В. И. Левин РАМАНУДЖАН математический гений ИНДИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ» Москва 1968 |
В конце 1967 г. исполнилось 80 лет со дня рождения одного из замечательнейших математиков современности Сринивасы Рамануджана Айенгара. История науки знает немного учёных, которые по силе и оригинальности своего таланта и по трагичности своей судьбы могут сравниться с Рамануджаном.
Рамануджан мало известен среди математиков Советского Союза, далеко недостаточно известен он и за рубежом. Это объясняется тем, что он не создал новых математических, теорий, входящих ныне в золотой фонд науки, как это сделали другие гении более отдалённого прошлого Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель 1; он был далёк и от того, чтобы предвосхитить развитие новых математических идей, начавшееся уже при его жизни и изменившее лицо математики в наши дни. Он для себя воссоздал большие области математики прошлого, заново открыл целые математические миры, над созданием которых трудились поколения европейских математиков, и нашёл в этих классических областях такие глубины, о существовании которых и не подозревали его предшественники и которые повергли в изумление лучших современных ему математиков. Трагедия Рамануджана заключается не только в обстоятельствах его жизни и его ранней смерти, а главным образом в том, что такой редкий и мощный гений не мог воспользоваться всем богатством математических знаний, накопленных человечеством, и должен был сам прокладывать себе путь к глубоким математическим истинам. Эти истины лежали, к сожалению, в стороне от основных направлений развития математики в наше время и не оказали поэтому существенного влияния на прогресс науки. Только последние несколько лет своей жизни Рамануджан мог творить в содружестве с крупными европейскими математиками профессорами Кембриджского университета (Англия) Годфри Гарольдом Харди
Рамануджана можно назвать математическим Паганини с той лишь оговоркой, что Паганини с детства заставляли до изнеможения упражняться в игре на скрипке, тогда как никто никогда не требовал от Рамануджана, чтобы он занимался математикой. Более того, Рамануджан до 27 лет вообще не общался ни с кем, кто мог бы руководить его первыми научными исследованиями и оценить их значение.
Гений Рамануджана принадлежит истории. Нам остаётся изучать его творения, восхищаться его неповторимой математической фантазией и фантастической интуицией. При этом ни один математик не может избежать чувства досады и боли, мысленно представляя себе, чтó мог бы дать такой ум математической науке, если бы он был поставлен в оптимальные условия.
Рамануджан родился 22 декабря 1887 г. в селении Эрод, на юге Индии. Его родители принадлежали к привилегированной касте браминов, но жили бедно и ничем не отличались от окружавших их мелких служащих, торговцев и крестьян. Отец Рамануджана был бухгалтером в маленькой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасской провинции. Имеются сведения о том, что мать Рамануджана была незаурядной волевой женщиной; однако она находилась в плену узких кастовых и религиозных предрассудков и её влияние на столь одарённого сына с точки зрения его научного развития нельзя признать благотворным. Рамануджан почитал свою мать и находился в полном её подчинении. Она же, естественно, не была в состоянии понять внутренний мир своего сына и его непреодолимую тягу к математике; действуя, как это часто бывает, из лучших побуждений, она тормозила его развитие и сильной рукой направляла его по единственно известному ей, традиционному в среде их семьи, жизненному пути мелкого служащего или чиновника. Только влечение гения, как необходимость среди массы случайностей, помогло ему в конце концов стать творческим математиком, свободно отдающимся занятиям любимой наукой. Но это произошло не скоро и увы слишком поздно.
Рамануджан воспитывался в атмосфере понятной в условиях колониальной Индии враждебности ко всему европейскому и в особенности к английскому, причём в окружавшей его среде протест против колониального гнета выражался в строгом соблюдении национальных обычаев, старого уклада жизни и традиционной браминской системы воспитания и образования. Естественно, что в отношении математического развития это ставило юного Рамануджана, как уже отмечалось, в очень тяжёлые условия, наложившие сильный отпечаток на всю его научную карьеру. Следует также помнить, что британская администрация со своей стороны не прилагала особых усилий к выявлению народных талантов ни в какой области науки и искусства. Таким образом, самобытный гений Рамануджана в течение большей части его короткой жизни оставался предоставленным самому себе.
Когда ему шёл пятый год, Рамануджан, как и все мальчики-брамины, был отдан в двухлетнюю школу, по окончании которой он поступил в начальную школу при городской средней школе Кумбаконама, где протекала вся его дальнейшая школьная жизнь. В 1897 г. он окончил начальную школу и занял первое место по результатам стипендиальных экзаменов в районном центре Танджоре, что дало ему право дальнейшего обучения в средней школе за половинную плату. Примерно к этому же времени относятся первые воспоминания о нём его сверстников и старших товарищей. В этих воспоминаниях он описывается как тихий задумчивый мальчик, редко участвующий в играх и шалостях своих одноклассников.
Воспитанный в мистических традициях брахманизма, Рамануджан уже во втором классе средней школы (что соответствует примерно пятому классу нашей школы) задавал старшим товарищам и учителям вопрос о «высшей истине» в математике, так как привык считать, что в каждой области человеческой деятельности существует некая мистическая «высшая истина», первоначало вещей, управляющая данной областью и содержащая в себе всё, что может быть в ней известно. Говорят, что в ответ он получал указания на теорему Пифагора, или на проценты и учёт векселей.
Уже в четвёртом классе средней школы Рамануджан самостоятельно изучил полный курс тригонометрии по двухтомному руководству Лони (Loney), которое он одолжил у знакомого студента Мадрасского университета. Этот студент, как рассказывают, был поражён знаниями школьника по тригонометрии и часто обращался к Рамануджану за помощью в решении задач. В пятом классе Рамануджан самостоятельно открыл формулы Эйлера, выражающие синус и косинус через показательную функцию мнимого аргумента, но, узнав, что они уже известны, спрятал свои записи на чердаке дома. Это было его первое столкновение с западной математикой, из которого он понял, что учебник Лони содержит далеко не все известные математические факты. Однако бедность кумбаконамской библиотеки и плохие знания английского языка сильно затрудняли математическое развитие молодого Рамануджана.
Только в 1903 г., когда Рамануджан был в шестом классе средней школы, ему удалось при помощи одного знакомого получить единственную книгу по высшей математике, имевшуюся в Кумбаконаме. Это была книга Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики» 2, изданная в двух томах в Лондоне в
В составленном Харди в 1921 г. некрологе цитируется следующая выдержка из письма одного школьного товарища Рамануджана: «Он (Рамануджан) брал книгу Карра из библиотеки колледжа и с удовольствием выводил содержащиеся в ней формулы... Уже тогда он рассказывал товарищам о своих математических открытиях... Он обладал исключительной памятью и с лёгкостью цитировал полный список санскритских корней (atmanepada и parasmepada); он знал громадное число знаков в разложениях √2, π, e и других чисел в десятичные дроби...».
В краткой (и единственной по сей день) биографии Рамануджана, принадлежащей преподавателю (а впоследствии директору) Кумбаконамского колледжа Сешу Айару и высокому правительственному чиновнику Мадрасской провинции Рамачандра Рао, этот важный период жизни Рамануджана описывается так: «Перед Рамануджаном открылся новый мир, по которому он бродил в восхищении. Книга Карра
По поводу этого свидетельства индийских биографов Рамануджана Харди писал: «Я умышленно процитировал эти последние фразы, но не потому, что придаю им большое значение я так же мало заинтересован в богине Намаккаль, как и Вы, а потому, что мы теперь подходим к тяжёлой и трагической части карьеры Рамануджана, и должны, насколько это нам возможно, попытаться понять его психологию и уяснить себе окружавшую его атмосферу».
Сешу Айар и Рамачандра Рао знали молодого Рамануджана лично и располагали многими местными сведениями от людей, общавшихся с Рамануджаном. Поэтому их рассказ о нём содержит много ценного фактического материала, но он окрашен их собственными этико-философскими воззрениями и симпатиями к религиозным учениям индуизма. С другой стороны, с 1914 по 1919 г. Харди почти ежедневно встречался с Рамануджаном и беседовал с ним на всевозможные темы. В первой главе своих лекций о Рамануджане Харди кратко касается основных этапов жизни Рамануджана и даёт свою оценку ему как человеку. При этом Харди иногда резко расходится с Сешу Айаром и Рамачандра Рао, в частности по вопросу о религиозности Рамануджана. Харди не утверждает, что Рамануджан был убеждённым атеистом, но цитирует высказывания самого Рамануджана, свидетельствующие о его равнодушии к вопросам религии; однако Рамануджан соблюдал многочисленные условности индуистского ритуала, чтобы не огорчать своих религиозных родных и друзей. В частности, он был всю жизнь вегетарианцем и даже в последние два года своей жизни, когда вегетарианская диета тяжело сказывалась на его здоровье, не отказался от неё.
Как и все аспекты личности Рамануджана, его религиозность и вообще отношение к религии были после его смерти предметом довольно горячих споров. Чтобы уже не возвращаться к этому вопросу, приведём ещё одно интересное замечание Харди, который с большой страстностью отстаивал своё мнение о Рамануджане как о человеке высокоинтеллектуальном (а Харди считал, что
Шестой класс был последним классом средней школы. В 16 лет Рамануджан по окончании школы выдержал приёмные испытания в Мадрасский университет и в январе 1904 г. приступил к занятиям на первом курсе Кумбаконамского колледжа, входившего в состав Мадрасского университета. За свои первые успехи он получил специальную стипендию, предназначавшуюся для особо успевающих по английскому языку и математике. Однако вскоре его учебные дела в колледже пошли всё хуже и хуже, так как он отдавал всё время собственным математическим исследованиям, результаты которых он регулярно заносил в свои, ставшие впоследствии знаменитыми, записные книжки (они были полностью изданы в Индии в фоторепродукции только в 1957 г.). Он перестал выполнять задания, пропускал много занятий и в конце концов был оставлен на первом курсе. В жизни Рамануджана началась полоса неудач, длившаяся почти 10 лет. В течение 1905 г. он бродил по центральной Индии, затем вернулся в Кумбаконам, пытался продолжить учёбу в колледже, но не был допущен к занятиям, уехал в Мадрас, поступил там в 1906 г. в университет, но заболел и вновь вернулся домой в Кумбаконам. В 1907 г. он сделал попытку сдать экзамены за первые два курса университета экстерном, но провалился. После этого до 1909 г. он не имел определённых занятий, если не считать того, что всё это время Рамануджан неустанно занимался математикой, исписывая всё новые и новые страницы своих записных книжек. В 1909 г. Рамануджан женился и начал поиски работы. В 1910 г. он обратился по поводу своего устройства к индийскому математику Рамасвами Айару, основателю Индийского математического общества. Рамасвами Айар, просмотрев записные книжки Рамануджана, убедился в том, что имеет дело с человеком необычных способностей, хотя всей силы таланта Рамануджана он никак не подозревал. Он направил Рамануджана к Сешу Айару, который тогда был преподавателем Кумбаконамского колледжа и знал Рамануджана ещё как студента. Сешу Айар устроил Рамануджана на временную работу, но через несколько месяцев Рамануджан вновь остался без работы. Наконец, в декабре 1910 г. Рамануджану немного улыбнулось счастье: он был представлен влиятельному сановнику Рамачандра Рао, который сыграл важную роль в жизни Рамануджана. Однако улучшение положения Рамануджана заставило себя ждать ещё три года, когда Рамануджану был, наконец, подсказан самый важный шаг в его жизни: письмо к Харди в Кембридж.
Рамачандра Рао был математиком только в том смысле, что имел университетское математическое образование; его административная деятельность не давала ему возможности творчески заниматься математикой. Но он был первым, кто распознал математический гений Рамануджана и, не задумываясь, употребил всё свое влияние для облегчения жизни и обеспечения научной карьеры Рамануджана. Небезынтересно привести его собственное описание первой встречи с Рамануджаном: «Несколько лет тому назад мой племянник, совершенно не знакомый с математикой, обратился ко мне со словами: «Дядя, у меня был посетитель, говоривший
Рамачандра Рао сначала помогал Рамануджану из личных средств, а затем, видя, что Рамануджан тяготится таким положением, устроил его на работу в управление почт Мадраса с окладом 30 рупий в месяц. В почтовом ведомстве он работал с февраля 1912 г. по май 1913 г., когда его судьба, наконец, окончательно определилась благодаря вмешательству Харди.
В 1911 г. в «Журнале Индийского математического общества» появились в печати первые задачи Рамануджана, сообщённые Сешу Айаром. Первая собственная статья Рамануджана появилась несколько позже в том же году. К 1912 г. установилась репутация Рамануджана как математика, во всяком случае на его родине. О нём знали уже некоторые работавшие в Индии англичане, в частности профессор Мадрасского высшего технического училища Гриффитс и директор Мадрасского почтового ведомства сэр Фрэнсис Спринг. Однако при рассмотрении этого периода жизни Рамануджана всё же создаётся впечатление, что окружавшие его люди при всём хорошем отношении к нему
К началу 1913 г. близкие к Рамануджану индийские математики настойчиво рекомендовали ему вынести свои результаты из записных книжек на более компетентный и строгий суд: послать их в центр математической мысли Британской империи Кембриджский университет.
До начала XX века Кембриджский университет не принадлежал к числу крупнейших мировых математических центров. Но в начале XX века молодые математики Харди и Литлвуд подняли уровень математических исследований и математического образования в Кембридже. Благодаря своей энергии и исключительной научной продуктивности, Харди уже в молодые годы стал известным учёным, возглавившим крупную математическую школу. Харди был всего на 9 лет старше Рамануджана, но он имел возможность приобщиться ко всей тысячелетней мировой математической культуре, тогда как Рамануджан имел в своём распоряжении только пару старых элементарных учебников и могучий математический гений.
Своё первое письмо к Харди Рамануджан написал 16 января 1913 г. Вот это замечательное письмо (мы сохраняем в переводе математический стиль Рамануджана, применявшего выражения, предосудительные с современной точки зрения):
«Мадрас, 16 января 1913 г.
ДОРОГОЙ СЭР,
разрешите мне сказать о себе, что я чиновник бухгалтерии Мадрасского управления почт с окладом всего лишь в 20 фунтов стерлингов в год. Мне сейчас около 23 лет. Я не имею университетского образования, но я закончил школу. После окончания школы я всё своё свободное время занимался математикой. Я не следовал регулярной системе обучения, по которой занимаются в университетах, а избрал свою дорогу. Особенно усердно я занимался расходящимися рядами, и результаты, которые я получил, местные математики называют поразительными. Так же как в элементарной математике мы придаём степени
an при отрицательном и дробном показателе n такое значение, чтобы оставались в силе все законы, справедливые при целом положительном n, мои исследования были устремлены к тому, чтобы придать смысл эйлерову интегралу второго рода для всех значений n. Мои друзья, окончившие университет, говорят мне, что
∞ ò xn 1ex dx = Γ(n) 0 справедливо только для положительных n. Они утверждают, что это интегральное соотношение неверно, когда n отрицательно. Предполагая, что оно верно для положительных n, а также, что определяющее равенство
nΓ(n) = Γ(n + 1) справедливо всегда, я придаю смысл этим интегралам и утверждаю, что при этих условиях интеграл верен и для всех отрицательных и дробных значений n. На этом основаны все мои исследования, и я развил эти рассуждения до такой степени, что местные математики не в состоянии следовать за мной в моих более высоких полётах. Не так давно мне встретилась Ваша книга «Порядки бесконечности» 4, в которой я на стр. 36 нашёл утверждение, что до сих пор ещё не найдено определённого выражения для числа простых чисел, меньших данного числа. Я нашёл выражение, которое даёт очень хорошее приближение к истинному результату, так как ошибка ничтожно мала. Я прошу Вас просмотреть прилагаемые материалы. Я беден и не могу сам их опубликовать, но если Вы найдёте среди нихчто-либо ценное, то прошу Вас это опубликовать. Я не сообщаю Вам ни моих выкладок, ни полученных окончательных выражений, а только намечаю пути, по которым я шёл. Так как я очень неопытен, я буду высоко ценить любой совет, который Вы мне соблаговолите дать. С просьбой извинить меня за доставленные хлопоты, я остаюсь, дорогой сэр, искренне Ваш С. Рамануджан.Мой адрес: Бухгалтерия почтового управления, Мадрас, Индия».
Самый текст письма, как видно, весьма наивен как в стилистическом, так и в математическом отношении, но «прилагаемые материалы» поразили Харди. По поводу этого первого и дальнейших писем Рамануджана Харди заметил:
От реакции Харди на первое письмо Рамануджана зависела вся дальнейшая судьба последнего. Поэтому приведём свидетельство самого Харди о том впечатлении, которое произвели на него первые письма Рамануджана.
Харди выделяет в качестве наиболее представительных для раннего творчества Рамануджана следующие 15 результатов из примерно 120, содержавшихся в письмах (эти формулы Рамануджана, которые не будут понятны всем читателям, всё же стоит здесь привести в связи с очень существенными для нашего повествования высказываниями Харди по их поводу; разъяснение математического содержания некоторых из них будет дано ниже):
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
| (6) |
Если ab = p2, то
| (7) |
| (8) |
| (9) |
Если
u = | x 1 + |
x5 1 + |
x10 1 + |
x15 1 + ... |
, | v = | x1/5 1 + |
x 1 + |
x2 1 + |
x3 1 + ... |
то
| (10) |
| (11) |
| (12) |
Если
F(t) = 1 + | ( | 1 2 |
) | 2 | t + | ( | 1×3 2×4 |
) | 2 | t2 + ... |
и
k = (√2 1)2 (2 √3) (√7 √6)2 (8 3√7) (√10 3)2 (√15 √14) (4 √15)2 (6 √35). | (13) |
Коэффициент при xn в
| (14) |
Число чисел, заключённых между A и x, которые либо сами являются квадратами, либо представимы в виде суммы двух квадратов, равно
| (15) |
где
«Попытайтесь представить себе, пишет Харди, первую реакцию математика-профессионала, получившего такое письмо от неизвестного индийского клерка. Сначала я спросил себя, нет ли среди этих формул знакомых мне результатов. Я сам доказывал нечто аналогичное
В завязавшейся между Рамануджаном и Харди переписке перед последним всё больше и больше раскрывался самобытный талант Рамануджана. В одном из последующих писем от 27 февраля 1913 г. Рамануджан писал:
«В Вас я нашёл друга, который с вниманием и пониманием относится к моим трудам. Это является стимулом для меня продолжить мои исследования... Во многих местах Вашего письма я нахожу указания на то, что требуются строгие доказательства, и Вы просите меня сообщить мои методы доказательств... Вот что я хочу Вам сказать: проверьте мои результаты, и если они совпадают с Вашими, то Вы должны по крайней мере согласиться с тем, что в моих основных рассуждениях имеется
Харди подозревал, что Рамануджан не хочет сообщить ему, английскому математику, свои методы и основные формулы. Поэтому он написал Рамануджану, что тот может ему всё сообщить без опасения, что Харди использует его методы. В письме от 17 апреля 1913 г. Рамануджан в ответ пишет: «...Ваше последнее письмо причинило мне боль... Я нисколько не опасаюсь того, что мои методы будут использованы другими. Напротив, я работаю моими методами уже 8 лет и не нашёл никого, кто бы понимал и оценил их. Как я уже писал в моём последнем письме, я нашёл в Вас внимательного и понимающего друга и готов передать в Ваше полное распоряжение те немногие результаты, которыми я располагаю. Только в силу новизны моих методов я не решаюсь даже сейчас сообщить Вам мой путь вывода тех формул, которые я Вам сообщил в моих предыдущих письмах...».
В результате этой переписки Харди предпринял энергичные шаги по обеспечению Рамануджана стипендией и пригласил его приехать в Кембридж. Приглашение было передано Рамануджану через секретаря организации индийских студентов в Лондоне, но, хотя все финансовые вопросы благополучно разрешались, Рамануджан категорически отказался покинуть Индию; основную роль здесь сыграли кастовые предрассудки; особенно противилась поездке Рамануджана в Европу его мать. Оставалось только хлопотать о стипендии Рамануджану в самой Индии. Наряду с представлением Харди, к ректору Мадрасского университета по этому вопросу обратился также генеральный директор индийских обсерваторий Дж. Т. Уокер, который в своём ходатайстве, между прочим, писал: «...Имею честь обратить Ваше внимание на С. Рамануджана, клерка Мадрасского управления почт. Я с ним не знаком, но вчера мне в присутствии сэра Фрэнсиса Спринга показали его работы. Как мне сообщили, ему 22 года. Его работы произвели на меня сильное впечатление они вполне сравнимы с работами членов Кембриджского университета... Я совершенно убеждён в том, что университет поступит разумно, если предоставит С. Рамануджану возможность заниматься математикой, не заботясь о заработке, хотя бы в течение нескольких лет...». В результате Мадрасский университет с 1 мая 1913 г. предоставил Рамануджану специальную стипендию в 75 рупий в месяц сроком на 2 года. Как отметил Харди, с этого дня Рамануджан стал математиком-профессионалом.
Переписка не удовлетворяла Харди, и он продолжал настойчиво добиваться приезда Рамануджана в Кембридж как в интересах самого Рамануджана, за научную деятельность которого он себя чувствовал в известной мере ответственным, так и в интересах математики. Письменные увещевания Харди оставались безрезультатными, влияние матери на Рамануджана,
Первые месяцы пребывания Рамануджана в Кембридже были посвящены восполнению основных пробелов в его математических знаниях. Харди, Литлвуд и другие кембриджские математики были изумлены как глубиной его знаний в одних вопросах, так и его полной неосведомлённостью в других. Вспоминая начало кембриджской карьеры Рамануджана, Харди писал: «Перед нами был человек, который мог оперировать с модулярными уравнениями и теоремами комплексного умножения неслыханно высоких порядков, чьё мастерство в области цепных дробей, во всяком случае с формальной стороны, было непревзойдённым, человек, самостоятельно открывший функциональное уравнение
Война, разразившаяся осенью 1914 г., помешала продолжению образования Рамануджана. Литлвуд, который вместе с Харди вёл основную работу с Рамануджаном, был мобилизован, а, как сказал Харди, одного учителя для такого ученика было мало. Научная жизнь в Кембридже замерла, нарушились международные связи. Только на втором этаже внутреннего корпуса колледжа Св.Троицы, на стене которого висела под стеклом старая надпись «Посетителей просят не шуметь, так как это мешает занятиям достопочтенного сэра Исаака Ньютона», в квартире Харди продолжались ежедневные занятия с Рамануджаном.
Рамануджан упорно занимался математикой и только одной математикой. Он не проявлял ни малейшего интереса ни к каким другим областям, кроме как к анализу и теории чисел, ни тем более к другим точным наукам, политике, философии, литературе, спорту, которыми интересовался Харди. С камина в кабинете Харди на этих двух математиков безмолвно смотрели портреты Маркса, Эйнштейна и Хоббса (знаменитого английского игрока в крикет). В тех редких случаях, когда Харди удавалось вызвать Рамануджана на разговор на нематематические темы, Харди находил в нём довольно интересного собеседника. Про эти немногие минуты Харди писал: «...я хочу совершенно определённо заявить, что когда Рамануджан жил в Кембридже в хороших условиях и был здоров, он, несмотря на некоторые свои странности, был таким же нормальным и разумным человеком, как все другие кембриджские ученые, собиравшиеся за ужином в профессорской столовой. Не следует воздевать руки к небу и восклицать: «перед нами
Основная часть опубликованных работ Рамануджана была написана им в Кембридже самостоятельно или в соавторстве с Харди. Многие из этих работ Харди писал сам или подвергал английский текст Рамануджана редакционной переработке. Деятельное участие в их совместных занятиях принял также по возвращении с фронта Литлвуд.
Весной 1917 г. Рамануджан заболел и должен был лечь в Кембриджский госпиталь, где его регулярно посещали Харди и другие кембриджские математики. Большую часть остального времени пребывания в Англии ему пришлось провести в больницах Лондона, куда он был вскоре переведён 11. Сначала его болезнь не вызывала особых опасений, но постепенно сырой английский климат, условия военного и послевоенного времени, а также недоверие Рамануджана к английским врачам и настойчивое соблюдение им неподходящей диеты окончательно подорвали его здоровье. Он имел от рождения слабые лёгкие, и его болезнь перешла в открытую форму туберкулёза. Рамануджану очень хотелось вернуться домой, в Индию, но отъезд задерживался в течение двух лет в связи с его болезненным состоянием и трудностями морского сообщения (воздушного сообщения, конечно, ещё не существовало). Хотя в это время Рамануджан уже не мог так интенсивно заниматься математикой, как в первые три года его пребывания в Англии, он продолжал работать в больницах и санаториях.
После длительного отдыха осенью 1918 г. в одном из санаториев Уэльса на юго-западном побережье Англии его здоровье, как казалось, несколько улучшилось, и он с новой энергией взялся за работу. 26 ноября 1918 г. он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным этих почестей.
В начале 1919 г. здоровье Рамануджана настолько поправилось, что лучшие медицинские силы Англии считали его вне опасности, и он решил хотя бы на время вернуться в Мадрас, университет которого также приглашал его на работу.
«11 января 1919 г.
СЭР,
имею честь подтвердить получение Вашего письма от 9 декабря 1918 г. и выразить благодарность за оказываемую мне поддержку и предложенную честь.
Я считаю, однако, что оклад, установленный мне по прибытии в Индию, которое, как я надеюсь, произойдёт в самое ближайшее время, слишком велик по моим потребностям. Я думаю, что после оплаты моих расходов в Англии и помощи моим родителям в размере 50 фунтов стерлингов в год останется слишком большая сумма, часть которой я хотел бы использовать для благотворительных целей, таких, как снижение школьной платы за обучение бедных детей и сирот и как приобретение книг для школьных библиотек. Необходимые для этого шаги можно будет, конечно, предпринять после моего возвращения.
Я сожалею, что вследствие моей болезни я не мог за последние два года достаточно много заниматься математикой. Надеюсь, что скоро я буду в состоянии сделать больше и тем самым оправдать ту помощь, которую я получал.
Я остаюсь, Сэр,
Ваш покорный слуга
С.Рамануджан».
После отъезда Рамануджана Харди с нетерпением ждал от него вестей. Однако Рамануджан молчал в течение почти целого года. Наконец, в начале 1920 г. в Кембридж пришло последнее письмо Рамануджана:
«Мадрасский университет,
12 января 1920 г.
Я очень прошу меня извинить, что до сих пор не написал Вам ни одного письма... Я недавно открыл очень интересные функции, которые я называю «симулирующими» («mock»)
тета-функциями. В отличие от«псевдо»-J-функций (которые частично изучались проф. Роджерсом в его интересной работе), они входят в математику так же красиво, как обычныеJ-функции. Посылаю вам с этим письмом несколько примеров...».
В этом письме Рамануджан не сообщал о своём здоровье, и Харди решил, что оно по крайней мере удовлетворительно. В действительности же Рамануджан прибыл в Мадрас 2 апреля 1919 г. в очень плохом состоянии.
К исполнению своих обязанностей профессора Мадрасского университета он фактически так и не приступил.
Существует только два портрета Рамануджана: фотография и один портрет маслом как члена Королевского общества, находящийся в колледже Св.Троицы в Кембридже. Харди, который лучше всех в Европе знал Рамануджана, считал, что этот портрет написан плохо и не передаёт правильного впечатления о внешности Рамануджана.
Весть о смерти Рамануджана была в Кембридже полной неожиданностью. Вскоре под руководством Харди началась интенсивная работа над научным наследством Рамануджана, начиная от самых ранних записей в его записных книжках и кончая симулирующими
Надо заметить, что, несмотря на пятилетнее общение с Рамануджаном, Харди так и не успел многого узнать от Рамануджана относительно его ранних результатов, путей, по которым он к ним пришёл, источника его знаний по некоторым вопросам, которые не освещены в книге Карра,
Таким образом, многое в трудах Рамануджана так и осталось исторической загадкой.
Харди, в частности, предпринял специальное исследование доступной Рамануджану в Индии математической литературы и оценку вероятности знакомства с ней Рамануджана. При этом Харди пришёл к заключению, что в отношении теоретико-числовых проблем Рамануджану был доступен только старый учебник Мэтьюза (Mathews, Theory of Numbers, 1892), имевшийся в Мадрасской библиотеке, но что Рамануджан его не видел. Об этом свидетельствует и сравнение результатов Рамануджана из теории чисел с содержанием учебника Мэтьюза и тот факт (которому Харди был склонен придавать решающее значение), что Рамануджан в своих первых письмах и впоследствии утверждал самостоятельность открытия им всех его теоретико-числовых формул. Надо сказать, что вопросы приоритета Рамануджана никогда не интересовали, он искал математические истины, он был одержим страстью их познания, но источник этого познания его не особенно интересовал. У него не было книг, и он сам открывал эти истины. В научной честности Рамануджана Харди никогда не сомневался.
Если открытия Рамануджана в области математического анализа в
Величие Рамануджана как математика и значимость его работ были оценены Харди и Литлвудом вскоре после его смерти. В исторической перспективе, которой мы располагаем теперь, оценка Харди и Литлвуда остаётся в полной силе. Харди писал: «Его проникновение в алгебраические формулы, преобразования бесконечных рядов
И Харди, и Литлвуд признавали, что во второй половине XIX века и в первых десятилетиях XX века имелось немало более значительных математиков, чем Рамануджан, но нельзя не присоединиться к их мнению, что в своей специальной сфере Рамануджан был недосягаем, «он был чемпионом каждой игры, правила которой он знал».
Через год после смерти Рамануджана Харди писал: «Можно расходиться во мнениях относительно значимости работ Рамануджана, критериев, с которыми следует подходить к нему как математику, и влияния, которое он окажет на развитие математики. Его работы не обладают той простотой и неизбежностью, которые характеризуют труды самых великих математиков; его результаты были бы значительней, если бы они не были столь необычными. Они отличаются, однако, одной неоспоримой чертой глубокой и неуязвимой оригинальностью. Он стал бы наверно более крупным математиком, если был бы обуздан в молодости. Он открыл бы, вероятно, больше новых фактов, и притом большей значимости. С другой стороны, он был бы тогда в меньшей степени Рамануджаном и в большей степени европейским профессором, и трудно сказать, явилось бы это приобретением или потерей...». Последние строки были написаны Харди явно под влиянием свежей утраты друга, яркая личность которого ещё стояла перед его глазами. Через 16 лет после того, как эти строки были написаны, Харди вновь вернулся к оценке Рамануджана уже с несколько более уравновешенных позиций и, процитировав приведённые выше свои высказывания, писал: «Всё, что я тогда сказал, я и сейчас готов повторить, за исключением лишь последней фразы, которая звучит как смешной сентиментализм. Наука ничего не выиграла от того, что Кумбаконамский колледж отверг единственного большого учёного», которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана худший известный мне пример вреда, который может быть причинен малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, а мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков...»
К сказанному Харди следует лишь добавить, что дело было не только в негибкой и неэффективной системе образования. Сама эта система являлась следствием общего положения Индии как колониальной страны, положения, при котором всячески сдерживалось развитие национальной культуры и, в частности, национальных научных кадров.
Рамануджан был первым индийским математиком, получившим мировое признание. В наши дни Республика Индия располагает значительными математическими кадрами, наука в Индии находится на большом подъёме. Излишне говорить, что память о Рамануджане живёт в сердцах индийских учёных, а имя его почитается как символ пробудившегося гения индийского народа.
Выше уже были приведены ранние результаты Рамануджана из его первого письма Харди. Они типичны для того мира математических формул, который создал для себя и в котором жил и творил молодой Рамануджан, имея в своем распоряжении всего
Для менее искушённых читателей мы попытаемся раскрыть математический мир Рамануджана на более доступных примерах его творчества. Начнём с одной совсем простой по формулировке теоремы юного Рамануджана, также содержавшейся в его первом письме Харди. Это теорема из элементарной теории чисел, которая испокон веков привлекает математические умы с детских лет: чтобы размышлять о целых числах, не требуется никаких знаний, а только интерес и влечение. Но чтобы проникнуть в тайны натурального ряда чисел, надо ещё обладать некоей специфичностью мышления и той необъяснимой силой интуиции, которой располагают все большие математики и которой в необычайно большой степени обладал Рамануджан. Сколько среди первых 100 натуральных чисел таких, которые являются степенями
k £ | lg n lg 2 |
. |
Сколько неотрицательных целых показателей k удовлетворяют этому неравенству? Число положительных целых k, удовлетворяющих этому неравенству, равно целой части дроби
lg n lg 2 |
+ 1. |
Так как
lg 100 lg 2 |
+ 1 = | 2 0,30103 |
+ 1 = [6,6...] + 1 = 6 + 1 = 7. | ||||
lg 1000 lg 2 |
+ 1 = | 3 0,30103 |
+ 1 = [9,9...] + 1 = 9 + 1 = 10. |
Аналогично решается соответствующая задача и о степенях числа 3: среди первых n натуральных чисел имеется
Подойдём к этому вопросу эмпирически выпишем все такие числа в первой сотне: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96 всего 20 чисел. Было бы уже утомительно выписывать все такие числа в первой тысяче. Нужна общая формула, но, несмотря на все усилия, такую формулу получить не удаётся. Такой формулы для задачи Рамануджана, как полученные выше точные формулы
lg 2n × lg 3n 2 lg 2 × lg 3 |
. |
Это было блестящее открытие Рамануджана (одно из самых первых), тем более что, несмотря на простоту самой формулы, её доказательство очень непросто. Проверим эту формулу при
lg 200 × lg 300 2 lg 2 × lg 3 |
= | 2,30103 × 2,47712 2 × 0,30103 × 0,47712 |
= | 5,67792 0,28725 |
= 19,75... . |
Формула Рамануджана в действительности является асимптотической, т.е. если обозначить через
R(n) | lg 2n × lg 3n 2 lg 2 × lg 3 |
= d(n) |
является величиной, которая при
Рамануджан вообще был большой мастер приближённых формул (для чего требуется прежде всего интуиция). Исходя из глубоких наводящих соображений, он, в частности, установил, что с точностью до 9 десятичных знаков
π = | 63 25 |
× | 17 + 15√5 7 + 15√5 |
, |
и с точностью до 8 десятичных знаков
1 2pÖ2 |
= | 1103 99² |
. |
Виртуозность в отыскании неведомых формул показывают и следующие результаты молодого Рамануджана:
Ö | 1 + 2 | Ö | 1 + 3Ö1 + ... | = 3, |
Ö | 6 + 2 | Ö | 7 + 3Ö | 8 + 4Ö9 + ... |
= 4, |
Ö | 8 | Ö | 8 +Ö | 8 Ö8 ... |
= 1 + 2Ö3 sin 20°, |
Ö | 11 2 | Ö | 11 + 2Ö11 ... | = 1 + 4 sin 10°, |
Ö | 23 2 | Ö | 23 + 2Ö23 ... | = 1 + 4Ö3 sin 20°, |
где в последних трёх формулах знаки перед корнями периодически повторяются группами по три:
3 | Ö | cos | 2π 7 |
+ | 3 | Ö | cos | 4π 7 |
+ | 3 | Ö | cos | 8π 7 |
= | 3 | Ö | 5 3× Ö7 2 |
. | 3 |
3 | Ö | cos | 2π 9 |
+ | 3 | Ö | cos | 4π 9 |
+ | 3 | Ö | cos | 8π 9 |
= | 3 | Ö | 3× Ö9 6 2 |
. | 3 |
Эти точные равенства являются, конечно, частными случаями значительно более общих соотношений, которыми располагал Рамануджан, но о которых он никому ничего не сообщил. После его смерти часть этих общих соотношений была восстановлена другими математиками, но не подлежит сомнению, что некоторые из них утеряны навсегда. Харди, который провёл очень большую работу по изучению творчества Рамануджана, отмечал: «В формулах Рамануджана всегда содержится гораздо больше, чем это кажется на первый взгляд; в этом убедится каждый, кто примется за их вывод. Некоторые его формулы вскрывают чрезвычайно глубокие аналитические зависимости, другие менее глубоки, но нет ни одной формулы, сообщённой Рамануджаном, которая не была бы интересной и поучительной».
Последние две из этих формул совсем элементарны, но очень глубоки. Они обладают неповторимой внутренней симметрией, и догадаться об их существовании мог только математик самого высокого ранга. В противоположность им первые две формулы легки и изящны. Следующая цепочка остроумных преобразований, напоминающая изящные этюды Моцарта, приводит к первой формуле:
= n | Ö | 1 + (n + 1)Ö1 + (n + 2)(n + 4) | = |
= n | Ö | 1 + (n + 1) | Ö | 1 + (n + 2)Ö1 + (n + 3)(n + 5) | = |
= n | Ö | 1 + (n + 1) | Ö | 1 + (n + 2)Ö | 1 + (n + 3)Ö1 + (n + 4)(n + 6) |
и т.д., откуда Рамануджан заключает (это, строго говоря, требует ещё дополнительного обоснования), что
n(n + 2) = n | Ö | 1 + (n + 1) | Ö | 1 + (n + 2)Ö | 1 + (n + 3)Ö1 + (n + 4)... |
Отсюда при n = 1 получаем первую формулу.
Средняя группа из трёх формул, содержащих значения тригонометрических формул, требует для своего доказательства высокой преобразовательной техники. Например, первая формула из этой группы выводится Рамануджаном следующим артистическим образом с использованием только формул школьной тригонометрии:
1 + 2√3 sin 20° = | Ö | 1 + 4√3 sin 20° + 12 sin2 20° | = |
= | Ö | 1 + 4√3 sin 20° + 6(1 cos 40°) | = |
= | Ö | 7 + 4√3 sin 20° 6 cos 40° | = |
= | Ö | 7 + 4√3 sin 20° 4√3 cos 30° cos 40° | = |
= | Ö | 7 + 4√3 sin 20° 2√3 cos 70° 2√3 cos 10° | = |
= | Ö | 7 + 2√3 cos 70° 2√3 cos 10° | = |
= | Ö | 7 4√3 sin 30° sin 40° | = |
= | Ö | 8 (1 + 2√3 sin 40°) | ; |
аналогично преобразовывается:
1 + 2√3 sin 40° = | Ö | 1 + 4√3 sin 40° + 12 sin2 40° | = |
= | Ö | 1 + 4√3 sin 40° + 6(1 cos 80°) | = |
= | Ö | 7 + 4√3 sin 40° 6 cos 80° | = |
= | Ö | 7 + 4√3 sin 40° 4√3 cos 30° cos 80° | = |
= | Ö | 7 + 4√3 sin 40° 2√3 cos 110° 2√3 cos 50° | = |
= | Ö | 7 + 2√3 sin 40° + 2√3 sin 20° | = |
= | Ö | 7 + 4√3 sin 30° cos 10° | = |
= | Ö | 8 + (2√3 sin 80° 1) | ; |
наконец, точно так же получаем:
2√3 sin 80° 1 = | Ö | 12 sin2 80° 4√3 sin 80° + 1 | = |
= | Ö | 6(1 cos 160°) 4√3 sin 80° + 1 | = |
= | Ö | 7 4√3 sin 20° 6 cos 160° | = |
= | Ö | 7 4√3 sin 20° 4√3 cos 30° cos 160° | = |
= | Ö | 7 4√3 sin 20° 2√3 cos 190° 2√3 cos 130° | = |
= | Ö | 7 2√3 sin 80° + 2√3 sin 40° | = |
= | Ö | 7 4√3 cos 60° sin 20° | = |
= | Ö | 8 (1 + 2√3 sin 20°) | . |
Эти три результата после подстановки друг в друга приводят к равенству:
1 + 2Ö3 sin 20° = | Ö | 8 | Ö | 8 +Ö | 8 (1 + 2Ö3 sin 20°) |
; |
искомая формула может быть получена отсюда итерированием, т.е. повторной подстановкой.
Мы подробно привели этот вывод Рамануджана для того, чтобы утверждение о его комбинаторных способностях не осталось голословным. Если внимательно проследить филигранное нанизывание Рамануджаном простейших формул тригонометрии с его неожиданным и блестящим финалом, то ни один маломальски интересующийся математикой читатель не может не признать, что здесь видна рука гроссмейстера!
Вся техника Рамануджана изобилует неожиданно фантастическими поворотами в самых, казалось бы, простейших вещах. Чего стоит, например, его числовое равенство
3 | 3 | Ö | √2 1 | = | 3 | Ö | 1 9 |
| 3 | Ö | 2 9 |
+ | 3 | Ö | 4 9 |
. |
которое нетрудно доказать последовательными возвышениями в куб, но которое надо было сначала найти!
Мы уже встречались в формулах Рамануджана с бесконечными процессами в виде итерированных радикалов. Эти предельные переходы довольно тонки, и Рамануджан не утруждал себя их строгим в современном понимании обоснованием. Более простые предельные переходы встречаются в бесконечных рядах, которыми Рамануджан также много занимался и в которых он открыл немало жемчужин. Бесконечный ряд
называется сходящимся к сумме S, если S является пределом при
В этом случае пишут:
Уже давно в математике разработана теория бесконечных рядов, позволяющая в очень многих конкретных случаях установить, сходится ли данный ряд или нет. Однако нахождение суммы конкретного сходящегося ряда в подавляющем большинстве случаев значительно более трудная задача. И в этой области Рамануджан получил массу изумительных результатов. Приведём некоторые из них.
Совсем нетрудно показать, что бесконечный ряд с общим членом
un = | nn 2 (1000 + n)n |
сходится:
1 1001 |
+ | 1 10022 |
+ | 3 10033 |
+ | 42 10044 |
+ | 53 10055 |
+ ... = S. |
Но чему равно S? Его точное значение найти нельзя, можно только указать его приближённые значения. Рамануджан чрезвычайно остроумно показал, что S меньше
где число следующих друг за другом девяток не менее 436. Этот результат подсчётом найти, конечно, нельзя, он требует рамануджановской преобразовательной техники.
В математике большую роль играет число Непера, которое обозначается буквой e и определяется как
lim | ( | 1 + | 1 n |
) | n | ; |
n ® ¥ |
оно является также суммой следующего сходящегося бесконечного ряда:
e = 1 + | 1 1! |
+ | 1 2! |
+ | 1 3! |
+ | 1 n! |
+ ... , |
где под n! понимается произведение
1 | 1 2 |
+ | 1 3 |
| 1 4 |
+ | 1 5 |
| 1 6 |
+ ... = ln 2. |
Одним из самых первых результатов Рамануджана (сравнительно простым, но, как все его результаты, весьма неожиданным) была следующая формула:
2 43 4 |
+ | 2 83 8 |
+ | 2 123 12 |
+ ... = | 3 2 |
ln 2 1. |
Мы написали эту формулу, как её написал Рамануджан; общий член его ряда легко угадывается: он равен
Рамануджан, конечно, открыл и более сложные формулы этого рода, например, следующие две (в его собственной записи):
( | 1 3 |
| 1 4 |
) | + | 2 32 |
( | 1 3 |
| 1 42 |
) | + | 2×4 3×52 |
( | 1 3 |
| 1 43 |
) | +... = | π ln(2 + √3) 12 |
, |
1 | 2 32 |
+ | 2×4 3×52 |
| 2×4×6 3×5×72 |
+ ... = | π2 8 |
| ln2(1 + √2) 2 |
. |
Эти формулы требуют большой виртуозности; они замечательны во многих отношениях, в частности, тем, что суммы этих рядов выражаются через натуральные логарифмы квадратичных иррациональностей и число π (после Рамануджана были открыты, главным образом голландскими математиками, другие формулы такого же типа). Общие члены рядов Рамануджана не записаны, но их легко себе представить (второй ряд, конечно, знакочередующийся).
Выше были приведены 15 отобранных Харди результатов Рамануджана из его писем к Харди; первые четыре из них относятся тоже к суммированию бесконечных рядов.
Из математического анализа ограничимся приведением ещё только одной формулы Рамануджана, особенно поражающей неожиданными сочетаниями. В математическом анализе построены разные аппараты предельных переходов, каждый из них обычно работает в своей области. Сочетание в одной формуле двух различных аппаратов факт чрезвычайно редкий и всегда свидетельствующий об очень скрытых связях.
Помимо бесконечных рядов, имеющих очень широкое применение, в классическом анализе давно разработан аппарат бесконечных цепных дробей (мало применяемый в современной математике [Настолько мало, что я могу припомнить только книгу «Математический анализ: функции, пределы, ряды, цепные дроби» из серии «Справочная математическая библиотека» (М., Физматгиз, 1961), где уделено хоть
a1 | |||||
1 + | a2 | ||||
1 + | a3 | ||||
1 + ... | |||||
+ | an 1 + ... |
, |
записываемая символически также в виде
a1 1 + |
a2 1 + |
a3 1 + ... |
an 1 + ... |
(знаки плюс ставятся против знаменателей), называется сходящейся к сумме b, если b является пределом при
bn = | a1 1 + |
a2 1 + ... |
an 1 |
. |
В этом случае пишут:
a1 1 + |
a2 1 + |
a3 1 + ... |
an 1 + ... |
= b. |
Нахождение суммы конкретных бесконечных цепных дробей задача не менее сложная, чем суммирование бесконечных рядов; она даже, как правило, сложнее, так как подходящая дробь многоэтажна и должна быть предварительно упрощена. Только простейшие бесконечные цепные дроби (например, периодические) допускают простое вычисление. Так, бесконечная цепная дробь
1 1 + |
1 1 + |
1 1 + ... |
1 1 + ... |
= x |
может быть вычислена, исходя из того, что очевидно
Преобразовательные трудности, связанные с бесконечными цепными дробями, привлекали молодого Рамануджана, который с большим успехом проявил свои блестящие способности на этом поприще. Он самостоятельно нашёл почти все классические результаты, относящиеся к бесконечным цепным дробям, и обогатил их теорию многими новыми удивительными открытиями. Современные математики считают, что Рамануджан был и остаётся крупнейшим знатоком цепных дробей в мире.
Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является следующая его формула:
1 + | 1 1×3 |
+ | 1 1×3×5 |
+ | 1 1×3×5×7 |
+ ... + | 1 1 + |
1 1 + |
2 1 + |
3 1 + |
4 1 + ... |
= | Ö | πe 2 |
. |
Эта формула единственная в своем роде связывает бесконечный ряд
1 + | 1 1×3 |
+ | 1 1×3×5 |
+ | 1 1×3×5×7 |
+ ... |
и бесконечную цепную дробь
1 1 + |
1 1 + |
2 1 + |
3 1 + |
4 1 + ... |
и может рассматриваться как формула преобразования ряда в цепную дробь, или обратно:
1 + | 1 1×3 |
+ | 1 1×3×5 |
+ | 1 1×3×5×7 |
+ ... = | Ö | πe 2 |
| 1 1 + |
1 1 + |
2 1 + |
3 1 + |
4 1 + ... |
. |
Отметим, что ни данный ряд, ни данная цепная дробь в отдельности не выражаются через известные постоянные π и e; эта формула указывает на существование очень глубоких зависимостей между определённым классом степенных рядов и цепными дробями. Надо полагать, что Рамануджан владел
Из классического анализа хорошо известно, что бесконечные ряды тесно связаны с интегралами. Ньютон, Эйлер, Коши и многие другие крупнейшие математики установили много формул суммирования рядов, выражающих сумму ряда через интеграл. Но и в этих классических вопросах гений Рамануджана нашёл совершенно новые аспекты и типично рамануджановские неожиданные формулы. Они имеют более традиционный характер, чем остальное творчество Рамануджана, но несут на себе его неповторимую печать оригинальности. Харди считал их сначала наименее «впечатляющими» из всех результатов Рамануджана, но в конце своей жизни он высказывался в том смысле, что формулы суммирования Рамануджана сделали бы имя их открывателя бессмертным в математике даже в том случае, если бы Рамануджан ничего другого после себя не оставил. Кроме того, эти формулы интересны ещё в том отношении, что они являются его единственными математическими результатами, полученными до его переезда в Кембридж, из которых он извлёк материальную пользу: они были представлены им в конце 1913 г. и в начале 1914 г. в Мадрасский университет в качестве отчёта по научной работе, за которую ему была назначена стипендия.
Всего Рамануджан установил шесть основных новых формул суммирования. Все они достаточно сложны и требуют весьма тонкого аналитического аппарата, но одна из них столь замечательна, что о ней нужно сказать несколько слов. Это знаменитая третья формула суммирования Рамануджана, которую он сам рассматривал как континуальный аналог степенного ряда Маклорена. Мы приведём только её частный случай для показательной функции
ex = 1 + | x 1! |
+ | x2 2! |
+ | x3 3! |
+ ... + | xn n! |
+ ... . |
В знаменателях членов этого ряда стоят факториалы:
(о гамма-функции
¥ | ||
ò | x t Γ(t + 1) | dt. |
0 |
Вполне естественно, что значение этого интеграла будет отличаться от суммы ряда
¥ | ¥ | ||||||
ò | x t Γ(t + 1) |
dt = ex | ò | e | xev | dv v2 + π2 |
, |
0 | ¥ |
где нужно предположить, что x > 0. Эта и аналогичные формулы Рамануджана многократно передоказывались и применялись к некоторым современным вопросам теории интегральных преобразований. Известны также некоторые их обобщения.
Не останавливаясь на богатейшей коллекции формул Рамануджана из интегрального исчисления, теории специальных, в частности, эллиптических и модулярных функций, и теории бесконечных произведений, перейдём к глубоким результатам Рамануджана по теории чисел. Среди них исключительно сложные результаты по проблеме «partitio numerorum» разбиения чисел, полученные им в Кембриджском университете совместно с Харди.
Число 4 можно представить в виде суммы натуральных чисел следующими способами:
аналогично
Мы имеем, таким образом, пять способов разбиения числа 4 и семь способов разбиения числа 5; при этом мы считаем, что оказывается целесообразным само число считать также одним из способов его разбиения. Число 1 имеет, таким образом, одно разбиение, число 2 два разбиения, число 3 три разбиения. Вводится обозначение
Значения
Ещё будучи в Индии и работая совершенно самостоятельно, Рамануджан открыл одно тождество, связанное с
который при любом значении x, по модулю меньшем единицы, является сходящимся рядом; Рамануджан установил, что сумма этого ряда равна
5 | {(1 x5) (1 x10) (1 x15) ...}5 {(1 x) (1 x2) (1 x3) ...}6 |
, |
где в числителе и знаменателе стоят бесконечные произведения. Рамануджан указал ещё одну аналогичную формулу:
p(5) + p(12)x + p(19)x2 + ... + p(7n 2)xn 1 + ... = | ||||
= 7 | {(1 x7) (1 x14) (1 x21) ...}3 {(1 x) (1 x2) (1 x3) ...}4 |
+ 49x | {(1 x7) (1 x14) (1 x21) ...}7 {(1 x) (1 x2) (1 x3) ...}8 |
. |
Как эти формулы были открыты Рамануджаном осталось до сих пор неизвестным; впоследствии они были доказаны двумя английскими математиками Дарлингтоном и Морделлом (последний является одним из крупнейших современных математиков).
В первой из этих замечательных формул важную роль, очевидно, играет число 5 (а во второй число 7). Рамануджан открыл ещё формулы, в которых 5 играет совершенно неожиданную роль (см. также формулы
1 + | x 1 x |
+ | x4 (1 x)(1 x2) |
+ ... + | xm² (1 x)(1 x2)...(1 xm) |
+ ... = |
= | 1 (1 x)(1 x6)... (1 x4)(1 x9)... |
. |
Неожиданным в нём является вид знаменателя правой части: показатели в скобках образуют две арифметические прогрессии с разностью 5; в первой последовательности скобок фигурируют показатели
а во второй показатели
Эти тождества также тесно связаны с partitio numerorum, как было впоследствии показано немецким математиком Исаем Шуром (уроженец России) и шотландским математиком Макмэгоном.
История этих формул такова. Они были впервые открыты в 1894 году английским математиком Роджерсом, который был очень тонким и глубоким математиком, обладавшим талантом, по своей оригинальности близким к гению Рамануджана. Роджерс остался незамеченным в математическом мире, и из его современников никто не обращал внимания на его публикации. В частности, и опубликованные им тождества в течение 23 лет лежали на полках специальных библиотек. Рамануджан тоже открыл эти тождества в
Несмотря на все эти достижения Рамануджана, основная цель в partitio numerorum осталась недостигнутой. Речь идёт о точной формуле для
exp | ( | π q |
Ö | 2n 3 |
) | , |
где q натуральное число (по q производилось суммирование). Однако эта формула, несмотря на все старания, не давала нужного значения, и предположение Рамануджана становилось всё менее и менее вероятным. Но на этом этапе Рамануджан ещё раз показал, что его интуиция превосходит всё, что встречалось в математическом творчестве до него. Он внёс абсолютно «дикое» предложение изменить приведённое выше ключевое выражение на
exp | ( | π q |
Ö | 2(n 1/24) 3 |
) | , |
т.е. заменить в нём n на
Литлвуд, весьма сдержанный (как многие англичане) в своих суждениях человек, бывший непосредственным участником всех этих событий, писал об открытии этой теоремы: «Незачем говорить читателю о том, что эта теорема поразительна, и легко поверить в то, что методы, которыми она была доказана, базируются на одной принципиально новой и очень важной идее, оказавшейся весьма плодотворной и в применении к другим проблемам. Эта теорема имеет интересную историю. (Чтобы её рассказать, я должен немного нарушить правила, действующие в отношении совместного творчества; поэтому я добавлю, что профессор Харди подтверждает моё изложение имевших место фактов и даёт разрешение на его опубликование.) Одним из индийских предположений Рамануджана было, что первый член ряда является очень хорошим приближением к
Этот краткий обзор математических творений Рамануджана не даёт, конечно, сколько-нибудь полной картины его редкого, можно даже сказать уникального образа мышления для этого нужна специальная монография, адресованная математикам-профессионалам; но и предложенный читателю беглый очерк и оценки крупных математиков нашего времени дают, как мы надеемся, первое впечатление о силе и своеобразии этого самобытного таланта 13.
1. | Галуа и Абель математики начала XIX века, прожившие очень короткие, но насыщенные творчеством жизни. Галуа погиб в 1832 г. на дуэли на двадцать первом году жизни, Абель скончался на двадцать седьмом году жизни от туберкулёза (болезни, погубившей менее столетия спустя и Рамануджана). назад к тексту |
2. | George Shoobridge Carr. A synopsis of elementary results in pure and applied mathematics. London, vol.I, 1880; vol.II, 1886. назад к тексту |
3. | Теория расходящихся рядов была уже, конечно, разработана в Европе, хотя и далеко не в такой степени, как в настоящее время. назад к тексту |
4. | G.H.Hardy. Orders of infinity: «Infinitärcalcül» of Paul du Bois-Reymond, Cambridge. Книга переведена на русский язык (М., ИЛ, 1949). назад к тексту |
5. | Особенно сильное впечатление произвела на Харди формула (10). Первая попытка проверить справедливость этой формулы заключается, конечно, в рассмотрении частного случая |
6. | По поводу этих формул Харди приводил латинскую поговорку «Quam errat eruditus, errat errore erudite» (когда учёный ошибается, он и ошибается |
7. | Рамануджан, введённый в заблуждение аналогией с проблемой аппроксимации функции |
8. | Ссылка на лицо, фигурировавшее в предыдущем письме. назад к тексту |
9. | То есть если он будет направлен в Кембридж. назад к тексту |
10. | Стипендия была затем продлена ещё на 3 года, так что Рамануджан получал её в течение 5 лет, до 1 апреля 1919 г. назад к тексту |
11. | К этому периоду относится известный исторический анекдот. Однажды Харди ехал к больному Рамануджану в такси с номером 1729. Харди это число показалось «скучным»: Я прочёл в гранках книги Харди о Рамануджане: «кто-то сказал, что каждое положительное целое число было одним из его личных друзей». Моей первой реакцией на это место было «Интересно, кто это сказал; я бы хотел, чтобы это был я». В вёрстке я уже прочитал (так, как это теперь напечатано) «Литлвуд сказал...». (Произошло следующее: Харди выслушал моё замечание молча, с непроницаемым лицом, так что я решил, что он пропустил его мимо ушей. Впоследствии я упрекнул Харди в том, что он вообще имеет привычку часто не реагировать на замечания, на что он ответил: «Что же остаётся делать? Неужели каждый раз говорить: вот это здорово!» Ответ: «Да».) E.G.A. |
12. | Кроме замены n на n 1/24, Рамануджан предложил ещё продифференцировать ключевое выражение по n. назад к тексту |
13. | Подробный список литературы (на английском языке), использованной в настоящей брошюре, приведён в статье автора, опубликованной в сборнике «Историко-математические исследования». Том XIII. М., Физматгиз, 1960. назад к тексту |