3030 Кб

Оглавление Предисловие редактора перевода 9 Предисловие 14 Советы читателю 21   Том  I ИНДУКЦИЯ И АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ I. Индукция 25 II. Обобщение, специализация, аналогия 34 III. Индукция в пространственной геометрии 56 IV. Индукция в теории чисел 80 V. Разные примеры индукции 97 VI. Одно более общее утверждение 111 VII. Математическая индукция 128 VIII. Максимумы и минимумы 141 IX. Физическая математика 161 X. Изопериметрическая задача 185 XI. Другие виды правдоподобных доводов 206   Том  II СХЕМЫ ПРАВДОПОДОБНЫХ РАССУЖДЕНИЙ XII. Несколько бросающихся в глаза схем 227 XIII. Дальнейшие схемы и первые связи между схемами 244 XIV. Случай. Неизменное соперничающее предположение 281 XV. Исчисление вероятностей и логика правдоподобных рассуждений     338 XVI. Правдоподобные рассуждения в изобретении и обучении 371 Библиография 463

Эта книга имеет различные тесно связанные между собой цели. В первую очередь она предназначена для того, чтобы помочь учащимся и преподавателям математики в одном важном вопросе, которому обычно не уделяют должного внимания. Однако в известном смысле она представляет и философский этюд. Она является также продолжением и требует продолжения. Я последовательно коснусь этих её особенностей.

1. Строго говоря, все наши знания за пределами математики и доказательной логики (которая фактически является ветвью математики) состоят из предположений.¹ Конечно, существуют предположения и предположения. Есть в высшей степени достойные и надёжные предположения, например, те, которые выражены в некоторых общих законах физики. Бывают другие предположения, не являющиеся ни надёжными, ни достойными, и некоторые из них способны привести вас в ярость, когда вы прочитаете их в газете. И между теми и другими существуют всякого рода предположения, предчувствия и догадки.

Мы закрепляем свои математические знания доказательными рассуждениями, но подкрепляем свои предположения правдоподобными рассуждениями. Математическое доказательство является доказательным рассуждением, а индуктивные доводы физика, косвенные улики юриста, документальные доводы историка и статистические доводы экономиста относятся к правдоподобным рассуждениям.

Различие между этими двумя типами рассуждений велико и многообразно. Доказательное рассуждение надёжно, неоспоримо и окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно и условно.

Доказательные рассуждения пронизывают науки как раз в той же мере, что и математика, но сами по себе (как и сама по себе математика) не способны давать существенно новые знания об окружающем нас мире. Всё новое, что мы узнаём о мире, связано с правдоподобными рассуждениями, являющимися единственным типом рассуждений, которым мы интересуемся в повседневных делах. Доказательное рассуждение имеет жёсткие стандарты, кодифицированные и выясненные логикой (формальной, или доказательной логикой), являющейся теорией доказательных рассуждений. Стандарты правдоподобных рассуждений текучи, и нет никакой теории таких рассуждений, которая могла бы по ясности сравниться с доказательной логикой или обладала бы сравнимой с ней согласованностью.

2. Заслуживает нашего внимания другой момент, касающийся этих двух типов рассуждений. Всякий знает, что математика предоставляет прекрасную возможность научиться доказательным рассуждениям, но я утверждаю также, что в обычных учебных планах учебных заведений нет предмета, который давал бы сравнимую возможность научиться правдоподобным рассуждениям. Я обращаюсь ко всем, кто обучается математике, элементарной или высшей, и заинтересован в овладении ею, и говорю: «Конечно, будем учиться доказывать, но будем также учиться догадываться».

Это звучит немного парадоксально, и я должен подчеркнуть несколько обстоятельств, чтобы избежать возможных недоразумений.

Математика рассматривается как доказательная наука. Однако это только одна из её сторон. Законченная математика, изложенная в законченной форме, выглядит как чисто доказательная, состоящая только из доказательств. Но математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания. Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем её докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем проведёте его в деталях. Вы должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям; вы должны пробовать и снова пробовать. Результат творческой работы математика — доказательное рассуждение, доказательство; но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки. Если обучение математике в какой-то степени отражает то, как создаётся математика, то в нём должно найтись место для догадки, для правдоподобного умозаключения.

Как мы сказали, существует два типа рассуждений: доказательное рассуждение и правдоподобное рассуждение. Замечу, что они не противоречат друг другу; напротив, они друг друга дополняют. В строгом рассуждении главное — отличать доказательство от догадки, обоснованное доказательство от необоснованной попытки. В правдоподобном рассуждении главное — отличать одну догадку от другой, более разумную догадку от менее разумной. Если вы вдумаетесь в это отличие, то оба типа рассуждений могут стать более ясными.

Серьёзный человек, изучающий математику, намеревающийся сделать математику делом своей жизни, должен учиться доказательным рассуждениям; это его профессия и отличительный признак его науки. Однако для настоящего успеха он должен учиться и правдоподобным рассуждениям; это тот тип рассуждений, от которого будет зависеть его творческая работа. Человек, занимающийся математикой как вспомогательным предметом или как любитель, также должен получить некоторое знакомство с доказательными рассуждениями; может быть, у него не будет особой надобности непосредственно их применять, но он должен овладеть стандартом, с которым он мог бы сравнивать всевозможные, выдвигаемые в качестве доказательств доводы, встречающиеся ему в современной жизни. Но во всех его начинаниях ему будут нужны правдоподобные рассуждения. Во всяком случае, человеку, изучающему математику и желающему проявить себя в этой области, какими бы ни оказались его дальнейшие интересы, следует попытаться научиться обоим типам рассуждений, доказательному и правдоподобному.

3. Я не верю, что существует абсолютно гарантированный метод, позволяющий научить догадываться. Во всяком случае, если такой метод и существует, то мне он не известен, и уж, конечно, я не претендую на то, чтобы изложить его на последующих страницах. Действенное применение правдоподобных рассуждений есть практический навык, и ему, как и всякому другому практическому навыку, учатся путём подражания и практики. Я попытаюсь сделать всё от меня зависящее, чтобы помочь читателю, очень желающему научиться правдоподобным рассуждениям, но всё, что я могу предложить, это только примеры для подражания и возможность попрактиковаться.

В этой книге я часто буду обсуждать математические открытия, большие и малые. Я не могу рассказать подлинную историю того, как происходило открытие, потому что этого в действительности никто не знает. Однако я попытаюсь придумать правдоподобную историю того, как открытие могло произойти. Я попытаюсь выявить мотивы, лежащие в основе открытия, правдоподобные умозаключения, которые к нему привели, короче, всё, что заслуживает подражания. Конечно, я попытаюсь убедить читателя; это моя обязанность как преподавателя и как автора. Однако я буду с читателем совершенно честен в том, что действительно существенно: я буду стараться убедить его только в том, что мне представляется истинным. и полезным.

За каждой главой следуют примеры и примечания. Примечания относятся к вопросам, слишком техническим или слишком тонким для текста главы, или к вопросам, лежащим несколько в стороне от главной линии рассуждения. Некоторые из упражнений дают читателю возможность заново рассмотреть детали, только намеченные в тексте. Однако большая часть упражнений даёт возможность читателю вывести свои собственные правдоподобные заключения.

Перед тем как взяться за какую-нибудь более трудную задачу, предложенную в конце главы, читателю следует внимательно прочитать соответствующие части главы и, кроме того, бегло просмотреть соседние задачи; то или другое может содержать ключ. Чтобы обеспечить читателя такими ключами (или скрыть их от него) с наибольшей пользой для обучения, большое внимание было уделено не только содержанию и форме предлагаемых задач, но и их расположению. Фактически на расстановку этих задач ушло значительно больше времени и заботы, чем можно было бы себе представить или посчитать нужным, глядя со стороны.

Чтобы охватить широкий круг читателей, я пытался проиллюстрировать каждый важный вопрос как можно более элементарным примером. Однако в нескольких случаях я был вынужден взять не слишком элементарный пример, чтобы подкрепить утверждение достаточно убедительно. В действительности я чувствовал, что должен привести и примеры, имеющие исторический интерес, и примеры, обладающие настоящей математической красотой, и примеры, иллюстрирующие параллелизм методов в других науках или в повседневной жизни.

Следует добавить, что многие из приведённых рассказов получили свою окончательную форму в результате своего рода неформального психологического эксперимента. Я обсуждал предмет с несколькими различными студенческими группами, часто прерывая своё изложение вопросами вроде следующего: «Хорошо, а что бы вы сделали в такой ситуации?» Некоторые места, включённые в текст книги, были подсказаны ответами моих слушателей или моя первоначальная версия изменялась каким-нибудь другим образом под влиянием реакции моей аудитории.

Короче говоря, я пытался употребить весь свой опыт исследователя и преподавателя, чтобы дать читателю подходящую возможность для разумного подражания и для самостоятельной работы.

4. Примерами правдоподобных рассуждений, собранными в этой книге, можно воспользоваться и для другой цели: они могут пролить некоторый свет на философскую проблему, являющуюся предметом оживлённых споров: проблему индукции. Вот главный вопрос: существуют ли для индукции правила? Некоторые философы говорят: «Да», большинство учёных думает: «Нет». Чтобы обсудить этот вопрос с пользой, следует иначе его поставить. Кроме того, его следует толковать иначе, с меньшей зависимостью от традиционного буквоедства или от новомодного формализма, но в более тесном контакте с практикой учёных. Заметим прежде всего, что индуктивное рассуждение есть частный случай правдоподобного рассуждения. Заметим также (современные авторы почти забыли это, но некоторые старые, такие как Эйлер и Лаплас, ясно осознавали), что роль индуктивных доводов в математическом исследовании сходна с их ролью в физическом исследовании. После этого вы сумеете обнаружить, что некоторые сведения об индуктивных рассуждениях возможно получить путём наблюдения и сравнения примеров правдоподобных рассуждений в математических вопросах. И таким образом открывается дверь для индуктивного исследования индукции.

Когда биолог пытается исследовать какую-нибудь общую проблему, скажем, генетики, ему очень важно выбрать какой-нибудь специальный вид растения или животного, вполне пригодный для экспериментального изучения его проблемы. Когда химик намеревается исследовать какую-нибудь общую проблему, касающуюся, скажем, скорости химических реакций, ему очень важно выбрать какие-нибудь специальные вещества, на которых было бы удобно проделать эксперименты, уместные в его проблеме. Выбор подходящего экспериментального материала чрезвычайно важен для индуктивного исследования любой проблемы. Мне кажется, что математика в некоторых отношениях является наиболее подходящим экспериментальным материалом для изучения индуктивных рассуждений. Это изучение вызывает необходимость некоторого рода психологических экспериментов: вы должны испытать на опыте, какое влияние на вашу веру в рассматриваемое предположение оказывают различные виды доводов. Благодаря своей неотъемлемой простоте и ясности, математические объекты подходят для этого рода психологического эксперимента гораздо лучше, чем объекты из любой другой области. На следующих страницах читатель будет иметь полную возможность в этом убедиться.

С точки зрения философии, я думаю, лучше рассматривать более общую идею правдоподобного рассуждения вместо частного случая индуктивного рассуждения. Мне кажется, что собранные в этой книге примеры постепенно подготавливают определённый и вполне удовлетворительный аспект правдоподобного рассуждения. Однако я не хочу навязывать свои взгляды читателю. Фактически я даже не формулирую их в первом томе; я хочу, чтобы примеры говорили сами за себя. Первые четыре главы второго тома посвящены более явному общему рассмотрению правдоподобных рассуждений. Здесь я формально устанавливаю схемы правдоподобных умозаключений, возникающие из приведённых примеров, пытаюсь систематизировать эти схемы и обозреть некоторые из их взаимных связей и их связей с идеей вероятности.

Я не знаю, заслуживает ли содержание этих четырёх глав право называться философией. Если это философия, то это, несомненно, немудрёный вид философии, больше имеющий дело с пониманием конкретных примеров и конкретного поведения людей, чем с толкованием общностей. Я ещё меньше, конечно, знаю, какой окажется окончательная оценка моих взглядов. Однако я чувствую довольно сильную уверенность в том, что мои примеры могут быть полезны для любого разумного, непредубеждённого человека, изучающего индукцию или правдоподобные рассуждения, который желает сформировать свои взгляды в тесном контакте с наблюдаемыми фактами.

5. Эта работа о Математике и Правдоподобных рассуждениях, которую я всегда рассматривал как целое, естественно распадается на две части: Индукция и Аналогия в Математике (том I) и Схемы Правдоподобных Умозаключений (том II). Том I полностью независим от тома II, и я думаю, что многие учащиеся захотят его тщательно продумать перед тем, как читать том II. (В русском издании оба тома объединены в одной книге.) В нём — бóльшая часть математического «мяса» этого сочинения, и он поставляет «данные» для индуктивного исследования индукции в томе II. Некоторые читатели, более умудрённые и опытные в математике, захотят, быть может, непосредственно перейти к тому II, и для них будет удобно иметь его отдельно. Для облегчения ссылок нумерация глав в обоих томах сплошная. Я не снабдил книгу указателем, так как указатель заставил бы сделать терминологию более жёсткой, чем это желательно в такого рода сочинении. Я уверен, что оглавление даёт удовлетворительный путеводитель по книге.

Эта работа является продолжением моей более ранней книги «Как решать задачу». Читателю, интересующемуся предметом, следует прочитать обе книги, но порядок не имеет большого значения. Настоящий текст составлен так, что его можно читать независимо от предыдущей работы. Фактически в этой книге имеется лишь несколько прямых ссылок на прежнюю и при первом чтении на них можно не обращать внимания. Однако косвенные ссылки на предыдущую книгу имеются почти на каждой странице и почти в каждом предложении некоторых страниц. В сущности эта работа даёт многочисленные упражнения и некоторые более серьёзные иллюстрации к предыдущей, в которой ввиду её размера и элементарного характера не было для них места.

Настоящая книга связана также со сборником задач по анализу, принадлежащим Г. Сегё и автору (см. библиографию). Задачи в этом сборнике тщательно сгруппированы в таком порядке, что они взаимно подкрепляют друг друга, дают ключи друг другу, в совокупности охватывают определённую тему и предоставляют читателю возможность попрактиковаться в различных ходах, важных в решении задач. В подходе к задачам настоящая книга следует методу изложения, начало которому было положено в упомянутом сборнике, и эта связь имеет не столь уж малое значение.

Две главы во втором томе настоящей книги имеют дело с теорией вероятностей. Первая из этих глав отчасти связана с элементарным изложением исчисления вероятностей, написанным автором несколько лет тому назад (см. библиографию). Лежащие в основании взгляды на вероятность и отправные пункты — те же самые, в остальном соприкосновения мало.

Некоторые из взглядов, изложенных в этой книге, были выражены ранее в моих статьях, указанных в библиографии. В текст книги были включены обширные выдержки из статей №№ 4, 6, 8, 9 и 10. Я приношу признательность и мою глубокую благодарность издателям American Mathematical Monthly, Etudes de Philosophie des Sciences en Hommage à Ferdinand Gonseth и Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1950, которые любезно дали разрешение воспроизвести эти выдержки.

Многие части этой книги были изложены в моих лекциях, некоторые — несколько раз. В некоторых местах и в некоторых отношениях я сохранил тон устного изложения. Я не думаю, что такой тон вообще желателен при печатном изложении математики, но в настоящем случае это может быть подходящим или по крайней мере простительным.

6. Последняя глава второго тома настоящей книги, имеющая дело с Изобретением и Обучением, в более явной форме связывает содержание с прежней работой автора и указывает на возможное продолжение.

Действенное применение правдоподобных рассуждений играет существенную роль в решении задач. Настоящая книга пытается проиллюстрировать эту роль на многих примерах, но остаются другие стороны решения задач, нуждающиеся в подобной иллюстрации.

Многие вопросы, затронутые здесь, нуждаются в дальнейшей разработке. Мои взгляды на правдоподобные рассуждения следовало бы сопоставить со взглядами других авторов, исторические примеры следовало бы рассмотреть более тщательно, взгляды на изобретение и обучение следовало бы изучить, насколько это возможно, методами экспериментальной психологии,² и так далее. Остаются другие такого рода задачи, но некоторые из них могут оказаться неблагодарными.

Эта книга не учебник. Однако я надеюсь, что со временем она окажет влияние на обычное изложение в учебниках и выбор их круга вопросов. Задача заново написать обычные учебники, придерживаясь намеченного направления, не должна быть неблагодарной.

7. Я хочу выразить свою признательность издательству Принстонского университета за тщательное печатание и особенно г-ну Герберту С. Бэйли младшему, директору издательства, за сочувственную помощь в некоторых вопросах. Я весьма обязан также г-же Присилле Фейген за перепечатку рукописи на машинке и д-ру Юлиусу Г. Барону за его любезную помощь при чтении корректур.

Параграф 2 гл. VII в той же главе VII цитируется как § 2, но как § 7.2 в любой другой главе. Пункт (3) § 5 гл. XIV в той же главе XIV цитируется как § 5 (3), но как § 14.5 (3) в других главах. На пример 26 гл. XIV мы ссылаемся в той же главе, как на пример 26, но как на пример 14.26 в остальных главах.

Для чтения существенных частей текста может быть достаточно некоторого знания элементарной алгебры и геометрии. Почти для всего текста и большей части примеров и примечаний достаточно хорошего знания элементарной алгебры и геометрии и некоторого знания аналитической геометрии и математического анализа, включая пределы и бесконечные ряды. Однако в нескольких эпизодических замечаниях в тексте, в некоторых предлагаемых задачах и в отдельных примечаниях предполагаются более глубокие знания. Обычно в этих случаях делается какое-нибудь предупреждение.

Более подготовленный читатель, пропустивший те отделы, которые кажутся ему слишком элементарными, может потерять больше, чем менее подготовленный читатель, который пропустит отделы, показавшиеся ему слишком сложными.

Некоторые (не очень трудные) детали доказательств часто без предупреждения опускаются. Должным образом подготовленный к этой возможности читатель, обладающий хорошими критическими навыками, не должен от этого пострадать.

Некоторые из задач, предложенных для решения, очень легки, но некоторые довольно трудны. Наводящие соображения, которые могут облегчить решение, заключены в квадратные скобки [  ]. Правильный путь решения могут подсказывать соседние задачи. Особое внимание следует обратить на вводные замечания, предшествующие примерам в некоторых главах или же первой или второй части таких примеров.

Решения иногда очень кратки: они предполагают, что перед тем как просмотреть напечатанное решение, читатель предпринял серьёзные попытки справиться с задачей собственными силами.

Читатель, затративший на задачу большие усилия, даже если ему и не удалось её решить, может извлечь из этого пользу. Например, он может заглянуть в решение, попытаться выделить то, что ему кажется ключевой идеей, отложить книгу и затем попытаться разработать решение.

В некоторых местах эта книга изобилует чертежами или даёт небольшие промежуточные шаги вывода. Цель этого — сделать наглядной эволюцию фигуры или формулы: см., например, рис. 16.1–16.5. Однако нет такой книги, которая содержала бы достаточно фигур или формул. Читатель может захотеть прочитать какое-нибудь место «в первом приближении» или более тщательно. Во втором случае, у него под рукой должны быть бумага и карандаш: он должен быть готов написать или начертить любую формулу или фигуру, приведённую или только упомянутую в тексте. Поступая таким образом, он получит лучшую возможность увидеть эволюцию фигуры или формулы, понять, как различные детали способствуют окончательному результату, и запомнить весь процесс в целом.

1. Евклид, Начала Евклида, т. 1–3, М.–Л., 1948–1950. Указание: «Евклид III, 7» отсылает к предложению 7 книги III Начал.
2. Descartes, Oeuvres, edited by Ch. Adam and P. Tannery. Особый интерес представляет работа «Правила для руководства ума», см. Рене Декарт, Избранные произведения, М., 1950.
3. Euler, Opera Omnia, edited by the «Societas scientiarum naturalium Helvetica».
4. Laplace, Oeuvres complètes. Особый интерес представляет «Опыт философии теории вероятностей», М., 1908.

1. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?, М., 1947.
2. Г. Радемахер, О. Тёплиц, Числа и фигуры, М., 1966.
3. O. Toeplitz, Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung; эта книга представляет особый интерес.

1. Задачи и теоремы из анализа, М., 1956, тт. 1–2 (совместно с Г. Сегё).
2. Как решать задачу, 2-е изд. М., 1961. (См. также Д. Пойа. Математическое открытие, М., 1970. — Прим. перев.)
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Fehlerausgleichung, Statistik. В книге Abderhalden's Handbuch der biologischen Arbeitsmethoden, Abt. V, Teil 2, S. 669–758.

1. Geometrische Darstellung einer Gedankenkette, Schweizerische Pädagogische Zeitschrift, 1919, 11.
2. Wie sucht man die Lösung mathematischer Aufgaben?, Zeitschrift für math, und naturwiss. Unterricht., 63 (1932), 159–169.
3. Wie sucht man die Lösung mathematischer Aufgaben?, Ada Psychologica, 4 (1938), 113–170.
4. Heuristic reasoning and the theory of probability, Amer. Math. Monthly, 48 (1941), 450–465.
5. On Patterns of Plausible Inference, Courant Annivers. Vol., 1948, p. 277–288.
6. Generalization, Spezialization, Analogy, Amer. Math. Monthly, 55 (1948), 241–243.
7. Preliminary remakrs on a logic of plausible inference, Dial., 3 (1949), 28–35.
8. With, or without motivation?, Amer. Math. Monthly, 56 (1949), 684–691.
9. Let us teach guessing, Etudes de Philosophie des Sciences, en hommage à Ferdinand Gonseth, 1950, p. 147–154. Editions du Griffon, Neuchatel, Suisse.
10. On plausible reasoning, Proc. Intern. Congr. of Math. 1950, v. 1, p. 739–747.