Г. Штейнгауз. Математика — посредник между духом и материей (Перевод с польского Б. И. Копылова, под редакцией А. В. Хачояна). — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. — 351 с. ISBN 5-94774-214-4

Hugo Steinhaus. Między duchem a materią pośredniczy matematyka. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa – Wrocław, 2000. ISBN 83-01-13383-Х

Книга представляет собой сборник статей и выступлений Гуго Штейнгауза (1887–1972), посвящённых истории развития отдельных разделов математики и их приложениям к биологии, медицине, геологии, судебной практике, экономике и другим областям. Объединяющим моментом являются глубокие методологические рассуждения автора о природе математики и её взаимодействии с другими науками. Приведены малоизвестные факты из биографий выдающихся учёных-математиков.

Для преподавателей математики, студентов и всех интересующихся историей этой науки и её приложениями к различным сферам народного хозяйства и к научным исследованиям.
 




 ПоказатьСкрыть нумерацию страниц 

СОДЕРЖАНИЕ
 

А. М. Абрамов. Предисловие

5

Гуго Штейнгауз. Автобиография (перевод Ю. А. Данилова)

9

Математика вчера и сегодня (1958)

23

Что такое математика и на чём основан её прогресс? (1927)

43

О математической строгости (1958)

61

Индуктивное умозаключение (1956)

76

Беседа (немного историческая) (1963)

105

О треугольниках (1956)

113

Об играх (в свободном изложении) (1969)

122

Пути прикладной математики (1949)

142

Проблема необратимости (1955)

160

Теория вероятностей как инструмент исследования в естествознании и производстве (1956)

177

Выступление в дискуссии на конференции «Статистика как метод познания» (1954)

216

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров массового призводства (1950)

221

Об установлении отцовства (1954)

240

Взаимодействие наук на примере роли математики во вроцлавской научной среде (1955)

258

Немного о кибернетике (1963)

285

Памяти Леона Лихтенштейна (1933)

305

Памяти Зигмунда Янишевского (1919)

313

Стефан Банах (1961)

319

Речь, произнесённая при присвоении степени почётного доктора Варшавского университета (28 апреля 1958 г.)

331

Речь, произнесённая при присвоении степени почётного доктора Университета им. Адама Мицкевича в Познани (16 ноября 1963 г.)

334

Перечень источников

344

Именной указатель

345

От польского издательства

  350



Математика вчера и сегодня

Лекция, прочитанная 6 октября 1958 г. по случаю начала 1958/59 учебного года во Вроцлавском университете


Ваше Превосходительство, господа министры, глубокоуважаемые слушатели!

Традиция требует торжественно отмечать начало учебного года, и одним из мероприятий является публичная лекция. Я присутствовал на многих таких торжествах, но мне никогда не доводилось слушать на них выступление математика, ибо обычно эта почётная функция доверялась гуманитариям (чаще всего философам или историкам, преимущественно историкам литературы), изредка выпадала юристам, иногда биологам или врачам или даже физикам, но никогда — математикам. Поэтому, когда Его Превосходительство поручил мне прочитать публичную лекцию по случаю начала этого учебного года, нашего четырнадцатого года во Вроцлаве, я сказал себе, что ведь я давно имел на это право. Поэтому я выбрал название, которое должно понравиться гуманитариям, или хотя бы историкам. Увы, признаю это с сожалением, сам я не историк и, возможно, никогда бы не осмелился говорить в этом актовом зале о вчерашней математике, если бы летом не встретил за границей молодого зоолога, польского стипендиата, который задал мне следующий простой вопрос: «Почему все современные теоремы не были доказаны ещё в древности?».

Сначала я даже не понял смысла этого вопроса, однако после короткого обмена мнениями загадка разъяснилась. Молодой человек считал принципиальной разницей между биологией и математикой тот очевидный факт, что в биологии всё время появляются и применяются новые методы и инструменты. Новым орудием исследований 23  стали микроскоп (когда его сконструировали физики), микротом (когда его позволила изготовить точная механика) и красящие вещества (когда их открыли химики). Молодой биолог понимал, что математика не может рассчитывать на такую внешнюю помощь (которая в биологии являлась главным двигателем прогресса) и удивлялся тому, что в течение тысячелетий математика не исчерпала всех возможностей, заключённых в античных концепциях, другими словами, не превратилась в мёртвую область знаний, подобную грамматике некоего древнего языка.

Я хотел бы сегодня ответить на этот вопрос, который косвенно затрагивает название лекции, однако всё же боюсь, что поставил себе слишком трудную задачу: лекция о математике, адресованная публике, среди которой математики составляют меньшинство, не может рассчитывать на резонанс аудитории. Гуманитарии всегда находятся в гораздо лучшей ситуации хотя бы потому, что они говорят общедоступным языком и о понятиях, имеющих конкретные модели... (до какой степени люди не знакомы с математическими моделями, я убедился из передачи одной радиостанции, пользующейся хорошей репутацией: в студии экзаменовали молодого ремесленника, и он не знал, сколько граней имеет куб, на что всеведущий экзаменатор доброжелательно сообщил ему и всему земному шару, что их восемь...).

Впрочем, роль математика всегда неблагодарна, не только тогда, когда ему приходится выступать публично. Дело не в том, что математика трудна и непонятна, а в том, что она чужда и непонятна для широкой общественности. Физик или химик гораздо скорее может рассчитывать на отклик общества. Во Вроцлаве есть улица Врублевского и если кто-то спросит, чем этот краковский учёный заслужил уважение общества, то на это можно ответить, что именно он первым в мире получил жидкий воздух, что это открытие практически применяется в современных холодильниках (где нагревание аммиака вызывает понижение температуры). Любой человек с улицы (возможно, даже не знающий, какие пути привели от эксперимента Врублевского к этим парадоксальным следствиям законов термодинамики и к устройству современных холодильников) может понять, о чём идёт речь, и что улица справедливо названа именем этого физика. Иначе обстоит дело 24  с улицей Банаха. За исключением немногочисленных специалистов, никто в мире и Польше не знает, чем знаменит Банах, и если бы кто-то из прохожих на этой улице даже спросил бы экспертов-математиков, то они не нашли бы подходящих слов для ответа по существу.

Представим себе, что этот прохожий — журналист, и что он решил пополнить свою картотеку вырезками из польских и иностранных газет с разнообразной полезной информацией (не пренебрегая, как подобает истинному журналисту, даже сплетнями и слухами), позволяющей кратчайшим путём получить ответ на вопрос — кто и почему имеет право называться математиком. Ячейка «Математика» в его картотеке заполнилась бы очень быстро, где оказались бы и официальные сведения о том, что в текущем году все польские университеты принимали кандидатов на отделения математики без всяких ограничений, тогда как другие отделения ограничили число поступающих количеством мест. Там оказалась бы вырезка из ежемесячника Kosmos, где сообщалось о письме, направленном из Кракова учащимися одной из общеобразовательных школ на имя члена Государственного Совета Ежи Завейского с просьбой посодействовать отмене преподавания в школах математики, поскольку (по мнению этих учащихся) математика ни для чего не нужна. А, возможно, там окажется и комплект лондонского еженедельника Observer, где публикуются все объявления заводов, ищущих математиков, — их можно найти почти в каждом номере и подумать, что в Англии не хватает математиков, коль скоро объявления обещают им прекрасные условия. В связи с этим можно поинтересоваться подобными объявлениями в нашей прессе и... не встретить ни одного. Однако в приложении к Trybuna Ludu можно найти цитату из Traktat Котарбиньского о «хорошей работе» и прочитать следующее суждение: «...современные тенденции развития промышленности придают большое значение совершенствованию способностей действующих субъектов в направлении всё большей интеллектуализации и преобладания знаний и скорости мышления над точностью управления механизмами». Прочитав эту учёную формулировку, следует задуматься о том, имеем ли мы достаточное число математиков? Желая глубже исследовать эту 25  проблему, мы начнём листать американские информационные ежемесячники и найдём в American Mathematical Monthly (64, 1957, с. 557–566) статью о практической стороне математики. Автор статьи, Р. Ю. Гаскелл говорит, что практическая сторона дела существенно зависит от общественного мнения о том, для чего существуют математика и математики. «К счастью, — пишет Гаскелл, — математика глубоко проникает на рынки сбыта, но, тем не менее, повсеместно распространено неверное представление о том, что такое математика и что она может. Более того, у некоторых людей вырабатывается интенсивное, агрессивное и заразительное невежество... Можно найти таких, которые думают, что математикам легче, чем кому-либо, помнить, что происходит при игре в бридж, а другие не видят разницы между математиком и бухгалтером. Инженеры и некоторые специалисты отождествляют математику с формулами, диаграммами, графическими схемами и вычислительными машинами...».

На этом пути наш исследователь может случайно натолкнуться на характеристику Стефана Банаха, помещённую вскоре после его смерти (в 1946 г.) в Bulletin of the American Mathematical Society (52, с. 600–603). В этой очень краткой (но, одновременно, очень меткой и интересной) характеристике мало предложений, непонятных для дилетанта, но именно они отвечают на вопрос, почему на сегодняшний день в каждом ежемесячнике, посвящённом актуальным математическим проблемам, можно найти имя Банаха. Причина заключается в том, что так называемое «банахово пространство» стало общепринятой универсальной концепцией, на основе которой постоянно появляются всё новые работы. Неутомимый журналист начнёт искать персональные сведения и заинтересуется авторами некрологов об этом львовском математике. Если ему повезёт, он доберётся до статьи-некролога, опубликованной в одной из американских газет (озаглавленной «Учёный, признанный слишком поздно»), автором которой является Станислав Улам, ученик Банаха. Закончив политехнический факультет Львовского университета, Улам получил степень доктора, но коллекционера вырезок гораздо больше заинтересует информация из другой американской газеты (предоставленная Сенату США сенатором Клинтоном П. Андерсоном, председателем 26  комиссии по изучению полётов в межпланетном пространстве) о том, что именно Улам (а не Эдвард Теллер, как считалось раньше) первым предложил создать водородную бомбу. Те немногие жители Львова, которые помнили, как Банах с Уламом целыми часами беседовали друг с другом в львовских кафе (наскоро поясняя свои слова загадочными символами, нарисованными карандашом на крышке столика), наверняка не предполагали, что один из собеседников 10 лет спустя возьмёт на себя ответственность за то, что первая попытка осуществить цепную реакцию в крупных масштабах может закончиться буквально ничем. Вероятно, ни случайные свидетели этих бесед, ни сами собеседники не могли предвидеть такого развития событий. О чём мог тогда разговаривать Банах со своим учеником? Возможно, о теореме Банаха–Тарского, которая позволяет разделить шар на несколько частей так, чтобы из них можно было сложить шар большего размера, чем исходный. Этой математической теореме пока не нашлось никакого применения (возможно, она никогда не найдёт применения) и она вызывает возражения у каждого физика. Однако на основе евклидовой геометрии можно вывести и другие парадоксальные логические умозаключения, ничем не отличающиеся от тех, которыми математики пользовались в течение многих веков...

Это снова заставляет вспомнить об интерпретации биолога, которую можно сформулировать в форме почти нелепого вопроса: «Почему Евклид не знал теоремы Банаха–Тарского?».

Евклид является первым математиком в самом широком смысле этого слова. Он создал геометрию, т.е. ту элементарную геометрию, которую греческие учителя преподавали детям римских патрициев и которую в английских школах до недавнего времени называли просто «Евклид». Именно её всем нам вбивали в голову и именно её отмены сегодня добиваются краковские ученики от Ежи Завейского. В связи с этим, стоит заглянуть в оригиналы книг Евклида с должным уважением, ибо они были написаны за 300 лет до Рождества Христова в Александрии, которая в то время была центром эллинистической культуры. По-гречески название этих книг звучит как «Stoicheia», что переводчики на латынь воспроизвели как «Elementa» (в переводе на русский язык — «Начала Евклида». — М.–Л.: Гостехиздат, 1948–1950). Книги начинаются 27  с определений и аксиом, которые делятся на две группы. Первая из них охватывает «koinai ennoeiai» (т.е. знакомые всем свойства и отношения, не вызывающие сомнений — эта группа напоминает основные положения современной теории множеств), а вторая начинается с императива «aitestho», соответствующего современным оборотам «следует принять» или «примем, что». Следовательно, их следует считать постулатами, а их введение демонстрирует, что Евклид понимал роль соглашений (и даже их необходимость) в основах геометрии. Пятнадцать книг содержат несколько сотен теорем, каждая из которых является логическим следствием определений и аксиом и каждая из них сопровождается доказательством. Однако совершенство евклидовой системы проявилось только в современной математике, а история этого открытия поистине захватывающа. Ещё древним учёным (а среди них и великому Птолемею из Александрии, отцу астрономии) не нравился евклидов постулат о параллельных: две прямые на плоскости пересекаются третьей, с которой образуют углы, сумма которых меньше половины полного угла, лежащего по обе стороны от пересекающей линии.


Считается, что этот постулат, который позже получил название XI аксиомы, в то время был слишком сложным и обрекал «Elementa» на то, чтобы они не представлялись очевидной истиной. Делались также попытки вывести этот постулат из остальных аксиом, но дотошные читатели всегда обнаруживали ошибки в этих попытках, которые чаще всего заключались в выводе XI аксиомы благодаря интуитивному введению какой-то новой аксиомы, равнозначной этому постулату. Эти бесплодные попытки продолжались вплоть до XIX века, но только около 1825 года этой недоступной вершины геометрии 28  удалось достичь независимо друг от друга трём гениальным людям. Это были Гаусс, Бойяи (младший) и Лобачевский.

Семья Бойяи происходила из Трансильвании, и оттуда Каспар Бойяи де Бойя переехал в Венгрию, в Марош-Вашархели. Его сын Вольфганг был необычайно способным ребёнком. В XVII веке трансильванская аристократия имела обычай посылать своих сыновей для получения образования в Германию, и благодаря помощи трансильванских баронов обнищавший Каспар послал своего сына в Гёттинген. Вольфгангу был 21 год, когда там он познакомился с Гауссом, который был на два года моложе. Когда однажды мать Гаусса спросила Вольфганга, кем станет её сын, Карл Фридрих, Вольфганг без раздумий ответил: величайшим европейским математиком... Гаусс и Бойяи уже тогда занимались XI аксиомой.

Несколько лет спустя Гаусс вернулся в Брауншвейг, где погрузился в работу, которая позволила ему получить прозвище «князя математиков» и (кроме разных областей математики) охватывала многие области науки: механику, теорию электричества, астрономию и геодезию. Но эта работа не принесла ему никакой материальной выгоды и вызвала недовольство всей семьи. Его коллега Бойяи должен был вернуться в Марош-Вашархели и ради заработка стал профессором математики в местном университете, а потом и его ректором. Дружба с князем математиков продолжалась, но XI аксиома оставалась загадкой для Вольфганга Бойяи, который постоянно делал попытки доказать её и столь же постоянно опровергал. В 1804 году он послал Гауссу свою последнюю версию под названием «Гёттингенская теория параллельных» с просьбой к нему высказать своё мнение. Гаусс неожиданно быстро ответил ему в дружеском тоне и обстоятельно, что он сам хотел бы развязать этот гордиев узел, но все его усилия оканчиваются безрезультатно. Содержащееся в «Гёттингенской теории параллельных» доказательство Гаусс считал неудовлетворительным и указывал, в чём состоит ошибка (хотя сегодня подробно излагать суть упрёка Гаусса не сто́ит). Гаусс считал, что Бойяи использовал то же самое рассуждение, согласно которому Зенон Элеатский заключил, что быстрый Ахиллес никогда не догонит медленную черепаху. 29 

У Вольфганга был сын по имени Ян, и из его писем Гауссу мы знаем, что, заканчивая школу в Марош-Вашархели, 15-летний Ян уже знал дифференциальное и интегральное исчисление и решал задачи из аналитической механики. В 10 лет он играл первую скрипку в классических квартетах и сам сочинял произведения; он также был прекрасным латинистом, как и его отец. Мечтой молодого Бойяи было остаться дома и посвятить себя математике, но недостаток денег, последствия непрактичности и различных неудач отца в хозяйственных делах вынудили Яна обратиться за помощью. И снова такую помощь ему оказал один из богатых трансильванских друзей семьи, обещая в течение 4 лет оплачивать обучение молодого человека в Военно-инженерной академии в Вене и все связанные с этим расходы. Когда Ян закончил академию в звании подпоручика, это был уже отличный офицер. Высокий брюнет с тёмноголубыми глазами, искусный наездник, лучший математик в академии, непобедимый мастер фехтования, срубавший железные крюки саблей дамасской стали, он был постоянной заботой отца, который в своих письмах предостерегал его от дуэлей и увлечения женщинами. Но ещё больше он предостерегал его от попыток обосновать XI аксиому. Вот выдержка из письма, датированного 1820 годом: «Не вступай на эту дорогу, я знаю её всю до самого конца — я тоже шёл по ней и днём и ночью, на ней угасли все радости моей жизни — молю бога, оставь в покое науку о параллельных...». И несколькими строками ниже: «.. .я хотел пожертвовать собой ради истины, был готов стать мучеником, только чтобы вручить роду человеческому геометрию, избавленную от этого белого пятна...». И далее: «Здесь кроется корень всех моих позднейших ошибок и неудач...». И наконец: «Здесь находятся Геркулесовы столбы, не иди ни на шаг дальше, ибо погибнешь...».

Так ответил отец на письмо Яна, который весной 1820 года сообщил ему из Вены о своих попытках обосновать XI аксиому, но запреты ещё больше разожгли амбиции молодого офицера, который решил исследовать проблему любой ценой. В 1823 году он пишет на четвертушке бумаги: «...я нашёл нечто такое, что сам удивляюсь...но пока не могу сказать ничего, кроме того, что это открывает новый, совершенно иной мир». Когда Ян в 1825 году навестил 30  отца в Марош-Вашархели, открытие абсолютной геометрии (так он её назвал) было уже совершено, но затем появились разочарования. Первым было то, что отец не мог понять, что существует бесконечно много разных геометрий, когда опровергается XI аксиома, и что вопрос об истинности или ложности этой аксиомы не имеет смысла, ибо и она и её отрицание вместе с остальными аксиомами образуют систему, свободную от противоречий. Когда в 1830 году Яна перевели из его первого гарнизона в Темешваре во Львов, он решил при посредничестве отца отдать свою работу для оценки Гауссу, однако рукопись пропала, и до Гёттингена в 1832 году дошла лишь другая, улучшенная её версия. Гаусс ответил, что работа согласуется с его собственными размышлениями, которые занимали его в течение последних 30 лет, и он рад, что сын его старого приятеля его опередил. В письме другому своему приятелю он называет Яна гением первой величины и признаёт, что его собственные идеи были далеки от той зрелости, которой достиг младший Бойяи. Однако это не удовлетворило безграничных амбиций Яна, который даже не поверил, что Гаусс пишет правду, и стал подозревать, что его собственный отец обманным путём выдал приятелю секреты новой геометрии. Это нелепое подозрение отдалило Яна от обоих людей, понимавших важность этой проблемы, а никто другой из окружения молодого Бойяи не мог их в этом заменить. Ян стал затворником, росли его претензии ко всем, особенно к отцу, которого он даже вызвал на дуэль. В служебной характеристике, данной его войсковым начальством, записано: «...в 1832 году за некую брошюрку получил благодарность от советника королевского двора Гаусса, одного из величайших математиков... пригоден к должности профессора математики...». И далее: «скуп на слова, раздражителен, вспыльчив, избегает общества офицеров, в инженерной службе не проявляет усердия, заядлый шахматист...».

В 1833 году Яна отправили на пенсию; его дальнейшая судьба — это история одинокого человека, поссорившегося с семьей и окружающими. Из блестящего офицера он превратился в разорившегося чудака, деклассированного дворянина и скандалиста, на которого указывали пальцем, и только скрипка и математика спасали его от окончательного падения. Когда в 1860 году он умер 31  в Трансильвании, никто там и не узнал, что ушёл из жизни один из величайших мыслителей.

Когда идёт речь о вчерашней и сегодняшней математике, то Вольфганга Бойяи следует считать представителем вчерашней, а его сына — сегодняшней математики, так же как и Лобачевского, который одновременно с Гауссом и Бойяи-младшим открыл неевклидову геометрию. Незнание на Западе русского языка было причиной того, что работы Лобачевского, написанные в Казани, слишком поздно дошли до Германии и дальше. В чём смысл неевклидовой геометрии? Она не доказывает ни то, что в плоскости через точку, лежащую сбоку от прямой, проходит только одна параллельная ей, ни то, что таких параллельных больше одной. Именно Ян Бойяи в своём дополнении к сочинению Tentamen Вольфганга Бойяи доказал, что утверждение о единственности параллельной, равно как о множественности параллельных, согласуется с остальными аксиомами Евклида, и что Евклид был прав, поместив XI аксиому среди постулатов. Если бы этот постулат был опущен, получилась бы так называемая пангеометрия, а если его заменить утверждением о множестве параллельных, то получилась бы неевклидова геометрия Бойяи–Лобачевского. Двигаясь по этому пути дальше, современная математическая логика в лице Гёделя пришла к выводу, что это противоречие (которое Вольфганг Бойяи называл белым пятном, упущением Создателя всего сущего) является особенностью любой системы аксиом: ни одна система аксиом не является полной, ибо в каждой из них можно сконструировать неразрешаемое суждение.

Почему открытие иных геометрий, которые и сегодня неизвестны даже высокообразованным людям (если только они не являются математиками), следует считать решающим этапом в истории науки? Разве можно придавать значение таким открытиям, которые только с трудом можно объяснить, и то лишь незначительному проценту высокообразованных людей? Дело в том, что элементарная геометрия, положения которой установил Евклид (её изучают в общеобразовательных школах и она доступна большей части молодёжи), прекрасно подходит для описания твёрдых тел и объяснения простейших оптических явлений. В её основе лежит опыт многих поколений и приобретённые на заре человечества 32  знания о поведении таких тел, а аксиомы Евклида являются лишь изложением знаний о пространстве, полученных с помощью зрения и осязания. Это и есть главная причина, по которой другие геометрии долго считались невероятным вымыслом учёных с целью запутать и затемнить простые и ясные вещи.

Среди не понявших новую геометрию оказался даже австрийский физик и философ Эрнст Мах, который в последнем десятилетии XIX века изложил свою критику понятий и утверждений физики. Именно Мах первым поставил вопрос о том, что смысл утверждений физики сводится к наблюдениям, а язык физики должен быть таким, чтобы каждое суждение можно было подтвердить или опровергнуть экспериментально. На целое поколение раньше Маха Бернгард Риман в Гёттингене далеко продвинул неевклидову геометрию и верил в возможность такой физики, для которой старой геометрии недостаточно. Несомненно, Альберт Эйнштейн был последователем Римана и Маха. Влияние Маха обнаруживается в отказе от абсолютного времени, т.е. такого времени, которое нельзя определить экспериментально, а влияние Римана проявилось в позднейшем труде Эйнштейна и в его готовности принять неевклидову геометрию, если она облегчит формулировку понятий на языке новой физики. Как известно, так называемая специальная теория относительности объяснила эксперимент Альберта Майкельсона, который показал, что вращение Земли вокруг Солнца не влияет на оптические явления, наблюдаемые в системе зеркал и линз, связанных с Землёй. Этот эксперимент нанёс удар по концепции абсолютного пространства. Эта теория относительности, которой ныне исполнилось 50 лет, в физике произвела такую же революцию, которую совершили Бойяи и Лобачевский в геометрии. А какая польза от неё для широких кругов общественности? Почти никакой, если не считать некоторых изменений в фразеологии, например, журналисты стали охотнее смешивать представления о времени и пространстве. Например, стало возможным писать «на протяжении последних лет» (такой своеобразный оборот был использован в отношении одного недавно умершего учёного, который, хотя и не был математиком, однако завоевал право на почётный титул лауреата премии имени Бойяи). Не только в общеобразовательной школе, но даже в университетском 33  курсе физики трудно донести до студентов основы теории относительности.

Многие пути ведут из вчера в сегодня, и мы наметили всего лишь набросок одного из них — от Евклида через Яна Бойяи к современной физике. Среди многочисленных читателей Евклида, возможно, наиболее любознательным был Блез Паскаль, воспитание которого сделало его великим человеком, подобно тому, как это было с Тауринусом, Бойяи-младшим и Стюартом Миллем. Кажется, он ещё ребёнком самостоятельно дошёл до нескольких евклидовых теорем, за что и получил в подарок «Elementa». Это в его сочинениях мы находим альтернативу «esprit de géometrie — esprit de finesse» (дух геометрии — дух проницательности), которая подчёркивает различие духа математического и духа гуманитарного, хотя сам он был примером сочетания их в одной личности.

В молодости Паскаль некоторое время входил в компанию игроков. В 1654 году он написал одному из своих бывших друзей письмо об игре в кости, в котором изложил основы вычисления вероятности благоприятного исхода в азартных играх. Этот расчёт приобрёл наибольшее значение только тогда, когда его стали использовать в иной модели, совершенно не связанной с игрой в кости. Такой моделью является множество материальных частиц, а именно так представляли себе газ Джеймс Клерк Максвелл, Людвиг Больцман и Мариан Смолуховский. В течение полувека, завершившегося Первой мировой войной, эти три учёных создали так называемую кинетическую теорию материи. Положения теории вероятностей, применённые к хаосу миллиардов невидимых материальных частиц, дали те законы, которые физики значительно раньше сформулировали как свойства газов, но получали их без помощи математики, из непосредственного наблюдения газа, заключённого в сосуде и подвергаемого сжатию или нагреванию. В чём же было дело? Просто в применении термодинамики к механике, в демонстрации того, что механика, которая так прекрасно предсказывает движение одной гигантской планеты, столь же хорошо может предсказать траектории целого роя частиц в замкнутом объёме. Как бы то ни было, а математика доказывает, что классическая механика Ньютона является универсальной. Известно, что эта механика позволяет предсказать траекторию снаряда 34  по его начальному положению и начальной скорости, но такая информация о каждой частице газа недоступна. Мы не можем вычислить траекторию каждой отдельной молекулы из миллиарда других, но даже если бы и могли, всё равно не сумели бы вывести из этого никакого закона физики, просто воспользовавшись теорией вероятностей для вычисления средних скоростей молекул или их полного импульса при сжатии газа поршнем в цилиндре. Этого можно добиться лишь благодаря так называемому закону больших чисел, и расплачиваемся мы за это преклонением перед неким божком, который из-за зелёного игрового столика пересел за письменный стол физика-теоретика. Этим божком является так называемый «случай». За последние 30 лет оказалось, что можно попытаться исключить этот неопределённый случай и очень далеко продвинуть математические основы теории вероятностей. Быть может, даже удастся (к радости ортодоксальных детерминистов) полностью исключить теорию вероятностей из классической физики, однако в квантовой физике она сохранит преобладающее значение. Во всяком случае, это исключение является заботой математиков, и они должны объяснить, почему это недостижимо (если дело обстоит именно так).

От того же Паскаля тянется ещё одна линия, ведущая к созданию вычислительных машин. Паскаль даже построил первую такую машину, но она была просто интересной игрушкой, которая никогда не использовалась на практике. Слабой (в буквальном смысле этого слова) её стороной были шестерёнки, так как в то время механики ещё не умели придавать зубцам требуемый геометрический профиль. В машине использовали примитивные колышки-«пальцы», вмонтированные в торец круга, которые легко ломались при быстрых оборотах. Лишь после того как технологи научились вытачивать зубья циклоидального профиля, удалось построить вычислительную машину, пригодную для практического применения — сегодня это очень широко распространённое устройство (арифмометр). Но тут неожиданно подоспела помощь со стороны электронной техники. Электронная лампа в машине просто играет роль контакта, который пропускает ток или прерывает его. Никакой обыкновенный контакт не может изменять своё состояние миллионы раз в минуту, а электронная лампа 35  может, так как инерционность электронов ничтожно мала по сравнению с наилучшими механическими элементами. Для чего необходима такая скорость? Вряд ли она необходима для решения таких вычислительных задач, которые изо дня в день выполняются в строительных конторах или в банках. Скорость вычислений важна в задачах с громоздкими вычислениями, простейшим примером которых выступает построение баллистических таблиц. Нетрудно подсчитать, где будет находиться орудийный снаряд через 1/100 секунды после выстрела, и какую он будет иметь скорость с учётом сопротивления ветра, так как эти параметры определяются четырьмя числами. Используя ещё раз эти же формулы, можно по этим четырём числам найти другие четыре, которые дадут положение и скорость снаряда через следующие 1/100 секунды и т.д. Повторяя эти операции несколько тысяч раз, можно представить себе всю траекторию снаряда. Поскольку траектория меняется в зависимости от угла подъёма ствола орудия, необходимо вычислить сотни траекторий, чтобы получить полную таблицу. Именно для решения таких задач необходима быстродействующая машина, которая способна за несколько часов выполнить все операции, благодаря быстродействию ламп и непрерывной передаче исходных данных на вход машины по электрическим проводам.

В чём заключается роль математика, имеющего в распоряжении такую машину? Его хлебом насущным является быстрое кодирование таких задач, которое заключается в шифровании команд путём пробивания отверстий в перфокарте, ибо машина понимает только такой шифр. Самые новые машины вообще стали универсальными, и недавно у математиков появились задачи иного типа. Например, потребовалось составить для машины инструкции, позволяющие ей играть в шахматы против человека, и эту задачу удалось решить, хотя и не до конца (о чём я скажу ещё несколько слов позднее). Какая проблематика возникает на основе новых возможностей, видно из памятной записки, ещё не опубликованной и подготовленной группой математиков по заданию фирмы IBM, производящей новейшие вычислительные машины. Документ содержит несколько идей и предложений, которые я, впрочем, не цитирую дословно. Авторы утверждают, что до сих 36  пор быстродействующие машины используются исключительно для решения задач математической физики или техники, причём производительность машины полностью определяется закодированными инструкциями и последовательностью их исполнения. Известно, что человек использует иной подход и способен изменять план действий в процессе работы. В памятной записке предлагается новый способ, представляющий собой нечто среднее. Вместо того чтобы предоставить машине действовать самостоятельно, её можно было бы объединить с человеком, который во время работы видит промежуточные результаты, вмешивается в последующие действия и даже изменяет алгоритм решения задачи. Такое взаимодействие называется «синергетикой» — примером может служить взаимодействие водителя с автомобилем, когда человек получает информацию о положении на дороге, и на основе этих данных, например, изменяет скорость, уменьшая её там, где предстоит поворот или где он видит нужный номер дома... При игре в шахматы с машиной можно позволить ей выступить в качестве советника, который время от времени исследует последствия нескольких ходов, а затем позволяет человеку играть дальше. Один из авторов памятной записки посвятил меня недавно в идею будущих машин, поведение которых в некоторых ситуациях будет детерминированным (как до сих пор), а в других — вероятностным (т.е. отдельные лампы будут изменять своё состояние случайным образом). Машины такого типа можно было бы использовать для исследования явлений, которые частично протекают в соответствии с законами классической физики, а частично в соответствии с теорией вероятностей — такие ситуации часто встречаются на практике (например, в строительных конструкциях, элементы которых подвержены случайным изменениям).

Новейшие машины являются примером того, как техника оказала существенное влияние на развитие математики, и в первую очередь в направлении математического мышления. Но есть одно исключение, напоминающее то, что в биологии является правилом: это внешняя помощь, помощь аппаратуры. Основная черта математики в том, что она развивается автономно, и на вопрос нашего зоолога мы должны ответить, что прогресс математики 37  выглядит совсем иначе, нежели прогресс естественных или гуманитарных наук. Её развитие идёт ввысь, подобно совершенствованию живого организма. Вне всякого сравнения в ней отчётливее, чем в других дисциплинах, проявляется происхождение человека. В настоящее время на земле одновременно живут люди, которые по уровню знания математики принадлежат к эпохе древнеегипетских пирамид (такие люди составляют значительное большинство), небольшой процент дорос до уровня средневековья, а до XVIII века едва ли дошёл один человек из тысячи. По-видимому, первобытный человек не может стать математиком за счёт только эволюции, так как чрезвычайно короткий процесс развития (определяемый биогенетическими законами) не позволяет получить изменения мозга, которые превращают неандертальца в Паскаля. Всё новые и новые поколения людей должны пройти тернистым путём, который невозможно сократить, так что, как говорили в древности, «в математике нет королевской дороги». Образно говоря, дистанция между авангардом и огромной массой странников увеличивается, процессия растягивается и лидеры, идущие впереди, становятся всё более одинокими. Они исчезают из виду, о них мало кто знает, о них рассказывают фантастические истории. Некоторые люди в процессии вообще перестают верить в их существование.

Вернёмся к картотеке. В предназначенном для учителей журнале L'École du Grand Paris выдающийся французский математик Лоран Шварц опубликовал статью о тенденциях современной математики. По мнению автора: «математика — наука наиболее абстрактная и одновременно наиболее независимая от внешнего мира и от текущей жизни, но с другой стороны — это предмет, который практически ничего не может рассказать нематематикам о современной математике». Иными словами, профессор Сорбонны констатирует, что практически не имеет смысла читать лекции, подобные настоящей,... и он почти прав. Но его первый тезис является лишь подготовкой к следующему, суть которого в абсолютной произвольности выбора проблем, и этот тезис я считаю значительно опаснее первого, ибо автономия науки заключается в свободе выбора, а не в его произвольности. Бурный прогресс всех отраслей знаний (который скорее заслуживает названия 38  мутации, чем эволюции) и, что не менее важно, изменения в мире материальной культуры полностью доказали фиктивность веры в то, что каждая математическая теория когда-нибудь для чего-нибудь пригодится, хотя здесь бывают и приятные неожиданности. Современный математик Норберт Винер заметил, что математическая теория управления имеет фундаментальное значение для физиологии, ибо живой организм подобен нынешним саморегулирующимся автоматам. Эту доктрину он назвал кибернетикой, а её главный принцип — обратной связью. Обратная связь заключается в непрерывном измерении отклонения между направлением движения и поставленной целью и в использовании этого отклонения управляющим устройством для автоматической и непрерывной корректировки движения. Применим этот принцип к шествию авангарда процессии математиков сквозь историю — здесь обратная связь требует знания конечной цели, которую никогда нельзя упускать из виду. Но цель всего шествия не может указать отдельно взятая личность, которая свободна только в выборе дороги к цели...

Как я уже говорил, практическое значение математики зависит от того, каково мнение общественности о математике и математиках. Жаль, что никто до сих пор не проводил соответствующих опросов, ибо их результаты были бы сенсационными. Люди, близкие к техническим наукам, знают о роли классической математики в инженерном деле и машиностроении, но считают её второстепенной; к такой точке зрения их склоняет назначение математических справочников. Их очень удивляет, когда, например, кто-то говорит, что вроцлавское общество технической математики решило проблему оболочек и куполов, представив их оптимальную форму для каждого контура. Удивление возникает потому, что эмпирики не понимают категорических суждений такого рода. Более того, нематематик чувствует себя особенно задетым за живое, когда кто-то делает из его предпосылок заключение, превышающее его воображение. Математики этим занимаются профессионально и добиваются признания вопреки мнению дилетантов. Распространено мнение, что в промышленности, горном деле, средствах связи, торговле и денежном обороте иногда возникают трудности вычислительного характера, но нет никаких 39  математических проблем. Занять должность математика на какой-нибудь фабрике у нас невозможно, потому что никакой директор никогда не слышал о чём-либо подобном (речь идёт об образованных директорах, а не о таких, которые заставляют математика составлять платёжные ведомости). Разумный директор спросит себя: что должен математик делать целый день на фабрике? Ответ на это мы находим в цитированной ранее работе Котарбиньского, где говорится, что хороший организатор должен не действовать, а только наблюдать за всем происходящим (польская поговорка гласит, что «от хозяйского глаза скотина жиреет», и это можно отнести как к живому коню или ослу, так и к механическому!). Например, перед математиком на текстильном предприятии можно поставить скромную задачу, которую он смог бы решить после года бездельничанья на фабриках: установить оптимальный выпуск продукции. Такая задача вполне достойна математика, ибо даже распределение 10 работников между 10 разнородными автоматами, обеспечивающее максимальную производительность, не является шаблонной вычислительной задачей. Не следует, однако, возмущаться по поводу директоров или руководителей более высокого ранга, ибо даже Генри Форд-старший считал математику совершенно ненужным балластом в техническом образовании. Меня скорее удивляет не Форд, а естествоиспытатель (ученик Бенедикта Дыбовского и Нусбаума-Хиларовича), который на заседании Краковской академии по поводу серологической экспертизы (для объективной оценки доли ошибочных решений в делах по установлению отцовства) воскликнул: «Чутьё и вера говорят мне больше, чем стёкла прибора и глаз умника!».

Итак, каково же будущее польских математиков? Я говорю о математиках творческих и самостоятельных, ибо иным место в общеобразовательных школах. Выдающиеся по таланту математики (из упоминавшегося выше авангарда) занимают прекрасные должности в высшей школе, в университетах и политехнических институтах, в промышленности и в различного рода производстве. .. Но где? В Соединённых Штатах, куда мы уже давно поставляем наших выпускников. Там также многие директора не верят в необходимость математики, но и спрос на должности математика 40  не так уж велик, поскольку американская молодёжь предпочитает конкурировать в других областях. Польские математики имеют высокий курс на заморской бирже труда. Наше государство обучает их, не скупясь на слова благодарности, однако не находит для них надлежащей роли. Должны ли мы их экспортировать или предлагать в качестве рекламного продукта с надписью «не для продажи»? Действительно, наша техническая отсталость затрудняет осознание значения современной математики и, следовательно, уменьшает роль математиков, но без математики мы не преодолеем техническое отставание. Если мы хотим догнать других, то должны надеть сапоги-скороходы, а их имеет на складе только современная (но никак не вчерашняя!) математика.

Неприязнь к практике у учёных и неприязнь к теории у практиков ведёт к накапливанию математических результатов в тщетной надежде, что мы используем эти интеллектуальные запасы в будущем или другие страны используют их сейчас. Но другие страны уже сегодня сетуют на недостаток литературы по математике! Один из участников прошедшего недавно Международного Конгресса в Эдинбурге, который неоднократно демонстрировал умение предвидения и универсальной ориентации, пишет, что математика явно отстаёт от фантастического развития физики, астрономии, а также биологии и технологии. Итак, мы должны помнить, что безграничное ожидание, когда появятся потребители науки, не является разумной тактикой. В странах, которые осознали необходимость применения математики, мы видим особый интерес к проблемам преподавания математики. К этим странам относятся Италия, Бельгия и Югославия, и по их примеру и Франция сейчас задумалась о реформировании образования с тем, чтобы математика дошла до гораздо большей части молодёжи, чем ныне. Ответственные круги отдают себе отчёт в том, что без математики нельзя выдержать соревнования с теми странами, где математика в почёте. С другой стороны, история и опыт отчётливо указывают на то, что большая часть молодёжи либо вообще не понимает математики, либо понимает, но не находит в ней ничего интересного, а у нас подумывают даже о введении обучения математике для лиц, не имеющих призвания к педагогике. Я не верю, что какие-либо новые дидактические приёмы могут радикально 41  увеличить долю понимающих математику в школе. Подводя итоги экспериментам педагогов, мы оказываемся перед дилеммой: либо уступить требованиям краковских школьников и отменить математику (кроме простой арифметики и элементов планиметрии), либо поступить так, как учит природа, которая разбрасывает тысячи зёрен, хотя лишь несколько из них упадут на плодородную почву. И из этих нескольких зёрен позже вырастут Паскаль, Гаусс и Бойяи... 42 




Что такое математика и на чём основан её прогресс?

Первая из серии популярных математических лекций, прочитанных Штейнгаузом зимой 1926–27 гг. перед профессорами Университета и Политехнического института во Львове


Немодный ныне Уайльд сказал, что каждый называет своей специальностью то, в чём он меньше всего понимает. Смысл этого парадокса, пожалуй, сводится к следующему утверждению: подобно тому, как рыба, по всей вероятности, не отдаёт себе отчёт в том, что такое вода и каковы её свойства (точно так же юрист редко задумывается над сущностью законов, а биолог не волнуется по поводу определения жизни), так и математик не часто думает и говорит о том, что такое математика. Такие вопросы возникают только при контакте с нематематиками, так как рыба, вероятно, лишь выпрыгнув из воды, замечает её поверхность, её границы и её специфические свойства. Например, очень трудно определить, что такое химия. Сказать, что она изучает состав материальных тел, будет явно недостаточно, ибо перед этим необходимо определить, что мы понимаем под «материей» (при этом, именно химия и физика дают нам средства для выработки понятия материи). Несмотря на то, что химия уже в прошлом столетии была достаточно развита, знание её основ очень редко становилось предметом интереса профессиональных химиков — импульс для таких исследований дала современная физика. Точно так же импульс к занятиям основами математики дало наше столетие —  43  он поступил со стороны математиков, интересующихся логикой, и логиков с математическим образованием, которые и занялись основами и определением математики.

Слово «логик» здесь означает вовсе не человека, мыслящего логически, а специалиста, занимающегося механизмами мышления, определения, умозаключения и аргументации. Речь идёт о чисто формальном механизме, позволяющем ему из одних суждений выводить другие (независимо от их сущности). Довольно давно было установлено, что математика является такой системой логически связанных суждений, и уже Лейбниц в начале XVIII века отдавал себе в этом отчёт. Тем труднее в популярной лекции представить, что такое математика и что лежит в основе её прогресса. Свободные математические суждения не только не дают надлежащего представления о безграничности и важности этой науки, но и не позволяют должным образом оценить огромных усилий поколений, необходимых для постановки математических проблем и для преодоления трудностей, встречающихся на путях, ведущих к их решению. Роль популяризатора математики осложняется дополнительно и тем, что этой науке настолько редко уделяется внимание в обычных лекциях, что даже сама техника популярного разговора о математике не определена должным образом.

Математика подобна башне, фундамент которой был заложен много веков назад и в которой всё ещё достраивается верхний этаж. Чтобы оценить общий ход строительства, надо подняться на самый верхний этаж по очень крутой лестнице с множеством ступеней. Роль популяризатора состоит в том, чтобы втащить слушателя в лифт и довезти к вершине, откуда он не увидит ни промежуточных этажей, ни веками украшавшихся комнат, но сможет убедиться, что здание очень высокое и продолжает расти.

Вместо попыток одним предложением определить, что такое математика, мы постараемся «показать» её, причём не только из-за трудности дать общее определение, но также и потому, что, как нам кажется, иногда за математику принимают нечто, чем она наверняка не является.

Существует некий сатирический взгляд на математику, точнее даже два таких взгляда. О них часто можно услышать в вагоне 44  или в салоне или прочитать в книгах и журналах. Многие весельчаки во время непринуждённой беседы могут рассказать забавные вещи о математике. Например, считается, что математики — это люди, для которых наибольшее удовольствие представляет умножение в уме 10-значных чисел на 12-значные, запоминание страниц из таблицы логарифмов или просто коллекционирование необычных чисел. Для разнообразия можно рассказывать и прямо противоположные истории о том, как математики плохо вычисляют (например, анекдот о том, что первый встречный лавочник способен задать жару математику, рассчитав в уме сложный процент, пока математик листает таблицы логарифмов, чтобы не ошибиться в вычислениях).

Естественно, реальная жизнь совершенно не соответствует этим рассказам. Математики обычно не являются хорошими «счётчиками» или счетоводами, но считают не хуже других среднеобразованных людей. Они, как правило, не имеют склонности и не обладают большим опытом в вычислительной работе. Вычислительная работа (связанная обычно с чисто арифметическими операциями) вообще играет в математике весьма малую роль, что бы ни думали об этом необразованные люди. Напротив, в прикладной математике (например, в астрономических задачах) вычислительной работы очень много, и именно астрономы являются примером людей, обладающих обширными знаниями математики и умеющих считать значительно лучше самых квалифицированных бухгалтеров. Астрономия нуждается в объёмных вычислениях не потому, что небесные тела находятся на удалённых расстояниях, а потому, что их движение относительно Земли является весьма сложным — расчёт траектории ближайшего спутника Земли, Луны требует гораздо больше вычислений, чем расчёт траекторий самых отдалённых звёзд.

Но иногда действительно появляются люди, которые способны выполнять арифметические действия над многозначными числами быстрее, чем вычислительные машины. О таких феноменах часто пишут психологические журналы, и многие из вас знают фамилии Иноди, Диаманди или Рюкле. Эти люди вовсе не являются математиками в обычном понимании, хотя и могли бы быть ими (о чём свидетельствует пример Рюкле, доктора математики). 45  Чаще всего они не имеют математического образования и редко когда обладают математическими способностями. С одним из них мне довелось иметь продолжительную беседу, и я был поражён абсолютным отсутствием математических способностей: он не мог понять вещей, которые доступны почти всем ученикам старших классов средней школы, обладающим рядовыми способностями.

Ввиду того, что математики не занимаются вычислениями, а ведь, пожалуй, они должны ими заниматься по необходимости (иногда это является матерью смекалки), среди наиболее сознательных неучей возникла третья, полусерьёзно трактуемая шутка, связанная с нелепым объяснением работы математиков (типа: они доказывают, что 2×2=5).

Самая глубокая причина этих недоразумений заключается в форме математических сочинений. Их текст постоянно переплетается с формулами, которые порой заполняют целые страницы и состоят из букв и непонятных знаков. Математика многим представляется таинственной наукой. Для чего предназначены эти непонятные символы и знаки? Очевидно, что из этих букв, больших и малых, латинских и греческих, должна вытекать какая-то новая скрытая истина, но она должна отличаться от банальных утверждений типа 2×2=4 (ибо люди давно это знают без всяких значков). Отсюда и возникает мысль, что такие усилия и тексты должны привести к чему-то парадоксальному или невозможному, подобному эликсиру жизни, философскому камню или вечному двигателю — одним словом, к «2×2=5».

То, что уже в средней школе изучают математику, в которой вводятся символы a, b, c, ..., x, y, z, не изменяет этой точки зрения, поскольку большинство учеников не видит смысла и значения этих символов. Люди не понимают этих символов, потому что в практической жизни они пользуются не буквами, а конкретными числами (2, 3, 5, 6.5 и т.д.). Но существуют и исключения: например, если штаб армии планирует наступление и ждёт для этого прибытия тяжёлых орудий (известно, что они обязательно поступят, но неизвестно точно когда), то можно подготовить детальный план всей операции и отдать приказ, что пехотная дивизия 46  выступает в час x, полевая артиллерия начинает действовать в x ч 45 мин, а тяжёлые орудия — в x+1 ч. Такой приказ можно довести до нижестоящих командиров, не указывая конкретное значение символах, а последние могут потребовать у командования армией разъяснений по поводу способа выполнения приказов и получить их до того, пока одна короткая депеша не сообщит им наконец точный смысл символа (x = 31 августа, 4 ч 30 мин). Этот пример демонстрирует, что в некоторых случаях символ необходим и что его не может заменить конкретное число. Именно так математики и употребляют символы: они не пишут чисел до тех пор, пока числа являются лишь ненужными подробностями, не имеющими ничего общего с сутью дела.

Какой интерес представляют для нас эти символы или числа? Ни об одном из них в отдельности ничего интересного сказать нельзя, но между выражениями, образованными из них различными способами, возникает огромное множество порой очень удивительных и интересных зависимостей. Выберем один из множества примеров: возьмём произвольные числа a, b, c, d, e, f и образуем из них произведения a×d, b×e, c×f, которые, для краткости, будем обозначать ad, be, cf.

Далее, найдём их сумму ad + be + cf, возведём её в квадрат

(ad + be + cf )2,

а полученное таким способом число обозначим через l.

Теперь образуем квадраты тех же самых шести чисел a, b, c, d, e, f т.е. a2, b2, c2, d2, e2, f 2, образуем из них две суммы:

a2 + b2 + c2,       d2 + e2 + f 2

и перемножим:

(a2 + b2 + c2) × (d2 + e2 + f 2).

Полученное таким способом число обозначим через m. Так вот, относительно этих чисел можно смело утверждать, что число l всегда (т.е. при любых конкретных значениях a, b, c, d, e, f ) будет меньше или равно числу m. Например, для набора чисел a=1, b=2, c=1, d=3, e=4, f=1 мы получим:

ad = 3,     be = 8,     cf = 1, 47 
ad + be + cf = 3 + 8 + 1 = 12,
(ad + be + cf )2 = 144,

т.е. l = 144. Для нахождения числа m вычислим требуемые значения:

a2 = 1,     b2 = 4,     c2 = 1,     d2 = 9,     e2 = 16,     f 2 = 1,
a2 + b2 + c2 = 1 + 4 + 1 = 6,       d2 + e2 + f 2 = 9 + 16 + 1 = 26,
(a2 + b2 + c2) × (d2 + e2 + f 2) = 6 × 26 = 156.

Таким образом, m = 156, что очевидно больше 144. Мы можем для проверки подставить в качестве чисел a, b, c, d, e, f  любые другие конкретные значения, но высказанное выше утверждение остаётся справедливым. Математически этот факт записывается кратко в виде:

(ad + be + cf )2 ≤ (a2 + b2 + c2) × (d2 + e2 + f 2)

и называется неравенством Лагранжа. Без использования буквенных обозначений его было бы очень трудно выразить и записать.

В качестве ещё одного примера рассмотрим два положительных и различных числа p и q. Разделим сперва p на q, потом q на p и сложим полученные результаты. Можно утверждать, что сумма всегда будет больше числа 2, что соответствует буквенной записи:

 p

 q

 +   q

 p

 > 2.

Таким образом, например, имеем 3/4 + 4/3 = 25/12 = 2 + 1/12, 2/3 + 3/2 = 13/6 = 2 + 1/6 и т.д., что всегда даёт число, большее 2.

Одной из задач математики является именно доказательство таких утверждений. Однако доказательство не основывается на попытках, и его нельзя заменить даже тысячами подстановок в качестве чисел p и q всё новых конкретных чисел. Доказательство требует вывести общий случай неравенства p/q + q/p > 2, исходя из принципиальных свойств чисел. Когда это удаётся сделать, полученное суждение p/q + q/p > 2 называют математическим утверждением, 48  и с этого момента наступает уверенность, что никакая попытка не сможет опровергнуть это суждение.

Таким образом, одной из целей математики является открытие и доказательство новых утверждений. Математику, которая занимается именно этим, назовём логической или математикой «α». Школа, как известно, в меньшей степени интересуется математикой α, так как она не требует от учеников открытия новых утверждений, а всего лишь добивается от ученика умения выбрать из известных ему утверждений те, которые легче всего приведут к решению конкретной задачи. Математику, которая занимается решением задач, назовём математикой «β» или вычислительной математикой. На первый взгляд может показаться, что неравенство Лагранжа — это математическая шарада, лишённая всякого значения. Однако оно имеет значение не только в математиках α или β, поскольку его, например, часто используют естествоиспытатели, когда хотят выразить зависимость двух явлений друг от друга. Числа l и m могут быть равны, если две серии чисел a, b, c, ... и d, e, f, ... пропорциональны (например, когда a = 2d, b = 2e, c = 2). Предположим, что мы, например, каждый час измеряем в данном месте атмосферное давление и температуру (соответственно, мы обозначаем через a, b, c, ... значения давления, а через d, e, f, ... — значения температуры). Если мы затем образуем из полученных значений числа l и m, то их отношение позволит судить о степени взаимозависимости этих двух величин. Равенство l=m будет означать сильную зависимость температуры от давления, малость отношения l/m (например, ½) будет указывать на слабую зависимость этих параметров, а близость отношения l/m к нулю будет доказательством того, что исследуемые величины независимы. Число l/m называется коэффициентом корреляции.

На основе того факта, что утверждения чистой математики можно применять и к другим наукам, возникла математика «γ», которую называют прикладной. При этом, если мы действительно захотим исследовать две последовательности наблюдений с использованием коэффициента корреляции, то мы должны научиться выполнять целый ряд вычислений. Как проще и лучше осуществлять стандартные вычислительные операции — этому 49  учит практическая математика, которую можно назвать математикой «δ». Например, в случае исследования зависимости давления от температуры гораздо удобнее отсчитывать атмосферное давление не от нуля, а, скажем, от 700 мм рт.ст. (т.е. считать давление 705 мм за 5 мм и т.д., что значительно упростит вычисления). Примерно так выглядят правила практической математики.

Неполный, односторонний взгляд на сущность математики заключается в том, что огромное большинство людей никогда не имеют дела с математикой, иной нежели «δ». Огромное большинство образованных людей не встречаются с математикой, отличной от «β» и «δ». Поэтому зададим себе вопрос: какое значение в жизни имеет математика «α» и «γ»?

Здесь достаточно привести один пример: в XVII веке Декарт открыл аналитическую геометрию, позволившую его последователям заняться так называемой проблемой касательных, т.е. задачей определения положения прямой, касающейся данной кривой линии. Из этой проблемы выросло дифференциальное и интегральное исчисление Лейбница и Ньютона, что позволило Ньютону проверить, применима ли его теория взаимного притяжения тел к движению планет. Согласие этого движения с теорией убедило физиков в справедливости принципов ньютоновской механики, а применение этой механики к земным физическим явлениям положило начало современной физике. Всё это стало основой современной техники, которая (главным образом благодаря небывалому совершенствованию средств коммуникации и замене ручного производства машинным) повлекла за собой изменение материальной культуры, изменила распределение благ, что в результате привело к социальному расслоению, образованию новых классов, новых политических систем, взглядов и нравов. Историк упрекнёт нас за эти рассуждения и скажет, что к столь далеко идущим последствиям привело не что иное, как открытие новых континентов, но эти открытия (например, географические открытия венецианцев) не имели бы особого значения без существенного прогресса навигационного искусства, который был бы невозможен без развития астрономии и оптики, т.е. без наук, неразрывно связанных с математикой. 50 

Вы спросите, как конкретно математика связана с физикой? Что общего могут иметь между собой законы, которым подчиняются числа, и законы, которым подчиняется материя? Так вот, законы физики устанавливают связь между некоторыми величинами, которые доступны наблюдению и измерению. Измерение этих величин даёт определённые числа, т.е. фактически мы получаем зависимости между числами. Математика учит, какие связи между числами возникают из этих первичных зависимостей, и тем самым позволяет из наблюдаемых законов физики выводить (уже без наблюдения) новые законы, а затем и предсказывать новые явления. Наблюдение учит, что если в замкнутом сосуде изменять объём газа, например, сжимая его с помощью поршня, то давление изменяется так, что произведение объёма на давление будет оставаться постоянным. Если до изменения объём был равен v0, а давление — p0, а после изменения — соответственно v и p, то v × p = v0 × p0. Это утверждение называется законом Бойля. Из зависимости vp = vp0 можно вычислить, какое давление необходимо приложить для превращения данного газа в жидкость, если известно только то, во сколько раз плотность жидкости больше плотности газа. В действительности дело осложняется тем, что на данный процесс также оказывает влияние температура, но и это влияние тоже можно учесть математически. Зависимость vp = vp0 сама по себе является не математическим утверждением (как, например, предложенное выше неравенство Лагранжа), а лишь законом физики, записанным в математической символике.

До сих пор все наши примеры имели тот недостаток, что они не выходили за пределы четырёх арифметических действий, а арифметика — это самая элементарная часть математики. Однако нам придётся выйти за рамки элементарной математики уже при решении некоторых весьма простых с виду задач, например, при рассмотрении свойств окружности. Чему равна длина окружности? Из школы мы знаем, что она в 3.1415926... раз больше диаметра, но этот факт сам по себе мало интересен. Для его проверки требуется измерить длину окружности, что невозможно осуществить жёсткой деревянной линейкой, и это приводит нас к проблеме измерения длины кривых линий. Очевидно, что измеряя дугу 51  кривой линии в дециметрах, мы совершим меньшую ошибку, чем при использовании метра, а ещё лучше было бы измерять её в сантиметрах и т.д. Как же, однако, определить истинную длину? Можно брать всё меньшие меры длины и получать всё большие числа (в метрах), например, 1.9, 1.99, 1.999... Но ни одно из них нельзя будет считать истинной длиной дуги — назовём таковой целое число, которое больше каждого из полученных (например, 2). Определения такого рода относятся уже к сфере высшей математики. Она учит также тому, как найти и точно вычислить число π ≈ 3.1415926..., называемое лудольфовым числом. (Лудольф ван Цейлен (1540–1610) — нидерландский математик, вычисливший π с 32 десятичными знаками. — Прим. перев.) Эйлер, например, предложил следующую формулу:
 
π = √6 ·  Ö  1

 1²

 +   1

 2²

 +   1

 3²

 +   1

 4²

 + ...   .

Для математика «α» наиболее любопытным будет факт (доказанный Линдеманом из Мюнхена), что число π никогда не может являться решением уравнения с целыми коэффициентами. Поэтому, записав довольно замысловатое уравнение

10x7 – 24x6 + 100x5 – 3x4 + 7x3 + 15x – 365 = 0,

можно заранее сказать, что число π не является его решением. Из этого вытекает невозможность точного измерения длины окружности и площади круга с помощью циркуля и линейки — так называемая «невозможность квадратуры круга».

Даже самые простейшие явления имеют свой математический аспект, и более глубокое их исследование порой приводит к трудным и важным задачам. Картографам издавна известно, что для раскраски карт на шаре достаточно четырёх цветов. Иными словами, если нужно, чтобы на глобусе каждая страна имела иной цвет, нежели соседняя с ней страна (или море — если страна приморская), то для этого достаточно использовать четыре краски (при этом не требуется, чтобы страны, граничащие только в отдельных точках, имели разный цвет). Доказать это до сих пор никому не удалось. [О том, как была поставлена проблема четырёх красок и как она была решена, рассказывается в книге Саймона Сингха «Великая теорема Ферма» (глава 8, параграф «Доказательства на чипах»). E.G.A.] 52  однако вместо этого доказано, что на поверхности тора (т.е. замкнутой трубы) любое распределение стран требует не более семи цветов. Отсюда сразу возникает вопрос о принципиальном отличии шара от тора. С виду этот вопрос кажется наивным, ибо они имеют совершенно разную поверхность, и нетрудно дать их геометрические описания, которые также будут различными. Но речь идёт не об этом. Ведь каждому известно, что если говорить о раскраске карт, то безразлично, является ли глобус точным шаром, или он сплющен, или лишь местами изогнут. Здесь речь идёт о каких-то других «неточных формах» и различиях. Возьмём, например, бутылку. Когда-то она была большой каплей горячего стекла, висящей на конце трубки-воздуходувки работника стекольного завода, из которой он мог тогда выдуть как пузатую бутылку, так и вазу для цветов. Но без отрыва капли от трубки он не смог бы изготовить бутылку с двумя горлышками. Способ описания и определения формы, при котором отождествляется всё, что с помощью «растяжения» можно получить из одного и того же исходного состояния, называется топологией. Для топологии плоский круг и бутылка — это одно и то же. Ведь из круга путём вытягивания его краёв можно получить вазу, а из вазы путём вытягивания горлышка — бутылку. Бутылка отличается от шара тем, что её можно разрезать, проведя сечение от одной точки края горлышка до другой, тогда как шар таким способом разрезать не удаётся. Чтобы разрезать шар, нужно будет начать и закончить сечение в одной и той же точке, что позволит изготовить две бутылки. Такая операция называется «замкнутым сечением», но её выполнение на торе не приведёт к распаду тора на две части. Для распада тора необходимо провести два замкнутых сечения.

Некоторым достаточно изложить только основы такой теории форм, чтобы они смогли самостоятельно её развить и вникнуть в её проблемы, у других же возникнет вопрос — а для чего вообще нужна топология. Сразу можно видеть, что различные топологические формы также принципиально отличаются и с физической точки зрения. Это различие не является количественным — очевидно, что, например, в шаре жидкость не может находиться без разрыва непрерывности так, чтобы все её частицы постоянно находились в движении, тогда как в торе подобная циркуляция возможна. Голландский 53  математик Брауэр доказал, что если по поверхности шара бегают частички без разрыва непрерывности, то всегда хотя бы одна из них находится в покое. Для гидродинамики и для науки об электричестве эти рассуждения имеют большое практическое значение, особенно когда распределение тока в электрической сети зависит от её топологии, так как до сих пор определение оптимальных размеров сети наталкивается не столько на вычислительные трудности, сколько на чисто математические.

Размышления о картографии с иной точки зрения приводят к другим интересным математическим теориям. Можно ли для некоторой страны изготовить карту таким образом, чтобы граница страны выглядела как окружность? Предположим, что страна представлена на плоскости и что мы хотим составить карту так, чтобы соотношение (масштаб) длины на карте и в действительности в каждой точке не зависело от направления (и, следовательно, чтобы изменение масштаба в направлении север-юг и в направлении восток-запад было одним и тем же), но в то же время допускается, чтобы это соотношение было различным в разных точках карты. При этом малые области не подвергнутся деформации, но вся карта изменит истинную форму — а мы хотели бы, чтобы граница страны выглядела на карте в виде окружности. Эту задачу поставил и решил Бернгард Риман, создатель топологии, столетие со дня рождения которого отмечалось недавно. Принадлежащий к следующему поколению берлинский учёный Г. А. Шварц вычислил, как выглядела бы кругообразная карта квадрата. Рисунок показывает, как выглядели бы на кругообразной карте параллели и меридианы страны в виде квадрата. 54 


Если теорема Римана относится к логической математике, то расчёты Шварца относятся к математике «β».

И снова на первый взгляд может показаться, что изготовление кругообразных карт квадратных стран является напрасной тратой времени и энергии. Между тем оказалось, что если нарисовать на плоскости линии течения жидкости (невязкой и несжимаемой), а затем составить карту этой сети линий так, чтобы малые участки не подвергались деформации, то изображения этих линий на карте будут снова линиями, вдоль которых жидкость может течь при указанных условиях. Это и есть прикладная математика. Для практического использования предложенных выше преобразований Кирхгоф и Рэлей предложили методы, которые оказались полезными в современном авиастроении и позволили, например, описать обтекание крыла самолёта набегающим потоком воздуха.


Для решения этой задачи необходимо представленное на рисунке поперечное сечение заменить кругом, иначе говоря — найти линии течения для случая, когда воздух наталкивается на брус круглого сечения. Вычисления здесь выполняются гораздо легче, чем при определении линий течения сразу для обычного крыла, имеющего всегда достаточно сложную форму. Нарисовав линии течения воздуха, наталкивающегося на брус, мы можем получить карту плоской области, лежащей за сечением крыла (незаштрихованной области), так чтобы граница этой области, определяемая поперечным сечением крыла, выглядела на карте в виде круга. Изображённые перед этим на карте линии течения воздуха являются образами истинных линий, которые теперь можно (зная связь между областью и картой) нарисовать в области снаружи крыла. Здесь мы имеем, как и во всей аэродинамике, пример прикладной 55  математики, а если бы мы действительно для данного крыла определили линии течения воздуха и затем вычислили силу его давления, то это был бы прекрасный пример практической математики. Всё это относится уже к области высшей математики. Поучительным примером прикладной математики является геометрическая оптика. Опыт показывает, что лучи света в каждом оптическом приборе распространяются так, чтобы время их движения от одной точки до другой было по возможности наименьшим. На этом основании можно применить геометрию к построению оптических приборов и предсказать правила распространения в них лучей света. Можно даже заранее определить, как надо шлифовать стёкла и зеркала, чтобы получить требуемый эффект. Для линзы (с фокусным расстоянием  f ) геометрическая оптика позволяет получить следующую простую формулу:

 1 

 a

 +   1 

 b

 =   1 

 f

 .

где a — расстояние от предмета до линзы, а b — расстояние до изображения. Эта формула очень проста и позволяет легко вычислять  f  по известным значениям a и b. Однако, если кому-то на предприятии, изготовляющем линзы, необходимо несколько десятков раз производить такие вычисления, то ему следует прибегнуть к методикам прикладной математики. Дело в том, что любую из трёх величин  f , a и b (при двух известных) можно найти без вычислений, пользуясь тремя простыми шкалами, расположенными под углом 60° друг к другу. Если приложить к таким шкалам нить, проходящую через две заданные точки (как показано на рисунке), то по заданным числам a и b (или  f ) можно сразу определить  f  (или, соответственно, b). Графические приёмы подобного рода являются заслугой современного французского математика д'Окань.


Нескольких таких примеров математического мышления достаточно для того, чтобы показать, хотя бы в самых общих чертах, чем является математика. В них также скрывается часть ответов на вопрос, развивается ли математика, и если да — то на чём основан этот прогресс. Возвращаясь к шутке о математиках, доказывающих нелепости типа «2×2=5», можно сказать, что её истоки лежат в следующем, довольно распространённом мнении: 56  наука, в которой нет разногласий, не может развиваться. Законы и истины математики утвердились в течение тысячелетий (действительно, трудно оспорить, что законы арифметики были установлены уже много веков назад), но в отсутствие полемики нет научных дискуссий или спорных вопросов, а без этого науке нечего исследовать и она не имеет внутренних стимулов для развития. На самом деле такое мнение ошибочно, так как в математике существует некоторая отчётливо выраженная граница между тем, что известно, и тем, что неизвестно. Например, известно, что число 23¹² + 1 не является неделимым, ибо можно доказать, что оно делится без остатка на 3. В то же время неизвестно, делится ли число 22¹² + 1 на какое-то другое, или нет. Если завтра кто-то докажет, что это число делится (например, на 257), он совершит решительный переворот в арифметике. Но ни сегодня, ни завтра не будет никакой дискуссии по поводу того, является ли число 22¹² + 1 делимым, или нет. Сегодня никто из математиков не выскажется за делимость этого числа или против этого (такое мнение он должен был бы назвать не научным тезисом, а не поддающимся доказательству предположением). Откуда же тогда берётся настойчивое мнение о необходимости полемики? Его источник — в естественных науках, где оперируют экспериментальными данными. Чтобы доказать прямолинейность распространения света (при любых переходах между двумя точками), были проведены тысячи экспериментов в разных условиях, которые всегда давали 57  именно этот, положительный результат. Но при этом не были обнаружены некоторые иные факты (например, возникновение интерференционных полос), для регистрации которых нужны были более совершенные приборы и более точные наблюдения, что стало возможным только в новое время, после Ньютона. После этого на противоположную чашу весов начал ложиться один факт за другим, и оказалось, что луч света при определённых условиях может искривляться. В истории физики был момент, когда таких фактов было немного, и тогда, естественно, возникла и стала возможной полемика (сторонники прямолинейного распространения света сомневались в точности новых наблюдений, объясняли появление полос иным способом и т.п.), но в конечном счёте число опытов с отрицательными результатами оказалось настолько большим, что чаша весов перевесила.

Ничего подобного не может произойти в математике. Здесь не накапливаются факты, здесь нет естественной индукции. Достаточно одного аргумента, чтобы утверждение было верным, а если же аргументов не хватает, то ничего не значат тысячи доводов в защиту утверждения. Если кто-нибудь попробует делить число 22¹² + 1 на все числа от 2 до 10 000 и докажет, что ни одно из них не умещается без остатка в числе 22¹² + 1, то это ещё не будет говорить о том, что 22¹² + 1 есть число «простое», т.е. вообще не делится ни на одно число.

О прогрессе в области арифметики я не говорил, потому что этот вопрос подробно излагается в специальной лекции проф. Рузевича.

Что касается алгебраических уравнений, то наиболее поразительного успеха здесь достигли в начале XIX века Руффини, Абель и Галуа, доказавшие, что уравнение 5-го порядка не может быть решено в общем виде (как это свойственно уравнениям низших порядков) даже с помощью формул, требующих выполнения 4-х арифметических действий и извлечения корня в соответствующей последовательности. Здесь надо сказать несколько слов о роли и природе негативных утверждений. Когда профан узнаёт, что не существует конструктивного способа деления любого угла 58  на три равные части, это вызывает у него принципиальные сомнения. Он может вспомнить, например, что невозможность полёта с помощью механических средств неоднократно доказывалась самыми серьёзными учёными, до тех пор, пока несогласный с их доводами изобретатель не взлетел на первом аэроплане. Но такая аналогия совершенно неуместна, ибо (как я говорил чуть выше) утверждения физики основаны на индуктивных умозаключениях, которые могут быть опровергнуты новыми фактами и факторами. В авиации таким новым фактором стал лёгкий бензиновый мотор. Зато утверждение о невозможности трисекции угла является логическим следствием аксиом евклидовой геометрии. Разумеется, оно относится к построениям, выполняемым с помощью жёстких циркулей и линеек, или даже с помощью любых других инструментов, свойства которых ограничены аксиомами Евклида.

В физике может возникать целый класс новых задач. Погружая в мыльную пену согнутую в кольцо проволоку, мы получим на ней мыльную плёнку. Физика свидетельствует о том, что образующаяся на кольце поверхность имеет минимально возможную площадь. Желание математически описать это явление и обосновать образование поверхности с наименьшей площадью приводит нас к так называемым «дифференциальным уравнениям в частных производных», представляющим большой интерес для математической физики. Этими «минимальными» поверхностями занимались уже цитированные Риман и Шварц, а также многие их последователи (вплоть до настоящего времени), но никто из них не смог доказать наличие минимальной площади для всех форм. Сомнение такого рода вначале представляется нелепым: во-первых, минимальная поверхность существует (поскольку её реально образует мыльная плёнка), а во-вторых, из всех поверхностей, натянутых на один контур, одна должна быть наименьшей. Оба аргумента не являются достаточными для современной математики. Доказательство, основанное на физическом эксперименте, является спорным и подлежит критике. Аргумент, базирующийся на том, что среди всех поверхностей одна является наименьшей, содержит скрытую ошибку (подмеченную ещё Вейерштрассом в 70-х годах XIX века), связанную с тем, что не всегда из данного множества чисел одно является наименьшим. Например, среди 59  кривых, соединяющих две точки A и B, нет кратчайшей, ибо кратчайшим расстоянием между этими точками является отрезок прямой AB, не относящийся к кривым линиям. Поэтому современная математика в большинстве случаев пытается прежде всего доказать существование решения, и только после этого принимается за вычисление этого решения. Иногда оказывается, что решения не существует — и не в том смысле, что оно не может существовать, а просто потому, что мы не умеем его найти.

Без систематического, многолетнего обучения трудно углубиться в этот лес задач и решений, однако можно надеяться, что приведённые рассуждения облегчат понимание того, на чём основан тот математический метод, который (будучи насквозь логичным) преобладает над логикой бесконечного разнообразия понятий, теорем и задач. 60 




О математической строгости

В номере 5 (49) Matematyka за 1957 г. на стр. 13–18 появился перевод статьи, опубликованной в мае 1957 года в журнале L'École du Grand Paris. Автором оригинала является профессор Сорбонны Лоран Шварц, а перевод озаглавлен «Тенденции современной математики». Мы обращаемся сегодня к читателям Matematyka, которые благодаря этому переводу имели возможность ознакомиться с взглядами парижского математика, потому что считаем эти взгляды односторонними и вызывающими серьёзные возражения. Я боюсь, что большинство польских математиков разделяют эти взгляды, и поэтому моё молчание могло бы выглядеть как одобрение идей Шварца.

Автор статьи является выдающимся учёным, о чём в известной мере свидетельствует его адрес. Сорбонна, Коллеж де Франс, Политехническое училище и другие крупнейшие парижские учебные заведения имеют прекрасные математические традиции и помнят о них. В номере 6 (50) Matematyka (стр. 12–24) Казимеж Войцеховский пишет о великих математиках после Ньютона, среди которых много французов. Даламбер, Лагранж, Лаплас и Коши — эти четверо (последний из которых умер в 1857 г.) вместе с плеядой других упрочили традиции французской математики, которые затем (после короткой депрессии во время правления Наполеона III) подхватили Эрмит, Дарбу, Пуанкаре, Борель, Адамар и Лебег. Эти два поколения соединили настоящее с прошлым, так что при каждом назначении на должность какой-либо из парижских кафедр учёный мир Франции невольно должен сравнивать новых кандидатов с этими гениями нашей науки. Сравнения 61  напрашиваются и у нас, читателей статьи о «тенденциях современной математики», но по иным причинам. Дело в том, что автор во вступлении сразу же заявляет, что «сегодня математика стала независимой наукой и, как кажется, окончательно отказалась от подходов, похожих на методы экспериментальной физики, которые были свойственны ей до недавних пор». С другой стороны, перед соответствующим текстом, предшествующим изложению материала, мы читаем, что «математика — это наиболее абстрактная наука и одновременно наиболее независимая от внешнего мира и текущей жизни, а поэтому практически невозможно рассказывать нематематикам о современной математике...».

Доверившись тезисам профессора Шварца, можно прийти к заключению, что только современная математика полностью заслуживает этого названия, вчерашняя — наполовину, а математиков, портреты которых украшают последний выпуск ежегодника Matematyka (1957 г.), откровенно следует лишить этого звания (подобно тому, как нельзя алхимиков называть химиками, а астрологов — астрономами). Действительно ли дело обстоит именно так? Не подвергается ли автор самообману (характерному для многих специалистов, особенно в области точных наук), который называется отсутствием исторической перспективы и основан на преувеличении современности по сравнению с прошлым? Большинство читателей Matematyka занимаются обучением элементарной математике, так что если они будут пользоваться современными методами (которые, по мнению профессора Шварца, и делают из этого предмета истинную математику), то она не станет понятнее их ученикам, так как последние не являются математиками и, следовательно, «им практически невозможно» объяснить истинную математику. Если же они учат математике на примерах и полагаются на интуицию и на опыт, то сами перестают быть математиками и становятся учителями физики. Что же касается того, что экспериментальная физика и другие подобные науки принципиально отличаются от математики, то в этом каждый согласится с уважаемым автором статьи. Действительно, если кто-то выведет теорему Пифагора путём измерения катетов прямоугольного треугольника с помощью линейки и (после большого числа таких измерений) начнёт утверждать, что сумма квадратов 62  катетов даёт квадрат гипотенузы с погрешностью 0.3%, то это и означает, что он занимался экспериментальной физикой (как в отношении метода, так и результата). Но наш автор рассуждает не об этом, а доказывает, что существовавшая с древности и до наших дней геометрия всего лишь считается точным методом, но не является таковым, поскольку геометры всегда пытались найти правду о геометрических объектах по некоторым наглядным свойствам этих объектов. А ведь ещё греческие гении Пифагор, Платон и Евклид решительно отклонили попытки экспериментального поиска геометрической истины, которую они считали в высшей степени объективной, в противоположность всему, что говорят о мире наши ощущения, подвластные иллюзиям и ежеминутно показывающие каждому всё новый образ этого мира... Впрочем, что может быть лучшим «алиби» в этом споре, нежели факт, что никто из этих мнимых «физиков-экспериментаторов» не открыл ничего в физике? Таким образом, мы должны задаться вопросом, что же в их дедуктивном методе поразило профессора Шварца.

Желая понять, о какой строгости идёт речь, обратимся к той эпохе, которую автор считает наиболее критичной, а именно к последним годам XIX века. До 1892 года считалось очевидным, что плоская замкнутая и непересекающаяся кривая делит плоскость на две области так, что всякая непрерывная дуга, соединяющая точку, лежащую в одной из этих областей, с точкой в другой области, должна пересекать эту кривую. Лишь в 1892 году Камилл Жордан (профессор Политехнического училища и, следовательно, также парижский математик) заметил, что это свойство замкнутых кривых является особым утверждением и поэтому нуждается в доказательстве. Его собственное доказательство, однако, содержало изъян, и только в 1902 году Веблен внёс дополнения в рассуждения Жордана. Для профессора Шварца предшественники Жордана, которые не задумываясь писали «пусть C — произвольная замкнутая кривая, а V — область внутри кривой C», не были математиками (поскольку они непосредственно из очевидных свойств обычной замкнутой кривой делали вывод о существовании области V), но зато математиком был именно Веблен. То, что Шварц называет строгостью, пожалуй, берёт начало от Гильберта, 63  который запретил усматривать в геометрических понятиях (таких как «точка» или «прямая», а также в отношениях типа «точка Р лежит на прямой») какой-либо смысл кроме того, который чётко сформулирован в аксиомах и определениях. Начиная с работы Гильберта Grundlagen der Geometrie (Основы геометрии), стало анахронизмом связывать с названиями «точка», «прямая», «плоскость» и т.п. некие свойства, которые пытаются охарактеризовать рисунок или пространственное воображение, а нарушители этого запрета, по-видимому, «перестали быть математиками в современном значении этого слова». Но у Гильберта были предшественники. Уже в середине XIX века, т.е. за 50 лет до появления Основ геометрии Гильберта, Риман исследовал гипотезы, на которых основана геометрия, в сочинениях, содержащих зародыши релятивистской теории пространства и времени, т.е. мысли, явно высказанные лишь в начале нашего столетия Альбертом Эйнштейном. В открытии неевклидовой геометрии Римана на четверть века опередили Лобачевский и Бойяи-младший, а из писем Гаусса вытекает, что эти идеи не были чужды и ему. Желая понять существование разных геометрий, следует смириться с предположением о наличии разных аксиоматических систем, каждая из которых сама не определена точно, но и не совместима с иными системами. Если бы предшественники Гильберта были уверены лишь в существовании «истинного» геометрического пространства и не задумывались о свойствах точек, прямых и плоскостей этого пространства (и о том, что эти свойства необходимо изучать, а не вводить безапелляционно посредством декретов, называемых аксиомами и лишённых материального значения!), то они бы никогда не открыли геометрий, отличных от евклидовой.

Предоставим слово профессору Шварцу! На стр. 14 цитируемой статьи он ясно формулирует, о чём идёт речь: «...математик вначале обязан принять некоторое количество аксиом, в известной степени представляющих правила игры, которыми он будет пользоваться; из этих аксиом математик выводит теоремы, которые доказывает строгим методом. Так, шахматист сначала устанавливает правила игры, весьма произвольные и не поддающиеся доказательству, и, только приняв их, может правильно разыграть 64  партию...». Разве так поступал Евклид, праотец всех геометров? В Истории точных наук (W. C. Dampier, History of Science, Cambridge, 1949, с. 40) читаем: «Евклид из Александрии (около 300 лет до Р.X.) собрал, развил и систематизировал существующие знания (геометрические). Из немногих аксиом, признанных очевидными свойствами пространства, он на логических основаниях вывел необыкновенный ряд теорем способом, который до новейших времён остался единственным признанным методом». И неудивительно, что до конца XIX века в английских школах элементарную геометрию называли просто «Евклид». В начале своей книги александрийский мудрец установил «правила игры» и последовательно придерживался их: почему же он в глазах профессора Шварца не заслужил милости и права называться математиком? Прочитаем ещё раз мнение сэра Уильяма Дампира о произведении Евклида: «...Из немногих аксиом, признанных очевидными свойствами пространства...» — далее не читаем, поскольку этих нескольких слов достаточно для дисквалификации одного из величайших учёных. Евклид верил, что идеальным прямым и точкам, о которых говорится в его аксиомах, отвечает нечто реальное. Если бы он знал, что ему дозволено подбирать, изменять, создавать и перечёркивать аксиомы, то он, вероятно, бросил бы науку как забаву, недостойную философа, — но на своё счастье он не дожил до эпохи Бельтрами и Гильберта. Точно так же и Коперник испытал бы моральный крах, если бы дождался эксперимента Майкельсона1, результат которого заставил бы его признать, что Земля не вращается вокруг Солнца. Такие парадоксы, по-видимому, подстерегают каждого, кто пренебрегает основами исторической перспективы. Геометрия в переводе с греческого означает «измерение Земли», и это первоначальное значение выражения далеко от всякой игры, даже от игры в шахматы или от игры в математические доказательства.

Но математика не ограничивается только геометрией. Евклид доказал, что существует бесконечно много простых чисел. Никто 65  в этом утверждении не сомневается, и по сегодняшний день можно пользоваться оригинальным доказательством Евклида. Профессор Шварц, вероятно, упрекнул бы это доказательство в том, что в нём проявляется замаскированная математическая индукция, но неосознание этой аксиомы никогда никого не привело к ошибочным суждениям. Незнание системы аксиом, определяющих круг натуральных чисел, не повредило ни древним, ни Ферма, но такую систему представил Дж. Пеано только в конце XIX века. Знаменитые исследователи теории чисел Дирихле и Гаусс не могли доказать, что a+b=b+a для всех натуральных a и b (поскольку не знали ни этой системы, ни какой-либо другой). Для них закон перестановки мест слагаемых был естественным свойством конечных множеств, и это никак не сказалось на их всемирно-исторических работах. Итак, что же представляет собой строгость, ставшая как бы философским камнем современной математики? Не будем пренебрежительно относиться к строгости! Сколько раз легкомысленное игнорирование сомнительных деталей в конструкции доказательств математиком, полагающимся на интуицию, приводило к совершенно ошибочным результатам! Сколь часто лёгкие на вид дополнительные звенья логической цепи не удаётся ничем заменить, если ложным является исходный тезис! Умение формулировать истинные утверждения прежде, чем найдутся их доказательства, является исключительной привилегией самых крупных представителей нашего цеха, но и они не злоупотребляют этим правом, а подвергают свои предположения неоднократной и тщательной проверке.

Математическая строгость, как её понимает профессор Шварц, несомненно, является достижением нашего времени и подобна тем открытиям, которыми гордятся другие науки, например биология (и, в частности, её ветвь, называемая биохимией). В качестве примера можно привести следующие факты. Происходящие в живом организме химические превращения давно считались специфическими, принципиально отличными от тех, которые происходят в неживой материи. Хотя уже 130 лет назад были получены синтетический этиловый спирт (Хеннелл) и мочевина (Вёлер), однако огромная химическая сложность живых существ в сравнении со скудностью явлений, которые 66  можно осуществить in vitro (т.е. в пробирке, заполненной стерильным веществом), вплоть до XX века поддерживала веру в дуализм химии. Сейчас трудно определить день и час, когда эта вера уступила место убеждению, что есть только одна химия, ибо на протяжении сотен лет появлялись философии, провозглашавшие единство материи. Так было и со становлением математики, но здесь эволюция началась уже в древности. Греческая математика в отношении строгости была недосягаема вплоть до XIX века. Известные открытия второй половины XVII века, положившие начало так называемой высшей математике, отнюдь не сводились к установлению основных положений и освобождению методов от неточностей. Никто не ощущал такой потребности, так как в унаследованной от древних греков элементарной математике не встречал никаких противоречий. Последователи Евклида (Декарт, Лейбниц, Ньютон, Гюйгенс, а также братья Иоганн и Якоб Бернулли) своими гениальными идеями были обязаны знаниям, почёрпнутым из книги, которая лежала открытой перед каждым. Название этой книги — ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ, но её язык понимали только избранные. Именно склонный к строгой логике Лейбниц ввёл опасную для математики нестрогость через понятие дифференциалов или бесконечно малых чисел. Парадоксы, связанные с этими числами (а также с нахождением сумм бесконечных рядов), перестали беспокоить учёных только во второй половине XIX века. Ньютон не был озабочен проблемой строгости при создании дифференциального и интегрального исчислений. Он и его последователи получили результаты огромной важности в области дифференциальной геометрии, анализа, а также механики твёрдых и жидких тел, однако все эти учёные не заботились об упрочении основных положений математики (подобно тому, как первооткрыватели неизвестных ранее континентов не задумывались над подбором названий). Своим ученикам, которые не могли понять основ исчисления бесконечно малых, Лагранж говорил: «Смело вперёд — разберётесь позже!» Его собственные попытки создания нового исчисления были неудачными, но уже Коши умел абсолютно правильно оперировать понятиями границы и сходимости, а Риман ввёл определённый интеграл и современное понятие 67  функции (определяемой каким-либо упорядоченным набором чисел y и x) и порвал с неясной концепцией «формулы». Сегодня кажется чрезвычайно удивительным, что эти учёные (великие и в созидании, и в критике) совершенно не ощущали потребности строгого определения понятия вещественного числа. Вскоре после Римана засверкал Вейерштрасс (которого и до наших дней никто не превзошёл в строгости), и именно он первым доказал, что непрерывная функция, которая нигде не обращается в нуль, везде должна иметь один и тот же знак. Но лишь в 1888 году Дедекинд предложил современную теорию вещественных чисел. Сегодня эти открытия толкуются в обратной последовательности: от работ Дедекинда через теорему Вейерштрасса до интеграла Римана и равномерной сходимости Коши. Каким образом историк математики может установить тот переломный момент, когда математика вдруг и сразу перестала быть чем-то «вроде экспериментальной физики» и превратилась в игру по установленным правилам, смысл которых доступен только узкому кругу посвящённых?

Посвящённым известен источник строгости, на котором видна надпись БУРБАКИ. Это собирательный псевдоним нескольких французских математиков, которые разрабатывают математический анализ с таких систематических позиций, чтобы он удовлетворял требованиям современной строгости, на которые указывает нам профессор Шварц в статье о тенденциях современной математики. Этот светский орден с достойной восхищения настойчивостью и последовательностью в течение многих лет подкладывает под здание современной математики кирпичик по кирпичику... и такое мнение не является стилистическим недосмотром: здание стоит, а они день за днём кладут его фундамент! И это неудивительно — так происходит с каждой наукой; только тогда, когда готово уже несколько этажей и когда они уже обитаемы, архитекторы начинают думать о фундаментах. Сегодня многие исследователи ссылаются на изданные книги Николя Бурбаки. Один из них недавно пожаловался мне, что поиск чего-либо в этом кодексе является очень тяжёлым, так как требует отступлений от текста и проверки определений, которые совершенно не соответствуют терминологии, принятой в классическом анализе. 68  Нет сомнения, что г-н Николя доживёт до момента, когда его книги войдут под крыши даже самых малых математических хат и вовсе не потому, что я доверяю его знаниям и настойчивости, а в большей степени потому, что верю в здравые основы классического анализа, раз они так долго выстояли без фундамента... Но профессор Шварц не ограничивается требованием полной и чёткой кодификации математики. Он кроме того провозглашает постулат творческой свободы: каждая система аксиом хороша, каждая определяет свою игру — надо только выбрать для себя представляющую интерес игру и разыгрывать увлекательную партию, и тогда вы будете настоящим математиком! Сравнение математики с шахматами, которое профессор Шварц употребляет в поддержку своего тезиса, таит опасность для него самого хотя бы потому, что в соответствии с его тезисом оно не является ни сравнением, ни риторической аналогией, а всего лишь достоверным примером. Действительно, правила игры в шахматы не являются точно определённой системой аксиом, и каждый эндшпиль (например, пятиходовку) можно рассматривать как математическую проблему (в смысле проф. Шварца), а её решение — как доказательство утверждения, что данная позиция действительно пятиходовка. Решение означает фактически, что для белых существует способ игры, при котором (независимо от поведения чёрных) на пятом ходу существует ход, ведущий к выигрышу, и не существует способа игры для чёрных, который (независимо от поведения белых) позволил бы чёрным продолжить игру до их пятого хода. Справедливость этого определения заставила бы считать всех составителей шахматных окончаний талантливыми математиками в понимании профессора Шварца. Как известно, математической теории шахмат нельзя отказать ни в эстетических качествах, ни в одобрении в историческом плане, как, впрочем, нельзя оспаривать, что эта игра весьма интересна и имеет довольно много приверженцев во всём мире. Её строгость безупречна, и никто никогда не пытался утверждать, что в каждом начальном положении король и ладья имеют гарантированное преимущество против одного короля согласно очевидным свойствам фигур (т.е. согласно их форме и материалу) и, следовательно, здесь нет никакого следа «экспериментальной физики». Недостатком шахмат можно считать 69  лишь то, что о них можно говорить или шутить среди людей, даже не знакомых с этой игрой и не видящих в ней ничего эзотерического, однако и этот недостаток может обернуться преимуществом для профессора Шварца (если он считает невразумительность естественной особенностью математики, то мне не хочется его в этом упрекать). Но каждый знает, что научная ценность красивейшего окончания шахматной партии — это ничто по сравнению с простейшей теоремой элементарной геометрии, потому что игра под названием геометрия старше человека с окружающим его миром, и каждая победа в этой игре имеет непреходящее значение для рода человеческого.

Недавно вторым изданием вышел первый том превосходной книги У. Феллера (Introduction to Probability, vol. I, 2nd ed., New York, 1957)2. Вот что мы читаем буквально во втором предложении этого Введения в теорию вероятностей: «В каждой области надо стараться различать три аспекта теории: (а) формальную логическую сущность, (б) интуитивную основу и (в) применение». Мне кажется, что последователи профессора Шварца сводят математику только к одному из этих трёх аспектов, а именно к логической сущности. При специализации каждый предмет имеет отдельного эксперта — в вопросах строгости экспертами являются логики. Тот, кто имел дело с современными логиками, знает, что они стараются отличать то, что можно высказать на языке, термины которого определены через систему аксиом, от высказываний о самой этой системе. Эти суждения не принадлежат исходной системе, и относящаяся к ней теория не несёт за неё ответственность. Поэтому и наши взгляды на геометрию, и мысли о ней проф. Шварца находятся вне границ геометрии и не требуют математического обоснования или одобрения. К предметам, находящимся вне данной системы (т.е. вне формализованной математической теории), прежде всего следует отнести тот предмет теории, о котором система ничего не говорит. Г-н Л. Шварц не интересуется предметом математики, а ещё менее — её интуитивной основой и применением, которые Феллер 70  считает равноправными с формальной конструкцией математических теорий. Историческое развитие математики подтверждает первенство предмета: прямые, точки и плоскости существовали и до геометрии, но это не те прямые, точки и плоскости, о которых размышлял Гильберт, а реальные вещи (те, которые учитель показывает ученикам как рёбра, углы и грани модели из дерева или стекла). Именно они являются предметом геометрии и имеют примат перед теорией, точно так же, как розы перед ботаникой и звёзды перед астрономией. Интуитивной основой геометрии является естественное знание об этих моделях, частично полученное в раннем детстве путём непосредственного контакта с ними или подобными им вещами, а частично унаследованное, т.е. врождённое. Благодаря этому теория, т.е. евклидова геометрия, применима к геодезии, проведению границ и ориентации на суше и на море (здесь указаны только старейшие применения). Современная геометрия способна создавать иные теории, последовательные и непротиворечивые, но далёкие от интуитивной основы, а также от всяких применений (разве что мы назовём применениями факт использования этих теорий в других, столь же искусственных теориях). Передо мной лежит проспект немецкого издательства Springer, рекомендующий книгу японского математика Фумитомо Маеда — из предисловия вытекает, что он создал бесконечномерную геометрию, аналогичную обычной проекционной геометрии, но лишённую прямых и точек. Я вовсе не думаю ограничивать математику: если легко играть в шахматы, то трудно запретить заниматься геометрией, в которой нет точек и прямых. Иногда такие теории имеют эстетическую ценность, но г-н Шварц прав в том, что невозможно растолковать их кому-либо, кто не принадлежит к небольшой группе посвящённых.

Совсем по-другому, однако, появляются открытия непреходящего значения. Как появилась топология? Листинг (1847 г.) заметил, что резиновая трубка с тонкими стенками отличается от тонкого квадратного куска резины существеннее, чем этот кусок от кружка, потому что квадратный кусок можно растянуть и получить круг, но при попытке сделать квадрат из трубки нам пришлось бы разрезать её по длине. Это наблюдение положило 71  начало новой классификации геометрических тел. Идя по этому пути, Листинг (1858 г.) обнаружил новые объекты или предметы, до того остававшиеся незамеченными, например, так называемую ленту Мёбиуса3. Он ввязался в эти исследования, но ему даже не пришло в голову, что он обязан начать с системы аксиом этой новой геометрии. Топология стала полезной задолго до того, когда её «придумали»: например, в науке о движении планет она позволила доказать существование замкнутых орбит, что до того было неразрешённой задачей. Одновременно Риман сумел наглядно доказать некоторые явления в теории функций комплексного переменного, которые трудно было понять без изготовления бумажных моделей, состоящих из нарезанных карточек и сшитых крест-накрест вдоль разреза. Многозначные функции, такие как √z, были известны раньше, чем эти бумажные поверхности Римана, но только спустя несколько десятилетий после его смерти Г. Вейль предпринял попытку строгого определения этих поверхностей.

А как поступает автор статьи о тенденциях современной математики, когда сам ищет что-то новое? В математических кругах он получил признание за теорию распределений, которая позволила обобщить понятие производной и, следовательно, обобщить в физике понятия плотности массы и скорости движения. Это стало существенным достижением, например, для описания движения частиц суспензии (так называемое броуновское движение, по имени Р. Броуна). В принятой ранее теории такие частицы двигались по траекториям, каждый отрезок которых был бесконечно длинным, хотя частица и проходила его за конечное время. Это не позволяло рассматривать скорость частиц в обычном смысле, но недавно молодой польский математик Урбаник показал, как можно объяснить этот парадокс с помощью распределений Шварца. Из этого примера видно, что сам профессор Шварц (как и каждый истинный математик) умеет ставить перед собой естественные вопросы (т.е. вопросы, которые задаёт природа или которые нам оставили в наследство великие предшественники), а не пытается играть в какую-то довольно замысловатую игру неизвестно против кого... 72 

Роль строгости в современных математических исследованиях можно сравнить с асептикой в хирургии. Хотя сегодня ни один хирург не захочет оперировать иначе, было бы смешно утверждать, что якобы раньше (т.е. до того, как благодаря открытию Пастера была обнаружена причина высокой смертности пациентов) вообще не было мастеров скальпеля, достойных этого звания. Поскольку асептика не является прерогативой хирурга, а, подобно строгости в математике, есть только одна из гарантий успеха, то сама цель процедуры и её характер определяются иными взглядами, далёкими от асептики, а забота о ней поручается сегодня оператору обслуживающего персонала.

Очень многие математики обращаются к критерию эстетичности: эта теория красива — и это основание, чтобы ею заниматься! Красивым, однако, является понятное и достаточно распространённое (чтобы оно могло быть применено к известным, а не ad hoc, т.е. специально сотворённым примерам), а вместе с тем не обыденное до тривиальности. Чувство меры имеет естественное объяснение, продиктованное природой, поскольку именно природа подсказала Евклиду его геометрию. Нетрудно привести и другие примеры — что может быть более естественным, чем созданная Понселе проекционная геометрия! Но красивы не только эти теории — никто не отрицает красоты теории Галуа, которая разрешила проблему решения алгебраических уравнений. Она возникла на основе тщетных усилий решить уравнение пятой степени теми способами, которые были достаточными в случае уравнений низших степеней. Такие уравнения появились очень давно в результате возвращения к многочленам, которые в свою очередь возникли как естественный продукт арифметических действий... Разумеется, я не ссылаюсь ни на несуществующий абсолютный критерий красоты, ни также на какую-либо объективную концепцию «природы», а хочу только напомнить, что субъективные критерии, выработанные на основе этих понятий, сильнее влияют на ход математических исследований, чем принцип безупречной строгости.

Эти примеры связаны с темой дискуссии, так как они напоминают нам, что математика никогда не даётся готовой, что отдельные её направления растут и развиваются, а другие отмирают. 73  Математика является органичным продуктом народов и сообществ, а не только творением индивидуального каприза, в соответствии с советом «установить произвольные правила игры, а затем играть, соблюдая эти правила». Грех профессора Шварца состоит не только в том, о чём я уже говорил, но и в том, о чём я умолчал. Дело в том, что математика является таким же органичным творением, как речь, ремесло, музыка или земледелие (аналогия простирается настолько далеко, что историк О. Шпенглер без колебаний приписал каждой культуре свою математику, как если бы это была отдельная наука...). Органичные творения появляются в соответствии с биогенетическим законом Геккеля, т.е. эволюция индивидуума переходит в эволюцию вида. Отсюда вытекает невозможность обучения математике по работам Николя Бурбаки, потому что ученики лишены способности познания той математики, которая представляет собой «нечто вроде экспериментальной физики», и поэтому преподаватели обязаны указывать одной рукой в уже пройденное прошлое, а другой — в ещё неизвестное будущее...

Взгляды профессора Шварца не новы. Моему поколению они известны уже полвека, и они нанесли большой вред. Многие польские математики поверили в то, что строгость является философским камнем математики только потому, что ни физика, ни естественные науки не могут мечтать о такой строгости, и презрительно отстранились от этих наук, в результате чего философский камень превратился в камень преткновения и это вызвало взаимные обиды и оскорбления. Широкая общественность вскоре узнала от обиженных и оскорблённых, что математика, которой занимаются известные польские учёные, ни для чего не нужна, а «обладатели камня» вообще на это не реагировали...

Впрочем, за границей ситуация была и остаётся не лучше, если Р. Ю. Гаскелл в 1957 году (American Mathematical Monthly, vol. 64, N 8, pp. 557–566) так пишет о математике в её практическом применении: «К счастью, некоторая часть математики доходит до потребителей, но и без этого столь распространено невежество по поводу того, что представляют собой математики и что они умеют делать. Это невежество не только распространено, но у некоторых отдельных людей оно находит интенсивное, агрессивное и 74  провоцирующее выражение...». В отношении наших невежд я могу только подтвердить эти слова. Даже те, кто равнодушно относятся к нашей науке, знают о ней немногим больше, чем дети. Одни убеждены, что математики — это увлечённые вычислители, которые заучивают наизусть таблицы логарифмов и состязаются в этом с машинами (современные вычислительные машины вскоре сделают это бесполезным). Другие думают, что математика является «философией» и даже чем-то вроде числовой кабалистики, которая благодаря понятию бесконечности покрыта туманом мистицизма и утратила всякий контакт с арифметикой бухгалтеров и торговцев (т.е. с тем, что, по их мнению, имеет хоть какой-то практический смысл). Если взгляды профессора Шварца получат распространение, появится невежда нового типа — ему будет казаться, что математика чем-то похожа на пасьянс.

Разумеется, по меньшей мере часть ответственности за эти совершенно ложные тезисы несут сами математики, причём не математики прошлого, а действующие и общепризнанные. В этом скорее повинны не учителя, а авторы школьных программ и учебников, хотя и их вину уменьшает то обстоятельство, что чрезвычайно трудно найти примеры применения математики на ступени, доступной школьной молодёжи. Эта трудность вызвана тем, что учебники и задачники отталкиваются от искусственных примеров, шарад и головоломок, что также дискредитирует математику в глазах наиболее образованной части школьной молодёжи. Поэтому следует выразить благодарность журналу Matematyka за то, что он опубликовал перевод статьи г-на Л. Шварца и вынудил своих читателей переосмыслить вопросы, которые эта статья поднимает. 75 




Пути прикладной математики

Расширенный вариант доклада, сделанного Штейнгаузом на пленарном заседании съезда польских математиков в Варшаве в сентябре 1948 года


Я не собираюсь браться за такую трудную задачу, как определение прикладной математики, название которой связано с самыми разными науками (геодезия, теория судостроения, теория вероятностей, номография, баллистика, статика или основы кристаллографии). Прикладную математику обычно путают с приложениями математики, но это замечание не облегчает мою задачу. Леон Лихтенштейн, крупный математик, который в течение многих лет работал на предприятиях Сименса в качестве инженера-теоретика (впрочем, он лично считал эту работу небесной карой), говорил, что «прикладной математики не существует вообще, есть только математика». Он с большим успехом применял математику к теории форм планет, так что этим мнением не стоит пренебрегать.

Известно, что недостаток общепринятых взглядов создаёт обилие особых точек зрения. Я хочу воспользоваться этой привилегией, говоря о путях прикладной математики, и поэтому прошу трактовать мои вольные суждения и комментарии лишь в качестве выражения личных тенденций, пристрастий и неприязни.

Я отдаю себе отчёт, что в Польше нет школы прикладной математики, которую можно было бы сравнить по числу людей и работ со школой теории множеств и топологии или даже с той группой польских математиков, которые занимаются теорией функций и анализом. Эта ситуация является плохой с точки зрения практических потребностей, но она хороша для тех, кто хотел бы 142  создать школу прикладной математики, поскольку её можно будет создать такой, какой мы желаем её видеть (именно это я имел в виду, говоря о тенденциях). Я вспоминаю, как Зигмунд Янишевский, создавая свои Fundamenta Mathematicae, говорил: «Занятия теорией множеств (в Польше) имеют большое преимущество, поскольку, желая что-то сотворить в классической математике, нам надо будет сначала подняться до мирового уровня». Во многих классических областях нам уготована второстепенная роль, но в теории множеств мы имеем одинаковые стартовые позиции: удовольствие от создания новых понятий дало мощный импульс нашим молодым математикам. В своё время теория множеств была новой областью, и Янишевский имел основания так говорить, что и доказала история тех 30 лет, которые прошли с момента формулирования его программы.

Задумаемся о похожей ситуации с прикладной математикой. Сегодня в мире нет великих школ прикладной математики, которые можно было бы сравнить с такими центрами математической мысли, как Париж, Гёттинген и Берлин конца XIX и начала XX века до Первой мировой войны. Существует, правда, английская «середина», как я называю школу статистики, которая возникла из исследований Р. Э. Фишера и его учеников, а затем переместилась в Америку (не без сильного влияния Ежи Сплавы-Неймана) и попала там на почву, подготовленную математиками, работающими в промышленности и коммерции. В Англии эта школа преимущественно занималась генетикой и научно-исследовательскими работами в области сельского хозяйства, а в Америке она обратилась к экономическим проблемам и к статистическому контролю промышленной продукции. Кроме этого, в обеих этих странах проявляется большой интерес к теории и практике вычислительных машин, в особенности электронных. Я рискну утверждать, что прикладная математика во всём мире находится в зачаточном состоянии. Очевидно, против этого можно возразить, что сейчас выходит множество журналов, в название которых входит словосочетание «прикладная математика». Кроме того, количество статей по геометрической оптике, гидравлике, теории упругости, статистике или по кинетической теории материи (и многому другому, имеющему отношение к прикладной математике) 143  уступает только числу работ в области чистой математики. Но подавляющее большинство этих работ относится к прошедшему времени, т.е. они являются новыми лишь по результатам, а их методика и научный стиль — давно устарели. В чём заключается основная разница между старой и новой (или даже будущей) прикладной математикой? Она сводится к способам взаимодействия с другими научными дисциплинами!

В молодости нас учили, что сотрудничество математика с естествоиспытателем должно развиваться примерно по следующей схеме: естествоиспытатель встречается с математической задачей в виде алгебраического или дифференциального уравнения и приносит её математику, который решает задачу и отдаёт в руки естествоиспытателю готовое решение в виде формул. При этом математик не обязан беспокоиться о том, откуда появилась задача и для чего предназначено её решение. Он вовсе не обязан также заглядывать в протоколы, где зафиксированы результаты экспериментов. Убеждение, что специализация наук продвинулась так далеко, что люди только одного и того же круга знаний могут понимать друг друга, заранее обрекало такие попытки взаимодействия на неудачу. Нам говорили также, что в естественных науках нет ни точных определений, ни доказанных утверждений, что вызвало пренебрежительное отношение к этим наукам у математиков нашего поколения. Нам советовали принять фактическое положение вещей, представленное естествоиспытателем в виде системы аксиом, переложив всю ответственность на него: разумеется, мы не можем ошибаться, а если наши формулы не применимы к действительности, то виновата в этом не математика, а исключительно естествоиспытатель (или даже сама действительность!).

Такой подход, в целом, редко приводил к положительным результатам и даже вызывал у большинства естествоиспытателей убеждение в невозможности плодотворного сотрудничества с математиками. У математиков этот подход вызывал чувство, что естественные науки являются набором вольно трактуемых эмпирических фактов, а так называемые законы природы — умозаключениями, основанными на естественной индукции, не заслуживающими права называться научными истинами. Эта 144  система взглядов неоднократно имела забавные проявления. Помню, как молодой доцент спросил крупного польского математика, что необходимо включить в курс математики для естественников, на что тот посоветовал включить в этот курс некоторые менее важные разделы из теории рядов, на которые сам профессор не нашёл времени в курсе анализа для математиков.

Когда я в Польском математическом обществе делал сообщение о географических индексах, то на заседание не пришли даже те географы, с которыми я много лет разговаривал об этих индексах. Позднее выяснилось, что секретарь отделения (молодой и способный математик), не уведомил Географическое общество, поскольку был уверен, что географические индексы представляют собой математическое понятие, а сообщение не будет иметь ничего общего с географией. Со студенческих лет я также помню лекции по философии в Гёттингене, где один старый профессор привёл пример того, как наблюдение может способствовать возникновению математических утверждений. По его мнению, математик, увидев на дороге след телеги, может задуматься о том, что колея представляет собой красивую кривую, которую следует изучить математически! Стало быть, ещё в 1907 году славным гёттингенским математикам не были известны лучшие примеры математических размышлений, на которые наводит природа. Тогда же мне пришлось слышать разговор между актуарием, который приехал из Кракова в Гёттинген, чтобы познакомиться у Лексиса со статистическими методами, и свежеиспечённым доктором математики из Львова. Первый восхищался всемогуществом математики, которая описывает точными законами такие явления, как смертность или прирост населения (казалось бы основанные на чистой случайности), на что второй с раздражением отвечал, что эти законы являются не математическими, а природными, и что математика не несёт за них ответственности (так что, если завтра эти законы окажутся обманчивыми, то математиков это совершенно не тронет). Страховой служащий не отступал и продолжал славословить математику, что довело беседу до личных оскорблений. Особенно интересно, что молодой доктор математики был естествоиспытателем-любителем (а также сыном 145  и братом известных естествоиспытателей), но ему в голову не пришло спутать законы человеческие (т.е. природные) с законами божественными (т.е. математическими). Разговоры между математиками и естествоиспытателями часто бывают исключительно трудными и часто заканчиваются недоразумениями, даже когда собеседники имеют одинаковые цели.

В душе математика, как и каждого человека, сохраняются разные верования и пристрастия, неприязнь и поклонение, предрассудки и склонности. Самым сильным из этих ощущений и наиболее заслуживающим уважения является восприятие красоты математики. Не каждому дано видеть красоту гор, не каждый очаровывается видом моря и не каждому что-то говорят ночные звёзды. Ещё труднее объяснить, в чём заключается красота функции комплексной переменной или так называемой синтетической геометрии. Существуют даже такие математики, которые считают все её практические применения святотатством. З. Янишевский говорил, что он занимается математикой не потому, что она может быть полезной при строительстве домов, и я ему верю (он чистый математик и убеждён, что это дома строятся для того, чтобы математикам было где жить). Вера в абсолютную ценность математики связана с верой в существование таких математических объектов, как числа, функции, точки, множества или поверхности. Это удивительная религия, и в этом она подобна большинству других религий с гораздо большим числом адептов, которые верят, что некие сверхъестественные создания наделены особым видом существования, с позиций которого обычное существование является чем-то иллюзорным и преходящим. Божества прожорливы — поэтому для математика pur sang (чистокровного) идеальный шар не только существует, но и поглощает все обыкновенные шары, так что ни Луна, ни мыльный пузырь не являются шарами (что, впрочем, математики готовы моментально доказать). Такая точка зрения представляет опасность не только для прикладной математики, но она является разрушительной и для всех остальных естественных наук. Эту идеалистическую точку зрения обычно связывают с именем знаменитого древнегреческого мыслителя Платона, объединявшего культ философии с культом геометрии. Платоновская точка зрения не препятствует большинству 146  математиков презирать философию (это значительно более поздняя традиция позитивизма), так что математик склонен считать бессмыслицей любую философию, за исключением математической логики. Эта доктрина произрастает из некоторой специфической философской точки зрения и имеет многочисленных сторонников именно в кругах учёных, далёких от практики. Можно сказать, что такие математики верят в разных призраков, ду́хов или в ужасы, которые мешают им вступить на путь прикладной математики.

Как должно выглядеть взаимодействие математики с другими дисциплинами? Лучше всего это можно выяснить, сравнивая сотрудничество учёных и правительств в истории двух мировых войн. В обеих войнах генеральные штабы взаимодействовали с гражданскими экспертами (при этом военные были «естествоиспытателями», а учёные-эксперты выступали в роли «математиков»). Во время Первой мировой войны взаимодействие обеих групп складывалось именно по той схеме, которую я назвал устаревшей: экспертов не посвящали в детали (т.е. не объясняли, для чего нужен тот или иной аппарат, а просто требовали сконструировать его). В первые годы Второй мировой войны, которые стали полосой катастроф для Британии, сотрудничество с самого начало носило разумный характер (т.е. эксперты допускались к обсуждению разработки, смысла и важности задач), на что оказались неспособны немцы с их преобладающей военной мощью. Таким образом, можно постулировать, что начинать сотрудничество надо не тогда, когда задача уже поставлена, а значительно раньше. Впрочем, существуют и такие задачи, которые естествоиспытателями не признаются математическими. Например, в географии оперируют понятием горного хребта, но до сих пор ни один географ не требовал от математиков дать точное определение этого термина. Как-то один математик спросил об этом географа и получил элементарный ответ: каждый найдёт на карте горный хребет, поскольку это просто водораздел. Но после непродолжительной беседы оказалось, что географы используют понятие хребта не только для изогипсов, но также и для других так называемых изоритмов (например, для изотерм, 147  при обозначении климатических границ), когда не рассматриваются реки и ручьи, окружающие водораздел. Желая понять (и убедить) географа, достаточно произвольно нарисовать систему изоритмов и спросить, чем он сам руководствуется, вычерчивая линию хребта. После нескольких таких попыток географ поймёт, что необходимо выработать соответствующее определение, а математик уяснит для себя, что географ называет горным хребтом. Однажды некий выдающийся бактериолог навестил математика и представил ему свой способ вычисления вероятности того, что между матерью и плодом будет существовать различие в группе крови, обозначенной символом Rh. Математик с большим трудом следил за его рассуждениями, поскольку вся проблематика была для него совершенно новой, и ежеминутно задавал наивные вопросы. Через некоторое время бактериолог заявил, что он решил радикально изменить свой способ вычисления, так как «разговор с человеком, который понимает, что ему говорят, так стимулировал его собственные мысли, что он обнаружил вещи, которые сам раньше не замечал!». Очевидно, новый способ был лучше, но его нашёл не математик, а сам биолог, что и являет собой пример сотрудничества.

Приведу другой пример, который свидетельствует о роли научного стиля разных эпох в эволюции решений одной и той же задачи. Существует очень важная практическая задача: определение объёма древесных стволов при помощи вычислений на основе измерения только диаметра и высоты дерева. В справочниках по дендрометрии приведено много формул для вычисления объёма, представляющих собой образцы прежнего стиля прикладной математики. Можно представить, как появились эти формулы: учёные рассматривали ствол просто как параболоид вращения, нейлоид, трактрисоид или ещё более сложную фигуру. По-видимому, когда лесники заметили, что ствол совсем не похож на усечённый конус или параболоид, математики предложили им ещё более прекрасные геометрические тела (к сожалению, формулы, подходящие для этих тел, невозможно использовать в настоящем лесу). Затем наступил долгий перерыв, при котором математики, вероятно, пришли к выводу, что древесные 148  стволы не сто́ят того, чтобы ими занимались серьёзные геометры, а лесники — что природа не хочет, чтобы её исследовали математики. Последняя фраза достойна быть занесённой в словарь банальностей, так как её в разных вариантах можно услышать из уст биологов, врачей и даже mutatis mutandis (с необходимыми изменениями) из уст юристов и экономистов. Как выглядела бы та же самая задача в свете программы, которую я здесь хочу предложить? Прежде всего математик должен был бы подвергнуть сомнению упрёк лесников, что все применявшиеся до сих пор формулы являются плохими. Одна из них, основанная только на измерении диаметра в середине высоты, чрезвычайно проста. Насколько я знаю, никто не показал, что она является наилучшей, и очень часто она даёт значительную ошибку. Из этого был сделан вывод, что она плохая. Так вот, плохая формула может быть наилучшей, и обязанностью математиков было обратить на это внимание лесников. Они должны были также объяснить лесникам, что введённый коэффициент π/4 не является какой-то святыней, так что если какой-нибудь другой коэффициент даёт лучшие результаты, то можно его смело использовать. Некоторые таксаторы вычисляют кубатуру древесины с помощью коэффициента π/4, а потом добавляют 2% (т.е. вместо π/4 пишут 0.8), но это просто ненужная работа. В конце концов, они должны были разработать наилучший план пробных измерений, по которым можно было бы получить наилучшую формулу, основанную на измерении только одного диаметра, — наилучшую в статистическом смысле. Ибо суть дела заключается в том, что задача касается не одного дерева, а их множества. Сегодня всё это кажется чрезвычайно простым и естественным, но не было таковым 100 и даже 50 лет назад. Даже поверхностные исследования указывают на то, что идя по намеченной дороге, можно улучшить считавшиеся до сих пор выдающимися способы измерения, не выходя за рамки простоты. Можно поставить вопрос ещё радикальнее: можно вообще отказаться от формул и составить наилучшие таблицы для определения кубатуры, основанные на измерении диаметра на оптимальной высоте. В сущности, в рассматриваемой задаче речь идёт не о коэффициентах и формулах, а об объёме, который является эмпирической 149  функцией двух переменных, причём одну из них следует получить на основе статистических данных.

В связи с историей определения кубатуры становится ясной роль, которую сыграл математический анализ. Эта классическая ветвь математики дала столько плодов в XVIII и XIX веке, что многие и сегодня не желают замечать её другие ветви, расположенные ниже. Например, теория дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) оказалась полезной для развития математической физики, но нельзя забывать, что её классические задачи первоначально были сформулированы именно в физических терминах. Рихард Курант (ныне профессор в Нью-Йорке) в своё время прочитал лекцию о практической задаче, которая привела к дифференциальному уравнению. Он подвергнул это уравнение всем методам анализа (как говорится, выстрелил по нему из всех орудий), но уравнение «уступило» лишь немного: так далёк путь от теории до применений. Кто-то может сказать, что иных методов у нас нет, но я укажу, по меньшей мере, два из них. О первом я уже говорил: мы можем вернуться к «доматематической» фазе и сформулировать задачу по-иному. Второй путь заключается в использовании современных средств, таких, как электронные машины. Не следует думать, что создание таких машин представляет собой только инженерную задачу. Сегодня такая техника становится привычной и надёжной, так что подобно астроному (который может заказать набор линз для телескопа, не будучи сам шлифовальщиком стекла), математик может заказать электронную машину, указав тип и количество основных операций и число их повторений. Поэтому создание таких машин относится к области прикладной математики, но проблема, поставленная Курантом, этим не решается. По его мнению, уравнение следует считать решённым, если найден ответ, например в виде интеграла сложной формы, где искомая функция и независимая переменная были бы связаны, например, посредством эллиптических функций. С точки зрения чистой математики, такое решение было бы полным и изящным, но в связи с обсуждаемыми проблемами такой интеграл вообще не следовало бы рассматривать в качестве решения (даже приближённого, если он не позволяет найти значение функции ни в одной точке). Загипнотизированному 150  традиционной терминологией математику наиболее важным представляется существование такого интеграла и его теоретические особенности. Он считает это действительным решением, а его изящество называет (подобно китайцу) каллиграфической красотой формул.

Г. Г. Харди, недавно умерший крупный английский математик и незаурядная личность, в своей Апологии математика написал: «Мои исследования никогда не имели никаких применений, они не пригодились ни для убийства людей, ни для порабощения народов». Великие математики всех времён выражали уверенность, что развитие математики оправдывается красотой результатов и потребностью познания истины. Эта потребность считалась бескорыстной, так что математики часто с пафосом отвергали критерий практической полезности своей науки. Возможно, здесь играет роль ещё и то, что математика обладает ничем не ограниченной свободой выбора тематики и методов, а также не нуждается в лабораториях и значительных денежных средствах. Это позволяет представлять математику в виде какого-то идеального острова, на котором живут её приверженцы, получая награды из рук своей королевы в виде прочных и бессмертных истин. Тот же самый Харди в своё время составил шкалу ценности современных математиков, на которой самый слабый из его учеников получил 1 балл, а Альберт Эйнштейн — 100. Харди просто оценивал каждого по степени сложности доказанных им теорем. Такой спортивный способ классификации до сих пор распространён в мире математиков, но для прикладной математики он просто вреден, так как здесь речь идёт не об утончённости распутывания узлов, а об их разрезании. Чем проще математические методы, применяемые для извлечения практической выгоды, тем лучше. Поразительно, сколько неиспользованных возможностей скрывается в элементарных математических зависимостях. Ведь речь идёт о том, как увидеть естественный смысл таких зависимостей, а не о том, как запутать математические проблемы, которые изначально были понятными и само собой разумеющимися. 151 

В географии есть задача о концентрации и рассредоточении населённых пунктов. Всю страну можно разделить на n квадратных ячеек, если в ней всего n населённых пунктов, затем сосчитать а, населённых пунктов в каждой ячейке (i=1, 2, ... , n) и образовать выражение, имеющее вид –1 + ∑ai2/n. При случайном размещении населённых пунктов это выражение близко к единице. Если оно заметно больше единицы, то существует причина для слияния таких пунктов, а если меньше единицы, то есть какая-то причина для их рассредоточения. Очевидно, что этот же простой способ позволяет также определить, является ли (и в какой степени) распределение произвольных точек (например, зёрнышек эмульсии на фотоплёнке) результатом действия сил притяжения или отталкивания. Каждый математик знаком с этой формулой, а описываемое ею понятие дисперсии известно каждому студенту, изучавшему статистику. Проблема заключается в том, что географы не знали или не сообразили, что речь идёт о дисперсии и, пытаясь решить задачу распределения населённых пунктов, ввели по договорённости между собой непонятное по сути дела представление о «нормальной» удалённости населённых пунктов друг от друга. Математик сразу заметит, что так называемая нормальная удалённость не может быть определена как абсолютная константа, так как это всего лишь средняя удалённость, зато предложенная нами формула является простейшим способом определения отклонения удалённости от её среднего значения. Единственная математическая находка при этом — выбор величины ячейки: вместо общепринятой величины (например, 1 км²) вводится ячейка, отвечающая условию «столько ячеек, сколько населённых пунктов».

Часто приверженцам чистой математики приходится убеждать в полезности математики профанов, главным образом таких, от которых зависит выделение денег на науку4. При этом они часто 152  предпочитают работать над какой-либо проблемой чистой математики, не рассчитывая на практическое применение результатов. Обычно такие руководители ссылаются на то, что созданный математический аппарат когда-нибудь найдёт применение (подобно тому, как риманова геометрия пригодилась для теории относительности или теория интегральных уравнений для спектрального анализа). Такие аргументы представляются совершенно наивными. Достаточно сосчитать, сколько математических работ появилось в прошлом в таком-то году и сколько их результатов в том же году нашло применение, и мы увидим, что долг этого оптимистического пророка перед поверившими ему профанами несравненно больше. Если даже появляются работы, связанные с применением высоких математических теорий в практических задачах, то рентабельность усилий (измеряемая экономическим эффектом) обычно оказывается ничтожной — я уже упоминал о том, что формула ещё не является ответом на вопрос техника или естествоиспытателя.

Наконец, нам известен ещё один эксперимент, который осуществила сама история. Наполеон I, великий поклонник математики, основал в Париже высшую школу École Polytechnique, в которой будущие инженеры, администраторы, а в первую очередь штабные офицеры должны были приобретать теоретические знания по математике, химии и другим фундаментальным предметам. В этой школе преподавали известнейшие математики, например Камилл Жордан и Жак Адамар. Считалось, что анализ и высшая геометрия дают выпускнику квалификацию, необходимую для всех руководящих должностей в армии, в администрации и в промышленности. Но этим надеждам не суждено было оправдаться, так как воспитание политехников на многотомных курсах анализа лишало их связи с действительностью. Школа выпустила много блестящих математиков, но не нашла своего места в современности и в чём-то даже дискредитировала прикладную математику, исходя из необоснованной уверенности, что «всё когда-нибудь может пригодиться».

Единственным способом изучения прикладной математики является знакомство с чистой математикой, и уже это является 153  достаточным обоснованием для обучения чистой математике, если кому-то такие обоснования необходимы5.

Эти горькие высказывания в адрес математиков не означают, что их оппоненты правы. Обычно все сетуют на недостаток математической подготовки у естествоиспытателей, но не это является их основным недостатком. В гораздо большей степени у естествоиспытателей ощущается недостаток логической подготовки, так как постоянное пребывание в рабочем состоянии и привыкание к механическому повторению определённых лабораторных действий (что, впрочем, безусловно необходимо при получении экспериментальных данных) создают тип узкого специалиста. Эта ограниченность является наиболее болезненным недостатком, и уже из неё вырастает чувство отвращения к классической культуре, презрительное отношение к философии, распространённое убеждение, что мышление — это пустая трата времени. У этих подёнщиков от науки изменяется даже язык. Интересно, что они любят называть себя научными сотрудниками (и, может, имеют на это какое-то право). Ведь был же назван «научным сотрудником» в одном из номеров журнала Wszechświat сам Исаак Ньютон!

Генри Форд имел свои взгляды на школьные программы и был убеждён, что история, философия и математика (кроме четырёх арифметических действий) ни для чего не нужны и даже вредны. Они на самом деле не нужны, чтобы быть работником у Форда (или даже самим Фордом), но нельзя забывать, что ни одна существенная деталь автомобиля Форда не была изобретена на его заводе. Поэтому я считаю Форда покровителем всех узких специалистов, которые приступают к делу лишь тогда, когда вся мыслительная работа проделана другими людьми. Для воспроизведения лишь одной и той же модели в количестве трёх миллионов нужны совсем иные способности, нематематические. А вот во время войны теоретики часто оказывались лучше практиков, когда речь шла о решении совершенно новых задач, не имеющих прецедентов. 154 

Математика переоценена и одновременно недооценена. Математики переоценивают её достижения, а все остальные недооценивают её возможности. Несколько лет назад в журнале Реdiatrija Polska появилась полемическая статья, направленная против одного из профессоров педиатрии, который использовал математику в своих исследованиях детского туберкулёза. Между прочим, в статье говорилось, что математику нельзя применять к человеческому организму, поскольку (по выражению автора) организм якобы является «многомерным», а современная математика одномерна. Отсюда делается вывод, что только «многомерная, открытая математика» (я снова цитирую полемиста), созданная Лукасевичем и Лесневским, когда-нибудь будет востребована медициной. Самое любопытное заключается в том, что именно сам нападавший на педиатра первым ввёл в практику двухпараметрическую оценку реакции кожи на туберкулин и, таким образом, использовал концепцию многомерности — до него эту реакцию оценивали с помощью одного показателя, что критика совершенно не поразило. Цитирование Лукасевича всего лишь доказывает, что автор статьи перепутал трёхзначную логику с «многомерной математикой», хотя трудно понять смысл этого термина. Ещё труднее понять упрёк в «одномерности», поскольку математика оперирует многомерными пространствами, причём даже с бесконечным числом измерений. А ведь к этому моменту библиография по данному вопросу уже содержала сотни позиций и ссылок, и автор, вероятнее всего, не отдавал себе отчёта в том, что умозаключение по кривой температуры о течении болезни уже относится к прикладной математике. Автор (узкий специалист) впервые в жизни при чтении какой-то (и явно, не математической) книги узнал о многих других работах по медицине, связанных с приложениями математики к медицине. В том же номере журнала появилась ещё одна статья, посвящённая тому же вопросу, в которой педиатра упрекали в том, что из формулы a=b следует вывод log a = log b (очевидно упрекавший знал, что такое логарифм, но не умел рассуждать). Вот к чему приводит узкая специализация. 155 

Путь к новым математическим идеям, действительно полезным для медиков, вовсе не должен быть связан с «многомерной математикой». Иногда следовало бы именно уменьшить число параметров. Например, если больничная статистика приводит данные о смертности, наблюдаемой при некоторой болезни, выбирая их из n случаев, то рядом с дробью p, обозначающей эту смертность, следует записывать также «среднюю ошибку» pq/n, где q=1–p.

Врач, знакомящийся с этой статистикой, получает информацию двух видов: первая определяет смертность от болезни (показатель p), вторая связана с числом статистических данных и определяет достоверность первой (средняя ошибка pq/n). Очевидно, что оба показателя основаны на одних и тех же наблюдениях и что второй вычислен теоретически по формуле Бернулли, но подлинным выступает лишь первый показатель, так как с ростом числа наблюдений n будет расти и показатель p. Это изменение не слишком существенно, и в конце концов его разброс станет ничтожно малым, после чего мы и получим истинный показатель смертности (одновременно средняя ошибка уменьшится практически до нуля). Очевидно, что роль второй информации здесь является второстепенной. Совсем иначе выглядит дело, если мы исследуем уменьшение числа лейкоцитов в крови больных, которым назначался пенициллин. Это снижение графически представляет ломаную линию, тенденция изменения которой может иметь возрастающий либо убывающий характер. Основной информацией является снижение s, а вторичной вновь является «средняя ошибка» b, определяющая отклонение линии от постоянного направления. При этом определяющим фактором для прогноза является частное t=s/b. Обе информации мы можем объединить в этом одном числе t, ибо только оно интересует практикующего врача. Если бы мы точно так же поступили со статистикой смертности, то получили бы частное, которое при увеличении числа наблюдений стремится к бесконечности. Математическая ценность и интерпретация этого факта была бы в сущности убогой, так как он всего лишь следует из того, что смертность отлична от нуля. Зато при других исследованиях (например, при изучении 156  уровня гранулоцитов) вторая информация вовсе не является «ошибкой» первой: именно она является «истинной» и в совокупности с первой даёт показатель, определяющий характер явления. Эту очень простую идею, вероятно, можно использовать не только в вышеприведённом примере.

То, что математическое образование не является самым главным в научной работе, доказывает жизнь и деятельность Р. Э. Фишера. Этот выдающийся английский генетик самостоятельно обдумал и изучил математические проблемы, возникающие в естественных науках при планировании и интерпретации статистических экспериментов. Написанная им книга была непонятна естествоиспытателям (так как в ней вводились новые и сложные понятия и методы). С другой стороны она была жестоко раскритикована математиками, как неясная и ошибочная (поскольку автор являлся математиком-самоучкой и не располагал ни терминологией, ни стилем, к которым приучали нас учебники, написанные людьми математического круга). Несмотря на это, книга Statistical Methods for Research Workers, благодаря содержащимся в ней математическим и методологическим мыслям, пробила окружающую стену предубеждений и выдержала 10 изданий, последнее из которых (1946 г.) было переиздано в том же году. Книга Фишера для математической статистики сделала больше, чем все учебники по этому предмету, появившиеся в тот период. Её ценность заключается не в каких-то запутанных математических доказательствах или сложных формулах, а в правильной трактовке сущности задач. Понятие вариации (так ученики Фишера называют квадрат дисперсии) было, пожалуй, известно и до него, но совершенно элементарный метод, заключающийся в разложении этой вариации на части, analysis of variance, является заслугой Фишера. В сельскохозяйственных и многих других экспериментах этот метод имеет огромное значение.

Эра простоты не прошла. Элементарная математика может много сделать не только в естественных науках, но и в технике. Если высшая математика даже и нужна, то её не должно быть слишком много, что можно проиллюстрировать следующим примером. В Польше существует школа линейных функциональных 157  операций (Банах, Сакс, Мазур, Орлич и другие), безусловно относящаяся к чистой математике. Однако достаточно заметить, что понятие нормы (одно из обычно используемых в этой теории, с которого и начинается новая ветвь науки о функциональных пространствах) может быть непосредственно применено к задаче определения тарифа на электроэнергию, и это позволяет направить дискуссию о тарификации на новый путь. В общеизвестных концепциях скрываются неисчерпаемые возможности, а трудность состоит в том, что на свете мало инженеров-электриков, которые слышали о нормах функций. Впрочем, возможно, ещё меньшее число чистых математиков догадываются о том, что вопрос о тарифе на электроэнергию сводится не к тому, должна ли она быть дешёвой или дорогой.

Я бы хотел привести ещё один пример самой простой математики, для которой достаточно сведений из общеобразовательной школы. Мальчишкам известно, что двое могут поделить между собой орехи по принципу «один делит, другой выбирает». Этот способ можно обобщить на нескольких партнеров, а также на случай, когда партнеры в неравных частях присутствуют в массе, которую необходимо разделить. Здесь только следует заметить, что задача справедливого в юридическом смысле раздела является математической, однако юрист не смог бы этого сообразить. Ему помешало бы убеждение, что в математике нет места иной концепции равенства, кроме равенства чисел (если масса складывается из штук) или половин (если масса, например, представляет собой участок земли). Юристу трудно понять, что математические суждения можно считать субъективными, и что расхождение суждений не затрудняет, а облегчает справедливое деление, хотя именно эти результаты математического мышления широко используются в обычных житейских ситуациях. Каждый из нас знает, что сущность открытия не имеет ничего общего с формулами высшей математики.

В некоторых случаях решение элементарной на вид задачи действительно бывает связано с высшей математикой, но, подобно выбору маршрута в альпинизме, можно найти и другие, более короткие пути к вершине. Даже если эти другие пути можно упрекнуть в отсутствии строгости, с ними следует считаться, чтобы 158  не сбиться с пути. Теория вероятностей изобилует такими путями.

Но достаточно примеров, и пора перейти к выводам. Вот наши тезисы:




Взаимодействие наук
на примере роли математики
во вроцлавской научной среде

Расширенный вариант лекции, прочитанной 21 мая 1955 г. на научной сессии Университета им. Б. Берута, организованной Вроцлавским научным обществом


В книге, посвящённой участию Вроцлава в восстановлении польской науки в Нижней Силезии, изданной Вроцлавским научным обществом и написанной председателем этого общества Станиславом Кульчинским, целый раздел посвящён достижениям вроцлавской математики. Это освобождает меня от обязанностей хроникёра, состоящих в регистрации тем, званий, результатов и фамилий, но одновременно возлагает на меня другую задачу, превышающую мои возможности. А именно, я должен написать о той особенной части вроцлавского коллектива учёных, которая символизирует собой сотрудничество разных наук. Поэтому, возможно, сперва следовало бы попытаться набросать основы учебника коллективной работы, по которому можно было бы понять, каковы цели и средства этого сотрудничества, как организуются и претворяются в жизнь объединённые исследования, как выбираются люди и проблемы, как планируются, контролируются и (что, конечно, является наихудшим!) протоколируются исследования. Я боюсь, что при этом обнаружилось бы моё незнание действующей терминологии, и я могу спутать коллективность с комплексностью или загадочные проблемы с проблемными задачами. 258 

Эверс однажды написал сказочку об удивительных насекомых — сороконожках, в которой кто-то из злобных завистников спросил сороконожку: «Как ты ходишь, сороконогое божество? Как ты запоминаешь, насколько 17-я левая нога опережает 19-ю правую, и что делает 47-я правая, когда отдыхают 12-я и 40-я левые?». Сороконожка задумалась, оцепенела и замерла. Она больше не могла сделать ни шагу, поскольку с ужасом осознала, что вообще не знает, как она ходит! Поэтому я не собираюсь писать учебник ходьбы для сороконожек и оставляю эту привлекательную, но трудную тему специалистам по управлению всяким движением (в том числе и движением науки) и позволю себе уклониться в пространстве и во времени от названия этой статьи.

Желая понять роль математики среди всех наук, нельзя ограничиваться только одним центром и одним decennium (десятилетием). Сущность нашей науки остаётся непознанной, и мало кто сможет сказать, на чём она основана. Даже среди самих математиков лишь немногие отдают себе в этом отчёт, поскольку рыба, погружённая в воду, знает о ней меньше, чем человек, который видит реку не только тогда, когда плывет по ней или стоит на берегу. Математика скорее всего является универсальным методом и в своём роде единственным. Это не единственная дорога к творчеству, поскольку ремесло, искусство пластики и речи, а также музыка идут своими собственными путями. Хотя мы и гордимся этим городом и этим десятилетием, мы хорошо знаем, что математика придумана не в Польше, а о её практических применениях не было и речи вплоть до окончания Второй мировой войны. Чем мы можем похвалиться? Если кем-то и следует восхищаться, то именно теми настоящими революционерами, которые в 1794 году основали в Париже Политехническую школу, которая до сих пор является высшим военным учебным заведением с упором на теоретическое образование, главным образом по математике. Известный немецкий геометр Феликс Клейн (мой гёттингенский профессор) в своих очерках по истории математики XIX века целому разделу дал заглавие École Polytechnique. Задача этой школы заключалась в подготовке офицерских кадров для революционной армии; когда революция окончилась, школа поставляла офицеров армии Наполеона. С самого начала она превратилась в блестящий 259  математический центр, и употребляемое в Польше название «политехника» применительно к высшим инженерным учебным заведениям является красноречивым свидетельством влияния французского примера. Почти все европейские государства восприняли французскую традицию, так как ещё и сегодня она проявляется в воинских званиях и названиях военных подразделений и видов оружия. В этой школе позже учился наполеоновский офицер Понселе, основоположник проективной геометрии, а её профессором являлся великий Монж, который нацеливал политехническое обучение прежде всего на геометрию. Если до недавних пор в наших политехнических учебных заведениях преувеличенный упор делался на начертательную геометрию, то это и было чаще всего неосознанной данью Монжу и Понселе. Последний по возвращении из плена стал специалистом по фортификации, благодаря чему начертательная геометрия получила статус военной тайны. Монж некоторое время являлся военно-морским министром, участвовал в походе на Египет и организовал крупномасштабное производство пороха. Феликс Клейн, грустно при этом вздыхая, говорил: «Когда во Франции была эпоха математиков и инженеров, у нас (т.е. в Германии перед Первой мировой войной) было время юристов». Математика тогда служила военным целям. Раньше она использовалась в навигации, позднее (в век пара и механики) — при создании машин, так что её современные применения не должны нас удивлять. Ведь французский культ математики (вместе с французским рационализмом) пришёл в Польшу в век Просвещения, что отчётливо прослеживается у Мицкевича, бывшего студента физико-математического факультета в Вильно. В эпоху варшавского позитивизма Прус в своих повестях и рассказах воздаёт почести этой науке, и даже Сенкевич иногда выглядит огарком этой свечи. В качестве одного из литературных персонажей (Селим Мирза) он представил друга своей юности, Абданка Абакановича, ставшего цюрихским инженером и изобретателем интеграфа. Для обоих писателей инженер и математик — это почти синонимы, но Прусу импонирует непогрешимость математики, а Сенкевича привлекает её трезвость. XIX век упрочил позиции математики в умах просвещённого общества. Математика получила титул королевы наук в то время, когда ещё 260  действительно правили короли, а позже, подобно им, она сохранила только корону и титул, т.е. место и роль математики были несомненны и ясны, но достаточно ограниченны.

Английский логик Джон Стюарт Милл сто лет назад назвал её «мельницей, которая перемелет всё, что в неё заложат, но сама по себе ничего дать не может». Для Милла математика была готовым и замкнутым corpus doctrinae (учением), как и сегодня для большинства образованных людей. Он знал только ту математику, которую в разных учебных заведениях должны были изучать будущие строители машин, дорог и мостов, и которую позже французы систематизировали в своих прекрасных курсах математического анализа, почти полностью этим инженерам ненужных. Мог ли Милл предвидеть, что именно тогда его современник Георг Бернгард Риман напишет научную работу об основных гипотезах геометрии, и что ещё через сто лет, в 1954 году никто даже не вспомнит плоской фразы Милла? Все будут вспоминать лишь труды Римана, в которых пустили ростки те мысли, которые через 50 лет расцвели в теории относительности.

В эти годы основной проблемой физики было объяснение отрицательного результата эксперимента Майкельсона6. Альберт Эйнштейн вместо объяснения создал из него постулат и подверг понятия времени и пространства невиданной ранее и радикальной ревизии. Поэтому, обосновывая присуждение Эйнштейну премии имени Бойяи, учреждённой для крупнейших математиков, лауреат этой премии Гильберт написал, что премия является признанием высокого полёта математического духа, возвышающего дело Эйнштейна. Последствия этого дела преобразили физику и привели к открытиям, с которыми человечество связывает сегодня наибольшие надежды и самые страшные опасения. Математика специальной теории относительности была элементарной, а её физическая интерпретация чрезвычайно трудной, поскольку противоречила представлениям, сложившимся в нашем сознании в течение тысячелетий. Минковский считал Эйнштейна физиком и позволил себе снисходительно отнестись к его математике, и подобное мнение прослеживается 261  у самого Гильберта, когда он говорит о математическом духе, а не о самом Эйнштейне как математике. Такое раздвоение характерно для переплетения двух наук в одной личности, что прекрасно понимал Гильберт, гений которого соответствовал гению лауреата.

На этот раз из мельницы высыпалось нечто, что никто в неё не засыпал и чего никто даже не мог себе вообразить в качестве продукта размола. Вдохновило ли Эйнштейна чтение работ Римана или он руководствовался какими-то иными идеями? Премия носит имя Бойяи... Кем был Бойяи? Он был профессиональным офицером, одним из лучших выпускников военной академии в Вене и создателем неевклидовой геометрии — это одна из нитей, ведущая к Эйнштейну. Несомненно, Гильберт, который был автором известных Grundlagen der Geometrie (Основ геометрии), хорошо знал, что творение Эйнштейна является продолжением работ Бойяи и Лобачевского. А имя другого члена жюри, Анри Пуанкаре, напоминает нам философские трудности, которые надо было преодолеть, создавая единую теорию времени и пространства. Кем был Пуанкаре? Однажды я задал этот вопрос известному чистому математику Э. Ландау, испытывавшему отвращение к практическим применениям математики, который мне на это ответил просто: «Я никогда не слышал о таком математике! Это ведь физик!». Нарочитое недоумение или преднамеренное святотатство означало, что Пуанкаре не заботился о математической строгости, но он был великим универсалом. И дело не сводится к тому, что Пуанкаре в 1913 году был приглашён в Вену, где прочитал прекрасную лекцию о значении гуманитарных наук для наук точных. Неважно, что, заняв после смерти комедиографа Викторьена Сарду его кресло во французской Академии, он сумел высказать éloge (похвалу) своему предшественнику в такой блестящей речи, которой не постыдился бы ни один из 40 бессмертных (как принято называть французских академиков). Пуанкаре был универсалом именно потому, что он не задумывался о границах наук. Он был математиком в самом высоком значении этого слова, в особенности тогда, когда использовал топологию для решения проблемы замкнутых траекторий в механике небесных тел. Его пример 262  показывает, что запахивание межей даже внутри одной и той же науки может иметь существенное значение и придать отдельному исследователю силу коллектива.

Несомненно, Эйнштейн знал методологические работы не только Пуанкаре, но и его предшественника, Эрнста Маха. Этот австрийский физик и философ начал свою карьеру на кафедре математики в Граце, но не совершил ничего заметного в этой науке. Зато он занимался методологией точных наук и создал направление, из которого полвека спустя выросла философская школа под названием «Wiener Kreis». Характерным примером идей этого направления может служить работа Маха Analyse der Empfindungen (Анализ ощущений).

Я настолько далеко отошёл от темы доклада, что должен объяснить, почему вспомнил Маха. Знаменитый Эль Греко изображал человеческие фигуры, выглядевшие неестественно стройными. Некоторые историки искусства говорят, что он рисовал так, как видел; другие упрекают его в маньеризме и отсутствии художественной искренности. Никогда никому не пришло в голову спросить математиков о том, был ли действительно Эль Греко маньеристом, но каждый математик (даже никогда не читавший Analyse der Empfindungen) рассмеётся, когда ему скажут, что этот критянин изображал людей стройными, потому что они так выглядели в его глазах. Математик рассуждает следующим образом: если бы Эль Греко видел квадрат как прямоугольник, то он нарисовал бы его в виде квадрата, поскольку тогда видел бы и на полотне и в действительности одно и то же, т.е. его глаз растянул бы в высоту одинаково и модель и образ. Следовательно, испанский мастер изображал квадраты как прямоугольники скорее всего потому, что ему было безразлично реальное сходство изображения с моделью. Вы спросите, почему мы пытаемся дать ответ на незаданный вопрос? Почему вмешиваемся не в свои дела? Почему не отсылаем полемизирующих эстетов к специалистам, к философам и психологам, к окулистам и анатомам? Мы не делаем этого, потому что наш клиент может попасть к такому анатому, который объясняет пугливость лошадей тем, что на сетчатке лошадиного глаза все предметы выглядят в 4 раза больше, чем на сетчатке человеческого глаза. Тот же самый нонсенс, напечатанный 263  чёрным по белому, мы можем найти в нашумевшей автобиографии Франка Гарриса, где этим же автор объясняет нам, почему несколько сотен украденных им в Мексике лошадей разбежались по дороге. Но, как говорится, специалисты находятся на медицинских факультетах, и поэтому обращаться следует именно к ним, а не к зоотехникам, писателям и конокрадам. На врачебном отделении одного из наших довоенных университетов объясняли, что младенец должен постепенно учиться правильно доставать наблюдаемые предметы, потому что, дескать, их образы на сетчатке глаза ребенка перевернуты, и он ищет внизу предметы, находящиеся высоко, и вверху — предметы, находящиеся низко (и поэтому часто промахивается). Это наивное объяснение не выдерживает никакой критики: ребенок ведь не смотрит на сетчатку, а сетчатка видит образы именно так, как Эль Греко и лошади Гарриса.

Очевидно, нетрудно предугадать, что кто-то из читателей уже задаёт себе привычный вопрос: «Как всё это связано с математикой? Почему автор упрекает врачей в ошибках 25-летней давности?». Я говорю об этом, потому что в этом и есть суть вопроса, над которым мы сегодня размышляем. И роль, которую определила себе вроцлавская математика, состоит именно в том, чтобы разъяснить нашу точку зрения естествоиспытателям и убедить их, что если лошадь видит все предметы в 4 раза большими, чем мы сами, то она видит всё это точно так же, как и мы! Объясняя это, мы не раз ударимся головой об стену, но когда нам говорят, что головой стену не прошибёшь, то утешимся тем, что прошибить её можно только и именно головой. Очевидно, что в этой позиции есть превышение компетенции, но взаимное сотрудничество разных наук прежде всего и превыше всего есть превышение компетенции, беспрерывное нарушение границ и агрессия. Возможно, кто-то упрекнёт меня в том, что я изменяю само понятие математики: «Мы ведь тоже учились математике в школе. В то время она ассоциировалась с покупкой, при которой хорошие яблоки продавались по 3 штуки за 10 грошей, а те что похуже — по 4 штуки за 11 грошей, а всего 7 штук за 21 грош, или каждое яблоко за 3 гроша, из чего вытекали неслыханные затруднения для всего класса вместе с учителем. А высшая математика — это когда для покупок в нашем распоряжении целая ярмарка. Как 264  и полагается обывателям, мы верим в силу всяких математических формул и поэтому требуем, чтобы математики решали конкретные задачи (пусть, например, они вычислят число точек соприкосновения двух веществ, измельчённых в порошок и смешанных в равных количествах, если диаметр зёрен одного вещества в три раза больше, чем другого). Вместо решения конкретных задач математики рассказывают нам философские анекдоты. Мы подозреваем, что эти анекдоты суть просто дымовая завеса, за которой скрывается беспомощность математики перед конкретными естественнонаучными и техническими задачами».

С сожалением должен признать, что обвинение на 90% справедливо, и один естествоиспытатель может действительно поставить больше вопросов, чем десять математиков дать на них ответ. Даже один вопрос, с которым приходит к нам биолог, геолог или инженер, является чрезвычайно трудным. Но ещё чаще этот вопрос несуществен, и спрашивающий не получил бы никакой пользы от ответа. Случается, что от нас требуют математических обоснований заранее поставленных положений, которые либо вообще не связаны с какой-либо математикой, либо сформулированы так, что не могут быть ни ложными, ни истинными. Иногда это просто элементарные истины без последствий. Очень редко случается, чтобы сразу возникла потребность преодоления математических трудностей, но зато очень часто мы с удивлением видим, что понятия и объекты, которые мы, математики, поставили бы на первое место, вообще не фигурируют в данной дисциплине. И поэтому мы относимся к нашим клиентам как к тем поварам и рестораторам, которые не позволяют посетителям заказывать блюда по своему усмотрению, а пытаются накормить их по собственному вкусу и желанию.

Главный принцип, который мы сознательно используем, находится в наиболее явном противоречии с обожествлённым в XIX веке принципом специализации. Такая позиция заставляет нас непрерывно сражаться на два фронта, для объяснения чего мы снова должны призвать читателей к терпению. Ведь мы до сих пор не упомянули, что только часть математиков пошла той большой исторической дорогой, которая привела к поразительным открытиям, только эта часть осталась верной девизу: Eritis sicut deus, scientes bonum et malum! 265  (Будьте как боги, знающие добро и зло!) Большинство же признало внутреннюю непротиворечивость или, если угодно, логическое согласие с критерием истины и чистосердечно поверило лести таких почитателей, как Прус. Исходя из исключительности математики, эти люди пренебрегли всеми другими доводами.

Говоря откровенно, этот вопрос весьма сложен вообще, так как почти все учёные действительно остаются честными, занимаясь своей наукой, но весьма вольно всё приукрашивают, когда им приходится говорить о ней. Поэтому я начну с довольно резкого утверждения и скажу, что большинство (причём огромное большинство) математических работ не только не имеют никакого прикладного значения, но и никогда его иметь не будут. Обычно математики это отрицают, используя аргументы поразительной наивности. Например, они приводят многочисленные примеры разработанных теорий из области чистой математики, которые позднее неожиданно пригодились физикам и техникам. Математикам не стоит забывать, что такие примеры можно пересчитать по пальцам, в то время как ежегодно появляется несколько тысяч оригинальных теоретических работ, так что, пожалуй, нельзя считать, что (хотя бы с точки зрения использования интеллектуальных ресурсов человечества) решение математикой проблем иных наук выглядит сколь-нибудь рациональным. По-видимому, было бы значительно лучше, если бы эти математики по примеру моего (к большому сожалению, рано ушедшего из жизни) друга Зигмунда Янишевского открыто признались, что верят в ценность только чистой математики, а от её применений им ни жарко, ни холодно.

Вера математиков в свою науку не сводится к ритуалу. Известно ли вам, что такое простые числа? Мы называем так числа, которые являются неделимыми (2, 3, 5, 7, 11 и т.д.). Доказано, что их бесконечно много, и среди них встречаются пары-близнецы, типа (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ... Предполагается, хоть этого никто и не доказал, что число таких пар бесконечно. Можно спросить, какой смысл в доказательстве такого утверждения? Кто огорчится, если выяснится, что утверждение неверно? Какое оно может иметь значение? Сама задача настолько трудна, что ни 266  одно орудие современного математического арсенала не сумеет её поразить. Но более интересным, чем эта задача, является существование людей, которые охотно посвятили бы полжизни, если бы имели шанс дознаться, так ли это на самом деле. Они подобны тем, кто посвящает половину жизни, чтобы подготовиться к экспедиции в Гималаи, которая может отобрать у них остаток жизни. Что это за люди, занимающиеся поиском простых чисел? Это те, которые считают другие занятия скучными и недостойными высшего разума. Не будем обольщаться: для людей подобного склада даже такие открытия, как кванты энергии или переход массы в энергию — это пустяки, которыми не стоит заниматься, а их отношение к применениям математики выражается в снисходительной терпимости.

Впрочем, числа-близнецы — не самый яркий пример, так как теория чисел имеет с этим миром хотя бы платоническую связь через тривиальную арифметику. Некоторые другие разделы математики (например, геометрия многомерных пространств или теория множеств) гораздо более отдалены от всяких приложений и лишены не только прямых и косвенных применений, но даже едва уловимой связи с окружающим нас материальным миром.

Психика этих мечтателей не отличается равнодушием, ибо не существует науки без учёных. Так случилось, что несколько сильных личностей решили заняться развитием математики в Польше в XX веке. К ним принадлежал уже упоминавшийся Зигмунд Янишевский, памятником которому является Fundamenta Mathematicae; принадлежали к ним и другие основатели варшавской школы, прежде всего Вацлав Серпиньский и Стефан Мазуркевич, а также логики. Эта школа вместе с краковской, которую возглавлял Станислав Заремба-старший, и со львовской (быстрому росту которой мы обязаны Банаху) в период между мировыми войнами подняли провинциальный уровень польской математики до европейского. Это явление было столь отчётливым, что его заметили и другие польские учёные, особенно физики, которые и попробовали обратиться к математикам за помощью в решении некоторых задач. Из этого не вышло ничего примечательного, но я приведу одно исключение. Научный эмигрант Леон Лихтенштейн, большой знаток теории планет и сам математик высокого класса, 267  поставил перед Стефаном Мазуркевичем одну из задач, относящихся к равновесным формам вращающихся жидких тел. Мазуркевич решил её (получив необходимое ограничение длины оси такого тела) и опубликовал результат в общеизвестном периодическом издании Mathematische Zeitschrift. Этот результат, поразивший Лихтенштейна и несомненно являющийся одним из важнейших достижений соавторства представителей варшавской школы, не был упомянут в научном некрологе Мазуркевича, так как математики его просто не заметили. Таким образом, это исключение ещё сильнее свидетельствует против нас, чем все упрёки физиков. Даже Заремба, известный знаток теории потенциала и уравнений математической физики, не только не посодействовал развитию польской физики, но скорее наоборот — замедлил это развитие своим негативным отношением к теории относительности.

Появлению теоретической физики в Польше мы обязаны таким учёным, как Смолуховский, Рудзкий и Рубинович — все эти физики обучались математике за границей. Новое поколение физиков, вышедшее из школы Рубиновича и Инфельда, всё ещё не может найти общий язык с математиками. Контакт начинает завязываться, но сегодня пока рано об этом говорить.

Математики в этой игре имели лучшие карты, поскольку обладали высшим научным рангом, и поэтому сетования физиков также не находили отклика. Скажем откровенно, что в большинстве случаев математики в самом деле не понимали, чего от них хотят, так что их совесть была чиста (что значительно облегчало их положение при взаимных обвинениях), и лишь некоторые чувствовали, что здесь что-то не в порядке. Налаживание отношений с физиками не является лёгким — оно требует многих лет для изучения современной теоретической физики, и математику трудно рисковать своим «капиталом времени» без гарантии получить отдачу.

Существует ещё одна связанная с этим проблема. Как известно, первые инженеры появились в Польше каких-то 100 лет назад (а инженеры, подготовленные в самой Польше, — всего 75 лет назад). Все они изучали математику и должны были её применять на практике, вследствие чего наиболее подходящим местом для 268  установления контакта с другими науками являлись, пожалуй, кафедры математики в политехнических институтах. Однако преподаватели этих кафедр придерживались западных образцов (либо косвенно, т.е. беря их у берлинских и венских подражателей, либо непосредственно — из французского источника политехнического обучения), вследствие чего преподавание велось без связи с практическими потребностями. Самым удивительным выглядит то, что даже компетентные в технике профессора совсем не сетовали на создавшееся положение. Они лишь требовали, чтобы математики были хорошими преподавателями, т.е. умели излагать свой материал так, чтобы студенты успешно сдали экзамен и забыли о математике (как забыли её их профессионалы-профессора!). Учебники, написанные математиками-политехниками, вообще не имели никакой связи с техникой и даже не приводили примеров применения математики. Ситуацию спасали кафедры механики, которые доказывали, что в математике есть вещи, способные заинтересовать будущего инженера, а в университетах сходными с ними были кафедры теоретической физики. На этих кафедрах по необходимости нередко преподаватели излагали некоторые разделы математики без помощи математиков, подвергая себя насмешкам специалистов-математиков, которым студенты позднее повторяли ошибки, дозволенные преподавателям физики. Тогда-то и возникла не вылеченная до сих пор «травма» у физиков, некоторые из которых даже думают, что главным козырем математики является её строгость.

Несомненную роль в этом застое сыграла стабилизация отношений в Европе с 1871 до 1914 года. Но ничто не длится вечно, и в конце концов такое положение вещей стало вызывать возражения. Я уже упоминал великого гёттингенского геометра Клейна, который принадлежал к сторонникам индустриализации и (как, впрочем, и большинство его коллег), подобно Вильгельму II и всему лагерю национал-либералов, считал образцом Соединённые Штаты. Поэтому именно он сознательно начал формировать обучение в направлении применения математики, создал в университете кафедры прикладной математики, начертательной геометрии и даже электротехники, что привело к спору с политехниками, которые рассорились в Гёттингене на основании неразрешимой 269  конкуренции. Она дошла до того, что участие двух гёттингенских корифеев (Клейна и Гильберта) в семинаре, посвящённом строительству кораблей, вызвало всеобщее огорчение их наиболее консервативных коллег. Сегодня уже не подлежит сомнению актуальность идеи гёттингенских сподвижников, что доказывают именно сетования политехников. Ведь мы и во Вроцлаве не так давно слышали, что мы не должны вмешиваться не в свои дела.

Симбиоз математики с техникой не дал тех результатов, которые ожидались, возможно потому, что обе стороны имели свои традиции, а также из-за психологических различий при оценке и понимании роли математики в технических приложениях. Для математика висячий мост или турбина Лаваля были обычно лишь предлогом для начала исследований. Когда оказывалось, что такие задачи ведут к изящным и глубоким математическим теориям, математики в своих изысканиях заходили так далеко, что забывали о практическом смысле задачи. Более того, в тех случаях, когда им удавалось получить элементарное решение задачи, они с отвращением забрасывали его. Поэтому порой даже такие выдающиеся инженеры, как Эберман, заявляли, что конструкторам достаточно той минимальной порции математики, которую даёт средняя школа.

Если нигде в мире в этом отношении не было ничего хорошего, то в Польше было хуже, чем где-либо ещё. Вторая мировая война заставила нас забыть об этих проблемах, а когда она закончилась, надо было идти напролом, чтобы наверстать отставание, вызванное шестью годами военной летаргии и предвоенной беспечности. Обычной тактикой стала переброска «моста» с математического берега на противоположный в самом широком месте: необходимо было атаковать лагерь биологов и врачей — самый отдалённый и с виду самый неприступный. Чтобы охарактеризовать сложившуюся ситуацию, достаточно вспомнить, что перед войной студенты-естественники должны были слушать лекции по математике для естествоиспытателей и даже сдавать экзамен по этому курсу, но такие лекции читались иногда логиками, иногда доцентами математики, а иногда — лицами, которые вообще не представляли, что надо делать. Все эти лекторы имели одну характерную 270  особенность: они не знали никаких своеобразных применений математики к естественным наукам, не интересовались математикой с этой точки зрения и чаще всего не имели ничего общего с вопросами природоведения. Название «математика для естествоиспытателей» они понимали как «элементы высшей математики», а слова «для естествоиспытателей» — как пренебрежительный эпитет, типа прилагательного «дежурное» к существительному «блюдо». Истинные же математики признавали свободу обучения и получали всё a la carte (согласно меню). Однако ещё перед войной были попытки перебросить мост, и эти попытки предпринимались с противоположного берега — врачами. Здесь я позволю себе высказать слова признательности и благодарности Францишеку Гройеру за то, что он первым из врачей переплыл на математический берег, для чего были необходимы научный темперамент и фантазия. Сегодня уже трудно найти во Вроцлаве ежегодник Pediatrii polskiej, в котором тогда сразу три автора набросились на Гройера за его патергеометрию (для написания такого набора бессмыслицы потребовалось целых три автора!). Я купил бы сегодня этот том по цене филейной вырезки, чтобы можно было здесь процитировать целые отрывки из этих статей, ибо подобный эффект можно сравнить лишь с восстановлением фильма с участием Асты Нильсен, звёзды экрана 50-летней давности.

Но оставим в стороне воспоминания и попытаемся рассказать, как в действительности обстоит дело. На чём основано взаимодействие с естествоиспытателями и врачами? Обычно нам говорят, что для успешного взаимодействия необходимо знать биологию и медицину. Это, конечно, совершенно неверно! Знать надо всё, но наш век (который постоянно хвастается принципом специализации) учит, что тот, кто знает всё, не знает ничего, а кто хочет поймать сразу двух зайцев, не поймает ни одного. Надо отказаться от принципа специализации и понять, насколько мнимой является скромность тех, которые в любой ситуации говорят: «я в этом ничего не смыслю». Следует помнить, что наука есть теория действительности, в которой всё взаимно связано. Но откуда можно взять необходимые знания? Должны ли математики изучать анатомию и физиологию или, наоборот, естествоиспытатели должны изучать дифференциальное и интегральное исчисление? 271  Были такие естествоиспытатели, которые делали подобные попытки и спустя несколько лет утверждали, что у них из этого ничего хорошего не вышло. А как же надо поступать? Надо учиться на конкретных задачах, а не по книгам и про запас.

Один врач заметил существование связи между туберкулёзом и картиной крови, а именно — обнаружил, что некоторые кровяные тельца у туберкулёзников появляются в меньшем количестве, чем у здоровых людей. Я спросил его, откуда ему это известно и притворился, что знаю, что такое туберкулёз, моноциты и лимфоциты, хотя на самом деле никто из нас не видел ни лейкоцитов, ни палочек Коха (да и вообще не желает их видеть!). Врач ответил, что нормальный состав крови известен по тысячам наблюдений. Я согласился с этим, но спросил, легко ли распознать состав крови, нужен ли для этого микроскоп и расшифруют ли два врача одно и то же у одного пациента? Такие вопросы часто застают врасплох врача, который не знает, являемся ли мы круглыми невеждами или только выдаём себя за них. В таких ситуациях обычно врач бьётся над тем, чтобы словесно объяснить нам то, что на его взгляд является простым и ясным, пока мы уже раздумываем над очередным вопросом. Таким способом мы быстро обучаемся без особых хлопот, точнее, за счёт нашей жертвы, которая думает, что её экзаменуют. Однако знакомый с основами статистики врач может вполне справиться и без помощи математика. Он вычислит по 63 наблюдениям среднее отклонение (в сторону уменьшения) от нормы содержания этих телец в крови туберкулёзников, а затем определит дисперсию и опубликует свою работу в печати. На это другой врач, прочитавший учебник по статистике, показывает ему книгу, где чёрным по белому написано, что полученное им отклонение не является существенным, поскольку не доходит до двух сигма, а составляет всего 1.95 сигма. Несчастный автор приходит к нам за помощью, считая, что если бы у него было ещё одно наблюдение, то всё было бы lege artis (по всем правилам искусства). Бедный врач полагает, что из-за такого пустяка он теряет труд нескольких месяцев! Тогда мы снова его спрашиваем, о чём идёт речь: о том, чтобы получить конкретный диагноз (позволяющий сделать вывод о наличии туберкулёза или a contrario (напротив) о его отсутствии), или о составе крови в банке, куда 272  слита кровь всех 63 пациентов? Сначала он даже не понимает нашего гротескного способа разговора, но через некоторое время мы находим другое, ещё более грубое сравнение, и, конечно, врач соглашается с тем, что речь всегда идёт именно о конкретном пациенте. Тогда оказывается, что действительность (реальная доля) искомого явления составляет 999 промилле, поскольку из 63 исследуемых только три пациента имеют отрицательный результат — именно у них явление настолько сильно выражено, что это так влияет на состав крови в банке. Таким образом, работа спасена и, более того, показывает, что отрицательный результат обычно отчётливо проявляется, хотя и является редким.

Мораль из этого правдивого случая такова, что врачам вообще не нужно книжного математического образования и что такое образование скорее затрудняет нашу роль. Когда естествоиспытатель в первый раз появляется на заседании Отделения применений Математического института ПАН7, он никак не может понять, почему все присутствующие с трудом сдерживают смех после первой же высказанной им фразы. Математики смеются, заранее зная, что в девяти случаях из десяти докладчик скажет: «Прошу меня извинить, если я буду произносить математические нелепости, поскольку не знаю математики и едва помню то, чему учился в школе...». Как я уже упоминал, подобная скромность не пользуется у нас признанием. Она подобна скромности пассажира, проходящего на границе таможенный досмотр и декларирующего, что он имеет для обложения пошлиной одну плитку швейцарского шоколада: истинная цель такой декларации заключается в том, чтобы отвлечь внимание от целой коробки с часами, спрятанной в чемодане. Когда естествоиспытатель, врач или юрист говорит, что он не знает математики, мы думаем: «Помоги Бог, чтобы он не знал только математики, ибо догадываемся, что будет, если он не знает и того, что обязан знать».

А в чём, по нашему мнению, должен разбираться, например, естествоиспытатель? Он должен уметь объяснить нам, что он делает, почему это делает, откуда ему известны излагаемые факты, 273  в чём он сомневается и что из этих сомнений следует. Но все эти трудности выглядят пустяками по сравнению с теми, которые встречаются в науках, что сами создали себе математический аппарат (такова, например, дендрометрия). Поскольку она уже сто лет оперирует формулами, то дендрометры владеют дифференциальным и интегральным исчислением и сами придумали различные формулы. Если кто-то из их клана приведёт такую формулу, то его предупредят, что лес и математика несовместимы. Математики не понимают таких утверждений, как не понимают и газет, в которых можно встретить фразу «спорт, в частности велосипедный, это не математика, ибо в нём ещё много других факторов». Такое высказывание прекрасно понимают 99 из 100 читателей ежедневной прессы, за исключением того единственного, который и является математиком. Мы не понимаем, почему формулы дендрометров применимы к лесу, а наши — нет. Когда они говорят, что надо считаться с опытом, то мы отбрасываем в сторону всякие формулы и предлагаем прекрасные таблицы, определяющие объём древесины по одному измерению охвата и длины ствола. Когда они удивляются, почему мы называем эти таблицы прекрасными, мы объясняем это тем, что в таблицах нет ничего кроме наблюдений. Иногда они говорят, что необходимо считаться с дендрометрией, наукой старой, серьёзной и имеющей свои кафедры. Но очень часто те, кто сидят на этих кафедрах, взаимно не понимают друг друга, так что им время от времени требуются математики в качестве экспертов в собственных спорах.

Все эти байки не ограничиваются какой-то одной местностью или даже масштабами всей страны: известно, что в Чехии и Саксонии война между дендрометрами и математиками развивается подобным же образом, и закончится лишь тогда, когда дендрометры обучатся математической статистике. Нельзя ничего посоветовать людям, которые не хотят верить математикам, но сами являются наполовину математиками. Такой человек должен прежде стать полным математиком. В качестве известного примера можно привести Р. Э. Фишера (из сельскохозяйственной школы в Ротэмстеде, Англия), который, не найдя общего языка с математиками, сам создал оригинальные статистические методы. Его работа выдержала несколько изданий и оказала математической 274  статистике бо́льшую услугу, нежели учебники, написанные профессиональными математиками.

Многие из естествоиспытателей (а, возможно, ещё более многие — среди врачей) вообще не верят в применимость математики к исследованиям живой природы. Не верят потому, что предмет математики в школе выработал у них предубеждение в отношении абстрактности понятий, формализма определений и искусственности задач, напоминающих шарады и ребусы. Карикатурная простота геометрических концепций (как их видит математик) кажется противоречащей текучести и сложности живого мира (великий антиматематик Гёте писал о «вечно зеленеющем древе жизни»). Эта антитеза компрометирует в глазах натуралистов саму мысль о математическом истолковании живой природы как наивную и вредную в своих претензиях на простоту. Такие натуралисты воображают, что математики хотят найти формулы для всего сущего, что они хотят заранее составить гороскопы жизни (подобно их средневековым братьям-астрологам), что в конце концов они захотят предсказывать каждый шаг и каждое содрогание живого организма.

Каким образом сформировались такие взгляды? Они вовсе не являются оригинальными и свежими — образ именно такого математика мы найдём у Вольтера, а ещё раньше у Свифта. Ян Потоцкий высмеял их в повести, написанной 150 лет назад, и мы были бы признательны историкам литературы, если бы захотели и сумели понять, откуда берёт начало эта идея. Из какого источника течёт этот ручей, к счастью уже убывающий? Но иногда естествоиспытатели из одной крайности попадают в другую, которая представляет собой мистическую веру в таинственную силу математического аппарата, и им начинает казаться, что элементарные тождества, подвергнутые тривиальным алгебраическим преобразованиям, способны придать естественнонаучным положениям характер несомненности. Между двумя флангами находятся те, которые считают, что математику можно применять ко всем наукам, за исключением той, которую именно они представляют. Математики же старого типа всё ещё надеются встретить такого идеального естествоиспытателя, который сумел бы каким-то 275  неизвестным (и вероятнее всего невозможным) способом заменить свою специальность и науку на дедуктивную схему. Такой естествоиспытатель должен экспериментальные основы своей науки обрядить в одежды аксиом (подобно тому, как Евклид поступил с основами геометрии) и заключить в них всё, что нужно и можно знать о смысле технических терминов. Затем он поднёс бы, как на тарелочке, сформулированные в этих терминах естественнонаучные задачи математику для решения. В одной из своих новелл Анатоль Франс пишет: «Один раз в жизни я видел справедливого судью — это было на картине», а я не могу представить себе такой сцены даже на картине. Если бы такой естествоиспытатель родился и существовал, то вероятнее всего он выбрал бы для изучения точные науки. Если бы он умел формализовать свои задачи, то смог бы их решать и без математика. Если бы для него это оказалось трудным, то плохой математик тоже не смог бы ему помочь, а хороший не захотел бы тратить на это время. Если бы каким-то чудом все эти препятствия исчезли и естествоиспытатель сумел бы получить желанную формулу, то он не знал бы, что с ней делать. Я встречал в работах по естествознанию формулы, играющие чисто декоративную роль — авторы таким идолопоклонническим способом и трудным, ненужным или невразумительным языком пытались донести до читателя некоторые детали. В эту ловушку часто попадают даже физики.

Если сотрудничество наталкивается на такие трудности, то почему тогда в цитированной книге Кульчинского говорится о положительных достижениях вроцлавских математиков в совместной работе с естествоиспытателями, техниками, врачами и даже с гуманитариями и юристами? Как нам это удалось? Как были преодолены преграды, казалось бы непреодолимые в своей разнородности и многочисленности?

Сотрудничество оказалось возможным лишь благодаря тому, что сама научная работа — это естественный процесс и она подчиняется законам развития, применения и эволюции. Точно так же, как новые виды животных и растений формируются при изменении внешних условий или возникают путём скрещивания существующих видов, так и на наших глазах изменяются содержание, смысл и стиль науки. Та математика, которая содержится в 276  учебниках, не подходит для той медицины и истории естествознания, которые утвердились в музеях, анатомических атласах и препаратах. Всё школьное, известное и общепринятое при сотрудничестве не принимается во внимание, а подходит лишь то, что только зарождается. С того момента, когда естествоиспытатель приходит к нам или мы к нему, первые часы напоминают разговор глухого с немым. Мы смотрим на красивые цветные диаграммы и удивляемся, почему они не пользуются таблицами, а они удивляются, что никак не могут убедить нас в чём-то, что они упорно называют достоверностью или гарантированным результатом. Естествоиспытатель начинает говорить, а мы (вместо того, чтобы экзаменовать его по математике, чего он опасался!) спрашиваем, где можно выучиться так плохо говорить по-польски. Он настолько доволен, что мы не заставляем его извлекать корень третьей степени из семи, что пропускает мимо ушей нашу наглость и продолжает говорить, оказываясь прекрасным популяризатором. Например, специалист-мукомол показывает нам прибор, называемый фаринографом, который используется для определения впитывающей способности, рыхлости, упругости и других объективных свойств теста. Тогда мы спрашиваем, а почему его интересует тесто — он считает этот вопрос доказательством неслыханного невежества; надо быть математиком, чтобы не знать, что из теста выпекается хлеб! Поэтому от качества теста зависит и качество хлеба. А что такое хороший хлеб? Это такой хлеб, который по вкусу людям! Всё это для нас таинственно, ибо хлеб делается из теста, тесто из муки, а мука из пшеницы. Речь идёт о выборе сортов пшеницы, из которых получается вкусный хлеб. Тогда мы предлагаем вообще не интересоваться ни тестом, ни мукой, а исключительно пшеницей и хлебом. Нам кажется, что следовало бы сперва выпечь хлеб из разных сортов пшеницы, предложить его попробовать разным людям, а затем по результатам опроса отобрать сорта культивируемой пшеницы. Но мукомол непременно хочет оценить только объективные качества теста! Мы совершенно не можем понять, для чего ему это надо, а он не умеет нам это объяснить. Измучившись, мы расходимся с убеждением, что в результате нашего общения хлеба не получится. Но через пару недель мы встречаемся снова. Теперь уже ни он, ни мы 277  не являемся теми, кем были месяц назад. Мы узнали о неслыханной сложности процесса превращения муки в хлеб, а он узнал, что правильные рассуждения могут быть важнее голландского фаринографа, даже для самых практических целей. Взаимодействие изменило и его, и нас. Мы привыкли думать (а не экспериментировать), они — естествоиспытатели — экспериментировать (а не думать), и лишь совместно мы умеем и то, и другое. Это напоминает рассмотрение фотографии двумя глазами. Подобным образом изменяются не только люди, преобразуются стиль и проблематика самих взаимодействующих научных дисциплин. Впрочем, так происходит не всегда. Существуют учёные, выработавшие иммунитет ко всяким влияниям — среди естествоиспытателей этому присягнули непокорные морфологи, среди нас таковыми являются мечтатели, которые слышат музыку сфер, льющуюся из мира математических абстракций. Такими математиками были Платон и его современник Архитас из Таренто, прославившийся искусством применения математики. Именно их Норвид заставил вести поэтический спор о дороге, которой должна шествовать королева наук. Пожалуй, во всей мировой литературе никто удачнее и глубже Норвида не осмыслил этого векового антагонизма.

Не будем слишком удаляться от Вроцлава и настоящего времени, поскольку мы говорим о здешней, специфической научной атмосфере. Каким образом она сложилась? На её создание повлияли несколько обстоятельств уже в 1945 году. Во-первых, этому способствовало объединение всех высших учебных заведений в один Университет (с большой буквы У), а во-вторых — необходимость взаимной помощи и дружбы, которая объединила изгнанников, отыскавших друг друга после войны. В-третьих, возникла некая потребность ежедневных встреч за общим столом в Мирусе. И наконец, по дороге мы растеряли тоги и должны были дать голос также и тем, которые вообще никогда в жизни не имели на себе тоги.

Но всё это не дало бы никакого эффекта, если бы не несколько людей, умеющих заглянуть далеко за пределы собственной деятельности. Я назову здесь только Гиршфельда и, полностью опуская заслуги этого великого учёного и необыкновенного человека 278  в области его деятельности (т.е. в микробиологии и иммунологии), скажу лишь несколько слов о его сотрудничестве с математиками. Оно началось очень давно — ещё в переписке между Гиршфельдом и Феликсом Бернштейном, вскоре после открытия групп крови. Феликс Бернштейн являлся выдающимся профессором математики в Гёттингене, когда я был там студентом, и его имя связано с одной из основных теорем теории множеств. Переписка закончилась принятием формулировки законов наследования групп крови (А, В, О, АВ), предложенной Бернштейном, который вообще не был естествоиспытателем. Каким же образом он смог обнаружить в группах крови что-то, чего не заметили их первооткрыватели? Несомненно, ему и на ум не пришло экспериментирование или наблюдение, и он просто принял явление prima facie (не подвергая сомнению), анализируя наблюдения Ландштайнера, Дунгерна и Гиршфельда. Там не было никакой математической проблемы, так как проблема была чисто методологической, но её следовало только распознать и понять. Недавно во Вроцлаве проф. Слупецкий занялся определением групп крови и оказалось, что группа О логически отличается от остальных и определение генотипов для логика является совсем непростой задачей, значительно отличающейся от определения фенотипов. Характерно, что дискуссия о генетических принципах, которая обычно не выходит за рамки фразеологии, во Вроцлаве впервые действительно прошла в освещении представлений логики.

Гиршфельд был естествоиспытателем par excellence (по преимуществу), но он отлично чувствовал математическую сущность возникающих задач. Наше сотрудничество, прежде всего, оказалось связанным с задачами установления отцовства, и оно позволило определить вероятность отцовства до проведения экспертизы (результат в точности оказался равным доле истинных отцов среди ответчиков). Работа также позволила в каждом случае установить вероятность отцовства после экспертизы и оценить число ошибочных судебных заключений, и позволила освободить вычисления от генетических гипотез (за исключением генетического подобия) и все заключения основывать лишь на материале самих экспертиз. Тем самым мы смогли учесть в них возможные ошибки экспертов и отбросить концепцию так называемых истинных семей. И наконец, 279  наша работа позволила указать путь к распространению этого метода на все наследуемые группы крови. Прогресс в этом направлении ещё при жизни Гиршфельда сдерживался невежеством и завистью, а после его смерти те, кто в первую очередь должны были спасать наследие великого учёного, скромно говорили: «Мы об этом ничего не знали». Зато у практикующих юристов понимания оказалось гораздо больше, чем можно было ожидать, так как именно для этой науки из судебных дел вытекают выводы, касающиеся не только законодательства, но и критики «стоимости» приговоров в делах иного рода.

Я могу привести и обратный пример сотрудничества (при котором инициатива исходила от математиков), относящийся к так называемой вроцлавской таксономии. Исследование началось с абстрактного вопроса: как надо строить железнодорожную сеть? В более сложном варианте вопрос формулируется следующим образом: как может авиационный инспектор самым быстрым маршрутом посетить все аэродромы страны? Задача является весьма сложной для всех математиков, которым она была предложена, однако начертить схему кратчайших связей между 16-ю польскими городами (при условии, чтобы она не содержала разветвлений) оказалось достаточно просто, и эта задача коллективно была решена. Позднее я сообразил, что не только города характеризуются взаимным удалением друг от друга: в методе Чекановского упорядочение всех предметов по их характерным свойствам тоже определяется расстояниями между этими свойствами.

Так появилась концепция вроцлавской таксономии, которую мы затем пытались применить к антропологии, к классификации населения по частоте групп крови, к экологии растений, к криминальным (блатным) сонетам и к проблеме строения звёздных структур. Теория пригодна также к стандартизации самых обычных предметов, например, плетёных корзин или образцов одежды.

Очевидно, что только некоторая дистанция от предмета, взгляд издалека могут создать концепцию такого рода, и ясно, что в этих проблемах нельзя ожидать инициативы поэтов или портных. В подобной ситуации сотрудничество должно сразу начинаться с агрессии. Во всех задачах такого типа появляется как бы 280  железнодорожная сеть, называемая деревом (дендритом), а роль математики заключается в рассмотрении этого понятия всеобщей важности и значения.

Особым открытием здесь является идея перестановки свойств и предметов, так как, имея набор предметов и систему свойств, можно поменять их роли и получить иной дендрит. Мы решили это сделать с видами лесных мхов и с лесами, в которых они произрастают, для чего мы использовали одну чужую работу, опубликованную Польской Академией наук. Оказалось, что мхи обладают свойствами, характерными для соответствующих лесов, и по ним можно даже судить о типе леса (но по типу леса нельзя судить о виде мхов, что наглядно демонстрируют те же дендриты). Ботаники не приняли наши результаты серьёзно, но недавно я получил гранки работы, автор которой (довольно известный естествоиспытатель) предлагает свою концепцию количественных измерений в биохимии. Брошюра написана разумно, понятным языком, и выглядит крайне необходимой. Для коллег автора она будет полезна, так как 90% из них до сих пор знали только 10% её содержания и сути. Проблема состоит в том, что её содержание было известно статистикам во всём мире уже 50 лет тому назад (и уже тогда не представляло собой ничего нового).

Почему возникает такая ситуация? Возможно, из-за различия стиля мышления в разных дисциплинах, так как естествоиспытатели просто не заметили существования некоторых научных фактов и понятий, которые косвенно и постепенно должны были внедряться в их науки. Один из этих фактов заключается в том, что математическая статистика является не чем иным, как теорией естественной индукции. Я предполагаю, что именно так биологи воспринимали и некоторые давным-давно известные химические факты.

Мы живём одновременно, но в разных эпохах. Огромные затраты труда были бы сэкономлены, если бы небольшая, доступная и практичная книжечка Medical Statistics, написанная биологом Хиллом, была переведена и издана на польском языке.

Но вернёмся к основам коллективной работы. Такая работа требует непосредственного контакта. Она совсем не заключается в том, чтобы взять два «склада мудрости» и ссыпать их содержимое в один, нельзя также рассчитывать, что на каждый вопрос 281  найдётся ответ в иной науке. Смысл коллективной работы основан на взаимном изменении стиля мышления. Математики должны отказаться от выискивания в иных науках дедуктивных теорий и также выяснить у естествоиспытателей не то, чем является математика, а то, чем она обязана быть (сами естествоиспытатели этого не знают, но, возможно, они помогут нам это выяснить?). Как это можно сделать? С помощью такой постановки задач, при которой мы должны будем переосмыслить идеи, повторяющиеся у них без критики из столетия в столетие. Взаимодействие наук происходит одновременно и полностью изменяет взгляды обеих сторон, а постоянная совместная работа изменяет стиль научной эпохи.

Я уже упоминал о цюрихском профессоре Эйнштейна — Германе Минковском, который достаточно точно первым сформулировал малую (по-видимому, автор имеет в виду специальную — перев.) теорию относительности. Как-то на лекции он сказал, что Эйнштейн имел плохую математическую подготовку («я могу это утверждать, поскольку сам учил его математике»). Минковский прекрасно отдавал себе отчёт в том, что необходимо полностью пересмотреть принципы кинематики в соответствии с теорией относительности, но нельзя довольствоваться лишь упрёками в адрес Эйнштейна. Рано или поздно, но в один прекрасный момент профессора обязаны стать учениками своих учеников, и только способные к этому пригодны для коллективной работы.

Особая вроцлавская концепция заключается в исключении вероятностных понятий отовсюду, где можно прийти к цели иным путём. Для этой концепции весьма характерна идея Стефана Дробота, умевшего в статистических задачах заменить такие понятия измерительным анализом, причём измерительный анализ (или теория моделей) был связан для него с физикой или теорией вероятностей через конкретную математическую задачу (а именно, вычисления статистической оценки). Решение экономических задач с помощью измерительного анализа стало неожиданностью и для математиков, и для экономистов. Несомненно, это не удалось бы сделать, если бы учёные не выходили за границы своей специальности. Такое требование можно назвать законом дистанции: чем дальше друг от друга какие-то науки, тем 282  ярче свет от их соединения, подобно тому, как с расстоянием увеличивается мощность молнии.

Необходимо также нарушить временны́е границы и планировать завтрашнее сотрудничество ещё до того, как наши будущие сподвижники узнают об этом. Мечтая о сотрудничестве с метеорологами, мы не должны начинать с изучения аэродинамики и исправления прогнозов погоды или применять сложные методы математического анализа к перемещению воздушных масс. Нас интересует, что такое хороший прогноз. Интересно, что это можно строго определить только при условии, что известна цель прогноза и величина ущерба в результате неправильного прогноза. Известно, что с этой точки зрения прогноз, являющийся просто трактовкой наблюдений, хуже абсолютного прогноза, рассчитанного по тому же самому материалу (по нашему мнению, он оказывается ошибочным в каждом втором случае). Ещё интереснее, что абсолютный прогноз зависит от потребителя, поскольку от ущерба, который ему будет нанесён вследствие ошибочного прогноза, существенно зависит само предсказание. Без метеорологов эти мечты так и останутся только лишь мечтами; однако в целом эта программа соответствует математической тенденции отыскания оптимума при данных условиях, а не тому, к чему обычно стремятся естествоиспытатели, — ожиданию повышения точности приборов и увеличению количества наблюдений.

К другому направлению, имеющему шанс развития во Вроцлаве, относится огромная проблематика, связанная с задачами теории решений, игр или планирования, непосредственно относящаяся к экономике. В некоторых странах это направление давно вышло за рамки теоретических решений и можно привести конкретные примеры математического планирования практической деятельности в крупных масштабах. У нас оно вообще не известно тем лицам, которые должны о нём знать в первую очередь. Математики ещё не добрались до этих лиц и их задач, а без делового контакта любое углубление этой теории (на лекциях и семинарах) будет явно противоречить той программе коллективных исследований, которую я пытаюсь предложить и охарактеризовать в предлагаемой статье. Мой упрёк обоснован — об этом свидетельствует тот факт, что пока вообще не существует математических 283  организаций и даже отдельных консультантов, способных оказать неотложную помощь тем специалистам, которые постоянно решают математические проблемы (подобно тому, как Журден в пьесе Мольера говорил прозой, не сознавая этого).

Итак, как выглядит рецепт коллективной работы? Коллективность в нашем случае имеет по меньшей мере три разных значения. Она может заключаться в самой тематике (например, в научном плане вроцлавской медицинской школы предусматривается изучение интерференции разных болезней в одном организме), а также просто основываться на совместной работе нескольких лиц над одним заданием, что во Вроцлаве постоянно практикуется не только математиками, но и врачами. Но наибольший интерес представляет коллективность в значении сотрудничества между дисциплинами.

Таким образом, совместная работа во Вроцлаве выступает в разных формах, является здесь нормальным явлением и её можно наблюдать на сотнях примеров. Она является не подражанием чужим образцам, а нашим собственным достижением. Мы не выгребли её из опустошённых погребов и не вынесли из руин сгоревших домов. Она не возникла по приказу или прихоти отдельной личности, так как никому нельзя приказать: «с завтрашнего дня мы начинаем сотрудничать!». Наша коллективность сама является продуктом нашего содружества и именно поэтому мне так трудно объяснить, на чём она основана. 284 




Примечания
1.

Альберт Майкельсон экспериментально доказал, что движение Земли вокруг Солнца нельзя подтвердить путём сравнения скорости света в направлении этого движения со скоростью в противоположном направлении. — Прим. автора. назад к тексту

2.

Имеется перевод на русский язык: В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения. — М.: Мир, 1983. — Прим. перев. назад к тексту

3.

Мёбиус открыл её одновременно с Листингом. назад к тексту

4.

От редакции польского издания: Польская Народная Республика ежегодно вкладывает много миллионов злотых в развитие математических наук, а математика у нас относится к щедро дотируемым наукам. Автор статьи, несомненно, столь же далёк от подозрения широких кругов в недостатке щедрости, как и от выступления против субсидирования чистой математики. назад к тексту

5.

Автор считал бы идеальной такую ситуацию, при которой средства в прикладную математику вкладывают те, кому она необходима, но образовавшуюся от этого прибыль направляют на развитие чистой математики. назад к тексту

6.

Этот эксперимент, если бы он был проведён во времена Коперника, задержал бы решение вопроса о движении Земли ещё на пару сотен лет. назад к тексту

7.

Полное название: Отделение естественнонаучных и народнохозяйственных применений. назад к тексту


Hosted by uCoz