отношении теоретико-числовых проблем Рамануджану был доступен только старый учебник Мэтьюза (Мathews, Theory of Numbers, 1892), имевшийся в Мадрасской библиотеке, но что Рамануджан его не видел. Об этом свидетельствует и сравнение результатов Рамануджана из теории чисел с содержанием учебника Мэтьюза и тот факт (которому Харди был склонен придавать решающее значение), что Рамануджан в своих первых письмах и впоследствии утверждал самостоятельность открытия им всех его теоретико-числовых формул. Надо сказать, что вопросы приоритета Рамануджана никогда не интересовали, он искал математические истины, он был одержим страстью их познания, но источник этого познания его не особенно интересовал. У него не было книг, и он сам открывал эти истины. В научной честности Рамануджана Харди никогда не сомневался.

Рамануджан обладал недюжинными познаниями в теории эллиптических функций, правда, только в области действительного переменного. С этим обстоятельством связана одна из нерешённых загадок. Сведений по эллиптическим функциям в книге Карра нет.

В Мадрасской библиотеке были следующие книги, содержащие теорию эллиптических функций: Уиттекер, Современный анализ (Whittaker, Modern Analysis, 1902), Бромвич, Бесконечные ряды (Bromwich, Infinite Series, 1908), Форсайз, Теория функций (Forsyth, Theory of Functions) и два известных старых трактата Кэйли (A.Cayley, An Elementary Treatise on Elliptic Functions) и Гринхилла (A.G.Greenhill, The Application of Elliptic Functions) по эллиптическим функциям.

Книги Уиттекера и Форсайза сразу отпадают как источник знаний Рамануджана, так как если бы он держал их в руках, то он не мог бы не знать теоремы Коши и элементов теории аналитических функций, о чём он не имел представления до самого приезда в Кембридж. Очень маловероятно, что он читал Бромвича, так как в этом случае он должен был бы знать о существовании методов суммирования расходящихся рядов, которые он пытался изобрести самостоятельно.

По мнению Литлвуда, с которым согласен и Харди, скорее всего Рамануджан случайно познакомился с книгой Гринхилла; об этом можно заключить по характеру его знаний из теории эллиптических функций, который вполне соответствует весьма необычному, но оригинальному и интересному изложению Гринхилла.

10. Более или менее подробный анализ всех работ и результатов Рамануджана потребовал бы целой книги. Даже книга Харди [1] не исчерпывает всего (но по теоретико-числовым работам Рамануджана в ней содержится – лекции II–VI – всё существенное). В рамках статьи можно дать лишь краткий обзор некоторых работ.

Из теоретико-числовых теорем Рамануджана наиболее характерными и интересными являются следующие.

A. В одном из первых писем к Харди Рамануджан сообщил три полученные им формулы для π(x) – числа простых, меньших x:

	∞
I(x) =	ò	(ln x)t t ζ(t + 1) Γ(t + 1)	dt   13,
	0

G(x) =

2 π

{

2  B2

(

ln x 2π

)

+

4  3B4

(

ln x 2π

)

3

+

6  5B6

(

ln x 2π

)

5

+ ...

}

,

x

√x

3

√x

5

√x

6

√x

R(x) =

ò

dt ln t

–

1 2

ò

dt ln t

–

1 3

ò

dt ln t

–

1 5

ò

dt ln t

+

1 6

ò

dt ln t

– ... ,

c

c

c

c

c

где c = 1,45136380... . Все эти три формулы были им открыты самостоятельно, но ошибочно считал, что каждое из этих выражений даёт приближение π(x) с большей точностью, чем это имеет место на самом деле.

Выражение I(x) как асимптотическая формула для π(x) было впервые дано Рамануджаном. Нечто подобное G(x) встречалось в литературе, а именно G(x) является суммой нечётных членов ряда Грама

	∞
g(x) =	å	(ln x)n n ζ(n + 1) Γ(n + 1)	.
	n=1

I(x) является, очевидно, континуальным аналогом g(x). Ряд R(x) был впервые указан Риманом в виде

∞
å	μ(m) m	li x1/m,
m=1

где μ(m) – функция Мёбиуса и

	x
li x =	ò	dt ln t	.
	0

Вследствие известного соотношения

∞
å	μ(m) m	= 0
m=1

значение нижнего предела интегрирования в определении li x не играет роли в асимптотике (нельзя только полагать этот предел равным 1, а в случае, когда он меньше 1, интеграл следует понимать в смысле главного значения по Коши). Рамануджан, по-видимому, имел в виду под c корень уравнения li x = 0, x = 1,4513692346... Интересно отметить, что даже Гаусс, далеко продвинувшийся в исследовании асимптотических свойств π(x), не шёл дальше первого члена li x.

Путь, по которому Рамануджан пришёл к этим формулам, догнав (и частично перегнав) Гаусса, Римана и других, был подробно рассмотрен Харди. Построить доказательства, идя таким путем, оказалось, конечно, невозможно, так как это приводит к заведомо неверным выводам относительно порядков остаточных членов. Рамануджан сделал две типичные для него, чрезвычайно глубокие, ошибки, которых не может избежать никакая интуиция и вскрыть которые может только очень тонкий аппарат аналитических функций и тауберовых теорем. Эти две ошибки не сказываются на главных членах асимптотики, но дают заведомо невозможные остаточные члены.

B. Среди материалов, присланных Рамануджаном в первом письме к Харди, был следующий результат: «число чисел вида 2^u·3^v, меньших n, равно

Эта формула является асимптотической, и притом далеко не такой простой, как это может показаться с первого взгляда. До Рамануджана она была неизвестна.

Речь идёт, очевидно, о числе целочисленных точек в треугольнике u ln 2 + v ln 3 ≤ ln n, u ≥ 0, v ≥ 0. Главным членом асимптотики будет, конечно, площадь этого треугольника, равная

Формула Рамануджана даёт

ln2n 2 ln 2 ln 3

+

1 2

(

1 ln 2

+

1 ln 3

)

ln n +

1 2

.

т.е. содержит еще один член асимптотического разложения (аддитивная постоянная ¹/2 не играет роли в асимптотике, так как остаточный член после двух первых растёт с n). Вывод этой формулы требует исключительно тонких рассуждений, связанных с вопросами диофантовых приближений.

C. К числу важнейших теоретико-числовых результатов Рамануджана относятся его теоремы и совместные с Харди работы, связанные с функцией p(n) из partitio numerorum.

Под p(n) понимают число представлений натурального числа n в виде суммы положительных целых слагаемых. Например, p(5) = 7, так как 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (само число также считается одним из таких представлений). Производящей функцией для p(n) является

∞			∞
Õ	1  1 – xk	=	å	p(n) xn.
k=1			n=1

Рамануджан открыл совершенно новые факты относительно арифметической природы p(n), возможность существования которых даже не подозревалась до него. Он доказал, например, такие соотношения:

Доказательства этих теорем основываются на некоторых тождествах, связанных со свойствами эллиптических функций. В частности, Рамануджан открыл следующие тождества, которые Литлвуд ([7], стр.85 или [8]) считает принадлежащими к числу самых замечательных формул математики:

Как эти тождества были получены Рамануджаном неизвестно; впоследствии они были доказаны Дарлингом [11] и Морделлом [12]. Не менее замечательными являются следующие тождества:

	∞
1 +	å	xm² (1 – x)(1 – x2)...(1 – xm)	=	1  (1 – x)(1 – x6)...	·	1  (1 – x4)(1 – x9)...	,
	m=1
	∞
1 +	å	xm(m+1) (1 – x)(1 – x2)...(1 – xm)	=	1  (1 – x2)(1 – x7)...	·	1  (1 – x3)(1 – x8)...
	m=1

(в знаменателях правых частей показатели образуют арифметические прогрессии с разностью 5), которые имеют интересную историю. Рамануджан открыл их довольно рано, в Индии, но в 1917 г., перелистывая старые тома Proceedings of the London Mathematical Society, он натолкнулся на работу Роджерса (L. J. Rogers) 1894 г., которая содержала эти тождества с доказательствами. Работа Роджерса осталась в своё время незамеченной не только в Англии, но и в других странах, так как в 1917 г. И. Шур, живший тогда в Германии, не зная, что эти тождества были открыты Роджерсом и переоткрыты Рамануджаном, также нашёл их и дал два доказательства. Эти тождества, таким образом, носят имена Роджерса–Рамануджана–Шура. Всего известно 7 доказательств этих замечательных тождеств.

11. Крупнейшим теоретико-числовым достижением Рамануджана следует считать его совместную работу с Харди, в которой найдено точное выражение для p(n) – одной из сложнейших числовых функций. Этот замечательный результат является единственной в своем роде жемчужиной аналитической теории чисел. Он заключается в том, что p(n) является ближайшим целым числом к

	v
1 2√2	å	√q Aq(n) ψq(n),
	q=1

где

Aq(n) =	å	ωp,q e–2πinp/q,
	p

причём сумма распространяется на все p, взаимно-простые с q и меньшие его, ω_p,q – некоторые корни степени 24q из единицы, а

ψq(n) =	d dn	exp	(	π q	Ö	2 3	(	n –	1 24	)	)	.

Число v определённым образом зависит от n и имеет порядок √n. Можно даже утверждать больше, а именно, что

	∞
1 2√2	å	√q Aq(n) ψq(n) = p(n),
	q=1

так что, поскольку p(n) – целое число, можно ограничиться частичной суммой этого ряда, отличающейся от суммы всего ряда меньше чем на ¹/2, и взять целое число, ближайшее к значению этой частичной суммы. Таким образом было вычислено, например, p(200) = 3 972 999 029 388 (для этого оказалось достаточным взять v = 5, т.е. первые 5 членов ряда), что совпало с результатом непосредственного подсчёта.

Литлвуд по поводу этой теоремы пишет ([7], стр.88 или [8]): «Незачем говорить читателю о том, что эта теорема поразительна, и легко поверить в то, что методы, которыми она была доказана, базируются на одной принципиально новой и очень важной идее, оказавшейся весьма плодотворной и в применении к другим проблемам. Эта теорема имеет интересную историю. (Чтобы её рассказать, я должен немного нарушить правила, действующие при опубликовании совместных работ. Поэтому я добавлю, что проф. Харди подтверждает моё изложение имевших место фактов и даёт разрешение на его опубликование.) Одним из индийских предположений Рамануджана было, что первый член ряда является очень хорошим приближением к p(n); это было установлено без большого труда. На этом этапе вместо n – ¹/24 стояло просто n – тогда это различие было несущественным. С этих позиций началась настоящая атака проблемы. Следующим шагом, не слишком большим, было рассмотрение ряда

	∞
1 2√2	å	√q Aq(n) ψq(n)
	q=1

как асимптотического разложения, фиксированная частичная сумма которого (например, первых четырёх членов) даёт приближение с ошибкой, имеющей порядок первого отброшенного члена. Но начиная с этого момента и до самого конца Рамануджан упорно утверждал, что верно гораздо больше, чем было пока доказано: «должна существовать, – говорил он, – формула с ошибкой O(1)». Это было его важнейшим вкладом в теорему; этот вклад был исключительно существенным, без него теорема не могла бы быть найдена, но гипотеза эта казалась невероятной по своей необычности. Была предпринята тщательная числовая проверка, которая обнаружила удивительнейшие факты относительно p(100) и p(200). Затем v сделали функцией от n; это было очень большим шагом вперёд и потребовало столь глубоких теоретико-функциональных средств, что Рамануджан самостоятельно не смог бы их, конечно, найти. Наконец выявилась полная теорема. Но преодоление одной последней трудности было бы, вероятно, невозможно без ещё одного вклада Рамануджана, на этот раз исключительно характерного для него. Мало того, что аналитические подходы к теореме были чрезвычайно трудными, она оказалась забаррикадированной неразрешимыми сложностями чисто формального свойства. Функция ψ_q(n) представляет собой важнейший элемент формулы; между многими асимптотически эквивалентными формами этой функции важно было выбрать единственно правильную. Если это не сделано, то окончательный результат вообще не может возникнуть; а для этого надо было догадаться, что является заслугой Рамануджана, ввести –1/24 (не говоря уже о d/dn). Такую догадку нельзя назвать иначе как гениальной. Во всём этом есть что-то почти сверхъестественное. Если бы мы только знали, что существует формула с ошибкой O(1), то, может быть, логика вещей привела бы нас постепенно, шаг за шагом, к истинному виду ψ_q. Но почему Рамануджан был так уверен, что такая формула существует? Трудно поверить, что это можно объяснить глубиной его проникновения в теоретическую сущность вопроса. Не видно также, какие числовые данные могли его убедить в справедливости столь сильного утверждения. Да и вообще, пока неизвестна точная форма ψ_q, никакие числовые данные не могут навести на подобную мысль. Из этой дилеммы нет выхода, мы вынуждены остановиться на предположении, что это была искра гениальной интуиции. Открытие этой теоремы есть результат исключительно удачного сотрудничества двух людей с очень разнородными талантами, сотрудничества, в которое каждый из них внёс всё самое лучшее, чем он обладал. Гению Рамануджана представился достойный случай показать себя».

12. Представительная выборка теорем и формул Рамануджана из анализа уже была приведена выше в п. 5. Приведём ещё некоторые замечательные его результаты.

D. Харди отмечал, что Рамануджан владел техникой цепных дробей лучше кого бы то ни было. Большое удовлетворение доставляют следующие его формулы:

Формула (1) даёт в частном случае x = 1 разложение

которое открыл в XVII в. Браункер.

Из других формул отметим

∞ 4 ò xe–x√5 ch x dx =  1  1 +   12 1 +   12 1 +   22 1 +   22 1 +   32 1 +   32 1 + ... .   0

(4)

∞ 2 ò x2 e–x√3 sh x dx =  1  1 +   13 1 +   13 3 +   23 1 +   23 5 +   33 1 +   33 7 + ...    (см. [26]),   0

(5)

а также

E. Большой интерес представляют формулы Рамануджана, содержащие ряды. Например:

где γ – эйлерова постоянная (см. [19]),

Это формулы преобразований из ряда в ряд или, как особенно интересная формула (3), ряда в цепную дробь ¹⁵.

Так этот результат был указан Рамануджаном. Ватсон ([20]) доказал это, найдя асимптотическое разложение

∞

å

(n + 1)n – 1 (x + n + 1)n + 1

~

1  x

–

2e–x x2

(

1 –

8  3x

+

28  3x2

– ...

)

n=0

и положив в нём x = 1000. Рамануджан несомненно знал какую-то аналогичную формулу, но сообщил только один её частный случай.

∞ å 1  n3 ( cth πnx +  x2 cth πn x ) =  π3 90x  (x4 + 5x2 + 1)     (см. [29]), n=1

(5)

∞ å e–πn² ( πn2 –  1 4 ) =  1 8 , n=1

(6)

113 e2π – 1  +  213 e4π – 1  +  313 e6π – 1  + ... =  1 24     (см. [18]),

(7)

φ(x) = e–x +  x  1! e–2x +  3x2 2! e–3x +  42x3 3! e–4x + ... ≡ 1,

(8)

если 0 ≤ x ≤ 1, но φ'(1+0) = –2 (последнее было доказано Сегё [16]). [См. подход к доказательству формулы (5) в «Теории функций» Е.Титчмарша (М., Наука, 1980, с.144). Доказательство формулы (6) базируется на результатах гл.22 второго тома «Курса современного анализа» Э.Т.Уиттекера и Дж.Н.Ватсона (М., Физматлит, 1963). Если хочется увидеть доказательство, а не вникать в теорию, то см. приложение в статье В.А.Гейлера «Двумерный оператор Шрёдингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса», опубликованную в журнале «Алгебра и анализ», 1991, т.3, вып.3. Простой способ доказательства формулы (7) изложен в книге Н.Коблица «Введение в эллиптические кривые и модулярные формы» (М., Мир, 1988, с.152 и далее). – E.G.A.]

F. Интегральные теоремы Рамануджана Харди считал не самыми сильными его результатами. Однако многие из них также представляют незаурядный интерес.

Если

∞
ò	cos nx e2π√x – 1	dx = φ(n),
0

то

∞   ò sin nx e2π√x – 1  dx = φ(n) –  1 2n  + φ ( π2 n ) Ö  2p³ n³ . 0

(1)

Рамануджан указал следующие значения φ(n):

и дал общую формулу для φ(rπ), где r – любое рациональное число ([6], стр.67).

Последняя формула заслуживает более подробного рассмотрения. Она является важным частным случаем общей формулы суммирования, принадлежащей Рамануджану:

	∞		∞
φ(0) + φ(1) + φ(2) + ... =	ò	φ(x)dx +	ò	φ(0) – φ(1) x + φ(2) x2 – ...  x {ln2 x + π2}	dx.
	0		0

Рамануджан не уточнял условий, которым должна удовлетворять функция φ(x) для того, чтобы эта формула была справедливой. Подробный анализ и доказательство этой формулы дал Харди ([1], стр.195–198). Он же дал очень изящное доказательство формулы (3): полагая

∞
ò	y x Γ(1 + x)	dx = I(y),
0

будем иметь

	∞		∞		∞		∞
I(p) =	ò	e–py I(y)dy =	ò	dx Γ(1 + x)	ò	yx e–pydy =	ò	p–x–1dx =	1 p ln p
	0		0		0		0

и, следовательно, при c > 1, деформируя путь интегрирования в формуле обращения преобразования Лапласа в дважды пробегаемую действительную отрицательную полуось и учитывая полюс I(p) в точке p = 1, найдём, что

		c+i∞
I(y) =	1 2πi	ò	e py dp p ln p	=
		c–i∞

		0				–∞			∞
=ey +	1 2πi	ò	e xy dx x {ln(–x) – πi}	+	1 2πi	ò	e xy dx x {ln(–x) + πi}	= ey –	ò	e–xy x {ln2x + π2}	dx.
		–∞				0			0

Литлвуд ([7], стр.85 или [8]) очень высоко оценивал ещё следующую формулу Рамануджана:

∞ ò 0  cos πx Γ 2(α + x) Γ 2(α – x) dx =   1 4Γ(2α – 1) Γ 2(α)   (α > ½).

(4)

G. Приведём, наконец, некоторые разные результаты Рамануджана, без которых картина его аналитических интересов и идей будет неполной. Среди этих формул есть и весьма сложные, и элементарно простые. Но все они несут на себе печать его гения. Харди отмечал: «В формулах Рамануджана всегда содержится больше, чем это кажется на первый взгляд; в этом может убедиться каждый, кто примется за их доказательства. Некоторые его формулы вскрывают чрезвычайно глубокие аналитические зависимости, другие менее глубоки, но нет ни одной формулы, сообщённой Рамануджаном, которая не была бы интересной и поучительной».

Большинство приведённых ниже результатов было опубликовано Рамануджаном в виде задач в Journal of the Indian Mathematical Society (см. также [6]).

С точностью соответственно до 9 и 8 десятичных знаков:

где в последних трёх формулах знаки перед корнями периодически повторяются группами по три: «–», «+», «–» (это лучше всего видно из формулы с восьмёрками в левой части). [Произведения (2),(3) являются частными случаями формулы № 20 (с.754) из первого тома справочника Прудникова, Брычкова и Маричева «Интегралы и ряды» (М., Наука, 1981), которую следует рассматривать как прямое указание на подход к вычислению данных произведений. Формулы с вложенными корнями подробно обсуждаются во второй статье В.И.Левина о Рамануджане. – E.G.A.]

[Формула (9) доказывается сходу: достаточно разложить дроби на простейшие и воспользоваться асимптотикой для частичных сумм гармонического ряда. Кубические равенства тоже не из трудных (для доказательства, конечно. Додуматься до них, ясно дело, не очень-то легко). Они предлагались на школьных олимпиадах в Ленинграде в 60^е годы. Решение можно найти в «Задачнике по алгебре» В.А.Кречмара (М., Наука, 1972, с.61). – E.G.A.]

Если положить

то для каждого целого n значение θ заключено между 1/2 и 1/3.

Последняя задача оказалась весьма трудной. Рамануджан ([6], стр.324) знал, что θ → 1/3 при n → ∞, и дал разложение

но отметил: «трудно доказать, что θ заключено между 1/2 и 1/3». Это было доказано Сегё [16], который установил, что θ является монотонно убывающей функцией от n. [Более простое утверждение, основанное на этой задаче, предлагалось на мехмате МГУ в 1976 г.: доказать, что

Когда я впервые увидел это равенство в известной книжке «Задачи студенческих олимпиад», я решил, что это опечатка. :-)     – E.G.A.]

13. Величие Рамануджана как математика и значимость его работ были оценены Харди и Литлвудом вскоре после его смерти. В исторической перспективе, которой мы располагаем теперь, оценка Харди и Литлвуда остаётся в полной силе. Харди писал ([6], стр.XXXV или [4], а также [1], стр.14 или [2], стр.149): «Его проникновение в алгебраические формулы, преобразования бесконечных рядов и т.п. было просто поразительным. Я не знаю никого, кто мог бы в этом сравниться с ним, разве только Эйлер или Якоби. Он использовал, в значительно большей степени, чем современные математики, индуктивные и наводящие соображения; отправляющиеся от численных примеров; все его теоремы о сравнениях для p(n) были, в частности, получены таким образом. Хорошая память ¹⁶, терпение и виртуозность вычислителя сочетались в нём с силой обобщения, чувством формы и способностью мгновенной адаптации гипотез, которые производили исключительно сильное впечатление, и ставили его в области его собственных исследований выше всех современных ему математиков».

И Харди, и Литлвуд признавали, что во второй половине XIX в. и в первых десятилетиях XX в. имелось немало более значительных математиков, чем Рамануджан, но нельзя не присоединиться к их мнению, что в своей специальной сфере Рамануджан был недосягаем, «он был чемпионом каждой игры, правила которой он знал».

Через год после смерти Рамануджана Харди писал ([6], стр.XXXVI или [4]): «Можно расходиться во мнениях относительно значимости работ Рамануджана, критериев, с которыми следует подходить к нему как математику, и влияния, которое он окажет на развитие математики. Его работы не обладают той простотой и неизбежностью, которые характеризуют труды самых великих математиков; его результаты были бы значительней, если бы они не были столь необычными. Они отличаются, однако, одной неоспоримой чертой – глубокой и неуязвимой оригинальностью. Он стал бы наверно более крупным математиком, если был бы обуздан в молодости. Он открыл бы, вероятно, больше новых фактов, и притом большей значимости. С другой стороны, он был бы тогда в меньшей степени Рамануджаном и в большей степени европейским профессором, и трудно сказать, явилось бы это приобретением или потерей...». Последние строки были написаны Харди явно под влиянием свежей утраты друга, яркая личность которого ещё стояла перед его глазами. Через 16 лет после того, как эти строки были написаны, Харди вновь вернулся к оценке Рамануджана уже с несколько более уравновешенных позиций и, процитировав приведённые выше свои высказывания, писал: «Всё, что я тогда сказал, я и сейчас готов повторить, за исключением лишь последней фразы, которая звучит как смешной сентиментализм. Наука ничего не выиграла от того, что Кумбаконамский колледж отверг единственного большого учёного, которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана – худший известный мне пример вреда, который может быть причинен малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, а мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков...»

К сказанному Харди следует лишь добавить, что дело было не только в негибкой и неэффективной системе образования. Сама эта система являлась следствием общего положения Индии как колониальной страны, положения, при котором всячески сдерживалось развитие национальной культуры и, в частности, национальных научных кадров.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Приведённый ниже список литературы содержит всю цитированную в статье литературу, но является далеко не полным, так как существующая литература о Рамануджане и его работах гораздо обширнее.